Ôn tập giải tích (1)

Chia sẻ: Nguyễn An | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:26

0
340
lượt xem
151
download

Ôn tập giải tích (1)

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ôn tập giải tích (1)', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Ôn tập giải tích (1)

  1. Đề 1: 2x + y Câu 1: Tìm khai triển Taylor của f ( x, y ) = tại điểm ( 2, 1) đến cấp 3. x+ y X=x-2, Y=y-1 f(X,Y)= = 1+ = 1 + [1-(X/3 +Y/3)+ (X/3 +Y/3)2 -(X/3 +Y/3)3 + o(ρ3)] = + X - Y - X2 + Y2 + XY + X3 - Y3 - XY2 + o(ρ3) = + (x-2) - (y-1) - (x-2)2 + (y-1)2 + (x-2)(y-1) + (x-2)3 - (y-1)3 - (x-2)(y-1)2 + o(ρ3) Câu 2:tìm cực trị của hàm z = x 2 + y 2 + xy − 12 x − 3 y Điểm dừng: x=7, y=-2 A= z’’xx=2, B=z’’xy=1, C=z’’yy=2 Δ=AC-B2=3>0, A=2>0 =>z(x,y) đạt cực tiểu tại (7,-2) 2 ∞ n un  1   2 n Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ với un=  2 + 2  và vn= 1 +  n =1 v n  n   n ∞ un = = = 2/e2 ∑v n =1 hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy n ∞ ( −1) n−1 x 2 n Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ 4n (3n − 1) n =1 ρ= = =1/4 => -4
  2. 1 Câu 5: Tính tích phân kép I = ∫∫ dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 D x +y 2 x ≤ x 2 + y 2 ≤ 6 x, y ≥ x x=rcosφ, y=rsinφ 1 I = ∫∫ dxdy = = = 4-2 D x2 + y 2 Câu 6: Tính tích phân C ( 2 ) I = ∫ e x + xy dx + ( y cos y + x 2 ) dy với C là chu vi tam giác ABC, A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ. Các đk công thức Green thỏa Chiều C ngược chiều quy ước C ( 2 ) I = ∫ e x + xy dx + ( y cos y + x 2 ) dy = = =-7/2 Câu 7: Tính I = ∫ Ñydx + ( z + x)dy + xdz , với C là giao C của x 2 + y 2 = 1 và z= y + 1 , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.
  3. Công thức Stokes I= = = = = = Câu 8: Tính tích phân mặt loại một ( ) I = ∫∫ x 2 + y 2 dS , trong đó S là phần mặt nón z2 = x2 + y2 , S nằm giữa hai mặt phẳng z= 0, z= 1 . D=prxOyS là hình chiếu của phần mặt nón xuống xOy, D={x2+y2=1} S ( I = ∫∫ x 2 + y 2 dS ) = = /2 Đề 2: 2 Câu 1. Cho hàm f ( x, y ) = xe xy . Tính d 2 f (2,1) . f'’x= +xy2 f’’xx= 2y2 + xy4 => f’’xx(2,1)= 4e2 f’’xy= 4xy + 2x2y3 => f’’xy(2,1)=16e2 f’y=2x2y f’’yy= 2x2 +4x3y2 => f’’yy(2,1)=40e2  d2f(2,1)=4e2dx2 + 32e2dxdy + 40e2dy2 2 + y2 Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f ( x, y ) = ( y 2 − x 2 )e1− x trên miền D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 4}
  4.  x=0,y=0 v x=1,y=0 v x=-1,y=0 Xét: L(x,y,λ)= +λ(x2+y2-4)  x=0,y= , λ=-5e5 v x= ,y=0, λ=-3e-3 f(0,0)=0 f(1,0)=-1 f(-1,0)=1 f(0,2)= f(0,-2)=4e5 f(2,0)= f(-2,0)=-4e-3 Maxf=4e5 x2+y2 4 Minf=-1 x2+y2 4 n( n+2) ∞  n −1  ∞ 1.3.5...( 2n − 1) n +1 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/ ∑ n + 2  b/ ∑ n =1 2.4.6...( 2n) .3 n =2   a) = = =1/e3 1 ∞ 1.3.5...( 2n − 1) n +1  ∑ n =1 2.4.6...( 2n) .3 phân kỳ theo tc D’alembert ∞ (−1) n ( x − 3) n Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑ 3 n =1 2n + ln n ρ= = =1 => -1
  5. x=4: hội tụ theo tc Leibnitz Miền hội tụ (2,4] 2 − y2 Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ e − x dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn D bởi 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, y ≥ 0, y ≤ x 3 2 − y2 I = ∫∫ e − x dxdy = = (e-4-e-1) D Câu 6. Tính tích phân I = ∫ ( x + y ) dx + ( x − y ) dy , với C là phần đường cong y = x + sin x , từ C A(0,0) đến B (π , π ) . = => tích phân ko phụ thuộc đường đi I = ∫ ( x + y ) dx + ( x − y ) dy = = C 2 2 Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu z= R 2 − x2 − y2 nằm trong hình trụ x + y = Rx . 2 2 Gọi S là phần mặt cầu z= R 2 − x2 − y2 nằm trong hình trụ x + y = Rx D=prxOyS, D={x2+y2 Rx} S= dxdy = rdr =2R(
  6. Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ x dydz + y dxdz + z dxdy , với S là biên vật thể giới hạn bởi 3 3 3 S x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4, z ≥ x 2 + y 2 , phía trong. Các đk công thức Gauss thỏa I = ∫∫ x 3 dydz + y 3 dxdz + z 3 dxdy = - S =-3 = ( Đề 3: x Câu 1. Cho hàm f ( x, y ) = (2 x + y )ln . Tính d 2 f (1,1) y f’x= 2ln + (2x+y)/x f’’xx= 2/x –y/x2 => f’’xx(1,1)=1 f’’xy= -2/y +1/x => f’’xy(1,1)=-1 f’y= ln - (2x+y)/y = ln -2x/y -1 f’’yy= -1/y +2x/y2 => f’’yy(1,1)=1  d2f(1,1)=dx2-2dxdy+dy2 3 9 Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy + + với x > 0, y > 0 x y
  7. Điểm dừng:  x=1, y=3 A=z’’xx=6/x3 B=z’’xy= 1 C=z’’yy=18/y3 Δ=AC-B2= -1 x=1, y=3 => Δ=3>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại x=1, y=3 ∞ 1 ⋅ 4 ⋅ 7L (3n − 2) Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n =1 (2n − 1)!! ∞ n!( x − 4) n Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑ n =1 nn n ρ= = = =1/e => -e
  8. I = ∫∫ ( x + 2)dxdy = =6 D Câu 6. Tính tích phân I = Ñ 2 x + y ) dx + ( 3x + 2 y ) dy , trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn ∫( C bởi y = 2 − x 2 , y = − x , chiều kim đồng hồ. y = 2 − x2 , y = − x S là biên của miền phẳng giới hạn bởi Các đk CT Green thỏa, C ngược chiều quy ước I = Ñ 2 x + y ) dx + ( 3x + 2 y ) dy = ∫( = -2 = -9 C 2 2 2 Câu 7. Tìm diện tích phần mặt z= x2 + y2 nằm trong hình cầu x + y + z = 2 z. z= x2 + y2 x2 + y2 + z2 = 2 z S là phần mặt nằm trong hình cầu . D=prxOyS, D={x2+y2 1} S= dxdy = rdr = Câu 8. Tính I = ∫∫ 2 xdS , với S là phần mặt trụ x S 2 + y 2 = 4 nằm giữa hai mặt phẳng z= 1, z= 4 . S1={x= }, S2={ x= } D1=pryOzS1=D2=pryOzS2
  9. I = ∫∫ 2 xdS = + =2 dydz + 2 dydz =0 S Đề 4: Câu 1. Cho hàm f ( x, y ) = 4 y 2 + sin 2 ( x − y ) . Tính d 2 f (0,0) f’x= 2sin(x-y)cos(x-y)=sin2(x-y) f’’xx= 2cos2(x-y)=> f’’xx(0,0)=2 f’’xy= -2cos(x-y)=> f’’xy(0,0)=-2 f’y= 8y-2sin(x-y)cos(x-y)=8y-sin2(x-y) f’’yy= 8+2cos2(x-y) => f’’yy(0,0)=10  d2f(0,0)=2dx2-4dxdy+10dy2 Câu 2. Tìm cực trị của hàm z = x 3 y + 12 x 2 − 8 y. Điểm dừng:  x=2, y=-4 A=z’’xx=6xy+24 B=z’’xy= C=z’’yy=0 Δ=AC-B2= -9 =-144
  10. = =1/8 => -8
  11. = = -2e2+2 Câu 7. Tìm diện tích phần mặt z+ x2 + y2 = 2 nằm trong hình paraboloid z= x2 + y2 . z+ x2 + y2 = 2 z= x2 + y2 S là phần mặt nằm trong hình paraboloid . D=prxOyS, D={x2+y2 1} S= dxdy= dxdy= rdr= -1) Câu 8. Tính I = ∫∫ x dydz + y dxdz + z dxdy , với S là nửa dưới mặt cầu x 2 2 2 2 + y 2 + z 2 = 2 z , phía trên. S I = ∫∫ x 2 dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy = dydz+ dydz+ dydz S dydz= + =- + =0 Tương tự dydz=0 2 dydz = rdr = I= = Đề 5 ∂2 f  f = f (u ) = u 3 + sin u;  Câu 1. Tính , với  ∂x∂y u = 2 xy + e  x
  12. Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = 2 x 2 + 12 xy + y 2 ; x 2 + 4 y 2 = 25 L(x,y,λ)= 2x2+12xy+y2 +λ(x2+4y2-25)  x=3,y= , λ=2 v x=-3,y= , λ=2 v x=4,y= , λ=-17/4 v x=-4,y= , λ=-17/4 d2L= (4+2λ)dx2 + (2+8λ)dy2 + 24dxdy x2 = -4y2+25 => 2xdx=-8ydy x=3,y= , λ=2 v x=-3,y= , λ=2 =>d2L>0  f(x,y) đạt cực tiểu tại (3,-2), (-3,2) x=4,y= , λ=-17/4 v x=-4,y= , λ=-17/4 => d2L1 ∞ 3n 3  2n   ∑ n + 2  phân kỳ theo tc Cauchy n =1  n −1 ∞ (−1) n +1 2 n +1 ( x − 5) n Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi: ∑ n =1 ( n + 1) ln(n + 1)
  13. = =2 => -1/2
  14. Câu 8. Tính I = ∫∫ xdydz + ( 2 y + 3z ) dxdz + z dxdy , với S là phần mặt 2 phẳng x + y + z = 4 nằm trong S hình trụ x2 + y2 = 2 y , phía trên. I = ∫∫ xdydz + ( 2 y + 3 z ) dxdz + z 2 dxdy = S = = x=rcosφ, y-1=rsinφ I= = = = = Đề 6 ∂2z Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 3e x2 y3 . Tính dz(1,1) và (1,1) ∂x∂y dz = 6xy3 dx + 9x2y2 dy => dz(1,1) = 6edx+9edy 6xy3 ∂2z = 18xy2 + 6xy33x2y2 = 18xy2 + 18x3y5 => (1,1) = 36e ∂x∂y Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1 Điểm dừng:  x=0, y=1 v x=-1,y=0
  15. A= z’’xx=6x+6 B=z’’xy=-3 C=z’’yy=6y Δ=AC-B2=36(x+1)y-9 x=0, y=1 => Δ=27>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại (0,1) x=-1,y=0 => Δ=-9 ko có cực trị ∞ 1 ⋅ 4 ⋅ 9L n 2 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n =1 (4n − 3)!! ∞ (−1) n .3 n +1 Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑4 n =0 n+ 2 3 . n +1 ( x − 1) n ρ= = =3/4 => -4/3
  16. Câu 7. Tính tích phân đường loại một I= , với C là nửa trên đường tròn x 2 + y 2 = 2 y . x=rcost, y=rsint => r= 2sint I= = =4 Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính I = ∫( Ñ x + y)dx + (2 x − z )dy + ydz , với C là giao C của x 2 + y 2 + z 2 = 4 và x + y + z= 0 , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. S là mặt giao của C là giao của x 2 + y 2 + z 2 = 4 và x + y + z = 0 ∫( I = Ñ x + y )dx + (2 x − z )dy + ydz = C (S có n=( ) = = =- S=- = -4 Đề 7 ∂2z Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2). Tính dz( 2,1) và ( 2 ,1) ∂x 2 dz= => dz( 2,1) = ∂2z => ( 2 ,1) = -6 ∂x 2 Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = 1 − 4 x − 8 y; x 2 − 8 y 2 = 8 . L(x,y,λ)= 1-4x-8y+λ(  x=-4,y=1, λ=-1/2 v x=4,y=-1, λ=1/2 d2L= dx2 - dy2 x2 = 8y2+8 => 2xdx=16ydy x=-4,y=1, λ=-1/2 => d2L>0 => f(x,y) đạt cực tiểu tại (-4,1)
  17. x=4,y=-1, λ=1/2 => d2L f(x,y) đạt cực đại tại (4,-1) 2n n! ∞ Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n n =1 n ∞ ( n + 2)( x + 1) n Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n =0 5 n + 2. n 6 + 1 ρ= => -5
  18. I = ∫∫ x 2 dS = S Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính I = ∫ (3 Ñ x− y )dx + (3 y − z 2 )dy + (3z − x 2 )dz , với C là giao của 2 C z = x 2 + y 2 và z= 2 − 2 y , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. S là mặt giao của của z = x 2 + y 2 và z= 2 − 2 y , n= (0, ∫ (3 I = Ñ x − y 2 )dx + (3 y − z 2 )dy + (3z − x 2 )dz = C = = Đề 8 ' ' Câu 1. Tìm z , z của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình x y x3 + y 2 + yz = ln z F(x,y)= x3+y3+yz-lnz z'x = z’y= Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f ( x, y ) = x 2 + y 2 + x 2 y + 4 trên miền D = {( x, y ) | | x |≤ 1,| y |≤ 1}  x=0,y=0 x= : f(y) =y2+y+5 f’(y)=2y+1=0 =>y=-1/2 y=-1: f(x)= 5 với mọi x y=1: f(x)=2x2+5>0 f(0,0)= 4 f(-1,-1)=f(1,-1)=5 f( f(1,1)=f(-1,1)=7 Maxf= 7 Minf= 4 n ( n −1) ∞ ∞  2n  1.4.9...n 2 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/ ∑   b/ ∑ 1.3.5...(2n − 1)n!.5 n+ 2 n = 2  2n + 1  n =1
  19. a) ∞ 1.4.9...n 2 b) => ∑ 1.3.5...(2n − 1)n!.5 n+ 2 phân kỳ theo tc D’alembert n =1 ∞ ( −1) n ( x − 2) n Câu 4. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑ n =1 3n+1 3 n4 + n2 + 1 ρ= =>-3
  20. D= prxOyV , D={x2 + y2 =1/2} I = ∫∫∫ 2 zdxdydz = V Câu 8. Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( x + 2 y)dydz + ( y + 2 z ) dxdz + ( z + 2 x ) dxdy , với S là phần mặt S paraboloid z = x 2 + y 2 , bị cắt bởi z= 2 − 2 x , phía dưới. D =prxOyS={ (x+1)2+y2 =3}, x+1=rcosφ,y=rsinφ I = ∫∫ ( x + 2 y )dydz + ( y + 2 z ) dxdz + ( z + 2 x ) dxdy S = = = = Đề 9  2−1 2  x + y , if ( x, y ) ≠ (0, 0) Câu 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của f ( x, y ) = e  −3,  if ( x, y ) = (0, 0) Miền xác định: {R\ xy=0} f(x,y)= , (x,y) khác (0,0)
Đồng bộ tài khoản