NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG COSI

Chia sẻ: trung9898

TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG COSI

Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn


NH NG BÀI TOÁN B T NG TH C CƠ B N TRONG COSI.


1
Cho n nguyên và n ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t c a A = x +
xn

Gi i:
n
x x x 1 x  1 n +1
A = + + ... + + n ≥ (n + 1)n +1   n ≥
n n n x n +1 n
n  x n
x
n so
n

x 1
D u ng th c x y ra khi = n ⇔ x = n +1 n
n x
n +1
Giá tr nh nh t c a A =
n +1
nn

1
Cho n nguyên và n ≥ 2 và x ≥ k > n +1 n . Tìm giá tr nh nh t c a A = x +
xn

Gi i:
n +1
V i x ≥k > n
1 1  1 1  1 1 1 1 
f (x ) ≥ f (k ) ⇔ x + n
−k −
≥ 0 ⇔ x − k +  −   n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1  ≥ 0
n
x k x k x x k x k k 
 1  1 1 1 1 
⇔ (x − k ) 1 −  n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1   ≥ 0
 xk  x x k x k k 
(x − k )   1 1 1 1 
⇔ xk −  n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1   ≥ 0
xk  x x k x k k 
1 1 1 1 n n
Ta có: n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1 ≤ n −1 < = n +1 n 2 < xk
x x k x k k k n +1 n −1
n

Suy ra f (x ) ≥ f (k ) úng v i m i x ≥ k > n +1 n
1
Giá tr nh nh t c a A = k + khi x = k .
kn

Cách 2 :
n
x x 1 nx x  1  n
Nháp : A = + ... + + n +x − ≥ (n + 1)n +1   n + x  1 − 
m m x m m  x  m
x
n so ,m > 0
m
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

x = k
 n +1
Ta ch n m sao cho:  x 1 ⇒m =x = k n +1
m = n
 x
n
x x 1 nx  x  1  n 
Bài gi i: A = + ... + + n + x − n +1 ≥ (n + 1)n +1  n +1  n + x  1 − n +1 
k n +1 k n +1 x k k  x  k 
x
n so
kn +1

(n + 1)  n  1
Vì x ≥ k > n +1 n nên n < k n +1 suy ra: A ≥ n
+ k  1 − n +1  = k + n = f (k )
k  k  k



Cho hai s th c x ≠ 0, y ≠ 0 thay ( )
i và th a mãn i u ki n: x + y xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm giá tr l n nh t
1 1
c a bi u th c : A = 3
+
x y3
thi i h c kh i A năm 2006

Gi i:
( )
Xét x + y xy = x + y − xy * . 2 2
()
1 1
tu= ,v = .
x y
1 1 1 1 1 3(u + v )2
( )
2
Ta ư c + = 2 + 2 − ⇒ u + v = u 2 + v 2 − uv ⇒ u + v − (u + v ) = 3uv ≤ .
x y x y xy 4

( )
2
⇒ u +v − 4(u + v ) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ u + v ≤ 4
x 3 + y3 (x + y )(x 2 + y 2 − xy ) (x + y )(x + y )xy x 2 + y 2 + 2xy
Khi ó : A = = = =
x 3y 3 x 3y 3 x 3y 3 x 2y 2
1 1 2
⇒A= 2 + 2 + = (u + v )2 ≤ 16 .
x y xy
1
D u ng th c x y ra khi u = v = 2 hay x = y = .
2

Cho x , y, z là 3 s th c dương thay i . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
x 1  y 1  z 1 
P = x + +y + +z + 
 2 yz   2 zx   2 xy 
thi i h c kh i B năm 2007

Gi i:

x 1  y 1  z 1  x 2 y2 z 2 x y z
P = x +  +y +  +z + = + + + + +
 2 yz   2 zx   2 xy  2 2 2 yz zx xy
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

1 1  1 2 2  1 
(
P = x 2 + y2 + z 2  + )
 = x + y + z 1 +
 2 xyz  2
2


1
(
+ 
xyz xyz 
)
1 3 2 2 2 1 9
P ≥ 9 x y z .3 2 2 2 = .
2 x yz 2
ng th c x y ra khi x = y = z = 1 .
9
V y giá tr nh nh t c a bi u th c P =
2


thi i h c kh i A năm 2009



Cho x , y, z là các s th c dương thay i và tho mãn i u ki n x .y.z = 1 .Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

P =
(
x2 y + z ) +
(
y2 z + x ) +
(
z2 x + y )
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y
thi i h c kh i A năm 2007

Gi i:
2x x xyz 2y y xyz 2z z xyz 2x x 2y y 2z z
P ≥ + + ≥ + +
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y
 1
a = y y + 2z z x x = (−2a + 4b + c )
 9

  1
t: b = z z + 2x x ⇒ y y = (a − 2b + 4c )
  9
c = x x + 2y y 1
z z = (4a + b − 2c)


 9

2  −2a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c  2  b a c  c a b  
Khi ó: P ≥  + +  ≥  −6 + 4  + +  +  + +   .
9  
a b c  9 a c b  a b c  
2
Hay P ≥
9
(
−6 + 4.3 + 3 = 2 . )
V y giá tr nh nh t c a bi u th c c a P = 2 khi a = b = c = 1 .


Cho các s th c không âm x , y thay i và th a mãn x + y = 1 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a
( )(
bi u th c S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy . )
thi Cao ng kh i B năm 2009

Gi i:
Nh n xét: vai trò gi ng nhau ( i x ng) c a x , y .
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

( )
S = 12 x 3 + y 3 + 16x 2y 2 + 34xy = 12 x + y x 2 + y 2 − xy + 16x 2y 2 + 34xy ( )( )
2
 1  191
Hay S = 12 x + y  x + y ( )( ) − 3xy  + 16x 2y 2 + 34xy =  4xy −  +
2
 
   4 16
2
x +y  1
Vì x , y không âm và th a mãn x + y = 1 suy ra 0 ≤ xy ≤   =
 2  4
2
1 1 3  1  191 25
⇒ − ≤ 4xy − ≤ ⇒ 0 ≤  4xy −  + ≤ .
4 4 4  4 16 2
25 1
V y giá tr l n nh t c a S = khi x = y = và giá tr nh nh t c a S = 0 khi x = 0, y = 1 .
2 2


( )
3
Cho các s th c x , y thay i và th a mãn x + y + 4xy ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

(
A = 3 x 4 + y 4 + x 2y 2 − 2 x 2 + y 2 + 1 ) ( )
thi i h c kh i B năm 2009

Gi i:


(x + y ) + 4xy ≥ 2 
3

( ) + (x + y )
3 2
⇒ x +y ≥2⇒x +y ≥1 .
(x + y )
2
≥ 4xy 


( 3
A = 3 x 4 + y 4 + x 2y 2 − 2 x 2 + y 2 + 1 = ) (
) 2 (x + y + x + y + 2x y ) − 2 (x + y ) + 1 4 4 4 4 2 2 2 2




A = (x + y ) + (x + y ) − 2 ( x + y ) + 1
3 3 4 4 2 2
2
2 2

2 2
Mà x + y = ( x + y ) − 2x y ≥ ( x + y ) − ( x + y ) ⇒ x + y ≥ ( x + y )
4 4 2 2
2 1 2 2 2 2
2
4 4 4 4 2 2
2

2
Khi ó A ≥ ( x + y ) + ( x + y ) − 2 ( x + y ) + 1 hay A ≥ ( x + y ) − 2 ( x + y ) + 1
3 3 2 2 9
2
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2

4 2 4
(x + y )2 1
( ) 9 1
2
t t = x 2 + y2 ,t ≥ ≥ ⇒ A ≥ t 2 – 2t + 1,t ≥ .
2 2 4 2
1 
Xét hàm s f t = () 9 2
nh và liên t c trên n a kho ng  ; +∞  .
t – 2t + 1 xác
4 2 
1 
9
()
9 1
Ta có f ' t = t – 2 ≥ − 1 > 0 , t ≥ ⇒ f t ng bi n trên n a kho ng  ; +∞  . ()
2 4 2 2 
1 9 1
Khi ó min A = min f t = f   = . () ng th c x y ra khi t =
1 
t∈ ;+∞   2  16 2
2 


I M RƠI TRONG B T D NG TH C COSI
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn


Bài toán m u : Cho a, b > 0 và th a mãn a + b ≤ 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
1 1
P = + .
1 + a 2 + b2 2ab

Gi i:
1 1 4 4 4
L i gi i 1. Ta có: P = + ≥ 2 = ≥ =2
1+a +b
2 2
2ab a + 2ab + b + 1 (a + b) + 1 2
2 2



1 + a + b = 2ab
2 2 
(a − b ) + 1 = 0
2
D u " = " x y ra ⇔  ⇔ . H vô nghi m. V y không t n t i min P .
a + b = 1
 a + b = 1


1 1 1 4 1 4 1
L i gi i 2. Ta có: P = + + ≥ 2 + = +
1+a +b
2 2
6ab 3ab a + 6ab + b + 1 3ab (a + b) + 1 + 4ab 3ab
2 2

2
a + b  1 4 1 8
M t khác ab ≤   = .V y P ≥ 2
+ 2
≥ .
 2  4 a + b  a + b  3
2+  6 
 2   2 
1 + a 2 + b 2 = 3ab
 1
D u " = " x y ra ⇔ a = b ⇔a =b = .
a + b = 1 2

1 1 4
L i bình: l i gi i 1. và l i gi i 2 g n như tương t nhau, cùng áp d ng b t + ≥ ng th c
. T i sao
a b a +b
1 1 1
trong cùng m t bài toán mà có n hai áp s ? Do âu mà l i gi i 2 t i sao l i tách = + ?. ó
2ab 6ab 3ab
chính là k thu t ch n i m rơi trong b t ng th c.

Các b t ng th c trong các thi i h c thông thư ng là i x ng v i các bi n và ta d oán d u b ng x y
ta khi các bi n b ng nhau và x y ra t i biên.

1 1
Cho a, b > 0 và th a mãn a + b ≤ 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + + 4ab .
a +b
2 2
ab

Gi i:
1
Do P là bi u th c i x ng v i a, b , ta d oán min P tt i a =b = .
2
1 1  1  1 4 1 1
Ta có: P = + +  4ab + + ≥ + 2 4ab. + ≥7
a 2 + b2 2ab  4ab  4ab (a + b)2
2ab a + b 
2

4 
 2 
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

a 2 + b 2 = 2ab

 1 1
D u " = " x y ra ⇔ a 2b 2 = ⇔a =b = .
 16 2
a +b = 1

1
V y giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 tt i a =b = .
2
Thao kh o hai l i gi i khác :
L i gi i 1:
1 1  1  1 4 1 1 1 1
P = + +  4ab + + ≥ 2 4ab. + ≥ 4+2+ =6+
a +b ( )
2 2 2
ab  4ab  4ab a +b 2ab 4ab 4ab 4ab

a 2 + b 2 = 2ab

 1 1 1
D u " = " x y ra ⇔ a 2b 2 = ⇔ a = b = . Thay a = b = vào ta ư c P ≥ 7 .
 16 2 2
a +b = 1

1
V y giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 t t i a = b = .
2
L i bình 1:
1
Qua cách gi i trên ta ã ch n úng d u ng th c x y ra khi a = b = nên d n n vi c tách các s h ng và
2
1
giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 t t i a = b = là úng , nhưng bư c cu i cùng ta ã làm sai , ví d
2
(1 − a + a ≥ a , ng th c x y ra khi a = 1 ⇒ min  1 − a + a  = a ?.
) ( )
2 2

 

L i gi i 2:
1 1 1 4 1 4  1 
P = 2 + + + 4ab ≥ 2 + + 4ab = + + 4ab  .
a + b 2 2ab 2ab a + b 2 + 2ab 2ab ( )
2
a +b  2ab 

M t khác
1
2ab
+ 4ab ≥ 2
1
2ab
.4ab = 2 2 . V y P ≥ 4 + 2 2 ⇒ min P = 2 2 + 2 ( )
L i bình 2:
1 1 1
Tho t nhìn th y bài toán ã gi i úng . Th c t thì sao? . Vi c tách = + làm xu t hi n ng
ab 2ab 2ab
( )
2
th c a 2 + b 2 + 2ab = a + b .
a = b

(  1
min P = 2 2 + 2 ⇔ 
 2ab
)
= 4ab . H vô nghi m. ng th c không x y ra , do ó không t n t i min P .

a + b = 1


3
Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c ≤ . Ch ng minh r ng :
2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

1 1 1 15
1. a + b + c + + + ≥ .
a b c 2
1 1 1 3 17
2. a 2 + 2
+ b2 + 2 + c2 + 2 ≥ .
a b c 2
1 1 1 3 17
3. a 2 + + b2 + + c2 + ≥ .
b2 c2 a2 2

Gi i:
1 1 1 15
1. a + b + c + + + ≥
a b c 2
1 1 1 1 1
Ta có th ph m sai l m: a + b + c + + + ≥ 3 3 abc + 3 ≥6 3
abc . =6
a b c 3
abc 3
abc
3
D u ng th c x y ra khi a = b = c = 1 nhưng khi ó a + b + c = 3 > ( trái gi thi t ) .
2
Phân tích bài toán :
3
T gi thi t a,b,c dương tho mãn a + b + c ≤ , g i ý hư ng gi i b t ng th c trung bình c ng, trung
2
3 1 1
bình nhân. ≥ a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ . t: x = 3 abc ≤
2 2 2
1 1 1 1  1 1
Khi ó : a + b + c + + + ≥ 3 3 abc + 3 = 3  x +  . D oán ng th c x y ra khi x =
a b c 3
abc  x 2
 1
x =

Ta ch n α > 0 sao cho:  2 ⇒ α = x2 = 1 .
x = 1 4
α x

Bài gi i:
1 1 1  1  1  1 9 15
a +b +c + + + ≥ 3  x +  ≥ 3  4x + − 3x  ≥ 3.2 4x . − 9x = 12 − =
a b c  x  x  x 2 2
1
ng th c x y ra khi a = b = c = .
2
1 1 1 3 17
2. a 2 + 2
+ b2 + 2 + c2 + 2 ≥ .
a b c 2
Phân tích bài toán :
3
T gi thi t a,b,c dương tho mãn a + b + c ≤ , g i ý hư ng gi i b t ng th c trung bình c ng, trung
2
3 1 1 1
bình nhân. ≥ a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ . t: x = 3 abc ≤ , ng th c x y ra khi x = .
2 2 2 2
 1
1 x =
 1
Xét x 2 + 2 , ch n α > 0 sao cho:  2 ⇒ α = 4 = 16 .
x x 2 = 1 x

 αx 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

1
Áp d ng b t ng th c trung bình c ng, trung bình nhân cho 17 s , trong ó 16 s là 2
và s x 2 :
16x
−15
16
1  1 
1 1 17x 17
x + 2 = x + 16.
2
2
2
≥ 17 x  2 
17 2
⇒ x2 + 2
≥ 32
.
x 16x  16x  x 17
2
−15 −15 −15
1 17a 17
1 17b 17
1 17c 17
⇒ a2 + ≥ ; b2 + ≥ ; c2 + ≥
a2 32
b2 32
c2 32
2 17
2 17
2 17
1

17  17  17  17 17 17  3
−15 −15 −15 −15 −15 −15
1 1 1
⇒ a + 2 + b + 2 + c + 2 ≥ 32  a + b + c  ≥ 32 .3  a b c 
2 2 2 17 17

a b c    
2 17   2 17  
−5 15
2

a
1
b
1
c
1
a + 2 + b 2 + 2 + c 2 + 2 ≥ 32 abc
3 17
( ) 17

3 17
32
.2 17
=
3 17
2
.
2 17 2 17

1
ng th c x y ra khi a = b = c = .
2
Cách khác :
 1  1  1
Ch n : u =  a;  , v = b;  , w =  c; 
 a  b  c
Dùng b t ng th c vecto u + v + w ≥ u + v + w
2
1 1 1
1 1 1
(a + b + c ) 1
2
a + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥
2
+ + +  ≥3 3
(abc)2 +
a b c a b c  3
(abc )2
2

( ) a + b + c 
2
1
Tương t trên , ta tx = 3
abc ≤  ≤ .
 3  4

1 1 1 1 1 15 x 1 15
a2 + + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ 3 x + = 3 x + + ≥3 2 . +
a2 b c x 16x 16x 16 x 16x
1 1 1 1 15 1 15 3 17
a2 + 2
+ b2 + 2 + c2 + 2 ≥ 3 + ≥3 + = .
a b c 2 16x 2 4 2
1
ng th c x y ra khi a = b = c = .
2

1 1 1 3 17
3. a 2 + 2
+ b2 + 2
+ c2 + 2
≥ .
b c a 2
 1
1 x = y =

Tương t trên . Xét x 2 + 2 , ch n α > 0 sao cho:  2 ⇒ α = 1 = 16
y 1 x 2y 2
x 2 =

