Ôn thi ĐH năm 2010 - Câu 2

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

0
86
lượt xem
23
download

Ôn thi ĐH năm 2010 - Câu 2

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ôn thi đh năm 2010 - câu 2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Ôn thi ĐH năm 2010 - Câu 2

  1. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH – B T PHƯƠNG TRÌNH – H PHƯƠNG TRÌNH ð I S A. Tóm t t lí thuy t I. Phương trình lư ng giác 1. Các h ng ñ ng th c: * sin2 α + cos2 α = 1 v im iα kπ * tan α . cot α = 1 v im iα ≠ 2 1 * 1 + tan2 α = v i m i α ≠ k 2π cos α2 1 * 1 + cot2 α = v i m i α ≠ kπ sin2 α 2. H th c các cung ñ c bi t a.Hai cung ñ i nhau: α và −α 1) cos(−α) = cos α 2) sin(−α) = − sin α 3) tan(−α) = − tan α 4) cot(−α) = − cot α π b. Hai cung ph nhau: α và −α 2 π π 1) cos( − α) = sin α 2) sin( − α) = cos α 2 2 π π 3) tan( − α) = cot α 4)cot( − α) = tan α 2 2 c. Hai cung bù nhau: α và π − α 1) sin(π − α) = sin α 2) cos(π − α) = − cos α 3) tan(π − α) = − tan α 4)cot(π − α) = − cot α d) Hai cung hơn kém nhau π : α và π + α 1) sin(π + α) = − sin α 2) cos(π + α) = − cos α 3) tan(π + α) = tan α 4)cot(π + α) = cot α 3. Các công th c lư ng giác a. Công th c c ng 1) cos(a ± b) = cos a. cos b ∓ sin a. sin b 2) sin(a ± b) = sin a.cos b ± cos a.sin b Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 1
  2. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 tan a ± tan b 3) tan(a ± b) = 1 ∓ tan a. tan b b) Công th c nhân 1) sin 2a = 2 sin a cos a 2) cos 2a = cos2 a − sin2 a = 1 − 2 sin2 a = 2 cos2 a − 1 3) sin 3a = 3 sin a − 4 sin 3 a 4) cos3a = 4 cos3 a − 3 cos a c. Công th c h b c 1 − cos 2a 1 + cos 2a 1) sin2 a = 2) cos2 a = 2 2 1 − cos 2a 3) tan2 a = 1 + cos 2a d. Công th c bi n ñ i tích thành t ng 1 1) cos a.cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)] 2 1 2) sin a.sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 3) sin a. cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] . 2 e. Công th c bi n ñ i t ng thành tích a+b a−b 1) cos a + cos b = 2 cos .cos 2 2 a+b a−b 2) cos a − cos b = −2 sin . sin 2 2 a+b a−b 3) sin a + sin b = 2 sin . cos 2 2 a+b a−b 4)sin a - sin b = 2 cos .sin 2 2 sin(a + b) sin(a − b) 5) tan a + tan b = 6) tan a − tan b = . cos a cos b cos a cos b 4. Phương trình lư ng giác cơ b n 1. Phương trình: sin x = m (1) * N u: m > 1 ⇒ Pt vô nghi m π π * N u: m ≤ 1 ⇒ ∃α ∈ [ − ; ] : sin α = m 2 2 Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 2
  3. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2  x = α + k2π ⇒ (1) ⇔ sin x = sin α ⇔  ( k ∈ Z ).  x = π − α + k2π   π π − ≤ α ≤ Chú ý : * N u α th a mãn  2 2 thì ta vi t α = arcsin m . sin α = m  *Các trư ng h p ñ c bi t: π π 1) sin x = 1 ⇔ x = + k2π 2) sin x = −1 ⇔ x = − + k2π 2 2 3) sin x = 0 ⇔ x = kπ 2. Phương trình: cos x = m (2) * N u: m > 1 ⇒ phương trình vô nghi m * N u: m ≤ 1 ⇒ ∃α ∈ [0; π] : cos α = m  x = α + k2π ⇒ (2) ⇔ cos x = cos α ⇔  ( k ∈ Z ).  x = −α + k2π  0 ≤ −α ≤ π  Chú ý : * N u α th a mãn  thì ta vi t α = arccos m . cos α = m  * Các trư ng h p ñ c bi t: 1) cos x = 1 ⇔ x = k2π 2) cos x = −1 ⇔ x = π + k2π π 3) cos x = 0 ⇔ x = + kπ 2 3. Phương trình : tan x = m (3) π π V i ∀m ⇒ ∃α ∈ (− ; ) : tan α = m 2 2 ⇒ (3) ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ .  π π − < α < Chú ý : * N u α th a mãn  2 2 thì ta vi t α = arctan m . tan α = m  * Các trư ng h p ñ c bi t: Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 3
