NHỊ THỨC NEWTON

Chia sẻ: Love Zilt | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:11

0
192
lượt xem
96
download

NHỊ THỨC NEWTON

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

NHỊ THỨC NEWTON Nhằm giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình. Tài liệu rất có ích cho các bạn ôn thi đại học.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: NHỊ THỨC NEWTON

  1. Nhóm 8 NHỊ THỨC NIUTƠN I- Lý thuyết a) Công thức nhị thức Niutơn: ( a + b ) n = C 0 a n + C1n a n−1b + ...... + C kn a n −k b k + ...... + C n−1 ab n −1 + C n b n n n n Trong đó: n! k C = k! ( n − k )! n k C là tổ hợp chập k của 1 tập có n phần tử. n V í dụ: ( a + b ) 5 = C 5 a 5 + C15 a 4 .b + C 5 a 3 .b 2 + C 5 a 2 .b 3 + C 5 a.b 4 + C 5 b5 0 2 3 4 5 b) Một số tính chất của công thức nhị thức Niutơn (a + b)n : - Số hạng tử là n +1. - Tổng số mũ của a và b trong m ỗi h ạng t ử luôn = n. Trong đó s ố mũ cũa a giảm dần từ n  0, b tăng từ 0  n .Với (a0 = b0 = 1). n−k k C =C - Các cặp hệ số cách đều biên thì bằng nhau : n n k = C n .a n −k .b k T - Số hạng tổng quát thứ k + 1 là : k +1  Chú ý : + a = b = 1 ⇒ ( a + b ) = 2 n = C n + C n + ...... + C n + ...... + C n + C n n −1 0 1 k n n + a = 1; b = −1 ⇒ ( a − b ) = 0 = C n + C n + ...... + ( − 1) C n + ...... + ( − 1) C n 0 1 k n n k n c) Các dạng bài tập thường gặp : - Dạng 1 : Khai triển nhị thức Niutơn. - Dạng 2 : Rút gọn, tính giá trị biểu thức. - Dạng 3 : Giải phương trình.
  2. Nhóm 8 II- Bài tập Bài 1 : Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa th ức sau: 10  x 1 − a)   2 10 k 10− k  − x   x 10  = ∑ C10.1  k 1 − Ta có:   2 2 k =0 Nên có 3 số hạng đầu theo dãy lũy thừa tăng của x là: 2 1  x 2  x 45 2 0 C10 − C10  2  + C10  2  = 1 − 5x + 4 x .   b) ( 3 − 2 x ) 8 8 ( 3 − 2 x ) 8 = ∑ C 8.38−k ( − 2 x ) k k Ta có: k =0 Nên có 3 số hạng đầu theo dãy lũy thừa tăng của x là: 0 1 2 C 38 − C 8 37 2 x + C 8 36 4 x 2 = 1 − 8.37.2 x + 28.36.4 x 2 = 1 − 34992 x + 81648 x 2 . 8 Bài 2: Tính. + 2 C 5 + 2 2 C 5 + ..... + 2 5 C 5 = (1 + 2 ) = 35 = 243 a) 0 1 2 5 5 S =C 5 + ..... + C 6 = (1 + 1) = 2 5 b) 0 1 2 6 6 S =C +C +C6 6 6 1112 1n 0 C =C C n + 3 C n + ..... + n C n + c) Tính: n 2 (1 + x ) n = C 0 + x C1n + x 2 C 2 + .... + x n C n n n n Lấy tích phân 2 vế ta được: (C ) ∫ (1 + x ) =∫ 0 1 2 n n + x C n + x 2 C n + ..... + x n C n n x n +1 n x2 1 x3 2 0 = x Cn + 2 Cn 3 + C n + .... + n + 1 Cn Chọn : x = 1 (là cận trên) x = 0 (là cận dưới) 11 1 0 n ⇒ Cn + C n + .... + n + 1 C n 2
  3. Nhóm 8 (1 + x ) n +1 1 n 1 2 n +1 − 1 Vậy : = ∫ (1 + x ) = = n +1 n +1 0 0 − 2 C n + 3 C n − 4 C n + .....( − 1) d) Tính: n −1 1 2 3 4 n D =C n Cn n Ta có: (1 + x ) n = C 0 + x C1n + x 2 C 2 + .... + x n C n n n n Lấy đạo hàm 2 vế ta có: n (1 + n ) n −1 1 2 n = C n + 2 x C n + .... + nx n −1 C n Chọn x = -1 ta được: − 2 C n + ..... + ( − 1) n −1 1 2 n 0=C n Cn n Vậy S = 0 Rút gọn biểu thức: Bài 3: A= C 2 n −1 1 3 5 + C 2 n + C 2 n + ..... + C 2 n a) 2n B =C 0 2 4 2n + C 2 n + C 2 n + ..... + C 2 n b) 2n Khi a = b = 1: 2 n −1 0 1 2n 2n = C 2 n + C 2 n + ..... + C 2 n + C 2 n 2 Ta có : 2 n −1 0 1 2n C + C 2 n + ..... + C 2 n + C 2 n = 2 2 n => A + B = (1) 2n Khi a = 1; b= -1 2 n −1 0 1 2n − C 2 n + ..... + ( −1) 2 n −1 C 2 n + ( −1) 2 n C 2 n 0=C Ta có : 2n => A – B = 0 (2) Từ (1) và (2) => A = B = 22n-1 Giải phương trình : Bài 4: x −1 x −2 x −3 x −9 x −10 C + C x + C x + .... + C x + C x = 1023 x Ta có: x −1 x −2 x −3 x −9 x −10 C + C x + C x + .... + C x + C x = 1023 x 1 2 3 9 10 ⇔ C x + C x + C x + .... + C x + C x = 1023
  4. Nhóm 8 10 ⇔ ∑ C x = 1023 k k =1 10 ⇔ ∑ C x = 1023 + 1 = 210 k k =0 10 10 ⇔ ∑ C x = ∑ C10 k k k =0 k =o ( ) 10 ⇔ ∑ C x − C10 = 0 ⇔ x = 10 k k k =0 Bài 5: Tìm số hạng thứ 13 của khai triển ( 3 3 + 2 ) 15 3 12  1  1 12 Số hạng thứ 13 là : C15  3 3  . 2 2  = 455.3.2 6     1 13 Bài 6: Tìm số hạng thứ 5 của khai triển ( z - ) . Số hạng nào chứ z với số 3 z mũ tự nhiên? 4  1 4 4 C13 .z . − 3 z  = C13 .3 z = 7553 z Số hạng thứ 5 là: 9 23 23   1 i C 3 z13-i(- z Số hạng tổng quát thứ i+1: i 13 ) i 4i i i C C 3 3 i 13 – I - i 13 - z z 13 13 =( -1) = (-1) 39 − 4i ∈N Số hạng chứa z với số mũ tự nhiên khi: 13 - 4i/3 = 3 ⇒ i = 0; 3;6;9. Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ 1,4,7,10. Viết lại P(x) = (1+ x) + 2(1+ x)2 +.....+ 20(1+ x)20 dưới dạng Bài 7 : P(x) = a0 + a1x1 +.....+ a20x20. Tìm a9. Ta có: P(x) = (1+1) + 2(1+x)2 +....+ 20(1+x)20 = (1 + x ) + 2(1 + x ) + ..... + 8(1 + x ) + 9(1 + x ) + ...... + 20(1 + x ) 2 8 9 20 9 20 = (1 + x ) + 2(1 + x ) + ..... + 8(1 + x ) + 9∑ C 9 x i + ..... + 20∑ C 20 x i i i 2 8 i =0 i =0 Do đó hệ số của a9 là: 9 9 9 9 9 9 9 9 a 9 = 9 C 9 + 10 C10 + 11C11 + 12 C12 + 13 C13 + 14 C14 + 15 C15 + 16 C16 9 9 9 9 + 17 C17 + 18 C18 + 19 C19 + 20 C 20
  5. Nhóm 8 n   − 28 Bài 8: Trong khai triển  x 3 x + x 15  hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết:     n −1 n −2 n C +C + C n = 79 n n Ta có: n −1 n −2 n C +C + C n = 79 n n n ( n − 1) ⇔ 1+ n + = 79 2 ⇔ 2 + 2n + n 2 − n = 158 ⇔ n 2 + n − 156 = 0 n = 12 n = −13( L )  12 −k 12 k 3  k  3  −15  − 28 4 28 12 Ta có:  x x + x  = ∑ C12  x  15  . x           k =0 48 k − 240 12 = ∑ C12x k 15 k =0 Để số hạng không phụ thuộc x 48k − 240 ⇔ =0 15 ⇔k =5 5 C = 729 Vậy số hạng không phụ thuộc x là 12 Biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển (x2 +1)n bằng 1024. Bài 9: Hãy tìm hệ số a ∈ N của số hạng ax12 trong khai triển. Ta có: f ( x ) = ( x 2 + 1) = ∑ C n ( x 2 ) n n = ∑ C n x 2 ( n −1) n −1 n i i i =0 i =0 Tổng tất cả các hệ số của khai triển là: n = 1024 ⇒ f (1) = 2 n = 1024 ⇔ n = 10 ∑C i n i =0 4 C = 210 Vậy hệ số của x12 trong khai triển bằng 10
  6. Nhóm 8 n  1 Cho biết ba hạng tử đầu tiên của khai triển  x − 4  có các hệ là Bài 10:  2 x 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng. Tìm tất cả các hạng tử h ửu tỷ của khai triển trên. n −1 n i n 1 − i 2  −1 − 1  2 n −3i 1 1  1 n n  x − 4  =  x + 2 .x  = ∑ C n  x  . 2 x  = ∑ C n 2 x 4 i −i 4 4 −1 2     2 x      i =0 i =0 Do đó, ba hạng tử đầu tiên của khai triển có các hệ số là 0 1 2 2 n −1 , C n 2 −2. C ,Cn n Ba số hạng trên theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi: n ( n − 1) 0 2 1 2 −2 = 2 C n 2 n −1 ⇔ 1 + C +C =n n n 8 n = 1 ⇔ n 2 − 9n + 8 = 0 ⇔  n = 8 Với n=1, ta được:  1  x − 4  , nó không có hạng tử hửu tỉ.  2 x Với n=8, ta được: n 16− 3i  1 8  x − 4  = ∑ C 82 x i −i 4  2 x i =0 Số hạng thứ i + 1 là hửu tỉ khi và chỉ khi: i = 0 16 − 3i ∈ N ⇔ 16 ≥ 3i ⇔  i = 4 4 4 C 20 x 4 = x 4 Với i=0, ta được hạng tử thứ nhất là: 8 35 4 x 2 −4 = C Với i=4, ta được hạng tử thứ năm là: x 8 8 Bài 11: Tìm hệ số của x101 y 99 trong khai triển ( 2 x − 3 y ) 200 Ta có:: 200 200 ( 2 x − 3 y ) 200 = ∑ ( 2 x ) k ( − 3 y ) 200−k C k200 = ∑ 2 k ( − 3) 200−k C k200x k y 200−k k =0 k =0 Hệ số của x y là : 2 ( − 3) C 200 101 99 101 99 101 Bài 12 : Tìm hệ số của x 5 y 8 trong khai triển ( x + y ) 13
  7. Nhóm 8 Ta có: 13 ( x + y ) 13 = ∑ C13x k y 13−k k k =0 5 Hệ số của x5y8 là : C13 = 1287 Bài 13: Tìm hệ số của x9 trong khai triển (2- x)19 19 Ta có: ( 2 − x ) = ∑ C19.( 2 ) .( − x ) 19 − k k 19 k k =0 Hệ số của x9 ứng với k = 9. Vậy hệ số của x9 là: 210.( − 1) = − C19 .210 9 9 9 C 19 Bài 14: Tìm hệ số của x7 trong khai triển (3- 2x)15 15 Ta có: ( 3 − 2 x ) = ∑ C15.( 3) .( − 2 x ) 15− k k 15 k k =0 Hệ số của x7 ứng với k = 7. .38.( − 2 ) = − C15 .2 7.38 7 7 7 C Vậy hệ số của x9 là: 15 Bài 15 : Tìm hệ số của x25y10 trong khai triển (x3 + xy)15. Ta có : (x + xy ) = ∑ C15( x 3 ) 15 15 ( xy ) i = ∑ C15 x 3( 15−i ) +i . y i 15−i 15 i i 3 i −0 i =0 15 = ∑ C15 x 45−2i . y i i i =0 10 i = 10 ⇒ C15 . x 25 . y 10 10 C = 3003 Vậy hệ số của x25y10 là : 15 n trong khai triển 1 −  là 31. Tìm n. 1 Bài 16 : Biết hệ số của x n-2    4 n i  1  1 n x −  = ∑ C n x n −i  −  i  4  4  i =0
  8. Nhóm 8 2  1 21 2 i = 2 ⇒ C n x n −2  −  ⇒ C n = 31  4 16 n ( n − 1) n! ⇔ = 496 ⇔ = 31 ( n − 2 )!2! 2! Với ⇔ n2 − n − 6 = 0 ⇔ n 2 − n − 992 = 0 n = 32 ⇒ n = −31( L ) Vậy n = 32 Bài 17 : Biết hệ số của x2 trong khai triển (1- 3x)n là 90. Tìm n. n (1 − 3x ) n = ∑ C in (1) n −i ( − 3x ) i i =0 C ( − 3x ) 2 2 => Số hạng chứa x2 là : n Hệ số của x2 trong khai triển (1- 3x)n C ( − 3) 2 2 = 90 => n n! ⇔ = 10 ⇔ n 2 − n = 20 ( n − 2 )!2! n = 5 ⇔ n = −4(l ) Vậy n = 5 8 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  x 3 −  1 Bài 18 :   x  Ta có : 8 i  x −  = ∑ C 8( x )  −  3 1 3 8 −i  1 8 8 8  = ( − 1) ∑ C 8 x x = ( − 1) ∑ C 8 x 24−4i i i 24 −3i −i i i x x   i =0 i =0 i =0 Số hạng không phụ thộc x thảo mãn : 24 – 4i = 0 <=> i = 6 Số hạng không phụ thuộc x là: ( − 1) 6 C 8 = C 8 = 28 6 6 Với n là số nguyên dương. CMR: Bài 19: 1+ 4C 1n + 4 2 C 2 + …+ 4 n−1 C n−1 + 4 n C n = 5 n n n n Chứng minh:
  9. Nhóm 8 2 n Ta có khai triển (1+x) = 1 + C x + C x +…+ C x 1 n 2 n n n n Với x = 4 ta có: (1+x) n = 5 n = 1+ 4C 1n + 4 2 C 2 + …+ 4 n −1 C n−1 + 4 n C n n n n (đpcm). Bài 20: Với n là số nguyên dương. CMR: 0 2 3 1 a) C n + C n + …= C n + C n +… = 2 n −1 Chứng minh 1: C 0 + C 2 + …= C 1n + C 3 +… n n n ⇔ C n - C n + C n - C n +…-1 n C n = 0 (1) 0 2 3 1 n Ta có khai triển (1+x) = 1 + C n x + C 2 x 2 +…+ C n x n 1 n n n Với x = -1, ta có: (1+x) = 0 = C n - C n + C n - C n +…+(-1) n C n (2) 0 2 3 1 n n 0 2 3 1 Từ (1) và (2) suy ra: C n + C n + …= C n + C n +… (3) Chứng minh 2: Mặt khác: với x = 1, ta có: (1+x) n = C 0 + C 1n x + C 2 x 2 +…+ C n x n = 2 n n n n Mà C n + C n + C n +…= C n + C n + C 5 +… 0 2 4 3 1 n Nên C n + C n + C n +…= C n + C n + C 5 +…= 2 n−1 (4) 0 2 4 3 1 n Bài 21: Với n là số nguyên dương. CMR: 1 2 n 2 n =1 − 1 C C C 0 a) C n + n + n + ... + n = 1+1 1+ 2 1+ n 1+ n 1 2 n C C C 1 b) C n 0 − n + n − ... + ( − 1) n n = 1+1 1+ 2 1+ n 1+ n Giải a) 1 2 n 2 n +1 − 1 C C C 0 + n + n + ... + n = CMR : C n 1+1 1+ 2 1+ n 1+ n n +1 n +1 ∑ C n+1 + C n+1 − 1 ∑C k 0 k −1 k +1 n +1 k k 2 n +1 − 1 n +1 C C C n n VT = ∑ n = ∑ n +1 = ∑ n +1 = = = k =1 k =0 k =0 1 + k k =0 1 + n k =1 1 + n 1+ n 1+ n 1+ n b) 1 2 n C C n Cn 1 − n + n − ... + ( − 1) 0 = CC n 1+1 1+ 2 1+ n 1+ n  n +1 0 1 −  ∑ ( − 1) C n +1 + ( − 1) C n +1  k k 0 ( − 1) n C n k ( − 1) k +1 C n+1 k +1 ( − 1) k C n+1 k n +1 n n  k =1  VT = ∑ = −∑ = −∑ = 1+ k 1+ n 1+ n 1+ n k =0 k =0 k =1 n +1 1 − ∑ ( − 1) C n +1 k k 1 = = k =0 1+ n 1+ n
  10. Nhóm 8 ( ) 11 2 3 n C n + 2C n + 3C n + ... + nC n ≤ n! Bài 22: Với n là số nguyên dương. CMR: n n ∑ kC k n n −1 n = ∑ C n −1 = ∑ C n −1 = 2 n −1 k −1 k VT = k =1 n k =1 k =0 -với n=1: 21−1 = 1 = 1! -với n=2 2 2−1 = 2 = 2! -với n>2 VT = 2 n −1 < n! ( ) 11 2 3 n ⇒ ∀n ∈ R + thì C n + 2C n + 3C n + ... + nC n ≤ n! n 1 Bài 23: CMR nếu a +b = 1 thì với mọi số tự nhiên n ta có: a n + b n ≥ 2 n −1 Ta có:  1 a = 2 + x  a +b =1⇔  b = 1 − x   2 Suy ra: n n C k ( −1) k x k Ck xk n n 1  1  a + b =  + x  +  − x  = ∑ n −k + ∑ n n −k n n n 2  2 k =0 2 2  k =0 C 2 x2 C 4 x4 1 1 = n −1 + nn −3 + nn −5 + ... ≥ n −1 2 2 2 2 n Bài 24: Với n là số nguyên dương lớn hơn 1.CMR: 2 < 1 +  < 3 1    n Với mọi x, và với n là số nguyên dương ta được ta có: n (1 + x ) n = ∑ C knx k k =0 1 Thay: x = vào, ta được: n n k  1 n Cn =∑ k 1 +   n k =0 n Ta có:
  11. Nhóm 8 1 C n k 1  1 Cn  > ∑ k = Cn + n = 1 + 1 = 2 0 1 +  n n n k =0 Với: k >2: k C n! 1 1 1 1 = ≤≤ = − n n k! ( n − k )! k! ( k − 1) k k − 1 k k k n Với : 2, n , ta được: 2 C 1 ≤1− n 2 n 2 3 C 11 ≤ − n 3 n 23 .... n C 1 1 = − n n −1 n n n 1 C n Cnk n  1 1  = Cn + n + ∑ k < 2 + 1 − < 3 0 1 + n n k =2 n n 
Đồng bộ tài khoản