 αy2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

1
Áp d ng b t ng th c trung bình c ng, trung bình nhân cho 17 s , trong ó 16 s là 2
và s x 2 :
16y
1 −16
16
1 1  1  1 17x 17 y 17
x 2 + 2 = x 2 + 16. 2
≥ 1717 x 2  2 
⇒ x2 + 2 ≥ 32
.
y 16y  16y  y
2 17

1 −16 1 −16 1 −16
1 17a b17 17
1 17b c 17 17
1 17c a17 17
⇒ a2 + ≥ ; b2 + ≥ ; c2 + ≥
b2 32
c2 32
a2 32
2 17
2 17
2 17
17  17 17
1 −16 1 −16 1 −16  −5 15
1 1 1 3 17 3 17 3 17
a + 2 + b + 2 + c + 2 ≥ 32  a b + b
2

b c
2

a
2

17 c 17 +c 17 a 17
 ≥ 32 abc
 ( ) 17 ≥ 32
2 17 =
2
2 17   2 17 2 17

1
ng th c x y ra khi a = b = c = .
2




1 1 1
Cho x , y, z > 0 và th a mãn+ + = 4 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
x y z
1 1 1
P = + +
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
thi i h c kh i D năm 2007

Gi i:




 2005 + b 2005 ≤ 1
a
Cho các s không âm a, b, x , y th a các i u ki n  2005 . Ch ng minh r ng :
x + y 2005 ≤ 1

a 1975 .x 30 + b1975 .y 30 ≤ 1
Toán tu i thơ 2 – s 27

Gi i:

Nh n xét : Các a th c tham gia trong bài toán cùng b c 2005 = 1975 + 30 , ng th i s mũ c a các bi n
tương ng b ng nhau.
2005 2005
Áp d ng b t ng th c trung bình c ng , trung bình nhân cho 1975 s a và 30 s x
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

1975.a 2005 + 30.x 2005
(a ) . (x ) ()
1975 30
≥ 2005 2005 2005
= a 1975 .x 30 1
(1975 + 30 )
1975.b 2005 + 30.y 2005
(b ) . (y ) ()
1975 30
Tương t ≥ 2005 2005 2005
= b 1975 .y 30 2
(1975 + 30 )
T (1) và (2 ) suy ra 1975. (a 2005
) ( ) (
+ b 2005 + 30. x 2005 + y 2005 ≥ 2005. a 1975 .x 30 + b 1975 .y 30 ) (3)
a 2005 + b 2005 ≤ 1

T  2005
+y 2005
≤1
(
⇒ 2005 ≥ 1975. a 2005 + b 2005 + 30. x 2005 + y 2005 ) ( ) (4)
x

T ( 3 ) và ( 4 ) suy ra 2005 ≥ 2005. (a 1975
)
.x 30 + b 1975 .y 30 ⇒ a 1975 .x 30 + b 1975 .y 30 ≤ 1

D u ng th c x y ra khi a 1975 = x 30 , b1975 = y 30 .
a m +n + b m +n ≤ 1

T ng quát : Cho các s không âm a, b, x , y th a các i u ki n  m +n . Ch ng minh r ng :
x + y m +n ≤ 1

a m .x n + b m .y n ≤ 1 .

Cho x , y, z là các s dương th a mãn i u ki n: x 2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
xy yz zx
A= + + .
z x y

Gi i:


2 2 2
 xy   yz   zx 
Ta có : A =   +   +   + 2 y 2 + z 2 + x 2 .
2

 z  x  y 
( )
Áp d ng b t ng th c: x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx
Ta ư c: A2 ≥ (y 2 + z 2 + x 2 ) + 2(y 2 + z 2 + x 2 ) = 3(y 2 + z 2 + x 2 ) = 3.
xy yz xz 1
ng th c x y ra ⇔ = = ⇒x =y =z = .
z x y 3
1
V y min A = 3 t ư c khi x = y = z = .
3


Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh r ng :
a b c 3 3
+ 2 + 2 2 ≥ .
b +c c +a
2
2 2
a +b 2
Phân tích bài toán :
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

• Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a 2 + b 2 + c 2 = 1 , v y ta có th suy ra
0 < a ≤ b ≤ c < 1 hay không?. Như v y i u ki n a,b,c không chính xác vì d u ng th c ch x y ra khi
0 < a = b = c
  1 
 2 ⇒ a,b,c ∈  0; .
a + b2 + c2 = 1  3

• Ta th y m i liên h gì c a bài toán ?. D th y a 2 + b 2 + c 2 = 1 và b 2 + c 2 , c 2 + a 2 , a 2 + b 2 . G i ý ta ưa
a b c 3 3
bài toán v d ng c n ch ng minh : + + ≥
1−a 2
1 −b 2
1−c 2
2
• Vì vai trò a,b,c như nhau và 2 ý phân tích trên g i ý ta ưa n cách phân tích
 a 3 2
 ≥ a
 1−a 2
2
3 3 2 2 2  b
1−a
a
2
+
b
1 −b 2
+
c
1−c 2

2
(a + b + c ) và c n ch ng minh 1 − b2 ≥ 23 b2 .


 c 3 2
 ≥ c
1 − c
2
 2
• Ta th i tìm l i gi i :
a 3 2 1 3 3 2 4 8
≥ a ⇔ ≥ a⇔ ≥ a(1 − a 2 ) ⇔ ≥ a 2(1 − a 2 )2 ⇔ ≥ 2a 2(1 − a 2 )2
1−a 2
2 1−a 2
2 3 3 27 27

2a 2(1 − a 2 )2 = 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 )

D th y  2
2a + (1 − a ) + (1 − a ) = 2
2 2

Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân
2 = 2a 2 + (1 − a 2 ) + (1 − a 2 ) ≥ 3 3 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 )
2 8
⇒ ≥ 3 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 ) ⇔ ≥ 2a 2(1 − a 2 )2
3 27
Tương t cho các trư ng h p còn l i.
Gi i :

a3 b3 c3 1
Cho 3 s th c dương a,b,c . Ch ng minh r ng : + + ≥ (a + b + c )
b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) 2
Phân tích bài toán :
• ng th c c n ch ng minh ưa v d ng :
a3 b3 c3
+ m (a + c ) + nb + + k (b + a ) + pc + + i (b + c ) + ja ≥ 0 .
b (c + a ) c (a + b ) a (b + c )

• Gi s 0 < a ≤ b ≤ c . D oán ng th c x y ra khi a = b = c .
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

a3
T ó g i m hư ng gi i : + m (a + c ) + nb ≥ 3 3 mna . ng th c x y ra khi
b (c + a )
 a3 m = 1
 = m (a + c ) = nb a 3  4
b (c + a ) ⇔ = m (a + a ) = na ⇔ 
a = b = c a (a + a ) n = 1
  2
Tương t cho các trư ng h p khác .

Gi i :
a3 1 1 3 a3 1 1
+ b + (c + a ) ≥ a . ng th c x y ra khi: = b = (c + a ) .
b (c + a ) 2 4 2 b (c + a ) 2 4
3 3
b 1 1 3 b 1 1
+ c + (b + a ) ≥ b . ng th c x y ra khi: = c = (b + a ) .
c (a + b ) 2 4 2 c (a + b ) 2 4
c3 1 1 3 c3 1 1
+ a + (b + c ) ≥ c . ng th c x y ra khi: = a = (b + c ) .
a (b + c ) 2 4 2 a (b + c ) 2 4
3 3 3
a b c 1
C ng v theo v ta ư c : + + ≥ (a + b + c ) . D u ng th c x y ra khi :
b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) 2
a =b =c > 0

Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a +b +c = 1 . Ch ng minh r ng :
7
a. a +1 + b +1 + c +1
0 , ta luôn có : ma + ≥2 m.
a
ma = 1
 a ⇔ m = 9.
ng th c x y ra khi : 
a = 1
 3
1 1 1 1 1 1
• Vì th mà T = a + b + c + + + = 9 (a + b + c ) + + + − 8 (a + b + c )
a b b a b b
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn


Gi i :
Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân

9a + 1 ≥ 6
 a

 1
9b + ≥ 6
 b
9c + 1 ≥ 6

 c
1 1 1
⇒ T = 9 (a + b + c ) + + + − 8 (a + b + c ) ≥ 3.6 − 8 (a + b + c ) = 10 ( pcm).
a b b
1
ng th c x y ra khi : a = b = c = .
3
Bài t p tương t
Cho các s th c dương x , y, z và th a mãn mx + ny + pz ≥ d trong ó m, n, p, d ∈ ». Tìm giá tr l n
nh t bi u th c A = ax + by + cz
2 2 2


Hư ng d n : Th c hi n vi c ch n i m rơi : ax = by = cz =
2 2 2
β

Ch ng minh r ng n u xy + yz + zx = 5 thì 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 10

Phân tích bài toán :

• Trư c h t ta ý m i liên h gi a 3x 2,3y 2, z 2, xy, yz, zx cho ta i u gì ?, ph i chăng nh ng h ng ng
2 2
th c có d ng : (ax − by ) ≥ 0 ⇔ (ax )2 + (by ) ≥ 2axby ?.
• Phân tích :
ax 2 + ay 2 ≥ 2axy . ng th c x y ra khi x = y
by 2 + cz 2 ≥ 2 bcyz . ng th c x y ra khi by 2 = cz 2
cz 2 + bx 2 ≥ 2 cbzx . ng th c x y ra khi cz 2 = bx 2

a + b = 3 a = 1
 
 
Bây gi ta ch n a,b,c sao cho : 2c = 1 ⇔ b = 2
 
a = bc
 c = 1

 2
Gi i :
x 2 + y 2 ≥ 2xy . ng th c x y ra khi x = y
1 1
2y 2 + z 2 ≥ 2yz . ng th c x y ra khi 2y 2 = z 2
2 2
1 2 1
z + 2x 2 ≥ 2zx . ng th c x y ra khi z 2 = 2x 2
2 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

C ng v theo v ta ư c : 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 2 (xy + yz + zx ) ⇒ 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 10 ( pcm).
x = y
 1
2y 2 = z 2
 2 x = y = 1

ng th c x y ra khi :  ⇔
1
 z 2 = 2x 2 z = 2

2
xy + yz + zx = 5


47 235
Cho 3 s th c dương x , y, z tho mãn x +y +z = . Ch ng minh r ng : 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥
12 12
Phân tích bài toán :
235
• Trư c h t ta ý m i liên h gi a 3x 2,4y 2,5z 2, x, y, z cho ta i u gì ?, g i ý : 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥
12
ư c bi n i v d ng 3x + m + 4y + n + 5z + p ≥ k , ( 0 < m ≤ n ≤ p ≤ k = const )
2 2 2

• Phân tích :
3x 2 + m ≥ 2 3mx, m > 0 . ng th c x y ra khi 3x 2 = m
4y 2 + n ≥ 2 4ny, n > 0 . ng th c x y ra khi 4y 2 = n
5z 2 + p ≥ 2 5pz, p > 0 . ng th c x y ra khi 5z 2 = p
 5
x = 3
 2 
3x = m y = 5
 2 
4y = n 4
z = 1


Bây gi ta ch n x , y, z sao cho : 5z 2 = p ⇔

 m = 25
 3m = 4n = 5p  3
  25
x + y + z = 47 n =

 12  4
p = 5

Gi i :

25 25 25
3x 2 + ≥ 2 3. x . ng th c x y ra khi 3x 2 = .
3 3 3
25 25 25
4y 2 + ≥ 2 4. y . ng th c x y ra khi 4y 2 = .
4 4 4
5z 2 + 5 ≥ 2 5.5z . ng th c x y ra khi 5z 2 = 5 .
235 235
C ng v theo v ta ư c 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ 10 ( x + y + z ) − = ( pcm).
12 12
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

 5
x = 3

 5
ng th c x y ra khi y = .
 4
z = 1





Cho 3 s th c không âm a,b,c . Ch ng minh r ng : 1 + 3 abc ≤ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c )
Gi i :
1 + 3 abc ≤ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) ⇔ 3
1.1.1 + 3 abc ≤ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c )
1.1.1 abc
⇔ + ≤1
(1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c )
3 3


1.1.1 abc
t:T = +3
(1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c )
3


1 1 1 1  1 a b c 
T≤ 1 + a + 1 + b + 1 + c  + 3 1 + a + 1 + b + 1 + c 
3   
1 a + 1 b + 1 c + 1  1
T≤  + + = .3 = 1
3 1 + a 1 + b 1 + c  3 
D u ng th c x y ra khi a = b = c ≥ 0 .

T ng quát :
(
Ch ng minh r ng v i m i ai ,bi > 0 i = 1, n thì ta luôn có :)
a1a2.......an + n b1b2.......bn ≤ n  a1 + b  (a1 + b2 ) ........ (an + bn )

1
n
 


1 1 1 
Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng :  − 1   − 1   − 1  ≥ 8 .
a  b c 
Gi i :
1 1 1  1 −a  1 −b  1 −c  b + c c + a a +b
VT =  − 1   − 1  − 1  =  . . = a . b . c
a  b c   a   b   c 
AM_GM
2 bc 2 ca 2 ab
VT ≥ . . = 8( pcm)
a b c
T ng quát :
x 1, x 2 , x 3 ,..............., x n > 0

Cho  .
x 1 + x 2 + x 3 + ........ + x n = 1

Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

1  1  1   1 
Ch ng minh r ng :  − 1   − 1   − 1  ........  − 1  ≥ (n − 1)n .
x 
x   
 1   x2   x3   n 


1 1 1 1
Cho 4 s th c dương a,b,c,d tho mãn + + + ≥ 3 . Ch ng minh r ng :
1+a 1 +b 1+c 1 +d
1
abcd ≤ .
81
Gi i :
1  1   1   1  b c d
≥ 1 -  + 1 −  + 1 − = + +
1+a  1+b   1+c   1+d  1+b 1+c 1+d
1 AM _GM bcd
≥ 33
1+a (1 + b ) (1 + c ) (1 + d )
 1 bcd
 ≥3
(1 + b ) (1 + c ) (1 + d )
3
1 + a

 1 ≥ 33
cda
1 + b
 (1 + c ) (1 + d ) (1 + a )
V y: 
 1 dca
1 + c ≥3
(1 + d ) (1 + c )(1 + a )
3


 1 ≥ 33
abc
1 + d
 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c )
1 abcd 1
⇒ ≥ 81 ⇒ abcd ≤
(1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) 81

T ng quát :
x 1, x 2 , x 3 ,............., x n > 0

Cho :  1 1 1 1
1 + x + 1 + x + 1 + x + ......... + 1 + x ≥ n − 1
 1 2 3 n

1
Ch ng minh r ng : x 1x 2x 3 ...........x n ≤ .
(n − 1)n




Bài tương t
Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng :
a b c 3
a. + + ≥ .
1+b 2
1+c 2
1+a 2
2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

a b c 3
b. + + ≥ .
a + b2 b + c2 c + a 2 2
a2 b2 c2
c. + + ≥ 1.
a + 2b 2 b + 2c 2 c + 2a 2
Hư ng d n :
a + b + c = 3
a. 

3(ab + bc + ca ) ≤ (a + b + c) ⇒ ab + bc + ca ≤ 3
2

 a a(1 + b 2 ) − ab2 ab 2
 = =a − a ab
1 + b 1 + b2 1 + b2 ⇒ ≥a −
2

1 + b 2 ≥ 2b 1+b 2
2

b bc 2 bc c ca 2 ca
Tương t : =b − ≥b − , =c − ≥c −
1+c 2
1+c 2
2 1+a 2
1+a 2
2
a b c ab + bc + ca 3 3
C ng v theo v : + + ≥ a +b +c − ≥3− = .
1+b 2
1+c 2
1+a 2
2 2 2




Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a.b.c = 1 . Ch ng minh r ng :
a3 b3 c3 3
a. + + ≥ .
(1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4
1 1 1
b. + + ≤1
2 +a 2 +b 2 +c
Hư ng d n :
a.




Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng :
a2 b2 c2 1
+ + ≥
b +c c +a a +b 2
Gi i :
a2 b2 c2 1 a2 b2 c2 1
+ + ≥ ⇔( + a) + ( + b) + ( + c) ≥ + (a + b + c)
b +c c +a a +b 2 b +c c +a a +b 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

a 2 + a(b + c) b2 + b(c + a ) c2 + c(a + b) 1
⇔ + + ≥ +1
b +c c +a a +b 2
a(a + b + c) b(b + c + a ) c(c + a + b) 3
⇔ + + ≥
b +c c +a a +b 2
a b c 3
⇔ + + ≥ vì a + b + c = 1 .
b +c c +a a +b 2




Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng :
ab bc ca 1
a. + + ≤ .
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4

Hư ng d n :
1 1 4
a. Dùng b t ng th c + ≥ .
a b a +b


Cho 3 s th c dương a,b,c . Ch ng minh r ng :
a3 b3 c3 1
a. + + ≥ (a + b + c )
(a + b)(b + c) (b + c)(c + a ) (c + a )(a + b) 4
a3 b3 c3 1
b. + + ≥ (a + b + c)
b(c + a ) c(a + b) a(b + c) 2
Hư ng d n :
 a3 a +b b +c 3  8a 3
 + + ≥ a  + (a + b) + (b + c) ≥ 6a
 (a + b)(b + c) 8 8 4  (a + b)(b + c)
 b3 b +c c +a 3  8b 3
a. Cách 1 : 
 + + ≥ b 
Cách 2:  + (b + c) + (c + a ) ≥ 6b
 (b + c)(c + a ) 8 8 4  (b + c)(c + a )
 c3 c +a a +b 3  8c 3
 + + ≥ c  + (c + a ) + (a + b) ≥ 6c
 (c + a )(a + b)
 8 8 4  (c + a )(a + b)

 4a 3  a3 b c +a 3
 + 2b + (c + a ) ≥ 6a  + + ≥ a
 b(c + a ) b(c + a ) 2 4 2
 4b 3  b3 c a +b 3
b. Cách 1: 

 + 2c + (a + b) ≥ 6b Cách 2:  + + ≥ b
c(a + b) c(a + b) 2 4 2
 4c 3  c3 a b +c 3
 + 2a + (b + c) ≥ 6c  + + ≥ c
a(b + c)
 a(b + c) 2
 4 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

Cho 3 s th c dương x , y, z tho : x + y + z ≥ 3 .Tìm GTNN c a
x2 y2 z2
A= + +
x + yz y + zx z + xy

(x + y + z )
2
x2 y2 z2
+ + ≥ .
x + yz y + zx z + xy x + y + z + yz + zx + xy
Ta có : yz + zx + xy ≤ x + y + z .

(x + y + z )
2
x2 y2 z2 x +y +z 3
Suy ra : + + ≥ = ≥
x + yz y + zx z + xy x + y + z + x + y + z 2 2


x + y + z = 3

ng th c x y ra khi: x = y = z ⇔x =y =z =1
 x y z
 = =
 x + yz
 y + zx z + xy

Cho ba s dương x , y, z th a mãn: x 2 + y 2 + z 2 = 3 .Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
x5 y5 z5
S = 3 + 3 + 3 + x 4 + y4 + z4
y +z 3
z +x 3
x +y 3




Áp d ng B T Côsi cho 3 s ta có :
x5 y3 + z2 x 4 3 3
+ + ≥ x
y3 + z2 4 2 2
y5 z3 + x2 y4 3 3 z5 x 3 + y2 z 4 3 3
tương t + + ≥ y , 3 + + ≥ z
z3 + x2 4 2 2 x + y2 4 2 2
x4 1 y4 1 z4 1
+ ≥ x 2 tương t + ≥ y2 , + ≥ z 2
2 2 2 2 2 2
C ng v v i v các B T trên ta ư c
x5 y5 z5
S = 3
y +z 2
+ 3
z +x 2
+ 3
x +y 2
5
( 3
) (
+ x 4 + y4 + z 4 ≥ x 3 + y3 + z 3 + x 2 + y2 + z 2 −
4 4
3
2
)
Mà x 3 + x 3 + 1 ≥ 3x 2 hay 2x 3 + 1 ≥ 3x 2 tương t 2y 3 + 1 ≥ 3y 2 , 2z 3 + 1 ≥ 3z 2

( ) ( )
Do ó , 2 x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 x 2 + y 2 + z 2 − 3 = 6 ⇒ x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 ⇒ S ≥
9
2
D u b ng x y ra ⇔ x = y = z = 1
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

Cho 3 s th c dương x , y, z . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
x2 y2 z2
M = + + .
(2y + 3z )(2z + 3y ) (2z + 3x )(2x + 3z ) (2x + 3y)(2y + 3x )

Gi i :
13 2
(2y + 3z )(2z + 3y ) = 6 (y 2 + z 2 ) + 13yz ≤ 6 (y 2 + z 2 ) +
2
(y + z 2 ) = 25 (y 2 + z 2 )
2
x2 2x 2
⇒ ≥
(2y + 3z )(2z + 3y) 25(y 2 + z 2 )
y2 2y 2 z2 2z 2
Tương t : ≥ , ≥ .
(2z + 3x )(2x + 3z ) 25(z 2 + x 2 ) (2x + 3y )(2y + 3x ) 25(x 2 + y 2 )
2x 2 2y 2 2z 2 1 1
M≥ + + ⇒ f ( x ; y; z ) ≥ ⇒ min M = .
25(y + z ) 25(z + x ) 25(x + y )
2 2 2 2 2 2
25 25

x y z 3
V i x , y, z là s dương và x .y.z ≥ 1 .Ch ng minh r ng: + + ≥
x + yz y + zx z + xy 2
Hư ng d n.
t a = x ,b = y ,c = z
Bài toán tr thành : a, b, c là s dương và a.b.c ≥ 1 . Ch ng minh r ng:
a2 b2 c2 3
+ + ≥
a 2 + bc b 2 + ac c 2 + ab 2
(a + b + c )
2
a2 b2 c2
D th y : + + ≥ ( *)
a 2 + bc b 2 + ac c 2 + ab a 2 + bc + b 2 + ac + c 2 + ab
Bình phương hai v b t ng th c:
2
 
( ) ( )
2 4
a +b +c a +b +c
VT 2 () * ≥
 2
 =
 2
 a + bc + b + ac + c + ab 
2 2
 a 2 + bc + b 2 + ac + c 2 + ab 
  
 

(a + b + c ) (a + b + c ) (a + b + c )
4 4 4

≥ ≥ ≥
+ ab + bc + ac) 3  a + b + c − 3 ab + bc + ac  3  a + b + c − 3 
( ) ( )  ( ) 
3(a 2 + b 2 + c 2 2 2

   

( ) (a + b + c )
2 2
( Vì ab + bc + ac ≥ 3 3 abc ≥3⇒t = ≥ 9)

t2 3t + 15 t − 3 3 3.9 + 15 t −3 3 9
Ta có:
3(t − 3)
=
12
+
12
+
t −3

12
+2 . = ⇒ VT 2 * ≥
12 t − 3 2
9
2
()
D u b ng x y ra khi x = y = z = 1 ⇒ i u ph i ch ng minh
( )
T ng quát : ta có bài toán sau: v i x 1, x 2,..., x n n ≥ 2 là s dương và x 1.x 2 ...x n ≤ 1
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

x1 x2 xn n
Cmr: + + ... + ≥ .
x 1 + x 2 .x 3 ...x n x 2 + x 3 .x 4 ...x n x n + x 1.x 2 ...x n −1 2




Cho 3 s th c dương a,b,c . Ch ng minh r ng :
1 1 1 1 1 1
a. + + ≤ + + .
a + 3b b + 3c c + 3a 4a 4b 4c
1 1 1 1 1 1
b. + + ≤ + + .
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4a 4b 4c
1 1 1 1 1 1 1
c. + + ≤  + + .
(a + b ) (a + c ) (b + c )(b + a ) (c + a ) (c + b ) 2  a b c 
a −d b −b b −c c −a
d. + + + ≥0
d +b b +c c +a a +d




 1 1 1  81
Cho x ; y; z ∈ [ 0;1] . Ch ng minh r ng : ( 2x + 2y + 2z )  x + y + z 
0 ta luôn có a 3 + b 3 ≥ ab (a + b ) , ≤ . + 
a +b 4 a b 
và v i m i a,b ta luôn có a 2 + b 2 ≥ 2ab .
ab ab ab  1 1 
2 ≤ ≤  + 2 2 
a + b + a c + b c ab(a + b) + (a + b )c 4  ab(a + b) (a + b )c 
3 3 2 2 2



1 1  1 1
+ 
ab ab 1
⇒ 2 2
≤  + 2 2 
≤  
ab(a + b ) + (a + b )c 4  a + b (a + b )c  4  a + b 2c 
ab 1 1 1 1 1
3 3 2 2 ≤  + + . (1 )
a + b + a c + b c 16  a b  8 c
Tương t :
bc 1 1 1 1 1
3 3 2 2 ≤  + + . (2 )
b + c + b a + c a 16  b c  8 a
ca 1 1 1 1 1
≤  +  + . ( 3)
c + a + c b + a b 16  c a  8 b
3 3 2 2

C ng v theo v ng th c (1) , (2 ) và ( 3 ) ta ư c pcm. D u ng th c x y ra khi a = b = c = 1 .



Cho tam giác ABC có 3 c nh : AB = c, BC = a, AC = b tho mãn a 3 = b 3 + c 3 .Ch ng minh r ng :
A là góc nh n và tho : 600 < A < 900 .
Gi i :
 3 2
 b b  b 
a,b,c > 0 0 < b < a
 0 < a < 1  a  <  a 
 
3 3
2 2

⇒ ⇒ ⇒   ⇒ b  + c  < b  + c 
 3 a    a   
a = b3 + c3 

0 a (b 2 − bc + c 2 ) ⇒ a 2 > b 2 − bc + c 2
b2 + c2 − a 2 b2 + c2 − a 2 1
⇒ < 1 ⇒ cos A = < ⇒ A > 600
bc 2bc 2
V y 600 < A < 900 .
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn



1 1 1  1 1 1 
Cho các s th c dương a, b, c th a mãn i u ki n : 15  2 + 2 + 2  = 10  + +  + 2007
a b c   ab bc ca 
1 1 1
Tìm giá tr l n nh t c a P = + +
5a 2 + 2ab + 2b 2 5b 2 + 2bc + 2c 2 5c 2 + 2ca + 2a 2

1 1 1 9
Áp d ng ng th c : + + ≥ . ng th c x y ra khi x = y = z .
x y z x +y +z
1 1 1  1 1 1
5a 2 + 2ab + 2b 2 = (2a + b)2 + (a − b)2 ≥ (2a + b)2 ⇒ ≤ ≤  + + .
5a 2 + 2ab + 2b 2 2a + b 9  a a b 
ng th c x y ra khi a = b
 1 1 1 1 1 1
 ≤ ≤  + + 
 2b + c 9  b b c 
Tương t :  5b + 2bc + 2c
2 2


 1 1 11 1 1
≤ ≤  + + 

 5c + 2ca + 2a
2 2 2c + a 9  c c a 
1  1 1 1
Do ó P ≤  + + 
3 a b c 
1 1 1 1  1 1 1
2

 + + ≥  + + 
a 2 b 2 c 2 3  a b c 
M t khác :  2
1 1 1 1 1 1 1
ab + bc + ca ≤ 3  a + b + c 
  
1 1 1  1 1 1 
Mà gi thi t : 15  2 + 2 + 2  = 10  + +  + 2007
a b c   ab bc ca 
1 1 1 6021
Do ó : + + ≤
a b c 5
 a =b =c
 1 6021
ng th c x y ra khi :  1 1 1 6021 ⇔ a = b = c = 3
 + + = 5
a b c 5
1 6021 1 6021
V y max P = , khi a = b = c =
3 5 3 5
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản