ÔN TẬP HÈ MÔN TOÁN DÙNG CHO HỌC SINH KHỐI 11 LÊN 12

Chia sẻ: thanhemail94

Tài liệu tham khảo cho các bạn học sinh phổ thông ôn thi toán tốt

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: ÔN TẬP HÈ MÔN TOÁN DÙNG CHO HỌC SINH KHỐI 11 LÊN 12

 

  1. ÔN T P HÈ MÔN TOÁN H C DÙNG CHO H C SINH KH I 11 LÊN 12 Tài li u này g m nhi u ph n ñư c sưu t m trên Internet, v i s chia s c a các th y cô giáo d y Toán THPT. http://ebook.here.vn ch T p h p chúng l i ñ b n ñ c d dàng ôn t p. Tuy nhiên do m t s Tác gi không ñ l i tên trong Tài li u c a mình nên chúng tôi không th k h t. Xin g i l i c m ơn t i các th y Tr n M nh Tùng (THPT Lương Th Vinh), Phan Phú Qu c (THPT Phan Châu Trinh), và các th y cô khác ñã chia s nh ng Tài li u c a mình. ***** Gi i H n Hàm S Bài 1 : ð nh nghĩa Và M t S ð nh Lý 1.Gi i h n t i m t ñi m : 3x − 2 2n + 1 ( xn ) bi t xn = Ví d : Cho hàm s f(x) = và dãy s 5x + 4 n a) Tính f( xn ) . b) Tính lim xn và limf( xn ) a) Gi i h n h u h n : Cho hàm s f(x) xác ñ nh trên m t kho ng (a;b ) , có th tr ñi m x 0 ∈ (a;b) .Hàm s f(x) có gi i h n L khi x d n t i x 0 , n u m i dãy s ( xn ) ( xn ∈ (a; b), xn ≠ x0 , ∀n ∈ N ) sao cho lim xn = x 0 thì lim f( xn ) = L . Ta vi t : lim f (x ) = L . x →x 0 b) Gi i h n vô c c : ð.n : lim f ( x ) = +∞ ( hay -∞ ) ⇔ ∀(x n ), limx n = x0 ⇒ lim f ( xn ) = +∞ ( hay -∞ ) x → x0 2. Gi i h n t i vô c c : ð.n: lim f (x ) = L ⇔ ∀(x n ), limx n = +∞ ⇒ lim f (x n ) = L x →+∞ lim f (x ) = L ⇔ ∀(x n ), limx n = −∞ ⇒ lim f (x n ) = L x →−∞ 3. ð nh lý v gi i h n : ð nh lý 1 : N u hai hàm s f(x) và g(x) ñ u có gi i h n khi x d n t i a thì : lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x). lim[ f ( x).g ( x)] = lim f ( x). lim g ( x). x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 lim f ( x) f ( x) x → x0 = (lim g ( x) ≠ 0). f ( x) = 3 lim f ( x). lim lim 3 x → x0 g ( x ) lim g ( x) x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 f ( x) = lim f ( x) ( f(x) ≥ 0 ) lim x → x0 x → x0 Bài t p 1 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
  2. V n ñ 1: Tìm Gi i H n C a Hàm S T i ði m a Phương pháp : S d ng các gi i h n cơ b n sau : • lim C = C . V i C là h ng s . x→a lim x n = a n • x→a Bài 1 : Tính các gi i h n sau : x 2 + 3x + 2 3x + 2 a) lim( x + 3) , b) lim( x 4 + 3 x 3 − 2 x + 5) , c) lim , lim 3 . 3x + 6 x → −1 5 x + 6 3 x→2 x →1 x →0 Bài 2: Tính các gi i h n sau : 8x 2 -3x+7 (x 2 -5x+7)(4x-1)2 2x -1 - x 2 − x a) lim b) lim c) lim x → -∞ 3x 2 + x + 2 (3x 2 + 2)2 27x 3 + x - 3 x →+∞ x → -∞ 3 Bài 2 : Gi i H n M t Bên 1.ð nh nghĩa : f(x) xác ñ nh trên ( x 0 ; b) . a) Gi i h n bên ph i : cho hàm s lim f (x ) = L ⇔ ∀x n ∈ (x 0 ; b ), limx n = x 0 ⇒ lim f (x n ) = L x → x 0+ f(x) xác ñ nh trên (a; x 0 ) . Ta có : b) Gi i h n bên trái : cho hàm s lim f (x ) = L ⇔ ∀x n ∈ (a; x 0 ), limx n = x 0 ⇒ lim f (x n ) = L x → x 0− 2. ð nh lý : ði u ki n c n và ñ ñ hàm s f(x) có gi i h n b ng L là gi i h n bên ph i b ng gi i h n bên trái và b ng L . Ta có : lim f ( x) = L ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L . x→a x→ a x→ a 3. M t s k t qu : 1 1 1 lim k = +∞ (k ∈ Z) , lim− 2 k = +∞ , lim− 2 k +1 = −∞ x → 0= x x →0 x x →0 x Ví d 1: Tìm gi i h n m t bên c a hàm s sau x |x −6| x − 2 + 3x 2x − 6 1. lim x - 1 2. lim- 2 3. lim 4. lim- x →1 x − 1 x → 6 x + 5x x −9 + + 2 x →1 x →3  3 x − 1, x ≤ 1  Ví d 2: Tìm gi i h n m t bên c a hàm s sau : f(x)=  x 2 + 5  x −7 ,x >1  Bài t p 1. Tìm gi i h n c a hàm s sau 4x + 3 − x −1 x2 − 6x + 8 x2 − 6x + 5 5x − x 2 1. lim- 2. lim 3. lim- 4. lim 5. lim x −1 x 2 − 6x + 5 | x2 − x | - x →1− − x −5 x →5 x →1 x →2 x →5 x 2 − 5x + 6 2. Tìm gi i h n c a hàm s sau 1 x 2 − 4x + 3 x 2 − 3x  1 a. lim- b. lim- c. lim-  2 −2  |1− x | x →5  x − 1 x − 3x + 2  2 x →5 x →5 3x − x 4 5 2 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
  3.  x 2 + 2 x + 5, x ≤ 1  3. Cho hàm s : f(x) =  x + m  x −7 ,x >1  Tìm m ñ hàm s f(x) có gi i h n khi x d n t i 1 và tìm gi i h n ñó . Bài 3 : Kh Các D ng Vô ð nh Các d ng vô ñ nh : 0∞ , , ∞ − ∞,0 × ∞ g i là d ng vô ñ nh . Khi Khi tính gi i h n c a hàm s ta g p các gi i h n sau : 0∞ ñó ta không s d ng ñư c các ñ nh lý v gi i h n và cũng không bi t gi i h n này là bao nhiêu .ð tính ñư c các gi i h n ta ph i kh các d ng vô ñ nh trên . 0 V n ñ 1 : Kh D ng Vô ð nh . 0 f ( x) 0 Phương pháp : Gi s có d ng . Ta kh d ng này như sau : lim x→a g ( x) 0 • Phân tích f(x) = (x-a)f 1 (x) và g(x) = (x-a)g 1 (x) . f ( x) f ( x) • Khi ñó : lim = lim 1 , sau ñó tính bình thư ng . x → a g ( x) x → a g ( x) 1 Bài T p Bài 1 : Tìm các gi i h n sau : x2 − 4 x2 − 4 x 2 + 4x + 3 6x 2 − 5x + 1 a) lim b) lim 3 c) lim 2 d) lim 2 x→2 x − 2 x→2 x − 8 x → −1 2 x − 5 x − 7 x→ 2 x − 7 x + 3 1 2 Bài 2 : Tìm các gi i h n sau : x3 − 2x + 4 x 3 + 3x 2 − 9 x − 2 x 3 − 5 x 2 + 3x + 9 a) lim b) lim c) lim x 2 + 2x x3 − x − 6 x 4 − 8x 2 − 9 x → −2 x→2 x →3 Bài 3: Tìm các gi i h n sau x+3 −2 x− x+2 x+6 −2 8 x + 11 − x + 7 3 3 a) lim b) lim c) lim d) lim x −1 x −1 x 2 − 3x + 2 2 2 4x + 1 − 3 x →1 x→2 x →3 x→2 x +1 + x + 4 − 3 e) lim x →0 x ∞ V n ñ 2: Kh D ng Vô ð nh ∞ ∞ f ( x) Phương pháp : Gi s có d ng . Ta kh d ng này như sau : lim ∞ x → a g ( x) • Chia c t và m u cho x k là s h ng có s mũ l n nh t c a t và m u. Bài t p Bài 4 : Tính các gi i h n sau : 2x + 3 2 x 4 + 3x + 6 10 x + 3 2 x 2 + 3 x + 10 a) lim 3 b) lim 3 c) lim d) lim x→∞ 5 x + 2 x→∞ x + 4 x + 2 x →∞ x + 4 x + 2 x→∞ 7 x 2 + 4 x + 2 (2 x + 3)(3 x + 5) 2 e) lim x3 + 4x + 2 x →∞ 3 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
  4. V n ñ 3: Kh D ng Vô ð nh ∞ − ∞ lim f(x) = +∞ và limg(x) = +∞ thì lim[f(x) – g(x)] có d ng ∞ − ∞ Gi s ∞ Phương pháp : ðưa d ng ∞ − ∞ v d ng ∞ Bài T p Bài 5 : Tính các gi i h n sau 1 2 a) lim ( x 2 + 1 − x) , b) lim ( x 2 + 1 − x) , c) lim( x 2 − 4 x − x) d) lim( −2 ) x →1 x − 1 x −1 x → +∞ x → −∞ x →∞ 1 3 1 3 − −3 ) e) lim( ) , f) lim( 2 x →1 x − 1 1 − x3 x →1 x + x − 2 x −1 V n ñ 4: Gi i H n Hàm S Lư ng Giác Phương pháp : S d ng ñ nh lý sau : sin x • ð nh lý : lim =1 . x →0 x sin u ( x) • H qu : N u lim u ( x) = 0 thì lim =1 . x→a x→a u ( x) Bài T p Bài 6 . Tính các gi i h n : 1 − cos 2 x sin 2 x sin 5 x sin 2 x a) lim b) lim c) lim d) lim x2 x →0 x →0 x →0 sin 5 x x →0 x 2x sin πx sin x − 3 cos x sin 2 ( x − 1) e) lim( x + 1) 2 , f) lim g) lim x →0 x − 1 ( x − 1) π 2 x →1 sin 3 x x→ 3 T ng H p Phương Pháp Kh Các D ng Vô ð nh A. PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN: Các d ng vô ñ nh: f ( x)  0  1. Gi i h n c a hàm s d ng: lim  g( x)  0  x →a o N u f(x) , g(x) là các hàm ña th c thì có th chia t s , m u s cho (x-a) ho c (x-a)2. o N u f(x) , g(x) là các bi u th c ch a căn thì nhân t và m u cho các bi u th c liên h p. f ( x)  ∞  2. Gi i h n c a hàm s d ng: lim  g( x)  ∞  x →∞ và m u cho xk v i k ch n thích h p. Chú ý r ng n u x → +∞ thì coi như x>0, n u o Chia t x → −∞ thì coi như x<0 khi ñưa x ra ho c vào kh i căn b c ch n. ∞ 3. Gi i h n c a hàm s d ng: lim  f ( x ) .g ( x )  ( 0.∞ ) . Ta bi n ñ i v d ng:  x →∞   ∞ f ( x) − g( x)  ( ∞ -∞ ) 4. Gi i h n c a hàm s d ng: lim    x →∞ 4 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
  5. f ( x) − g( x) o ðưa v d ng: lim f ( x) + g( x ) x →∞ B. CÁC VÍ D 2 x 2 − 3 x + 2 ( − 2 ) − 3 ( −2 ) + 2 12 1. lim = − = −3 = ( −2 ) − 2 x−2 4 x →−2 ( x − 2 ) ( x − 1) = lim x − 1 = 2 − 1 = 1 .Chia t và m u cho (x-2). x 2 − 3x + 2 () 2. lim = lim x−2 x −2 x →2 x →2 x →2 ( )( )( ) ( ) ( x + 1 − 4 ) 3x + 3 x +1 − 2 x +1 + 2 3x + 3 x +1 − 2 3. lim = lim = lim ( )( )( ) )( ) ( 3x − 3 3 x − 32 3x − 3 x +1 + 2 3x + 3 x +1 + 2 x →3 x →3 x →3 ( x − 3 ) ( 3 x + 3) ( 3x + 3) = ( 3.3 + 3) = 6 = 1 = lim = lim 3( x − 3) ( x + 1 + 2 ) 3 ( x + 1 + 2 ) 3 ( 3 + 1 + 2 ) 12 2 x →3 x →3 x 2 − 3x + 1  lim  x →3+ x − 3 = +∞ x 2 − 3x + 1  4. lim = ∞ (vì t d n v 1 còn m u d n v 0).C th :  x −3  lim x − 3 x + 1 = −∞ 2 x →3  x →3− x − 3  ( ) ( ) ( x − 1) 2 x + x + 1 2x2 + x + 1 2 2x3 − x2 − 1 5. lim 3 = lim = lim =∞. x →1 ( x − 1)( x − 2 ) 2 x →1 x − 4 x 2 + 5 x − 2 ( x − 1) ( x − 2 ) x →1 2x2 − x + 3 13 2− + 2 2x − x + 3 x x = 2 =2 2 2 x 6. lim = lim = lim 1 x +1 2 2 x +1 1 x →∞ x →∞ x →∞ 1+ 2 x2 x 7. lim x − 1 = 0 + x →1 1 x 1+ x +1 x 2 = lim 1 + 1 = 1 2 8. lim = lim x2 x x x →+∞ x →+∞ x →+∞ 1 1 x 1+ 2 −x 1 + 2 x = lim  − 1 + 1  = −1 . x +1 2 x = lim 9. lim = lim   x →−∞   x2  x x x x →−∞ x →−∞ x →−∞   x 2 − x + 3 ( x ≤ 1)  10. Cho hàm s : f ( x ) =  x+a . Tìm a ñ hàm s có gi i h n khi x d n t i 1 và ( x>1)  x tìm gi i h n ñó. 5 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
  6. Gi i ( ) Ta có : lim  f ( x )  = lim x − x + 3 = 3 . 2 x →1−   x →1− x+a lim  f ( x )  = lim= a +1 +  x + x →1 x →1 V y lim  f ( x )  = 3 ⇔ a + 1 = 3 ⇔ a = 2   x →1 ( ) ( x − 2) x2 + 2x + 4 x3 − 8 0 ( ) 11. lim = lim = lim x 2 + 2 x + 4 = 12 . D ng   . 0 x →2 x − 2 x−2 x →2 x →2 x3 + 2x − 1 2 1 1+ 2 − 3 x + 2x − 1 x = 1 . D ng  ∞  . 3 x3 x 12. lim = lim = lim ∞ 1 2x3 + 1 2x3 + 1 2  x →∞ x →∞ x →∞ 2+ 3 3 x x ( ) 2 3x 2 − x + 1 ( ) 2 3x 2 − x + 1 2   x2 ( ) 13. lim   3 x − x + 1 = lim = lim 2 33 x. 3 x 3 + 1 x. 3 x 3 + 1  x. x + 1  x →∞ x →∞ x →∞ x2 1 1  2 3 − + 2  x x 6 = lim  = =6 1 1 x →∞ 3 1+ 3 x ( )( ) = lim x x2 + x + 3 − x x2 + x + 3 + x + x + 3 − x2 2 ) ( 14. lim x2 + x + 3 − x = lim x2 + x + 3 + x x2 + x + 3 + x x →+∞ x →+∞ x →+∞ x+3 3 1+ x +3 1 x x = lim = lim = lim = . D ng ( ∞ − ∞ ) x 2 + x + 3 + x x →+∞ 1 + 1 + 3 + 1 2 x2 + x + 3 + x x →+∞ x →+∞ x x2 x Bài T p Tính ð o Hàm Bài 1: B ng ñ nh nghĩa, hãy tính ñ o hàm c a hàm s : y = 2x − 1 t i x0 = 5  1 Gi i: T p xác ñ nh D =  x : x ≥   2 • V i ∆ x là s gia c a x0 = 5 sao cho 5+ ∆ x ∈ ∆ thì • ∆ y = 2(5 + ∆x) − 1 - 10 − 1 6 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
  7. ( )( ) 9 + 2 ∆x − 3 9 + 2 ∆x + 3 ∆y 9 + 2 ∆x − 9 ∆y • Ta có: = Khi ñó: y’(5)= lim = lim ( ) ∆x ∆x ∆x →0 ∆x ∆x 9 + 2 ∆x + 3 ∆x →0 9 + 2 ∆x − 9 2 1 • = lim = lim = ( ) ( ) ∆x 9 + 2 ∆x + 3 9 + 2∆x + 3 ∆x →0 ∆x →0 3 x y= Bài 2 : Ch ng minh hàm s liên t c t i x0 = 0, nhưng không có ñ o hàm t i ñi m ñó. x +1 ,neáu x ≥ 0 x HD: Chú ý ñ nh nghĩa: x =  -x ,neáu x<0 Cho x0 = 0 m t s gia ∆ x ∆x ∆ y = f(x0+ ∆ x) –f(x0) = f( ∆ x) –f(0) = ∆x + 1 ∆x ∆y = ∆x ∆x ( ∆x + 1) ∆x ∆y 1 Khi ∆ x → 0+ ( thì ∆ x > 0) Ta có: lim+ • = lim+ = lim+ =1 ∆x ∆x →0 ∆x ( ∆x + 1) ∆x →0 ( ∆x + 1) ∆x → 0 , neáu x ≥ 0 − x 2 Bài 3: Cho hàm s y = f(x) =  x , neáu x<0 a) Cm r ng hàm s liên t c t i x = 0 b) Hàm s này có ñ o hàm t i ñi m x = 0 hay không ? T i sao? (x − 1)2 , neáu x ≥ 0  Bài 4: Ch ng minh r ng hàm s y = f(x) =  2 không có ñ o hàm t i x = 0. T i x = 2 -x , neáu x<0  hàm s ñó có ñ o hàm hay không ? (x − 1)2 , neáu x ≥ 0  Bài 5: Ch ng minh r ng hàm s y = f(x) =  không có ñ o hàm t i x0 = 0, nhưng liên (x+1) , neáu x<0 2  t c t i ñó. ∆y ∆y ∆y ∆y ≠ lim− HD:a) f(0) = (0-1)2 = 1; = 2 ⇒ lim+ ⇒ hàm s không có lim+ = -2; lim− ∆x ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ñ o hàm t i x0 = 0 b) Vì lim+ f (x) =1; lim− f (x) =1; f(0) = 1 ⇒ lim+ f (x) = lim− f (x) = f(0) = 1 ∆x →0 ∆x →0 ∆x →0 ∆x →0 ⇒ hàm s liên t c t i x0 = 0 cos x, Neáu x ≥ 0 Bài 6: Cho hàm s y = f(x) =  − sin x Neáu x<0 a) Ch ng minh r ng hàm s không có ñ o hàm t i x = 0. 7 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
  8. π b) Tính ñ o hàm c a f(x) t i x = 4 HD:a) Vì lim+ f (x) = lim+ cos x =1 và lim− f (x) = lim− (− sin x) = 0; f(0) = cos0 = 1 x →0 x →0 x →0 x →0 ⇒ lim+ f (x) ≠ lim− f (x) x →0 x →0 ⇒ hàm s không liên t c t i x0 = 0 (hàm s gián ño n t i x0 = 0) Bài 7: Tính ñ o hàm các hàm s sau: 1. y = ( x 2 -3x+3)( x 2 +2x-1); ðs: y’ = 4x3-3x2 – 8x+ 9 2. y = ( x 3 -3x+2)( x 4 + x 2 -1); ðs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x 2  ( ) 3. Tìm ñ o hàm c a hàm s : y =  + 3x  x − 1 x   1  2  2  2  2 ( ) ( ) ( ) Gi i: y’ =  + 3x  ' x − 1 +  + 3x  x − 1 ' =  − 2 + 3  x − 1 =  + 3x    x  x  x  x  2 x  2  ( ) 1 3x + =  − 2 + 3 x −1 + x  xx 2x 1  ( ) 3. y = x + 1  − 1 x  ) x + 2 ) (1 + y= ( x 2 + 3x 3 3 4. 5. y = ( x 2 -1)( x 2 -4)( x 2 -9); ðs: 6*x^5-56*x^3+98*x 6. y = (1+ x )(1+ 2x )(1+ 3x ) 1+ x 7. y = 1 + 2x 1 − 3 2x 8. y = 1 + 3 2x x +1 1 9. y = ; ðs:- x −1 (x + 1)(x − 1)3 1− x2 2x 10. y = ; ðs:- 1+ x 2 (1 − x 2 )(1 + x 2 )3  1− x   1− x  1 11. y = cos  1 + x  ; 2  sin  2  1+ x  ðs:    x (1 + x ) 2   12. y = (1+sin2x)4; ðs: (1 + sin 2 x)3 sin 2x 13. y =sin2(cos3x); ðs: -3sin(2cos3x)sin3x sin x − cos x 2 14. y = ; ðs: sin x + cos x (sin x + cos x) 2 sin 3x 15. y = 2 sin x.cos x 1 − cos x − x sin x x 518) y = f(x) = ; y’ = (1 − cos x ) 1 − cos x 2 8 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
  9. x − sin x cos x tan x 519) y = f(x) = ; y’ = x 2 cos 2 x x sin x 1 522) y = f(x) = ; y’ = 1 + cos x 1 + cos x sin x + cos x + x(sin x − cos x) x 523) y = f(x) = ; y’ = sin x + cos x 1 + sin 2x 1 1 526) y = f(x) = tan 4 x ; y’ = tan3x. cos 2 x 4 1 527) y = f(x) = cosx − cos3 x ; y’ = -sin3x 3 3 528) y = f(x) = 3sin2x –sin3x; y’ = sin 2x(2 − sin x) 2 1 529) y = f(x) = tan3x –tanx + x; y’ = tan4x 3 x +1 1 535) y = f(x) = tan ; y’ = x +1 2 2 cos 2 2 3 2 539) y = f(x) = cos 4x; y’ = -12cos 4x.sin4x x 2 −1  1 544) y = f(x) = 1 + tan  x +  ; y’ =  x  1  1 2x 2 cos 2  x +  1 + tan  x +   x  x 3 672) y = f(x) = 3cos2x –cos3x; y’ = sin2x(cosx-2) 2 2sin 2 x 2sin 2x 682) y = f(x) = ; y’ = cos 2 2x cos 2x x x tan + cot 2 ; y’ = − 2(x cos x + sin x) 2 684) y = f(x) = x 2 sin 2 x x x x 1 x 2x 1 2 x − sin …. y = f(x) = sin 2 cot ; y’ = cot sin 685) 3 2 3 2 32 2 tan x(1 + 2 tan 2 x) y = f(x) = 1 + tan 2 x + tan 4 x ; y’ = 689) cos 2 x 1 + tan 2 x + tan 4 x 1 1 sin 6 3x − sin 8 3x ; y’ = sin53xcos33x 694) y = f(x) = 18 24 ) ( 2 sin 3 x y = f(x) = cosx. 1 + sin x ; y’ = − 2 705) 1 + sin 2 x 2 2x + 1 2x + 1 2x + 1      − sin 0.8x  ; y’ = -0.8  cos − sin 0.8x   sin + cos 0.8x  706) y = f(x) = 0.4  cos      2 2 2 1 sin 2x ; y’ = − 713) y = f(x) = 2 (1 + sin 2 x ) 1 + sin x 2 3 721) y = f(x) = sin2x.sinx2; y’ =2sinx(xsinx.cosx2+cosx.sinx2) 9 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
  10. 2 cos x 2sin x 722) y = f(x) = ; y’ = cos 2x cos 2x cos 2x BÀI T P ð O HÀM B SUNG Bài 1.Tìm ñ o hàm c a hàm s : 1 2x cot2x − x cot2x Gi i: y’ = ( x )cot2x+ x (cot2x)’ = y= sin 2 2x 2x Bài 2. Tìm ñ o hàm c a hàm s : y = 3sin xcosx+cos2x 2 y’ = 2(sin2x)’cosx+3(sin2x)(cosx)’+(cos2x)’ = 6sinxcos2x-3sin3x-2cosxsinx =sinx(6cos2x-3sin2x-2cosx) x Bài 3. Cho hàm s : y = x2 + x +1 Tìm TXð và tính ñ o hàm c a hàm s ? TXð: D = R 2x + 1 x 2 + x + 1 − x. 2 x 2 + x + 1 = 2(x + x + 1) − x(2x + 1) =… 2 y’ = x2 + x +1 ( ) 3 x2 + x +1 Bài 4: Ch ng minh r ng các hàm s sau có ñ o hàm không ph thu c x: a) y = sin6x + cos6x +3sin2xcos2x; HD: Cách 1: y = (sin2x)3+(cos2x)3+3sin2xcos2x= (sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) +3sin2xcos2x = [(sin2x)2+[(cos2x)2+2sin2xcos2x-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x =[(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x =1 ⇒ y’ = 0 (ñpcm) Cách 2: y’ = 6sin5x.(sinx)’ +6cos5x.(cosx)’+3[(sin2x)’.cos2x+sin2x(cos2x)’] = 6sin5x.cosx -6cos5x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos2x+sin2x.2cosx.(cosx)’] = 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 3[2sinx.cosx. cos2x-sin2x.2cosx.sinx] = 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 6sinx.cosx(cos2x – sin2x) π π  2π  2π     2 − x 2 + x − x  +cos2  − x  -2sin2x. 2 b) y = cos  3 +cos  3 +cos  3    3  Bài 5: Cho hàm s y = f(x) = 2cos2(4x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm t p giá tr c a hàm s f'(x) Bài : Cho hàm s y = f(x) = 3cos2(6x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm t p giá tr c a hàm s f'(x) Bài 6: Ch ng minh r ng các hàm s sau th a mãn phương trình : a) y = 2x − x 2 ; y3y"+1 = 0. b) y = e4x+2e-x; y''' –13y' –12y = 0. c) y = e2xsin5x; y"-4y'+29y = 0 ) ( 2 d) y = x 3 [cos(lnx)+sin(lnx)]; x 2 y"-5xy'+10y = 0. e) y = x + x 2 + 1 ; (1+ x 2 )y"+xy'-4y = 0 Bài 7: Cho hàm s y= f(x) = 2x2 + 16 cosx – cos2x. 1/. Tính f’(x) và f”(x), t ñó tính f’(0) và f”( π ). 2/. Gi i phương trình f”(x) = 0. x −1 cos2x Bài 8: Cho hàm s y = f(x) = 2 a) Tính f'(x) b) Gi i phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 10
  11. Bài 9: Gi i phương trình f’(x) = 0 bi t r ng:  cos 3x  60 64 sin 3x − 3 +5; +cosx- 3  sin x + f(x) = 3x+ b) f(x) =   3 xx 3 Gi i: 60 64.3x 2  20 64  60 64.3 f’(x) = 3 − 2 + == 3 − 2 + 4 == 3 1 − 2 + 4  6 x x x x x x  20 64  f’(x) = 0 ⇔ 1 − 2 + 4  = 0 ⇔ x4-20x2+64 = 0 (x ≠ 0) ⇔ … {±2; ±4} x x Phương Trình Lư ng Giác A. CÁC CÔNG TH C C N NH 1. Công th c cơ b n 1 ≤ sin x ≤ 1 1 ≤ cos x ≤ 1 sin(α + k2π) = sinα; cos(α + k2π) = cosα; tan(α +kπ) = tanα; cot(α + kπ) = cotα * Hàm s y = sin x có TXð: D = ¡ ; TGT: [ −1;1] ; Tu n hoàn v i chu kì: T = 2π là hàm s l * Hàm s y = cos x có TXð: D = ¡ ; TGT: [ −1;1] ; Tu n hoàn v i chu kì: T = 2π ; là hàm s ch n π  TXð: D = ¡ \  + kπ ; k ∈ ¢  ; * Hàm s y = tan x có 2  TGT: ¡ ; Tu n hoàn v i chu kì: T = π ; là hàm s l TXð: D = ¡ \ {kπ ; k ∈ ¢ } ; * Hàm s y = cos x có TGT: ¡ ; Tu n hoàn v i chu kì: T = π ; là hàm s l Giá tr lư ng giác c a các cung ñ c bi t: Góc 0 ( 0o ) π 30o π 45o π 60o π 90o (120o ) 34 (135o ) 56 (150o π (180 ) 2π π π ( ) 4( ) 3( ) 2( ) o 6 3 Hàm 1 1 2 3 3 2 sin α 0 1 0 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 2 3 − − − cos α 1 0 -1 2 2 2 2 2 2 −3 1 1 3 − tan α  0 1 -1 0 3 3 −3 1 1 3 − cot α   1 0 -1 3 3 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 11
  12. 2. Các h ng ñ ng th c lư ng giác cơ b n sin 2 α + cos 2 α = 1 tan α .cot α = 1 1 1 = 1 + tan 2 α = 1 + cot 2 α cos α sin α 2 2 3. Các công th c có liên quan ñ c bi t a. Cung ñ i nhau sin(-α) = - sinα cos(-α) = cosα tan(-α) = - tanα cot(-α) = -cotα b. Cung bù nhau sin(π - α) = sinα cos(π - α) = - cosα tan(π - α) = - tanα cot(π - α) = - cotα c. Cung ph nhau π π   sin  − α  = cos α cos  − α  = sin α 2  2  π π   tan  − α  = cot α cot  − α  = tan α 2  2  d. Cung hơn kém π sin (π + α ) = − sin α cos (π + α ) = − cos α tan (π + α ) = tan α cot (π + α ) = cot α π e. Cung hơn kém 2 π π   sin  + α  = cos α cos  + α  = − sin α 2  2  π π   tan  + α  = − cot α cot  + α  = − tan α 2  2  3. Công th c c ng cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b 4. Công th c nhân ñôi sin 2 x = 2sin x cos x cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x 2 tan x tan 2 x = 1 − tan 2 x 5. Công th c h b c 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x sin 2 x = cos 2 x = 2 2 6. Công th c nhân ba sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x ( 3 − tan 2 x ) tan x cos 3 x = 4 cos x − 3cos x tan 3 x = 3 1 − 3 tan 2 x 7. Công th c bi n ñ i tích thành t ng http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 12
  13. 1 cos ( x − y ) + cos ( x + y )  cos x.cos y = 2  1 sin x.sin y = cos ( x − y ) − cos ( x + y )  2  1 sin x.cos y = sin ( x − y ) + sin ( x + y )  2  8. Công th c bi n ñ i t ng thành tích sin ( x + y ) x+ y x− y tan x + tan y = cos x + cos y = 2 cos .cos cos x cos y 2 2 sin ( x − y ) x+ y x− y tan x − tan y = cos x − cos y = −2sin .sin cos x cos y 2 2 sin ( x − y ) x+ y x− y cot x + co t y = sin x + sin y = 2sin .cos sin x sin y 2 2 sin ( y − x ) x+ y x− y cot x − co t y = sin x − sin y = 2 cos .sin sin x sin y 2 2 9. Công th c rút g n: asin x + bcos x a sin x + b cos x = a 2 + b 2 .sin ( x + α ) = a 2 + b 2 .cos ( x − α ) a sin x − b cos x = a 2 + b 2 .sin ( x − α ) = − a 2 + b 2 .cos ( x + α ) ð c bi t: π π   sin x + cos x = 2 sin  x +  = 2 cos  x −   4  4 π π   sin x − cos x = 2 sin  x −  = − 2 cos  x +   4  4 M r ng: 2 cot x + tan x = cot x − tan x = 2 cot 2 x sin 2 x α 10. Công th c tình sin α; cosα; tan α theo tan 2 α ð t t = tan ta có: 2 1− t2 2t 2t sin α = cos α = tan α = 1+ t2 1+ t2 1− t2 B PH N BÀI T P I. HÀM S LƯ NG GIÁC: Các d ng bài t p cơ b n 1. D ng 1: Tìm TXð c a hàm s lư ng giác * Phương pháp gi i: S d ng tính ch t: http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 13
  14. y = sin x, y = cos x xác ñ nh v i m i x ∈ ¡ - Các hàm s π + kπ , k ∈ ¢ - Hàm s : y = tan x xác ñ nh v i m i x ≠ 2 - Hàm s : y = cot x xác ñ nh v i m i x ≠ kπ , k ∈ ¢ 1 Ví d : Tìm TXð c a hàm s : y = π  sin  x −   4 L i gi i: π π π  Hàm s có nghĩa ⇔ sin  x −  ≠ 0 ⇔ x − ≠ kπ ⇔ x ≠ + kπ , k ∈ ¢  4 4 4 π  V y TXð c a hàm s là: D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  4  sin x + cos x Ví d 2: Tìm TXð c a hàm s : y = cot x − 1 L i gi i:  x ≠ kπ  x ≠ kπ  ⇔ ,k ∈¢ π Hàm s xác ñ nh khi:  cot x ≠ 1  x ≠ + kπ  4 π   V y TXð c a hàm s là: D = ¡ \  x | x = + kπ v x = kπ , k ∈ ¢    4 Bài 1: Tìm t p xác ñ nh c a các hàm s sau: 1 x 2x 1) y = 2) y = tan 3) y = sin 2 cos x − 1 x−2 2 1 4) y = cot 2 x 5) y = cos 2 6) y = cos x + 1 x −1 2.D ng 2: Xét tính ch n l c a hàm s y = f ( x ) : ð nh nghĩa: Cho hàm s y = f ( x ) có TXD là: D ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D (D l tËp ®èi xøng)  f ( x ) ch n ⇔  * Hàm s f ( -x ) = f ( x )  ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D (D l tËp ®èi xøng)  f ( x) l ⇔  * Hàm s f ( -x ) = − f ( x )  * Phương pháp gi i: Bư c 1: Tìm TXð D c a hàm s y = f ( x ) không ch n, không N u D không là t p ñ i x ng thì ta k t lu n ngay hàm s l. N u D là t p ñ i x ng ta th c hi n ti p bư c 2: Bư c 2: V i m i x ∈ D , n u N u f ( − x ) = f ( x ) thì hàm s y = f ( x ) là hàm ch n. N u f ( − x ) = − f ( x ) thì hàm s y = f ( x ) là hàm l . N u f ( − x ) ≠ ± f ( x ) thì hàm s y = f ( x ) là hàm không ch n, không l . Lưu ý tính ch t: http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 14
  15. * ∀x ∈ ¡ : sin ( − x ) = − sin x * ∀x ∈ ¡ : cos ( − x ) = cos x π  * ∀x ∈ ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  : tan ( − x ) = − tan x 2  * ∀x ∈ ¡ \ {kπ , k ∈ ¢ } : cot ( − x ) = − cot x Ví d : Xét tính ch n l c a hàm s : y = sin 3 x L i gi i: TXð: D = ¡ là t p ñ i x ng ∀x ∈ ¡ ⇒ − x ∈ ¡ Ta có: f ( − x ) = sin 3 ( − x ) = sin ( −3 x ) = − sin 3 x = − f ( x ) V y hàm s là hàm s l . Bài 2: Xét tính ch n, l c a các hàm s sau: 1) y = sin 2 x 2) y = cos 3 x 3) y = tan 2 x 4) y = x sin x 5) y = 1 − cos x 6) y = x − sin x 3. D ng 3: Tìm chu kì c a hàm s lư ng giác: * Phương pháp gi i: Khi tìm chu kì c a hàm s lư ng giác, ta c n bi n ñ i bi u th c c a hàm s ñã cho v m t bi u th c t i gi n và lưu ý r ng: 1) Hàm s y = sin x, y = cos x có chu kì T = 2π 2) Hàm s y = tan x, y = cot x có chu kì T = π . 2π 3) Hàm s y = sin ( ax + b ) , y = cos ( ax + b ) v i a ≠ 0 có chu kì T = a π y = tan ( ax + b ) , y = cot ( ax + b ) v i a ≠ 0 có chu kì T = 4) Hàm s a f = f1 + f 2 có chu kì 5) Hàm s f1 có chu kì T1 , hàm s f 2 có chu kì T2 thì hàm s T = BCNN (T1 , T2 ) 31 y= + cos 2 x Ví d : Tìm chu kì c a hàm s 22 L i gi i 2π 31 =π + cos 2 x có chu kì là T = y= Hàm s 2 22 Bài 3: Tìm chu kì c a các hàm s sau: 1) y = 2 cos 2 x 2) y = sin 2 x + 2 cos 3 x * D ng 4: Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm s : Phương pháp: D a vào TGT c a các hàm s lư ng giác Chú ý: * Hàm s y = sin x, y = cos x có TGT là: [ −1;1] y = tan x, y = cot x có TGT là: ¡ * Hàm s Ví d : Tìm GTLN, GTNN c a hàm s : y = 3 − 1 − cos x L i gi i: Ta có −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 1 − cos x ≤ 2 ⇒ 0 ≤ 1 − cos x ≤ 2 ⇒ 0 ≥ − 1 − cos x ≥ − 2 3 ≥ 3 − 1 − cos x ≥ 3 − 2 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 15
  16. V y Maxy = 3 ñ t ñư c ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ¢ Bài 4: Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s : π  1) y = 3 − 2 sin x 2) y = cos x + cos  x −   3 3) y = cos x + 2 cos 2 x 3) y = 2 cos x + 1 5) y = 2 − sin x 2 II. PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC 1. Phương trình lư ng giác cơ b n  x = arcsin a + k 2π * D ng 1: sin x = a ( a ≤ 1) nghi m t ng quát:  ;k ∈¢  x = π − arcsin a + k 2π  x = α + k 2π ð c bi t: sin x = sin α ⇔  ;k ∈¢  x = π − α + k 2π  f ( x ) = g ( x ) + k 2π T ng quát: sin f ( x ) = sin g ( x ) ⇔  ;k ∈¢  f ( x ) = π − g ( x ) + k 2π  * D ng 2: cos x = a ( a ≤ 1) nghi m t ng quát: x = ± arccos a + k 2π ; k ∈ ¢ ð c bi t: cos x = cos α ⇔ x = ±α + k 2π ; k ∈ ¢ T ng quát: cos f ( x ) = cos g ( x ) ⇔ f ( x ) = ± g ( x ) + k 2π ; k ∈ ¢ π   * D ng 3: tan x = a  x ≠ + kπ ; k ∈ ¢  nghi m t ng quát: x = α + kπ ; k ∈ ¢   2 ð c bi t: tan x = tan α ⇔ x = α + kπ ; k ∈ ¢ T ng quát: tan f ( x ) = tan g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ; k ∈ ¢ ( x ≠ kπ ; k ∈ ¢ ) nghi m t ng quát: x = α + kπ ; k ∈ ¢ * D ng 4: cot x = a ð c bi t: cot x = cot α ⇔ x = α + kπ ; k ∈ ¢ T ng quát: cot f ( x ) = cot g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ; k ∈ ¢ Ví d minh ho : Gi i các phương trình sau: π π   1 1) cos 2 x = 2) sin 3 x = cos 2 x 3) cos  2 x −  + sin  x +  = 0  4  4 2 π 1 4) tan 3 x = cot x 6) cos x = 3 sin x 5) cot  − x  = 4  3 L i gi i π π    2 x = 3 + k 2π  x = 6 + kπ π 1 1) Ta có cos 2 x = ⇔ cos 2 x = cos ⇔  ⇔ ,k ∈¢  2 x = − π + k 2π  x = − π + kπ 2 3     3 6 V y phương trình có hai h nghi m. 2) Ta có: π  3 x = − 2 x + k 2π  π  2 sin 3 x = cos 2 x ⇔ sin 3 x = sin  − 2 x  ⇔  3 x = π −  π − 2 x  + k 2π 2     2   http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 16
  17. π k 2π  x= +  10 5 ⇔ ,k ∈¢  x = π + k 2π   2 3) Ta có: π π π π     cos  2 x −  + sin  x +  = 0 ⇔ cos  2 x −  = − sin  x +   4  4  4  4 π 3π   x = π + k 2π  2 x − 4 = x + 4 + k 2π π π π   ⇔ ⇔ cos  2 x −  = cos  x + +  ⇔  π k 2π , k ∈ ¢ x = − + π 3π  4  4 2 2 x − = − x − + k 2π  6 3   4 4 π π kπ   3 x ≠ + kπ cos 3 x ≠ 0 x ≠ + ⇔ ⇔ 6 3 ,k ∈¢ 4) ði u ki n:  2 sin x ≠ 0   x ≠ kπ  x ≠ kπ  Ta có: π π π kπ  tan 3 x = cot x ⇔ tan 3 x = tan  − x  ⇔ 3 x = − x + kπ ⇔ x = + ,k ∈¢ 2  2 84 Ta th y nghi m trên tho mãn ñi u ki n. V y phương trình có m t h nghi m. π π π  5) ði u ki n: sin  − x  ≠ 0 ⇔ − x ≠ kπ ⇔ x ≠ − kπ , k ∈ ¢ (*) 4  4 4 Ta có: π π π π π π 1  ⇔ cot  − x  = cot ⇔ − x = + kπ ⇔ x = − − kπ , k ∈ ¢ tho mãn ñi u cot  − x  = 4  4  3 4 3 12 3 ki n (*). V y phương trình có m t h nghi m. 6) Ta có: π π + kπ , k ∈ ¢ cos x = 3 sin x ⇔ cot x = 3 = cot ⇔ x= 6 6 V y phương trình có m t h nghi m Bài t p tương t : gi i các phương trình sau: π π   2 cos 2 x − 1 = 0 2) sin x = cos 3 x 3) cos  x +  + sin  3 x +  = 0 1)  3  4 π π   5) sin x = 3 cos x 4) tan 2 x = cot  x +  6) tan 2  − 2 x  − 3 = 0  4 3  2. Phương trình b c hai ñ i v i m t hàm s lư ng giác. * ð nh nghĩa: Là phương trình có d ng at 2 + bt + c = 0 ( a ≠ 0 ) trong ñó t là m t trong b n hàm s lư ng giác: sin x, cos x, tan x, cot x * Cách gi i: Bư c 1: ð t t b ng hàm s lư ng giác có trong phương trình; Bư c 2: ð t ñi u ki n v i n ph t; Bư c 3: Gi i phương trình tìm t (tho mãn ñi u ki n); Bư c 4: V i m i t tho mãn ta có phương trình lư ng giác cơ b n ⇒ nghi m x http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 17
  18. Ví d minh ho : Gi i các phương trình sau: 1) 2 cos 2 x − 5 cos x + 3 = 0 2) 1 − 5sin x + 2 cos 2 x = 0 3 3) 3 cot 2 x − 4 cot x + 3 = 0 − 4 tan x − 2 = 0 4) cos 2 x L i gi i 1) ð t t = cos x , ñi u ki n: t ≤ 1 t = 1 Ta có phương trình tr thành: 2t − 5t + 3 = 0 ⇔  3 2 t = > 1 (lo¹i) 2 V y t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ¢ Phương trình có m t h nghi m 2) Ta có: 1 − 5sin x + 2 cos 2 x = 0 ⇔ 1 − 5sin x + 2 (1 − sin 2 x ) = 0 ⇔ 2 sin 2 x + 5sin x − 3 = 0 π   x = 6 + k 2π sin x = −3 (lo¹i) 1 ⇔ ⇔ sin x = ⇔  ,k ∈¢ sin x = 1  x = 5π + k 2π 2  2   6 (Chú ý: ta có th không c n ñ t n ph mà coi hàm s lư ng giác như là m t n như ví d này) 3) ði u ki n: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ¢ ð t cot x = t , khi ñó phương trình tr thành: π  t = 3 cot x = 3  x = 6 + kπ   3t 2 − 4t + 3 = 0 ⇔  1 ⇔ 1 ⇔ ,k ∈¢  x = π + kπ t= cot x =     3 3   3 Ta th y hai h nghi m ñ u tho mãn ñi u ki n. V y phương trình có hai h nghi m π + kπ , k ∈ ¢ 4) ði u ki n: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 Ta có: − 4 tan x − 2 = 0 ⇔ 3 (1 + tan 2 x ) − 4 tan x − 2 = 0 ⇔ 3 tan 2 x − 4 tan x + 1 = 0 3 cos 2 x π  π  x = 4 + kπ  tan x = 1  tan x = tan ⇔ 1⇔ 4 ⇔ ,k ∈¢  tan x =   x = α + kπ (tan α = 1 )  tan x = tan α  3   3 Ta th y c hai h nghi m ñ u tho mãn ñi u ki n. V y phương trình có 2 h nghi m. Bài 1: Gi i các phương trình sau 1) cos 2 x + sin 2 x + 2 cos x + 1 = 0 2) cos 2 x + 5sin x + 2 = 0 Bài 2: (Các phương trình ñưa v phương trình b c nh t, b c hai). Gi i các phương trình 1) cos x cos 2 x = 1 + sin x sin 2 x 2) 4 sin x cos x cos 2 x = −1 3) sin 7 x − sin 3 x = cos 5 x 4) cos 2 x − sin 2 x = sin 3 x + cos 4 x 3x 1 5) cos 2 x − cos x = 2sin 2 6) sin x sin 2 x sin 3 x = sin 4 x 2 4 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 18
  19. 1 7) sin 4 x + cos 4 x = − cos 2 2 x 8) 3cos 2 x − 2 sin x + 2 = 0 2 9) sin 6 x + cos 6 x = 4 cos 2 2 x 10) 2 tan x − 3cot x − 2 = 0 11) cos 3 x + cos 2 x + cos x = sin 3 x + sin 2 x + sin x 3. Phương trình b c nh t ñ i v i sin x và cos x: * D ng phương trình: a sin x + b cos x = c (a, b, c ≠ 0) (*) * Cách gi i: Cách 1: Chia hai v c a phương trình cho a 2 + b 2 ta ñư c phương trình: a b c sin x + cos x = (**) a +b a +b a + b2 2 2 2 2 2 2 2    a b  + 2  =1 Vì:   a +b   a +b  2 2 2  a = cos α 2  a + b2 Nên ta ñ t  b  = sin α  a + b2 2  c Khi ñó phương trình (**) tr thành: sin x cos α + cos x sin α = a 2 + b2 c ⇔ sin ( x + α ) = là phương trình lư ng giác cơ b n ñã bi t cách gi i! a + b2 2 Chú ý: ði u ki n ñ phương trình có nghi m là: a 2 + b 2 ≥ c 2 b Cách 2: Chia hai v cho a và ñ t tan α = (T làm) a x Cách 3: S d ng công th c tính sin x, cos x theo t = tan (t làm) 2 Ví d : Gi i các phương trình sau: 1) sin x + 3 cos x = 1 2) 5 cos 2 x − 12sin 2 x = 13 L i gi i: ( 3) 2 a 2 + b 2 = 12 + = 2 . Chia hai v c a phương trình cho 2 ta ñư c phương trình: 1) Ta có: π π1 π π  1 3 1 sin x + cos x = ⇔ sin x cos + cos x sin = ⇔ sin  x +  = sin  3 2 2 2 3 32 6 ππ π   x + 3 = 6 + k 2π  x = − 6 + k 2π ⇔ ⇔ ,k ∈¢  x + π = π − π + k 2π  x = π + k 2π     3 6 2 V y phương trình có hai h nghi m. 2) Ta có: 5 cos 2 x − 12sin 2 x = 13 ⇔ −12sin 2 x + 5cos 2 x = 13 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 19
  20. ( −12 ) 2 a2 + b2 = + 52 = 169 = 13 . Chia hai v phương trình cho 13 ta ñư c phương trình : Có: 12 5 − sin x + cos x = 1 13 13 2 2  12   5  12 5 Vì  −  +   = 1 . ð t − = cos α ; = sin α ta ñư c phương trình:  13   13  13 13 π sin x cos α + cos x sin α = 1 ⇔ sin ( x + α ) = 1 ⇔ x + α = + k 2π 2 π − α + k 2π , k ∈ ¢ ⇔x= 2 V y phương trình có m t h nghi m. Bài t p t gi i: Gi i các phương trình sau: 2) 2 sin x − 2 cos x = 2 3 sin x − 4 cos x = 1 1) 3 sin x + 4 cos x = 5 4) 3 sin 3 x + cos 3 x = 2 3) 4. Phương trình thu n nh t ñ i v i sin x và cos x: * D ng phương trình: a sin 2 x + b sin x cos x + c.cos 2 x = 0 (*) * Cách gi i: Cách 1: π + kπ , k ∈ ¢ không là nghi m c a phương trình; Bư c 1: Nh n xét cos x = 0 hay x = 2 Bư c 2: Chia c hai v c a phương trình cho cos 2 x ≠ 0 ta ñư c phương trình” a tan 2 x + b tan x + c = 0 Bư c 3: Gi i phương trình ta ñư c nghi m c a phương trình ñã cho. Cách 2: Dùng công th c h b c ñưa v phương trình trình b c nh t ñ i v i sin 2x và cos 2x. (H c sinh t gi i cách này) Chú ý: N u phương trình có d ng t ng quát: a sin 2 x + b sin x cos x + c.cos 2 x = d (d ≠ 0) (**) Ta bi n ñ i như sau: (**) ⇔ a sin 2 x + b sin x cos x + c.cos 2 x = d (sin 2 x + cos 2 x) ⇔ ( a − d ) sin 2 x + b sin x cos x + ( c − d ) cos 2 x = 0 . ðây là phương trình có d ng (*) Ví d : Gi i các phương trình: 1) 2 sin 2 x − 5sin x cos x + 3cos 2 x = 0 2) 2 sin 2 x − 5sin x cos x − cos 2 x = −2 L i gi i 1) 2 sin 2 x − 5sin x cos x + 3cos 2 x = 0 Vt = 2 Nh n xét: n u cos x = 0 ⇒  ⇒ cos x = 0 không tho mãn phương trình . Vp = 0 Chia c hai v cho cos 2 x ≠ 0 ta ñư c phương trình: π   x = 4 + kπ  tan x = 1 2 tan 2 x − 5 tan x + 3 = 0 ⇔  ⇔ ,k ∈¢  tan x = 3  x = arctan 3 + kπ  2   2 V y phương trình có hai h nghi m. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 20
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản