Những bài toán bất đẳng thức cơ bản trong cosi

Chia sẻ: trung9898

Tài liệu tham khảo về tuyệt kỹ điểm rơi AM-GM, phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng AM - GM. Tài liệu gồm những bài toán bất đẳng thức cơ bản trong cosi, có bài giải hướng dẫn để bạn kiểm tra lại bài làm. Mời các bạn cùng tham khảo ôn tập và luyện thi.

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Những bài toán bất đẳng thức cơ bản trong cosi

 

  1. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn NH NG BÀI TOÁN B T NG TH C CƠ B N TRONG COSI. 1 Cho n nguyên và n ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t c a A = x + xn Gi i: n x x x 1 x  1 n +1 A = + + ... + + n ≥ (n + 1)n +1   n ≥ n n n x n +1 n n  x n x n so n x 1 D u ng th c x y ra khi = n ⇔ x = n +1 n n x n +1 Giá tr nh nh t c a A = n +1 nn 1 Cho n nguyên và n ≥ 2 và x ≥ k > n +1 n . Tìm giá tr nh nh t c a A = x + xn Gi i: n +1 V i x ≥k > n 1 1  1 1  1 1 1 1  f (x ) ≥ f (k ) ⇔ x + n −k − ≥ 0 ⇔ x − k +  −   n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1  ≥ 0 n x k x k x x k x k k   1  1 1 1 1  ⇔ (x − k ) 1 −  n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1   ≥ 0  xk  x x k x k k  (x − k )   1 1 1 1  ⇔ xk −  n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1   ≥ 0 xk  x x k x k k  1 1 1 1 n n Ta có: n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1 ≤ n −1 < = n +1 n 2 < xk x x k x k k k n +1 n −1 n Suy ra f (x ) ≥ f (k ) úng v i m i x ≥ k > n +1 n 1 Giá tr nh nh t c a A = k + khi x = k . kn Cách 2 : n x x 1 nx x  1  n Nháp : A = + ... + + n +x − ≥ (n + 1)n +1   n + x  1 −  m m x m m  x  m x n so ,m > 0 m
  2. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn x = k  n +1 Ta ch n m sao cho:  x 1 ⇒m =x = k n +1 m = n  x n x x 1 nx  x  1  n  Bài gi i: A = + ... + + n + x − n +1 ≥ (n + 1)n +1  n +1  n + x  1 − n +1  k n +1 k n +1 x k k  x  k  x n so kn +1 (n + 1)  n  1 Vì x ≥ k > n +1 n nên n < k n +1 suy ra: A ≥ n + k  1 − n +1  = k + n = f (k ) k  k  k Cho hai s th c x ≠ 0, y ≠ 0 thay ( ) i và th a mãn i u ki n: x + y xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm giá tr l n nh t 1 1 c a bi u th c : A = 3 + x y3 thi i h c kh i A năm 2006 Gi i: ( ) Xét x + y xy = x + y − xy * . 2 2 () 1 1 tu= ,v = . x y 1 1 1 1 1 3(u + v )2 ( ) 2 Ta ư c + = 2 + 2 − ⇒ u + v = u 2 + v 2 − uv ⇒ u + v − (u + v ) = 3uv ≤ . x y x y xy 4 ( ) 2 ⇒ u +v − 4(u + v ) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ u + v ≤ 4 x 3 + y3 (x + y )(x 2 + y 2 − xy ) (x + y )(x + y )xy x 2 + y 2 + 2xy Khi ó : A = = = = x 3y 3 x 3y 3 x 3y 3 x 2y 2 1 1 2 ⇒A= 2 + 2 + = (u + v )2 ≤ 16 . x y xy 1 D u ng th c x y ra khi u = v = 2 hay x = y = . 2 Cho x , y, z là 3 s th c dương thay i . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c x 1  y 1  z 1  P = x + +y + +z +   2 yz   2 zx   2 xy  thi i h c kh i B năm 2007 Gi i: x 1  y 1  z 1  x 2 y2 z 2 x y z P = x +  +y +  +z + = + + + + +  2 yz   2 zx   2 xy  2 2 2 yz zx xy
  3. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 1  1 2 2  1  ( P = x 2 + y2 + z 2  + )  = x + y + z 1 +  2 xyz  2 2  1 ( +  xyz xyz  ) 1 3 2 2 2 1 9 P ≥ 9 x y z .3 2 2 2 = . 2 x yz 2 ng th c x y ra khi x = y = z = 1 . 9 V y giá tr nh nh t c a bi u th c P = 2 thi i h c kh i A năm 2009 Cho x , y, z là các s th c dương thay i và tho mãn i u ki n x .y.z = 1 .Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = ( x2 y + z ) + ( y2 z + x ) + ( z2 x + y ) y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y thi i h c kh i A năm 2007 Gi i: 2x x xyz 2y y xyz 2z z xyz 2x x 2y y 2z z P ≥ + + ≥ + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y  1 a = y y + 2z z x x = (−2a + 4b + c )  9    1 t: b = z z + 2x x ⇒ y y = (a − 2b + 4c )   9 c = x x + 2y y 1 z z = (4a + b − 2c)    9 2  −2a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c  2  b a c  c a b   Khi ó: P ≥  + +  ≥  −6 + 4  + +  +  + +   . 9   a b c  9 a c b  a b c   2 Hay P ≥ 9 ( −6 + 4.3 + 3 = 2 . ) V y giá tr nh nh t c a bi u th c c a P = 2 khi a = b = c = 1 . Cho các s th c không âm x , y thay i và th a mãn x + y = 1 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a ( )( bi u th c S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy . ) thi Cao ng kh i B năm 2009 Gi i: Nh n xét: vai trò gi ng nhau ( i x ng) c a x , y .
  4. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn ( ) S = 12 x 3 + y 3 + 16x 2y 2 + 34xy = 12 x + y x 2 + y 2 − xy + 16x 2y 2 + 34xy ( )( ) 2  1  191 Hay S = 12 x + y  x + y ( )( ) − 3xy  + 16x 2y 2 + 34xy =  4xy −  + 2      4 16 2 x +y  1 Vì x , y không âm và th a mãn x + y = 1 suy ra 0 ≤ xy ≤   =  2  4 2 1 1 3  1  191 25 ⇒ − ≤ 4xy − ≤ ⇒ 0 ≤  4xy −  + ≤ . 4 4 4  4 16 2 25 1 V y giá tr l n nh t c a S = khi x = y = và giá tr nh nh t c a S = 0 khi x = 0, y = 1 . 2 2 ( ) 3 Cho các s th c x , y thay i và th a mãn x + y + 4xy ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ( A = 3 x 4 + y 4 + x 2y 2 − 2 x 2 + y 2 + 1 ) ( ) thi i h c kh i B năm 2009 Gi i: (x + y ) + 4xy ≥ 2  3  ( ) + (x + y ) 3 2 ⇒ x +y ≥2⇒x +y ≥1 . (x + y ) 2 ≥ 4xy   ( 3 A = 3 x 4 + y 4 + x 2y 2 − 2 x 2 + y 2 + 1 = ) ( ) 2 (x + y + x + y + 2x y ) − 2 (x + y ) + 1 4 4 4 4 2 2 2 2 A = (x + y ) + (x + y ) − 2 ( x + y ) + 1 3 3 4 4 2 2 2 2 2 2 2 Mà x + y = ( x + y ) − 2x y ≥ ( x + y ) − ( x + y ) ⇒ x + y ≥ ( x + y ) 4 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 Khi ó A ≥ ( x + y ) + ( x + y ) − 2 ( x + y ) + 1 hay A ≥ ( x + y ) − 2 ( x + y ) + 1 3 3 2 2 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 (x + y )2 1 ( ) 9 1 2 t t = x 2 + y2 ,t ≥ ≥ ⇒ A ≥ t 2 – 2t + 1,t ≥ . 2 2 4 2 1  Xét hàm s f t = () 9 2 nh và liên t c trên n a kho ng  ; +∞  . t – 2t + 1 xác 4 2  1  9 () 9 1 Ta có f ' t = t – 2 ≥ − 1 > 0 , t ≥ ⇒ f t ng bi n trên n a kho ng  ; +∞  . () 2 4 2 2  1 9 1 Khi ó min A = min f t = f   = . () ng th c x y ra khi t = 1  t∈ ;+∞   2  16 2 2  I M RƠI TRONG B T D NG TH C COSI
  5. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn Bài toán m u : Cho a, b > 0 và th a mãn a + b ≤ 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 1 1 P = + . 1 + a 2 + b2 2ab Gi i: 1 1 4 4 4 L i gi i 1. Ta có: P = + ≥ 2 = ≥ =2 1+a +b 2 2 2ab a + 2ab + b + 1 (a + b) + 1 2 2 2  1 + a + b = 2ab 2 2  (a − b ) + 1 = 0 2 D u " = " x y ra ⇔  ⇔ . H vô nghi m. V y không t n t i min P . a + b = 1  a + b = 1  1 1 1 4 1 4 1 L i gi i 2. Ta có: P = + + ≥ 2 + = + 1+a +b 2 2 6ab 3ab a + 6ab + b + 1 3ab (a + b) + 1 + 4ab 3ab 2 2 2 a + b  1 4 1 8 M t khác ab ≤   = .V y P ≥ 2 + 2 ≥ .  2  4 a + b  a + b  3 2+  6   2   2  1 + a 2 + b 2 = 3ab  1 D u " = " x y ra ⇔ a = b ⇔a =b = . a + b = 1 2  1 1 4 L i bình: l i gi i 1. và l i gi i 2 g n như tương t nhau, cùng áp d ng b t + ≥ ng th c . T i sao a b a +b 1 1 1 trong cùng m t bài toán mà có n hai áp s ? Do âu mà l i gi i 2 t i sao l i tách = + ?. ó 2ab 6ab 3ab chính là k thu t ch n i m rơi trong b t ng th c. Các b t ng th c trong các thi i h c thông thư ng là i x ng v i các bi n và ta d oán d u b ng x y ta khi các bi n b ng nhau và x y ra t i biên. 1 1 Cho a, b > 0 và th a mãn a + b ≤ 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + + 4ab . a +b 2 2 ab Gi i: 1 Do P là bi u th c i x ng v i a, b , ta d oán min P tt i a =b = . 2 1 1  1  1 4 1 1 Ta có: P = + +  4ab + + ≥ + 2 4ab. + ≥7 a 2 + b2 2ab  4ab  4ab (a + b)2 2ab a + b  2 4   2 
  6. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn a 2 + b 2 = 2ab   1 1 D u " = " x y ra ⇔ a 2b 2 = ⇔a =b = .  16 2 a +b = 1  1 V y giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 tt i a =b = . 2 Thao kh o hai l i gi i khác : L i gi i 1: 1 1  1  1 4 1 1 1 1 P = + +  4ab + + ≥ 2 4ab. + ≥ 4+2+ =6+ a +b ( ) 2 2 2 ab  4ab  4ab a +b 2ab 4ab 4ab 4ab a 2 + b 2 = 2ab   1 1 1 D u " = " x y ra ⇔ a 2b 2 = ⇔ a = b = . Thay a = b = vào ta ư c P ≥ 7 .  16 2 2 a +b = 1  1 V y giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 t t i a = b = . 2 L i bình 1: 1 Qua cách gi i trên ta ã ch n úng d u ng th c x y ra khi a = b = nên d n n vi c tách các s h ng và 2 1 giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 t t i a = b = là úng , nhưng bư c cu i cùng ta ã làm sai , ví d 2 (1 − a + a ≥ a , ng th c x y ra khi a = 1 ⇒ min  1 − a + a  = a ?. ) ( ) 2 2     L i gi i 2: 1 1 1 4 1 4  1  P = 2 + + + 4ab ≥ 2 + + 4ab = + + 4ab  . a + b 2 2ab 2ab a + b 2 + 2ab 2ab ( ) 2 a +b  2ab  M t khác 1 2ab + 4ab ≥ 2 1 2ab .4ab = 2 2 . V y P ≥ 4 + 2 2 ⇒ min P = 2 2 + 2 ( ) L i bình 2: 1 1 1 Tho t nhìn th y bài toán ã gi i úng . Th c t thì sao? . Vi c tách = + làm xu t hi n ng ab 2ab 2ab ( ) 2 th c a 2 + b 2 + 2ab = a + b . a = b  (  1 min P = 2 2 + 2 ⇔   2ab ) = 4ab . H vô nghi m. ng th c không x y ra , do ó không t n t i min P . a + b = 1  3 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c ≤ . Ch ng minh r ng : 2
  7. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 1 1 15 1. a + b + c + + + ≥ . a b c 2 1 1 1 3 17 2. a 2 + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ . a b c 2 1 1 1 3 17 3. a 2 + + b2 + + c2 + ≥ . b2 c2 a2 2 Gi i: 1 1 1 15 1. a + b + c + + + ≥ a b c 2 1 1 1 1 1 Ta có th ph m sai l m: a + b + c + + + ≥ 3 3 abc + 3 ≥6 3 abc . =6 a b c 3 abc 3 abc 3 D u ng th c x y ra khi a = b = c = 1 nhưng khi ó a + b + c = 3 > ( trái gi thi t ) . 2 Phân tích bài toán : 3 T gi thi t a,b,c dương tho mãn a + b + c ≤ , g i ý hư ng gi i b t ng th c trung bình c ng, trung 2 3 1 1 bình nhân. ≥ a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ . t: x = 3 abc ≤ 2 2 2 1 1 1 1  1 1 Khi ó : a + b + c + + + ≥ 3 3 abc + 3 = 3  x +  . D oán ng th c x y ra khi x = a b c 3 abc  x 2  1 x =  Ta ch n α > 0 sao cho:  2 ⇒ α = x2 = 1 . x = 1 4 α x  Bài gi i: 1 1 1  1  1  1 9 15 a +b +c + + + ≥ 3  x +  ≥ 3  4x + − 3x  ≥ 3.2 4x . − 9x = 12 − = a b c  x  x  x 2 2 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 2 1 1 1 3 17 2. a 2 + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ . a b c 2 Phân tích bài toán : 3 T gi thi t a,b,c dương tho mãn a + b + c ≤ , g i ý hư ng gi i b t ng th c trung bình c ng, trung 2 3 1 1 1 bình nhân. ≥ a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ . t: x = 3 abc ≤ , ng th c x y ra khi x = . 2 2 2 2  1 1 x =  1 Xét x 2 + 2 , ch n α > 0 sao cho:  2 ⇒ α = 4 = 16 . x x 2 = 1 x   αx 2
  8. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 Áp d ng b t ng th c trung bình c ng, trung bình nhân cho 17 s , trong ó 16 s là 2 và s x 2 : 16x −15 16 1  1  1 1 17x 17 x + 2 = x + 16. 2 2 2 ≥ 17 x  2  17 2 ⇒ x2 + 2 ≥ 32 . x 16x  16x  x 17 2 −15 −15 −15 1 17a 17 1 17b 17 1 17c 17 ⇒ a2 + ≥ ; b2 + ≥ ; c2 + ≥ a2 32 b2 32 c2 32 2 17 2 17 2 17 1 17  17  17  17 17 17  3 −15 −15 −15 −15 −15 −15 1 1 1 ⇒ a + 2 + b + 2 + c + 2 ≥ 32  a + b + c  ≥ 32 .3  a b c  2 2 2 17 17 a b c     2 17   2 17   −5 15 2 a 1 b 1 c 1 a + 2 + b 2 + 2 + c 2 + 2 ≥ 32 abc 3 17 ( ) 17 ≥ 3 17 32 .2 17 = 3 17 2 . 2 17 2 17 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 2 Cách khác :  1  1  1 Ch n : u =  a;  , v = b;  , w =  c;   a  b  c Dùng b t ng th c vecto u + v + w ≥ u + v + w 2 1 1 1 1 1 1 (a + b + c ) 1 2 a + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ 2 + + +  ≥3 3 (abc)2 + a b c a b c  3 (abc )2 2 ( ) a + b + c  2 1 Tương t trên , ta tx = 3 abc ≤  ≤ .  3  4 1 1 1 1 1 15 x 1 15 a2 + + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ 3 x + = 3 x + + ≥3 2 . + a2 b c x 16x 16x 16 x 16x 1 1 1 1 15 1 15 3 17 a2 + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ 3 + ≥3 + = . a b c 2 16x 2 4 2 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 2 1 1 1 3 17 3. a 2 + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ . b c a 2  1 1 x = y =  Tương t trên . Xét x 2 + 2 , ch n α > 0 sao cho:  2 ⇒ α = 1 = 16 y 1 x 2y 2 x 2 =   αy2
  9. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 Áp d ng b t ng th c trung bình c ng, trung bình nhân cho 17 s , trong ó 16 s là 2 và s x 2 : 16y 1 −16 16 1 1  1  1 17x 17 y 17 x 2 + 2 = x 2 + 16. 2 ≥ 1717 x 2  2  ⇒ x2 + 2 ≥ 32 . y 16y  16y  y 2 17 1 −16 1 −16 1 −16 1 17a b17 17 1 17b c 17 17 1 17c a17 17 ⇒ a2 + ≥ ; b2 + ≥ ; c2 + ≥ b2 32 c2 32 a2 32 2 17 2 17 2 17 17  17 17 1 −16 1 −16 1 −16  −5 15 1 1 1 3 17 3 17 3 17 a + 2 + b + 2 + c + 2 ≥ 32  a b + b 2 b c 2 a 2  17 c 17 +c 17 a 17  ≥ 32 abc  ( ) 17 ≥ 32 2 17 = 2 2 17   2 17 2 17 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 2 1 1 1 Cho x , y, z > 0 và th a mãn+ + = 4 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c x y z 1 1 1 P = + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z thi i h c kh i D năm 2007 Gi i:  2005 + b 2005 ≤ 1 a Cho các s không âm a, b, x , y th a các i u ki n  2005 . Ch ng minh r ng : x + y 2005 ≤ 1  a 1975 .x 30 + b1975 .y 30 ≤ 1 Toán tu i thơ 2 – s 27 Gi i: Nh n xét : Các a th c tham gia trong bài toán cùng b c 2005 = 1975 + 30 , ng th i s mũ c a các bi n tương ng b ng nhau. 2005 2005 Áp d ng b t ng th c trung bình c ng , trung bình nhân cho 1975 s a và 30 s x
  10. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1975.a 2005 + 30.x 2005 (a ) . (x ) () 1975 30 ≥ 2005 2005 2005 = a 1975 .x 30 1 (1975 + 30 ) 1975.b 2005 + 30.y 2005 (b ) . (y ) () 1975 30 Tương t ≥ 2005 2005 2005 = b 1975 .y 30 2 (1975 + 30 ) T (1) và (2 ) suy ra 1975. (a 2005 ) ( ) ( + b 2005 + 30. x 2005 + y 2005 ≥ 2005. a 1975 .x 30 + b 1975 .y 30 ) (3) a 2005 + b 2005 ≤ 1  T  2005 +y 2005 ≤1 ( ⇒ 2005 ≥ 1975. a 2005 + b 2005 + 30. x 2005 + y 2005 ) ( ) (4) x  T ( 3 ) và ( 4 ) suy ra 2005 ≥ 2005. (a 1975 ) .x 30 + b 1975 .y 30 ⇒ a 1975 .x 30 + b 1975 .y 30 ≤ 1 D u ng th c x y ra khi a 1975 = x 30 , b1975 = y 30 . a m +n + b m +n ≤ 1  T ng quát : Cho các s không âm a, b, x , y th a các i u ki n  m +n . Ch ng minh r ng : x + y m +n ≤ 1  a m .x n + b m .y n ≤ 1 . Cho x , y, z là các s dương th a mãn i u ki n: x 2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: xy yz zx A= + + . z x y Gi i: 2 2 2  xy   yz   zx  Ta có : A =   +   +   + 2 y 2 + z 2 + x 2 . 2  z  x  y  ( ) Áp d ng b t ng th c: x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx Ta ư c: A2 ≥ (y 2 + z 2 + x 2 ) + 2(y 2 + z 2 + x 2 ) = 3(y 2 + z 2 + x 2 ) = 3. xy yz xz 1 ng th c x y ra ⇔ = = ⇒x =y =z = . z x y 3 1 V y min A = 3 t ư c khi x = y = z = . 3 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh r ng : a b c 3 3 + 2 + 2 2 ≥ . b +c c +a 2 2 2 a +b 2 Phân tích bài toán :
  11. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a 2 + b 2 + c 2 = 1 , v y ta có th suy ra 0 < a ≤ b ≤ c < 1 hay không?. Như v y i u ki n a,b,c không chính xác vì d u ng th c ch x y ra khi 0 < a = b = c   1   2 ⇒ a,b,c ∈  0; . a + b2 + c2 = 1  3  • Ta th y m i liên h gì c a bài toán ?. D th y a 2 + b 2 + c 2 = 1 và b 2 + c 2 , c 2 + a 2 , a 2 + b 2 . G i ý ta ưa a b c 3 3 bài toán v d ng c n ch ng minh : + + ≥ 1−a 2 1 −b 2 1−c 2 2 • Vì vai trò a,b,c như nhau và 2 ý phân tích trên g i ý ta ưa n cách phân tích  a 3 2  ≥ a  1−a 2 2 3 3 2 2 2  b 1−a a 2 + b 1 −b 2 + c 1−c 2 ≥ 2 (a + b + c ) và c n ch ng minh 1 − b2 ≥ 23 b2 .    c 3 2  ≥ c 1 − c 2  2 • Ta th i tìm l i gi i : a 3 2 1 3 3 2 4 8 ≥ a ⇔ ≥ a⇔ ≥ a(1 − a 2 ) ⇔ ≥ a 2(1 − a 2 )2 ⇔ ≥ 2a 2(1 − a 2 )2 1−a 2 2 1−a 2 2 3 3 27 27 2a 2(1 − a 2 )2 = 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 )  D th y  2 2a + (1 − a ) + (1 − a ) = 2 2 2  Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân 2 = 2a 2 + (1 − a 2 ) + (1 − a 2 ) ≥ 3 3 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 ) 2 8 ⇒ ≥ 3 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 ) ⇔ ≥ 2a 2(1 − a 2 )2 3 27 Tương t cho các trư ng h p còn l i. Gi i : a3 b3 c3 1 Cho 3 s th c dương a,b,c . Ch ng minh r ng : + + ≥ (a + b + c ) b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) 2 Phân tích bài toán : • ng th c c n ch ng minh ưa v d ng : a3 b3 c3 + m (a + c ) + nb + + k (b + a ) + pc + + i (b + c ) + ja ≥ 0 . b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) • Gi s 0 < a ≤ b ≤ c . D oán ng th c x y ra khi a = b = c .
  12. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn a3 T ó g i m hư ng gi i : + m (a + c ) + nb ≥ 3 3 mna . ng th c x y ra khi b (c + a )  a3 m = 1  = m (a + c ) = nb a 3  4 b (c + a ) ⇔ = m (a + a ) = na ⇔  a = b = c a (a + a ) n = 1   2 Tương t cho các trư ng h p khác . Gi i : a3 1 1 3 a3 1 1 + b + (c + a ) ≥ a . ng th c x y ra khi: = b = (c + a ) . b (c + a ) 2 4 2 b (c + a ) 2 4 3 3 b 1 1 3 b 1 1 + c + (b + a ) ≥ b . ng th c x y ra khi: = c = (b + a ) . c (a + b ) 2 4 2 c (a + b ) 2 4 c3 1 1 3 c3 1 1 + a + (b + c ) ≥ c . ng th c x y ra khi: = a = (b + c ) . a (b + c ) 2 4 2 a (b + c ) 2 4 3 3 3 a b c 1 C ng v theo v ta ư c : + + ≥ (a + b + c ) . D u ng th c x y ra khi : b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) 2 a =b =c > 0 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a +b +c = 1 . Ch ng minh r ng : 7 a. a +1 + b +1 + c +1 < 2 b. a + b + b + c + c + a ≤ 6 . c. 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a ≤ 3 18 . 1 1 1 d. a + b + c + + + ≥ 10 a b c Gi i: 7 a. a + 1 + b + 1 + c + 1 < 2 ( ) a +1 +1  ( a + 1 = 1. a + 1 ≤ ) 2 a 2 + 1 =  ( ) b +1 +1 b   a +b +c ( b + 1 = 1. b + 1 ≤ ) 2 = +1  ⇒ a +1 + b +1 + c +1 ≤ 2 2 +3= 7 2  ( ) c +1 +1 c  ( c + 1 = 1. c + 1 ≤ ) 2 = +1  2   ng th c x y ra khi a +1 = b +1 = c +1 = 1 ⇔ a = b = c = 0 ⇒ a +b +c = 0 ≠ 1 7 V y a +1 + b +1 + c +1 < 2 b. a + b + b + c + c + a ≤ 6 . Phân tích bài toán :
  13. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a + b + c = 1 , d u ng th c ch x y ra 0 < a = b = c  1 1 khi  ⇒ a = b = c = . H ng s c n thêm là . a + b + c = 1  3 3 • T gi thi t g i ý ta ưa n cách phân tích a + b + b + c + c + a ≤ 6 (a + b + c ) hay  1 1 1 1 1 1 3  a + +b + b + +c + c + +a +  S = a +b + b +c + c +a ≤ . 3 3+ 3 3+ 3 3.  2  2 2 2    • Ta th i tìm l i gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân 1 1  2 3 a + 3 +b + 3 3  (a + b ) + 3  3 2 =  ≥ . (a + b ) . = a + b 2 2 2 2  2 3   Tương t cho các trư ng h p còn l i . Cách khác : 1 a +b + m (a + b ) m ≤ m  2  . V 1 Gi s v i m i m > 0 , ta luôn có : a +b =   n bây gi ta m   d oán m > 0 bao nhiêu là phù h p?. a + b = m  2 D th y ng th c x y ra khi  1 ⇔m = 3. a = b =  3 Gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân   3 2 AM _GM 3 (a + b ) + 2  a +b = . (a + b ) . ≤ . 3  2 3 2 2  2   3 2 AM _GM 3 (b + c ) + 3  b +c = . (b + c ) . ≤ .  2 3 2 2  2  3 2 AM _GM 3 (c + a ) + 3  c +a = . (c + a ) . ≤ .  2 3 2 2   2 3 2 (a + b + c ) + 3. 3 3 ⇒ a +b + b +c + c +a ≤ . = .2 = 6 ( pcm). 2 2 2 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 3 c. 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a ≤ 3 18 .
  14. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a + b + c = 1 , d u ng th c ch x y ra  2 a + b = 3 0 < a = b = c   1  2 2 khi  ⇒ a = b = c = ⇒ b + c = . H ng s c n thêm là a + b + c = 1  3  3 3  2 c + a = 3  • T gi thi t g i ý ta ưa n cách phân tích 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a ≤ 3 18 (a + b + c ) hay (a + b ) + 2 + 2 (b + c ) + 2 + 2 (c + a ) + 2 + 2 3 3+ 3 3+ 3 3 T = 3a +b + 3b +c + 3c +a ≤ 3 3 3 . Gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân  2 2 3 9 3 2 2 (a +b + + ) ( )  a +b = 3 . a +b . . ≤ 4 3 3 3 3 3   2 2 3  9 2 2 (b +c + +) ( )  b + c = 3 .3 b + c . . ≤ 4 3 3 3 3 3   2 2  9 2 2 (c + a ) + +  3 c + a = 3 .3 (c + a ) . . ≤ 3 3  4 3 3 3   9 2 (a + b + c ) + 4 3 9 6 3 ⇒T = 3 a +b + 3 b +c + 3 c +a ≤ 3 . = . = 18 ( pcm). 4 3 4 3 1 D u ng th c x y ra khi a = b = c = . 3 1 1 1 d. a + b + c + + + ≥ 10 a b b Phân tích bài toán : • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a +b +c = 1, d u ng th c ch x y ra 0 < a = b = c  1 khi  ⇒a =b =c = . a + b + c = 1  3 1 •T i u c n ch ng minh ,g i ý ta ưa n cách phân tích v i m i m > 0 , ta luôn có : ma + ≥2 m. a ma = 1  a ⇔ m = 9. ng th c x y ra khi :  a = 1  3 1 1 1 1 1 1 • Vì th mà T = a + b + c + + + = 9 (a + b + c ) + + + − 8 (a + b + c ) a b b a b b
  15. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn Gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân 9a + 1 ≥ 6  a   1 9b + ≥ 6  b 9c + 1 ≥ 6   c 1 1 1 ⇒ T = 9 (a + b + c ) + + + − 8 (a + b + c ) ≥ 3.6 − 8 (a + b + c ) = 10 ( pcm). a b b 1 ng th c x y ra khi : a = b = c = . 3 Bài t p tương t Cho các s th c dương x , y, z và th a mãn mx + ny + pz ≥ d trong ó m, n, p, d ∈ ». Tìm giá tr l n nh t bi u th c A = ax + by + cz 2 2 2 Hư ng d n : Th c hi n vi c ch n i m rơi : ax = by = cz = 2 2 2 β Ch ng minh r ng n u xy + yz + zx = 5 thì 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 10 Phân tích bài toán : • Trư c h t ta ý m i liên h gi a 3x 2,3y 2, z 2, xy, yz, zx cho ta i u gì ?, ph i chăng nh ng h ng ng 2 2 th c có d ng : (ax − by ) ≥ 0 ⇔ (ax )2 + (by ) ≥ 2axby ?. • Phân tích : ax 2 + ay 2 ≥ 2axy . ng th c x y ra khi x = y by 2 + cz 2 ≥ 2 bcyz . ng th c x y ra khi by 2 = cz 2 cz 2 + bx 2 ≥ 2 cbzx . ng th c x y ra khi cz 2 = bx 2  a + b = 3 a = 1     Bây gi ta ch n a,b,c sao cho : 2c = 1 ⇔ b = 2   a = bc  c = 1   2 Gi i : x 2 + y 2 ≥ 2xy . ng th c x y ra khi x = y 1 1 2y 2 + z 2 ≥ 2yz . ng th c x y ra khi 2y 2 = z 2 2 2 1 2 1 z + 2x 2 ≥ 2zx . ng th c x y ra khi z 2 = 2x 2 2 2
  16. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn C ng v theo v ta ư c : 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 2 (xy + yz + zx ) ⇒ 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 10 ( pcm). x = y  1 2y 2 = z 2  2 x = y = 1  ng th c x y ra khi :  ⇔ 1  z 2 = 2x 2 z = 2  2 xy + yz + zx = 5  47 235 Cho 3 s th c dương x , y, z tho mãn x +y +z = . Ch ng minh r ng : 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ 12 12 Phân tích bài toán : 235 • Trư c h t ta ý m i liên h gi a 3x 2,4y 2,5z 2, x, y, z cho ta i u gì ?, g i ý : 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ 12 ư c bi n i v d ng 3x + m + 4y + n + 5z + p ≥ k , ( 0 < m ≤ n ≤ p ≤ k = const ) 2 2 2 • Phân tích : 3x 2 + m ≥ 2 3mx, m > 0 . ng th c x y ra khi 3x 2 = m 4y 2 + n ≥ 2 4ny, n > 0 . ng th c x y ra khi 4y 2 = n 5z 2 + p ≥ 2 5pz, p > 0 . ng th c x y ra khi 5z 2 = p  5 x = 3  2  3x = m y = 5  2  4y = n 4 z = 1   Bây gi ta ch n x , y, z sao cho : 5z 2 = p ⇔   m = 25  3m = 4n = 5p  3   25 x + y + z = 47 n =   12  4 p = 5  Gi i : 25 25 25 3x 2 + ≥ 2 3. x . ng th c x y ra khi 3x 2 = . 3 3 3 25 25 25 4y 2 + ≥ 2 4. y . ng th c x y ra khi 4y 2 = . 4 4 4 5z 2 + 5 ≥ 2 5.5z . ng th c x y ra khi 5z 2 = 5 . 235 235 C ng v theo v ta ư c 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ 10 ( x + y + z ) − = ( pcm). 12 12
  17. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn  5 x = 3   5 ng th c x y ra khi y = .  4 z = 1   Cho 3 s th c không âm a,b,c . Ch ng minh r ng : 1 + 3 abc ≤ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) Gi i : 1 + 3 abc ≤ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) ⇔ 3 1.1.1 + 3 abc ≤ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 1.1.1 abc ⇔ + ≤1 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 3 3 1.1.1 abc t:T = +3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 3 1 1 1 1  1 a b c  T≤ 1 + a + 1 + b + 1 + c  + 3 1 + a + 1 + b + 1 + c  3    1 a + 1 b + 1 c + 1  1 T≤  + + = .3 = 1 3 1 + a 1 + b 1 + c  3  D u ng th c x y ra khi a = b = c ≥ 0 . T ng quát : ( Ch ng minh r ng v i m i ai ,bi > 0 i = 1, n thì ta luôn có :) a1a2.......an + n b1b2.......bn ≤ n  a1 + b  (a1 + b2 ) ........ (an + bn )  1 n   1 1 1  Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng :  − 1   − 1   − 1  ≥ 8 . a  b c  Gi i : 1 1 1  1 −a  1 −b  1 −c  b + c c + a a +b VT =  − 1   − 1  − 1  =  . . = a . b . c a  b c   a   b   c  AM_GM 2 bc 2 ca 2 ab VT ≥ . . = 8( pcm) a b c T ng quát : x 1, x 2 , x 3 ,..............., x n > 0  Cho  . x 1 + x 2 + x 3 + ........ + x n = 1 
  18. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1  1  1   1  Ch ng minh r ng :  − 1   − 1   − 1  ........  − 1  ≥ (n − 1)n . x  x     1   x2   x3   n  1 1 1 1 Cho 4 s th c dương a,b,c,d tho mãn + + + ≥ 3 . Ch ng minh r ng : 1+a 1 +b 1+c 1 +d 1 abcd ≤ . 81 Gi i : 1  1   1   1  b c d ≥ 1 -  + 1 −  + 1 − = + + 1+a  1+b   1+c   1+d  1+b 1+c 1+d 1 AM _GM bcd ≥ 33 1+a (1 + b ) (1 + c ) (1 + d )  1 bcd  ≥3 (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) 3 1 + a   1 ≥ 33 cda 1 + b  (1 + c ) (1 + d ) (1 + a ) V y:   1 dca 1 + c ≥3 (1 + d ) (1 + c )(1 + a ) 3    1 ≥ 33 abc 1 + d  (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 1 abcd 1 ⇒ ≥ 81 ⇒ abcd ≤ (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) 81 T ng quát : x 1, x 2 , x 3 ,............., x n > 0  Cho :  1 1 1 1 1 + x + 1 + x + 1 + x + ......... + 1 + x ≥ n − 1  1 2 3 n 1 Ch ng minh r ng : x 1x 2x 3 ...........x n ≤ . (n − 1)n Bài tương t Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng : a b c 3 a. + + ≥ . 1+b 2 1+c 2 1+a 2 2
  19. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn a b c 3 b. + + ≥ . a + b2 b + c2 c + a 2 2 a2 b2 c2 c. + + ≥ 1. a + 2b 2 b + 2c 2 c + 2a 2 Hư ng d n : a + b + c = 3 a.   3(ab + bc + ca ) ≤ (a + b + c) ⇒ ab + bc + ca ≤ 3 2   a a(1 + b 2 ) − ab2 ab 2  = =a − a ab 1 + b 1 + b2 1 + b2 ⇒ ≥a − 2 1 + b 2 ≥ 2b 1+b 2 2  b bc 2 bc c ca 2 ca Tương t : =b − ≥b − , =c − ≥c − 1+c 2 1+c 2 2 1+a 2 1+a 2 2 a b c ab + bc + ca 3 3 C ng v theo v : + + ≥ a +b +c − ≥3− = . 1+b 2 1+c 2 1+a 2 2 2 2 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a.b.c = 1 . Ch ng minh r ng : a3 b3 c3 3 a. + + ≥ . (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4 1 1 1 b. + + ≤1 2 +a 2 +b 2 +c Hư ng d n : a. Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng : a2 b2 c2 1 + + ≥ b +c c +a a +b 2 Gi i : a2 b2 c2 1 a2 b2 c2 1 + + ≥ ⇔( + a) + ( + b) + ( + c) ≥ + (a + b + c) b +c c +a a +b 2 b +c c +a a +b 2
  20. Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn a 2 + a(b + c) b2 + b(c + a ) c2 + c(a + b) 1 ⇔ + + ≥ +1 b +c c +a a +b 2 a(a + b + c) b(b + c + a ) c(c + a + b) 3 ⇔ + + ≥ b +c c +a a +b 2 a b c 3 ⇔ + + ≥ vì a + b + c = 1 . b +c c +a a +b 2 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng : ab bc ca 1 a. + + ≤ . a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 Hư ng d n : 1 1 4 a. Dùng b t ng th c + ≥ . a b a +b Cho 3 s th c dương a,b,c . Ch ng minh r ng : a3 b3 c3 1 a. + + ≥ (a + b + c ) (a + b)(b + c) (b + c)(c + a ) (c + a )(a + b) 4 a3 b3 c3 1 b. + + ≥ (a + b + c) b(c + a ) c(a + b) a(b + c) 2 Hư ng d n :  a3 a +b b +c 3  8a 3  + + ≥ a  + (a + b) + (b + c) ≥ 6a  (a + b)(b + c) 8 8 4  (a + b)(b + c)  b3 b +c c +a 3  8b 3 a. Cách 1 :   + + ≥ b  Cách 2:  + (b + c) + (c + a ) ≥ 6b  (b + c)(c + a ) 8 8 4  (b + c)(c + a )  c3 c +a a +b 3  8c 3  + + ≥ c  + (c + a ) + (a + b) ≥ 6c  (c + a )(a + b)  8 8 4  (c + a )(a + b)   4a 3  a3 b c +a 3  + 2b + (c + a ) ≥ 6a  + + ≥ a  b(c + a ) b(c + a ) 2 4 2  4b 3  b3 c a +b 3 b. Cách 1:    + 2c + (a + b) ≥ 6b Cách 2:  + + ≥ b c(a + b) c(a + b) 2 4 2  4c 3  c3 a b +c 3  + 2a + (b + c) ≥ 6c  + + ≥ c a(b + c)  a(b + c) 2  4 2
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản