Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện trong xác suất thống kê

Chia sẻ: cnkbmt1

Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện 1. Phân phối điều kiện Định nghĩa 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất đồng thời P(X = x, Y = y) = p(x, y). Khi đó, phân phối điều kiện của X cho bởi Y = y được xác định bởi: Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì. Ví dụ 1.2. Gieo 1 xúc xắc, giả sử mặt có X chấm xuất hiện. Tiếp tục gieo X đồng xu và giả sử Y là số lần mặt sấp xuất hiện....

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện trong xác suất thống kê

Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện

1. Phân phối điều kiện


Định nghĩa 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất

đồng thời P(X = x, Y = y) = p(x, y). Khi đó, phân phối điều kiện của X cho bởi Y

= y được xác định bởi




Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì .


Ví dụ 1.2. Gieo 1 xúc xắc, giả sử mặt có X chấm xuất hiện. Tiếp tục gieo X đồng


xu và giả sử Y là số lần mặt sấp xuất hiện. Xác định ; p(x,y) và pY(y).



Giải. Giả sử X = x thì Y là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(x; . Vậy




Từ đó




p(x,y) =P(X = x, Y = y) = .pX(x) =
và phân phối của Y là




Ví dụ 1.3. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson tham số

lần lượt là Xác định phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n.


Giải. Ta có




Theo Ví dụ 2.5 (bài học tuần 9), X +Y cũng có phân phối Poisson tham số

. Từ đó,
hay phân phối của X với điều kiện X + Y = n là phân phối nhị thức tham số n và



.


Định nghĩa 1.4. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời fX,Y(x,

y). Khi đó, hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y được xác định bởi




Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì .


Từ định nghĩa trên ta có


Hàm mật độ của X





Với tập D bất kỳ





Hàm phân phối của X

Ví dụ 1.5. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y có hàm mật độ đồng thời




Tính


Giải. Với y > 0, hàm mật độ của Y là




Vậy với x, y > 0, hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y là




Từ đó,




2. Kì vọng điều kiện


Định nghĩa 2.1. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y. Kỳ vọng điều kiện của X cho bởi

Y = y, ký hiệu được xác định bởi
Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối điều kiện của X cho



bởi Y = y là thì




với mọi giá trị y sao cho P(Y = y) >0.


Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ điều kiện của X



cho bởi Y = y là thì




với mọi giá trị y sao cho fY(y) >0.


Ví dụ 2.2. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối nhị thức

tham số n, p. Xác định kỳ vọng điều kiện của X cho bởi X + Y = n.


Giải. Trước hết ta xác định phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n. Ta có




Vậy phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n là phân phối siêu bội. Từ đó
.


Ví dụ 2.3. Cho hàm mật độ đồng thời của hai biến ngẫu nhiên (X,Y) là




Xác định E(X ) và E(Y


Giải. Ta có hàm mật độ của X là




=


và hàm mật độ của Y là




=


Từ đó, hàm mật độ điều kiện của Y cho bởi X = x là




= =
và hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y là




= =


Vậy




E(Y và E(X


Tính chất 2.4.


Cho g là hàm Borel thì





nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập.





. Đặc biệt, nếu C là hằng số.





với a, b là hằng số





. Đặc biệt

Nếu Y là biến ngẫu nhiên rời rạc thì





Nừu Y là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ fY(y) thì




Ví dụ 2.5. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y có hàm mật độ đồng thời




Tính EX; EY và


Giải. Từ




Ta nhận được E(Y) = 1. Vì




là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với kỳ vọng y nên
Ta có




Vậy Cov(X,Y) = EXY – EX.EY = 1
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản