Ôn tập đại số cơ sở bài 3-TS Trần Huyền

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

0
105
lượt xem
47
download

Ôn tập đại số cơ sở bài 3-TS Trần Huyền

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ôn tập đại số cơ sở bài 3-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Ôn tập đại số cơ sở bài 3-TS Trần Huyền

  1. Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS Tr n Huyên Ngày 19 tháng 11 năm 2004 Bài 3. Các D ng Toán Ki m Tra Nhóm Cyclic Và C p M t Ph n T Trong Nhóm Đ ki m tra m t nhóm cho trư c là cyclic, thông thư ng ta áp d ng đ nh nghĩa v nhóm cyclic. Ta nh c l i đ nh nghĩa đó: Đ nh nghĩa 1 Nhóm X đư c g i là nhóm cyclic n u t n t i m t ph n t a ∈ X và X = a , t c X trùng v i nhóm con sinh b i ph n t a, bao g m t t c các lũy th a nguyên c a a. V y :X = a = {an : n ∈ Z} Như v y, đ ch ng minh nhóm X là cyclic, theo đ nh nghĩa 1, ta b t bu c ph i ch ra cho đư c m t ph n t sinh a ∈ X, đ ng th i ph i ch ng minh r ng b t kỳ ph n t x ∈ X đ u vi t đư c dư i d ng m t lũy th a nguyên c a a. Ví d 1 Cho X là nhóm cyclic, X = a . Ch ng minh r ng m i nhóm con A ⊂ X đ u là n nhóm cyclic. Bài gi i Trư ng h p A = {e} thì A = e . Trư ng h p A = {e}, do A ⊂ X = {an : n ∈ Z}, t t n t i m t lũy th a ak = e mà ak ∈ A, n −k và khi đó a ∈ A do A là nhóm con. T c t n t i m t lũy th a nguyên dương c a a thu c vào A (ho c ak , ho c a−k ). Đ t m = min{k > 0 : ak ∈ A}, ta ch ng minh A = am . Th t v y, v i m i x ∈ A thì x = ak v i k = q.m+r(0 ≤ r < m), và t ak = aq.m+r = (am )q .ar ta suy ra: ar = ak . (am )−q ∈ A do ak , am ∈ A. B i đi u ki n 0 ≤ r < m và m là m t s nguyên dương bé nh t đ am ∈ A, bu c r = 0. T c là k = q.m hay x = ak = (am )q . V y A là nhóm cyclic. Nh n xét Đ d đoán đư c ph n t sinh c a A là lũy th a nguyên dương bé nh t am ∈ A, ta căn c vào tính ch t c a ph n t sinh: n u am là ph n t sinh c a A thì m i ph n t ak ∈ A t t ph i có ak = (am )q , t c k = m.q t đó có th th y m ph i là s bé nh t b i nó là ư c c a m is k mà ak ∈ A. 1
  2. Ví d 2 Cho A là t p các căn ph c b c n c a đơn v 1. Ch ng minh A v i phép nhân thông thư ng các s ph c là m t nhón cyclic. Phân tích ban đ u: Vì A ⊂ (C ∗ , ·) nên ta ch ng minh A là nhóm con cyclic c a (C ∗ , ·) b ng cách tìm m t ph n t a ∈ C ∗ mà A = a , và t đó có k t lu n A là nhóm cyclic. 2kπ 2kπ Bài gi i Ta bi u di n A = cos + i sin :k∈Z n n k 2π 2π hay A = cos + i sin :k∈Z n n 2π 2π V y: A = a v i a = cos + i sin ∈ C ∗ t c là A là nhóm cyclic n n Nh n xét Vi c ch ng minh A là nhóm cyclic bu c ta ph i l a ch n cách bi u di n các ph n t c a A dư i d ng c th , đ t đó có th nh n ra đư c ph n t sinh c a A. Liên quan đ n các nhóm cyclic là khái ni m c p c a ph n t trong nhóm. Đ nh nghĩa 2 Cho nhóm X và a ∈ X. C p c a ph n t a là c p c a nhóm con cyclic sinh b i ph n t a (c p c a nhóm con là s ph n t c a nhóm đó, khi nhóm là h u h n; còn n u nhóm con có s ph n t là vô h n thì c p c a nó là ∞!) Đ tính c p c a ph n t a ∈ X, thông thư ng ta s d ng m t k t qu ti n d ng hơn sau đây: "C p c a ph n t a (trong trư ng h p h u h n) là s nguyên dương n bé nh t mà an = e." Khái ni m bé nh t trong m nh đ trên hi u theo nghĩa so sánh v giá tr l n bé c a các s , tuy nhiên nó còn đư c chính xác hóa hơn như ví d sau: . Ví d 3 Cho X là nhóm và a ∈ X v i c p a = n. Ch ng minh r ng ak = e khi và ch khi k . .n. . Bài gi i – Hi n nhiên khi k . thì k = l.n, do đó ak = al.n = (an )l = el = e .n – N u ak = e và k = q.n + r v i 0 ≤ r < n thì t ak = aqn+r = (an )q .ar = eq .ar = ar Suy ra ar = e v i 0 ≤ r < n. Vì n là s nguyên dương bé nh t mà an = e nên các đi u ki n ar = e và 0 ≤ r < n, bu c r = 0. . V y: k = q.n hay k . .n. Nh n xét Ví d này cho th y khái ni m bé nh t c a c p a còn có th đư c hi u theo quan h th t chia h t: "C p a là s t nhiên n th a an = e và là ư c s c a m i s nguyên k mà ak = e". Th t ra m nh đ này thư ng đư c dùng đ tính c p c a m t ph n t . Ch ng h n xem ví d sau: n Ví d 4 Cho X là nhóm cyclic c p n sinh b i a và b = ak . Ch ng minh c p b = v i d d = (k, n). 2
  3. n n k k Bài gi i Trư c h t ta có: b d = ak= (an ) d = e. (Chú ý vì d = (k, n) nên ∈ Z!) d d m .n . . Ta có: Đ k t thúc ch ng minh ta còn ph i ch ng minh n u b = e thì m. d m . k .n .n k n e = bm = ak = akm =⇒ km. =⇒ m. =⇒ m. .n . . (do , = 1). d d d d d n V y: c p b = . d n Nh n xét Bài toán s khó hơn chút ít n u yêu c u tìm c p b (thay cho ch ng minh c p b = ) d N u v y b n có th x lý đư c không? Đ n đây ta quay l i v n đ nhóm cyclic. Đ ch ng minh nhóm cyclic, như ta đã lưu ý trên là thông thư ng dùng đ nh nghĩa, tuy nhiên trong trư ng h p nhóm cho trư c X là h u h n, t c c p X = n thì có th ch ng minh X là cyclic b ng cách ch ra trong X có t n t i m t ph n t a ∈ X mà c p a = n = c p X. Ví d 5 Cho X và Y là các nhóm cyclic và c p X = m, c p Y = n. Ch ng minh r ng n u (m, n) = 1 thì nhóm tích X × Y là cyclic. (Ta nh c r ng X × Y = {(x, y), x ∈ X, y ∈ Y } và phép nhân đư c xác đ nh như sau: (x1 , y1 )(x2 , y2 ) = (x1 x2 , y1 y2 ) bi n X × Y tr thành nhóm) Bài gi i Ta ch c n ch ra n u X = a m và Y = b n thì ph n t (a, b) ∈ X × Y có c p là m.n = c p X × Y • Hi n nhiên là (a, b)mn = (amn , bmn ) = (e, e) - là đơn v c a X × Y • Và n u (a, b)k = (e, e) thì ak , bk = (e, e) . ak = e k. .m . Do v y: k =⇒ . =⇒ k ..mn ( do (m, n) = 1) b =e k..n V y: c p (a, b) = m.n = c p X × Y Suy ra: X × Y = (a, b) mn . Bài t p 1. Cho A ⊂ (Z; +). Ch ng minh r ng t n t i s m sao cho A = m.Z n 2. Ch ng minh r ng nhóm thương c a nhóm cyclic là nhóm cyclic. 3. Cho X là nhóm và các ph n t a, b ∈ X. Ch ng minh r ng c p (ab) = c p (ba). 4. Cho nhóm X và 2 ph n t a, b ∈ X th a ab = ba. Ch ng t r ng c p a.b = [m, n], trong đó m = c p a, n = c p b và [m, n] là BCNN c a m, n. 5. Cho X là nhóm cyclic c p n và k là m t ư c s c a n. Ch ng minh r ng trong X t n t i đúng m t nhóm con A c p k. 6. Cho X là nhóm cyclic. Tìm s t t c các ph n t sinh c a X n u: a) C p X = n b) C p X = ∞. 7. Cho X là nhóm con đơn, t c X ch có duy nh t hai nhóm con là {e} và X. Ch ng minh X là nhóm cyclic h u h n và c p X = p là s nguyên t . 3
Đồng bộ tài khoản