  4. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 π π 1) tan x = 1 ⇔ x = + kπ 2) tan x = −1 ⇔ x = − + kπ 4 4 3) tan x = 0 ⇔ x = kπ 4. Phương trình: cot x = m (4) π π V i ∀m ⇒ ∃α ∈ (− ; ) : cot α = m 2 2 ⇒ (4) ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ .  π π − < α < Chú ý : * N u α th a mãn  2 2 thì ta vi t α = arc co t m . cot α = m  * Các trư ng h p ñ c bi t: π π 1) cot x = 1 ⇔ x = + kπ 2) co t x = −1 ⇔ x = − + kπ 4 4 π 3) cot x = 0 ⇔ x = + kπ 2 Ghi chú: u = v + k2π * sin u = sin v ⇔  (k ∈ Z) u = π − v + k2π  * cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π (k ∈ Z) * tan u = tan v ⇔ u = v + kπ (k ∈ Z) * cot u = cot v ⇔ u = v + kπ (k ∈ Z) 5. Phương trình lư ng giác thư ng g p 1. Phương trình b c hai m t hàm s lư ng giác: Là phương trình có d ng 2 sin x  sin x      cos x  + b. cos x  + c = 0 (1) a.  tan x   tan x      cot x    cot x    Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 4
  5. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 sin x    cos x  (*) khi ñó (1) tr thành: Cách gi i: ð t t =  tan x    cot x    at2 + bt + c = 0 gi i phương trình này ta tìm ñư c t thay vào (*) ta tìm ñư c x sin x  Chú ý: * N u t =   thì −1 ≤ t ≤ 1 . cos x    * Khi g p phương trình ch ch a m t hàm s lư ng giác ta cũng ñ t hàm s ñó b ng m t n ph và chuy n phương trình ñã cho v phương trình ñ i s . 2. Phương trình b c nh t ñ i v i sinx và cosx : a sin x + b cos x = c (1) . Cách gi i: Chia hai v cho: a 2 + b2 và ñ t a b cos α = ; sin α = a2 + b2 a2 + b2 c ⇒ (1) ⇔ sin x. cos α + cos x. sin α = ⇔ sin(x + α) = sin β 2 2 a +b . Chú ý: * (1) có nghi m ⇔ a 2 + b2 ≥ c2 . 1 3  π * sinx ± 3 cos x = 2  sin x − cos x  = 2 sin(x − ) 2  2   3  3 1  π * 3sinx ± cos x = 2  sin x ± cos x  = 2 sin(x ± )  2  2   6  1 1  π * sin x ± cos x = 2  sin x ± cos x  = 2 sin(x ± ) .  2 2  4 3. Phương trình ñ ng c p: Là phương trình có d ng f (sin x , cos x ) = 0 trong ñó lu th a c a sinx và cosx cùng ch n ho c cùng l . Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 5
  6. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Cách gi i: Chia hai v pt cho cosk x ≠ 0 (k là s mũ cao nh t) ta ñư c phương trình n là tan x . 4. Phương trình lư ng giác không m u m c ð gi i phương trình lư ng giác không m u m c, ta s d ng các phép bi n ñ i lư ng giác, ñưa phương trình ñã cho v nh ng d ng phương trình ñã bi t. * ðưa phương trình ban ñ u v phương ña th c ñ i v i m t hàm s lư ng giác * ðưa phương trình ban ñ u v phương trình b c nh t ñ i v i sinx và cosx * ðưa phương trình ban ñ u v phương trình d ng tích II. Phương trình – b t phương trình 1. Phương trình b c cao:  f (x ) = 0  Cách 1: ðưa v d ng tích: f (x ).g(x ) = 0 ⇔  . g(x ) = 0  ð ñưa v m t phương trình tích ta thư ng dùng các cách sau: * S d ng các h ng ñ ng th c ñưa v d ng a 2 − b 2 = 0, a 3 − b 3 = 0,... * Nh m nghi m r i chia ña th c: N u x = a là m t nghi m c a phương trình f (x ) = 0 thì ta luôn có s phân thích: f (x ) = (x − a )g(x ) . ð d ñoán nghi m ta d a vào ñ nh lí sau: ð nh lí: N u ña th c f (x ) = an x n + an −1x n −1 + ... + a1x + a0 có nghi m nguyên thì nghi m ñó ph i là ư c c a a0 * S d ng phương pháp h s b t ñ nh Cách 2: ð t n ph D ng 1: Phương trình ñ i x ng: Là phương trình có d ng: ax 4 ± bx 3 + cx 2 ± bx + a = 0 . Cách gi i: Chia hai v phương trình cho x 2 (x ≠ 0) ta có : 1 1 a(x 2 + ) ± b(x + ) + c = 0 2 x x 1 1 1 ð t t = x + v i t ≥ 2 ta có x 2 + = (x + )2 − 2 = t 2 − 2 x 2 x x thay vào phương trình ta có: a(t 2 − 2) ± bt + c = 0 Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 6
  7. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 D ng 2: (x + a )(x + b )(x + c )(x + d ) = e trong ñó a + b = c + d Cách gi i: ð t t = x 2 + (a + b)x ta có : (t + ab)(t + cd ) = e a +b D ng 3: (x + a )4 + (x + b)4 = c . ð t x = t − ta ñưa v 2 phương trình trùng phương. 2. Phương trình ch a n trong d u giá tr tuy t ñ i a khi a ≥ 0  Cách 1: Dùng ñ nh nghĩa: | a |=  −a khi a < 0  Cách 2: Bình phương hai v k t h p v i tính ch t | a |2 = a 2 g(x ) ≥ 0  1) | f (x ) |= g(x ) ⇔  2 .  f (x ) − g 2 (x ) = 0   f (x ) = g(x ) 2) | f (x ) |=| g(x ) |⇔  .  f (x ) = −g(x )  Cách 3: ð t n ph 3. Phương trình – b t phương trình vô t Cách 1: Bi n ñ i tương ñương * 2n f (x ) = 2n g(x ) ⇔ f (x ) = g(x ) ≥ 0 g(x ) ≥ 0  * 2n f (x ) = g(x ) ⇔  2n  f (x ) = g (x )  * 2n +1 f (x ) = g(x ) ⇔ f (x ) = g 2n +1(x ) * 2n +1 f (x ) > g(x ) ⇔ f (x ) > g 2n +1(x )  f (x ) ≥ 0  * 2n f (x ) < g(x ) ⇔ g(x ) ≥ 0   2n  f (x ) < g (x )    g(x ) < 0  * 2n f (x ) > g(x ) ⇔  f (x )≥ 0  g(x ) ≥ 0    f (x ) > g 2n (x )  Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 7
  8. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Cách 2: ð t n ph D ng 1: F (n f (x )) = 0 , v i d ng này ta ñ t t = n f (x ) (n u n ch n thì ph i có ñi u ki n t ≥ 0 ) và chuy n v phương trình F (t ) = 0 gi i phương trình này ta tìm ñư c t ⇒ x . Trong d ng này ta thư ng g p d ng b c hai: af (x ) + b f (x ) + c = 0 . D ng 2: m( f (x ) ± g(x )) ± 2n f (x ).g(x ) + n( f (x ) + g (x )) + p = 0 . Vì ta có: n( f (x ) + g (x )) ± 2n f (x ).g (x ) = n( f (x ) ± g(x ))2 Nên v i d ng này ta ñ t t = f (x ) ± g(x ) . Bình phương hai v ta s bi u di n ñư c nh ng ñ i lư ng còn l i qua t và chuy n phương trình (bpt) ban ñ u v phương trình (bpt) b c hai ñ i v i t. D ng 3: F (n f (x ), n g (x )) = 0 , trong ñó F (a, b ) là m t bi u th c ñ ng c p b c k. V i d ng này ta xét hai trư ng h p: ( ) TH1: g x = 0 thay vào phương trình ta ki m tra, TH2: g (x ) ≠ 0 chia hai v phương trình cho n g k (x ) và ñ t f (x ) t =n ta ñư c phương trình G (t ) = 0 là phương trình ña th c g(x ) b c k. Ta thư ng g p d ng: a.f (x ) + b.g(x ) + c. f (x )g(x ) = 0 . f (x ) ð tt = , ta có phương trình : at 2 + ct + b = 0 . g(x ) D ng 4: a.f (x ) + g (x ) f (x ) + h(x ) = 0 . V i phương trình d ng này ta có th ñ t t = f (x ) , khi ñó ta ñư c phương trình theo n t: at 2 + g(x )t + h(x ) = 0 , ta gi i phương trình này theo t, xem x là tham s (T c là trong phương trình v a có t v a có x) nên ta thư ng g i d ng này là d ng ñ t n ph không tri t ñ . D ng 5: F  f (x ), n a + f (x ), m b − f (x )  = c (I).     Ta có th ñ t: u = n a + f (x ), v = m b − f (x ) , lúc ñó ta có h phương trình: Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 8
  9. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2  f (u, v ) = c   n gi i h này ta tìm ñư c u, v. T ñây ta có ñư c x. u + v = a + b m  Chú ý : Khi tìm ñư c u,v ñ tìm x ta ch c n gi i m t trong hai phương trình: n a + f (x ) = u ho c mb − f (x ) = v . ( f (x )) n D ng 6: + b = a n af (x ) − b (II) ð gi i phương trình này ta ñ t t = f (x ); y = n af (x ) − b ta có t n + b = ay  h : n . y + b = at  ðây là h ñ i x ng lo i II v i hai n t và y. Cách 3: ðánh giá Xét phương trình : f (x ) = g (x ) xác ñ nh trên D. u(x ) = 0  * N u phương trình ⇔ u 2 (x ) + v 2 (x ) = 0 ⇔  v(x ) = 0   f (x ) ≥ m(x )  *N u  ∀x ∈ D thì PT : f (x ) = g(x ) v i g(x ) ≤ m(x )   f (x ) = m(x )  x∈D ⇔  . g(x ) = m(x )  Trong cách ñánh giá này ta thư ng dùng các h ng ñ ng th c và các b t ñ ng th c quen thu c (như BðT Cauchy, BðT Bunhiacovski, BðT ch a tr tuy t ñ i… )ñ ñánh giá hai v . III. H phương trình 1. H phương trình b c nh t hai n ax + by = c  a. ð nh nghĩa: Là h có d ng:  , trong ñó a ' x + b ' y = c '  a, b, c, a’, b’, c’ là các s th c cho trư c và a,b,a’,b’ không ñ ng th i b ng không. b. Cách gi i: Dùng ñ nh tth c Crame a b c b a c Ta có các ñ nh th c: D = ; Dx = ; Dy = . a' b' c' b' a ' c' Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 9
  10. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Dx Dy * N u D ≠ 0 thì h có nghi m duy nh t: x = . ; y= D D x ∈ ℝ  * N u D = Dx = Dy = 0 thì h vô s nghi m:  c − ax . y = (b ≠ 0)  b D = 0  * N u  Dx ≠ 0 thì h ñã cho vô nghi m.  D ≠ 0   y 2. H ñ i x ng lo i I  f (x ; y ) = a  a. ð nh nghĩa: Là h có d ng  (I) trong ñó f(x;y),g(x;y) là g(x ; y ) = b  các bi u th c ñ i x ng, t c là f (x ; y ) = f (y; x ), g (x ; y ) = g(y; x ) . b. Cách gi i: ð t S = x + y, P = xy . Bi u di n f (x ; y ), g (x ; y ) qua S và P ta có h F (S ; P ) = 0   gi i h này ta tìm ñư c S, P. G (S ; P ) = 0  Khi ñó x,y là nghi m c a phương trình : X 2 − SX + P = 0 (1) . c. M t s bi u di n bi u th c ñ i x ng qua S và P. x 2 + y 2 = (x + y )2 − 2xy = S 2 − 2P x 3 + y 3 = (x + y )(x 2 + y 2 − xy ) = S 3 − 3SP x 2y + y 2x = xy(x + y ) = SP x 4 + y 4 = (x 2 + y 2 )2 − 2x 2y 2 = (S 2 − 2P )2 − 2P 2 d. Chú ý: * N u (x;y) là nghi m c a h (I) thì (y;x) cũng là nghi m c a h * H (I) có nghi m khi (1) có nghi m hay S 2 − 4P ≥ 0 . 3. H ñ i x ng lo i 2  f (x ; y ) = a  a. ð nh nghĩa: Là h có d ng  (II)  f (y; x ) = a  b. Cách gi i: Tr hai phương trình c a h cho nhau ta ñư c : Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 10
  11. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 x = y f (x ; y ) − f (y; x ) = 0 ⇔ (x − y )g(x ; y ) = 0 ⇔  . g(x ; y ) = 0  c. Chú ý: N u h (II) có nghi m (x 0 ; y 0 ) thì (y 0 ; x 0 ) cũng là nghi m c a h nên h (II) có nghi m duy nh t thì ñi u ki n c n là x 0 = y0 . 4. H ñ ng c p a. ð nh nghĩa: *Bi u th c f(x;y) g i là ñ ng c p b c k n u f (mx ; my ) = m k f (x ; y )  f (x ; y ) = a  *H :  trong ñó f(x;y) và g(x;y) ñ ng c p g i là h ñ ng g(x ; y ) = b  c p b. Cách gi i: *Xét x=0 thay vào h ki m tra * V i x ≠ 0 ñ t y = tx thay vào h ta có:  f (x ; tx ) = a  k  x f (1; t ) = a a  ⇔ k ⇔ f (1; t ) = g(1; t ) . g(x ; tx ) = b  x g(1; t ) = b  b 5. Phương pháp th : ðây là phương pháp khá h u hi u thư ng hay ñư c s d ng trong gi i h phương trình . N i dung c a phương pháp này t m t phương trình ho c k t h p hai phương trình c a h ta bi u di n n này qua n kia ho c m t bi u th c này qua bi u th c khác và th vào phương trình còn l i chuy n v phương trình m t n (có th là n ph ). M c ñích c a vi c làm này là gi m s n. Tùy thu c vào ñ c ñi m c a bài toán mà ta có nh ng cách bi n ñ i phù h p. Trong phương pháp này ta c n lưu ý m t s d u hi u sau. 1) N u trong h phương trình có m t phương trình b c nh t ñ i v i m t n thì ta rút n ñó qua n kia th vào phương trình còn l i và chuy n v gi i phương trình m t n. 2) V i hai s th c b t kì x ≠ 0; y ta luôn có y = tx (t là s th c c n tìm). V i cách làm này ta s ñư c h v phương trình m t n t. 3) Phương trình f (x ; y ) = f (y; x ) luôn có m t c p nghi m x = y , do ñó ta luôn phân tích phương trình ñã cho v d ng: (x − y )g(x ; y ) = 0 4) Trong h phương trình n u bi u th c u(x) xu t hi n hai Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 11
  12. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 phương trình thì ta có th ñ t t = u(x ) ñ làm ñơn gi n hình th c bài toán. 5) N u m i v c a hai phương trình là nh ng bi u th c ñ ng b c, ta có th ñ t x = ty (y ≠ 0) và t hai phương trình c a h ta rút ra y = f (t )  ñư c:  , gi i phương trình f (t ) = g(t ) ta tìm ñư c t, t ñó suy y = g(t )  ra x và y . B. CÁC VÍ D MINH H A Ví d 1. Gi i các phương trình sau 1) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0 ( D – 2006 ). 2) 3 cos 4x − 8 cos6 x + 2 cos2 x + 3 = 0 (B1 – 2003 ). 3) cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0 (A – 2005 ). ( ) 4) 5 sin x − 2 = 3 1 − sin x tan2 x (B – 2004 ). π π 3 5) cos4 x + sin4 x + cos(x − ) sin(3x − ) − = 0 (D – 2005 ). 4 4 2 L i gi i. 1) Ta th y các hàm s lư ng giác có m t trong phương trình ñ u bi u di n ñư c qua cosx. Do ñó ta chuy n phương trình ñã cho v phương trình ch ch a hàm s cosx. PT ⇔ 4 cos3 x − 3 cos x + (2 cos2 x − 1) − cos x − 1 = 0 ⇔ 2 cos3 x + cos2 x − 2 cos x − 1 = 0 . ð t t = cos x, t ≤ 1 . Ta có:  t = ±1 2t + t − 2t − 1 = 0 ⇔ (t − 1)(2t + 1) = 0 ⇔  3 2 2 . t = − 1   2 * t = ±1 ⇔ cos x = ±1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ 1 1 2π 2π * t = − ⇔ cos x = − = cos ⇔x=± + k2π . 2 2 3 3 Chú ý: Ta có th gi i bài toán trên b ng cách sau Phương trình ⇔ cos 3x − cos x − (1 − cos 2x ) = 0 ⇔ −2 sin 2x . sin x − 2 sin2 x = 0 ⇔ sin2 x (2 cos x + 1) = 0 . Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 12
  13. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 2) Ta chuy n phương trình v phương trình ch ch a cos 2x Phương trình ⇔ 3(2 cos2 2x − 1) − (1 + cos 2x)3 + 1 + cos 2x + 3 ⇔ cos 2x(cos2 2x − 3 cos 2x + 2) = 0 cos 2x = 0  π π ⇔ ⇔ x = + k .  4 2 cos 2x = 1   x = kπ  3) Phương trình ⇔ (1 + cos 6x)cos 2x − 1 − cos 2x = 0 ⇔ cos 6x. cos 2x − 1 = 0 ⇔ cos 8x + cos 4x − 2 = 0 π ⇔ 2 cos2 4x + cos 4x − 3 = 0 ⇔ cos 4x = 1 ⇔ x = k . 2 π 4) ði u ki n : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ . 2 sin2 x Phương trình ⇔ 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) cos2 x sin2 x ⇔ 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) 1 − sin2 x sin2 x ⇔ 5 sin x − 2 = 3 ⇔ (5 sin x − 2)(1 + sin x) = 3 sin2 x 1 + sin x  π 1 π  x = + k2π ⇔ 2 sin2 x + 3 sin x − 2 = 0 ⇔ sin x = = sin ⇔  6 . 2 6 x = 5π + k2π   6 K t h p ñi u ki n, ta có nghi m c a phương trình ñã cho là : π 5π x= + k2π, x = + k2π . 6 6 1 5) Ta có: sin4 x + cos4 x = 1 − sin2 2x 2 π π 1 π  sin(3x − )cos(x − ) = sin(4x − ) + sin 2x  4 4 2 2  = 1 2 ( 1 ) ( − cos 4x + sin 2x = 2 sin2 2x + sin 2x − 1 2 ) Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 13
  14. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Phương trình ⇔ 1 − 1 2 2 1 ( 3 sin 2x + 2 sin2 2x + sin 2x − 1 − = 0 2 2 ) π ⇔ sin2 2x + sin 2x − 2 = 0 ⇔ sin 2x = 1 ⇔ x = + kπ . 4 Ví d 2. Gi i các phương trình sau 1) 3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0 (D – 2009 ) 2) sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x ) (B – 2009 ) (1 − 2 sin x ) cos x 3) = 3 (1) (A – 2009 ). (1 + 2 sin x )(1 − sin x ) cos x − 2 sin x cos x 4) = 3 (ðH NN1 – 1998 ). 2 cos2 x + sin x − 1 L i gi i. 1) Phương trình ñã cho tương ñương: ( 3 cos 5x − s in5x + sin x − sin x = 0 ) 3 1 π  ⇔ cos 5x − s in5x = sin x ⇔ sin  − 5x  = sin x 2 2 3  π π ⇔ − 5x = x + k 2π ho c − 5x = π − x + k 2π . 3 3 π π π π V yx = 18 3 +k 6 ho c x = − 2 k ∈ℤ . +k ( ) 2) Phương trình ñã cho tương ñương v i. (1 − 2 sin2 x )sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2 cos 4x ⇔ cos 2x sin x + cos x cos 2x + 3 cos 3x = 2 cos 4x π ⇔ sin 3x + 3 cos 3x = 2 cos 4x ⇔ cos(3x − ) = cos 4x 6 π π ⇔ 4x = 3x − + k 2π ho c 4x = −3x + + k 2π 6 6 π π 2π V yx =− + k 2π ho c x = +k ( k ∈ Z ). 6 42 7   sin x ≠ − 1 3) . ði u ki n:   2 sin x ≠ 1     Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 14
  15. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 (1) ⇔ (1 − 2 sin x )cos x = 3(1 + 2 sin x )(1 − sin x ) ⇔ cos x − 2 sin x cos x = 3(1 + sin x − 2 sin2 x ) ⇔ cos x − 3 sin x = sin 2x + 3 cos 2x π π ⇔ 2 cos(x + ) = 2 cos(2x − ) . 3 6 Gi i phương trình này ta tìm ñư c hai h nghi m π π 2π x = − k 2π; x = − + k 2 18 3 π 2π ð i chi u v i ñi u ki n ta ch nh n h nghi m: x = − +k . 18 3  π x ≠ + k 2π 4) ðK: 2 sin2 x − sin x − 1 ≠ 0 ⇔  2 . x ≠ − π + k 2π , x ≠ 7π + k 2π   6 6 Phương trình 3 cos 2x + sin 2x = cos x − 3 sin x 1 3 1 3 ⇔ sin 2x + cos 2x = cos x − sin x 2 2 2 2  π π π π 2x − = x + + k 2π ⇔ cos(2x − ) = cos(x + ) ⇔  6 3 6 3 2x − = −x − π + k 2π π   6 3  π x = + k 2π ⇔ 2 . x = − π + k 2π   18 3 π 2π ð i chi u ñi u ki n ta có x = − +k là nghi m c a phương 18 3 trình ñã cho. Ví d 3. Gi i các phương trình sau 1) 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x ( D – 2008 ). 2) 1+ sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0 (B – 2005 ). x π x 3) sin2  −  tan2 x − cos2 = 0 (D – 2003 ). 2 4 2 Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 15
  16. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 1 1 7π 4) + = 4 sin( − x) (A – 2008 ) sin x 3π 4 sin(x − ) 2 5) 3 cot2 x + 2 2 sin2 x = (2 + 3 2) cos x 6) 2 sin 2x − cos 2x = 7 sin x + 2 cos x − 4 L i gi i. 1) Phương trình ⇔ 4 sin x cos2 x + 2 sin x cos x = 1 + 2 cos x ⇔ 2 sin x cos x(2 cos x + 1) = 2 cos x + 1  π  x = + kπ ⇔ (2 cos x + 1)(sin 2x − 1) = 0 ⇔  4 . x = ± 2π + k2π   3 Chú ý: M t s lưu ý khi tìm nhân t chung : * Các bi u th c 1 + sin 2x = (s inx + cos x)2 ; sin x + cos x cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x) ; 1 + tan x = ; cos x sin x + cos x 1 + cot x = nên chúng có th a s chung là sin x sin x + cos x . * Các bi u th c 1 − sin 2x ; cos 2x ; 1 − tan x ; 1 − cot x có th a s chung là cos x − sin x . * sin2 x; tan2 x có th a s (1 − cos x)(1 + cos x) . Tương t cos2 x; cot2 x có th a s (1 − sin x)(1 + sin x) . 2) Phương trình ñã cho tương ñương v i: (1 + sin 2x) + (sin x + cos x) + cos2 x − sin2 x = 0 ⇔ (sin x + cos x)2 + (sin x + cos x) + (cos x − sin x)(cos x + sin x) = 0 sin x + cos x = 0 ⇔ (sin x + cos x)(2 cos x + 1) = 0 ⇔  cos x = − 1   2 Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 16
  17. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2  π  x = − + kπ ⇔ 4 . x = ± 2π + k2π   3 Nh n xét: Ngoài cách bi n ñ i trên, ta có th bi n ñ i cách khác như sau: Phương trình ⇔ 2 cos2 + cos x + sin x + 2 sin x cos x = 0 ⇔ cos x(2 cos+ 1) + sin x(2 cos x + 1) = 0 ⇔ (2 cos x + 1)(sin x + cos x) = 0 . π 3) ði u ki n : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ . 2  π  sin2 x Phương trình ⇔ 1 − cos(x − ) − (1 + cos x) = 0  2  cos2 x sin2 x ⇔ (1 − sin x) − (1 + cos x) = 0 1 − sin2 x sin2 x ⇔ − (1 + cos x) = 0 1 + sin x ⇔ (1 − cos2 x) − (1 + cos x)(1 + sin x) = 0 cos x = 1  x = k2π ⇔ (1 − cos x)(cos x − sin x) = 0 ⇔  ⇔   x = π + kπ các  tan x = 1    4 nghi m này th a ñi u ki n bài toán nên ñó là nh ng nghi m c n tìm. 3π  π  π 4) Ta có: sin(x − ) = sin (x + ) − 2π = sin(x + ) = cos x 2  2  2 7π  π  π sin( 4 − x) = sin 2π − (x + ) = − sin(x + ) = − 4  4 1 ( sin x + cos x )  2 kπ ði u ki n: sin 2x ≠ 0 ⇔ x = . 2 1 1 Phương trình ⇔ + = −2 2(sin x + cos x) sin x cos x Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 17
  18. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 (sin x + cos x)( 2 sin 2x + 1) ⇔ =0 sin 2x sin x + cos x = 0  π   x = − + kπ ⇔ 1 ⇔ 4 các nghi m sin 2x = − π  x = − + kπ; x = − 5π  + kπ  2   8 8 này ñ u th a ñi u ki n c a bài toán nên ñó là nh ng h nghi m c n tìm. 5) ði u ki n: x ≠ kπ 3 cos2 x Phương trình ⇔ + 2 2 sin2 x = (2 + 3 2) cos x . 2 sin x ⇔ 3 cos2 x − 3 2 sin2 x. cos x + 2 2 sin 4 x − 2 sin2 x cos x = 0 ⇔ (cos x − 2 sin2 x)(3 cos x − 2 sin2 x) = 0  2 cos2 x + cos x − 2 = 0 ⇔ 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0   −1 + 3  6− 2 cos x =  x = ± arccos + k2π ⇔ 2 ⇔ 2 các nghi m  1  x = ± π + k2π cos x =   2  3 này th a ñi u ki n bài toán nên ñó là nh ng nghi m c n tìm. 6) Phương trình ñã cho tương ñương v i: 4 sin x cos x − 1 + 2 sin2 x − 7 sin x − 2 cos x + 4 = 0 ⇔ 2 cos x(2 sin x − 1) + (2 sin x − 1)(sin x − 3) = 0 ⇔ (2 sin x − 1)(2 cos x + sin x − 3) = 0   π sin x = 1  x = + k2π ⇔ 2 ⇔  6 .  5π 2 cos x + sin x − 3 = 0 (VN) x = + k2π    6 ( Lưu ý : | a sin x + b cos x |≤ a2 + b2 ⇒ 2 cos x + sin x ≤ 5 < 3 ). Chú ý: Khi g p phương trình d ng: a sin 2x + b cos 2x + c. sin x + d cos x + e = 0 ta có th bi n ñ i phương trình v d ng : (m sin x + n cos x + p)(h.sin x + t.cos x + q ) = 0 . Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 18
  19. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Ví d 4. Gi i các phương trình sau 1) sin 2x. cos 3x = sin 5x. cos 6x 2) sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x (B – 2002 ). 3) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x L i gi i. 1 1 1) Phương trình ⇔ sin 5x − sin x  = sin 11x − sin x    2  2  π x = k ⇔ sin 5x = sin 11x ⇔  6 . x = π π +k   16 8 2) Áp d ng công th c h b c, ta có: 1 − cos 6x 1 + cos 8x 1 − cos10x 1 + cos12x Phương trình ⇔ − = − 2 2 2 2 ⇔ cos 6x + cos 8x = cos10x + cos12x cos x = 0 ⇔ 2 cos 7x cos x = 2 cos11x cos x ⇔  cos11x = cos 7x   π  x = + kπ ⇔ 2 . x = k π ; x = k π   2 9 3) Phương trình ñã cho tương ñương v i (sin x + sin 3x) + sin 2x = (cos x + cos 3x) + cos 2x ⇔ 2 sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos 2x cos x + cos 2x ⇔ (2 cos x + 1)(sin 2x − cos 2x) = 0   2π cos x = − 1 x = ± + k2π ⇔ 2 ⇔ 3 .  x = π + k π sin 2x = cos 2x    8 2 Ví d 5. Gi i các phương trình sau 1) 16 cos x cos 2x cos 4x cos 8x = 1 (KTQD Hà N i – 1998 ) π 2) 2 cos2 ( cos2 x ) = 1 + cos(π sin 2x ) (ðH Thái Nguyên – 1998 ) 2 L i gi i. 1) Ta th y sin x = 0 không là nghi m c a phương trình Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 19
  20. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nên nhân hai v c a phương trình v i sin x ta ñư c: 8 sin 2x cos 2x cos 4x cos 8x = sin x  2π 16x = x + k 2π x = k ⇔ sin16x = sin x ⇔  ⇔ 15   16x = π − x + k 2π x = π 2π +k   17 17 2π K t h p v i ñi u ki n, ta có x = k (k ≠ 15n ) và 15 π 2π x = +k (k ≠ −8 + 17n ) là nghi m c a phương trình ñã cho. 17 17 π 2) Phương trình ⇔ 2 cos2 ( cos2 x ) − 1 = cos(π sin 2x ) 2 ⇔ cos(π cos2 x ) = cos(π sin 2x ) ⇔ cos2 x = ± sin 2x + 2k , ( k ∈ ℤ )  cos 2x − 2 sin 2x = 4k − 1 ⇔ cos 2x + 2 sin 2x = 4k − 1  Phương trình có nghi m ⇔ 12 + 22 ≥ 16k 2 − 8k + 1 1− 5 1+ 5 ⇔ 4k 2 − 2k − 1 ≤ 0 ⇔ ≤k ≤ 4 4 cos 2x − 2 sin 2x = −1 Do k ∈ ℤ ⇒ k = 0 ⇒  cos 2x + 2 sin 2x = −1  2 cos2 x − 4 sin x cos x = 0 cos x = 0 cos x = 0 ⇔  ⇔  sin x = ± 1 ⇔ 2(1 − cos 2x ) = 1 2 cos2 x + 4 sin x cos x = 0      2 cos x = 0  π  x = + nπ ⇔ 2 . cos 2x = 1  x = ± π + nπ  2   6 Ví d 6. Gi i các phương trình – b t phương trình sau 1) x + 4 − 1 − x = 1 − 2x 2) 2x 2 − 6x + 1 − x + 2 < 0 3) x (x − 1) + x (x + 2) = 2 x 2 Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 20
Đồng bộ tài khoản