Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 11

Chia sẻ: 4everloveyou

Tham khảo tài liệu 'ôn thi đại học môn toán phần lượng giác_chương 11', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 11

CHÖÔNG XI: NHAÄN DAÏN G TAM GIAÙC

I. TÍNH CAÙ C GOÙ C CUÛ A TAM GIAÙ C

Baø i 201: Tính caù c goù c cuû a ΔABC neá u :
3
sin ( B + C ) + sin ( C + A ) + cos ( A + B ) = ( *)
2

Do A+B+C= π
3
Neâ n : ( *) ⇔ sin A + sin B − cos C =
2
A+B A−B ⎛ C ⎞ 3
⇔ 2 sin cos − ⎜ 2 cos2 − 1 ⎟ =
2 2 ⎝ 2 ⎠ 2
C A−B C 1
⇔ 2 cos cos − 2 cos2 =
2 2 2 2
C C A−B
⇔ 4 cos2 − 4 cos cos +1 = 0
2 2 2
2
⎛ C A − B⎞ 2 A − B
⇔ ⎜ 2 cos − cos ⎟ + 1 − cos =0
⎝ 2 2 ⎠ 2
2
⎛ C A − B⎞ 2 A − B
⇔ ⎜ 2 cos − cos ⎟ + sin =0
⎝ 2 2 ⎠ 2
⎧ C A−B
⎪2 cos 2 = cos 2

⇔ ⎨
⎪sin A − B = 0

⎩ 2
⎧ C
⎪2 cos 2 = cos 0 = 1 ⎧C π
⎪ ⎪ =
⇔ ⎨ ⇔ ⎨2 3
⎪ A−B ⎪A = B
=0 ⎩
⎪ 2

⎧ π
⎪A = B = 6

⇔ ⎨
⎪C = 2π

⎩ 3

Baø i 202: Tính caù c goù c cuû a ΔABC bieá t :
5
cos 2A + 3 ( cos 2B + cos 2C ) + = 0 (*)
2

5
Ta coù : ( *) ⇔ 2 cos2 A − 1 + 2 3 ⎡cos ( B + C ) cos ( B − C ) ⎤ + = 0
⎣ ⎦ 2
⇔ 4 cos2 A − 4 3 cos A. cos ( B − C ) + 3 = 0
2
⇔ ⎡2 cos A − 3 cos ( B − C ) ⎤ + 3 − 3 cos2 ( B − C ) = 0
⎣ ⎦
2
⇔ ⎡2 cos A − 3 cos ( B − C ) ⎤ + 3 sin 2 ( B − C ) = 0
⎣ ⎦
⎧sin ( B − C ) = 0 ⎧B − C = 0
⎪ ⎪
⇔⎨ 3 ⇔⎨ 3
⎪cos A = cos ( B − C ) ⎪cos A =
⎩ 2 ⎩ 2
⎧ A = 300

⇔⎨
⎪B = C = 75
0




Baø i 203: Chöù n g minh ΔABC coù C = 1200 neá u :
A B C
sin A + sin B + sin C − 2 sin ⋅ sin = 2 sin (*)
2 2 2

Ta coù
A+B A−B C C A B C
(*) ⇔ 2 sin cos + 2 sin cos = 2 sin sin + 2 sin
2 2 2 2 2 2 2
C A−B C C A+B A B
⇔ 2 cos cos + 2 sin cos = 2 cos + 2 sin sin
2 2 2 2 2 2 2
C⎛ A−B C⎞ A B
⇔ cos ⎜ cos + sin ⎟ = cos ⋅ cos
2⎝ 2 2⎠ 2 2
C⎡ A−B A + B⎤ A B
⇔ cos ⎢cos 2 + cos 2 ⎥ = cos 2 cos 2
2⎣ ⎦
C A B A B
⇔ 2 cos cos cos = cos cos
2 2 2 2 2
C 1 A B A B π
⇔ cos = (do cos > 0 vaø cos > 0 vì 0 < ; < )
2 2 2 2 2 2 2
⇔ C = 1200




Baø i 204: Tính caù c goù c cuû a ΔΑΒC bieá t soá ño 3 goù c taï o caá p soá coä n g vaø
3+ 3
sin A + sin B + sin C =
2

Khoâ n g laø m maá t tính chaá t toå n g quaù t cuû a baø i toaù n giaû söû A < B < C
Ta coù : A, B, C taï o 1 caá p soá coä n g neâ n A + C = 2B
π
Maø A + B + C = π neâ n B =
3
3+ 3
Luù c ñoù : sin A + sin B + sin C =
2
π 3+ 3
⇔ sin A + sin + sin C =
3 2
3
⇔ sin A + sin C =
2
A+C A −C 3
⇔ 2 sin cos =
2 2 2
B A −C 3
⇔ 2 cos cos =
2 2 2
⎛ 3⎞ A−C 3
⇔ 2. ⎜ ⎟ cos
⎜ 2 ⎟ =
⎝ ⎠ 2 2
C−A 3 π
⇔ cos = = cos
2 2 6

Do C > A neâ n ΔΑΒC coù :
⎧C − A π ⎧ π
⎪ 2 =6 ⎪C = 2
⎪ ⎪
⎪ 2π ⎪ π
⎨C + A = ⇔ ⎨A =
⎪ 3 ⎪ 6
⎪ π ⎪ π
⎪B = 3 ⎪B = 3
⎩ ⎩

Baø i 205: Tính caù c goù c cuû a ΔABC neá u

⎧ b2 + c 2 ≤ a 2
⎪ (1 )

⎪sin A + sin B + sin C = 1 + 2
⎩ ( 2)

b2 + c 2 − a 2
AÙ p duï n g ñònh lyù haø m cosin: cos A =
2bc
Do (1): b + c ≤ a neâ n cos A ≤ 0
2 2 2

π π A π
Do ñoù : ≤A 0 thì ΔABC coù moä t goù c tuø

1 1
Ta coù : V = (1 + cos 2A ) + (1 + cos 2B ) + cos2 − 1
2 2
1
⇔ V = ( cos 2A + cos 2B ) + cos2 C
2
⇔ V = cos ( A + B ) .cos ( A − B ) + cos2 C
⇔ V = − cos C.cos ( A − B ) + cos2 C
⇔ V = − cos C ⎡cos ( A − B ) + cos ( A + B ) ⎤
⎣ ⎦
⇔ V = −2 cos C cos A cos B
Do ñoù :
a/ V = 0 ⇔ cos A = 0 ∨ cos B = 0 ∨ cos C = 0
⇔ ΔABC ⊥ taï i A hay ΔABC ⊥ taï i B hay ΔABC ⊥ taï i C
b/ V < 0 ⇔ cos A.cos B.cos C > 0
⇔ ΔABC coù ba goù c nhoï n
( vì trong 1 tam giaùc khoâ n g theå coù nhieà u hôn 1 goùc tuø neâ n
khoâ n g coù tröôø n g hôï p coù 2 cos cuø n g aâ m )
c/ V > 0 ⇔ cos A.cos B.cos C < 0
⇔ cos A < 0 ∨ cos B < 0 ∨ cos C < 0
⇔ ΔABC coù 1 goù c tuø .
II. TAM GIAÙC VUOÂNG

B a+c
Baø i 209: Cho ΔABC coù cotg =
2 b
Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g

B a+c
Ta coù : cotg =
2 b
B
cos
⇔ 2 = 2R sin A + 2R sin C = sin A + sin C
B 2R sin B sin B
sin
2
B A+C A−C
cos 2 sin . cos
⇔ 2 = 2 2
B B B
sin 2 sin . cos
2 2 2
B B A−C B
⇔ cos2 = cos . cos (do sin > 0)
2 2 2 2
B A−C B
⇔ cos = cos (do cos > 0)
2 2 2
B A−C B C−A
⇔ = ∨ =
2 2 2 2
⇔ A = B+C∨C = A +B
π π
⇔ A = ∨C=
2 2
⇔ ΔABC vuoâng taïi A hay ΔABC vuoâng taïi C


Baø i 210: Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g taï i A neá u
b c a
+ =
cos B cos C sin B sin C

b c a
Ta coù : + =
cos B cos C sin B sin C
2R sin B 2R sin C 2R sin A
⇔ + =
cos B cos C sin B sin C
sin B cos C + sin C cos B sin A
⇔ =
cos B.cos C sin B sin C
sin ( B + C ) sin A
⇔ =
cos B.cos C sin B sin C
⇔ cos B cos C = sin B sin C (do sin A > 0)
⇔ cos B. cos C − sin B. sin C = 0
⇔ cos ( B + C ) = 0
π
⇔ B+C=
2
⇔ ΔABC vuoâng taïi A

Baø i 211: Cho ΔABC coù :
A B C A B C 1
cos ⋅ cos ⋅ cos − sin ⋅ sin ⋅ sin = (*)
2 2 2 2 2 2 2
Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g
Ta coù :
A B C 1 A B C
(*) ⇔ coscos cos = + sin sin sin
2 2 2 2 2 2 2
1⎡ A+B A − B⎤ C 1 1⎡ A+B A − B⎤ C
⇔ ⎢cos + cos cos = − ⎢cos − cos sin
2⎣ 2 2 ⎥⎦ 2 2 2⎣ 2 2 ⎥⎦ 2
⎡ C A − B⎤ C ⎡ C A − B⎤ C
⇔ ⎢sin + cos ⎥ cos 2 = 1 − ⎢sin 2 − cos 2 ⎥ sin 2
⎣ 2 2 ⎦ ⎣ ⎦
C C A−B C C C C A−B C
⇔ sin cos + cos cos = 1 − sin 2 + cos = 1 − sin 2 + cos sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2
C C A−B C C A−B C
⇔ sin cos + cos cos = cos2 + cos sin
2 2 2 2 2 2 2
C⎡ C C⎤ A−B⎡ C C⎤
⇔ cos ⎢sin 2 − cos 2 ⎥ = cos 2 ⎢sin 2 − cos 2 ⎥
2⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ C C⎤ ⎡ C A − B⎤
⇔ ⎢sin − cos ⎥ ⎢cos − cos =0
⎣ 2 2⎦ ⎣ 2 2 ⎥ ⎦
C C C A−B
⇔ sin = cos ∨ cos = cos
2 2 2 2
C C A−B C B−A
⇔ tg = 1 ∨ = ∨ =
2 2 2 2 2
C π
⇔ = ∨ A = B+C∨B = A +C
2 4
π π π
⇔C= ∨A = ∨B=
2 2 2
Baø i 212: Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g neá u :
3(cos B + 2 sin C) + 4(sin B + 2 cos C) = 15
Do baá t ñaú n g thöù c Bunhiacoá p ki ta coù :
3cos B + 4 sin B ≤ 9 + 16 cos2 B + sin2 B = 15
vaø 6sin C + 8 cos C ≤ 36 + 64 sin2 C + cos2 C = 10
neâ n : 3(cos B + 2 sin C) + 4(sin B + 2 cos C) ≤ 15
⎧ cos B sin B ⎧ 4
⎪ 3 = 4
⎪ ⎪tgB = 3

Daá u “=” xaû y ra ⇔⎨ ⇔⎨
⎪ sin C = cos C ⎪cotgC = 4
⎪ 6
⎩ 8 ⎪
⎩ 3
⇔ tgB = cotgC
π
⇔ B+C=
2
⇔ ΔABC vuoâ n g taï i A.

Baø i 213: Cho ΔABC coù : sin 2A + sin 2B = 4 sin A.sin B
Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g.
Ta coù : sin 2A + sin 2B = 4 sin A.sin B
⇔ 2 sin(A + B) cos(A − B) = −2 [ cos(A + B) − cos(A − B)]
⇔ cos(A + B) = [1 − sin(A + B)] cos(A − B)
⇔ − cos C = [1 − sin C] cos(A − B)
⇔ − cos C(1 + sin C) = (1 − sin2 C). cos(A − B)
⇔ − cos C(1 + sin C) = cos2 C. cos(A − B)
⇔ cos C = 0 hay − (1 + sin C) = cos C. cos(A − B) (*)
⇔ cos C = 0
( Do sin C > 0 neâ n −(1 + sin C) < −1
Maø cos C.cos(A − B) ≥ −1 .Vaä y (*) voâ nghieä m .)
Do ñoù ΔABC vuoâ n g taï i C
III. TAM GIAÙC CAÂN
C
Baø i 214:Chöù n g minh neá u ΔABC coù tgA + tgB = 2 cotg
2
thì laø tam giaù c caâ n .

C
Ta coù : tgA + tgB = 2 cotg
2
C
2 cos
sin(A + B) 2
⇔ =
cos A.cos B C
sin
2
C
2 cos
sin C 2
⇔ =
cos A.cos B C
sin
2
C C C
2 sin cos 2 cos
⇔ 2 2 = 2
cos A cos B C
sin
2
C ⎛ C ⎞
⇔ sin 2 = cos A.cos B ⎜ do cos > 0 ⎟
2 ⎝ 2 ⎠
1 1
⇔ (1 − cos C ) = ⎡cos ( A + B ) + cos ( A − B ) ⎤
2 2⎣ ⎦
⇔ 1 − cos C = − cos C + cos ( A − B )
⇔ cos ( A − B ) = 1
⇔A=B
⇔ ΔABC caâ n taï i C.

Baø i 215: Chöù n g minh ΔABC caâ n neá u :
A B B A
sin .cos3 = sin .cos3
2 2 2 2

A B B A
Ta coù : sin .cos3 = sin .cos3
2 2 2 2
⎛ A⎞ ⎛ B⎞
⎜ sin 2 ⎟ 1 ⎜ sin 2 ⎟ 1
⇔⎜ =
A⎟ A ⎜ B⎟ B
⎜ cos ⎟ cos2 ⎜ cos ⎟ cos2
⎝ 2⎠ 2 ⎝ 2⎠ 2
A B
(do cos > 0 vaø cos > 0 )
2 2
A⎛ 2 A⎞ B⎛ 2 B⎞
⇔ tg ⎜ 1 + tg ⎟ = tg ⎜ 1 + tg ⎟
2⎝ 2⎠ 2⎝ 2⎠
A B A B
⇔ tg 3 − tg 3 + tg − tg = 0
2 2 2 2
⎛ A B⎞⎡ A B A B⎤
⇔ ⎜ tg − tg ⎟ ⎢1 + tg 2 + tg 2 + tg .tg ⎥ = 0 (*)
⎝ 2 2 ⎠⎣ 2 2 2 2⎦
A B A B A B
⇔ tg = tg ( vì 1 + tg 2 + tg 2 + tg tg > 0 )
2 2 2 2 2 2
⇔A=B
⇔ ΔABC caâ n taï i C

Baø i 216: Chöù n g minh ΔABC caâ n neá u :
cos2 A + cos2 B 1
= ( cotg 2 A + cotg 2B ) (*)
sin 2 A + sin2 B 2
Ta coù :
cos2 A + cos2 B 1 ⎛ 1 1 ⎞
(*) ⇔ = ⎜ + − 2⎟
sin A + sin B 2 ⎝ sin A sin B
2 2 2 2

cos A + cos B
2 2
1⎛ 1 1 ⎞
⇔ +1 = ⎜ + ⎟
sin A + sin B
2 2
2 ⎝ sin A sin2 B ⎠
2


2 1⎛ 1 1 ⎞
⇔ = ⎜ + ⎟
sin A + sin B 2 ⎝ sin A sin 2 B ⎠
2 2 2


⇔ 4 sin2 A sin2 B = ( sin2 A + sin2 B )
2



⇔ 0 = ( sin 2 A − sin2 B )
⇔ sin A = sin B
Vaä y ΔABC caâ n taï i C
Baø i 217: Chöù n g minh ΔABC caâ n neá u :
C
a + b = tg ( atgA + btgB ) (*)
2

C
Ta coù : a + b = tg ( atgA + btgB )
2
C
⇔ ( a + b ) cotg = atgA + btgB
2
⎡ C⎤ ⎡ C⎤
⇔ a ⎢ tgA − cotg ⎥ + b ⎢ tgB − cotg ⎥ = 0
⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦
⎡ A + B⎤ ⎡ A + B⎤
⇔ a ⎢ tgA − tg ⎥ + b ⎢ tgB − tg 2 ⎥ = 0
⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦
A−B B−A
a sin b sin
⇔ 2 + 2 =0
A+B A+B
cos A. cos cos B. cos
2 2
A−B a b
⇔ sin = 0 hay − =0
2 cos A cos B
2R sin A 2R sin B
⇔ A = B hay =
cos A cos B
⇔ A = B hay tgA = tgB ⇔ ΔABC caâ n taï i C
IV. NHAÄN DAÏN G TAM GIAÙ C

Baø i 218: Cho ΔABC thoû a : a cos B − b cos A = a sin A − b sin B (*)
Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g hay caâ n

Do ñònh lyù haø m sin: a = 2R sin A, b = 2R sin B
Neâ n (*) ⇔ 2R sin A cos B − 2R sin B cos A = 2R ( sin 2 A − sin 2 B )
⇔ sin A cos B − sin B cos A = sin 2 A − sin 2 B
1 1
⇔ sin ( A − B ) = (1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B )
2 2
1
⇔ sin ( A − B ) = [ cos 2B − cos 2A ]
2
⇔ sin ( A − B ) = − ⎡sin ( A + B ) sin ( B − A ) ⎤
⎣ ⎦
⇔ sin ( A − B ) ⎡1 − sin ( A + B ) ⎤ = 0
⎣ ⎦
⇔ sin ( A − B ) = 0 ∨ sin ( A + B ) = 1
π
⇔ A = B∨ A+B =
2
vaä y ΔABC vuoâ n g hay caâ n taï i C
Caù c h khaù c
sin A cos B − sin B cos A = sin 2 A − sin 2 B
⇔ sin ( A − B ) = ( sin A + sin B) ( sin A − sin B)
A+B A−B A+B A−B
⇔ sin ( A − B ) = ( 2 sin cos ) (2 cos sin )
2 2 2 2
⇔ sin ( A − B ) = sin ( A + B ) sin ( A − B )
⇔ sin ( A − B ) = 0 ∨ sin ( A + B ) = 1
π
⇔ A = B∨ A+B =
2
Baø i 219 ΔABC laø tam giaù c gì neá u
( a 2 + b2 ) sin ( A − B ) = ( a 2 − b2 ) sin ( A + B ) (*)
Ta coù : (*)
⇔ ( 4R 2 sin 2 A + 4R 2 sin 2 B ) sin ( A − B ) = 4R 2 ( sin 2 A − sin 2 B ) sin ( A + B )
⇔ sin 2 A ⎡sin ( A − B ) − sin ( A + B ) ⎤ + sin 2 B ⎡sin ( A − B ) + sin ( A + B ) ⎤ = 0
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⇔ 2sin2 A cos A sin ( −B ) + 2sin2 B sin A cos B = 0
⇔ − sin A cos A + sin B cos B = 0 (do sin A > 0 vaø sin B > 0 )
⇔ sin 2A = sin 2B
⇔ 2A = 2B ∨ 2A = π − 2B
π
⇔ A = B∨ A+B =
2
Vaä y ΔABC caâ n taï i C hay ΔABC vuoâ n g taï i C.

Baø i 220: ΔABC laø tam giaù c gì neá u :
⎧a 2 sin 2B + b2 sin 2A = 4ab cos A sin B (1)

⎩sin 2A + sin 2B = 4 sin A sin B (2)
Ta coù :
(1) ⇔ 4R 2 sin 2 A sin 2B + 4R 2 sin 2 B sin 2A = 16R 2 sin A sin 2 B cos A
⇔ sin 2 A sin 2B + sin2 B sin 2A = 4 sin A sin2 B cos A
⇔ 2 sin2 A sin B cos B + 2 sin A cos A sin 2 B = 4 sin A sin2 B cos A
⇔ sin A cos B + sin B cos A = 2 sin B cos A (do sin A > 0, sin B > 0)
⇔ sin A cos B − sin B cos A = 0
⇔ sin ( A − B ) = 0
⇔A=B
Thay vaø o (2) ta ñöôï c
sin 2A = 2 sin 2 A
⇔ 2 sin A cos A = 2 sin 2 A
⇔ cos A = sin A ( do sin A > 0 )
⇔ tgA = 1
π
⇔A=
4
Do ñoù ΔABC vuoâ n g caâ n taï i C
V. TAM GIAÙ C ÑEÀ U

Baø i 221: Chöù n g minh ΔABC ñeà u neá u :
bc 3 = R ⎡ 2 ( b + c ) − a ⎤ (*)
⎣ ⎦

Ta coù : (*) ⇔ ( 2R sin B )( 2R sin C ) 3 = R ⎡2 ( 2R sin B + 2R sin C ) − 2R sin A ⎤
⎣ ⎦
⇔ 2 3 sin B sin C = 2 ( sin B + sin C ) − sin ( B + C )
⇔ 2 3 sin B sin C = 2 ( sin B + sin C ) − sin B cos C − sin C cos B
⎡ 1 3 ⎤ ⎡ 1 3 ⎤
⇔ 2 sin B ⎢1 − cos C − sin C ⎥ + 2 sin C ⎢1 − cos B − sin B ⎥ = 0
⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 2 2 ⎦
⎡ ⎛ π ⎞⎤ ⎡ ⎛ π ⎞⎤
⇔ sin B ⎢1 − cos ⎜ C − ⎟ ⎥ + sin C ⎢1 − cos ⎜ B − ⎟ ⎥ = 0 (1)
⎣ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 3 ⎠⎦
⎛ π⎞
Do sin B > 0 vaø 1 − cos ⎜ C − ⎟ ≥ 0
⎝ 3⎠
⎛ π⎞
sin C > 0 vaø 1 − cos ⎜ B − ⎟ ≥ 0
⎝ 3⎠
Neâ n veá traù i cuû a (1) luoâ n ≥ 0
⎧ ⎛ π⎞
⎪cos ⎜ C − 3 ⎟ = 1
⎪ ⎝ ⎠
Do ñoù , (1) ⇔ ⎨
⎪cos ⎛ B − π ⎞ = 1
⎪ ⎜ ⎟
⎩ ⎝ 3⎠
π
⇔C=B= ⇔ ΔABC ñeà u .
3
⎧ 3
⎪sin B sin C = (1)
⎪ 4
Baø i 222: Chöù n g minh ΔABC ñeà u neá u ⎨
⎪a 2 = a − b − c
3 3 3
(2)

⎩ a−b−c

Ta coù : (2) ⇔ a 3 − a 2 b − a 2 c = a 3 − b3 − c 3
⇔ a 2 ( b + c ) = b3 + c 3
⇔ a 2 ( b + c ) = ( b + c ) ( b2 − bc + c2 )
⇔ a 2 = b2 − bc + c2
⇔ b2 + c 2 − 2bc cos A = b2 + c 2 − bc (do ñl haø m cosin)
⇔ 2bc cos A = bc
1 π
⇔ cos A = ⇔A=
2 3
Ta coù : (1) ⇔ 4 sin B sin C = 3
⇔ 2 ⎡ cos ( B − C ) − cos ( B + C ) ⎤ = 3
⎣ ⎦
⇔ 2 ⎡ cos ( B − C ) + cos A ⎤ = 3
⎣ ⎦
⎛1⎞ ⎛ π⎞
⇔ 2 cos ( B − C ) + 2 ⎜ ⎟ = 3 ⎜ do (1 ) ta coù A = ⎟
⎝2⎠ ⎝ 3⎠
⇔ cos ( B − C ) = 1 ⇔ B = C
Vaä y töø (1), (2) ta coù ΔABC ñeà u

Baø i 223: Chöù n g minh ΔABC ñeà u neá u :
sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C

Ta coù : sin 2A + sin 2B = 2sin ( A + B ) cos ( A − B )
= 2sin C cos ( A − B ) ≤ 2sin C (1)
Daá u “=” xaû y ra khi: cos ( A − B ) = 1
Töông töï : sin 2A + sin 2C ≤ 2sin B (2)
Daá u “=” xaû y ra khi: cos ( A − C ) = 1
Töông töï : sin 2B + sin 2C ≤ 2sin A (3)
Daá u “=” xaû y ra khi: cos ( B − C ) = 1
Töø (1) (2) (3) ta coù: 2 ( sin2A + sin2B + sin2C) ≤ 2 ( sinC + sinB + sin A )
⎧cos ( A − B ) = 1

Daá u “=” xaû y ra ⇔ ⎨cos ( A − C ) = 1 ⇔ A = B = C

⎩cos ( B − C ) = 1
⇔ ΔABC ñeà u

Baø i 224: Cho ΔABC coù :
1 1 1 1
+ + = (*)
sin 2A sin 2B sin C 2 cos A cos B cos C
2 2 2


Chöù n g minh ΔABC ñeà u

Ta coù : (*) ⇔ sin2 2B.sin2 2C + sin2 2A sin2 2C + sin2 2A sin2 2B
sin 2A.sin 2B.sin 2C
= ⋅ ( sin 2A sin 2B sin 2C )
2 cos A cos B cos C
= 4 sin A sin B sin C ( sin 2A sin 2B sin 2C )
Maø : 4 sin A sin B sin C = 2 ⎡ cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤ sin ( A + B )
⎣ ⎦
= 2 ⎡cos ( A − B ) + cos C⎤ sin C
⎣ ⎦
= 2 sin C cos C + 2 cos ( A − B ) sin ( A + B )
= sin 2C + sin 2A + sin 2B
Do ñoù , vôù i ñieà u kieä n ΔABC khoâ n g vuoâ n g ta coù
(*) ⇔ sin 2 2B sin 2 2C + sin 2 2A sin 2 2C + sin 2 2A sin 2 2B
= sin 2A. sin 2B. sin 2C ( sin 2A + sin 2B + sin 2C )
= sin 2 2A sin 2B sin 2C + sin 2 2B sin 2A sin 2C + sin 2 2C sin 2A sin 2B
1 2 1 2
⇔ ( sin 2B sin 2A − sin 2B sin 2C ) + ( sin 2A sin 2B − sin 2A sin 2C )
2 2
1
+ ( sin 2C sin 2A − sin 2C sin 2B ) = 0
2

2
⎧sin 2B sin 2A = sin 2B sin 2C

⇔ ⎨sin 2A sin 2B = sin 2A sin 2C
⎪sin 2A sin 2C = sin 2C sin 2B

⎧sin 2A = sin 2B
⇔⎨ ⇔ A = B = C ⇔ ABC ñeà u
⎩sin 2B = sin 2C

Baø i 225: Chöù n g minh ΔABC ñeà u neá u :
a cos A + b cos B + c cos C 2p
= (*)
a sin B + b sin C + c sin A 9R
Ta coù : a cos A + b cos B + c cos C
= 2R sin A cos A + 2R sin B cos B + 2R sin C cos C
= R ( sin 2A + sin 2B + sin 2C )
= R ⎡2 sin ( A + B ) cos ( A − B ) + 2 sin C cos C ⎤
⎣ ⎦
= 2R sin C ⎡cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤ = 4R sin C sin A sin B
⎣ ⎦
Caù c h 1: a sin B + b sin C + c sin A
= 2R ( sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A )
≥ 2R 3 sin 2 A sin 2 B sin2 C ( do bñt Cauchy )
a cos A + b cos B + c cos C 2 3
Do ñoù veá traù i : ≤ sin A sin B sin C (1)
a sin B + b sin C + c sin A 3
2p a + b + c 2
Maø veá phaû i : = = ( sin A + sin B + sin C )
9R 9R 9
2
≥ 3 sin A sin B sin C (2)
3
Töø (1) vaø (2) ta coù
( * ) ⇔ sin A = sin B = sin C ⇔ ΔABC ñeà u
4R sin A sin B sin C a+b+c
Caù c h 2: Ta coù : (*) ⇔ =
a sin B + b sin C + c sin A 9R
⎛ a ⎞⎛ b ⎞⎛ c ⎞
4R ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⇔ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ = a + b + c
⎛ b ⎞ ⎛ c ⎞ ca 9R
a⎜ ⎟ + b⎜ ⎟+
⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ 2R
⇔ 9abc = ( a + b + c )( ab + bc + ca )
Do baá t ñaú n g thöùc Cauchy ta coù
a + b + c ≥ 3 abc
ab + bc + ca ≥ 3 a 2 b2c 2
Do ñoù : ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ≥ 9abc
Daá u = xaû y ra ⇔ a = b = c ⇔ ΔABC ñeà u .

Baø i 226: Chöù n g minh ΔABC ñeà u neá u
A B C
cot gA + cot gB + cot gC = tg + tg + tg ( *)
2 2 2

sin ( A + B ) sin C
Ta coù : cot gA + cot gB = =
sin A sin B sin A sin B
sin C
≥ 2
(do bñt Cauchy)
⎛ sin A + sin B ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
C C C
2 sin cos 2 sin
= 2 2 = 2
2 A + B 2 A − B C 2 A − B
sin .cos cos cos
2 2 2 2
C
≥ 2tg (1)
2
B
Töông töï : cot gA + cot gC ≥ 2tg (2)
2
A
cot gB + cot gC ≥ 2tg (3)
2
Töø (1) (2) (3) ta coù
⎛ A B C⎞
2 ( cot gA + cot gB + cot gC ) ≥ 2 ⎜ tg + tg + tg ⎟
⎝ 2 2 2⎠
Do ñoù daá u “=” taï i (*) xaû y ra
⎧ A−B A−C B−C
⎪cos = cos = cos =1
⇔⎨ 2 2 2
⎪sin A = sin B = sin C

⇔A=B=C
⇔ ΔABC ñeàu.
BAØI TAÄP
1. Tính caù c goù c cuû a ΔABC bieá t :
3 π 2π
a/ cos A = sin B + sin C − (ÑS: B = C = ,A = )
2 6 3
π
b/ sin 6A + sin 6B + sin 6C = 0 (ÑS: A = B = C = )
3
c/ sin 5A + sin 5B + sin 5C = 0
2. Tính goù c C cuû a ΔABC bieá t :
a/ (1 + cot gA ) (1 + cot gB ) = 2
⎧ A, B nhoïn

b/ ⎨ 2
⎪sin A + sin B = 9 sin C
2

⎧cos2 A + cos2 B + cos2 C < 1
3. Cho ΔABC coù : ⎨
⎩sin 5A + sin 5B + sin 5C = 0
Chöù n g minh Δ coù ít nhaá t moä t goù c 36 0 .
4. Bieá t sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = m . Chöù n g minh
a/ m = 2 thì ΔABC vuoâ n g
b/ m > 2 thì ΔABC nhoï n
c/ m < 2 thì ΔABC tuø .
5. Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g neá u :
b+c
a/ cos B + cos C =
a
b c a
b/ + =
cos B cos C sin B sin C
c/ sin A + sin B + sin C = 1 − cos A + cos B + cos C
( b − c ) = 2 ⎡1 − cos ( B − C )⎤
2

d/ ⎣ ⎦
b 2
1 − cos 2B
6. Chöù n g minh ΔABC caâ n neá u :
1 + cos B 2a + c
a/ =
sin B a 2 − c2
sin A + sin B + sin C A B
b/ = cot g . cot g
sin A + sin B − sin C 2 2
c/ tgA + 2tgB = tgA.tg B 2


⎛ C ⎞ ⎛ C⎞
d/ a ⎜ cot g − tgA ⎟ = b ⎜ tgB − cot g ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠
C B
e/ ( p − b ) cot g = ptg
2 2
C
f/ a + b = tg ( atgA + btgB )
2
7. ΔABC laø Δ gì neá u :
A+B
a/ atgB + btgA = ( a + b ) tg
2
b/ c = c cos 2B + b sin 2B
c/ sin 3A + sin 3B + sin 3C = 0
d/ 4S = ( a + b − c )( a + c − b )
8. Chöù n g minh ΔABC ñeà u neá u
a/ 2 ( a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c
b/ 3S = 2R 2 ( sin 3 A + sin 3 B + sin 3 C )
c/ sin A + sin B + sin C = 4 sin A sin B sin C
9R
d/ m a + m b + m c = vôù i ma , m b , mc laø 3 ñöôø n g trung tuyeá n
2
Th.S Phạm Hồng Danh – TT luyện thi Vĩnh Viễn
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản