Phần 3: Các trường hợp ước lượng khoảng

Chia sẻ: phandinhtuong2010

Mô tả phương pháp sử tổng thể có tham số chưa biết. Ta tìm khoảng chứa sao cho cho trước. Là độ tin cậy của ước lượng 1-a Là độ dài của khoảng tin cậy 2 1 G -G Ưu điểm: làm tăng độ chính xác của ước lượng, đánh giá được mức độ tin cậy của ước Hạn chế: chứa đựng khả năng mắc sai lầm bằng

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Phần 3: Các trường hợp ước lượng khoảng

 

  1. 3.1 Mô tả phương pháp sử tổng thể có tham số Giả θ chưa biết. Ta tìm kho(ảng2 ) G1 , G saoPcho< θ < G2 ) = 1 − α chứa θ ( G1 cho trước. 1 − α Là độ tin cậy của ước lượ− G Là độ dài của khoảng tin G ng 2 1 ậy Ưu điểm:clàm tăng độ chính xác của ước lượng, đánh giá được mức độ tin cậy của ước lượn chế: chứa đựng khả năng mắc sai lầm α Hạ ng bằng
  2. 3.2 Ước lượng khoảng cho giá trị trung bình ả sử trung bình của tổng thể( X ) = µ chưa Gi E biết. ( m1 , m2 ) µ P m1 ả µ −ứ Ta tìm (kho< ng< m ) = 1chα a 2 sao cho: 1−α TrườVớihợp là đết tinX )ậy cho trước ng Bi ộ D ( c = δ 2 và n ≥ 30 1: ( hoặc n<30 nhưng X có phân phối chuẩn ) +) Lập thống kê: U = ( X − µ ) n ta cóU ∈ N 0,1 σ ( )
  3. +) Chọn α1 , α 2 : α1 + α 2 = α và tìm uα , uα 1 2` P ( Uthoả: α , P ( U > u ) = α ⇒ P ( −u < U < u ) = 1 − α <u ) = α1 1 1−α 2 2 1−α1 1−α 2 σ σ Thay U vào ta có: X− u1−α 2 < µ < X + u1−α1 n n Trong thực tế ta thường chỉ sử dụng một số trường hợp đặc biệt sau: α α . Khoảng tin cậy đối xứng: α1 = α 2 = , γ = 1 − 2 2 chọnTa có: X − σ u < µ < X + σ u hay X − ε , X + ε γ n γ ( n ) X Là trung bình mẫu cụ thể ε độ chính xác của ước lượng
  4. . Khoảng tin cậy bên phải (ước lượng giá tối thiểuα = α , α = 0, u = u = +∞ ⇒  x − σ u ; +∞  ) 2 1 1−α 1  1−α   n  Là khoảng tin cậy bên phải µ của . Khoảng tin cậy bên trái (ước lượng giá tối đa)  σ  α1 = α , α 2 = 0, u1−α = −u1 = −∞ ⇒  −∞; x + u1−α   n  Là khoảng tin cậy bên trái của µ . Xác định cỡ ẫu mNếu yêu cầu một chất lượng α với cho 1− ε 2 σ 2 trước thì ta chọn cỡ mẫu phù hợp: n = uγ 2 ε
  5. Ví dụ: Khối lượng sản phẩm là ĐLNN có phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩσ = 1 . Cân thử n 25 sản phẩm ta thu được kết quả sau: X (khối lượng) 18 19 20 21 N i (số lượng) 3 5 15 2 - Hãy ước lượng trung bình khối lượng của sản phẩm với độ tin cậy 95% - Nếu yêu cầu độ chính xác là 0,1 giữ nguyên độ tin cậy 95% thì cỡ mẫu là bao nhiêu mới phù hợp?
  6. 1 k 491 xi ni xi ni x = ∑ ni xi = = 19, 64kg n i =1 25 18 3 54 1 − α = 0,95 ⇔ α = 0, 05 19 5 95 α ⇒ γ = 1 − = 0,975 20 15 300 2 21 2 42 uγ = u0,975 = 1,96 ∑ 25 491 ε= σ uγ = 1 .1,96 ≈ 0,39 n 25 x1 = x − ε = 19, 25 x2 = x + ε = 20, 03 Vậy khoảng tin cậy là (19,25;20,03) Để độ chính xác 0,1 và giữ nguyên độ tin cậy 95% thì cỡ mẫu n = u là σ2 2 1 γ = 1,96 ≈ 384 ε 2 0,12
  7. Trường hợp Chưa biếtσ 2 và n ≥ 30 2: dùng ước lượng củaS '2 thay cho 2 chưa biết Ta σ (vì E ( S '2 ) = σ 2 ) S' . Khoảng tin cậy đối ( ) x − ε , x + ε ; ε = uγ n xứng:  S'  . Khoảng tin cậy bên phải: x− u1−α ; +∞   n   S'  . Khoảng tin cậy bên trái:  −∞; x + u1−α   n  2 S' . Xác định cỡ n=u 2 2 γ ε mẫu:
  8. Ví dụ: Người ta nghiên cứu ở một trường đại học xem trong một tháng sinh viên tiêu hết bao nhiêu tiền gọi điện thoại. Lấy mẫu ngẫu nhiên gồm 59 sinh viên thu được kết quả sau: 14 127 95 30 40 27 40 79 36 58 14 47 95 15 27 111 95 63 127 95 30 79 27 14 30 147 79 36 27 14 47 85 36 40 47 15 58 79 26 15 26 30 58 40 30 85 26 36 26 36 63 40 36 26 111 58 85 26 47 Hãy ước lượng khoảng tin cậy 95% cho số tiền gọi điện thoại trung bình hàng tháng của một sinh viên.
  9. n = 59 xi ni xi ni ni xi2 1 k 3051 14 4 56 784 x = ∑ ni xi = = 51, 7 n i =1 59 15 3 45 675 26 6 156 4056 1 k ∑ ni xi − x 2 27 4 108 2916 S = ' 2 n − 1 i =1 30 5 150 4500 36 6 216 7776 220185 − ( 51, 7 ) = 33,52 2 40 5 200 8000 S = ' 58 47 4 188 8836 58 4 232 13456 1 − α = 0,95 ⇔ α = 0, 05 63 2 126 7938 α 79 4 316 24964 γ = 1 − = 0,975 2 85 3 255 21675 95 4 380 36100 uγ = u0,975 = 1,96 111 2 222 24642 33,52 127 2 254 32258 ε = 1,96 = 8,56 147 1 147 21609 59 ∑ 59 3051 220185 (43,14;60,26)
  10. Trường hợp 3: Chưa biết phương sai ( X ) = σ 2 D n<30 và X có phân phối chuẩn. Chọn lập thống kê: T= ( X − µ) n ∈ Tn −1 ' S . Khoảng tin cậy đối xứng:  S' S'  α ; γ = 1− n −1 n −1 x− tγ ;x+ t γ  n n  2  S'  . Ước lượng giá trị tối n −1  x − t1−α ; +∞   n  thiểu:  S'  . Ước lượng giá trị tối  −∞; x + t1n−−1 α   n đa:
  11. . Phương pháp mẫu kép: Xác định kích thước mẫu tối thiểu n sao cho với độ tin cậ1 − α cho y trước, độ dài khoảng tin cậy không vượt quá giáI 0trị cho trước -Trước hết điều tra một mẫu kích m ≥ 2: thước = X , X ,..., X ⇒ S '2 = 1 m X − X 2 W1 ( 1 2 m) ∑( i ) m − 1 i =1 -Lập mẫu thứ hai kích thước n- m:  4 S '2  2  2 S ' m −1 m −1  W2 = ( X m +1 ,..., X n ) ; I 0 = t α ⇒n≥ 2  t1− α   n 1− 2  I0   2   n: Là kích thước mẫu cần tìm
  12. Ví dụ: Theo dõi mức xăng hao phí X cho một ô tô đi từ A đến B thu được bảng số liệu sau: Mức hao phí 19,0-19,5 19,5-20,0 20,0-20,5 20,5-21,0 Số lần đi 2 10 8 5 Với độ tin cậy 95%. Hãy tính mức xăng hao phí trung bình tối thiểu khi đi từ A đến B, biết X có phân phối chuẩn. Đây là bài toán ước lượng khoảng của kỳ vọng (giá trị tối thiểu ) T.Hợp3
  13. X (lít) xi ni ui ni ui ni ui2 t1n−−α1 = t0,95 = 1, 711 24 19,0-19,5 19,25 2 -1 -2 2 19,5-20,0 19,75 10 0 0 0 (Tra bảng student) 20,0-20,5 20,25 8 1 8 8 20,5-21,0 20,75 5 2 10 20 x0 = 19, 75; h = 0,5 ∑ n=25 16 30 2  1   2 0,5  1 x = 19, 75 + .16 = 20, 07 ⇒ S = ( 0,5 )  .30 −  .16   = 0,1976 2 25  25   25    25 S '2 = .0,1976 = 0, 2058 ⇒ S ' = 0, 45 24 ( 19,92 < µ < +∞ )
  14. Ví dụ: Phỏng vấn 5 gia đình có con học đại học về chi phí hàng tháng cho nhu cầu sinh hoạt được các số liệu sau: 150 ngàn, 250 ngàn, 200 ngàn, 300 ngàn,180 ngàn. Hỏi phải phỏng vấn bao nhiêu gia đình để với độ tin cậy 95% sai số của việc ước lượng chi phí trung bình hàng tháng không vượt quá 30 ngàn. Giả thiết chi phí hàng tháng là ĐLNN phân phối chuẩphí sinh hoạt hàng tháng X ∈ N ( µ , σ 2 ) X: Chi n. Vậy chi phí trung bình chính là giá trịµ . Đây là bài toán xác định kích thước mẫu tối thiểu của phân phối chuẩn khi chưa biết phương sai
  15. Theo phương pháp mẫu kép, n=5 ta có x = 216; S '2 = 3530; I 0 = 2.30 = 60; t0,975 = 2, 776 4  4.3530 2 ⇒n≥ 2 ( 2, 776 )  = 31  60  Như vậy phải phỏng vấn thêm 31-5=26 gia đình n ữa
  16. 3.3 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ ( xác suấGiả sử tổng thể được chia ra làm hai loại t) phần tử. Tỷ lệ phần tử có tính chất A là p chưa biết. Ước lượng tỷ lệ là ch(ỉf ra khoảng 1 2 , f ) chứa p sao cho: P ( f1 < p < f 2 ) = 1 − α Chọn mẫu với kích thước n khá lớn. Gọi X là số phần tử có tính chất A khi lấy ngẫu nhiên một mẫu. X có phân phối không- ộ mX itlà số phần tử có tính chất A trong lần lấy thứ i tần suất ước lượng điểm p = E ( X ) X Là củacó: p ( 1− p) Ta ( ) E X = p; D X =( ) n
  17. U= ( f − p) n ∈ N ( 0,1) Chọn thống p ( 1− p) kê f là tỷ lệ các phần tử của mẫu có tính chất A Ta xác định được khoảng tin cậy: f , f = f − ε , f + ε ; ε = u f ( 1 − f ) ( 1 2 ) ( ) γ n α ε n uγ là phân vị chuẩn mức 1 − và uγ = 2 f ( 1− f ) ε là sai số
  18. .Khoảng tin cậy đối xứng:  f ( 1− f ) f ( 1− f )   f − uγ ; f + uγ   n n    f ( 1− f ) . Ước lượng giá trị tối f − u1−α < p < +∞ n thiểu: f ( 1− f ) . Ước lượng giá trị tối −∞ < p < f + u1−α n đa: f ( 1− f ) . Kích thước n=u 2 α 1− ε2 mẫu: 2
  19. Ví dụ: Điều tra nhu cầu tiêu dùng một loại hàng trong 100 gia đình thấy 60 gia đình có nhu −α cầu loại hàng hoá nói trên. Với độ tin1cậy= 0,95 hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của tỷ lệ gia đình có nhu cầu loại hàng hoá đó. Đây là bài toán ước lượng khoảng của xác suất, áp dụng f ( 1 − f )  f ( 1− f )   f − uγ ; f + uγ   n n    uγ = u α = 1,96 (Tra bảng laplace) 1− 2 60 f = = 0, 6;1 − f = 0, 4 ⇒ ( 0,504 < p < 0, 696 ) 100 Tỷ lệ từ 50,4% đến 69,6%, độ tin cậy
  20. Ví dụ: Kiểm tra 100 sản phẩm trong lô hàng thấy có 20 phế phẩm -Hãy ước lượng tỷ lệ phế phẩm có độ tin cậy 99% ε = 0, 04 -Nếu độ chính xác thì độ tin cậy của ước lượng là bao nhiêu? -Nếu muốn có độ tin cậy 99% và độ chính xác 0,04 thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm?
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản