Ôn thi Toán

Chia sẻ: Hoangdung Hoangdung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

0
509
lượt xem
135
download

Ôn thi Toán

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ôn thi Toán

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Ôn thi Toán

  1. NGUY N ð C TU N T ÔN LUY N THI MÔN TOÁN Hà n i, 1 - 2005
  2. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán Chương 1: Phương trình và b t phương trình Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH B C NH T VÀ B C HAI I. Cách gi i 1) Phương trình b c nh t: ax + b = 0, a,b ∈ IR. b • N u a ≠ 0 thì phương trình có nghi m duy nh t x = - . a • N u a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vô nghi m. • N u a = b = 0 thì phương trình nghi m ñúng v i m i x ∈ IR. 2) Phương trình b c hai: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. • N u ∆ = b – 4ac < 0 phương trình vô nghi m. 2 b • N u ∆ = 0 phương trình có nghi m kép x1 = x 2 = - . 2a −b± ∆ • N u ∆ > 0 phương trình có hai nghi m phân bi t x 1, 2 = . 2a II. ð nh lí Viét và h qu v d u các nghi m 1) ð nh lí Viét : N u phương trình ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi m x1 , x 2 thì b c S = x1 + x 2 = - và P = x1.x 2 = . a a 2) H qu : Phương trình b c hai ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi m: ∆ ≥ 0 c  Trái d u ⇔ 0    ∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0   c c Cùng dương ⇔  > 0 Cùng âm ⇔  > 0 a a  b  b − a > 0  − a < 0  III. ð nh lí v d u c a tam th c b c hai Cho tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 ta có 1. ð nh lí thu n: • N u ∆ = b2 – 4ac < 0 thì a.f(x) > 0 v i ∀ x. b • N u ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 v i ∀ x ≠ - . 2a • N u ∆ > 0 khi ñó f(x) có hai nghi m phân bi t x1 < x2 và a.f(x) > 0 v i x ngoài [ x1 ; x 2 ] . a.f(x) < 0 v i x1 < x < x 2 . 2. ð nh lí ñ o: N u t n t i s α sao cho a.f( α ) < 0 thì tam th c có hai nghi m phân bi t và s α n m trong kho ng hai nghi m ñó: x1 < α < x 2 . Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 1
  3. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán IV. ng d ng 1. ði u ki n ñ f(x) = ax2 + bx + c không ñ i d u v i m i x a = b = 0 a = b = 0   f(x) > 0 v i ∀ x ⇔ c > 0 f(x) ≥ 0 v i ∀ x ⇔  c ≥ 0 a > 0 a > 0    ∆ < 0   ∆ ≤ 0  a = b = 0 a = b = 0   f(x) < 0 v i ∀ x ⇔ c < 0 f(x) ≤ 0 v i ∀ x ⇔  c ≤ 0 a < 0 a < 0    ∆ < 0   ∆ ≤ 0  2. So sánh nghi m tam th c b c hai v i s th c α • ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và x1 < α < x 2 là: a.f( α ) < 0. • ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và α n m ngoài kho ng hai ∆ > 0 nghi m:  a.f (α) > 0  ∆ > 0  - N u α n m bên ph i hai nghi m: x1 < x 2 < α ⇒ a.f (α ) > 0 S b  =− 0  - N u α n m bên trái hai nghi m: α < x1 < x 2 ⇒ a.f (α ) > 0 S b  =− >a 2 2a • ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và m t nghi m n m trong, m t nghi m n m ngoài ño n [ α; β ] là: f( α ).f( β ) < 0. 3. ði u ki n ñ f(x) có nghi m th a mãn x > α : • Trư ng h p 1: f(x) có nghi m x1 < α < x 2 ⇔ a.f( α ) < 0.  ∆ ≥ 0  • Trư ng h p 2: f(x) có nghi m α < x1 < x 2 ⇔ a.f (α) > 0  S α <  2 f (α ) = 0  • Trư ng h p 3: f(x) có nghi m α = x1 < x 2 ⇔  S α < 2  ( Làm tương t v i trư ng h p x < α và khi x y ra d u b ng) Ngoài ra ta chú ý thêm ñ nh lí sau: Gi s hàm s y = f(x) liên t c. Khi ñó ñi u ki n ñ phương trình f(x) = m có nghi m là minf(x) ≤ m ≤ maxf(x). Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 2
