Phần 3: Thống kê

Chia sẻ: Nguyen Duy Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

1
184
lượt xem
100
download

Phần 3: Thống kê

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bài tập về phần thống kê của môn toán kinh tế

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phần 3: Thống kê

  1. OÂN THI CAO HOÏC MOÂN TOAÙN KINH TEÁ (Bieân soaïn: Traàn Ngoïc Hoäi - 2007) BAØI GIAÛI PHAÀN III: THOÁNG KEÂ Baøi 1: Ñeå khaûo saùt chieàu cao X cuûa moät gioáng caây troàng, ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quûa sau: X(cm) 95-105 105-115 115-125 125-135 135-145 145-155 155-165 Soá caây 10 10 15 30 10 10 15 a) Öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi ñoä tin caäy 96%. b) Neáu muoán öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc 4 cm thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu caây nöõa? c) Neáu öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi ñoä chính xaùc 4,58cm thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? d) Moät taøi lieäu thoáng keâ cuõ cho raèng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân laø 127cm. Haõy cho keát luaän veà taøi lieäu ñoù vôùi möùc yù nghóa 1%. e) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 135cm trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng caây “cao”. Haõy öôùc löôïng tæ leä nhöõng caây “cao”vôùi ñoä tin caäy 95%. f) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng nhöõng caây “cao” vôùi ñoä chính xaùc 10% thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? g) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng nhöõng caây “cao” vôùi ñoä tin caäy 95% vaø ñoä chính xaùc 11% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu caây nöõa? h) Tröôùc ñaây, tæ leä nhöõng caây “cao” cuûa loaïi caây troàng treân laø 40%. Caùc soá lieäu treân thu thaäp ñöôïc sau khi ñaõ aùp duïng moät kyõ thuaät môùi. Haõy cho keát luaän veà kyõ thuaät môùi vôùi möùc yù nghóa 5%. i) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 105cm ñeán 125cm ñöôïc goïi laø nhöõng caây loaïi A. Haõy öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa nhöõng caây loaïi A vôùi ñoä tin caäy 95% (GS X coù phaân phoái chuaån). 1
  2. j) Baèng phöông phaùp môùi, sau moät thôøi gian ngöôøi ta thaáy chieàu cao trung bình cuûa nhöõng caây loaïi A laø 119,5cm. Haõy cho keát luaän veà phöông phaùp môùi vôùi möùc yù nghóa 1% (GS X coù phaân phoái chuaån). k) Giaû söû X coù phaân phoái chuaån. Vôùi ñoä tin caäy 95%, haõy öôùc löôïng phöông sai cuûa X trong hai tröôøng hôïp : 1) Bieát kyø voïng cuûa X laø 130 cm. 2) Chöa bieát kyø voïng cuûa X. l) Khi canh taùc bình thöôøng thì phöông sai cuûa chieàu cao X laø 300cm2. Haõy nhaän ñònh veà tình hình canh taùc vôùi möùc yù nghóa 5% (GS X coù phaân phoái chuaån). Lôøi giaûi Xi 100 110 120 130 140 150 160 ni 10 10 15 30 10 10 15 Ta coù: n = 100; ∑ X in i ∑X =13100; n i =1749000. 2 i Kyø voïng maãu cuûa X laø - 1 ∑ X ini = 131(cm). X= n Phöông sai maãu cuûa X laø: - 1 ∧ ∑ X i2ni − X 2 =(18,1384)2 = 329(cm2 ). S= 2 n Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø: - n ∧2 S2 = S = (18, 2297)2 = 332, 3232(cm2 ). n −1 a) Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 96% = 0,96. Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng: 2
  3. S S (X − zα ; X + zα ) n n trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc zα = 2,06. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: 1 8, 2297 18, 2297 (131 − 2, 06 ; 131 + 2, 06 ) = (127, 2447; 134, 7553). 100 100 Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 96%, chieàu cao trung bình cuûa moät caây töø 127,2447cm ñeán 134,7553cm. b) Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa chæ tieâu X vôùi ñoä chính xaùc ε = 4cm vaø ñoä tin caäy γ = 1- α = 99% = 0,99. Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: S ε = zα n trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0, 495. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc zα = 2,58. Suy ra 2 ⎛z S⎞ n=⎜ α ⎟ ⎝ε⎠ Thöïc teá yeâu caàu: 2 2 ⎛z S⎞ ⎛ 2, 58.18, 2297 ⎞ n≥⎜ α ⎟ =⎜ ⎟ ≈ 138, 254 4 ⎝ε⎠ ⎝ ⎠ Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoûa baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 139. Vì n1 = 139 > 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta caàn ñieàu tra theâm ít nhaát laø 139 – 100 = 39 caây nöõa. c) Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1 - α khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa chæ tieâu X vôùi ñoä chính xaùc ε = 4,58cm. Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: S ε = zα n 3
  4. trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 . Suy ra ε n 4, 58. 100 zα = = 2, 5123 = S 18, 2297 Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2, 5123) = 2ϕ(2, 52) = 2.0, 4941 = 98, 82%. d) Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi möùc yù nghóa α = 1% = 0,01: H0: μ = 127 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ ≠ 127 n ≥ 30; σ2 Vì chöa bieát, neân ta coù qui taéc kieåm ñònh nhö sau: Böôùc 1: Ta coù (X − μ 0 ) n (131 − 127) 100 t= = 2,1942. = S 18, 2297 Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,99/2 = 0,495 ta ñöôïc zα = 2,58. Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |t| = 2,1942 < 2,58 = zα neân ta chaáp nhaän H0: μ = 127. Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 1%, taøi lieäu cuõ veà chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân coøn phuø hôïp vôùi thöïc teá. e) Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc caây cao vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng : Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) ; Fn + zα n (Fn − zα ) n n 4
  5. trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc zα = 1,96. Trong n = 100 caây coù m = 10 + 10 + 15 = 35 caây coù chieàu cao töø 135cm trôû leân neân tæ leä maãu caùc caây cao laø Fn = 35/100 = 0,35. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: 0, 35(1 − 0, 35) 0, 35(1 − 0, 35) (0, 35 − 1, 96 ; 0, 35 + 1, 96 ) 100 100 = (0, 2565; 0, 4435) = (25, 65%; 44, 35%). Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, tæ leä caùc caùc caây cao töø 25,65% ñeán 44,35%. f) Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1 - α khi löôïng tæ leä caùc caây cao vôùi ñoä chính xaùc ε = 10% = 0,1. Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: Fn (1 − Fn ) ε = zα n trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 . Ta coù tæ leä maãu caùc caây cao laø: Fn = 0,35. Suy ra n 100 zα = ε = 0,1. = 2, 0966. Fn (1 − Fn ) 0, 35(1 − 0, 35) Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2, 0966) = 2ϕ(2,1) = 2.0, 4821 = 96, 42%. g) Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng tæ leä caùc caây cao vôùi ñoä chính xaùc ε = 11% = 0,11 vaø ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: Fn (1 − Fn ) ε = zα n 5
  6. trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc zα = 1,96. Suy ra z2 Fn (1 − Fn ) n= α ε2 Thöïc teá yeâu caàu: z2 Fn (1 − Fn ) 1, 962.0, 35(1 − 0, 35) n≥ α ≈ 72, 29. = 0,112 ε2 Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoaû baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 73. Vì n1 = 73 < 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta khoâng caàn ñieàu tra theâm caây naøo nöõa. h) Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà tæ leä p caùc caây cao vôùi möùc yù nghóa α = 5% = 0,05: H0: p = 40% = 0,4 vôùi giaû thieát ñoái H1: p ≠ 0,4 Ta coù qui taéc kieåm ñònh nhö sau: Böôùc 1: Ta coù (Fn − p 0 ) n (0, 35 − 0, 4) 100 t= = −1, 0206. = p 0q 0 0, 4(1 − 0, 4) Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû ϕ( zα) = γ/2 = 0,95/2 = 0,475 ta ñöôïc zα = 1,96. Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |t| = 1,0206 < 1,96 = zα neân ta chaáp nhaän giaû thieát H0: p = 0,4. Vaäy ta coù theå keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, phöông phaùp môùi khoâng coù taùc duïng laøm thay ñoåi tæ leä caùc caây cao. 6
  7. i) Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μA = M(XA) cuûa chieàu cao X = XA cuûa nhöõng caây loaïi A vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. Ta laäp baûng soá lieäu cuûa XA: XAi 110 120 NAi 10 15 Töø baûng treân ta tính ñöôïc: ∑X ∑X n Ai =2900; n Ai =337000. n A = 25; 2 Ai Ai Kyø voïng maãu cuûa XA laø - 1 ∑ X Ain Ai = 116(cm). XA = n Phöông sai maãu cuûa XA laø: - 1 ∧ ∑ X Ai2n Ai − X A 2 =(4, 8990)2 (cm2 ). S=2 A n Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa XA laø: - nA ∧ SA S2 = 52 (cm 2 ). 2 = A nA − 1 Vì nA < 30, XA coù phaân phoái chuaån, σ2A= D(XA) chöa bieát, neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng: SA S (X A − t α ; X A + tα A ) nA nA k trong ñoù t α = t α ñöôïc xaùc ñònh töø baûng phaân phoái Student vôùi k = nA–1= 24 vaø α = 1 - γ = 1 – 0,95 = 0,05. Tra baûng phaân phoái Student ta ñöôïc t α = 2, 064 . Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: 5 5 (116 − 2, 064 ; 116 + 2, 064 ) = (113, 936; 118, 064). 25 25 Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, chieàu cao trung bình cuûa caây loaïi A töø 113,936cm ñeán 118,064cm. 7
  8. j) Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μA = M(XA) cuûa chieàu cao X = XA cuûa caùc caây loaïi A vôùi möùc yù nghóa α = 1% = 0,01: H0: μA = 119,5 vôùi giaû thieát ñoái H1: μA ≠ 119,5. Vì nA = 25 < 30, XA coù phaân phoái chuaån, σ2A= D(XA) chöa bieát, neân ta kieåm ñònh nhö sau: Böôùc 1: Ta coù (X A − μ 0 ) n A (116 − 119, 5) 25 t= = −3, 5. = SA 5 Böôùc 2: Ñaët k = nA - 1 = 24. Tra baûng phaân phoái Student k öùng vôùi k = 24 vaø α = 0,01 ta ñöôïc t α = t α = 2,492. Böôùc 3: Kieåm ñònh: Vì t = 3,5 > 2,492 = t α neân ta baùc boû giaû thieát H0: μA = 119,5. Cuï theå, ta nhaän ñònh μA < 119,5 (vì X A = 116 < 119, 5 ). Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 1%, phöông phaùp môùi coù taùc duïng laøm thay ñoåi chieàu cao trung bình cuûa caùc caây loaïi A, theo höôùng laøm taêng chieàu cao trung bình cuûa caùc caây loaïi naøy. k) Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho phöông sai σ2 = D(X), X coù phaân phoái chuaån, vôùi doä tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. 1) Giaû thieát cho ta μ = M(X) = 130. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho phöông sai: ⎛ ⎞ ⎜∑ (X i − μ)2 n i ∑ (X i − μ)2 n i ⎟ ; ⎜ ⎟ 2 χ2 α χα ⎜ ⎟ 1− ⎝ ⎠ 2 2 Ta laäp baûng: Xi-μ -30 -20 -10 0 10 20 30 ni 10 10 15 30 10 10 15 ∑ (X Töø ñoù ta tìm ñöôïc côõ maãu n = 100; − μ)2n i = 33000 . i 8
  9. Tra baûng phaân phoái chi bình phöông χ2 ∼ χ2 (n) vôùi n = 100 baäc töï do ta ñöôïc: 0,025 = 129, 56 vaø 0,975 = 74, 222 χ2 = χ2 χ2 = χ2 α α 1− 2 2 Vaäy öôùc löôïng khoaûng cuûa phöông sai laø: ⎛ 33000 33000 ⎞ ⎜ 129, 56 ; 74, 222 ⎟ = (254,7082; 444, 6121) ⎝ ⎠ Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, phöông sai cuûa chieàu cao X cuûa gioáng caây troàng treân töø 254,7082(cm2) ñeán 444,6121(cm2). 2) Khi chöa bieát μ = M(X), ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho phöông sai: ⎛ ⎞ ⎜ (n − 1)S (n − 1)S ⎟ 2 2 ; ⎜ χ2 α ⎟ 2 χα ⎜ ⎟ 1− ⎝ ⎠ 2 2 Tra baûng phaân phoái chi bình phöông χ2 ∼ χ2 (n-1) vôùi n-1 = 99 ≈100 baäc töï do ta ñöôïc: 0,025 = 129, 56 vaø 0,975 = 74, 222 χ2 = χ2 χ2 = χ2 α α 1− 2 2 Vaäy öôùc löôïng khoaûng cuûa phöông sai laø: ⎛ 99.(18, 2297)2 99.(18, 2297)2 ⎞ ; ⎟ = (253, 9354; 443, 2631) ⎜ ⎝ 129, 56 74, 222 ⎠ Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, phöông sai cuûa chieàu cao X cuûa gioáng caây troàng treân töø 253,9354(cm2) ñeán 443,2631(cm2). l) Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà phöông sai 2 σ = D(X), X coù phaân phoái chuaån, vôùi möùc yù nghóa α = 5% = 0,05: H0: σ2 = 300 vôùi giaû thieát ñoái H1: σ2 ≠ 300 Böôùc 1: Ta coù: (n − 1)S2 99.(18, 2297)2 t= = 109, 6662 = 300 σ20 9
  10. Böôùc 2: Tra baûng phaân phoái chi bình phöông χ2 ∼ χ2 (k) vôùi k = n – 1 = 99 ≈ 100 baäc töï do, ta tìm ñöôïc χ α = χ 0,025 = 129, 56 2 2 2 vaø χ = 74, 222 2 2 =χ 0,975 α 1− 2 Böôùc 3: Kieåm ñònh: Vì χ2 α = 74, 222 ≤ t = 109,6662 ≤ 129, 56 = χ α neân ta chaáp nhaän 2 1− 2 2 2 giaû thieát H0: σ = 300. Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, tình hình canh taùc laø bình thöôøng. -------------------------------------------- 10

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản