Ôn tập dãy số

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

0
96
lượt xem
32
download

Ôn tập dãy số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ôn tập dãy số sẽ giúp các bạn luyện tập kỹ năng xử lý linh hoạt các bài đã gặp và sẽ gặp là rất cần thiết. Tài liệu sẽ giúp bạn trong việc ôn thi, rất có ích.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Ôn tập dãy số

  1. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh Soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá Chuyeân ñeà1: Aùp duïng sai phaân ñeå tìm soá haïng toång quaùt. 1. Ñònh nghóa : Cho y = f(x) xaùc ñònh treân taäp X , h > 0 haèng soá . Gia soá f x   f x  h  f x  goïi laø sai phaân caáp 1 cuûa f(x) taïi ñieåm x . 2f x   f x   f x  h  f x  ñöôïc goïi laø sai phaân caáp2 cuûa f(x) taïi x Töông töï,   k k 1f ñöôïc goïi laø sai phaân caáp k cuûa f taïi x. * Ñònh nghóa : Phöông trình sai phaân la moätø heä thöùc giöõa sai phaân caùc caáp :   F y , y , 2 y ,..., k y ,...  0 (1) ( y ñöôïc xem laø sai phaân caáp 0 )  Chuù yù : (1) coù theå vieát : yn+k = an+k-1 + a2 yn+k-2 + … + akyn + f(n) Neáu f(n) = 0 thì (1) goïi laø phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát Neáu f(n)  0 thì (1) goïi laø phöông trình tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát . 2. Tính chaát : T/c1: Neáu x'n vaø x ''n ñeàu laø nghieäm cuûa phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát : yn+k = a1yn+k-1 + …+ akyn (2) Thì x n  x n ,  ,   const cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình (2). ' '' * Baây giôø ta xeùt phöông trình (2) vôùi caùc heä soá haèng a 1, a2 ,…, ak. Khi ñoù nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát (2) ñöôïc tìm döôùi daïng yn= cn   0,c  0,c laø haèng . Thay bieåu yn= cn vaøo (2) vaø sau khi öôùc löôïc soá cho cn , ta ñöôïc phöông trình k  a1k 1  a2k 2  ...  ak (3) Phöông trình (3) ñöôïc goïi laø phöông trình ñaëc tröng cuûa phöông trình sai phaân (2) . Nghieäm cuûa phöông trình (1) vaø (2) phuï thuoäc vaøo nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng (3). T/c2: Neáu phöông trình ñaëc tröng (3) coù k nghieäm thöïc phaân bieät  1 ,  2 ,...,  k thì y n  c1n  c2n  ...  ck n laø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình sai , 1 2 k phaân tuyeán tính thuaàn nhaát (2). T/c3: Neáu phöông trình ñaëc tröng (3) coù nghieäm thöïc  boäi s thì thay cho s nghieäm öùng vôùi caùc  ñoù ta laáy : (c1 + c2n + c3n2 + …+ csns-1)  n trong ñoù caùc c1, c2 , …, cs laø caùc haèng soá .Nghóa laø neáu (3) coù caùc nghieäm boäi s vaø caùc nghieäm coøn laïi ñeàu thöïc   vaø ñôn thì : y'n  c1  c2n  c3n 2  ...  csn s1 n  cs1n 1  ...  ck n s k T/c4: Neáu ptñt (3) coù nghieäm phöùc   r cos  i sin  ñôn thì y n  r acos  b sin  ' n T/c5: Neáu ptñt (3) coù nghieäm phöùc   r cos  i sin  boäi s thì    y n  r n a1  a2n  ...  asn s1 cos  b1  b 2n  ...  b sn s1 sin  ,   Giáo viên : Văn Thế Huy
  2. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh Ñònh lyù : Neáu y'n laø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát vaø y laø nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát thì nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát ñoù coù daïng : y i  cy'i  y . Baûng moät soá daïng nghieäm rieâng. f(n) Nghieäm  cuûa PT ñaëc tröng Daïng nghieäm rieâng + Nghieäm  1  1 i y'n  Q m n  f(n) = Pm n  + Nghieäm  = 1 boäi s . y'n  n sQ m n  + Neáu  khoâng laø nghieäm cuûa ptñt y'n  c n f(n) =  n + Neáu  laø nghieäm boäi s cuûa ptñt y'n  cns n + Neáu  khoâng laø nghieäm cuûa ptñt y'n   n Qn  f(n) = Pm(n)  n + Neáu  laø nghieäm boäi s cuûa ptñt y'n  nQm n  n + Neáu ei  khoâng laø nghieäm cuûa ptñt . x*n  c.cosn  d. sin n f(n) = a.cos n + . b. sin n + Neáu ei  laø nghieäm boäi s cuûa ptñt x*n  cns cosn  dn s sin n f(n) = pm(n) cosn + Neáu ei  khoâng laø nghieäm x*n  Tk ncosn  + Q l n  sin n cuûa ptñt R k n sin n; k  maxm, l  + Neáu ei  laø nghieäm boäi s x*n  nTk ncosn  cuûa ptñt nR k n sin n; k  maxm, l  f(n) =  p m ncosn n x*n   n  Tk ncosn  + Q l n sin n  + Neáu e i  khoâng laø nghieäm R k n sin n ; k  maxm, l  cuûa ptñt + Neáu e i  laø nghieäm boäi s  x*n   n n s Tk ncosn  cuûa ptñt n R k n sin n ; k  maxm, l  s 3. Caùc ví duï : Ví duï 1: Daõy soá (un) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : Giáo viên : Văn Thế Huy
  3. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh u 1  9, u 2  45  (1) u n  2  2u n 1  8u n  27.5n Haõy tìm un . Giaûi: Tröôùc heát tìm nghieäm toång quaùt cuûa pt sai phaân thuaàn nhaát: un+2 +2un+1 – 8un = 0 (2) vaø coù pt ñaëc tröng laø :   2  8  0 hay   2  4  0   1  2, 2  4 2 Nghieäm toång quaùt pt (2) laø : un = c12n + c2(-4)n Ta goïi u*= a.5n nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát (1) . Khi ñoù ta coù : a.5n+2 + 2a.5n+1 – 8a.5n = 27.5n  25a.5n  10a.5n  8a.5n  27.5n  27a  27  a  1 Theo ñònh lyù nghieäm toång quaùt cuûa ph (1) laø : un = c12n + c2(-4)n + 5n 2c  4c2  5  9 ÖÙng vôùi n = 1 , n =2 , ta ñöôïc :  1 hay c1= -3, c2 = 2. 4c1  16c2  25  45 Vaäy un = 5n + 2(-4)n – 3.2n. Ví duï 2: u 1  4, u 2  10 Cho daõy (un) thoaû maõn  u n  2  u n 1  6u n  2, n  N Chöùng minh raèng : ( un + 4 )  n vôùi moïi soá n laø soá nguyeân toá : Giaûi : Ñaët xn = un + 3 , ta ñöôïc : x1 = -1 , x2 = 13 , xn+2 = -xn+1 + 6xn Xeùt phöông trình ñaëc tröng : 2    6  0   1  3,  2  2 Ta ñöôïc : xn =  3  .2n vôùin  N  . n x  1 2  3  1 Trong ñoù  1    1 x 2  13 4  9  13 Do ñoù xn = (-3)n + 2n  u n  4   3  2n , n  N  n  3  3 modn   n Vôùi n laø soá nguyeân toá   n  2n   3  1  0 (modn) n 2  2  (modn)  u n  4n . ( Ucbt). Ví duï 3 : Cho daõy soá (un) xaùc ñònh nhö sau : u 1  0, u 2  14, u 3  18  u n 1  7u n 1  6u n 2 n  3. Chöùng minh raèng neáu P laø soá nguyeân toá thì u p  P . Giaûi: Töø heä thöùc un+1 = 7un-1 – 6un-2 Ta coù phöông trình ñaëc tröng : x3 – 7x + 6 = 0 coù caùc nghieäm x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = -3 Neân ta coù nghieäm toång quaùt un = a(1)n + b(2)n + c(-3)n (1). Giáo viên : Văn Thế Huy
  4. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh Töø giaû thieát u1 = 1 , u2 =14 , u3 = -18, thay vaøo (1) ta coù heä phöông trình sau ñaây xaùc ñònh a , b , c a  2b  3c  0  a  4b  9c  14  a  b  c  1 a  8b  27c  18  Vaäy daõy soá (un) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : un = 1 + 2n + (-3)n , n = 1 , 2 ,…, Vì p laø soá nguyeân toá , neân theo ñònh lyù nhoû Fecma , ta coù : 2p1  1 (modp ) hay2p  2 (modp) - 3p1  1 (modp) hay- 3p  3 (modp) Vaäy suy ra up = 1 + 2p + (-3)p  1  2  3  0 (modp)  up  p . u  u 1  0, u 2  1 Ví duï 4 : Tìm daõy soá (un) , bieát raèng :  0 u n  4u n 1  5u n 2  2u n 3 Giaûi : Phöông trình ñaëc tröng cuûa daõy coù daïng : x - 4x + 5x – 2 =0 hay (x – 1)2(x – 2) = 0 . Töø ñoù x1,2 = 1 boäi 2 , x3 = 2 3 2 Bôûi vaäy un = c1 + c2n + c32n khi n = 0 , 1 , 2 ta coù heä c1  c2  0  c1  c2  2c3  0  c1  c2  1 vaøc3  1. c  2c  4c  0  1 2 3 Vaäy un = -1 – n + 2n . Ví duï 5 : Giaûi phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát sau : xn+7 – xn+6 + xn+5 - xn+4 – xn+3 + xn+2 –xn+1 + xn = 0 Giaûi: Phöông trình sai phaân ñaõ cho coù ptñt laø :   7  6  5  4  3  2  1  1  0    1  1 2  1  0 (1) 2 2 Phöông trình (1) coù nghieäm laø :   1 (ñôn);   1 (keùp) ;       i  cos  i . sin (keùp)   -i  cos  i . sin (keùp) ; 2 2 2 2    Do ñoù ta coù : y n  c1  1  c2  c3n 1n  1n c4  c5 n cosn  c6  c7n  sin n  , n  2 2   y'n  c1  1  c2  c3n   c4  c5 n cosn  c6  c7n  sin n n 2 2 Neáu ta bieát 7 giaù trò ban ñaàu thì ta seõ tìm ñöôïc c 1, c2 , …, c7 baèng caùch giaûi heä phöông trình goàm 7 phöong trình vaø 7 aån . Ví duï 6: Giaûi phöông trình sai phaân tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát sau ñaây : Giáo viên : Văn Thế Huy
  5. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh     x n  2  4x n  2 2n  1cosn 2  n 2  2 sin n 2 (1)  n n n 1   x  13 , x  3  1 8 2  Giaûi : Phöông trình (1) töông ñöông vôùi    x n  2  4x n  2n 2n  1cosn  n  2 sin n  (2)  2 2 Phöông trình ñaëc tröng coù daïng : 2 + 4 = 0    Do   2 cos  i sin  laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng.  2 2 Theo baûng , nghieäm rieâng coù theå vieát döôùi daïng :    x"n  n2n an  bcosn  cn  d  sin n   2 2 Thay x"n vaøo phöông trình (2) ta ñöôïc :    n  22n  2 an  2  bcosn  2  n  22n  2  cn  2  d . sinn  2  2 2      4n.2n an  bcosn  4n.2n cn  d  sin n  2n 2n  1cosn  n  2 sin n  2 2  2 2 1 1 1 1 Khai trieån vaø caân baèng heä soá ta ñöôïc : a   ; b  ; c   ; d   8 8 16 8  1 1   1 1  Do vaäy : x*n  n.2n   n   cosn    n   sin n  (*)  8 8 2  16 8 2 Do Ptñt chæ coù hai nghieäm phöùc lieân hôïp , neân theo tính chaát 5 ta coù :    x"n  2n  acosn  b sin n  (**)  2 2 Do x n  x"n  x*n neân töø (*) vaø (**) ta coù :     1 1   1 1  x n  2n  acosn  b sin n   n.2n   n   cosn    n   sin n  (***)  2 2  2 8 2  16 8 2 13 Do x 1  , x 2  3 neân thay vaøo (***) ta ñöôïc a = b = 1 suy ra xn. 8 Baøi taäp : Tìm soá haïng toång quaùt cuûa caùc daõy sau . 1. u1 = 1, un+1 = un +2n2 . 2. uo = 0 ; u1 = 5 ; un-2 = 2un-1 – un + 6n + 4. 3. u0 = 0 ; u1 = 5 ; un-2 = 3un-1 – 2un + 4.3n. 4. u0 = -1 ; u1 = 2 ; un-2 = 5un-1 –6un + (8n + 11).2n-1 Giáo viên : Văn Thế Huy
  6. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh  5. u0 = 1 ; u1 = 0 ; un-2 = 2un+1 – un + sin n . 2 Chuyeân ñeà 2 : Moät soá phöông phaùp tìm soá haïng toång quaùt Vaán ñeà1 : Daõy qui naïp tuyeán tính baäc nhaát . Baøi toaùn daïng a.un+1 + b.un = f(n) , trong ñoù f(n) laø haøm theo n u  au n  b Baøi toaùn 1. Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy  n1 a , b,c  R u1  c u  au n  b Ví duï 1: Cho daõy (un) xaùc ñònh bôûi  n 1 u1  c , a , b , c R Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy. Giaûi : u  u n  b Xeùt a = 1 . Ta coù  n 1 laø caáp soá coäng d = b u 1  c Vaäy un = c + (n –1)b Xeùt a  1 . Ta coù theå ñöa daõy veà CSN coâng sai a Thaät vaäy , ñaët vn = un + h ( h haèng soá ) Vaø vn+1= avn  u n1  h  au n  h  u n1  h  aun  b  ah  b h b a  1 a1 b  b  n 1 Ta coù v1 = c + h = c   vn   c  a a1  a  1  b  n 1 b Vaäy u n   c  a   a  1 a1 Chuù yù a = 0 thì un = b Giáo viên : Văn Thế Huy
  7. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh  un u n 1  bu  a  Ví duï 2. Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy :  n u  1 , vôùia, b , c R , c  0  1 c  un 1 bu n  a 1 Giaûi : Ta coù u n 1     ba bu n  a u n 1 un un 1 v  avn  b Ñaët v n  . Daõy ñaõ cho ñöa veà daïng  n 1 un v 1  c 1 Xeùt a = 1 . Ta coù vn = c + (n -1) b  u n  c  n  1b  b  n 1 b Xeùt a  1. Ta coù n   c  v a  ( theo ví duï 1)  a  1 a1 1 Vaäy u n   b  n 1 b c a   a  1 a1 u  u a Ví duï 3 . Tìm un cuûa daõy sau :  n 1 n u 1   vôùi ,   0 Giaûi. Ta coù un+1 = u na Laáy logarit cô soá e caû hai veá ta ñöôïc lnun+1 = alnun + ln  Ñaët vn = lnun , b = ln  , c  lnu1  ln  v  avn  b Daõy ñaõ cho trôû thaønh  n 1 v 1  c Xeùt a =1 . Ta coù : vn = c + (n – 1)b = ln   n  1 ln  Suy ra u n  e vn  eln  n1 ln   b  n 1 b Xeùt a  1 . Ta coù vn =  c  a   a  1 a1  ln   ln  ln   n 1 ln  n 1   ln   a  v n   ln   a   u n  ev n  e a1  a1  a  1 a1 u  aun  f n  Baøi toaùn 2. Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy  n 1 u 1  b Vôùi f(n) laø ña thöùc theo n . *Phöông phaùp : Ta coù theå ñöa veà baøi toaùn 1 baèng caùch ñaët vn = un + g(n) trong ñoù vn+1 = avn vaø g(n) laø ña thöùc thoaû : Neáu a = 1 thì g(n) = n g’(n) trong g’(n) ña thöùc cuøng baäc f(n). Neáu a  1 thì g(n) cuøng baäc vôùi f(n) . Baèng caùch ñoàng nhaát thöùc suy ra g(n). Giáo viên : Văn Thế Huy
  8. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh u  u n  2n Ví duï 1. Tìm soá haïng toång quaùt un bieát  n 1 u 1  2 Giaûi. Ta coù a = 1 , neân ta choïn g(n) = n(bn + c) Ñaët vn = un + g(n) vaø thoaû vn+1 = avn ( a = 1) Töø ñoù suy ra un+1 + g(n+1) = un + g(n)  u n1  gn  1  u n  2n  gn  2n b  1  gn  1  gn   2n  n  1bn  1  c  nbn  c  2n   c  1 do ñoù g(n) = -n(n – 1). Ta coù vn+1 = vn suy ra vn = C ( haèng soá) Suy ra un = C - g(n) = C + n(n – 1) . Töø u1 = 2 suy ra C = 2. Vaäy un = n2 – n + 2 . u  3u n  n 2  1 Ví duï 2. Tìm soá haïng toång quaùt un bieát  n 1 u 1  5 Giaûi . Ta coù A = 3 , neân ta choïn g(n) = an2 + bn + c. Ñaët vn = un + g(n) vaø thoaû vn+1 = 3vn.  1 a  b  Töông töï nhö ví duï 1 , ñoàng nhaát thöùc suy ra  2 c  1  Neân gn   n 2  n  1 . Töø ñoù suy ra un 1 1 2 2 1 2 1 Vaäy u n  3n 1  n  n  1. 2 2 u n 1  an 1 .u n 2  3 Ví duï 3. Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy bieát :  u 1  a5  , a 0 Giaûi . Ta coù u n1  an 1 2 3 un Laáy logarit cô soá a hai veá ta ñöôïc loga u n1  3 loga u n  n 2  1 logau1 = 5 Ñaët vn = logaun suy ra vn+1 = 3vn + n2 +1, v1 = 5 1 1 Theo ví duï hai ta ñöôïc vn = 3n-1 + n 2  n  1 2 2 1 1 3n 1  n 2  n 1 Vaäy un = a 2 2 . u n 1  aun  n Baøi toaùn 3 Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy  u 1  b , a , b  R Phöông phaùp : Ta coù theå ñöa baøi toaùn veà daïng baøi toaùn 1 baèng caùch : Ñaët vn = un + g(n) vôùi vn+1 = avn , ñoàng thôøi g(n) thoaû : Neáu a   thì gn  A . n Neáu a =  thì gn  An  n Giáo viên : Văn Thế Huy
  9. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh Theá vaøo bieåu thöùc (vn) roài ñoàng nhaát thöùc heä soá , suy ra g(n) . Töø ñoù ta coù un. u n 1  a2 .u n n  3 Ví duï 1 Cho daõy (un) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau :  u 1  a , ( a  0)  Tìm soá haïng toång quaùt un cuûa daõy . Giaûi . Ta coù u n1  a2 .u n n 3 Laáy logarit cô soá a hai veá ta ñöôïc logaun+1 = 3logaun + 2n (1) v  3v n  2 n Neáu ñaët vn = logaun ta seõ ñöôïc :  n 1 v 1  1 n Ñaët wn = vn + A.2 .Theá vaøo wn+1 = 3wn ta ñöôïc A = 1 Wn = b 3n-1 suy ra vn = b.3n-1 – 2n maø v1 = b – 2 = 1 neân b = 3 Töùc laø vn = 3n – 2n . Vì vn = logaun neân u n  av n Vaäy u n  a3  2n . n u n 1  4u n  3.4n  Ví duï 2. Cho daõy (un) ñöïôc xaùc ñònh nhö sau :  11 u 1   3 Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy . Giaûi . Ta thaáy a =   4. Neân ta ñaët g(n) = A.n.4n Ñaët vn+1= un + g(n) vôùi vn+1 = 4.vn Do ñoù ta coù : un+1 + g(n+1) = 4 (un + g(n) )  4A n  1  4An  3  A   neân n   n.4n 3 3 g 4 4 3 n Töø vn+1 = 4vn  v n   4n 1  u n   4n 1  .4 .n (1) 4 11 2 2 3 Do u1 =   3   . Töø  un  4n 1  .n.4n (1) 3 3 3 4 u  u n  3n Ví duï 3. Tìm soá haïng toång quaùt un cuûa daõy xaùc ñònh bôûi :  n 1 u 1  4 Giaûi . Töø u n1  u n  3n  u n1  u n  3n n 1 3n  1 n 1 3n  1 Do ñoù  u i 1  u i    3   1  un  i 3 i 1 i 1 2 2 3n  5 Vaäy u n  2 Baøi taäp. u n 1  aun    n 1) Tìm soá haïng toång quaùt un cuûa daõy  u 1  b , a , b  R Giáo viên : Văn Thế Huy
  10. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh u n 1  aun  f 1 n   . n 2) Cho daõy (un) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau :  u 1  b Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy .  un   u n 1  3) Tìm soá haïng toång quaùt un cuûa daõy  u n  1 u  c  1 u n 1  u    4) Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy  n u 1  a  0 u n 1  u   n 5) Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy  n u 1  b . a , b  0 u n 1  aun   sinn 6) Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy  u 1  b . a , b  0 Vaán ñeà 2 : Moät soá baøi toaùn veà phöông trình daõy vôùi caëp chæ soá töï do Khi gaëp phöông trình daõy vôùi caëp chæ soá töï do vôùi caùc thay theá chæ soá ta ñöa veà phöông trình sai phaân quen bieát . Vieäc thay theá naøy coù theå ñöa veà phöông trình daõy khoâng töông ñöông . Do ñoù khi giaûi xong ñaùp soá caàn phaûi thöû laïi trong moät tröôøng hôïp. Ví duï 1. Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (xn) thoaû maõn : x 1  a  x mn  x m  x n  m.n m,n (1) Giaûi : Töø Pt (1) , ta suy ra : xn+1 = x1 + xn +n hay xn-1 – xn = a + n (2) ñaây laø phöông trình sai phaân tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát caáp 1 ; phöông trình ñaëc tröng coù nghieäm   1 (ñôn) Ta coù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát vaø nghieäm rieâng laø : x'n  c.1n  c vaø x *  nbn  d n 1 1 Thay x*n ôû ñaây vaøo (2) ta ñöôïc x*n   n  a   (3) 2 2 Töø ñoù suy ra nghieäm toång quaùt cuûa (1) laø : x n  x'n  x*n 1 1 1 1  x n  n  a    c do x 1  a  a  1  a    c  c  0 2 2 2 2 1  Thay c = 0 vaøo (3) ta ñöôïc : x n  n  n  1  a 2  Thöû laïi ta thaáy keát quaû naøy thoaû maõn ñieàu kieän ban ñaàu . Giáo viên : Văn Thế Huy
  11. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh Ví duï 2: Toàn taïi hay khoâng toàn taïi daõy (xn) maø m, n  N ta coù : xm+n = xm + xn + m+ n. (1) 1  Giaûi : Giaû söû x1 = a , theo ví duï 1 ta coù x n  n  n  1  a  1 2  Thöû laïi : x1 = a neân ta coù tieáp : x2 = x1 + x1 +1 + 1 = 2a +2 x3 = x2 + x1 + 3 = 2a +2 + a +3 = 3a + 5 x4 = x3 + x1 + 4 = 3a + 5 + a + 4 (2) x4 = x 2 + x2 + 4 = 2(2a + 2) + 4 = 4a + 8 (3) Do 4a + 9  4a  8 a neân töø (2) vaø (3) ta coù x4  x 4 voâ lyù . Vaäy khoâng toân taïi daõy (xn) thoaû maõn ñieàu kieän cuûa baøi toaùn . Ví duï 3: Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá (xn) neáu bieát : x 1   , x 2    mn  x m  x n (1) vôùi  N : m, n  N  x mn  2  2 2 Giaûi : Hieån nhieân ta coù : x n  x n 1n 1 (2) 2 x n 1  x n 1 Töø (1) vaø (2) ta coù : xn =  x n 1  2x n  x n 1  0 (3) 2 Giaûi phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát (3) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu x 1   , x 2   ta ñöôïc x n  2      n Thöû laïi ta thaáy keát quaû naøy hoaøn toaøn ñuùng. Ví duï 4 : Xaùc ñònh daõy soá (xn) neáu bieát : xn.m = xm.xn (1) Giaûi : Ta coù : xm = xm.1 = xm.x1 suy ra x1 = 1 Giaû söû n  p  P coù theå nhaän giaù trò tuy yù . Giaû söû x p   . Khi ñoù ta coù : x pk 1  x pk p  x pk x p  x pk  Ñeå cho goïn ta kyù hieäu x pk  y k ; y 1    y k 1 y k . (2) Ta thaáy phöông trình (2) laø phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát . Do ñoù 2  y k   k . Töùc x pk   k laø (3) n  N  ta luoân : n  p1 1 p k 2 ...p k i pik i  P, i  1, l , k i  N coù k 2 i Giaû x pi   i söû (4) l Töø (3) vaø(4) ta coù n  x pk 1 ...pk 2   1 1  k 2 ... k i x k 2 i hay x n    k i i 1 2 i 1 Giáo viên : Văn Thế Huy
  12. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh Baøi taäp : 1. Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (xn) neáu bieát : x n m  x n x m  m,n  N Ñs : xn =  n x 1   2. Xaùc soá khoâng aâm x0 , x1 , x2 , … thoaû maõn x mn  x mn  x 2m  x 2n  1 2 Ñs : xn = n2 m , n maø  n. Tính x 2004 b ieáta1  1 m 3. Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá (xn) neáu bieát x x nm  n , ñ/k : x n  0, n Ñs : xn= (-1)n xm 4. Tìm daõy soá (xn) sao cho : x 1   , x 2    mn x , N Ñs : xn =  2n  n1  xmxn 2  m2 n   5. Xaùc ñònh daõy soá (xn) thoaû maõn :  1 1 x 1   , x 2    1  Ñs : xn = x m n  2x m x n , m  n  N 2       n  2  xm  xn 2 6. Xaùc ñònh daõy soá (xn) thoaû maõn : x 1   , x 2     xm  xn 2 2 mn Ñs : xn = 2       n x m  n  , N  2 2 2 7. Xaùc ñònh daõy soá (xn) thoaû maõn :  5 x 0  0, x 1   2 Ñs : xn = 2n + 2-n x m x n  x m  n  x m  n  Giáo viên : Văn Thế Huy
  13. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh Vaán ñeà 3: Moät soá phöông trình sai phaân töï tuyeán tính hoaù Ví duï1: Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (xn) neáu bieát : x 1     x n 1  axn  bx n  c  2 (1) Trong ñoù 2  b  1,   0, a  1 a Giaûi : Ta coù : Pt (1)  x n1  axn  bx n  c  x n1  axn   bx n  c 2 2 2  2   x n1  a2  b x n  2axn1x n  c  x n1  x n  2axn1x n  c 2 2 2 (2) Töø (2) ta thay (n+1) bôûi n ta cuõng coù : x  x 2 n 2 n 1  2axn x n1  c (3) Tröø töøng veá cuûa (2) vaø (3) ta ñöôïc : x  x  2axn x n1  x n1  2 n 1 2 n 1  x n 1  x n 1  2axn (Vì x n 1  x n  x n 1 )  x n 1  2axn  x n 1  0 (4) Giaûi phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát (4) bieát x 1   , x 2  a  b  c   2 ta ñöôïc :  2   n 1   n xn  . 1  . 2 Trong ñoù 1  a  a2  1 ,  2  a  a2  1  1  2 1 1  2 2 Ví duï 2: Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (xn) neáu bieát :  x2  a  x n 1  n (*)  x n 1 x   , x    1 2 Giaûi : Pt (*)  x n1x n1  x n  a (1) 2 Töø (1) ta thay n bôûi (n – 1) ta ñöôïc : x n2 x n  x n1  a 2 (2) Tröø töøng veá cuûa (1) vaø (2) ta ñöôïc : Giáo viên : Văn Thế Huy
  14. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh x n 1 x n 1  x n  2 x n  x n  x n 1  x n 1 x n 1  x n 1  x n  2 x n  x n 2 2 2 2   x n 1 x n 1  x n 1   x n x n  2  x n  xn  x n 1 x n 1  x n 1 x n  2  x n (3) xn Ñaët U n  thì töø(3) ta suyra U n  U n 1 x n 1  x n 1 x2  Do ñoù ra U n  U n 1  U n  2  ...  U 2 U n  suy  2 t x3  x2      Do ñoù : xn = t (xn+1 + xn-1). Ñaây laø phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát heä soá haèng coù phöông trình ñaëc tröng laø t 2    t  0 ñaõ bieát caùch giaûi. Baøi taäp : 1. Xaùc ñònh daõy soá (xn) neáu bieát : x 1   , b  0 , a , b , c laø haèng caùc soá    a x n 1  x n  c 2 2  (*) x n1   bx n ( Hd: ñöa phöông trình (*) veà phöông trình bxn = a(xn+1 + xn-1) ) 2. Cho daõy soá (xn) xaùc ñònh bôûi x 0  2   x n 1  4x n  15x 2  60  Haõy xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa xn. Chöùng minh raèng soá x 2n  8 coù theå bieåu dieãn thaønh toång bình 1 2 phöông cuûa 3 soá nguyeân tieáp n  1 3. Xaùc ñònh daõy soá (xn) neáu bieát : x 0   , x 1    Ñs : x n     1  1 n x n  1  n  1  x t , n  N * 2  t 1 4. Xaùc ñònh daõy soá (xn) neáu bieát : x 1   ,   R *  n  n xn Ñs : x n  n  N , x n 1   k * 2  k 1 5. Cho daõy soá (xn) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : x 1  1  x n  1x n 1  2x n 2  ...  n  1x 1 , n  2 Giáo viên : Văn Thế Huy
  15. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh Haõy xaùc ñònh daõy soá (xn). 6. Cho daõy soá (xn) laø daõy thöïc xaùc ñònh bôûi : x 1  x 2  x 3  1   1  x n 1 x n  2 x n  3  (*) , n  N *  xn Chöùng minh raèng : n  N* , x n  N* ( Hd : Ñöa pt (*) veà daïng xn+4 = 4xn+2 – xn . Vì (x1,x2,x3,x4)  Z 4 neân heä thöùc treân chæ ra raèng ( baèng qui naïp theo n) n  N , x n  Z , cuoái cuøng n  N , x n  N ).  * * Vaán ñeà 4 : Phöông phaùp ñoåi daõy Ñeå xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá ta thöôøng ñöa phöông trình cuûa daõy veà phöông trình sai phaân ñaõ bieát caùch giaûi hoaëc ñöa ñeán nhöng phöông trình daõy deã giaûi hôn baèng caùch ñaëc daõy soá phuï coøn goïi laø phöông phaùp ñoåi daõy. Ñeå tìm nhöõng caùch ñaëc daõy soá phuï ta thöôøng nghòch ñaûo , logarit hoaù , muõ hoaù, ….caùc bieåu thöùc ban ñaàu . Sau ñaây laø moät vaøi ví duï vaø baøi taäp minh hoaï. Ví duï 1: Haõy tìm taát caû caùc giaù trò thöïc a ñeå xn x1 = a ; x n 1  (1) , n  N xaùc ñònh moät daõy , 2  xn haõy tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá . Giaûi: 1 2  xn 1 2 Ta coù (1)     1 (2) x n 1 xn x n 1 x n 1 Ñaët y n  (*) khi ñoù  y n1  2y n  1 (2) (3) xn Phöông trình (3) ñaõ bieát caùch giaûi vaø giaûi ra ta ñöôïc : y n  a  12n1  a (4) a a Töø (*) vaø (4) ta coù : x n  (5) a  12n1  a Ta phaûi tìm giaù trò cuûa a sao cho x n  2 , n  N . Nghóa laø töø (5) ta caàn a  2n phaûi coù :  2  a  n a  12n1 2 1 Giáo viên : Văn Thế Huy
  16. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh  2k xn Do ñoù , khi a  , k  N thì x 1  a; x n 1  xaùc ñònh moät daõy vaø 2 1 k 2  xn a soá haïng toång quaùt cuûa daõy laø : x n  . a  12n1  a Ví duï 2: Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (xn) neáu bieát : x 1   , x 2     x 2  2bx n 1  bx n 2  c x n  n 1 (1)  x n2  b x 2  2bx n 1  b 2  b 2  bx n 2  c Giaûi : Ta coù ph (1)  x n  n 1 x n2  b  xn  x n1  b2  c  b  x b x n1  b2  c (2) x n2  b x n2  b n y n 1  c Ñaët yn = xn + b khi ñoù ta coù (2)  y n  n phöông trình naøy chính laø y n2 phöông trình sai phaân töï tuyeán tính hoaù ñaõ bieát caùch giaûi ( ví duï 2 ) . Ví duï 3 : x 1    Tìm (xn) bieát  xn (1) xn   a  b  xn 2  Trong ñoù :   0, a  1, a2  b  1 1 a  b  xn 2 a b Giaûi. Ta coù : (1)     1 2 (2) x n 1 xn xn xn 1 Ñaët yn  . Khi ñoù ta coù (2) y n1  ayn  by n  c (3) 2 xn Phöông trình (3) laø phöông trình sai phaân töï tuyeán tính hoaù daïng 1 maø ta ñaõ bieát caùch giaûi . Ví duï 4 : x  a Xaùc ñònh daõy soá (xn) bieát :  1 x n 1  gn x n  f n  (1) Trong ñoù : g(0)  0 n 1 Giaûi . Ñaët daõy phuï : x n  y n  gk  (2) k 0 n n 1 x1 (1)  y n1  gk   gn y n  gk   f n  a Khi ñoù ta coù y 1   g0 g0 k 0 k 0 Giáo viên : Văn Thế Huy
  17. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh n n f n   y n 1  gk   y n  gk   f n   y n 1  y n  n (3) k 0 k 0  gk  k 0 Töø ñaúng thöùc (3) ta coù caùc ñaúng thöùc sau : f n  1 f n  2 f 1 y n  y n 1  n 1 ; y n 1  y n  2  n  2 ;….; y 2  y 1  1  gk  k 0  gk  k 0  gk  k 0 Coäng veá vôùi caùc ñaúng thöùc treân ta ñöôïc n 1 f k  a n 1 f k  y n  y1   k   k g0 k 1 k 1  gi  i 1  gi i 1 Vaäy töø caùch ñaët aån phuï ban ñaàu (2) ta coù  a n 1 f k  n 1 xn     k 1  gk  , n > 1 (4)  g0 k 1 c  k 0 Trong tröôøng hôïp gn   c ( c laø haèng soá )  a n 1 f k  Thì coâng thöùc (4) trôû thaønh x n     k 1  , n > 1  c k 1 c  n 1 f k  Hay x n  acn 1  cn  k 1 ,n >1 (5) k 1 c n n -1 f k  Nhö vaäy ta coù theå coïi vieäc giaûi pt(1) laø vieäc tính tích  gk  vaø toång  k . k 0 k 1  gi i 1 f n  1 k Ví duï 5 . Xaùc ñònh daõy soá (xn) neáu bieát x1= a > 0 , x n 1  k .x n (1) f n  Trong ñoù f(n) > 0 . n , k  R \ 0 x n 1 xk Giaûi . Ta coù (1)  n (2) f n  1 f k n  x Ñaët daõy phuï v n  n (3) . Khi ñoù ta coù : (2)  v n1  v k (4) f n  n Laáy logarit hoaù hai veá cuûa phöông trình (4) theo cô soá e ta ñöôïc : lnv n+1= k.lnvn (5) Ñaët daõy phuï un = lnvn (6) . Khi ñoù ta coù : (5)  u n1  ku n  u n  c.k n (7) x a trong ñoù c laø haèng soá . Töø (6) vaø (3) ta coù u 1  ln v 1  ln 1  ln f1 f 1 a a 1 a do ñoù thay u 1  ln vaøo (7) ta ñöôïc ln  c.k  c  ln f 1 f 1 k f 1 Giáo viên : Văn Thế Huy
  18. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh 1 a n a Vaäy v n  ln k  k n 1 ln (8) k f  f 1 a k n 1 k n 1 ln  a  Töø (3) , (6) , (8) ta coù x n  f n eun  f n e f 1  f n    f 1 k 1  a  Vaäy x n  f n    f 1  3 3 x 1  Ví duï 6. Xaùc daõy soá (xn) neáu bieát  2 x  2.32n x 2  32n n 1  n 1 n (1) Giaûi . Ñaët daõy x n  32 y n (2) . n1 Khi ñoù ta coù : (1)  3 2n n 1 y n1  2.3 2n 3 2n n  y n  32 2 n n 1 n 1 n 1 n 1  32 (3) n y n1  2.32 n y n  32 n 2  y n1  2y n  1 2 3 3 x 2  3 Töø (2) ta coù : x1 = 3y1  y 1  1  3 3 2  Ta seõ chöùng minh qui naïp raèng y n  cos2n 12   3 Thaät vaäy : y 1  cos2  cos  ñuùng . 12 6 2   Giaû söû y n  cos2n ñuùng ta chöùng minh y n 1  cos2n 1 12 12   Töø (3) ta coù y n1  2y n  1 = 2 cos2 2n 2  1  cos2n 1 (ñpcm) 12 12  n 1  Thay yn= cos2n vaøo (2) ta ñöôïc x n  32 n cos2n 12 12 Ví duï 7. Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (xn) neáu xn thoaû phöông trình daõy sau daây : x n   axn  b (1*)  trong ñoù  ,   N; 0  a,   1; a, b  0; Z 1  b Giaûi . Ta ñaët daõy phuï nhö sau : xn   yn (1) 1 a b  b  Khi ñoù ta coù : (1*)   y  n   a  y n   b  y n   ayn (2) 1 a 1 a   Ñaët chæ soá phuï nhö sau : n  m (3) 1  Khi ñoù ta coù m thuoäc N vaø ta coù : Giáo viên : Văn Thế Huy
  19. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh Pt (2)  y       a.y    y   a.y  (4) u  m     1  m   m m   1     1 1 Ñaët daõy phuï zm  y  (5) m 1  Khi ñoù ta coù , pt (4)  zm  azm (6) Ñaët daõy phuï zm  m log a v m (7) Khi ñoù ta coù : (6)  m v m  a.m log a v m  v m  v m (8) log a Do ñoù v m  v k (9) vôùi vk tuyø yù vaø m =  t k , t  N , k ,   1 log a b     Töø (1) , (3) , (5) ,(7) vaø (9) ta coù : x n   n   vm 1 a    1    Trong ñoù vk tuyø yù vaø  n     k , k ,    1 t    1 px  q Ví duï 8 : Giaûi phöông trình sai phaân thöùc : x n1  n , xo  a rx n  s trong ñoù : p , q , r , s : laø caùc soá ñaõ bieát . Giaûi . Giaû söû yn , xn : laø nghieäm cuûa heä phöông trình sai phaân y n 1  py n  qzn  (1) zn 1  ry n  szn , y 0  0, z0  1 y thì zn  n laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho . zn y Thaät vaäy , ta chöùng minh baèng qui naïp nhö sau : x 0  0  a z0 y p n q y px  qzn zn px  q x n 1  n 1  n   n ( ñpcm) zn 1 ry n  szn yn rx n  s r s zn Deã daøng giaûi (1) baèng caùch ñöa veà phöông trình sai phaân thuaân nhaát y n2  p  sy n1  qr  spy n Ví duï 9 . Haõy tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá (xn) thoaû maõn : x 1  a   xn  d 2 x n 1  2x (1)  n Giaûi. iNeáu d > 0 : Giaû söû yn vaø zn laø nghieäm cuûa heä : Giáo viên : Văn Thế Huy
  20. Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh y n 1  y n  dzn 2 2  (I)  zn 1  2y n zn , y 1  a, z1  1 y Thì x n  n laø nghieäm cuûa phöông trình. Chöùng minh töông töï nhö ôû ví duï 9. zn Nhö vaäy ñeå giaûi phöông trình (1) caàn phaûi giaûi heä moät (I) y n 1  y n  dzn  2 2 (2) Ta coù : (I)    d zn  2 d y n zn  (3) Coäng veá vôùi veá (2) vaø (3) ta ñöôïc : y n1  d zn1  y n  d zn   2  Do ñoù : y n1  d zn1  y 1  d z1  2n  a  d 2n (4) Töông töï tröø töøng veá cuûa (2) vaø (3) ta cuõng coù y n1  d zn1  a  d  (5) 2n   y n 1   a  d  a  d  1    n n 2 2   2   Töø (4) vaø (5) ta coù :  (*)   z n 1  1  a  d 2  a  d 2     n n   2 d    y Do x n  n neân töø (*) ta coù : zn d  a  d    2n 1   a d  2n 1    xn  a  d  2n 1   a d  2n 1 Thöû laïi baèng qui naïp cho thaáy keát quaû vöøa tìm ñöôïc ôû treân laø ñuùng. ii) Neáu d < 0 Ñaët d = - k , k > 0 .G y  y n  kz n 2 2 Giaû söû yn , zn laø nghieäm cuûa heä  n 1 zn 1  2y n zn (II) yn Thì x n  laø nghieäm cuûa heä . Cm tuông töï ví duï 9. zn y n 1  y n  kz n  2 2 (6) Ta giaûi heä hai nhö sau : (II)   i k zn 1  2i k y n zn  (7) Ta laàn löôït coäng veá theo veá vaø tröø veá theo veá cuûa (6) vaø (7) ta coù :  y  i k z  y  i k z 2  ...  a  i k 2    n  n 1 n 1 n n   y n 1  i k zn 1  y n  i k zn  ...  a  i k  2 2n      2     y n 1   a  i k  a  i k  1 2n 2n    (8)   z  1  a  i k 2  a  i k 2  (9)   n n  n 1 2i k      Giáo viên : Văn Thế Huy
Đồng bộ tài khoản