Ôn Tập Toán cao cấp 1- Bài 1

Chia sẻ: dinhlan0501

BÀI 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC 1. Hàm số một biến số: Định nghĩa, đồ thị, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ,…, hàm số hợp và hàm ngược. 2. Dãy số: Khái niệm dãy số, dãy đơn điệu, dãy bị chặn, các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn, các định lí về giới hạn. 3. Giới hạn: Khái niệm, các tính chất của giới hạn hàm số, VCB, VCL, các phương pháp tính giới hạn. 4. Sự liên tục của hàm số: Hàm số liên tục và các tính chất....

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Ôn Tập Toán cao cấp 1- Bài 1

BÀI 1
HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC



Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn



1
v1.0
LÍ THUYẾT


1. Hàm số một biến số: Định nghĩa, đồ thị, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ,…,
hàm số hợp và hàm ngược.
2. Dãy số: Khái niệm dãy số, dãy đơn điệu, dãy bị chặn, các tiêu chuẩn
tồn tại giới hạn, các định lí về giới hạn.
3. Giới hạn: Khái niệm, các tính chất của giới hạn hàm số, VCB, VCL, các
phương pháp tính giới hạn.
4. Sự liên tục của hàm số: Hàm số liên tục và các tính chất.




2
v1.0
VÍ DỤ 1

Cho các hàm số f :   , f(x)  2x và g :    , g(x)  1  x
Xác định hàm số hợp của g và f , hàm hợp của f và g.
Hướng dẫn:
• Một hàm số được xác định khi biết tập xác định và công thức của
hàm số đó.
• Khái niệm hàm số hợp:
“ Cho  : X   , x  u  (x)
f : U  ,u  y  f(u) thỏa mãn (x)  U, x  X
f và  :
• Hàm hợp của
h : X  , x  h( x)  f (( x))




3
v1.0
VÍ DỤ 1 (tiếp theo)

Lời giải:
Hàm số hợp của g và f là: h :   , x  h(x)
h(x)  g(f(x))  g(2x)  2x  1

và hàm số hợp của f và g là: k :    , x  k(x)

k(x)  f(g(x))  f(1  x)  2(1  x)  2x  2

Nhận xét:
f(g(x))  g(f(x))

• Sai lầm thường gặp: nhầm lẫn giữa “hàm hợp của f và g” với “hàm hợp
của g và f”.




4
v1.0
VÍ DỤ 2

Hàm hợp của hai hàm số f(u) = cosu và u(x) = 2x là hàm số nào sau đây?

a. h(x) = cos(2x)
b. h(x) = 2cosx
c. h(x) = cosx
d. h(x) = 2cos(2x)




5
v1.0
VÍ DỤ 2 (tiếp theo)

Hàm hợp của hai hàm số f(u) = cosu và u(x) = 2x là hàm số nào sau đây?

 f(u(x))  f(2x)  cos(2x) 

a. h(x) = cos(2x)
x
b. h(x) = 2cosx
c. h(x) = cosx x
x
d. h(x) = 2cos(2x)




6
v1.0
VÍ DỤ 3

Cho dãy số: n  1;2;3, 4;...;n;...
Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:

a. Dãy bị chặn trên.

b. Dãy đơn điệu tăng.

c. Dãy đơn điệu giảm.

d. Dãy bị chặn.




7
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem lại khái niệm về dãy đơn điệu và bị chặn
Dãy gọi là:
• Dãy tăng nếu xn < xn+1 n  
• Dãy giảm nếu xn > xn+1 n  
• Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm
• Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho x  M, n  
• Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho xn  m, n  
• Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
Như vậy, dãy xn  là bị chặn nếu có các số m và M sao cho m  xn  M, n




8
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)

n  1;2;3, 4;...;n;...
Cho dãy số:

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:

a. Dãy bị chặn trên. x xn  n  
n



b. Dãy đơn điệu tăng.  (1  2  3  4  ...)
c. Dãy đơn điệu giảm. x (x1  1  x 2  2)
d. Dãy bị chặn. x


Nhận xét:
Sai lầm thường gặp:
• Cho rằng “dãy đơn điệu là dãy vừa đơn điệu tăng, vừa đơn điệu giảm”;
• Cho rằng “dãy bị chặn là dãy bị chặn trên hoặc bị chặn dưới”.

9
v1.0
VÍ DỤ 4



 1   1;1; 1;1;...,  1 
n n
Cho dãy số: ,...

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:
a. Dãy đơn điệu.
b. Dãy đơn điệu tăng.
c. Dãy đơn điệu giảm.
d. Dãy bị chặn.




10
v1.0
VÍ DỤ 4 (tiếp theo)



 1   1;1; 1;1;...,  1 
n n
Cho dãy số: ,...

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:
x
a. Dãy đơn điệu.
đơ
b. Dãy đơn điệu tăng.
đơ x 2  1  x 3  1
x
x x1  1  x 2  1
c. Dãy đơn điệu giảm.
đơ
 1  x n  (1)n  1, n
d. Dãy bị chặn.




11
v1.0
VÍ DỤ 5

Mệnh đề nào sai?
a. Dãy không hội tụ thì phân kỳ
b. Dãy không phân kỳ thì hội tụ
c. Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ.
d. Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ.




12
v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)


Hướng dẫn:
Bài 1, mục 1.2.2:
Dãy {xn} được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại số a để lim x n  a . Trong
x 
trường hợp ngược lại, ta nói dãy phân kỳ.
Như vậy, một dãy số chỉ có thể là hội tụ hoặc phân kỳ.




13
v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)

Mệnh đề nào sai?
x
a. Dãy không hội tụ thì phân kỳ
x
b. Dãy không phân kỳ thì hội tụ

c. Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ.
d. Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ. x

Nhận xét:
Sai lầm thường gặp: Hiểu sai khái niệm
• Dãy hội tụ;
• Dãy phân kì;
=> Đọc kĩ các khái niệm.




14
v1.0
VÍ DỤ 6

Mệnh đề nào đúng?
a. Dãy bị chặn thì hội tụ.
b. Dãy hội tụ thì bị chặn.
c. Dãy phân kỳ thì không bị chặn.
d. Dãy không hội tụ thì không bị chặn.




15
v1.0
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem lại mục 1.2.3 (tr.13)
1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn
1.2.3.1. Tính duy nhất của giới hạn
Định lý:
Nếu một dẫy có giới hạn (hữu hạn) thì:
• Dãy đó là dãy bị chặn;
• Giới hạn là duy nhất.




16
v1.0
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)


Mệnh đề nào đúng?
x
a. Dãy bị chặn thì hội tụ.

b. Dãy hội tụ thì bị chặn.
x
c. Dãy phân kỳ thì không bị chặn.
x
d. Dãy không hội tụ thì không bị chặn.

Chú ý: (1)n  vừa là dãy bị chặn, vừa là dãy phân kì nhưng không hội tụ.




17
v1.0
VÍ DỤ 7

Hàm số f(x) gọi là một VCB khi x  a nếu:

a. lim f(x)  a
x 0




b. lim f(x)  
x a




c. lim f(x)  
x a




d. lim f(x)  0
x a




18
v1.0
VÍ DỤ 7 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem khái niệm VCB, VCL (tr.16)
1.3.3. Vô cùng lớn, vô cùng bé
1.3.3.1. Khái niệm
• Đại lượng f(x) gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x  a
nếu lim f(x)  0
x 2

Ở đây, a có thể là hữu hạn hay vô cùng. Từ định nghĩa giới hạn
của hàm số, ta suy ra rằng nếu:
f(x)  A khi x  a thì f(x)  A  (x)

Trong đó (x) là một VCB khi x  a
• Đại lượng F(x) gọi là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x  a
nếu lim F(x)  
x 2




19
v1.0
VÍ DỤ 7 (tiếp theo)

a. lim f(x)  a x
x 0

b. lim f(x)   x
x a

c. lim f(x)   x
x a


d. lim f(x)  0
x a



Nhận xét:
Sai lầm thường gặp:
Hiểu VCB là rất nhỏ nên cho rằng f(x) là VCB khi x  a nếu lim f(x)  

x a
cũng như VCL là số rất lớn.
nên cho rằng f(x) là VCL khi x  a nếu lim f(x)  
x a

• Không để ý đến quá trình x  a . Chú ý cùng là một hàm số f(x), có lúc
là VCB, có lúc là VCL tùy thuộc vào quá trình x tiến đến đâu.
Ví dụ: f(x) = x là VCB khi x  0 và là VCL khi x  

20
v1.0
VÍ DỤ 8

Hàm số f(x) gọi là một VCL khi x  a nếu:

a. lim f(x)  
x0




b. lim f(x)  
xa




c. limf(x)  
xa




d. limf(x)  0
xa




21
v1.0
VÍ DỤ 8 (tiếp theo)

Hàm số f(x) gọi là một VCL khi x  a nếu:

a. lim f(x)   x
x0





b. lim f(x)  
xa




x
c. limf(x)  
xa




d. limf(x)  0 x
xa




22
v1.0
VÍ DỤ 9

VCB nào sau đây là tương đương với VCB f(x)  x 2 khi x0 ?

a. f1 (x)  arcsin x


 
x2
b. f2 (x)  e 1


c. f3 (x)  1  cos x


 
2
d. f4 (x)  arc tg x




23
v1.0
VÍ DỤ 9 (Tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem phần “So sánh các vô cùng bé” (tr. 17) và “các vô cùng bé
tương đương thường gặp”(tr.18).
Bậc của các VCB
Định nghĩa:
Giả sử (x), (x) là hai VCB khi x  a .
(x)
• Nếu lim  0 ; ta nói rằng là VCB bậc cao hơn.
(x)
x a


(x)
  ; ta nói rằng là VCB bậc thấp hơn.
• Nếu lim
(x)
x a


(x)
• Nếu lim  A ( 0,  ) ; ta nói rằng và là hai VCB cùng bậc.
(x)
x a


(x)
• Nếu lim không tồn tại, ta nói rằng không thể so sánh hai VCB (x) và (x)
(x)
x a




Chẳng hạn, x m là VCB bậc cao hơn x nnếu m>n và cùng bậc nếu m= n khi x  0

24
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)


VCB tương đương
• Định nghĩa:
Hai VCB ( x) và (x) khác 0 khi x  a gọi là tương đương với nhau

(x)
1
nếu lim
(x)
x a



• Ký hiệu: ( x)  (x)

• Nhận xét: 2 VCB tương đương là trường hợp đặc biệt của 2 VCB cùng bậc.
Một số các VCB tương đương thường gặp (nên ghi nhớ) là:

Khi u = u(x)  0 , ta có:
sin u  tgu  arcsin u  arct g u  ln(u  1)  (e u  1)  u



25
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)


x
a. f1 (x)  arcsin x (arcsin x  x)


 x2   x2 
e  1   x2
b. f2 (x)   e  1   
   
2
x x x
2

c. f3 (x)  1  cos x x 1  cosx  2sin    2  
2

 2  2 2

 arc tg x    x 
 
2 2
2
x
d. f4 (x)  arc tg x x




26
v1.0
VÍ DỤ 10


VCB nào sau đây có bậc thấp hơn VCB f(x)  x 2 khi x  0 ?

a. f1 ( x )  s in 2 x



e 
5
x
b . f2 ( x )  1


c . f 3 ( x )  ln ( c o s x )

3
tg x 
d. f 4 ( x )  2




27
v1.0
VÍ DỤ 10 (tiếp theo)

VCB nào sau đây có bậc thấp hơn VCB f(x)  x 2 khi x  0 ?


a. f1 ( x )  s in 2 x sin2 x   sin x    x   x 2
2 2
x



 
5
   x
e
5
x 5 5
b . f2 ( x )  1
e 1 x
x x 2




x2
ln(cosx)  ln[1 (1 cosx)]  1 cosx  ... 
x
c . f3 ( x )  l n ( c o s x )
2

3 3
 tgx 
tg x 
3
 x
d. f4 ( x )  2 2 2




28
v1.0
VÍ DỤ 11
sin 3x
Giới hạn lim 2x bằng:
e 1
x 0




a. 0

b. 1


3
c.
2

2
d.
3




29
v1.0
VÍ DỤ 11 (tiếp theo)
sin 3x
Giới hạn lim 2x bằng:
e 1
x 0



a. 0

b. 1
sin 3x 3x 3
3 Khi x  0 : sin 3x  3x; e2x  1  2x  lim 2x
  lim 
c.
x 0 2x 2
2 1
x 0 e
2

d.
3

Hướng dẫn: Phương pháp thay tương đương
Định lý: Nếu (x) và (x) là hai VCB khi x  a, (x)  1 (x), (x)  1 (x)
 (x)
(x)
 lim 1
khi x  a thì: lim
(x) x a 1 (x)
x a




30
v1.0
VÍ DỤ 12

arctg  2x 
Giới hạn lim bằng:
3x
x 0




a. 0

b. 1


3
c.
2

2
d.
3




31
v1.0
VÍ DỤ 12 (tiếp theo)

arctg  2x 
Giới hạn lim bằng:
3x
x 0





a. 0


b. 1


3

c.
2

arctg  2x  2x 2
2
 Khi x  0: arctg(2x)  2x  lim  lim 
d.
3x 3x 3
3 x 0 x 0




32
v1.0
VÍ DỤ 13
2n2  n  1
Giới hạn lim bằng:
3n  5
2
n


2
a.
3
1
b.
5
3
c.
2
d. Không tồn tại




33
v1.0
VÍ DỤ 13 (tiếp theo)
2n2  n  1
Giới hạn lim bằng:
3n  5
2
n
11
2 
2n  n  1 n n2  2
2
2
  lim
lim
a.
5
3n  5 3
2
3 n n
3 2
n
1
b. 
5
3

c.
2

d. Không tồn tại


Nhận xét: Phương pháp giải dạng bài này là chia cả tử và mẫu cho nk
bậc cao nhất của tử và mẫu rồi dùng giới hạn lim 1  0
n
n




34
v1.0
VÍ DỤ 14

n2  3n  4
Giới hạn lim bằng:
2n  3
2
n



2
a.
3

1
b.
2

1
c.
2

2
d.
3



35
v1.0
VÍ DỤ 14 (tiếp theo)

n2  3n  4
Giới hạn lim bằng:
2n  3
2
n




2

a.
3

1

b.
2

1

c.
2

2

d.
3


36
v1.0
VÍ DỤ 15

Khẳng định nào sau đây đủ để kết luận f(x) liên tục tại x 0 thuộc MXĐ?

a. lim f(x), xlim f(x)
x 0
x  x0




b. lim f ( x )  xlim  f ( x )
x 0
x  x0



c. lim f(x)
x 0




d. xlim0 f ( x )  f ( x 0 )
x




37
v1.0
VÍ DỤ 15 (tiếp theo)
Khẳng định nào sau đây đủ để kết luận f(x) liên tục tại x 0 thuộc MXĐ?

a. lim f(x), xlim f(x) 
x 0
x  x0



b. lim f ( x )  xlim  f ( x )
x 0
x  x0



c. lim f(x)
x 0


d. xlim0 f ( x )  f ( x 0 ) 
x



Hướng dẫn: Xem khái niệm hàm số liên tục (tr.18)
1.3.4. Hàm số liên tục
1.3.4.1. Định nghĩa
• f là một hàm số xác định trong khoản (a, b), x0 là một điểm thuộc (a, b).
Ta nói rằng hàm số f liên tục tại x0 nếu: lim f(x)  f(x 0 )
x  x0

• Nếu hàm số f không liên tục tại x0, ta nói rằng nó gián đoạn tại x0.

38
v1.0
VÍ DỤ 16

khi x  0
e x
Với số a bằng bao nhiêu thì hàm số sau liên tục trên  , f(x)  
a  x khi x  0

a. 0

b. 1

c. Không tồn tại

d. Với mọi a  




39
v1.0
VÍ DỤ 16 (tiếp theo)

khi x  0
e x
Với số a bằng bao nhiêu thì hàm số sau liên tục trên  , f(x)  
a  x khi x  0

a. 0
 lim f(x)  lim(a  x)  a; lim f(x)  lim e x  1, f(0)  a
b. 1    
x 0 x 0 x 0 x 0

c. Không tồn tại Do đó lim f(x)  lim f(x)  f(0)  a  1


d. Với mọi a   x 0  x 0




Hướng dẫn:
f(x) liên tục trên   f(x) liên tục tại x = 0
 lim f(x)  lim f(x)  f(0)
 lim f(x)  f(0)  
x 0 x 0 x 0




40
v1.0
MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP


Câu 1. Có phải nếu ta có quan hệ giữa các VCB khi x  a

f(x)  x m , g(x)  x n và m > n thì f(x) là VCB có bậc lớn hơn g(x) không?
Điều này có áp dụng được cho các VCL hay không?

Trả lời: Đúng và có thể áp dụng cho các VCL.


Câu 2. Cách làm sau đúng hay sai?
tgx  sin x xx
Khi x0 thì tgx  sin x  x  lim  lim 3  0
x3 x
x 0 x 0



Trả lời: Sai, vì định lí thay tương đương chỉ áp dụng cho các thừa số
chứ không áp dụng cho các số hạng.



41
v1.0
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản