ÔN TẬP HÈ MÔN TOÁN DÙNG CHO HỌC SINH KHỐI 11 LÊN 12

Chia sẻ: thanhemail94

Tài liệu tham khảo cho các bạn học sinh phổ thông ôn thi toán tốt

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: ÔN TẬP HÈ MÔN TOÁN DÙNG CHO HỌC SINH KHỐI 11 LÊN 12

ÔN T P HÈ MÔN TOÁN H C
DÙNG CHO H C SINH KH I 11 LÊN 12
Tài li u này g m nhi u ph n ñư c sưu t m trên Internet, v i s chia s c a các th y cô
giáo d y Toán THPT. http://ebook.here.vn ch T p h p chúng l i ñ b n ñ c d dàng ôn t p.
Tuy nhiên do m t s Tác gi không ñ l i tên trong Tài li u c a mình nên chúng tôi không th k
h t. Xin g i l i c m ơn t i các th y Tr n M nh Tùng (THPT Lương Th Vinh), Phan Phú Qu c
(THPT Phan Châu Trinh), và các th y cô khác ñã chia s nh ng Tài li u c a mình.


*****

Gi i H n Hàm S

Bài 1 : ð nh nghĩa Và M t S ð nh Lý
1.Gi i h n t i m t ñi m :
3x − 2 2n + 1
( xn ) bi t xn =
Ví d : Cho hàm s f(x) = và dãy s
5x + 4 n
a) Tính f( xn ) .
b) Tính lim xn và limf( xn )

a) Gi i h n h u h n : Cho hàm s f(x) xác ñ nh trên m t kho ng (a;b ) , có th tr ñi m x 0 ∈ (a;b)
.Hàm s f(x) có gi i h n L khi x d n t i x 0 , n u m i dãy s ( xn ) ( xn ∈ (a; b), xn ≠ x0 , ∀n ∈ N ) sao
cho lim xn = x 0 thì lim f( xn ) = L .
Ta vi t : lim f (x ) = L .
x →x 0

b) Gi i h n vô c c :
ð.n : lim f ( x ) = +∞ ( hay -∞ ) ⇔ ∀(x n ), limx n = x0 ⇒ lim f ( xn ) = +∞ ( hay -∞ )
x → x0

2. Gi i h n t i vô c c :
ð.n:
lim f (x ) = L ⇔ ∀(x n ), limx n = +∞ ⇒ lim f (x n ) = L
x →+∞

lim f (x ) = L ⇔ ∀(x n ), limx n = −∞ ⇒ lim f (x n ) = L
x →−∞
3. ð nh lý v gi i h n :
ð nh lý 1 : N u hai hàm s f(x) và g(x) ñ u có gi i h n khi x d n t i a thì :
lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x). lim[ f ( x).g ( x)] = lim f ( x). lim g ( x).
x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0
x → x0


lim f ( x)
f ( x) x → x0
= (lim g ( x) ≠ 0). f ( x) = 3 lim f ( x).
lim lim 3
x → x0 g ( x ) lim g ( x) x → x0 x → x0 x → x0
x → x0

f ( x) = lim f ( x) ( f(x) ≥ 0 )
lim
x → x0 x → x0

Bài t p
1
http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
V n ñ 1: Tìm Gi i H n C a Hàm S T i ði m a
Phương pháp : S d ng các gi i h n cơ b n sau :
• lim C = C . V i C là h ng s .
x→a

lim x n = a n

x→a
Bài 1 : Tính các gi i h n sau :
x 2 + 3x + 2 3x + 2
a) lim( x + 3) , b) lim( x 4 + 3 x 3 − 2 x + 5) , c) lim , lim 3 .
3x + 6 x → −1 5 x + 6
3
x→2 x →1 x →0

Bài 2: Tính các gi i h n sau :
8x 2 -3x+7 (x 2 -5x+7)(4x-1)2 2x -1 - x 2 − x
a) lim b) lim c) lim
x → -∞ 3x 2 + x + 2 (3x 2 + 2)2 27x 3 + x - 3
x →+∞ x → -∞ 3




Bài 2 : Gi i H n M t Bên
1.ð nh nghĩa :
f(x) xác ñ nh trên ( x 0 ; b) .
a) Gi i h n bên ph i : cho hàm s
lim f (x ) = L ⇔ ∀x n ∈ (x 0 ; b ), limx n = x 0 ⇒ lim f (x n ) = L
x → x 0+

f(x) xác ñ nh trên (a; x 0 ) . Ta có :
b) Gi i h n bên trái : cho hàm s
lim f (x ) = L ⇔ ∀x n ∈ (a; x 0 ), limx n = x 0 ⇒ lim f (x n ) = L
x → x 0−

2. ð nh lý : ði u ki n c n và ñ ñ hàm s f(x) có gi i h n b ng L là gi i h n bên ph i b ng gi i h n
bên trái và b ng L .
Ta có : lim f ( x) = L ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L .
x→a x→ a x→ a
3. M t s k t qu :
1 1 1
lim k = +∞ (k ∈ Z) , lim− 2 k = +∞ , lim− 2 k +1 = −∞
x → 0= x x →0 x x →0 x



