Ôn tập hàm số bậc 3

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:8

0
123
lượt xem
34
download

Ôn tập hàm số bậc 3

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ôn tập hàm số bậc 3', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Ôn tập hàm số bậc 3

  1. ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3 Giả sử : y = ax3 + bx2 + cx + d với a ≠ 0 có đồ thị là (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b −b 1) y” = 0 ⇔ x = (a ≠ 0 ) 3a −b x= là hoành độ điểm uốn. Đồ thị hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối 3a xứng. 2) Để vẽ đồ thị 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau : i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm) iii)a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2. Ngoài ra ta còn có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn. + hàm số tăng trên (−∞, x1) + hàm số tăng trên (x2, +∞) + hàm số giảm trên (x1, x2) iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có : + hàm số giảm trên (−∞, x1) + hàm số giảm trên (x2, +∞) + hàm số tăng trên (x1, x2) 3) Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k là hằng số khác 0; thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = r x + q 4) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt y' = 0 coùnghieäm aân x1, x2  2 phbieät ⇔  y(x1).y(x2) < 0  5) Giả sử a > 0 ta có : i) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt > α y' = 0 coùnghieäm aân thoûa< x1 < x2 2 phbieät α   ⇔ y(α) < 0  y(x1).y(x2) < 0  ii) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt < α
  2. y' = 0 coùnghieäm aân thoûa < x2 < α 2 phbieät x1   ⇔ y(α) > 0  y(x1).y(x2) < 0  Tương tự khi a < 0 . 6) Tiếp tuyến : Gọi I là điểm uốn. Cho M ∈ (C). Nếu M ≡ I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M. Nếu M khác I thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M. Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N không nằm trên (C) ta có nhiều trường hợp hơn. 7) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y(x0) = 0 (x0 là hoành độ điểm uốn) 8) Biện luận số nghiệm của phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a ≠ 0) khi x = α là 1 nghiệm của (1). Nếu x = α là 1 nghiệm của (1), ta có ax3 + bx2 + cx + d = (x - α)(ax2 + b1x + c1) nghiệm của (1) là x = α với nghiệm của phương trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta có các trường hợp sau: i) nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = α ii) nếu (2) có nghiệm kép x = α thì (1) có duy nhất nghiệm x = α iii) nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt ≠ α thì (1) có 3 nghiệm phân biệt iv) nếu (2) có 1 nghiệm x = α và 1 nghiệm khác α thì (1) có 2 nghiệm. v) nếu (2) có nghiệm kép ≠ α thì (1) có 2 nghiệm BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC 3 Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt có phương trình là y = − 3 + mx2 −m và y = kx + k + 1. x (I) PHẦN I. Trong phần này cho m = 3. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với M khác A , B . Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C). 2) Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E ∈ ∆ với (C). 3) Tìm E ∈ ∆ để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. 4) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định. 5) Tìm M ∈ (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C). (II) PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi. 6) Tìm điểm cố định của (Cm). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuông góc nhau. 7) Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị. 8) Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
  3. 9) Định m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2). b) hàm số nghịch biến trong (0, +∞). 10) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng. 11) Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để (Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau. 12) Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm (-1, 1). 13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. BÀI GIẢI PHẦN I : m = 3 Khảo sát và vẽ đồ thị (độc giả tự làm) 1) Gọi n là hoành độ của M. Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = 2 nên 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k1 = – 3n2 + 6n ∈ (0, 3] (vì n ∈ (0, 2)). Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại M có hệ số 1 góc là k2 = − (với 0 < k1 ≤ 3). Hoành độ của tiếp tuyến vuông góc với tiếp k1 1 1 tuyến M là nghiệm của – 3x2 + 6x = − (= k2) ⇔ 3x2 – 6x − = 0. Phương k1 k1 trình này có a.c < 0, ∀ k1 ∈ (0, 3] nên có 2 nghiệm phân biệt, ∀ k1 ∈ (0, 3]. Vậy trên (C) luôn có 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến tại M. 2) E (e, 1) ∈ ∆. Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D). (D) tiếp  − x3 + 3n2 − 3 = h(x − e) + 1 xúc (C) ⇔ hệ  có nghiệm.  − 3x + 6x = h 2 ⇒ Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là : – x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1 (1) ⇔ – x3 + 3x2 – 4 = x(– 3x + 6)(x – e) ⇔ (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e) ⇔ x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex ⇔ x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0 (2) (2) có ∆ = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5)(3e + 3) (2) có nghiệm x = 2 ⇔ 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 ⇔ e = 2 5 Ta có ∆ > 0 ⇔ e < – 1 hay e > . 3 Biện luận : 5 i) Nếu e < – 1 hay < e < 2 hay e > 2 3 ⇒ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ có 3 tiếp tuyến. 5 ii) Nếu e = – 1 hay e = hay e = 2 3
  4. ⇒ (1) có 2 nghiệm ⇒ có 2 tiếp tuyến. 5 iii) Nếu – 1 < e < ⇒ (1) có 1 nghiệm ⇒ có 1 tiếp tuyến. 3 Nhận xét : Từ đồ thị, ta có y = 1 là tiếp tuyến tại (2, 1) nên phương trình (1) chắc chắn có nghiệm x = 2, ∀ e. 3) Vì y = 1 là tiếp tuyến qua E (e, 1), ∀ e và đường x = α không là tiếp tuyến nên yêu cầu bài toán. ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa : y'(x1).y'(x2) = – 1  5  e < −1∨ e >  3 ⇔  x1,x2 laønghieäm (2) cuûa  (−3x2 + 6x )(−3x2 + 6x ) = −1  1 1 2 2   5  e < −1 hay e > 3   x + x = 3e − 1 ⇔  1 2  x .x = 1 2  1 2  9x1.x2(x1 − 2)(x2 − 2) = −1   5  e < −1 hay > e ⇔  3  9[1− (3e − 1 + 4] = −1  ) 55  55  ⇔ e= . Vậy E  ,1 27  27  4) Tiếp điểm của tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc bằng p là nghiệm của : y' = p ⇔ 3x2 – 6x + p = 0 (3) Ta có ∆' = 9 – 3p > 0 ⇔ p < 3 Vậy khi p < 3 thì có 2 tiếp tuyến song song và có hệ số góc bằng p. Gọi x3, x4 là nghiệm của (3). Gọi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) là 2 tiếp điểm. Ta có : x3 + x4 − b = =1 2 2a y3 + y4 − (x3 + x3 ) + 3(x3 + x2) − 6 2 = 3 4 4 = −1 2 2 Vậy điểm cố định (1, –1) (điểm uốn) là trung điểm của M3M4. 5) Cách 1 : Đối với hàm bậc 3 (a ≠ 0) ta dễ dàng chứng minh được rằng : ∀ M ∈ (C), ta có : i) Nếu M khác điểm uốn, ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M. ii) Nếu M là điểm uốn, ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M. Cách 2 : Gọi M(x0, y0) ∈ (C). Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng : y = k(x – x0) − x3 + 3x2 − 3 0 0 (D) Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
  5. − x 3 + 3 x 2 − 3 = (−3 x 2 + 6 x)( x − x0 ) − x0 + 3 x0 − 3 3 2 (5) ⇔ x3 − x3 − 3(x2 − x2 ) + (x − x0)(−3x2 + 6x) = 0 0 0 ⇔ x − x0 = 0 ∨ x + xx0 + x2 − 3x − 3x0 − 3x2 + 6x = 0 2 0 ⇔ x = x0 hay 2x − (3+ x0)x − x2 + 3x0 = 0 2 0 ⇔ x = x0 hay (x − x0)(2x + x0 − 3) = 0 3− x0 ⇔ x = x0 hayx = 2 Do đó, có đúng 1 tiếp tuyến qua M (x0, y0) ∈ (C) 3− x0 ⇔ x0 = ⇔ x0 = 1 2 Suy ra, y0 = 1. Vậy M(1, –1) (điểm uốn). Nhận xét : vì x0 là 1 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắc chắn có nghiệm kép là x0 Phần II : Tham số m thay đổi. y' = – 3x2 + 2mx 6) (Cm) qua (x, y), ∀m ⇔ y + x3 = m (x2 – 1) , ∀m x2 − 1= 0 x = 1  x = −1 ⇔  ⇔ hay  y + x = 0  y = −1 y = 1 3 Vậy (Cm) qua 2 điểm cố định là H(1, –1) và K(–1, 1). Vì y' = – 3x2 + 2mx nên tiếp tuyến với (Cm) tại H và K có hệ số góc lần lượt là : a1 = y'(1) = – 3 + 2m và a2 = y'(–1) = –3 – 2m. 2 tiếp tuyến tại H và K vuông góc nhau. ± 10 ⇔ a1.a2 = – 1 ⇔ 9 – 4m2 = – 1 ⇔ m = . 2 7) Hàm có cực trị ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt. ⇔ 3x2 = 2mx có 2 nghiệm phân biệt. 2m ⇔ x = 0 và x = là 2 nghiệm phân biệt. 3 ⇔ m ≠ 0. Khi đó, ta có : 2  1 1  y =  m2x − m +  x − my' 9  3 9  và phương trình đường thẳng qua 2 cực trị là : 2 y = m2x − m (với m ≠ 0) 9 8) Khi m ≠ 0, gọi x1, x2 là nghiệm của y' = 0, ta có : 2m x1.x2 = 0 và x1 + x2 = 3 2  2  y(x1).y(x2) =  m x1 − m m x2 − m 2 2 ⇒ 9  9  2 2 4 = − m (x1 + x2) + m2 = − m4 + m2 9 27 Với m ≠ 0, ta có y(x1).y(x2) < 0
  6. 4 2 ⇔ − m +1 < 0 27 27 3 3 ⇔ m2 > ⇔ m> 4 2 Vậy (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt. y'= 0 coù nghieäm bieät1,x2 2 phaân x ⇔  y(x1).y(x2) < 0 3 3 ⇔ m> 2 Nhận xét : 3 3 i) Khi m < − thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm âm và 1 nghiệm dương. 2 3 3 ii) Khi m > thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm. 2 9) a) Hàm đồng biến trên (1,2) ⇔ – 3x2 + 2mx ≥ 0, ∀x ∈ (1,2). Nếu m ≠ 0 ta có 2m hoành độ 2 điểm cực trị là 0 và . 3  2m  i) Nếu m < 0 thì hàm chỉ đồng biến trên  ,0 . Vậy loại trường hợp m < 0  3   ii) Nếu m = 0 ⇒ hàm luôn nghịch biến (loại).  2m iii) Nếu m > 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 0,  3   2m Do đó, ycbt ⇔ m > 0 và [12]⊂ 0, ,  3  2m ⇔ ≥ 2 ⇔ m≥ 3 3 b) Từ câu a, ta loại trường hợp m > 0.  2m Khi m ≤ 0 ta có hàm số nghịch biến trên  − ∞, và hàm số cũng nghịch biến  3  trên [0, +∞). Vậy để hàm nghịch biến trên [0, +∞) thì m ≤ 0. Ghi chú : nên lập bảng biến thiên để thấy rõ ràng hơn. m 10) y" = – 6x + 2m , y" = 0 ⇔ x = 3 (Cm) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau. ⇔ y = 0 có 3 nghiệm phân biệt và điểm uốn nằm trên trục hoành.
  7.  3 3  3 3  m>   m> 2 ⇔ 2 ⇔  m   y  = 0  − m + m. m − m = 0 3 2     3   27  9  3 3  m>  ±3 6 ⇔  2 ⇔ m= 2  2m − 1= 0 2  27  11) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (Dk) là – x3 + mx2 – m = kx + k + 1 ⇔ m(x2 – 1) = k(x + 1) + 1 + x3 ⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = k + 1 – x + x2 ⇔ x = – 1 hay x2 – (m + 1)x + k + m + 1 = 0 (11) a) Do đó, (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt ⇔ (11) có 2 nghiệm phân biệt khác – 1  1+ m + 1+ k + m + 1≠ 0 ⇔   (m + 1 − 4(k + m + 1 > 0 )2 )  k ≠ −2m − 3  ⇔ (*)  k < m − 2m − 3 2   4 b) Vì (Dk) qua điểm K(–1,1) ∈ (Cm) nên ta có : (Dk) cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau.  m 2m3  ⇒ (Dk) qua điểm uốn  ;  3 27 − m của (Cm)    2m3 m  ⇒ − m = k + 1 + 1 27 3  2m3 − 27 − 27 m ⇒ k= (**) 9(m + 3) Vậy ycbt ⇔ k thỏa (*) và (**). 12) Phương trình tiếp tuyến với (Cm) đi qua (–1,1) có dạng : y = k(x + 1) + 1 (Dk) Vậy, phương trình hoành độ tiếp điểm của (Dk) và (Cm) là : – x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 (12) ⇔ 2 2 m(x – 1) = (– 3x + 2mx)(x + 1) + 1 + x 3 ⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + 1 – x + x2 ⇔ x = – 1 hay 2x2 + (1 – m)x – m – 1 = 0 (13) m+ 1 ⇔ x = – 1 ∨ x= 2 y' (–1) = – 2m – 3 2  m + 1  m+ 1  m + 1 1 2 y'  = −3  + 2m  = (m – 2m – 3)  2   2   2  4
  8. Vậy phương trình của 2 tiếp tuyến qua (–1, 1) là : y = – (2m + 3)(x + 1) + 1 1 2 y= (m – 2m – 3)(x + 1) + 1 4 Nhận xét : Có 1 tiếp tuyến tại tiếp điểm (–1, 1) nên phương trình (12) chắc chắn có nghiệm kép là x = – 1 và phương trình (13) chắc chắn có nghiệm là x = – 1. 13) Các tiếp tuyến với (Cm) tại tiếp điểm của hoành độ x có hệ số góc là : h = – 3x2 + 2mx b m Ta có h đạt cực đại và là max khi x = − = (hoành độ điểm uốn) 2a 3 Vậy tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. 2  2 m m2 m2 Nhận xét : − 3x + 2mx= −3 x −  + 2 ≤  3 3 3 Ghi chú : Đối với hàm bậc 3 y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có : i) Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. ii) Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
Đồng bộ tài khoản