Ôn thi ĐH năm 2010 – phương trình lượng giác, bất phương trình.

Chia sẻ: Trần Bá Trung3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

4
461
lượt xem
187
download

Ôn thi ĐH năm 2010 – phương trình lượng giác, bất phương trình.

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Ôn thi ĐH năm 2010 – phương trình lượng giác, bất phương trình.

  1. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH – B T PHƯƠNG TRÌNH – H PHƯƠNG TRÌNH ð I S A. Tóm t t lí thuy t I. Phương trình lư ng giác 1. Các h ng ñ ng th c: * sin2 α + cos2 α = 1 v im iα kπ * tan α . cot α = 1 v im iα ≠ 2 1 * 1 + tan2 α = v i m i α ≠ k 2π cos α2 1 * 1 + cot2 α = v i m i α ≠ kπ sin2 α 2. H th c các cung ñ c bi t a.Hai cung ñ i nhau: α và −α 1) cos(−α) = cos α 2) sin(−α) = − sin α 3) tan(−α) = − tan α 4) cot(−α) = − cot α π b. Hai cung ph nhau: α và −α 2 π π 1) cos( − α) = sin α 2) sin( − α) = cos α 2 2 π π 3) tan( − α) = cot α 4)cot( − α) = tan α 2 2 c. Hai cung bù nhau: α và π − α 1) sin(π − α) = sin α 2) cos(π − α) = − cos α 3) tan(π − α) = − tan α 4)cot(π − α) = − cot α d) Hai cung hơn kém nhau π : α và π + α 1) sin(π + α) = − sin α 2) cos(π + α) = − cos α 3) tan(π + α) = tan α 4)cot(π + α) = cot α 3. Các công th c lư ng giác a. Công th c c ng 1) cos(a ± b) = cos a. cos b ∓ sin a. sin b 2) sin(a ± b) = sin a.cos b ± cos a.sin b Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 1
  2. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 tan a ± tan b 3) tan(a ± b) = 1 ∓ tan a. tan b b) Công th c nhân 1) sin 2a = 2 sin a cos a 2) cos 2a = cos2 a − sin2 a = 1 − 2 sin2 a = 2 cos2 a − 1 3) sin 3a = 3 sin a − 4 sin 3 a 4) cos3a = 4 cos3 a − 3 cos a c. Công th c h b c 1 − cos 2a 1 + cos 2a 1) sin2 a = 2) cos2 a = 2 2 1 − cos 2a 3) tan2 a = 1 + cos 2a d. Công th c bi n ñ i tích thành t ng 1 1) cos a.cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)] 2 1 2) sin a.sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 3) sin a. cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] . 2 e. Công th c bi n ñ i t ng thành tích a+b a−b 1) cos a + cos b = 2 cos .cos 2 2 a+b a−b 2) cos a − cos b = −2 sin . sin 2 2 a+b a−b 3) sin a + sin b = 2 sin . cos 2 2 a+b a−b 4)sin a - sin b = 2 cos .sin 2 2 sin(a + b) sin(a − b) 5) tan a + tan b = 6) tan a − tan b = . cos a cos b cos a cos b 4. Phương trình lư ng giác cơ b n 1. Phương trình: sin x = m (1) * N u: m > 1 ⇒ Pt vô nghi m π π * N u: m ≤ 1 ⇒ ∃α ∈ [ − ; ] : sin α = m 2 2 Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 2
  3. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2  x = α + k2π ⇒ (1) ⇔ sin x = sin α ⇔  ( k ∈ Z ).  x = π − α + k2π   π π − ≤ α ≤ Chú ý : * N u α th a mãn  2 2 thì ta vi t α = arcsin m . sin α = m  *Các trư ng h p ñ c bi t: π π 1) sin x = 1 ⇔ x = + k2π 2) sin x = −1 ⇔ x = − + k2π 2 2 3) sin x = 0 ⇔ x = kπ 2. Phương trình: cos x = m (2) * N u: m > 1 ⇒ phương trình vô nghi m * N u: m ≤ 1 ⇒ ∃α ∈ [0; π] : cos α = m  x = α + k2π ⇒ (2) ⇔ cos x = cos α ⇔  ( k ∈ Z ).  x = −α + k2π  0 ≤ −α ≤ π  Chú ý : * N u α th a mãn  thì ta vi t α = arccos m . cos α = m  * Các trư ng h p ñ c bi t: 1) cos x = 1 ⇔ x = k2π 2) cos x = −1 ⇔ x = π + k2π π 3) cos x = 0 ⇔ x = + kπ 2 3. Phương trình : tan x = m (3) π π V i ∀m ⇒ ∃α ∈ (− ; ) : tan α = m 2 2 ⇒ (3) ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ .  π π − < α < Chú ý : * N u α th a mãn  2 2 thì ta vi t α = arctan m . tan α = m  * Các trư ng h p ñ c bi t: Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 3
  4. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 π π 1) tan x = 1 ⇔ x = + kπ 2) tan x = −1 ⇔ x = − + kπ 4 4 3) tan x = 0 ⇔ x = kπ 4. Phương trình: cot x = m (4) π π V i ∀m ⇒ ∃α ∈ (− ; ) : cot α = m 2 2 ⇒ (4) ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ .  π π − < α < Chú ý : * N u α th a mãn  2 2 thì ta vi t α = arc co t m . cot α = m  * Các trư ng h p ñ c bi t: π π 1) cot x = 1 ⇔ x = + kπ 2) co t x = −1 ⇔ x = − + kπ 4 4 π 3) cot x = 0 ⇔ x = + kπ 2 Ghi chú: u = v + k2π * sin u = sin v ⇔  (k ∈ Z) u = π − v + k2π  * cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π (k ∈ Z) * tan u = tan v ⇔ u = v + kπ (k ∈ Z) * cot u = cot v ⇔ u = v + kπ (k ∈ Z) 5. Phương trình lư ng giác thư ng g p 1. Phương trình b c hai m t hàm s lư ng giác: Là phương trình có d ng 2 sin x  sin x      cos x  + b. cos x  + c = 0 (1) a.  tan x   tan x      cot x    cot x    Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 4
  5. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 sin x    cos x  (*) khi ñó (1) tr thành: Cách gi i: ð t t =  tan x    cot x    at2 + bt + c = 0 gi i phương trình này ta tìm ñư c t thay vào (*) ta tìm ñư c x sin x  Chú ý: * N u t =   thì −1 ≤ t ≤ 1 . cos x    * Khi g p phương trình ch ch a m t hàm s lư ng giác ta cũng ñ t hàm s ñó b ng m t n ph và chuy n phương trình ñã cho v phương trình ñ i s . 2. Phương trình b c nh t ñ i v i sinx và cosx : a sin x + b cos x = c (1) . Cách gi i: Chia hai v cho: a 2 + b2 và ñ t a b cos α = ; sin α = a2 + b2 a2 + b2 c ⇒ (1) ⇔ sin x. cos α + cos x. sin α = ⇔ sin(x + α) = sin β 2 2 a +b . Chú ý: * (1) có nghi m ⇔ a 2 + b2 ≥ c2 . 1 3  π * sinx ± 3 cos x = 2  sin x − cos x  = 2 sin(x − ) 2  2   3  3 1  π * 3sinx ± cos x = 2  sin x ± cos x  = 2 sin(x ± )  2  2   6  1 1  π * sin x ± cos x = 2  sin x ± cos x  = 2 sin(x ± ) .  2 2  4 3. Phương trình ñ ng c p: Là phương trình có d ng f (sin x , cos x ) = 0 trong ñó lu th a c a sinx và cosx cùng ch n ho c cùng l . Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 5
  6. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Cách gi i: Chia hai v pt cho cosk x ≠ 0 (k là s mũ cao nh t) ta ñư c phương trình n là tan x . 4. Phương trình lư ng giác không m u m c ð gi i phương trình lư ng giác không m u m c, ta s d ng các phép bi n ñ i lư ng giác, ñưa phương trình ñã cho v nh ng d ng phương trình ñã bi t. * ðưa phương trình ban ñ u v phương ña th c ñ i v i m t hàm s lư ng giác * ðưa phương trình ban ñ u v phương trình b c nh t ñ i v i sinx và cosx * ðưa phương trình ban ñ u v phương trình d ng tích II. Phương trình – b t phương trình 1. Phương trình b c cao:  f (x ) = 0  Cách 1: ðưa v d ng tích: f (x ).g(x ) = 0 ⇔  . g(x ) = 0  ð ñưa v m t phương trình tích ta thư ng dùng các cách sau: * S d ng các h ng ñ ng th c ñưa v d ng a 2 − b 2 = 0, a 3 − b 3 = 0,... * Nh m nghi m r i chia ña th c: N u x = a là m t nghi m c a phương trình f (x ) = 0 thì ta luôn có s phân thích: f (x ) = (x − a )g(x ) . ð d ñoán nghi m ta d a vào ñ nh lí sau: ð nh lí: N u ña th c f (x ) = an x n + an −1x n −1 + ... + a1x + a0 có nghi m nguyên thì nghi m ñó ph i là ư c c a a0 * S d ng phương pháp h s b t ñ nh Cách 2: ð t n ph D ng 1: Phương trình ñ i x ng: Là phương trình có d ng: ax 4 ± bx 3 + cx 2 ± bx + a = 0 . Cách gi i: Chia hai v phương trình cho x 2 (x ≠ 0) ta có : 1 1 a(x 2 + ) ± b(x + ) + c = 0 2 x x 1 1 1 ð t t = x + v i t ≥ 2 ta có x 2 + = (x + )2 − 2 = t 2 − 2 x 2 x x thay vào phương trình ta có: a(t 2 − 2) ± bt + c = 0 Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 6
  7. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 D ng 2: (x + a )(x + b )(x + c )(x + d ) = e trong ñó a + b = c + d Cách gi i: ð t t = x 2 + (a + b)x ta có : (t + ab)(t + cd ) = e a +b D ng 3: (x + a )4 + (x + b)4 = c . ð t x = t − ta ñưa v 2 phương trình trùng phương. 2. Phương trình ch a n trong d u giá tr tuy t ñ i a khi a ≥ 0  Cách 1: Dùng ñ nh nghĩa: | a |=  −a khi a < 0  Cách 2: Bình phương hai v k t h p v i tính ch t | a |2 = a 2 g(x ) ≥ 0  1) | f (x ) |= g(x ) ⇔  2 .  f (x ) − g 2 (x ) = 0   f (x ) = g(x ) 2) | f (x ) |=| g(x ) |⇔  .  f (x ) = −g(x )  Cách 3: ð t n ph 3. Phương trình – b t phương trình vô t Cách 1: Bi n ñ i tương ñương * 2n f (x ) = 2n g(x ) ⇔ f (x ) = g(x ) ≥ 0 g(x ) ≥ 0  * 2n f (x ) = g(x ) ⇔  2n  f (x ) = g (x )  * 2n +1 f (x ) = g(x ) ⇔ f (x ) = g 2n +1(x ) * 2n +1 f (x ) > g(x ) ⇔ f (x ) > g 2n +1(x )  f (x ) ≥ 0  * 2n f (x ) < g(x ) ⇔ g(x ) ≥ 0   2n  f (x ) < g (x )    g(x ) < 0  * 2n f (x ) > g(x ) ⇔  f (x )≥ 0  g(x ) ≥ 0    f (x ) > g 2n (x )  Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 7
  8. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Cách 2: ð t n ph D ng 1: F (n f (x )) = 0 , v i d ng này ta ñ t t = n f (x ) (n u n ch n thì ph i có ñi u ki n t ≥ 0 ) và chuy n v phương trình F (t ) = 0 gi i phương trình này ta tìm ñư c t ⇒ x . Trong d ng này ta thư ng g p d ng b c hai: af (x ) + b f (x ) + c = 0 . D ng 2: m( f (x ) ± g(x )) ± 2n f (x ).g(x ) + n( f (x ) + g (x )) + p = 0 . Vì ta có: n( f (x ) + g (x )) ± 2n f (x ).g (x ) = n( f (x ) ± g(x ))2 Nên v i d ng này ta ñ t t = f (x ) ± g(x ) . Bình phương hai v ta s bi u di n ñư c nh ng ñ i lư ng còn l i qua t và chuy n phương trình (bpt) ban ñ u v phương trình (bpt) b c hai ñ i v i t. D ng 3: F (n f (x ), n g (x )) = 0 , trong ñó F (a, b ) là m t bi u th c ñ ng c p b c k. V i d ng này ta xét hai trư ng h p: ( ) TH1: g x = 0 thay vào phương trình ta ki m tra, TH2: g (x ) ≠ 0 chia hai v phương trình cho n g k (x ) và ñ t f (x ) t =n ta ñư c phương trình G (t ) = 0 là phương trình ña th c g(x ) b c k. Ta thư ng g p d ng: a.f (x ) + b.g(x ) + c. f (x )g(x ) = 0 . f (x ) ð tt = , ta có phương trình : at 2 + ct + b = 0 . g(x ) D ng 4: a.f (x ) + g (x ) f (x ) + h(x ) = 0 . V i phương trình d ng này ta có th ñ t t = f (x ) , khi ñó ta ñư c phương trình theo n t: at 2 + g(x )t + h(x ) = 0 , ta gi i phương trình này theo t, xem x là tham s (T c là trong phương trình v a có t v a có x) nên ta thư ng g i d ng này là d ng ñ t n ph không tri t ñ . D ng 5: F  f (x ), n a + f (x ), m b − f (x )  = c (I).     Ta có th ñ t: u = n a + f (x ), v = m b − f (x ) , lúc ñó ta có h phương trình: Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 8
  9. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2  f (u, v ) = c   n gi i h này ta tìm ñư c u, v. T ñây ta có ñư c x. u + v = a + b m  Chú ý : Khi tìm ñư c u,v ñ tìm x ta ch c n gi i m t trong hai phương trình: n a + f (x ) = u ho c mb − f (x ) = v . ( f (x )) n D ng 6: + b = a n af (x ) − b (II) ð gi i phương trình này ta ñ t t = f (x ); y = n af (x ) − b ta có t n + b = ay  h : n . y + b = at  ðây là h ñ i x ng lo i II v i hai n t và y. Cách 3: ðánh giá Xét phương trình : f (x ) = g (x ) xác ñ nh trên D. u(x ) = 0  * N u phương trình ⇔ u 2 (x ) + v 2 (x ) = 0 ⇔  v(x ) = 0   f (x ) ≥ m(x )  *N u  ∀x ∈ D thì PT : f (x ) = g(x ) v i g(x ) ≤ m(x )   f (x ) = m(x )  x∈D ⇔  . g(x ) = m(x )  Trong cách ñánh giá này ta thư ng dùng các h ng ñ ng th c và các b t ñ ng th c quen thu c (như BðT Cauchy, BðT Bunhiacovski, BðT ch a tr tuy t ñ i… )ñ ñánh giá hai v . III. H phương trình 1. H phương trình b c nh t hai n ax + by = c  a. ð nh nghĩa: Là h có d ng:  , trong ñó a ' x + b ' y = c '  a, b, c, a’, b’, c’ là các s th c cho trư c và a,b,a’,b’ không ñ ng th i b ng không. b. Cách gi i: Dùng ñ nh tth c Crame a b c b a c Ta có các ñ nh th c: D = ; Dx = ; Dy = . a' b' c' b' a ' c' Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 9
  10. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Dx Dy * N u D ≠ 0 thì h có nghi m duy nh t: x = . ; y= D D x ∈ ℝ  * N u D = Dx = Dy = 0 thì h vô s nghi m:  c − ax . y = (b ≠ 0)  b D = 0  * N u  Dx ≠ 0 thì h ñã cho vô nghi m.  D ≠ 0   y 2. H ñ i x ng lo i I  f (x ; y ) = a  a. ð nh nghĩa: Là h có d ng  (I) trong ñó f(x;y),g(x;y) là g(x ; y ) = b  các bi u th c ñ i x ng, t c là f (x ; y ) = f (y; x ), g (x ; y ) = g(y; x ) . b. Cách gi i: ð t S = x + y, P = xy . Bi u di n f (x ; y ), g (x ; y ) qua S và P ta có h F (S ; P ) = 0   gi i h này ta tìm ñư c S, P. G (S ; P ) = 0  Khi ñó x,y là nghi m c a phương trình : X 2 − SX + P = 0 (1) . c. M t s bi u di n bi u th c ñ i x ng qua S và P. x 2 + y 2 = (x + y )2 − 2xy = S 2 − 2P x 3 + y 3 = (x + y )(x 2 + y 2 − xy ) = S 3 − 3SP x 2y + y 2x = xy(x + y ) = SP x 4 + y 4 = (x 2 + y 2 )2 − 2x 2y 2 = (S 2 − 2P )2 − 2P 2 d. Chú ý: * N u (x;y) là nghi m c a h (I) thì (y;x) cũng là nghi m c a h * H (I) có nghi m khi (1) có nghi m hay S 2 − 4P ≥ 0 . 3. H ñ i x ng lo i 2  f (x ; y ) = a  a. ð nh nghĩa: Là h có d ng  (II)  f (y; x ) = a  b. Cách gi i: Tr hai phương trình c a h cho nhau ta ñư c : Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 10
  11. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 x = y f (x ; y ) − f (y; x ) = 0 ⇔ (x − y )g(x ; y ) = 0 ⇔  . g(x ; y ) = 0  c. Chú ý: N u h (II) có nghi m (x 0 ; y 0 ) thì (y 0 ; x 0 ) cũng là nghi m c a h nên h (II) có nghi m duy nh t thì ñi u ki n c n là x 0 = y0 . 4. H ñ ng c p a. ð nh nghĩa: *Bi u th c f(x;y) g i là ñ ng c p b c k n u f (mx ; my ) = m k f (x ; y )  f (x ; y ) = a  *H :  trong ñó f(x;y) và g(x;y) ñ ng c p g i là h ñ ng g(x ; y ) = b  c p b. Cách gi i: *Xét x=0 thay vào h ki m tra * V i x ≠ 0 ñ t y = tx thay vào h ta có:  f (x ; tx ) = a  k  x f (1; t ) = a a  ⇔ k ⇔ f (1; t ) = g(1; t ) . g(x ; tx ) = b  x g(1; t ) = b  b 5. Phương pháp th : ðây là phương pháp khá h u hi u thư ng hay ñư c s d ng trong gi i h phương trình . N i dung c a phương pháp này t m t phương trình ho c k t h p hai phương trình c a h ta bi u di n n này qua n kia ho c m t bi u th c này qua bi u th c khác và th vào phương trình còn l i chuy n v phương trình m t n (có th là n ph ). M c ñích c a vi c làm này là gi m s n. Tùy thu c vào ñ c ñi m c a bài toán mà ta có nh ng cách bi n ñ i phù h p. Trong phương pháp này ta c n lưu ý m t s d u hi u sau. 1) N u trong h phương trình có m t phương trình b c nh t ñ i v i m t n thì ta rút n ñó qua n kia th vào phương trình còn l i và chuy n v gi i phương trình m t n. 2) V i hai s th c b t kì x ≠ 0; y ta luôn có y = tx (t là s th c c n tìm). V i cách làm này ta s ñư c h v phương trình m t n t. 3) Phương trình f (x ; y ) = f (y; x ) luôn có m t c p nghi m x = y , do ñó ta luôn phân tích phương trình ñã cho v d ng: (x − y )g(x ; y ) = 0 4) Trong h phương trình n u bi u th c u(x) xu t hi n hai Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 11
  12. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 phương trình thì ta có th ñ t t = u(x ) ñ làm ñơn gi n hình th c bài toán. 5) N u m i v c a hai phương trình là nh ng bi u th c ñ ng b c, ta có th ñ t x = ty (y ≠ 0) và t hai phương trình c a h ta rút ra y = f (t )  ñư c:  , gi i phương trình f (t ) = g(t ) ta tìm ñư c t, t ñó suy y = g(t )  ra x và y . B. CÁC VÍ D MINH H A Ví d 1. Gi i các phương trình sau 1) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0 ( D – 2006 ). 2) 3 cos 4x − 8 cos6 x + 2 cos2 x + 3 = 0 (B1 – 2003 ). 3) cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0 (A – 2005 ). ( ) 4) 5 sin x − 2 = 3 1 − sin x tan2 x (B – 2004 ). π π 3 5) cos4 x + sin4 x + cos(x − ) sin(3x − ) − = 0 (D – 2005 ). 4 4 2 L i gi i. 1) Ta th y các hàm s lư ng giác có m t trong phương trình ñ u bi u di n ñư c qua cosx. Do ñó ta chuy n phương trình ñã cho v phương trình ch ch a hàm s cosx. PT ⇔ 4 cos3 x − 3 cos x + (2 cos2 x − 1) − cos x − 1 = 0 ⇔ 2 cos3 x + cos2 x − 2 cos x − 1 = 0 . ð t t = cos x, t ≤ 1 . Ta có:  t = ±1 2t + t − 2t − 1 = 0 ⇔ (t − 1)(2t + 1) = 0 ⇔  3 2 2 . t = − 1   2 * t = ±1 ⇔ cos x = ±1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ 1 1 2π 2π * t = − ⇔ cos x = − = cos ⇔x=± + k2π . 2 2 3 3 Chú ý: Ta có th gi i bài toán trên b ng cách sau Phương trình ⇔ cos 3x − cos x − (1 − cos 2x ) = 0 ⇔ −2 sin 2x . sin x − 2 sin2 x = 0 ⇔ sin2 x (2 cos x + 1) = 0 . Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 12
  13. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 2) Ta chuy n phương trình v phương trình ch ch a cos 2x Phương trình ⇔ 3(2 cos2 2x − 1) − (1 + cos 2x)3 + 1 + cos 2x + 3 ⇔ cos 2x(cos2 2x − 3 cos 2x + 2) = 0 cos 2x = 0  π π ⇔ ⇔ x = + k .  4 2 cos 2x = 1   x = kπ  3) Phương trình ⇔ (1 + cos 6x)cos 2x − 1 − cos 2x = 0 ⇔ cos 6x. cos 2x − 1 = 0 ⇔ cos 8x + cos 4x − 2 = 0 π ⇔ 2 cos2 4x + cos 4x − 3 = 0 ⇔ cos 4x = 1 ⇔ x = k . 2 π 4) ði u ki n : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ . 2 sin2 x Phương trình ⇔ 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) cos2 x sin2 x ⇔ 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) 1 − sin2 x sin2 x ⇔ 5 sin x − 2 = 3 ⇔ (5 sin x − 2)(1 + sin x) = 3 sin2 x 1 + sin x  π 1 π  x = + k2π ⇔ 2 sin2 x + 3 sin x − 2 = 0 ⇔ sin x = = sin ⇔  6 . 2 6 x = 5π + k2π   6 K t h p ñi u ki n, ta có nghi m c a phương trình ñã cho là : π 5π x= + k2π, x = + k2π . 6 6 1 5) Ta có: sin4 x + cos4 x = 1 − sin2 2x 2 π π 1 π  sin(3x − )cos(x − ) = sin(4x − ) + sin 2x  4 4 2 2  = 1 2 ( 1 ) ( − cos 4x + sin 2x = 2 sin2 2x + sin 2x − 1 2 ) Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 13
  14. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Phương trình ⇔ 1 − 1 2 2 1 ( 3 sin 2x + 2 sin2 2x + sin 2x − 1 − = 0 2 2 ) π ⇔ sin2 2x + sin 2x − 2 = 0 ⇔ sin 2x = 1 ⇔ x = + kπ . 4 Ví d 2. Gi i các phương trình sau 1) 3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0 (D – 2009 ) 2) sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x ) (B – 2009 ) (1 − 2 sin x ) cos x 3) = 3 (1) (A – 2009 ). (1 + 2 sin x )(1 − sin x ) cos x − 2 sin x cos x 4) = 3 (ðH NN1 – 1998 ). 2 cos2 x + sin x − 1 L i gi i. 1) Phương trình ñã cho tương ñương: ( 3 cos 5x − s in5x + sin x − sin x = 0 ) 3 1 π  ⇔ cos 5x − s in5x = sin x ⇔ sin  − 5x  = sin x 2 2 3  π π ⇔ − 5x = x + k 2π ho c − 5x = π − x + k 2π . 3 3 π π π π V yx = 18 3 +k 6 ho c x = − 2 k ∈ℤ . +k ( ) 2) Phương trình ñã cho tương ñương v i. (1 − 2 sin2 x )sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2 cos 4x ⇔ cos 2x sin x + cos x cos 2x + 3 cos 3x = 2 cos 4x π ⇔ sin 3x + 3 cos 3x = 2 cos 4x ⇔ cos(3x − ) = cos 4x 6 π π ⇔ 4x = 3x − + k 2π ho c 4x = −3x + + k 2π 6 6 π π 2π V yx =− + k 2π ho c x = +k ( k ∈ Z ). 6 42 7   sin x ≠ − 1 3) . ði u ki n:   2 sin x ≠ 1     Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 14
  15. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 (1) ⇔ (1 − 2 sin x )cos x = 3(1 + 2 sin x )(1 − sin x ) ⇔ cos x − 2 sin x cos x = 3(1 + sin x − 2 sin2 x ) ⇔ cos x − 3 sin x = sin 2x + 3 cos 2x π π ⇔ 2 cos(x + ) = 2 cos(2x − ) . 3 6 Gi i phương trình này ta tìm ñư c hai h nghi m π π 2π x = − k 2π; x = − + k 2 18 3 π 2π ð i chi u v i ñi u ki n ta ch nh n h nghi m: x = − +k . 18 3  π x ≠ + k 2π 4) ðK: 2 sin2 x − sin x − 1 ≠ 0 ⇔  2 . x ≠ − π + k 2π , x ≠ 7π + k 2π   6 6 Phương trình 3 cos 2x + sin 2x = cos x − 3 sin x 1 3 1 3 ⇔ sin 2x + cos 2x = cos x − sin x 2 2 2 2  π π π π 2x − = x + + k 2π ⇔ cos(2x − ) = cos(x + ) ⇔  6 3 6 3 2x − = −x − π + k 2π π   6 3  π x = + k 2π ⇔ 2 . x = − π + k 2π   18 3 π 2π ð i chi u ñi u ki n ta có x = − +k là nghi m c a phương 18 3 trình ñã cho. Ví d 3. Gi i các phương trình sau 1) 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x ( D – 2008 ). 2) 1+ sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0 (B – 2005 ). x π x 3) sin2  −  tan2 x − cos2 = 0 (D – 2003 ). 2 4 2 Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 15
  16. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 1 1 7π 4) + = 4 sin( − x) (A – 2008 ) sin x 3π 4 sin(x − ) 2 5) 3 cot2 x + 2 2 sin2 x = (2 + 3 2) cos x 6) 2 sin 2x − cos 2x = 7 sin x + 2 cos x − 4 L i gi i. 1) Phương trình ⇔ 4 sin x cos2 x + 2 sin x cos x = 1 + 2 cos x ⇔ 2 sin x cos x(2 cos x + 1) = 2 cos x + 1  π  x = + kπ ⇔ (2 cos x + 1)(sin 2x − 1) = 0 ⇔  4 . x = ± 2π + k2π   3 Chú ý: M t s lưu ý khi tìm nhân t chung : * Các bi u th c 1 + sin 2x = (s inx + cos x)2 ; sin x + cos x cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x) ; 1 + tan x = ; cos x sin x + cos x 1 + cot x = nên chúng có th a s chung là sin x sin x + cos x . * Các bi u th c 1 − sin 2x ; cos 2x ; 1 − tan x ; 1 − cot x có th a s chung là cos x − sin x . * sin2 x; tan2 x có th a s (1 − cos x)(1 + cos x) . Tương t cos2 x; cot2 x có th a s (1 − sin x)(1 + sin x) . 2) Phương trình ñã cho tương ñương v i: (1 + sin 2x) + (sin x + cos x) + cos2 x − sin2 x = 0 ⇔ (sin x + cos x)2 + (sin x + cos x) + (cos x − sin x)(cos x + sin x) = 0 sin x + cos x = 0 ⇔ (sin x + cos x)(2 cos x + 1) = 0 ⇔  cos x = − 1   2 Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 16
  17. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2  π  x = − + kπ ⇔ 4 . x = ± 2π + k2π   3 Nh n xét: Ngoài cách bi n ñ i trên, ta có th bi n ñ i cách khác như sau: Phương trình ⇔ 2 cos2 + cos x + sin x + 2 sin x cos x = 0 ⇔ cos x(2 cos+ 1) + sin x(2 cos x + 1) = 0 ⇔ (2 cos x + 1)(sin x + cos x) = 0 . π 3) ði u ki n : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ . 2  π  sin2 x Phương trình ⇔ 1 − cos(x − ) − (1 + cos x) = 0  2  cos2 x sin2 x ⇔ (1 − sin x) − (1 + cos x) = 0 1 − sin2 x sin2 x ⇔ − (1 + cos x) = 0 1 + sin x ⇔ (1 − cos2 x) − (1 + cos x)(1 + sin x) = 0 cos x = 1  x = k2π ⇔ (1 − cos x)(cos x − sin x) = 0 ⇔  ⇔   x = π + kπ các  tan x = 1    4 nghi m này th a ñi u ki n bài toán nên ñó là nh ng nghi m c n tìm. 3π  π  π 4) Ta có: sin(x − ) = sin (x + ) − 2π = sin(x + ) = cos x 2  2  2 7π  π  π sin( 4 − x) = sin 2π − (x + ) = − sin(x + ) = − 4  4 1 ( sin x + cos x )  2 kπ ði u ki n: sin 2x ≠ 0 ⇔ x = . 2 1 1 Phương trình ⇔ + = −2 2(sin x + cos x) sin x cos x Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 17
  18. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 (sin x + cos x)( 2 sin 2x + 1) ⇔ =0 sin 2x sin x + cos x = 0  π   x = − + kπ ⇔ 1 ⇔ 4 các nghi m sin 2x = − π  x = − + kπ; x = − 5π  + kπ  2   8 8 này ñ u th a ñi u ki n c a bài toán nên ñó là nh ng h nghi m c n tìm. 5) ði u ki n: x ≠ kπ 3 cos2 x Phương trình ⇔ + 2 2 sin2 x = (2 + 3 2) cos x . 2 sin x ⇔ 3 cos2 x − 3 2 sin2 x. cos x + 2 2 sin 4 x − 2 sin2 x cos x = 0 ⇔ (cos x − 2 sin2 x)(3 cos x − 2 sin2 x) = 0  2 cos2 x + cos x − 2 = 0 ⇔ 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0   −1 + 3  6− 2 cos x =  x = ± arccos + k2π ⇔ 2 ⇔ 2 các nghi m  1  x = ± π + k2π cos x =   2  3 này th a ñi u ki n bài toán nên ñó là nh ng nghi m c n tìm. 6) Phương trình ñã cho tương ñương v i: 4 sin x cos x − 1 + 2 sin2 x − 7 sin x − 2 cos x + 4 = 0 ⇔ 2 cos x(2 sin x − 1) + (2 sin x − 1)(sin x − 3) = 0 ⇔ (2 sin x − 1)(2 cos x + sin x − 3) = 0   π sin x = 1  x = + k2π ⇔ 2 ⇔  6 .  5π 2 cos x + sin x − 3 = 0 (VN) x = + k2π    6 ( Lưu ý : | a sin x + b cos x |≤ a2 + b2 ⇒ 2 cos x + sin x ≤ 5 < 3 ). Chú ý: Khi g p phương trình d ng: a sin 2x + b cos 2x + c. sin x + d cos x + e = 0 ta có th bi n ñ i phương trình v d ng : (m sin x + n cos x + p)(h.sin x + t.cos x + q ) = 0 . Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 18
  19. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Ví d 4. Gi i các phương trình sau 1) sin 2x. cos 3x = sin 5x. cos 6x 2) sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x (B – 2002 ). 3) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x L i gi i. 1 1 1) Phương trình ⇔ sin 5x − sin x  = sin 11x − sin x    2  2  π x = k ⇔ sin 5x = sin 11x ⇔  6 . x = π π +k   16 8 2) Áp d ng công th c h b c, ta có: 1 − cos 6x 1 + cos 8x 1 − cos10x 1 + cos12x Phương trình ⇔ − = − 2 2 2 2 ⇔ cos 6x + cos 8x = cos10x + cos12x cos x = 0 ⇔ 2 cos 7x cos x = 2 cos11x cos x ⇔  cos11x = cos 7x   π  x = + kπ ⇔ 2 . x = k π ; x = k π   2 9 3) Phương trình ñã cho tương ñương v i (sin x + sin 3x) + sin 2x = (cos x + cos 3x) + cos 2x ⇔ 2 sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos 2x cos x + cos 2x ⇔ (2 cos x + 1)(sin 2x − cos 2x) = 0   2π cos x = − 1 x = ± + k2π ⇔ 2 ⇔ 3 .  x = π + k π sin 2x = cos 2x    8 2 Ví d 5. Gi i các phương trình sau 1) 16 cos x cos 2x cos 4x cos 8x = 1 (KTQD Hà N i – 1998 ) π 2) 2 cos2 ( cos2 x ) = 1 + cos(π sin 2x ) (ðH Thái Nguyên – 1998 ) 2 L i gi i. 1) Ta th y sin x = 0 không là nghi m c a phương trình Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 19
  20. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nên nhân hai v c a phương trình v i sin x ta ñư c: 8 sin 2x cos 2x cos 4x cos 8x = sin x  2π 16x = x + k 2π x = k ⇔ sin16x = sin x ⇔  ⇔ 15   16x = π − x + k 2π x = π 2π +k   17 17 2π K t h p v i ñi u ki n, ta có x = k (k ≠ 15n ) và 15 π 2π x = +k (k ≠ −8 + 17n ) là nghi m c a phương trình ñã cho. 17 17 π 2) Phương trình ⇔ 2 cos2 ( cos2 x ) − 1 = cos(π sin 2x ) 2 ⇔ cos(π cos2 x ) = cos(π sin 2x ) ⇔ cos2 x = ± sin 2x + 2k , ( k ∈ ℤ )  cos 2x − 2 sin 2x = 4k − 1 ⇔ cos 2x + 2 sin 2x = 4k − 1  Phương trình có nghi m ⇔ 12 + 22 ≥ 16k 2 − 8k + 1 1− 5 1+ 5 ⇔ 4k 2 − 2k − 1 ≤ 0 ⇔ ≤k ≤ 4 4 cos 2x − 2 sin 2x = −1 Do k ∈ ℤ ⇒ k = 0 ⇒  cos 2x + 2 sin 2x = −1  2 cos2 x − 4 sin x cos x = 0 cos x = 0 cos x = 0 ⇔  ⇔  sin x = ± 1 ⇔ 2(1 − cos 2x ) = 1 2 cos2 x + 4 sin x cos x = 0      2 cos x = 0  π  x = + nπ ⇔ 2 . cos 2x = 1  x = ± π + nπ  2   6 Ví d 6. Gi i các phương trình – b t phương trình sau 1) x + 4 − 1 − x = 1 − 2x 2) 2x 2 − 6x + 1 − x + 2 < 0 3) x (x − 1) + x (x + 2) = 2 x 2 Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản