Ôn tập đại số cơ sở bài 5-TS Trần Huyền

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

0
105
lượt xem
39
download

Ôn tập đại số cơ sở bài 5-TS Trần Huyền

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ôn tập đại số cơ sở bài 5-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Ôn tập đại số cơ sở bài 5-TS Trần Huyền

  1. Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS Tr n Huyên Ngày 10 tháng 12 năm 2004 Bài 5. Các Bài T p Liên Quan Đ n Đ ng C u Đ x lí các bài t p liên quan đ n đ ng c u ta c n n m v ng khái ni m đ ng c u và các k t qu cơ b n liên quan t i đ ng c u Ta nh c l i khái ni m đ ng c u: "Cho X, Y là các nhóm. Ánh x f : X → Y đư c g i là đ ng c u nhóm n u v i m i x1 , x2 ∈ X thì f (x1 .x2 ) = f (x1 ).f (x2 )(∗)" Hi n nhiên là trong các đ nh nghĩa lý thuy t ta luôn ng m đ nh các phép toán trong nhóm đư c ký hi u theo l i nhân, tuy nhiên trong các bài toán th c t , thì phép toán có th đư c kí hi u khác đi, ch ng h n theo l i c ng. B i v y, khi ki m tra m t đ ng c u c th c n lưu ý chuy n đ i kí hi u phép toán trong bi u th c ki m tra (*) cho phù h p v i th c t . Ví d 1. Ch ng minh r ng ánh x : exp : (R, +) → (R∗ , ·) mà v i m i x ∈ R thì exp(x) = ex là m t đ ng c u. Rõ ràng d u phép toán trong nhóm (R, +) là phép c ng, còn d u trong nhóm (R, ·) là phép nhân. Vì v y, bi u th c đ ng c u lúc đó ph i là: ∀x1 , x2 ∈ R : exp(x1 + x2 ) = exp(x1 ).exp(x2 ) và vi c ki m tra tính đúng đ n c a h th c này là không m y khó khăn nh tính ch t c a hàm s mũ, xin như ng cho đ c gi . Ví d 2. Cho X, G1 , G2 là các nhóm, G = G1 × G2 là nhóm tích. Cho f : X → G1 , g : X → G2 là các ánh x . Ta xác đ nh ánh x h : X → G = G1 × G2 mà m i x ∈ X : h(x) = (f (x), g(x)) Ch ng minh r ng h là đ ng c u khi và ch khi f và g là các đ ng c u. Gi i: 1
  2. Ta có:h là đ ng c u khi và ch khi: ∀x1 , x2 ∈ X : h(x1 .x2 ) = h(x1 ).h(x2 ) ⇔ (f (x1 .x2 ), g(x1 .x2 )) = (f (x1 ), g(x1 ))(f (x1 ), g(x2 )) ⇔ (f (x1 .x2 ), g(x1 .x2 )) = (f (x1 ).f (x2 )), (g(x1 ).g(x2 )) f (x1 .x2 ) = f (x1 )f (x2 ) ⇔ g(x1 .x2 ) = g(x1 )g(x2 ) ⇔ f và g là các đ ng c u Ví d 3. Cho X, Y là các nhóm cyclic có các ph n t sinh l n lư t là x, y và có c p m, n tương ng, t c là: X =< x >m , Y =< y >n a/ Ch ng minh r ng quy t c ϕ cho tương ng m i ph n t xl ∈ X v i ph n t (y k )l (trong đó k là s t nhiên cho trư c) là m t đ ng c u khi và ch khi km là b i c a n. b/ Khi ϕ là đ ng c u, hãy tính Kerϕ. **Phân tích ban đ u: Có th nh n th y r ng n u quy t c ϕ là ánh x , thì hi n nhiên ϕ th a các . yêu c u v đ ng c u. Vì v y th c ch t c a bài toán là: ϕ là ánh x ⇔ km . n. Vì r ng m i ph n t . c a m t nhóm cyclic h u h n có th đư c bi u di n dư i các lũy th a khác nhau. Do v y, đ ch ng minh ϕ ánh x ta c n ch ra ϕ không ph thu c vào các d ng bi u di n khác nhau c a m t ph n t . Gi i: a/ • N u ϕ là đ ng c u, thì theo tính ch t đ ng c u bi n đơn v thành đơn v , ta có: eY = ϕ(eX ) = ϕ(xm ) = (y k )m = y km (∗∗) . Vì c p y = n, nên t (**) suy ra: km . n . . • N u km . n, trư c h t ta ch ng minh ϕ lá ánh x , t c c n ch ng minh n u xα = xβ thì . (y k )α = (y k )β . Th t v y: xα = xβ ⇒ xα−β = e . ⇒ (α − β) . m ( do c p x = m) . . ⇒ k(α − β) . km . . . ⇒ k(α − β) . n ( do km . n) . . ⇒ y k(α−β) = e( do c p c a y = n) ⇒ (y k )α = (y k )β ( đpcm) Vi c ki m tra ϕ là đ ng c u, xin như ng cho đ c gi . 2
  3. b/ Khi ϕ là đ ng c u thì: Kerϕ = xl ∈ X : (xk )l = e . = xl ∈ X : kl . n . .n = xl : l. . v i d = (k, n) d n n V y Kerϕ = x d là nhóm con cyclic xinh b i ph n t x d , v i d = (k, n). . .n .n **Nh n xét 1: Do câu a/, ϕ là đ ng c u nên km . n. Suy ra m . và hi n nhiên là n . , v y . . . d d n là ư c chung c a m và n. Do v y, t câu b/ ta có th đưa ra m t bài toán sau: d "Cho các nhóm cyclic X =< x >m , Y =< y >n và t là s nguyên dương mà là ư c đ ng th i c m, n. Ch ng minh r ng t n t i m t đ ng c u ϕ : X → Y sao cho Kerϕ = xt là nhóm cyclic sinh b i xt ". Xem như bài t p, đ c gi hãy xem xét l i các l i gi i c a ví d trên và hãy t mình xây d ng th đ ng c u ϕ theo yêu c u! **Nh n xét 2: K t qu c a ví d 3 giúp cho ta m t phương ti n h u hi u đ x lí các bài toán tìm s các đ ng c u có th có gi a các nhóm cyclic c p m và n. N u ϕ : X → Y v i X =< x >m .Y =< y >n là đ ng c u mà ϕ(x) = y k , thì do tính ch t đ ng c u mà ∀xl ∈ X thì ϕ(xl ) = (y k )l , t c ϕ có d ng như mô t trong ví d 3. V y s các đ ng c u ϕ : X → Y đó . là s t t c các s nguyên k mà 0 ≤ k < n sao cho km . n . Ví d 4. Tìm t t c các đ ng c u t nhóm cyclic c p 6 t i nhóm cyclic c p 24 Gi i: Cho các nhóm X =< a >6 , Y =< b >24 là các nhóm cyclic c p 6 và 24. N u ϕ : X → Y là đ ng c u, thì t t n t i k mà 0 ≤ k < 24 sao cho v i m i al ∈ X thì ϕ(al ) = (bk )l . Ta bi t r ng ϕ là . đ ng c u khi và ch khi 6k . 24. V y s các đ ng c u ϕ : X → Y b ng s các s nguyên k mà . . 0 ≤ k < 24 th a 6k . 24. Có 6 s nguyên k như v y là k = 0, 4, 8, 12, 16, 20. V y có t t c 6 đ ng . c u khác nhau t nhóm cyclic c p 6 t i nhóm cycic c p 24. C th 6 đ ng c u đó là: ϕ1 : al −→ e ϕ2 : al −→ b4l ϕ3 : al −→ b8l ϕ4 : al −→ b12l ϕ5 : al −→ b16l ϕ6 : al −→ b20l Các bài toán tìm s các đ ng c u t m t nhóm t i m t nhóm khác là các bài toán khá h p d n và r t đa d ng. Ví d 3 ch cho ta m t phương ti n đ x lí m t ph m vi khá h p c a l p các bài toán đó. Ví d sau cũng thu c l p bài toán trên 3
  4. Ví d 5. Tìm t t c các đ ng c u t nhóm (Q, +) các s h u t v i phép c ng t i nhóm (Q∗ , ·) các s h u t khác 0 v i phép nhân. **Phân tích ban đ u: m t đ ng c u ϕ : Q → Q∗ là hoàn toàn xác đ nh ⇔ xác đ nh đư c giá tr ϕ(1). Đ c gi hãy th t mình lí gi i đi u nh n xét này! Và do v y thay cho vi c tìm s các đ ng c u ϕ ta tìm xem có bao nhiêu cách cho ϕ(1) m t cách h p lí. Gi i: N u ϕ : (Q, +) → (Q∗ , ·) là đ ng c u và ϕ(1) = a. Khi đó v i m i s t nhiên n > 0 ta có: n 1 1 1 1 a = ϕ(1) = ϕ + + ··· + = ϕ( ) n n n n nl n V y v i m i s t nhiên n > 0, ta có: √ 1 n a=ϕ ∈ Q∗ (∗ ∗ ∗) n K t lu n cu i cùng ch th a mãn v i giá tr duy nh t a = 1. V y ch có m t đ ng c u duy nh t ϕ : Q → Q∗ mà ϕ(1) = 1, đó chính là đ ng c u t m thư ng. (b n đ c có th t mình ki m tra m t cách chi ti t khi ϕ(1) = 1 thì ∀m ∈ Z : ϕ(m) = 1m = 1 m 1, ∀n > 0 : ϕ = n ϕ(1) và ϕ = n ϕ(m) = 1. n n **Nh n xét: Có th b n đ c chưa hài lòng l m v i k t lu n t (***) suy ra a = 1. Chúng ta có th đưa ra m √ch ng minh đ tham kh o. Ta ch ng minh r ng n u a = 1 thì t n t i m t s nguyên t n > 0 mà n a ∈ Q∗ . N u a = 1, ta phân tích t s và m u s c a a dư i d ng các nhân t nguyên / t và đư c, ch ng h n: pn1 .pn2 . . . pnk 1 2 k a = m1 m2 c1 .c2 . . . cmll v i các pi , ci là các s nguyên t khác nhau (ta gi √ t phân s là t i gi n!). thi Đ t n = max{n1 , . . . , nk , m1 , . . . , ml }. khi đó n u a ∈ Q∗ là m t phân s t i gi n có d ng: n s s s √ n q11 .q22 . . . qt t a= , dα1 .dα2 . . . dαh 1 2 h s s s n q11 .q22 . . . qt t trong đó các qj , dj là các nhân t nguyên t , thì α1 α2 cũng là phân s t i gi n và ta d1 .d2 . . . dαh h ph i có: q11 n . . . qt t n = pn1 . . . pnk =(t s phân s t i gi n a) s s 1 k d1 . . . dαh n = c1 1 . . . cml =(m u s phân s t i gi ng a) α1 n h m l Tuy nhiên các đ ng th c này không th x y ra vì s mũ lũy th a c a các√nhân t nguyên t v trái luôn l n hơn h n s mũ lũy th a các nhân t nguyên t v ph i. V y a ∈ Q∗ n / 4
  5. BÀI T P 1. Cho X là nhóm Aben. Ch ng minh r ng ánh x ϕ : X → X mà ϕ(x) = xk v i k là s nguyên cho trư c, là m t đ ng c u. 2. Cho X là nhóm. Ch ng minh r ng ánh x ϕ : X → X mà ϕ(x) = x−1 , ∀x ∈ X là đ ng c u khi và ch khi X là nhóm Aben. 3. Cho X là nhóm. V i m i ph n t a ∈ X, xác đ nh ánh x fa : X → X mà f (x) = axa−1 , ∀x ∈ X. (a) Ch ng minh r ng fa là m t t đ ng c u c a X, g i là t đ ng c u trong xác đ nh b i a. (b) Ch ng minh r ng t p t t c các t đ ng c u trong fa v i m i a ∈ X, l p thành nhóm v i phép nhân ánh x . Kí hi u nhóm đó là D(X). (c) Ch ng minh r ng ánh x ϕ : X → D(X), t nhóm X t i nhóm các t đ ng c u trong D(X) mà ∀a ∈ X : ϕ(a) = fa , là m t đ ng c u. (d) Tìm Kerϕ v i ϕ là đ ng c u nói trong câu c. 4. Tìm t t c các đ ng c u: (a) T m t nhóm cyclic c p n đ n chính nó (b) T nhóm cyclic c p 24 đ n nhóm cyclic c p 6. (c) T nhóm cyclic c p 8 đ n nhóm cyclic c p 20 5. Cho các nhóm cyclic X =< x >m , Y =< y >n , v i (m, n) = 1. Ch ng minh r ng t X → Y ch có duy nh t m t đ ng c u t m thư ng. 6. Tìm t t c các đ ng c u t nhóm c ng các s h u t (Q, +) t i nhóm c ng các s nguyên (Z, +). 7. Tìm t t c các đ ng c u t nhóm cyclic c p 6 t i nhóm S3 _nhóm các phép th b c 3 1 1 Đánh máy: Nguy n Ng c Quyên. Ngày 5/12/2004 5
Đồng bộ tài khoản