  4. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán B ng tóm t t ñ nh lý thu n v d u c a tam th c b c hai N u ∆0 a.f(x) > 0 v i ∀ x b a.f(x) > 0 v i x ngoài [ x1 ; x 2 ] a.f(x) > 0 v i ∀ x ≠ - 2a a.f(x) < 0 v i x1 < x < x 2 B ng tóm t t so sánh nghi m tam th c b c hai v i s th c α ði u ki n ñ f(x) = ax2 + bx + c có hai nghi m phân bi t và α n m gi a kho ng hai nghi m α n m ngoài kho ng hai nghi m x1 < α < x 2 ∆ > 0  a.f (α ) > 0 x1 < x 2 < α x1 < x 2 < α a.f( α ) < 0   ∆ > 0 ∆ > 0   a.f (α ) > 0 a.f (α ) > 0 S b S b  =− a 2 2a 2 2a Ví d 1. Tìm m ñ phương trình x 2 − 2( m + 4) x + m 2 + 8 = 0 có 2 nghi m dương. Ví d 2. Xác ñ nh a ñ bi u th c (a + 1) x 2 − 2(a − 1) x + 3a − 3 luôn dương Ví d 3. Tìm m ñ b t phương trình x 2 + x − 2 ≥ m nghi m ñúng v i m i x. Ví d 4. Tìm m ñ phương trình x 2 + mx + 2m = 0 có hai nghi m x1 , x 2 th a mãn -1< x1 < x 2 Ví d 5. Tìm m ñ phương trình x − 2mx + 2m 2 − 1 = 0 có nghi m th a mãn 2 − 2 ≤ x1 ≤ x 2 ≤ 4 Ví d 6. Cho phương trình x + ( m + 2) x + 3m − 2 =0 2 Tìm m ñ phương trình có hai nghi m phân bi t nh hơn 2 Ví d 7. Tìm m ñ phương trình x 2 − 2mx + m + 2 = 0 có nghi m l n hơn 1 Ví d 8. Tìm m ñ phương trình x 2 − 6mx + 9m 2 − 2m + 2 = 0 có nghi m x1 ≤ x 2 ≤ 3 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 3
  5. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CH A GIÁ TR TUY T ð I I. Phương trình trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0, a ≠ 0 (1) ð t t = x ≥ 0 phương trình (1) tr thành: at + bt + c = 0 2 2 (2) • PT (1) có nghi m khi và ch khi (2) có ít nh t m t nghi m không âm. • PT (1) có ñúng hai nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có ñúng m t nghi m dương. • PT (1) có ñúng 3 nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có m t nghi m b ng 0 và m t nghi m dương. • PT (1) có ñúng 4 nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có hai nghi m dương phân bi t. Ví d 1. Cho phương trình: x4 + (1-2m)x2 + m2 – 1 = 0. a)Tìm các giá tr c a m ñ phương trình vô nghi m. b)Tìm các giá tr c a m ñ phương trrình có 4 nghi m phân bi t. Ví d 2. Tìm m sao cho ñ th hàm s y = x4 -2(m+4)x2 + m2 + 8 c t tr c hoành l n lư t t i 4 ñi m phân bi t A, B, C, D v i AB = BC = CD. II. Phương trình ch a giá tr tuy t ñ i 1) Các d ng cơ b n: b ≥ 0 |a|=b ⇔ | a | = | b | ⇔ a = ±b a = ± b b < 0 b ≥ 0  |a| ≤ b ⇔ 2 | a | ≥ b ⇔  b ≥ 0 a ≤ b 2 a 2 ≥ b 2  | a | ≥ | b | ⇔ a 2 ≥ b2 Ví d 1. Gi i phương trình | x2 – 3x + 2 | - 2x = 1. Ví d 2. Gi i b t phương trình x2 - | 4x – 5 | < 0. Ví d 3. Gi i và bi n lu n phương trình | 2x – m | = x. Ví d 4. Gi i phương trình 4|sinx| + 2cos2x = 3. Ví d 5. Gi i và bi n lu n b t phương trình | 3x2 -3x – m | ≤ | x2 – 4x + m |. 2)Phương pháp ñ th : a) Cách v ñ th hàm s y = | f(x) | khi ñã bi t ñ th hàm s y = f(x). - Chia ñ th hàm s f(x) ra 2 ph n: ph n ñ th n m phía trên tr c hoành (1) và ph n ñ th n m phía dư i tr c hoành (2). - V ph n ñ th ñ i x ng v i ph n ñ th (2) qua tr c hoành ñư c ph n ñ th (3). - ð th hàm s y = | f(x) | là ñ th g m ph n ñ th (1) và ph n ñ th (3) v a v . b) ð nh lí: S nghi m c a phương trình g(x) = h(m) là s giao ñi m c a ñư ng th ng n m ngang y = h(m) v i ñ th hàm s y = g(x). Khi g p phương trình có tham s ta tách riêng chúng v m t v c a phương trình r i v ñ th hàm s y = g(x) và ñư ng th ng y = h(m) r i áp d ng ñ nh lí trên ñ bi n lu n. Ví d 6. Tìm m ñ phương trình | x2 – 1 | = m4 – m2 +1 có 4 nghi m phân bi t. Ví d 7. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 4
  6. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T I.Các d ng cơ b n D ng 1: 2 n +1 f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔ f(x) = [ ϕ( x ) ]2n+1 ϕ( x ) ≥ 0 D ng 2: 2n f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔  f ( x ) = [ϕ( x )] 2n D ng 3: f ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≥ 0   f ( x ) < ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) > 0 , f ( x ) ≤ ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) ≥ 0 f ( x ) < [ϕ( x )]2 f ( x ) ≤ [ϕ( x )]2   D ng 4: f ( x ) ≥ 0 f ( x ) < 0   ϕ( x ) < 0 ϕ( x ) ≥ 0 f ( x ) > ϕ( x ) ⇔  ϕ( x ) ≥ 0 , f ( x ) ≥ ϕ( x ) ⇔  ϕ( x ) ≥ 0   f ( x ) > [ϕ( x )]2  f ( x ) ≥ [ϕ( x )]2  Ví d 1. Gi i phương trình x 2 − 2x + 3 = 2x + 1 Ví d 2. Gi i b t phương trình x 2 − x − 12 < x Ví d 3. Gi i b t phương trình 2 x 2 + 5x − 6 > 2 − x Ví d 4. Tìm m ñ phương trình có nghi m x − m = 2 x 2 + mx − 3 II. Các phương pháp gi i phương trình, b t phương trình vô t không cơ b n 1) Phương pháp lũy th a hai v : - ð t ñi u ki n trư c khi bi n ñ i - Ch ñư c bình phương hai v c a m t phương trình ñ ñư c phương trình tương ñương (hay bình phương hai v c a m t b t phương trình và gi nguyên chi u) n u hai v c a chúng không âm. - Chú ý các phép bi n ñ i căn th c A2 = A . Ví d 5. Gi i phương trình x +1 = 3 − x + 4 Ví d 6. Gi i b t phương trình x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x Ví d 7. Gi i b t phương trình 3 x − 5x + 5 > 1 Ví d 8. Gi i b t phương trình x + 2 − x +1 ≤ x Ví d 9.Gi i phương trình 2 x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2 Ví d 10.Gi i b t phương trình x 2 − 4x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1 2)Phương pháp ñ t n ph : - Nh ng bài toán có tham s khi ñ t n ph ph i tìm t p xác ñ nh c a n m i. - Chú ý các h ng ñ ng th c (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 , a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) , … Ví d 11.Gi i b t phương trình 5x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − x 2 − 2 x Ví d 12.i i phương trình x + 8 + 2 x + 7 + x +1− x + 7 = 4 Ví d 13.Gi i phương trình x + 2 + x − 2 = 4 x − 15 + 4 x 2 − 4 4 3x 2 + 2 x − 2 Ví d 14.Gi i phương trình 9x 2 + = x2 x 5 1 Ví d 15.Gi i b t phương trình 5 x+ < 2x + +4 2 x 2x Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 5
  7. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán Bài 4: H PHƯƠNG TRÌNH ð I X NG I. H phương trình ñ i x ng lo i 1 1)Khái ni m: Là h mà m i phương trình không ñ i khi ta thay x b i y và thay y b i x. 2)Tính ch t: N u (xo, yo) là m t nghi m c a h thì (yo, xo) cũng là nghi m c a h . 3)Cách gi i: x + y = S Bi n ñ i h phương trình v d ng: H ñã cho ⇔  (1) x.y = P Khi ñó x, y là nghi m c a phương trình: t 2 − St + P = 0 (2) N u ∆ = S – 4P > 0 thì phương trình (2) có hai nghi m t1 ≠ t2 nên h phương trình (1) có hai 2 nghi m phân bi t (t1, t2), (t2, t1). N u ∆ = 0 thì phương trình (2) có nghi m kép t1 = t2 nên h (1) có nghi m duy nh t (t1, t2). ði u ki n ñ h (1) có ít nh t m t c p nghi m (x, y) th a mãn x ≥ 0, y ≥ 0 ∆ = S 2 − 4 P ≥ 0  S ≥ 0 P ≥ 0  x + y = 2 x y + y x = 30  x − y − xy = 3 Ví d 1.Gi i h phương trình  3   2 x + y = 26 x x + y y = 35 x + y + xy = 1 3 2   x + 1 + y −1 = m  xy( x + 2)( y + 2) = 5m − 6 Ví d 2.Tìm m ñ h sau có nghi m   2 x + y = m 2 − 4m + 6  x + y + 2( x + y ) = 2 m 2  II. H phương trình ñ i x ng lo i 2 1)Khái ni m: Là h phương trình mà trong h phương trình ta ñ i vai trò x, y cho nhau thì phương trình n tr thành phương trình kia. 2)Tính ch t: N u (xo, yo) là m t nghi m c a h thì (yo, xo) cũng là nghi m c a h . 3)Cách gi i: Tr v v i v hai phương trình c a h ta ñư c phương trình có d ng: (x – y).f(x,y) = 0 ⇔ x – y = 0 ho c f(x,y) = 0.  2 1 2x = y + x 3 + xy 2 = 40 y  x 2 y − 4 = y 2    y Ví d 3.Gi i các h phương trình  3  2   y + x y = 40 x  2 xy − 4 = x  2 2 y 2 = x + 1   x 2 x + y − 1 = m  x = y − y + m  2 Ví d 4.Tìm m ñ h sau có nghi m:   2 y + x − 1 = m  y = x 2 − x + m  Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 6
  8. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán Bài 5: M T S H PHƯƠNG TRÌNH D NG KHÁC I. H vô t  x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2  Ví d 1. Gi i h phương trình   x+ y =4  x + y + xy = a  Ví d 2. Gi i và bi n lu n  x − y = a   x+ y + x− y =2  Ví d 3. Gi i h phương trình   y + x − y − x =1   x − 2−y = 2  Ví d 4. Gi i h phương trình   2−x + y = 2   x +1 + y = m  Ví d 5. Tìm m ñ h có nghi m   y +1 + x = 1  II. H h u t  3 2y  x 2 + y2 −1 + x = 1  Ví d 6. Gi i h phương trình  x 2 + y 2 + 4 x = 22   y x 3 − y 3 = 7 Ví d 7. Gi i h phương trình  xy( x − y) = 2 x + 4 y = y + 16 x  3 3 Ví d 8. Gi i h phương trình  1 + y 2 = 5(1 + x 2 )  x − y = a (1 + xy) Ví d 9. Tìm a ñ h có nghi m  xy + x + y + 2 = 0  2 y ( x 2 − y 2 ) = 3x  Ví d 10. Gi i h phương trình  x ( x 2 + y 2 ) = 10 y  x + y = m Ví d 11.Tìm m ñ h có hai nghi m phân bi t:  2 x − y + 2x = 2 2 x − xy − y = −11  2 2 Ví d 12. Gi i h phương trình  2 ( x − y 2 ) xy = 180  x 3 − y 3 = 19( x − y)  Ví d 13. Gi i h phương trình  3 x + y 3 = 7( x + y)  ========================================================== Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 7
  9. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán Chương 2: Phương trình lư ng giác, mũ, logarit Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC I. Phương trình lư ng giác cơ b n Khi gi i các phương trình lư ng giác cu i cùng d n ñ n phép gi i các phương trình lư ng giác cơ b n. Ta c n ghi nh b ng sau ñây: Phương trình ði u ki n có nghi m ðưa v d ng Nghi m sinx = m −1 ≤ m ≤ 1 sinx = sin α x = α + k 2π  x = π − α + k 2π  cosx = m −1 ≤ m ≤ 1 cosx = cos α ± α + k2 π tgx = m m im tgx = tg α α + kπ cotgx = m m im cotgx = cotg α α + kπ b ng trên k nh n m i giá tr nguyên ( k ∈ Z ) . ðơn v góc thư ng dùng là radian. ð thu n l i cho vi c ch n α ta c n nh giá tr c a hàm lư ng giác t i các góc ñ c bi t. ðư ng tròn lư ng giác s giúp ta nh m t cách rõ ràng hơn. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 8
  10. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán Ví d 1. Gi i phương trình: 2 π a) sin3x = ; b) sin(2x - ) = 1; c) sin( xπ ) = 0. 2 5 Ví d 2. Gi i phương trình: π π π π a) cos2x = cos ; b) cos(3x - ) = cos(x + ); c) cosx = sin(2x + ). 5 3 2 4 π 8π Ví d 3. Gi i phương trình: cos 2 ( cos x − ) = 0 . 3 3 Ví d 4. Gi i phương trình: cos(π sin x ) = cos(3π sin x ) Ví d 5. Gi i phương trình: cos 2 x − sin 2 ( 2 x ) = 1 II. Phương trình b c nh t ñ i v i sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) , a 2 + b 2 ≠ 0 Chia hai v c a phương trình (1) cho a 2 + b 2 , ta ñư c: a b c (1) ⇔ sin x + cos x = (2) a +b 2 2 a +b 2 2 a + b2 2 a b ð t = sin ϕ ; = cos ϕ . a +b 2 2 a + b2 2 c Khi ñó phương trình lư ng giác có d ng: cos(x - ϕ ) = (3) a + b2 2 c Phương trình có nghi m khi và ch khi: ≤ 1 ⇔ a 2 +b2 ≥ c2 a +b 2 2 Khi ñó t n t i α ∈ [0; π] sao cho cos α = c nên ta có: a + b2 2 (1) ⇔ cos( x − ϕ) = cos α ⇔ x = ϕ ± α + k 2π ; k ∈ Z Ví d 6. Gi i phương trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx. Ví d 7. Cho phương trình: sinx + mcosx = 1 a) Gi i phương trình v i m = - 3 . b) Tìm m ñ phương trình vô nghi m. Ví d 8. Gi i phương trình: cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 3 sin 2 x = 1 Ví d 9. Tìm α ñ phương trình sau có nghi m x ∈ IR: 3 cos x + sin( x + α) = 2 Ví d 10. Gi i phương trình: sin 8x − cos 6 x = 3 (sin 6 x + cos 8x ).  π Ví d 11. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m x ∈ 0;  :  2 cos2x – msin2x = 2m – 1 Ví d 12. Gi i phương trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x). 1 Ví d 13. Gi i phương trình: cos 2 4 x − cos x. cos 4 x − sin 2 x + = 0 4 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 9
  11. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán III. Phương trình ñ ng c p, phương trình ñ i x ng ñ i v i sinx và cosx 1) Phương trình ñ ng c p b c cao ñ i v i sinx và cosx: Khái ni m: M t phương trình sau khi bi n ñ i v cosx, sinx mà t t c các s h ng có t ng s mũ c a cosx và c a sinx ho c ñ u là s t nhiên ch n ho c ñ u là s t nhiên l thì phương trình ñó ñư c g i là “ ñ ng c p” ñ i v i cosx và sinx. G i k là s l n nh t trong các t ng s mũ nói trên ñư c g i là b c c a phương trình. Cách gi i: - Xét trư ng h p cosx = 0 th vào phương trình - Khi cos x ≠ 0 chia hai v phương trình cho coskx sau ñó ñ t n ph t = tgx. Ví d 14. Gi i phương trình: 2sin3x = cosx π Ví d 15. Gi i phương trình: sin 3 ( x + ) = 2 sin x 4 Ví d 16. Tìm m ñ phương trình có nghi m: msin2x + cos2x + sin2x +m = 0.  π π Ví d 17: Tìm m ñ phương trình sau có ñúng hai nghi m x n m trong kho ng − ; :  2 2 3sin4x – 2(m+2)sin2x.cos2x + (1 – m2 )cos4x = 0. 2) Phương trình ñ i x ng sinx và cosx: Khái ni m: M t phương trình sau khi bi n ñ i v cosx, sinx mà các s h ng có ch a t ng (cosx ± sinx ) ho c ch a tích cosx.sinx ñư c g i là phương trình ñ i x ng ñ i v i cosx và sinx. Ví d phương trình: a (cos x ± sin x ) + b cos x. sin x + c = 0 . t 2 −1 Cách gi i: ð t t = sinx + cosx, ta có t ≤ 2 . Khi ñó: sinx.cosx = 2 1− t2 N u ñ t t = sinx - cosx, ta có t ≤ 2 . Khi ñó: sinx.cosx = 2 Ví d 18. Cho phương trình: sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m). a) Gi i h phương trình v i m = - 1. b) Tìm m ñ phương trình có nghi m. 3 Ví d 19. Gi i phương trình: 1 + sin 3 x + cos3 x = sin 2 x 2 3 Ví d 20. Gi i phương trình: 1 + sin 3 2 x + cos 3 2x = sin 4x 2  π 3π  Ví d 21. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m x∈ , : 4 4  cos x + sin x = m. 3 3 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 10
  12. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán IV. Phương trình ñưa v d ng tích Các phương trình lư ng giác không có d ng như nh ng phương trình ñã trình bày các m c trư c, ngư i ta thư ng nghĩ t i phân tích chúng thành nh ng phương trình cơ b n. Vi c phân tích thành tích th c ch t là ñi tìm th a s chung c a các s h ng có trong phương trình. ð làm ñư c ñi u ñó, chúng ta c n ph i thành th o các công th c lư ng giác, các h ng ñ ng th c ñ i s ñáng nh và cũng c n ph i có kinh nghi m nhìn nh n m i quan h gi a các s h ng có trong phương trình. 1 1 • Th các nghi m ñ c bi t như sin x = ±1 , sin x = ± , cos x = ±1 , cos x = ± 2 2 và phương trình có ch a th a s (cosx ± sinx). S d ng ñ ng th c sin x + cos x 2 2 = 1. • Dùng các công th c bi n ñ i như h b c, bi n ñ i t ng thành tích , bi n ñ i tích thành t ng, hàm s lư ng giác c a hai góc có liên quan ñ c bi t. Chú thêm m t s bi n ñ i sau ñây: 2 1 cot gx + tgx = , cot gx − tgx = 2 cot g 2 x , cot gx − cot g 2x = sin 2 x sin 2 x • ð t các nhân t chung (nhân t chung suy ra t nghi m ñã th ñư c). Tham kh o thêm b ng h các bi u th c có nhân t chung. f(x) Bi u th c ch a th a s f(x) sinx sin2x, tgx, tg2x, ... cosx sin2x, tg2x, cotgx, ... 1+cosx x x cos 2 , cot g 2 , sin2x, tg2x 2 2 1-cosx x x sin 2 , tg 2 , sin2x, tg2x 2 2 1+sinx π x π x cos2x, cotg2x, cos 2 ( − ) , sin 2 ( + ) 4 2 4 2 1-sinx π x π x cos2x, cotg2x, cos 2 ( + ) , sin 2 ( − ) 4 2 4 2 sinx+cosx cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx sinx-cosx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx Ví d 1.Gi i phương trình: cos3x – 2cos2x + cosx = 0 . 3 Ví d 2.Gi i phương trình: sin2x + sin22x + sin23x = 2 1 Ví d 3.Gi i phương trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x = ( cos2x + cos4x). 2 Ví d 4.Gi i phương trình: 2sin3x + cos2x + cosx = 0 Ví d 5.Gi i phương trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx) 1 + tgx Ví d 6.Gi i phương trình: = 1 + sin 2 x 1 − tgx π x Ví d 7.Gi i phương trình sin x. cos 4 x − sin 2 2 x = 4 sin 2  −  . 4 2 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 11
  13. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, H PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT I. Các k t qu cơ b n 1) Hàm s mũ: y = ax, 0 < a ≠ 1. • T p xác ñ nh: IR. • T p giá tr : IR+. (ñ th luôn n m phía trên tr c hoành) • Khi a > 1 hàm s ñ ng bi n. Khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n. • D ng ñ th : 2) Hàm s logarit: y = logax , 0 < a ≠ 1. a) Các tính ch t: • T p xác ñ nh: IR* (x > 0 ). • T p giá tr : IR • Khi a > 1 hàm s ñ ng bi n. Khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n. • D ng ñ th : Chú ý: Trong các b t phương trình mũ, logarit, cơ s a l n hơn hay bé hơn 1 quy t ñ nh chi u c a b t phương trình. Vì v y ph i chú ý ñ n chi u c a b t phương trình trong quá trình bi n ñ i. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 12
  14. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán b)Các công th c chú ý: b > 0 • log a b có nghĩa ⇔  0 < a ≠ 1 log c b • log a b = ( Công th c ñ i cơ s v i b > 0 , 0 < a ≠ 1 , 0 < c ≠ 1 ). log c a m • log a n b m = log a b ( V i b > 0 và 0 < a ≠ 1 ) n • log a b 2 k = 2k. log a | b | v i k∈Z. II. Các phương trình, b t phương trình có d ng cơ b n 1) Phương trình mũ: Cho 0 < a ≠ 1. b > 0 D ng 1: a f ( x ) = b ⇔  f ( x ) = log a b a > 1  f ( x ) < log a b D ng 2: a f ( x ) < b (v i b > 0) ⇔  0 < a < 1  f ( x ) > log a b  D ng 3: a f ( x ) > b - N u b ≤ 0 b t phương trình nghi m ñúng v i m i x thu c t p xác ñ nh c a b t phương trình. a > 1  f ( x ) > log a b - N u b > 0, khi ñó b t phương trình tương ñương v i:  0 < a < 1  f ( x ) < log a b  a > 1  f ( x ) < g ( x ) D ng 4: a f ( x ) < a g ( x ) ⇔ 0 < a < 1  f ( x ) > g ( x )  Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 13
  15. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán 2)Phương trình logarit D ng 1: log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b . a > 1  0 < f ( x ) < a b D ng 2: log a f ( x ) < b ⇔  0 < a a b   a > 1   f ( x ) > a b D ng 3: log a f ( x ) > b ⇔  0 < a 1  0 < f ( x ) < g ( x ) D ng 4: log a f ( x ) < log a g ( x ) ⇔  0 < a < 1  0 < g ( x ) < f ( x )  x 2 −4 x +3 1 Ví d 1. Cho phương trình:   = m4 − m2 + 1 5 a)Gi i phương trình khi m = 1. b)Tìm m ñ phương trình có 4 nghi m phân bi t. Ví d 2. Gi i b t phương trình: log x (5x 2 − 8x + 3) > 2 Ví d 3. Tìm m ñ phương trình sau có hai nghi m phân bi t: log 2 (9 x + 9m 3 ) = x Ví d 4. Gi i phương trình: log x (cos x − sin x ) + log 1 (cos x + cos 2 x ) = 0 x Ví d 5. Gi i b t phương trình: [ ] log x log 3 (9 x − 72) ≤ 1 Ví d 6. Gi i b t phương trình: log 1 ( 5 − x ) < log 1 (3 − x ) 3 3 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 14
  16. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán III. Các phương trình, b t phương trình không cơ b n • Ph i ñ t ñi u ki n. • Nh ng bài toán có tham s , ñ t n ph ph i tìm t p xác ñ nh c a n m i. • Nh ng bài toán phương trình, b t phương trình mũ, logarit mà n x v a s mũ c a lũy th a, v a h s , thư ng chuy n v vi c phân tích thành th a s , nh m nghi m và ch ng minh nghi m duy nh t ñ i v i phương trình; xét d u c a tích ñ i v i b t phương trình. • Khi bài toán ph c t p, có nh ng ph n t gi ng nhau hay nhân t gi ng nhau ta có th ñ t n ph ñ ñưa bài toán tr lên ñơn gi n hơn. 1 1 Ví d 7. Gi i phương trình: 3.4 x + 9 x + 2 = 6.4 x +1 − 9 x +1 3 4 Ví d 8. Gi i phương trình: 8.3x + 3.2 x = 24 + 6 x log a (35 − x 3 ) Ví d 9. Gi i b t phương trình: > 3 (v i 0 < a ≠ 1 ). log a (5 − x )  x −1 Ví d 10. Gi i phương trình: log 27 ( x 2 − 5x + 6) 3 = log 3   + log 9 ( x − 3) 2  2  Ví d 11. Gi i phương trình: lg(lg x ) + lg(lg x 3 − 2) = 0 Ví d 12. Gi i phương trình: x 2 . log 6 5x 2 − 2 x − 3 − x. log 1 (5x 2 − 2 x − 3) = x 2 + 2 x 6 1 Ví d 13. Gi i b t phương trình: log 3 x 2 − 5x + 6 + log 1 x − 2 > log 1 ( x + 3) 3 2 3 Ví d 14. Gi i phương trình: log 1 ( x − 1) + log 1 ( x + 1) − log 1 (7 − x ) = 1 2 2 2 Ví d 15. Gi i phương trình: lg 4 ( x − 1) 2 + lg 2 ( x − 1)3 = 25 Ví d 16. Gi i phương trình: log 3x + 7 (9 + 12 x + 4 x 2 ) + log 2 x + 3 (6 x 2 + 23x + 21) = 4 Ví d 17. Tìm m ñ phương trình sau ñây có hai nghi m trái d u: (m + 3)16 x + (2m − 4)4 x + m + 1 = 0 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 15
  17. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán Chương 3: Kh o sát hàm s và các bài toán liên quan Bài 1: KH O SÁT HÀM S Sơ ñ kh o sát hàm s 1) Tìm t p xác ñ nh c a hàm s (Xét tính ch n l , tính tu n hoàn (n u có)). 2) Kh o sát s bi n thiên hàm s a) Xét chi u bi n thiên c a hàm s • Tính ñ o hàm • Tìm các ñi m t i h n (ði m t i h n thu c TXð và t i ñó f ′( x ) không xác ñ nh ho c b ng 0) • Xét d u c a ñ o hàm trong các kho ng xác ñ nh b i các ñi m t i h n. (Gi a hai ñi m t i h n k nhau thì f ′( x ) gi nguyên m t d u) • Suy ra chi u bi n thiên hàm s trong m i kho ng (ð ng bi n n u f ′( x ) >0, ngh ch bi n n u f ′( x )
  18. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ð N KH O SÁT HÀM S I. Tìm giao ñi m c a hai ñư ng Gi s hàm s y = f ( x ) có ñ th là (C) và hàm s y = g ( x ) có ñ th là (C1 ) . Rõ ràng M o ( x o ; y o ) là giao ñi m c a (C) và (C1 ) khi và ch khi ( x o ; y o ) là nghi m c a h phương trình y = f (x )  y = g(x Do ñó ñ tìm hoành ñ các giao ñi m c a (C) và (C1 ) ta gi i phương trình: f ( x ) = g( x ) (1) S nghi m c a phương trình chính là s giao ñi m c a hai ñ th (C) và (C1 ) . N u x o , x1 ,... là các nghi m c a (1) thì các ñi m M o ( x o ; f ( x o )), M1 ( x1 ; f ( x1 ))... là các giao ñi m c a (C) và (C1 ) . Bài toán: Tìm m ñ ñ th hàm s c t ñư ng th ng t i m t s ñi m th a mãn yêu c u bài toán. Ví d 1. Bi n lu n theo m s giao ñi m c a ñ th các hàm s x 2 − 6x + 3 y= và y = x−m x+2 Ví d 2. Bi n lu n s nghi m c a phương trình x 3 + 3x 2 − 2 = m x 2 + x −1 Ví d 3. V i giá tr nào c a k thì ñư ng th ng y = kx − k + 2 c t ñ th hàm s y = x −1 t i hai ñi m phân bi t. x 2 + 4x + 3 Ví d 4. Tìm k ñ ñư ng th ng y = kx + 1 c t ñ th y = t i hai ñi m phân bi t x+2 x2 + x −1 Ví d 5. Tìm m ñ ñư ng th ng y = − x + m c t ñ th y = t i hai ñi m phân bi t x −1 mx 2 + x + m Ví d 6. Tìm m ñ ñ th hàm s y = c t tr c hoành t i 2 ñi m phân bi t có hoành x −1 ñ dương. − x 2 + 3x − 3 Ví d 7. Tìm m ñ ñư ng th ng y = m c t ñ th hàm s y = t i hai ñi m A và B 2( x − 1) sao cho ñ dài ño n AB = 1. Ví d 8. Tìm m ñ ñ th y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 c t ñư ng th ng y = 1 t i 3 ñi m phân bi t. 1 2 Ví d 9 . Tìm m ñ ñ th y = x 3 − mx 2 − x + m + c t tr c hoành t i 3 ñi m phân bi t. 3 3 1 Ví d 10. Tìm a ñ ñư ng th ng y = a ( x + 1) + 1 c t ñ th hàm s y = x + 1 + t i hai ñi m x+2 có hoành ñ trái d u. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 17
  19. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán II. Vi t phương trình ti p tuy n Cho hàm s y = f(x) có ñ th (C) a) Phương trình ti p tuy n c a ñư ng cong (C) t i ñi m M o ( x o ; f ( x o )) y − y o = f ′( x o )( x − x o ) b) Phương trình ñư ng th ng ñi qua ñi m M1 ( x1 ; y1 ) và ti p xúc v i (C) ðư ng th ng d ñi qua M1 ( x1 ; y1 ) có d ng y − y1 = k ( x − x1 ) ⇔ y = k ( x − x1 ) + y1 ð cho ñư ng th ng d ti p xúc v i (C), h phương trình sau ph i có nghi m:  y = k ( x − x1 ) + y1  f ′( x ) = k H phương trình này cho phép xác ñ nh hoành ñ x o c a ti p ñi m và h s góc k = f ′( x ) Chú ý: Hai ñ th hàm s y = f ( x ) và y = g ( x ) ti p xúc v i nhau n u và ch n u h phương trình sau ñây có nghi m: f ( x ) = g ( x )  f ′( x ) = g′( x ) c) Phương trình ñư ng th ng có h s góc k và ti p xúc (C). Phương trình ñư ng th ng có h s góc k có d ng y = kx + b ti p xúc v i ñ th (C), ta gi i phương trình f ′( x ) = k tìm ñư c hoành ñ các ti p ñi m x o , x1 , x 2 ,... T ñó suy ra phương trình các ti p tuy n ph i tìm: y − y i = k ( x − x i ) ( i = 0, 1, ...) Bài toán : Vi t phương trình ti p tuy n c a hàm s khi bi t phương c a ti p tuy n ho c ñi qua m t ñi m cho trư c nào ñó. Ví d 1. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) c a hàm s y = (2 − x 2 ) 2 bi t ti p tuy n ñó ñi qua ñi m A(0 ; 4) 1 Ví d 2. Vi t phương trình các ñư ng th ng vuông góc v i ñư ng th ng y = x + 3 và ti p xúc 4 v i ñ th hàm s y = f ( x ) = − x 3 + 3x 2 − 4 x + 2 Ví d 3. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) c a hàm s y = − x 3 + 3x + 1 bi t ti p tuy n ñó song song v i ñư ng th ng y = −9 x + 1 Ví d 4. T g c t a ñ có th k ñư c bao nhiêu ti p tuy n c a ñ th hàm s y = x 3 + 3x 2 + 1 Vi t phương trình các ti p tuy n ñó. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 18
  20. T ôn luy n thi ñ i h c môn toán 1 3 Ví d 5. Cho hàm s y = − x 4 − 3x 2 + có ñ th là (C) 2 2 a) Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) t i các ñi m u n. 3 b) Tìm ti p tuy n c a (C) ñi qua ñi m A (0; ) 2 Ví d 6. Cho hàm s 3x + 2 y= có ñ th là (C). x+2 Ch ng minh r ng, không có ti p tuy n nào c a ñ th (C) ñi qua giao ñi m c a hai ti m c n c a ñ th ñó. Ví d 7. Cho hàm s 1 y=x− có ñ th là (C) x +1 Ch ng minh r ng trên (C) t n t i nh ng c p ñi m mà ti p tuy n t i ñó song song v i nhau. Ví d 8. Cho hàm s x 2 + mx − 2m − 4 y= có ñ th (C) x+2 Gi s ti p tuy n t i M ∈ (C) c t hai ti m c n t i P và Q. Ch ng minh r ng MP=MQ x 2 − 4x + 5 Ví d 9. Vi t phương trình ti p tuy n v i ñ th hàm s y = bi t r ng ti p tuy n ñi x−2 qua ñi m A(1;1). x 2 − x −1 Ví d 10. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th y = bi t ti p tuy n song song v i x +1 ñư ng th ng y = − x . x 2 − x −1 Ví d 11. Cho hàm s y = có ñ th là (C) x +1 Tìm t t c các ñi m trên tr c tung mà t ñó có th k ñư c 2 ti p tuy n v i ñ th (C) x 2 + 3x + a Ví d 12. Tìm a ñ ñ th y = có ti p tuy n vông góc v i ñư ng th ng y = x. x +1 Ví d 13. Tìm m ñ ñ th y = 2mx 3 − ( 4m 2 + 1) x 2 + 4m 2 ti p xúc v i tr c hoành. mx 2 + 3mx + 2m + 1 Ví d 14. Tìm m ñ ñ th y = ti p xúc v i ñư ng th ng y = m. x+2 Ví d 15. Tìm a ñ ti m c n xiên c a ñ th 2 x 2 + (a + 1) x − 3 y= x+a ti p xúc v i parabôn y = x 2 + 5 . Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 19
Đồng bộ tài khoản