Những bài toán bất đẳng thức cơ bản trong cosi

Chia sẻ: 22031992

Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học dùng để tham khảo. Tài liệu trình bày về những bài toán bất đẳng thức cơ bản trong cosi gồm bài tập và bài giải hướng dẫn.

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Những bài toán bất đẳng thức cơ bản trong cosi

Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn


NH NG BÀI TOÁN B T NG TH C CƠ B N TRONG COSI.


1
Cho n nguyên và n ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t c a A = x +
xn

Gi i:
n
x x x 1 x  1 n +1
A = + + ... + + n ≥ (n + 1)n +1   n ≥
n n n x n +1 n
n  x n
x
n so
n

x 1
D u ng th c x y ra khi = n ⇔ x = n +1 n
n x
n +1
Giá tr nh nh t c a A =
n +1
nn

1
Cho n nguyên và n ≥ 2 và x ≥ k > n +1 n . Tìm giá tr nh nh t c a A = x +
xn

Gi i:
n +1
V i x ≥k > n
1 1  1 1  1 1 1 1 
f (x ) ≥ f (k ) ⇔ x + n
−k −
≥ 0 ⇔ x − k +  −   n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1  ≥ 0
n
x k x k x x k x k k 
 1  1 1 1 1 
⇔ (x − k ) 1 −  n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1   ≥ 0
 xk  x x k x k k 
(x − k )   1 1 1 1 
⇔ xk −  n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1   ≥ 0
xk  x x k x k k 
1 1 1 1 n n
Ta có: n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1 ≤ n −1 < = n +1 n 2 < xk
x x k x k k k n +1 n −1
n

Suy ra f (x ) ≥ f (k ) úng v i m i x ≥ k > n +1 n
1
Giá tr nh nh t c a A = k + khi x = k .
kn

Cách 2 :
n
x x 1 nx x  1  n
Nháp : A = + ... + + n +x − ≥ (n + 1)n +1   n + x  1 − 
m m x m m  x  m
x
n so ,m > 0
m
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

x = k
 n +1
Ta ch n m sao cho:  x 1 ⇒m =x = k n +1
m = n
 x
n
x x 1 nx  x  1  n 
Bài gi i: A = + ... + + n + x − n +1 ≥ (n + 1)n +1  n +1  n + x  1 − n +1 
k n +1 k n +1 x k k  x  k 
x
n so
kn +1

(n + 1)  n  1
Vì x ≥ k > n +1 n nên n < k n +1 suy ra: A ≥ n
+ k  1 − n +1  = k + n = f (k )
k  k  k



Cho hai s th c x ≠ 0, y ≠ 0 thay ( )
i và th a mãn i u ki n: x + y xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm giá tr l n nh t
1 1
c a bi u th c : A = 3
+
x y3
thi i h c kh i A năm 2006

Gi i:
( )
Xét x + y xy = x + y − xy * . 2 2
()
1 1
tu= ,v = .
x y
1 1 1 1 1 3(u + v )2
( )
2
Ta ư c + = 2 + 2 − ⇒ u + v = u 2 + v 2 − uv ⇒ u + v − (u + v ) = 3uv ≤ .
x y x y xy 4

( )
2
⇒ u +v − 4(u + v ) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ u + v ≤ 4
x 3 + y3 (x + y )(x 2 + y 2 − xy ) (x + y )(x + y )xy x 2 + y 2 + 2xy
Khi ó : A = = = =
x 3y 3 x 3y 3 x 3y 3 x 2y 2
1 1 2
⇒A= 2 + 2 + = (u + v )2 ≤ 16 .
x y xy
1
D u ng th c x y ra khi u = v = 2 hay x = y = .
2

Cho x , y, z là 3 s th c dương thay i . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
x 1  y 1  z 1 
P = x + +y + +z + 
 2 yz   2 zx   2 xy 
thi i h c kh i B năm 2007

Gi i:

x 1  y 1  z 1  x 2 y2 z 2 x y z
P = x +  +y +  +z + = + + + + +
 2 yz   2 zx   2 xy  2 2 2 yz zx xy
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

1 1  1 2 2  1 
(
P = x 2 + y2 + z 2  + )
 = x + y + z 1 +
 2 xyz  2
2


1
(
+ 
xyz xyz 
)
1 3 2 2 2 1 9
P ≥ 9 x y z .3 2 2 2 = .
2 x yz 2
ng th c x y ra khi x = y = z = 1 .
9
V y giá tr nh nh t c a bi u th c P =
2


thi i h c kh i A năm 2009



Cho x , y, z là các s th c dương thay i và tho mãn i u ki n x .y.z = 1 .Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

P =
(
x2 y + z ) +
(
y2 z + x ) +
(
z2 x + y )
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y
thi i h c kh i A năm 2007

Gi i:
2x x xyz 2y y xyz 2z z xyz 2x x 2y y 2z z
P ≥ + + ≥ + +
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y
 1
a = y y + 2z z x x = (−2a + 4b + c )
 9

  1
t: b = z z + 2x x ⇒ y y = (a − 2b + 4c )
  9
c = x x + 2y y 1
z z = (4a + b − 2c)


 9

2  −2a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c  2  b a c  c a b  
Khi ó: P ≥  + +  ≥  −6 + 4  + +  +  + +   .
9  
a b c  9 a c b  a b c  
2
Hay P ≥
9
(
−6 + 4.3 + 3 = 2 . )
V y giá tr nh nh t c a bi u th c c a P = 2 khi a = b = c = 1 .


Cho các s th c không âm x , y thay i và th a mãn x + y = 1 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a
( )(
bi u th c S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy . )
thi Cao ng kh i B năm 2009

Gi i:
Nh n xét: vai trò gi ng nhau ( i x ng) c a x , y .
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

( )
S = 12 x 3 + y 3 + 16x 2y 2 + 34xy = 12 x + y x 2 + y 2 − xy + 16x 2y 2 + 34xy ( )( )
2
 1  191
Hay S = 12 x + y  x + y ( )( ) − 3xy  + 16x 2y 2 + 34xy =  4xy −  +
2
 
   4 16
2
x +y  1
Vì x , y không âm và th a mãn x + y = 1 suy ra 0 ≤ xy ≤   =
 2  4
2
1 1 3  1  191 25
⇒ − ≤ 4xy − ≤ ⇒ 0 ≤  4xy −  + ≤ .
4 4 4  4 16 2
25 1
V y giá tr l n nh t c a S = khi x = y = và giá tr nh nh t c a S = 0 khi x = 0, y = 1 .
2 2


( )
3
Cho các s th c x , y thay i và th a mãn x + y + 4xy ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

(
A = 3 x 4 + y 4 + x 2y 2 − 2 x 2 + y 2 + 1 ) ( )
thi i h c kh i B năm 2009

Gi i:


(x + y ) + 4xy ≥ 2 
3

( ) + (x + y )
3 2
⇒ x +y ≥2⇒x +y ≥1 .
(x + y )
2
≥ 4xy 


( 3
A = 3 x 4 + y 4 + x 2y 2 − 2 x 2 + y 2 + 1 = ) (
) 2 (x + y + x + y + 2x y ) − 2 (x + y ) + 1 4 4 4 4 2 2 2 2




A = (x + y ) + (x + y ) − 2 ( x + y ) + 1
3 3 4 4 2 2
2
2 2

2 2
Mà x + y = ( x + y ) − 2x y ≥ ( x + y ) − ( x + y ) ⇒ x + y ≥ ( x + y )
4 4 2 2
2 1 2 2 2 2
2
4 4 4 4 2 2
2

2
Khi ó A ≥ ( x + y ) + ( x + y ) − 2 ( x + y ) + 1 hay A ≥ ( x + y ) − 2 ( x + y ) + 1
3 3 2 2 9
2
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2

4 2 4
(x + y )2 1
( ) 9 1
2
t t = x 2 + y2 ,t ≥ ≥ ⇒ A ≥ t 2 – 2t + 1,t ≥ .
2 2 4 2
1 
Xét hàm s f t = () 9 2
nh và liên t c trên n a kho ng  ; +∞  .
t – 2t + 1 xác
4 2 
1 
9
()
9 1
Ta có f ' t = t – 2 ≥ − 1 > 0 , t ≥ ⇒ f t ng bi n trên n a kho ng  ; +∞  . ()
2 4 2 2 
1 9 1
Khi ó min A = min f t = f   = . () ng th c x y ra khi t =
1 
t∈ ;+∞   2  16 2
2 


I M RƠI TRONG B T D NG TH C COSI
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn


Bài toán m u : Cho a, b > 0 và th a mãn a + b ≤ 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
1 1
P = + .
1 + a 2 + b2 2ab

Gi i:
1 1 4 4 4
L i gi i 1. Ta có: P = + ≥ 2 = ≥ =2
1+a +b
2 2
2ab a + 2ab + b + 1 (a + b) + 1 2
2 2



1 + a + b = 2ab
2 2 
(a − b ) + 1 = 0
2
D u " = " x y ra ⇔  ⇔ . H vô nghi m. V y không t n t i min P .
a + b = 1
 a + b = 1


1 1 1 4 1 4 1
L i gi i 2. Ta có: P = + + ≥ 2 + = +
1+a +b
2 2
6ab 3ab a + 6ab + b + 1 3ab (a + b) + 1 + 4ab 3ab
2 2

2
a + b  1 4 1 8
M t khác ab ≤   = .V y P ≥ 2
+ 2
≥ .
 2  4 a + b  a + b  3
2+  6 
 2   2 
1 + a 2 + b 2 = 3ab
 1
D u " = " x y ra ⇔ a = b ⇔a =b = .
a + b = 1 2

1 1 4
L i bình: l i gi i 1. và l i gi i 2 g n như tương t nhau, cùng áp d ng b t + ≥ ng th c
. T i sao
a b a +b
1 1 1
trong cùng m t bài toán mà có n hai áp s ? Do âu mà l i gi i 2 t i sao l i tách = + ?. ó
2ab 6ab 3ab
chính là k thu t ch n i m rơi trong b t ng th c.

Các b t ng th c trong các thi i h c thông thư ng là i x ng v i các bi n và ta d oán d u b ng x y
ta khi các bi n b ng nhau và x y ra t i biên.

1 1
Cho a, b > 0 và th a mãn a + b ≤ 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + + 4ab .
a +b
2 2
ab

Gi i:
1
Do P là bi u th c i x ng v i a, b , ta d oán min P tt i a =b = .
2
1 1  1  1 4 1 1
Ta có: P = + +  4ab + + ≥ + 2 4ab. + ≥7
a 2 + b2 2ab  4ab  4ab (a + b)2
2ab a + b 
2

4 
 2 
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

a 2 + b 2 = 2ab

 1 1
D u " = " x y ra ⇔ a 2b 2 = ⇔a =b = .
 16 2
a +b = 1

1
V y giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 tt i a =b = .
2
Thao kh o hai l i gi i khác :
L i gi i 1:
1 1  1  1 4 1 1 1 1
P = + +  4ab + + ≥ 2 4ab. + ≥ 4+2+ =6+
a +b ( )
2 2 2
ab  4ab  4ab a +b 2ab 4ab 4ab 4ab

a 2 + b 2 = 2ab

 1 1 1
D u " = " x y ra ⇔ a 2b 2 = ⇔ a = b = . Thay a = b = vào ta ư c P ≥ 7 .
 16 2 2
a +b = 1

1
V y giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 t t i a = b = .
2
L i bình 1:
1
Qua cách gi i trên ta ã ch n úng d u ng th c x y ra khi a = b = nên d n n vi c tách các s h ng và
2
1
giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 t t i a = b = là úng , nhưng bư c cu i cùng ta ã làm sai , ví d
2
(1 − a + a ≥ a , ng th c x y ra khi a = 1 ⇒ min  1 − a + a  = a ?.
) ( )
2 2

 

L i gi i 2:
1 1 1 4 1 4  1 
P = 2 + + + 4ab ≥ 2 + + 4ab = + + 4ab  .
a + b 2 2ab 2ab a + b 2 + 2ab 2ab ( )
2
a +b  2ab 

M t khác
1
2ab
+ 4ab ≥ 2
1
2ab
.4ab = 2 2 . V y P ≥ 4 + 2 2 ⇒ min P = 2 2 + 2 ( )
L i bình 2:
1 1 1
Tho t nhìn th y bài toán ã gi i úng . Th c t thì sao? . Vi c tách = + làm xu t hi n ng
ab 2ab 2ab
( )
2
th c a 2 + b 2 + 2ab = a + b .
a = b

(  1
min P = 2 2 + 2 ⇔ 
 2ab
)
= 4ab . H vô nghi m. ng th c không x y ra , do ó không t n t i min P .

a + b = 1


3
Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c ≤ . Ch ng minh r ng :
2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

1 1 1 15
1. a + b + c + + + ≥ .
a b c 2
1 1 1 3 17
2. a 2 + 2
+ b2 + 2 + c2 + 2 ≥ .
a b c 2
1 1 1 3 17
3. a 2 + + b2 + + c2 + ≥ .
b2 c2 a2 2

Gi i:
1 1 1 15
1. a + b + c + + + ≥
a b c 2
1 1 1 1 1
Ta có th ph m sai l m: a + b + c + + + ≥ 3 3 abc + 3 ≥6 3
abc . =6
a b c 3
abc 3
abc
3
D u ng th c x y ra khi a = b = c = 1 nhưng khi ó a + b + c = 3 > ( trái gi thi t ) .
2
Phân tích bài toán :
3
T gi thi t a,b,c dương tho mãn a + b + c ≤ , g i ý hư ng gi i b t ng th c trung bình c ng, trung
2
3 1 1
bình nhân. ≥ a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ . t: x = 3 abc ≤
2 2 2
1 1 1 1  1 1
Khi ó : a + b + c + + + ≥ 3 3 abc + 3 = 3  x +  . D oán ng th c x y ra khi x =
a b c 3
abc  x 2
 1
x =

Ta ch n α > 0 sao cho:  2 ⇒ α = x2 = 1 .
x = 1 4
α x

Bài gi i:
1 1 1  1  1  1 9 15
a +b +c + + + ≥ 3  x +  ≥ 3  4x + − 3x  ≥ 3.2 4x . − 9x = 12 − =
a b c  x  x  x 2 2
1
ng th c x y ra khi a = b = c = .
2
1 1 1 3 17
2. a 2 + 2
+ b2 + 2 + c2 + 2 ≥ .
a b c 2
Phân tích bài toán :
3
T gi thi t a,b,c dương tho mãn a + b + c ≤ , g i ý hư ng gi i b t ng th c trung bình c ng, trung
2
3 1 1 1
bình nhân. ≥ a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ . t: x = 3 abc ≤ , ng th c x y ra khi x = .
2 2 2 2
 1
1 x =
 1
Xét x 2 + 2 , ch n α > 0 sao cho:  2 ⇒ α = 4 = 16 .
x x 2 = 1 x

 αx 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

1
Áp d ng b t ng th c trung bình c ng, trung bình nhân cho 17 s , trong ó 16 s là 2
và s x 2 :
16x
−15
16
1  1 
1 1 17x 17
x + 2 = x + 16.
2
2
2
≥ 17 x  2 
17 2
⇒ x2 + 2
≥ 32
.
x 16x  16x  x 17
2
−15 −15 −15
1 17a 17
1 17b 17
1 17c 17
⇒ a2 + ≥ ; b2 + ≥ ; c2 + ≥
a2 32
b2 32
c2 32
2 17
2 17
2 17
1

17  17  17  17 17 17  3
−15 −15 −15 −15 −15 −15
1 1 1
⇒ a + 2 + b + 2 + c + 2 ≥ 32  a + b + c  ≥ 32 .3  a b c 
2 2 2 17 17

a b c    
2 17   2 17  
−5 15
2

a
1
b
1
c
1
a + 2 + b 2 + 2 + c 2 + 2 ≥ 32 abc
3 17
( ) 17

3 17
32
.2 17
=
3 17
2
.
2 17 2 17

1
ng th c x y ra khi a = b = c = .
2
Cách khác :
 1  1  1
Ch n : u =  a;  , v = b;  , w =  c; 
 a  b  c
Dùng b t ng th c vecto u + v + w ≥ u + v + w
2
1 1 1
1 1 1
(a + b + c ) 1
2
a + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥
2
+ + +  ≥3 3
(abc)2 +
a b c a b c  3
(abc )2
2

( ) a + b + c 
2
1
Tương t trên , ta tx = 3
abc ≤  ≤ .
 3  4

1 1 1 1 1 15 x 1 15
a2 + + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ 3 x + = 3 x + + ≥3 2 . +
a2 b c x 16x 16x 16 x 16x
1 1 1 1 15 1 15 3 17
a2 + 2
+ b2 + 2 + c2 + 2 ≥ 3 + ≥3 + = .
a b c 2 16x 2 4 2
1
ng th c x y ra khi a = b = c = .
2

1 1 1 3 17
3. a 2 + 2
+ b2 + 2
+ c2 + 2
≥ .
b c a 2
 1
1 x = y =

Tương t trên . Xét x 2 + 2 , ch n α > 0 sao cho:  2 ⇒ α = 1 = 16
y 1 x 2y 2
x 2 =

 αy2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

1
Áp d ng b t ng th c trung bình c ng, trung bình nhân cho 17 s , trong ó 16 s là 2
và s x 2 :
16y
1 −16
16
1 1  1  1 17x 17 y 17
x 2 + 2 = x 2 + 16. 2
≥ 1717 x 2  2 
⇒ x2 + 2 ≥ 32
.
y 16y  16y  y
2 17

1 −16 1 −16 1 −16
1 17a b17 17
1 17b c 17 17
1 17c a17 17
⇒ a2 + ≥ ; b2 + ≥ ; c2 + ≥
b2 32
c2 32
a2 32
2 17
2 17
2 17
17  17 17
1 −16 1 −16 1 −16  −5 15
1 1 1 3 17 3 17 3 17
a + 2 + b + 2 + c + 2 ≥ 32  a b + b
2

b c
2

a
2

17 c 17 +c 17 a 17
 ≥ 32 abc
 ( ) 17 ≥ 32
2 17 =
2
2 17   2 17 2 17

1
ng th c x y ra khi a = b = c = .
2




1 1 1
Cho x , y, z > 0 và th a mãn+ + = 4 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
x y z
1 1 1
P = + +
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
thi i h c kh i D năm 2007

Gi i:




 2005 + b 2005 ≤ 1
a
Cho các s không âm a, b, x , y th a các i u ki n  2005 . Ch ng minh r ng :
x + y 2005 ≤ 1

a 1975 .x 30 + b1975 .y 30 ≤ 1
Toán tu i thơ 2 – s 27

Gi i:

Nh n xét : Các a th c tham gia trong bài toán cùng b c 2005 = 1975 + 30 , ng th i s mũ c a các bi n
tương ng b ng nhau.
2005 2005
Áp d ng b t ng th c trung bình c ng , trung bình nhân cho 1975 s a và 30 s x
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

1975.a 2005 + 30.x 2005
(a ) . (x ) ()
1975 30
≥ 2005 2005 2005
= a 1975 .x 30 1
(1975 + 30 )
1975.b 2005 + 30.y 2005
(b ) . (y ) ()
1975 30
Tương t ≥ 2005 2005 2005
= b 1975 .y 30 2
(1975 + 30 )
T (1) và (2 ) suy ra 1975. (a 2005
) ( ) (
+ b 2005 + 30. x 2005 + y 2005 ≥ 2005. a 1975 .x 30 + b 1975 .y 30 ) (3)
a 2005 + b 2005 ≤ 1

T  2005
+y 2005
≤1
(
⇒ 2005 ≥ 1975. a 2005 + b 2005 + 30. x 2005 + y 2005 ) ( ) (4)
x

T ( 3 ) và ( 4 ) suy ra 2005 ≥ 2005. (a 1975
)
.x 30 + b 1975 .y 30 ⇒ a 1975 .x 30 + b 1975 .y 30 ≤ 1

D u ng th c x y ra khi a 1975 = x 30 , b1975 = y 30 .
a m +n + b m +n ≤ 1

T ng quát : Cho các s không âm a, b, x , y th a các i u ki n  m +n . Ch ng minh r ng :
x + y m +n ≤ 1

a m .x n + b m .y n ≤ 1 .

Cho x , y, z là các s dương th a mãn i u ki n: x 2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
xy yz zx
A= + + .
z x y

Gi i:


2 2 2
 xy   yz   zx 
Ta có : A =   +   +   + 2 y 2 + z 2 + x 2 .
2

 z  x  y 
( )
Áp d ng b t ng th c: x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx
Ta ư c: A2 ≥ (y 2 + z 2 + x 2 ) + 2(y 2 + z 2 + x 2 ) = 3(y 2 + z 2 + x 2 ) = 3.
xy yz xz 1
ng th c x y ra ⇔ = = ⇒x =y =z = .
z x y 3
1
V y min A = 3 t ư c khi x = y = z = .
3


Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh r ng :
a b c 3 3
+ 2 + 2 2 ≥ .
b +c c +a
2
2 2
a +b 2
Phân tích bài toán :
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

• Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a 2 + b 2 + c 2 = 1 , v y ta có th suy ra
0 < a ≤ b ≤ c < 1 hay không?. Như v y i u ki n a,b,c không chính xác vì d u ng th c ch x y ra khi
0 < a = b = c
  1 
 2 ⇒ a,b,c ∈  0; .
a + b2 + c2 = 1  3

• Ta th y m i liên h gì c a bài toán ?. D th y a 2 + b 2 + c 2 = 1 và b 2 + c 2 , c 2 + a 2 , a 2 + b 2 . G i ý ta ưa
a b c 3 3
bài toán v d ng c n ch ng minh : + + ≥
1−a 2
1 −b 2
1−c 2
2
• Vì vai trò a,b,c như nhau và 2 ý phân tích trên g i ý ta ưa n cách phân tích
 a 3 2
 ≥ a
 1−a 2
2
3 3 2 2 2  b
1−a
a
2
+
b
1 −b 2
+
c
1−c 2

2
(a + b + c ) và c n ch ng minh 1 − b2 ≥ 23 b2 .


 c 3 2
 ≥ c
1 − c
2
 2
• Ta th i tìm l i gi i :
a 3 2 1 3 3 2 4 8
≥ a ⇔ ≥ a⇔ ≥ a(1 − a 2 ) ⇔ ≥ a 2(1 − a 2 )2 ⇔ ≥ 2a 2(1 − a 2 )2
1−a 2
2 1−a 2
2 3 3 27 27

2a 2(1 − a 2 )2 = 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 )

D th y  2
2a + (1 − a ) + (1 − a ) = 2
2 2

Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân
2 = 2a 2 + (1 − a 2 ) + (1 − a 2 ) ≥ 3 3 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 )
2 8
⇒ ≥ 3 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 ) ⇔ ≥ 2a 2(1 − a 2 )2
3 27
Tương t cho các trư ng h p còn l i.
Gi i :

a3 b3 c3 1
Cho 3 s th c dương a,b,c . Ch ng minh r ng : + + ≥ (a + b + c )
b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) 2
Phân tích bài toán :
• ng th c c n ch ng minh ưa v d ng :
a3 b3 c3
+ m (a + c ) + nb + + k (b + a ) + pc + + i (b + c ) + ja ≥ 0 .
b (c + a ) c (a + b ) a (b + c )

• Gi s 0 < a ≤ b ≤ c . D oán ng th c x y ra khi a = b = c .
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

a3
T ó g i m hư ng gi i : + m (a + c ) + nb ≥ 3 3 mna . ng th c x y ra khi
b (c + a )
 a3 m = 1
 = m (a + c ) = nb a 3  4
b (c + a ) ⇔ = m (a + a ) = na ⇔ 
a = b = c a (a + a ) n = 1
  2
Tương t cho các trư ng h p khác .

Gi i :
a3 1 1 3 a3 1 1
+ b + (c + a ) ≥ a . ng th c x y ra khi: = b = (c + a ) .
b (c + a ) 2 4 2 b (c + a ) 2 4
3 3
b 1 1 3 b 1 1
+ c + (b + a ) ≥ b . ng th c x y ra khi: = c = (b + a ) .
c (a + b ) 2 4 2 c (a + b ) 2 4
c3 1 1 3 c3 1 1
+ a + (b + c ) ≥ c . ng th c x y ra khi: = a = (b + c ) .
a (b + c ) 2 4 2 a (b + c ) 2 4
3 3 3
a b c 1
C ng v theo v ta ư c : + + ≥ (a + b + c ) . D u ng th c x y ra khi :
b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) 2
a =b =c > 0

Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a +b +c = 1 . Ch ng minh r ng :
7
a. a +1 + b +1 + c +1
0 , ta luôn có : ma + ≥2 m.
a
ma = 1
 a ⇔ m = 9.
ng th c x y ra khi : 
a = 1
 3
1 1 1 1 1 1
• Vì th mà T = a + b + c + + + = 9 (a + b + c ) + + + − 8 (a + b + c )
a b b a b b
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn


Gi i :
Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân

9a + 1 ≥ 6
 a

 1
9b + ≥ 6
 b
9c + 1 ≥ 6

 c
1 1 1
⇒ T = 9 (a + b + c ) + + + − 8 (a + b + c ) ≥ 3.6 − 8 (a + b + c ) = 10 ( pcm).
a b b
1
ng th c x y ra khi : a = b = c = .
3
Bài t p tương t
Cho các s th c dương x , y, z và th a mãn mx + ny + pz ≥ d trong ó m, n, p, d ∈ ». Tìm giá tr l n
nh t bi u th c A = ax + by + cz
2 2 2


Hư ng d n : Th c hi n vi c ch n i m rơi : ax = by = cz =
2 2 2
β

Ch ng minh r ng n u xy + yz + zx = 5 thì 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 10

Phân tích bài toán :

• Trư c h t ta ý m i liên h gi a 3x 2,3y 2, z 2, xy, yz, zx cho ta i u gì ?, ph i chăng nh ng h ng ng
2 2
th c có d ng : (ax − by ) ≥ 0 ⇔ (ax )2 + (by ) ≥ 2axby ?.
• Phân tích :
ax 2 + ay 2 ≥ 2axy . ng th c x y ra khi x = y
by 2 + cz 2 ≥ 2 bcyz . ng th c x y ra khi by 2 = cz 2
cz 2 + bx 2 ≥ 2 cbzx . ng th c x y ra khi cz 2 = bx 2

a + b = 3 a = 1
 
 
Bây gi ta ch n a,b,c sao cho : 2c = 1 ⇔ b = 2
 
a = bc
 c = 1

 2
Gi i :
x 2 + y 2 ≥ 2xy . ng th c x y ra khi x = y
1 1
2y 2 + z 2 ≥ 2yz . ng th c x y ra khi 2y 2 = z 2
2 2
1 2 1
z + 2x 2 ≥ 2zx . ng th c x y ra khi z 2 = 2x 2
2 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

C ng v theo v ta ư c : 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 2 (xy + yz + zx ) ⇒ 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 10 ( pcm).
x = y
 1
2y 2 = z 2
 2 x = y = 1

ng th c x y ra khi :  ⇔
1
 z 2 = 2x 2 z = 2

2
xy + yz + zx = 5


47 235
Cho 3 s th c dương x , y, z tho mãn x +y +z = . Ch ng minh r ng : 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥
12 12
Phân tích bài toán :
235
• Trư c h t ta ý m i liên h gi a 3x 2,4y 2,5z 2, x, y, z cho ta i u gì ?, g i ý : 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥
12
ư c bi n i v d ng 3x + m + 4y + n + 5z + p ≥ k , ( 0 < m ≤ n ≤ p ≤ k = const )
2 2 2

• Phân tích :
3x 2 + m ≥ 2 3mx, m > 0 . ng th c x y ra khi 3x 2 = m
4y 2 + n ≥ 2 4ny, n > 0 . ng th c x y ra khi 4y 2 = n
5z 2 + p ≥ 2 5pz, p > 0 . ng th c x y ra khi 5z 2 = p
 5
x = 3
 2 
3x = m y = 5
 2 
4y = n 4
z = 1


Bây gi ta ch n x , y, z sao cho : 5z 2 = p ⇔

 m = 25
 3m = 4n = 5p  3
  25
x + y + z = 47 n =

 12  4
p = 5

Gi i :

25 25 25
3x 2 + ≥ 2 3. x . ng th c x y ra khi 3x 2 = .
3 3 3
25 25 25
4y 2 + ≥ 2 4. y . ng th c x y ra khi 4y 2 = .
4 4 4
5z 2 + 5 ≥ 2 5.5z . ng th c x y ra khi 5z 2 = 5 .
235 235
C ng v theo v ta ư c 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ 10 ( x + y + z ) − = ( pcm).
12 12
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

 5
x = 3

 5
ng th c x y ra khi y = .
 4
z = 1





Cho 3 s th c không âm a,b,c . Ch ng minh r ng : 1 + 3 abc ≤ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c )
Gi i :
1 + 3 abc ≤ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) ⇔ 3
1.1.1 + 3 abc ≤ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c )
1.1.1 abc
⇔ + ≤1
(1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c )
3 3


1.1.1 abc
t:T = +3
(1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c )
3


1 1 1 1  1 a b c 
T≤ 1 + a + 1 + b + 1 + c  + 3 1 + a + 1 + b + 1 + c 
3   
1 a + 1 b + 1 c + 1  1
T≤  + + = .3 = 1
3 1 + a 1 + b 1 + c  3 
D u ng th c x y ra khi a = b = c ≥ 0 .

T ng quát :
(
Ch ng minh r ng v i m i ai ,bi > 0 i = 1, n thì ta luôn có :)
a1a2.......an + n b1b2.......bn ≤ n  a1 + b  (a1 + b2 ) ........ (an + bn )

1
n
 


1 1 1 
Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng :  − 1   − 1   − 1  ≥ 8 .
a  b c 
Gi i :
1 1 1  1 −a  1 −b  1 −c  b + c c + a a +b
VT =  − 1   − 1  − 1  =  . . = a . b . c
a  b c   a   b   c 
AM_GM
2 bc 2 ca 2 ab
VT ≥ . . = 8( pcm)
a b c
T ng quát :
x 1, x 2 , x 3 ,..............., x n > 0

Cho  .
x 1 + x 2 + x 3 + ........ + x n = 1

Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

1  1  1   1 
Ch ng minh r ng :  − 1   − 1   − 1  ........  − 1  ≥ (n − 1)n .
x 
x   
 1   x2   x3   n 


1 1 1 1
Cho 4 s th c dương a,b,c,d tho mãn + + + ≥ 3 . Ch ng minh r ng :
1+a 1 +b 1+c 1 +d
1
abcd ≤ .
81
Gi i :
1  1   1   1  b c d
≥ 1 -  + 1 −  + 1 − = + +
1+a  1+b   1+c   1+d  1+b 1+c 1+d
1 AM _GM bcd
≥ 33
1+a (1 + b ) (1 + c ) (1 + d )
 1 bcd
 ≥3
(1 + b ) (1 + c ) (1 + d )
3
1 + a

 1 ≥ 33
cda
1 + b
 (1 + c ) (1 + d ) (1 + a )
V y: 
 1 dca
1 + c ≥3
(1 + d ) (1 + c )(1 + a )
3


 1 ≥ 33
abc
1 + d
 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c )
1 abcd 1
⇒ ≥ 81 ⇒ abcd ≤
(1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) 81

T ng quát :
x 1, x 2 , x 3 ,............., x n > 0

Cho :  1 1 1 1
1 + x + 1 + x + 1 + x + ......... + 1 + x ≥ n − 1
 1 2 3 n

1
Ch ng minh r ng : x 1x 2x 3 ...........x n ≤ .
(n − 1)n




Bài tương t
Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng :
a b c 3
a. + + ≥ .
1+b 2
1+c 2
1+a 2
2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

a b c 3
b. + + ≥ .
a + b2 b + c2 c + a 2 2
a2 b2 c2
c. + + ≥ 1.
a + 2b 2 b + 2c 2 c + 2a 2
Hư ng d n :
a + b + c = 3
a. 

3(ab + bc + ca ) ≤ (a + b + c) ⇒ ab + bc + ca ≤ 3
2

 a a(1 + b 2 ) − ab2 ab 2
 = =a − a ab
1 + b 1 + b2 1 + b2 ⇒ ≥a −
2

1 + b 2 ≥ 2b 1+b 2
2

b bc 2 bc c ca 2 ca
Tương t : =b − ≥b − , =c − ≥c −
1+c 2
1+c 2
2 1+a 2
1+a 2
2
a b c ab + bc + ca 3 3
C ng v theo v : + + ≥ a +b +c − ≥3− = .
1+b 2
1+c 2
1+a 2
2 2 2




Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a.b.c = 1 . Ch ng minh r ng :
a3 b3 c3 3
a. + + ≥ .
(1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4
1 1 1
b. + + ≤1
2 +a 2 +b 2 +c
Hư ng d n :
a.




Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng :
a2 b2 c2 1
+ + ≥
b +c c +a a +b 2
Gi i :
a2 b2 c2 1 a2 b2 c2 1
+ + ≥ ⇔( + a) + ( + b) + ( + c) ≥ + (a + b + c)
b +c c +a a +b 2 b +c c +a a +b 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

a 2 + a(b + c) b2 + b(c + a ) c2 + c(a + b) 1
⇔ + + ≥ +1
b +c c +a a +b 2
a(a + b + c) b(b + c + a ) c(c + a + b) 3
⇔ + + ≥
b +c c +a a +b 2
a b c 3
⇔ + + ≥ vì a + b + c = 1 .
b +c c +a a +b 2




Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng :
ab bc ca 1
a. + + ≤ .
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4

Hư ng d n :
1 1 4
a. Dùng b t ng th c + ≥ .
a b a +b


Cho 3 s th c dương a,b,c . Ch ng minh r ng :
a3 b3 c3 1
a. + + ≥ (a + b + c )
(a + b)(b + c) (b + c)(c + a ) (c + a )(a + b) 4
a3 b3 c3 1
b. + + ≥ (a + b + c)
b(c + a ) c(a + b) a(b + c) 2
Hư ng d n :
 a3 a +b b +c 3  8a 3
 + + ≥ a  + (a + b) + (b + c) ≥ 6a
 (a + b)(b + c) 8 8 4  (a + b)(b + c)
 b3 b +c c +a 3  8b 3
a. Cách 1 : 
 + + ≥ b 
Cách 2:  + (b + c) + (c + a ) ≥ 6b
 (b + c)(c + a ) 8 8 4  (b + c)(c + a )
 c3 c +a a +b 3  8c 3
 + + ≥ c  + (c + a ) + (a + b) ≥ 6c
 (c + a )(a + b)
 8 8 4  (c + a )(a + b)

 4a 3  a3 b c +a 3
 + 2b + (c + a ) ≥ 6a  + + ≥ a
 b(c + a ) b(c + a ) 2 4 2
 4b 3  b3 c a +b 3
b. Cách 1: 

 + 2c + (a + b) ≥ 6b Cách 2:  + + ≥ b
c(a + b) c(a + b) 2 4 2
 4c 3  c3 a b +c 3
 + 2a + (b + c) ≥ 6c  + + ≥ c
a(b + c)
 a(b + c) 2
 4 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

Cho 3 s th c dương x , y, z tho : x + y + z ≥ 3 .Tìm GTNN c a
x2 y2 z2
A= + +
x + yz y + zx z + xy

(x + y + z )
2
x2 y2 z2
+ + ≥ .
x + yz y + zx z + xy x + y + z + yz + zx + xy
Ta có : yz + zx + xy ≤ x + y + z .

(x + y + z )
2
x2 y2 z2 x +y +z 3
Suy ra : + + ≥ = ≥
x + yz y + zx z + xy x + y + z + x + y + z 2 2


x + y + z = 3

ng th c x y ra khi: x = y = z ⇔x =y =z =1
 x y z
 = =
 x + yz
 y + zx z + xy

Cho ba s dương x , y, z th a mãn: x 2 + y 2 + z 2 = 3 .Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
x5 y5 z5
S = 3 + 3 + 3 + x 4 + y4 + z4
y +z 3
z +x 3
x +y 3




Áp d ng B T Côsi cho 3 s ta có :
x5 y3 + z2 x 4 3 3
+ + ≥ x
y3 + z2 4 2 2
y5 z3 + x2 y4 3 3 z5 x 3 + y2 z 4 3 3
tương t + + ≥ y , 3 + + ≥ z
z3 + x2 4 2 2 x + y2 4 2 2
x4 1 y4 1 z4 1
+ ≥ x 2 tương t + ≥ y2 , + ≥ z 2
2 2 2 2 2 2
C ng v v i v các B T trên ta ư c
x5 y5 z5
S = 3
y +z 2
+ 3
z +x 2
+ 3
x +y 2
5
( 3
) (
+ x 4 + y4 + z 4 ≥ x 3 + y3 + z 3 + x 2 + y2 + z 2 −
4 4
3
2
)
Mà x 3 + x 3 + 1 ≥ 3x 2 hay 2x 3 + 1 ≥ 3x 2 tương t 2y 3 + 1 ≥ 3y 2 , 2z 3 + 1 ≥ 3z 2

( ) ( )
Do ó , 2 x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 x 2 + y 2 + z 2 − 3 = 6 ⇒ x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 ⇒ S ≥
9
2
D u b ng x y ra ⇔ x = y = z = 1
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

Cho 3 s th c dương x , y, z . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
x2 y2 z2
M = + + .
(2y + 3z )(2z + 3y ) (2z + 3x )(2x + 3z ) (2x + 3y)(2y + 3x )

Gi i :
13 2
(2y + 3z )(2z + 3y ) = 6 (y 2 + z 2 ) + 13yz ≤ 6 (y 2 + z 2 ) +
2
(y + z 2 ) = 25 (y 2 + z 2 )
2
x2 2x 2
⇒ ≥
(2y + 3z )(2z + 3y) 25(y 2 + z 2 )
y2 2y 2 z2 2z 2
Tương t : ≥ , ≥ .
(2z + 3x )(2x + 3z ) 25(z 2 + x 2 ) (2x + 3y )(2y + 3x ) 25(x 2 + y 2 )
2x 2 2y 2 2z 2 1 1
M≥ + + ⇒ f ( x ; y; z ) ≥ ⇒ min M = .
25(y + z ) 25(z + x ) 25(x + y )
2 2 2 2 2 2
25 25

x y z 3
V i x , y, z là s dương và x .y.z ≥ 1 .Ch ng minh r ng: + + ≥
x + yz y + zx z + xy 2
Hư ng d n.
t a = x ,b = y ,c = z
Bài toán tr thành : a, b, c là s dương và a.b.c ≥ 1 . Ch ng minh r ng:
a2 b2 c2 3
+ + ≥
a 2 + bc b 2 + ac c 2 + ab 2
(a + b + c )
2
a2 b2 c2
D th y : + + ≥ ( *)
a 2 + bc b 2 + ac c 2 + ab a 2 + bc + b 2 + ac + c 2 + ab
Bình phương hai v b t ng th c:
2
 
( ) ( )
2 4
a +b +c a +b +c
VT 2 () * ≥
 2
 =
 2
 a + bc + b + ac + c + ab 
2 2
 a 2 + bc + b 2 + ac + c 2 + ab 
  
 

(a + b + c ) (a + b + c ) (a + b + c )
4 4 4

≥ ≥ ≥
+ ab + bc + ac) 3  a + b + c − 3 ab + bc + ac  3  a + b + c − 3 
( ) ( )  ( ) 
3(a 2 + b 2 + c 2 2 2

   

( ) (a + b + c )
2 2
( Vì ab + bc + ac ≥ 3 3 abc ≥3⇒t = ≥ 9)

t2 3t + 15 t − 3 3 3.9 + 15 t −3 3 9
Ta có:
3(t − 3)
=
12
+
12
+
t −3

12
+2 . = ⇒ VT 2 * ≥
12 t − 3 2
9
2
()
D u b ng x y ra khi x = y = z = 1 ⇒ i u ph i ch ng minh
( )
T ng quát : ta có bài toán sau: v i x 1, x 2,..., x n n ≥ 2 là s dương và x 1.x 2 ...x n ≤ 1
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn

x1 x2 xn n
Cmr: + + ... + ≥ .
x 1 + x 2 .x 3 ...x n x 2 + x 3 .x 4 ...x n x n + x 1.x 2 ...x n −1 2




Cho 3 s th c dương a,b,c . Ch ng minh r ng :
1 1 1 1 1 1
a. + + ≤ + + .
a + 3b b + 3c c + 3a 4a 4b 4c
1 1 1 1 1 1
b. + + ≤ + + .
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4a 4b 4c
1 1 1 1 1 1 1
c. + + ≤  + + .
(a + b ) (a + c ) (b + c )(b + a ) (c + a ) (c + b ) 2  a b c 
a −d b −b b −c c −a
d. + + + ≥0
d +b b +c c +a a +d




 1 1 1  81
Cho x ; y; z ∈ [ 0;1] . Ch ng minh r ng : ( 2x + 2y + 2z )  x + y + z 
0 ta luôn có a 3 + b 3 ≥ ab (a + b ) , ≤ . + 
a +b 4 a b 
và v i m i a,b ta luôn có a 2 + b 2 ≥ 2ab .
ab ab ab  1 1 
2 ≤ ≤  + 2 2 
a + b + a c + b c ab(a + b) + (a + b )c 4  ab(a + b) (a + b )c 
3 3 2 2 2



1 1  1 1
+ 
ab ab 1
⇒ 2 2
≤  + 2 2 
≤  
ab(a + b ) + (a + b )c 4  a + b (a + b )c  4  a + b 2c 
ab 1 1 1 1 1
3 3 2 2 ≤  + + . (1 )
a + b + a c + b c 16  a b  8 c
Tương t :
bc 1 1 1 1 1
3 3 2 2 ≤  + + . (2 )
b + c + b a + c a 16  b c  8 a
ca 1 1 1 1 1
≤  +  + . ( 3)
c + a + c b + a b 16  c a  8 b
3 3 2 2

C ng v theo v ng th c (1) , (2 ) và ( 3 ) ta ư c pcm. D u ng th c x y ra khi a = b = c = 1 .



Cho tam giác ABC có 3 c nh : AB = c, BC = a, AC = b tho mãn a 3 = b 3 + c 3 .Ch ng minh r ng :
A là góc nh n và tho : 600 < A < 900 .
Gi i :
 3 2
 b b  b 
a,b,c > 0 0 < b < a
 0 < a < 1  a  <  a 
 
3 3
2 2

⇒ ⇒ ⇒   ⇒ b  + c  < b  + c 
 3 a    a   
a = b3 + c3 

0 a (b 2 − bc + c 2 ) ⇒ a 2 > b 2 − bc + c 2
b2 + c2 − a 2 b2 + c2 − a 2 1
⇒ < 1 ⇒ cos A = < ⇒ A > 600
bc 2bc 2
V y 600 < A < 900 .
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn



1 1 1  1 1 1 
Cho các s th c dương a, b, c th a mãn i u ki n : 15  2 + 2 + 2  = 10  + +  + 2007
a b c   ab bc ca 
1 1 1
Tìm giá tr l n nh t c a P = + +
5a 2 + 2ab + 2b 2 5b 2 + 2bc + 2c 2 5c 2 + 2ca + 2a 2

1 1 1 9
Áp d ng ng th c : + + ≥ . ng th c x y ra khi x = y = z .
x y z x +y +z
1 1 1  1 1 1
5a 2 + 2ab + 2b 2 = (2a + b)2 + (a − b)2 ≥ (2a + b)2 ⇒ ≤ ≤  + + .
5a 2 + 2ab + 2b 2 2a + b 9  a a b 
ng th c x y ra khi a = b
 1 1 1 1 1 1
 ≤ ≤  + + 
 2b + c 9  b b c 
Tương t :  5b + 2bc + 2c
2 2


 1 1 11 1 1
≤ ≤  + + 

 5c + 2ca + 2a
2 2 2c + a 9  c c a 
1  1 1 1
Do ó P ≤  + + 
3 a b c 
1 1 1 1  1 1 1
2

 + + ≥  + + 
a 2 b 2 c 2 3  a b c 
M t khác :  2
1 1 1 1 1 1 1
ab + bc + ca ≤ 3  a + b + c 
  
1 1 1  1 1 1 
Mà gi thi t : 15  2 + 2 + 2  = 10  + +  + 2007
a b c   ab bc ca 
1 1 1 6021
Do ó : + + ≤
a b c 5
 a =b =c
 1 6021
ng th c x y ra khi :  1 1 1 6021 ⇔ a = b = c = 3
 + + = 5
a b c 5
1 6021 1 6021
V y max P = , khi a = b = c =
3 5 3 5

Top Download

Xem thêm »

Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản