Ôn tập đại số cơ sở bài 9-TS Trần Huyền

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

0
135
lượt xem
49
download

Ôn tập đại số cơ sở bài 9-TS Trần Huyền

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ôn tập đại số cơ sở bài 9-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Ôn tập đại số cơ sở bài 9-TS Trần Huyền

  1. Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 27 tháng 3 năm 2005 Bài 9. Các Bài Toán V Mi n Nguyên Và Trư ng Khái ni m mi n nguyên đư c xem như là s t ng quát hóa tr c ti p c u trúc c a vành s nguyên Z. Nó bao hàm h t t t c các tính ch t c a vành Z, đư c đ t trên các phép toán trong Z. C th là : Đ nh nghĩa 1 : Mi n nguyên là vành X giao hoán, có đơn v 1 = 0 (và do v y |X| > 1) và tích c a hai ph n t khác 0 là khác 0. V đi u ki n sau cùng c a vành X "tích c a hai ph n t khác 0 là khác 0" cũng thư ng đư c phát bi u theo m t ngôn ng khác tương đương là : Vành X "không có ư c c a 0". Khái ni m ư c c a 0 đư c xác đ nh như sau : Đ nh nghĩa 2: Trong vành giao hoán X, ph n t a = 0 đư c g i là ư c c a 0 n u t n t i ph n t b = 0 sao cho ab = 0. Như v y : Mi n nguyên là m t vành giao hoán X, có đơn v 1 = 0 và không có ư c c a 0. Do đi u ki n "không có ư c c a 0" có th đư c di n đ t theo các ngôn ng khác nhau, vì v y khái ni m mi n nguyên ngoài hai đ nh nghĩa đư c nói trên còn có th xác đ nh theo nh ng cách khác. Ví d 1 : Cho vành X giao hoán có đơn v 1 = 0. Ch ng minh r ng X là mi n nguyên ⇔ trong X có lu t gi n ư c cho các ph n t a = 0 đ i v i phép nhân. Gi i Cho X là mi n nguyên. Khi đó v i m i a = 0, t đ ng th c ax = ay ta suy ra : ax − ay = 0 ⇒ a(x − y) = 0 ⇒ x − y = 0 (vì a = 0) ⇒x=y t c có lu t gi n ư c cho m i ph n t a = 0 (n u x − y = 0 thì a là ư c c a 0 !). Ngư c l i, n u X là vành giao hoán có đơn v 1 = 0 và có lu t gi n ư c cho m i ph n t x = 0. 1
  2. Khi đó n u ab = 0 thì ho c a = 0, ho c a = 0; n u a = 0 thì t ab = 0 = a.0 suy ra b = 0, sau khi gi n ư c a. V y X không có ư c c a 0, t c X là mi n nguyên. Chú ý : Lu t gi n ư c cho m i a = 0 trong mi n nguyên là m t tính ch t quan tr ng c a mi n nguyên và thư ng hay đư c s d ng trong khá nhi u bài toán liên quan t i mi n nguyên, ch ng h n ví d 2 dư i đây. Trư c khi đưa ra ví d ti p theo, ta c n nh c l i m t khái ni m quan tr ng khác, là khái ni m trư ng. Đ nh nghĩa 3: Trư ng là vành X giao hoán có đơn v 1 = 0 và ph n t b t kỳ x = 0 đ u có ngh ch đ o x−1 (t c xx−1 = 1). Hi n nhiên r ng trư ng là m t mi n nguyên và do đó t p các ph n t khác 0 c a trư ng X (ta kí hi u là X ∗ ) là n đ nh đ i v i phép nhân, đ ng th i l p thành nhóm giao hoán. Vì v y ta có th đ nh nghĩa trư ng, k th a các tri th c v nhóm như sau : Trư ng là m t t p h p X có nhi u hơn m t ph n t , trên đó xác đ nh đư c hai phép toán c ng (+) và nhân (.), th a : 1. (X; +) l p thành nhóm giao hoán. 2. (X ∗ ; .) l p thành nhóm giao hoán. 3. Lu t phân ph i c a phép nhân đ i v i phép c ng. Hi n nhiên mu n ki m tra m t t p X cho trư c v i các phép toán nào đó là trư ng chúng ta ph i tuân th m t trong các đ nh nghĩa nói trên. Ví d 2 : Ch ng minh r ng m t mi n nguyên h u h n là m t trư ng. Gi i N u X là mi n nguyên h u h n thì hi n nhiên (X; +) là nhóm giao hoán và có lu t phân ph i c a phép nhân v i phép c ng. Vì X là mi n nguyên nên X ∗ n đ nh đ i v i phép nhân (tích hai ph n t khác 0 là khác 0 !). Phép toán nhân trên X là k t h p, giao hoán nên nó cũng k t h p, giao hoán trên X ∗ ⊂ X. Theo ví d 1 phép nhân trên X ∗ có lu t gi n ư c. V y (X ∗ , .) là n a nhóm h u h n (do X h u h n) có lu t gi n ư c nên X ∗ là nhóm và là nhóm giao hoán. V y X là trư ng. Cũng như trong các bài toán ki m tra vành, đ ki m tra m t mi n nguyên hay m t trư ng ta có th ki m tra gián ti p thông qua tiêu chu n c u trúc con, khi đã xác đ nh đư c r ng mi n nguyên hay trư ng c n ph i ki m tra là b ph n c a m t mi n nguyên hay trư ng đã bi t. Đ ý r ng n u X là mi n nguyên còn A ⊂ X, thì A hi n nhiên là giao hoán và không có ư c v c a 0 (hai tính ch t này k th a t X) nên khi đó A là mi n nguyên n u A ch a đơn v 1. Còn X là trư ng thì b ph n A = ø trong X là trư ng con (kí hi u A ⊂ X)t ⇔ ∀x, y ∈ A : x−y ∈A và ∀x, y ∈ A∗ : xy −1 ∈ A∗ . Ví d 3 : Cho các t p s sau : √ √ Z( −3) = {a + b −3 : a, b ∈ Z} √ √ Q( −3) = {a + b −3 : a, b ∈ Q}. √ √ Ch ng minh r ng Z( −3) là mi n nguyên, Q( −3) là trư ng v i các phép toán c ng và nhân thông thư ng các s . 2
  3. Gi i : √ √ Đ ch ng t Z( −3) là mi n nguyên, do nh n √ y r ng Z( −3) là b ph n c a trư ng s th ph c (C; +; .) nên trư c h t ta ch ng t r ng Z( −3) ⊂ C. v Th t v y :√ √ √ ∀ a1 + b1 −3, a2 + b2 −3 ∈ Z( −3) ta có : √ √ √ √ • (a1 + b1 −3) − (a2 + b2 −3) = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) −3 ∈ Z( −3) √ √ √ √ • (a1 + b1 −3)(a2 + b2 −3) = (a1 a2 − 3b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 ) −3 ∈ Z( −3) √ V y Z( −3) ⊂ C theo tiêu chu n c a vành con. v √ Vì trư ng (C; +; .) là giao hoán, không có ư √ c a 0 nên b ph n Z( −3) cũng giao hoán, c √ √ không có ư c c a 0. Hơn n a đơn v 1 = 1 + 0 √−3 ∈ Z( −3). V y Z( −3) là vành giao hoán có đơn v 1 = 0 √ không có ư c c a 0, t c Z( −3) là √ n nguyên. và mi √ Đ ch ng t Q( −3) là trư ng, ta ch c n ch ng t Q( −3) ⊂ C. Hi n nhiên là Q( −3) = ø. t √ √ √ • ∀ (a1 + b1 −3), (a2 + b2 −3) ∈ Q( −3) : √ √ √ √ (a1 + b1 −3) − (a2 + b2 −3) = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) −3 ∈ Q( −3) √ √ √ • ∀ (a1 + b1 −3), (a2 + b2 −3) ∈ [Q( −3)]∗ : √ √ √ a1 + b1 −3 (a1 + b1 −3)(a2 − b2 −3) √ = a2 + b2 −3 a2 + 3b2 2 2 a1 a2 + 3b1 b2 a2 b1 − a1 b2 √ √ = 2 2 + 2 2 −3 ∈ [Q( −3)]∗ a2 + 3b2 a2 + 3b2 √ √ V y Q( −3) ⊂ C, t c Q( −3) là trư ng. t √ * Chú √ : Trong vi c ki m√ Q( −3) ⊂ C trên khi ch ra thương hai ph n t khác 0 c a tra t Q(√−3) là ph n t c a [Q( −3)]∗ , ta đã tìm cách bi u di n thương đó thành ph n t thu c Q( −3) mà không c n ki m tra tính khác 0 c a thương đó, vì trong m t trư ng đã cho trư c thì thương hai ph n t khác 0 hi n nhiên là khác 0. T m t mi n nguyên ta có th xây d ng nên m t trư ng c c ti u ch a mi n nguyên đó, g i là trư ng các thương. N u X là mi n nguyên thì Q(X), trư ng các thương c a X, có các ph n t đư c vi t dư i d ng ab−1 v i a, b ∈ X, b = 0; nên đ ch ng minh m t trư ng là trư ng các thương c a mi n nguyên nào đó, thông thư ng ta ch ng minh mi n nguyên có th nhúng vào trư ng xem như vành con c a nó và m i ph n t c a trư ng đư c bi u di n như thương c a hai ph n t c a mi n nguyên. √ √ Ví d 4 : Ch ng minh r ng trư ng Q( −3) là trư ng các thương c a mi n nguyên Z( −3) ( ví d 3). Gi i : √ √ Trư c h t ta có Z( −3) ⊂ Q( −3). Hơn n a n u √ √ a1 a2 q1 + q2 −3 ∈ Q( −3) thì c q1 = , q2 = b1 b2 3
  4. √ √ là các √ thương t √Z( −3) nên chúng là các ph n t c a trư ng các thương c a Z( −3). Hi n √ √ nhiên −3 = 1. −3 ∈ Z( −3) và th c vào trư ng các thương c a Z( −3). Do tính n đ nh √ đ i v i các phép toán c ng và nhân c a trư ng mà q1 + q2 −3 là ph n t c a trư ng các √ √ √ thương c a Z( −3). V y trư ng Q( −3), b ch a trong trư ng các thương c a Z( −3), tuy √ nhiên do tính c c ti u c a trư ng các thương nên nó trùng v i Q( −3). BÀI T P 1. Ch ng minh r ng vành Zn các s nguyên mod n là m t trư ng ⇔ n là s nguyên t . 2. Ch ng minh r ng trư ng (Q; +; .) các s h u t không ch a trư ng con nào khác ngoài b n thân nó. K t lu n có đúng v i trư ng Zp v i p là s nguyên t hay không? 3. Cho X là vành mà các ph n t là lũy đ ng, t c ∀x ∈ X thì x2 = x. Ch ng minh r ng : (a) x = −x, ∀x ∈ X. (b) X là vành giao hoán. (c) N u X không có ư c c a 0, có nhi u hơn m t ph n t thì X là mi n nguyên. Khi đó X có ph i là trư ng không? 4. Cho X là trư ng, e là ph n t đơn v c a X. Xét t p con A = {ne : n ∈ Z} Ch ng minh r ng A là mi n nguyên khi c p e là vô h n, còn A là trư ng khi c p e là h u h n. (c p e đây là c p ph n t e trong nhóm c ng (X; +)) 5. Cho t p các ma tr n c p hai : a b M= : a, b ∈ R . b a (a) Ch ng minh r ng M là vành giao hoán có đơn v v i hai phép toán c ng và nhân ma tr n. a b (b) Ph n t A = là ư c c a 0 trong M ⇔ det A = 0. b a (c) T p : a 0 K= : a, b ∈ R . 0 a là trư ng con c a vành M và n u có m t trư ng con T c a M mà T ⊃ K thì T = K. (d) T p : √ a √ b 2 L= : a, b ∈ Q . b 2 a là m t trư ng con c a M . Trư ng L có đư c tính ch t tương t như trư ng K câu c không? 4
Đồng bộ tài khoản