Ví d 1: Tìm gi i h n m t bên c a hàm s sau
x |x −6| x − 2 + 3x 2x − 6
1. lim x - 1 2. lim- 2 3. lim 4. lim-
x →1 x − 1
x → 6 x + 5x x −9
+ + 2
x →1 x →3

 3 x − 1, x ≤ 1

Ví d 2: Tìm gi i h n m t bên c a hàm s sau : f(x)=  x 2 + 5
 x −7 ,x >1

Bài t p

1. Tìm gi i h n c a hàm s sau

4x + 3 − x −1 x2 − 6x + 8 x2 − 6x + 5 5x − x 2
1. lim- 2. lim 3. lim- 4. lim 5. lim
x −1 x 2 − 6x + 5
| x2 − x |
-
x →1− −
x −5
x →5 x →1 x →2 x →5
x 2 − 5x + 6
2. Tìm gi i h n c a hàm s sau
1
x 2 − 4x + 3 x 2 − 3x 
1
a. lim- b. lim- c. lim-  2 −2 
|1− x | x →5  x − 1 x − 3x + 2 
2
x →5 x →5
3x − x
4 5




2
http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
 x 2 + 2 x + 5, x ≤ 1

3. Cho hàm s : f(x) =  x + m
 x −7 ,x >1

Tìm m ñ hàm s f(x) có gi i h n khi x d n t i 1 và tìm gi i h n ñó .

Bài 3 : Kh Các D ng Vô ð nh

Các d ng vô ñ nh :
0∞
, , ∞ − ∞,0 × ∞ g i là d ng vô ñ nh . Khi
Khi tính gi i h n c a hàm s ta g p các gi i h n sau :
0∞
ñó ta không s d ng ñư c các ñ nh lý v gi i h n và cũng không bi t gi i h n này là bao nhiêu .ð
tính ñư c các gi i h n ta ph i kh các d ng vô ñ nh trên .

0
V n ñ 1 : Kh D ng Vô ð nh .
0
f ( x) 0
Phương pháp : Gi s có d ng . Ta kh d ng này như sau :
lim
x→a g ( x) 0
• Phân tích f(x) = (x-a)f 1 (x) và g(x) = (x-a)g 1 (x) .
f ( x)
f ( x)
• Khi ñó : lim = lim 1 , sau ñó tính bình thư ng .
x → a g ( x)
x → a g ( x)
1
Bài T p
Bài 1 : Tìm các gi i h n sau :
x2 − 4 x2 − 4 x 2 + 4x + 3 6x 2 − 5x + 1
a) lim b) lim 3 c) lim 2 d) lim 2
x→2 x − 2 x→2 x − 8 x → −1 2 x − 5 x − 7
x→ 2 x − 7 x + 3
1
2
Bài 2 : Tìm các gi i h n sau :
x3 − 2x + 4 x 3 + 3x 2 − 9 x − 2 x 3 − 5 x 2 + 3x + 9
a) lim b) lim c) lim
x 2 + 2x x3 − x − 6 x 4 − 8x 2 − 9
x → −2 x→2 x →3

Bài 3: Tìm các gi i h n sau
x+3 −2 x− x+2 x+6 −2 8 x + 11 − x + 7
3 3
a) lim b) lim c) lim d) lim
x −1 x −1 x 2 − 3x + 2
2 2
4x + 1 − 3
x →1 x→2 x →3
x→2


x +1 + x + 4 − 3
e) lim
x →0 x

V n ñ 2: Kh D ng Vô ð nh


f ( x)
Phương pháp : Gi s có d ng . Ta kh d ng này như sau :
lim

x → a g ( x)

• Chia c t và m u cho x k là s h ng có s mũ l n nh t c a t và m u.
Bài t p
Bài 4 : Tính các gi i h n sau :
2x + 3 2 x 4 + 3x + 6 10 x + 3 2 x 2 + 3 x + 10
a) lim 3 b) lim 3 c) lim d) lim
x→∞ 5 x + 2
x→∞ x + 4 x + 2 x →∞ x + 4 x + 2 x→∞ 7 x 2 + 4 x + 2

(2 x + 3)(3 x + 5) 2
e) lim
x3 + 4x + 2
x →∞



3
http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
V n ñ 3: Kh D ng Vô ð nh ∞ − ∞
lim f(x) = +∞ và limg(x) = +∞ thì lim[f(x) – g(x)] có d ng ∞ − ∞
Gi s

Phương pháp : ðưa d ng ∞ − ∞ v d ng

Bài T p
Bài 5 : Tính các gi i h n sau
1 2
a) lim ( x 2 + 1 − x) , b) lim ( x 2 + 1 − x) , c) lim( x 2 − 4 x − x) d) lim( −2 )
x →1 x − 1 x −1
x → +∞ x → −∞ x →∞

1 3 1 3
− −3 )
e) lim( ) , f) lim( 2
x →1 x − 1 1 − x3 x →1 x + x − 2 x −1


V n ñ 4: Gi i H n Hàm S Lư ng Giác
Phương pháp : S d ng ñ nh lý sau :
sin x
• ð nh lý : lim =1 .
x →0 x
sin u ( x)
• H qu : N u lim u ( x) = 0 thì lim =1 .
x→a x→a u ( x)
Bài T p
Bài 6 . Tính các gi i h n :
1 − cos 2 x
sin 2 x sin 5 x sin 2 x
a) lim b) lim c) lim d) lim
x2
x →0 x →0 x →0 sin 5 x x →0
x 2x
sin πx
sin x − 3 cos x
sin 2 ( x − 1)
e) lim( x + 1) 2 , f) lim g) lim
x →0 x − 1
( x − 1) π
2
x →1 sin 3 x
x→
3




T ng H p Phương Pháp Kh Các D ng Vô ð nh

A. PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN: Các d ng vô ñ nh:
f ( x)  0 
1. Gi i h n c a hàm s d ng: lim 
g( x)  0 
x →a

o N u f(x) , g(x) là các hàm ña th c thì có th chia t s , m u s cho (x-a) ho c (x-a)2.
o N u f(x) , g(x) là các bi u th c ch a căn thì nhân t và m u cho các bi u th c liên h p.
f ( x)  ∞ 
2. Gi i h n c a hàm s d ng: lim 
g( x)  ∞ 
x →∞

và m u cho xk v i k ch n thích h p. Chú ý r ng n u x → +∞ thì coi như x>0, n u
o Chia t
x → −∞ thì coi như x1)

x
tìm gi i h n ñó.

5
http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
Gi i
( )
Ta có : lim  f ( x )  = lim x − x + 3 = 3 .
2
x →1−   x →1−
x+a
lim  f ( x )  = lim= a +1
+  x +
x →1 x →1

V y lim  f ( x )  = 3 ⇔ a + 1 = 3 ⇔ a = 2
 
x →1

( )
( x − 2) x2 + 2x + 4
x3 − 8 0
( )
11. lim = lim = lim x 2 + 2 x + 4 = 12 . D ng   .
0
x →2 x − 2 x−2
x →2 x →2

x3 + 2x − 1 2 1
1+ 2 − 3
x + 2x − 1 x = 1 . D ng  ∞  .
3
x3 x
12. lim = lim = lim ∞
1
2x3 + 1
2x3 + 1 2 
x →∞ x →∞ x →∞
2+ 3
3
x
x
( )
2 3x 2 − x + 1
( )
2 3x 2 − x + 1
2
  x2
( )
13. lim   3 x − x + 1 = lim = lim
2
33
x. 3 x 3 + 1 x. 3 x 3 + 1
 x. x + 1 
x →∞ x →∞ x →∞


x2
1 1

2 3 − + 2 
x x 6
= lim  = =6
1
1
x →∞
3 1+
3
x
( )( ) = lim x
x2 + x + 3 − x x2 + x + 3 + x + x + 3 − x2
2

)
(
14. lim x2 + x + 3 − x = lim
x2 + x + 3 + x x2 + x + 3 + x
x →+∞ x →+∞ x →+∞



x+3 3
1+
x +3 1
x x
= lim = lim = lim = . D ng ( ∞ − ∞ )
x 2 + x + 3 + x x →+∞ 1 + 1 + 3 + 1 2
x2 + x + 3 + x
x →+∞ x →+∞

x x2
x

Bài T p Tính ð o Hàm
Bài 1: B ng ñ nh nghĩa, hãy tính ñ o hàm c a hàm s : y = 2x − 1 t i x0 = 5
 1
Gi i: T p xác ñ nh D =  x : x ≥ 
 2
• V i ∆ x là s gia c a x0 = 5 sao cho 5+ ∆ x ∈ ∆ thì
• ∆ y = 2(5 + ∆x) − 1 - 10 − 1



6
http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
( )( )
9 + 2 ∆x − 3 9 + 2 ∆x + 3
∆y 9 + 2 ∆x − 9 ∆y
• Ta có: = Khi ñó: y’(5)= lim = lim
( )
∆x ∆x ∆x →0 ∆x
∆x 9 + 2 ∆x + 3
∆x →0


9 + 2 ∆x − 9 2 1
• = lim = lim =
( ) ( )
∆x 9 + 2 ∆x + 3 9 + 2∆x + 3
∆x →0 ∆x →0 3

x
y=
Bài 2 : Ch ng minh hàm s liên t c t i x0 = 0, nhưng không có ñ o hàm t i ñi m ñó.
x +1
,neáu x ≥ 0
x
HD: Chú ý ñ nh nghĩa: x = 
-x ,neáu x 0) Ta có: lim+
• = lim+ = lim+ =1
∆x ∆x →0 ∆x ( ∆x + 1) ∆x →0 ( ∆x + 1)
∆x → 0



, neáu x ≥ 0
− x 2
Bài 3: Cho hàm s y = f(x) = 
x , neáu x
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản