intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Phân tích thống kê trong thủy văn ( ĐH Quốc Gia HN ) - Chương 2

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

186
lượt xem
28
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phân tích tần suất Như đã phân tích ở chương 1, chúng ta coi chuỗi thuỷ văn là ngẫu nhiên, độc lập và đồng nhất và có thể áp dụng lý thuyết xác suất thống kê trong phân tích tần suất. Kiểm định chặt chẽ hơn các giả thiết này sẽ được đề cập trong chương 3 và 5. 2.1. Đường tần suất kinh nghiệm Đường tần suất kinh nghiệm là đường cong tần suất vẽ theo các điểm kinh nghiệm biểu thị quan hệ giữa tần suất và giá trị quan trắc thực. Để vẽ được đường tần suất kinh...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phân tích thống kê trong thủy văn ( ĐH Quốc Gia HN ) - Chương 2

  1. Ch­¬ng II Ph©n tÝch tÇn suÊt Nh­ ®· ph©n tÝch ë ch­¬ng 1, chóng ta coi chuçi thuû v¨n lµ ngÉu nhiªn, ®éc lËp vµ ®ång nhÊt vµ cã thÓ ¸p dông lý thuyÕt x¸c suÊt thèng kª trong ph©n tÝch tÇn suÊt. KiÓm ®Þnh chÆt chÏ h¬n c¸c gi¶ thiÕt nµy sÏ ®­îc ®Ò cËp trong ch­¬ng 3 vµ 5. 2.1. §­êng tÇn suÊt kinh nghiÖm §­êng tÇn suÊt kinh nghiÖm lµ ®­êng cong tÇn suÊt vÏ theo c¸c ®iÓm kinh nghiÖm biÓu thÞ quan hÖ gi÷a tÇn suÊt vµ gi¸ trÞ quan tr¾c thùc. §Ó vÏ ®­îc ®­êng tÇn suÊt kinh nghiÖm ph¶i tÝnh ®­îc tÇn suÊt kinh nghiÖm. 2.1.1.C«ng thøc tÝnh tÇn suÊt kinh nghiÖm Ban ®Çu ng­êi ta sö dông c«ng thøc (1.2), nh­ng sau ®ã thÊy r»ng øng víi sè h¹ng cuèi (khi m=n) nã lu«n lu«n cho tÇn suÊt kh«ng ®æi lµ 100%, dï lµ chuçi ng¾n hay dµi. §©y lµ ®iÒu kh«ng hîp lý. V× vËy c¸c nhµ chuyªn m«n ®· ®Ò xuÊt c¸c c«ng thøc kh¸c ®Ó kh¾c phôc nh­îc ®iÓm nµy. Sau ®©y lµ mét sè c«ng thøc tÝnh tÇn suÊt kinh nghiÖm th­êng dïng hiÖn nay trong thuû v¨n. a. C«ng thøc sè trung b×nh (Hazen) m  0 ,5 (2.1) .100% P1  n b. C«ng thøc sè gi÷a (Tsego®aev) m  0,3 P2  .100% (2.2) n  0,4 c. C«ng thøc sè kú väng m (2.3) .100% P3  n 1 VÝ dô 2.1: Theo 3 c«ng thøc trªn tÝnh to¸n cho chuçi sè liÖu dßng ch¶y n¨m tr¹m Hoµ B×nh trªn s«ng §µ (1956-2002) ®­îc kÕt qu¶ nh­ b¶ng 2.1 So s¸nh thÊy r»ng: Víi PP2>P1 vµ P3 an toµn h¬n. Víi P>50% (dßng ch¶y nhá) cïng mét gi¸ trÞ X cho P3
  2. ®· s¾p xÕp P1 P2 P3 1 1956 1800 2240 1,06 1,48 2,08 2 1957 1420 2180 3.19 3,59 4,17 3 1958 1550 2160 5,31 5,70 6,25 4 1959 1810 2120 7,45 7,81 8,33 5 1960 1590 2110 9,57 9,92 10,42 ....... .......... ........ ................. ........... .............. .............. 43 1998 1950 1360 90,42 90,08 89,58 44 1999 2240 1330 92,55 92,19 91,67 45 2000 1850 1260 94,68 94,30 93,75 46 2001 2120 1240 96,81 96,41 95,83 47 2002 2160 1230 98,94 98,52 97,92 B ¶ng 2.2: TÝnh tÇn suÊt kinh nghiÖm dßng ch¶y lín nhÊt n¨m tr¹m Dõa-s«ng C¶ TT N¨m Qi Qi ®· s¾p xÕp TÇn suÊt kinh nghiÖm (%) 1 1959 1830 2489 1,19 2 1960 1959 2460 3,57 3 1961 2017 2366 5,95 4 1962 2284 2357 8,86 5 1963 2341 2341 10,71 ........ ............. ............ ...................... ...................... 38 1986 2313 1816 89,29 39 1987 1867 1753 91,67 40 1988 1619 1693 94,03 41 1989 1826 1672 96,43 42 1990 2076 1619 98,81 2.1.2. Ph­¬ng ph¸p vÏ ®­êng tÇn suÊt kinh nghiÖm B­íc ®Çu, ®Ó vÏ ®­êng tÇn suÊt kinh nghiÖm ta ph¶i thùc hiÖn c¸c b­íc sau: - S¾p xÕp chuçi sè liÖu theo thø tù gi¶m dÇn - TÝnh P theo c«ng thøc c«ng thøc kinh nghiÖm tuú theo tõng tr­êng hîp. - Trªn giÊy kÎ «, chÊm c¸c ®iÓm quan hÖ (th­êng chän trôc hoµnh X lµ gi¸ trÞ P, trôc tung Y lµ gi¸ trÞ dßng ch¶y (hoÆc hÖ sè m«®un). - V¹ch mét ®­êng cong tr¬n ®i qua c¸c nhãm ®iÓm, ®­îc mét ®­êng cã xu thÕ cong 2 chiÒu, cã d¹ng nh­ h×nh 2.1a,b. VÝ dô 2.2: TÝnh vµ vÏ tÇn suÊt kinh nghiÖm cho chuçi dßng ch¶y lín nhÊt n¨m (1959-1990) tr¹m Dõa-s«ng C¶ (b¶ng 2.2). 23
  3. Tæng sè n¨m lµ n=42. TÝnh tÇn suÊt kinh nghiÖm theo c«ng thøc sè gi÷a (2.2) (b¶ng 2.2). Sau ®ã chÊm c¸c ®iÓm kinh nghiÖm lªn giÊy kÎ « vu«ng (hÖ to¹ ®é §ªcac) ®­îc h×nh 2.1a. D¹ng kh¸i qu¸t chung nh­ h×nh 2.1b. Se r s e i1 K 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 P 0.7 0 20 40 60 80 100 H×nh 2.1a: §­êng tÇn suÊt kinh nghiÖm Qmax tr¹m Dõa s«ng C¶ (giÊy « vu«ng) 90 100 P(%) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 H×nh 2.1b: §­êng tÇn suÊt kh¸i qu¸t (giÊy « vu«ng) Tuy nhiªn trong tÝnh to¸n thuû v¨n thiÕt kÕ th× tÇn suÊt quy ®Þnh th­êng ra khái ph¹m vi khèng chÕ cña chuçi quan tr¾c vµ ®­êng kinh nghiÖm (P90%), trong khi d¹ng ®­êng nµy l¹i cã 2 h­íng cong ë 2 ®Çu nªn rÊt khã cho ph©n tÝch vµ ngo¹i suy. V× vËy ng­êi ta t×m mét ®­êng cong to¸n häc phï hîp víi d¹ng ®­êng kinh nghiÖm trong ph¹m vi khèng chÕ cña chuçi quan tr¾c ®Ó m« pháng. §­êng nµy gäi lµ ®­êng tÇn suÊt “lÝ luËn”, ®­îc x¸c ®Þnh dùa trªn mét sè ®Æc tr­ng thèng kª c¬ b¶n. §ång thêi còng sö dông lo¹i giÊy ®Æc biÖt cã l­íi x¸c suÊt ®Ó uèn th¼ng c¸c ®­êng tÇn suÊt. 2.2.GiÊy x¸c suÊt (giÊy tÇn suÊt) Trªn giÊy tÇn suÊt cã l­íi x¸c suÊt nh»m môc ®Ých chuyÓn ho¸ c¸c trôc theo c¸c thang tû lÖ kh¸c nhau ®Ó ®­êng tÇn suÊt trë thµnh ®­êng th¼ng, t¹o cho viÖc ngo¹i suy ®­îc dÔ dµng. 2.2.1. GiÊy tÇn suÊt theo luËt ph©n bè chuÈn (giÊy Hazen) 24
  4. Sö dông ®­êng tÇn suÊt cña hÖ sè m«®un K cã ph©n bè chuÈn víi c¸c th«ng sè lµ: K =1, Cv=1 vµ Cs=0. §­êng vÏ trªn hÖ trôc to¹ ®é vu«ng gãc n¼m ë bªn tr¸i h×nh 2.2. TiÕn hµnh chuyÓn ho¸ thang tû lÖ trôc hoµnh (tÇn suÊt) qua ®­êng th¼ng n»m bªn ph¶i h×nh 2.2. Thang ®é cña trôc tung ®­îc gi÷ nguyªn. Gãc nghiªng cña ®­êng th¼ng bªn ph¶i h×nh trªn cho ta ph¹m vi vµ tû lÖ cña thang tÇn suÊt ë trôc hoµnh. H×nh 2.2. S¬ ®å vÏ giÊy tÇn suÊt Hazen Chuçi quan tr¾c thuû v¨n th­êng kh«ng cã ph©n bè chuÈn nªn ®­êng vÏ trªn giÊy Hazen sÏ kh«ng th¼ng. NÕu Cs >0 th× ®­êng cã d¹ng lâm (so víi trôc ngang-tÇn suÊt). NÕu Cs 0,3 th× ®­êng tÇn suÊt vÏ trªn giÊy Hazen cã mét phÇn ®i xuèng d­íi gi¸ trÞ ©m (
  5. Chuçi thuû v¨n th­êng cã Cs 0, khi ®ã ®­êng tÇn suÊt trªn giÊy Hazen cã d¹ng cong, nªn ng­êi ta muèn uèn th¼ng ®­êng nµy, trong ®ã chó ý ®Õn tr­êng hîp Cs=2Cv, khi mµ ®­êng Pearson III trïng víi ®­êng Kritski-Menkel. Chän d¹ng ph©n bè P.III víi c¸c th«ng sè: K =1, Cv=1 vµ Cs=2Cv. XuÊt ph¸t tõ giÊy Hazen, tøc lµ trôc hoµnh (P) gi÷ thang tû lÖ theo Hazen, cßn trôc tung (trôc K) ®­îc chia l¹i theo tû lÖ ®Ó ®­êng tÇn suÊt trë thµnh ®­êng th¼ng (cho Cs = 2Cv). §­êng tÇn suÊt víi c¸c th«ng sè ®· chän ®­îc vÏ trªn giÊy Hazen, chØ ra ë phÝa d­íi cña h×nh 2.4. Gãc nghiªng cña ®­êng th¼ng chuyÓn ho¸, chØ ra ë phÝa trªn cña h×nh 2.4, x¸c ®Þnh tû lÖ thang tung ®é. Trªn c¬ së nµy Brokovich thiÕt lËp c¸c lo¹i giÊy tÇn suÊt øng víi c¸c tû sè Cs = 1,0Cv; Cs = 1,5Cv ; Cs = 3,0Cv.....; Cs = mCv. Gi¸ trÞ m cµng lín th× gãc nghiªng cña ®­êng cµng lín. 2.2.3. GiÊy tÇn suÊt theo luËt ph©n bè log-chuÈn Lo¹i giÊy tÇn suÊt nµy cã thÓ nhËn ®­îc tõ l­íi x¸c suÊt theo quy luËt ph©n bè chuÈn nh­ng trôc tung ®­îc chia theo logarit cña K. L­íi nµy th­êng sö dông khi chuçi cã ph©n bè rÊt kh«ng ®èi xøng, t­¬ng øng víi hÖ thøc Cs = 3,0Cv+Cv3. H×nh 2.4. S¬ ®å vÏ giÊy tÇn suÊt Brokovich 2.2.4. GiÊy tÇn suÊt theo luËt ph©n bè Goodrich Cã thÓ nhËn ®­îc b»ng c¸ch chuyÓn ho¸ ®­êng tÇn suÊt logK trªn giÊy kÎ « vu«ng. §­êng tÇn suÊt ban ®Çu cã c¸c th«ng sè K =1, Cv=1,0 vµ Cs=2,0 (h×nh 2.5). Thang ®é tÇn suÊt ë hoµnh ®é cã thÓ kÕt hîp víi thang tung ®é chia ®Òu cña logK hoÆc thang tung ®é logarit cña K. C¸c b­íc thùc hiÖn nh­ sau: 26
  6. H×nh 2.5. S ¬ ®å vÏ giÊy tÇn suÊt Goodrich VÏ ®­êng tÇn suÊt logK - P trªn giÊy kÎ « vu«ng. Gi÷ trôc logK (hoÆc thang ®é logarit), chuyÓn trôc P theo thang tû lÖ míi ®Ó cã ®­êng th¼ng. 2.2.5. GiÊy tÇn suÊt theo luËt ph©n bè Gumbel GiÊy tÇn suÊt Gumbel cã thÓ nhËn ®­îc b»ng c¸ch chuyÓn ho¸ luËt ph©n bè Gumbel. S¬ ®å chuyÓn ho¸ ®­êng cong gèc kh«ng kh¸c c¸c ph­¬ng ph¸p ®· xÐt ë trªn. Do ph©n bè Gumbel ®­îc ®Æc tr­ng bëi mét gi¸ trÞ cè ®Þnh cña hÖ sè kh«ng ®èi xøng nªn kh«ng cÇn thiÕt chän l­íi nh­ khi sö dông ph©n bè nhÞ thøc (hay Kritski-Menkel) (h×nh 2.6)[32]. H×nh 2.6. GiÊy tÇn suÊt theo luËt ph©n bè Gumbel HiÖn nay ë ViÖt Nam th­êng chØ dïng giÊy tÇn suÊt Hazen, v× thùc tÕ ®Ó ngo¹i suy cho c¸c tÇn suÊt nhá ng­êi ta sö dông c«ng thøc tÝnh vµ c¸c b¶ng tra dùa trªn c¸c th«ng sè thèng kª. §­êng tÇn suÊt trªn giÊy chØ ®Ó m« t¶ h×nh d¹ng vµ ph©n tÝch hiÖu chØnh. 2.3. §­êng tÇn suÊt lý luËn 2.3.1. Kh¸i niÖm Lµ ®­êng cong to¸n häc phï hîp víi d¹ng ®­êng kinh nghiÖm trong ph¹m vi cña chuçi quan tr¾c, cho phÐp ngo¹i suy ®Õn c¸c tÇn suÊt nhá vµ lín mµ chuçi quan tr¾c ng¾n kh«ng ®ñ khèng chÕ . §­êng tÇn suÊt lý luËn ®­îc x¸c ®Þnh theo c¸c d¹ng hµm ph©n bè x¸c suÊt, tøc lµ c¸c ph­¬ng tr×nh biÓu thÞ quan hÖ gi÷a X, hoÆc K víi P. Mçi ®­êng tÇn suÊt ®­îc x¸c ®Þnh bëi mét sè th«ng sè thèng kª x¸c ®Þnh, trong thuû v¨n th­êng lµ 3 th«ng sè chñ yÕu X , CV vµ CS. C¸c th«ng sè cña hµm ph©n bè x¸c suÊt t­¬ng øng ®Òu cã thÓ quy vÒ 3 th«ng sè c¬ b¶n trªn. 2.3.2. C¸c ®­êng tÇn suÊt lÝ luËn 27
  7. Tr­íc khi xem xÐt c¸c ®­êng tÇn suÊt lÝ luËn chóng ta kh¶o s¸t mét sè hµm ph©n bè rêi r¹c, th­êng ¸p dông trong thuû v¨n vµ lµ c¬ së ban ®Çu cho sù h×nh thµnh c¸c ph©n bè liªn tôc hay ®­êng tÇn suÊt sau nµy. a. C¸c ph©n bè rêi r¹c * Ph©n bè nhÞ thøc Trong mét sè tr­êng hîp tËp hîp c¸c biÕn thuû v¨n chØ gåm 2 lo¹i riªng rÏ xung kh¾c nhau, ch¼ng h¹n m­a hay kh«ng m­a, lò v­ît hay kh«ng v­ît mét ®é lín ®· cho, mét gi¶ thuyÕt ®óng hay sai. X¸c suÊt xuÊt hiÖn mét biÕn cè lµ p vµ x¸c suÊt kh«ng xuÊt hiÖn lµ q=1-p. Sù xuÊt hiÖn ®­îc coi lµ thµnh c«ng, tr¸i l¹i sù kh«ng xuÊt hiÖn ®­îc coi lµ thÊt b¹i. DÜ nhiªn ta cã p+q=1. Th«ng th­êng gi¶ ®Þnh lµ c¸c kÕt qu¶ thµnh c«ng h×nh thµnh mét chuçi biÕn sè ®éc lËp vµ ngÉu nhiªn. Mçi biÕn ngÉu nhiªn nh­ thÕ gäi lµ biÕn Bernoulli, vµ mçi lÇn thùc hiÖn lµ phÐp thö Bernoulli, tøc lµ phÐp thö mµ mçi lÇn biÕn ngÉu nhiªn chØ nhËn gi¸ trÞ 1 hay 0 (tøc lµ chØ thµnh c«ng hay thÊt b¹i) víi c¸c x¸c suÊt lµ p vµ q=1-p, nghÜa lµ x¸c suÊt p{x=1} = p vµ p{x=0} = q. X¸c suÊt thµnh c«ng cña mçi phÐp thö lµ p. Chóng ta t×m x¸c suÊt P(m) ®Ó trong n phÐp thö cã m lÇn thµnh c«ng, cßn l¹i (n-m) lÇn thÊt b¹i. X¸c suÊt ®ã chÝnh lµ hµm mËt ®é: n! P(m)  C m p m q n m  n p m q n m (2.4) m!(n  m)! nghÜa lµ b»ng sè h¹ng thø (n-m) hay sè h¹ng chøa ®¹i l­îng pm trong khai triÓn cña nhÞ thøc (q+p)m.V× vËy ph©n bè ®­îc gäi lµ ph©n bè nhÞ thøc. Mét tr­êng hîp ®Æc biÖt khi mµ x¸c suÊt thµnh c«ng hay thÊt b¹i b»ng nhau vµ b»ng 1/2, nghÜa lµ p=q=1/2. khi ®ã (2.4) ®­a ®Õn: n! n! p m q n m  n (2.5) P( m )  m! ( n  m )! 2 m! ( n  m )! - Hµm luü tÝch: Trong thùc tÕ còng yªu cÇu x¸c ®Þnh x¸c suÊt xuÊt hiÖn kh«ng qu¸ r lÇn thµnh c«ng, hay ng­îc l¹i kh«ng qu¸ r lÇn thÊt b¹i trong n phÐp thö, tøc lµ ta ph¶i x¸c ®Þnh hµm ph©n bè luü tÝch cña nã: r  C m p m q n m n (2.6) P( m  r )  m 0 Nh­ng trong thuû v¨n th­êng x¸c ®Þnh x¸c suÊt v­ît hay tÇn suÊt, do ®ã: P ( m  r )  1  P( m  r ) (2.7) D¹ng ®­êng ph©n bè nh­ h×nh (2.7). 28
  8. PHÂN bè NhÞ THøC n=10, p=1/4 và q=3/4 n! p r q n r  p( x  r )  r!n  r ! n=10, p=q=1/2 01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 H×nh 2.6. §­êng ph©n bè nhÞ thøc - C¸c th«ng sè ph©n bè NÕu mçi phÐp thö thø i ®­îc biÓu thÞ b»ng mét biÕn sè xi th× ph©n bè nhÞ thøc cã nh÷ng th«ng sè thèng kª sau: Sè trung b×nh: M(x)=np; (2.8) Ph­¬ng sai: D(x)=npq; (2.9) Kho¶ng lÖch chuÈn:   D  npq ; (2.10) q CV  HÖ sè biÕn ®æi: ; (2.11) np ( np ) 5 q p HÖ sè kh«ng ®èi xøng: CS  ; (2.12)  q npq 1  6 pq HÖ sè nhän: 3. (2.13) Ce  npq - TÝnh chÊt: BÞ chÆn bëi x=0 vµ x=1. Ng­êi ta còng lËp b¶ng tra cho ph©n bè nhÞ thøc nh­ phô lôc (2.1). Ph©n bè nhÞ thøc th­êng ®­îc dïng khi x¸c ®Þnh c¸c sù kiÖn thuû v¨n hiÕm nh­ kh« h¹n hay ngËp lôt. VÝ dô 2.3[32]: X¸c ®Þnh x¸c suÊt ®Ó trong 20 n¨m quan tr¾c dßng ch¶y xÈy ra kh«ng qu¸ 5 n¨m kh« c¹n. Thùc tÕ quan tr¾c trªn nhiÒu s«ng thÊy r»ng trong 20 n¨m th­êng cã 4 n¨m kh« h¹n, nh­ vËy p=4/20=0,2. Chóng ta cã n=20; r=5; p=0,2 vµ q=1- p=0,8. Tõ c«ng thøc (2.6) tÝnh ®­îc: 5  Cm p m q n m  C20 0 ,2 m 0 ,8 20m n m  0,808, P( m  5 )  m 0 vµ theo (2.7) ®­îc x¸c suÊt ®Ó trong 20 n¨m xÈy ra h¬n 5 n¨m kh« c¹n lµ: P( m  5 )  1  P( m  5 ) =1-0,808=0,192, tøc lµ x¸c suÊt kh¸ nhá. 29
  9. * Ph©n bè Poisson Ph©n bè nµy biÓu diÔn x¸c suÊt xuÊt hiÖn c¸c biÕn cè rêi r¹c, tøc thêi vµ ®éc lËp trong mét kho¶ng thêi gian (hay kh«ng gian) ®· cho. Ph©n bè Poisson ®­îc suy ra tõ ph©n bè nhÞ thøc khi n   vµ np=  h÷u h¹n vµ kh«ng ®æi. Thùc vËy, tõ ph©n bè nhÞ thøc ta cã: n! n( n  1)( n  2)...( n  m  1) m P( m)  C m p m q n m  n p m q n m  p (1  p ) n m ( 2.14) m! ( n  m )! m! Nh©n tö vµ mÉu cña (2.14) víi nm vµ ®æi biÕn np=  ta cã: n( n  1)( n  2 )...( n  m  1) m (1  p ) n m (2.15) P( m)  n m m! L¹i chia tö sè cho nm ta ®­îc: m  1  m (1  p ) n 1 2 (2.16) P( m )  (1  )(1  )...(1  ) m! (1  p ) m n n n §­a tõng phÇn cña biÓu thøc (2.16) tíi giíi h¹n. Ta biÕn ®æi biÓu thøc:  np  1 1     n  ( 1  p ) p   ( 1  p ) p  (1  p ) vµ lÊy giíi h¹n khi p  0 :          = e  1    (1  p ) p Lim    p 0   TiÕp tôc lÊy giíi h¹n cña phÇn cßn l¹i khi n   vµ p  0 : m 1 1 2 (1  )( 1  )...( 1  ) n n n 1 Lim (1  p ) m n p 0 §­a 2 giíi h¹n trªn vµo c«ng thøc (2.16) ta ®­îc hµm mËt ®é ph©n bè Poisson. - Hµm mËt ®é (H×nh 2.3): m e  , (2.17) f ( x )  P( x  m )  m! f ( x )  e   x hoÆc (2.18) H×nh 2.8. Ph©n bè Poisson 30
  10. - Hµm luü tÝch: Lµ x¸c suÊt v­ît (tÇn suÊt) hoÆc kh«ng v­ît cña m biÕn cè trong n phÐp thö: m  p( i ) , (2.19) Pm  P( x  m )  i 0   p( i )  1  P Qm  P( x  m )  vµ (2.20) m i  m 1 Hµm luü tÝch cã thÓ thu ®­îc tõ hä ®­êng cong nh­ h×nh (2.8) víi gi¸ trÞ trung b×nh  =np mµ kh«ng cÇn tÝnh to¸n theo c¸c c«ng thøc ë trªn. - C¸c th«ng sè: ChØ cã mét th«ng sè  , ®­îc x¸c ®Þnh tõ thùc nghiÖm. C¸c ®Æc tr­ng thèng kª th­êng dïng trong thuû v¨n cã thÓ suy ra tõ  : m(x) =  ; Kú väng: (2.21) 2 D(x)=    , do ®ã :    ; Ph­¬ng sai: (2.22) 1 ; (2.23) HÖ sè biÕn ®æi: Cv   1 HÖ sè bÊt ®èi xøng: Cs  Cv   1/ 2  ; (2.24)  1 HÖ sè nhän: (2.25) Ce  3   D¹ng ®­êng tÇn suÊt kh«ng kh¸c nhiÒu víi ph©n bè nhÞ thøc, ngay c¶ khi dung l­îng mÉu t­¬ng ®èi nhá, ®Æc biÖt khi  gi¶m (h×nh 2.9). - TÝnh chÊt: BÞ giíi h¹n d­íi: x  0 . - B¶ng ph©n bè Poisson, cã thÓ lËp b¶ng tra s½n øng víi  vµ m. B¶ng nµy cã ë e   m nhiÒu s¸ch gi¸o khoa, ë ®©y ®­a ra b¶ng víi sè h¹ng cña hµm [10] (phô lôc 2.2). m! Còng cã thÓ tÝnh theo hµm trong b¶ng tÝnh Excel. - øng dông: Ph©n bè Poisson ®­îc dïng trong viÖc x¸c ®Þnh c¸c hiÖn t­îng thuû v¨n hiÕm, vËn chuyÓn « nhiÔm hay qu¸ tr×nh xÈy ra m­a. 1-LuËt nhÞ thøc p=0,2, n=25; 2- LuËt nhÞ thøc p=0,1, n=50; 3- Ph©n bè Poisson =5 31
  11. H×nh 2.9: So s¸nh ph©n bè Poisson vµ nhÞ thøc VÝ dô 2.4 [32]: NÕu coi nh÷ng thêi kú nhiÒu n­íc hoÆc Ýt n­íc kÐo dµi lµ hiÖn t­îng thuû v¨n hiÕm vµ gi¶ thiÕt thªm r»ng gi÷a dßng ch¶y c¸c n¨m kh«ng cã quan hÖ th× cã thÓ t×m ®­îc x¸c suÊt ®Ó trong n n¨m xuÊt hiÖn m lÇn nhãm n¨m nhiÒu n­íc hay Ýt n­íc cã ®é dµi kh«ng nhá h¬n k n¨m theo ph©n bè Poisson. Khi ®ã  cã thÓ tÝnh n theo c«ng thøc gÇn ®óng:   k 1 . 2 Víi chuçi dßng ch¶y n=85 n¨m cña tr¹m Ypha, s«ng Belaia, khi m=2 vµ k=7 th× 85  =0,332, 2 7 1 0,332 2 0,332 vµ : =0,04=4%, tøc lµ kh¸ nhá. P ( m7  2 )  e 2! Cßn x¸c suÊt ®Ó chØ xuÊt hiÖn 1 lÇn (m=1) lµ : P ( m7  1)  0,24 =24%, tøc lµ kh¸ lín. X¸c suÊt ®Ó trong n n¨m xuÊt hiÖn Ýt nhÊt mét lÇn nhãm n¨m nhiÒu n­íc hay Ýt n­íc cã ®é dµi kh«ng nhá h¬n k n¨m sÏ lµ : n  2 k 1 (2.26) P( mk  1)  1  P( m k  0)  1  e 85   1  e 0 ,332  1-0,723=0,277=27%. 2 7 1 V¬i sè liÖu trªn ta cã P( m 7  1 )  1  e b. §­êng tÇn suÊt Pearson III (P.III) §­êng nµy do Karl Pearson, mét nhµ thèng kª sinh vËt häc ng­êi Anh, ph¸t hiÖn. ¤ng thÊy nhiÒu sè liÖu thùc nghiÖm phï hîp víi hµm mËt ®é d¹ng qu¶ chu«ng, chØ cã mét sè ®«ng vµ 2 ®Çu gi¶m dÇn, tiÖm cËn víi hoµnh ®é. ¤ng ®­a ra d¹ng ph­¬ng tr×nh m« t¶ ph©n bè nµy. (x  d )y dy (2.27)  dx b0  b1 x  b2 x 2 Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc 2 ë d­íi mÉu sè cña biÓu thøc trªn ®­îc c¸c lo¹i nghiÖm kh¸c nhau, t­¬ng øng víi c¸c ®­êng cong kh¸c nhau vµ «ng chia ra lµm 13 lo¹i. §­êng P.III lµ mét ®­êng trong sè c¸c ®­êng trªn, øng víi b2 = 0, nghÜa lµ øng víi ph­¬ng tr×nh: dy ( x  d ) y (2.28)  dx b0  b1 x -Hµm mËt ®é: ChÝnh lµ tÝch ph©n ph­¬ng tr×nh (2.28)(H×nh 2.10). a x x d d (2.29) f ( x )  y  y0 ( 1  )e a 32
  12. H×nh 2.10. Hµm mËt ®é tÇn suÊt Pearson III trong ®ã: a: kho¶ng c¸ch tõ khëi ®iÓm cña ®­êng cong (trÞ sè nhá nhÊt x0) ®Õn sè ®«ng x®,; y0: X¸c suÊt xuÊt hiÖn sè ®«ng (tung ®é lín nhÊt cña ®­êng cong); d: kho¶ng c¸ch tõ x® ®Õn x . V iÕt tæng qu¸t ta cã hµm mËt ®é cña ®­êng cong Pearson III:    1  x (2.30) f ( x)  xe ( ) - Hµm tÇn suÊt     1   x (2.31) P( x )   f ( x )dx   (  ) x e dx x x Cã tµi liÖu [32] cho r»ng ph©n bè P.III lµ kh¸i qu¸t cña ph©n bè nhÞ thøc cho tr­êng hîp biÕn x lµ liªn tôc vµ t¨ng lªn v« h¹n. Tuy nhiªn còng cã ý kiÕn [10] cho r»ng kh«ng ph¶i nh­ vËy, v× khi n   th× ph©n bè nhÞ thøc tiÕn tíi ph©n bè Poisson vµ ph©n bè chuÈn (chØ cÇn n100), cßn víi ph©n bè P.III khi n t¨ng th× hÖ sè CS vÉn kh«ng gi¶m tíi kh«ng, tøc lµ chuçi kh«ng ®èi xøng. Ph©n bè cã hµm Gama ë trong c¸c biÓu thøc cña hµm tÇn suÊt vµ cã 3 th«ng sè xo ,  vµ  nªn ®«i khi gäi lµ ph©n bè Gama 3 th«ng sè. Khi Cs=2Cv th× xo= 0, chØ cßn 2 th«ng sè  vµ  nªn ng­êi ta gäi lµ ph©n bè Gama 2 th«ng sè. - C¸c th«ng sè Theo d¹ng tæng qu¸t cã thÓ x¸c ®Þnh  vµ  theo c¸c m«men trung t©m: 3 4 2 2 2 ; , (2.32)   2 3  3 trong ®ã: chØ sè d­íi lµ bËc cña c¸c m«men, cßn chØ sè trªn lµ bËc luü thõa cña c¸c m«men ®ã. C¸c hÖ sè Cv, Cs còng ®­îc x¸c ®Þnh theo c¸c m«men trªn nªn cã quan hÖ t­¬ng øng gi÷a 3 th«ng sè th«ng dông víi c¸c th«ng sè  vµ  1 2 a 4 ; (2.33)    1 d CV CS d CS Theo d¹ng (2.29) th× ®­êng P.III cã 3 th«ng sè lµ a,d vµ y0. 3 th«ng sè nµy cã quan hÖ víi c¸c th«ng sè th­êng dïng nh­ sau: 33
  13. 4 2 4  CS 2C s  2  1  2Cv x C C ; C  d; (2.34) d v s a x s  2  y0  Cs   4  2 4 C v e CS  2  C   s - TÝnh chÊt Ph©n bè cã giíi h¹n 1 ®Çu: xmin < x < ; Cã mét sè ®«ng x® vµ kh«ng ®èi xøng; HÖ sè bÊt ®èi xøng cã giíi h¹n: 2Cv x víi K min  min (2.35) 2C v  C s  1  K min x Khi Cs=2Cv th× giíi h¹n d­íi xmin=0, trªn giÊy Hazen ®­îc ®­êng th¼ng; Khi Cs>2Cv th× giíi h¹n d­íi xmin>0, trªn giÊy Hazen ®­îc ®­êng cong lâm (so víi trôc p); Khi Cs
  14. Chó ý r»ng trong tr­êng hîp Cs
  15.   195 1960 1020 1510 3,33 1,31 1961 1090 1430 5,56 1,24 Cv=0,17 1962 989 1400 7,78 1,22 Cs =-0,15 1963 745 1390 10,00 1,21 ....... .......... ................... .................... ............ ............................. 1999 1510 946 90,00 0,82 2000 1190 926 92,22 0,80 2001 1340 811 94,44 0,70 2002 1380 762 96,67 0,66 2003 1320 745 98,89 0,65 TiÕn hµnh c¸c b­íc sau: 1). TÝnh c¸c ®Æc tr­ng thèng kª mÉu theo ph­¬ng ph¸p m«men, ®­îc: Qn ¨ m =1150 m3/s;   195 m3/s; Cv=0,17; Cs =-0,15 2). S¾p xÕp theo thø tù gi¶m dÇn, tÝnh tÇn suÊt kinh nghiÖm theo c«ng thøc sè gi÷a (2.2). 3). ChÊm c¸c ®iÓm kinh nghiÖm Q~P t­¬ng øng lªn giÊy tÇn suÊt Hazen ®­îc ®­êng kinh nghiÖm (h×nh 2.12). 4). Víi c¸c th«ng sè ë trªn tra b¶ng Foster-R­bkin cho mét sè tÇn suÊt P ®­îc c¸c gi¸ trÞ  P . L­u ý r»ng víi Cs=-0,15
  16. H×nh 2.12: §­êng tÇn suÊt P.III Qn¨m tr¹m Lai Ch©u-s«ng §µ B¶ng 2.4. C ¸c gi¸ trÞ p, QP t­¬ng øng víi c¸c tÇn suÊt P cña tr¹m Lai Ch©u-s«ng §µ P% 0,1 1 5 10 25 50 75 90 99 99,9 p 2,88 2,22 1,60 1,26 0,68 0,02 -0,66 -1,30 -2,44 -3,31 Kp 1,490 1,377 1,272 1,214 1,116 1,003 0,884 0,779 0,585 0,437 Qp 1714 1583 1453 1396 1283 1153 1016 895 673 502 c. Ph©n bè log-Pearson III Ph©n bè log-Pearson III lµ ph©n bè khi lg(x) cã ph©n bè P.III. Nh­ vËy c¸c th«ng sè thèng kª gi¸ trÞ trung b×nh, hÖ sè biÕn ®æi Cv vµ hÖ sè bÊt ®èi xøng Cs x¸c ®Þnh theo log(x). Hµm mËt ®é vµ hµm tÇn suÊt hoµn toµn t­¬ng tù nh­ P.III, nh­ng víi biÕn míi y=log(x) - Hµm mËt ®é  y  1e  y p( x )  (2.40) x( ) - Hµm tÇn suÊt    y  1e  x dx (2.41) P( x )  f ( x )dx    x( ) x x TÝnh chÊt t­¬ng tù nh­ hµm P.III, nh­ng øng víi biÕn y=log(x). Cã thÓ x¸c ®Þnh gi¸ trÞ yp theo c¸c b­íc nh­ ph©n bè P.III, sau ®ã ®æi l¹i biÕn cò x=10y ®Ó ®­îc c¸c xp t­¬ng øng. Tuy nhiªn còng cã thÓ sö dông trùc tiÕp c«ng thøc hÖ sè tÇn suÊt cña VenTe Chow (2.36a) ë trªn vµ KT ®­îc tÝnh theo c¸c biÓu thøc gÇn ®óng t­¬ng øng víi ph©n bè log- P.III: 1 1 K T  Z  ( Z 2  1)k  ( Z 3  6 Z )k 2  ( Z 2  1)k 3  Zk 4  k 5 , (2.42) 3 3 2 ,515517  0 ,802853 W  0 ,010328 W 2 trong ®ã: , (2.43) ZW 1  1 ,432788 W  0 ,189629 W 2  0 ,001308 W 3 1/ 2  1 Víi : , (2.44) W   ln( 2 )  p  vµ: k=Cs/6. Víi p> 0,5 ta thay p trong (2.40) b»ng (1-p) vµ gi¸ trÞ Z tÝnh ®­îc sau ®ã ®æi dÊu. Sai sè tÝnh Z theo c«ng thøc trªn nhá h¬n 0,00045 (Abramo Witz vµ Stegun (1965)[15]. ë Mü ph©n bè log-P.III ®­îc coi lµ ph©n bè tiªu chuÈn trong tÝnh to¸n tÇn suÊt lò lín nhÊt hµng n¨m [15]. VÝ dô 2.6: Trong vÝ dô víi dßng ch¶y lín nhÊt n¨m tr¹m Hoµ b×nh s«ng §µ, ®· x¸c ®Þnh ®­îc c¸c th«ng sè Qmax =9598;   2399; Cv=0,25; Cs =0,65. TÝnh Qmax2%. V× p=2%=0,02, theo (2.44) ta ®­îc: 1/ 2 1/ 2  1 = W   ln(  1 =2,7971. ) W   ln( 2 )   0 ,02 2 p    37
  17. Thay W ë trªn vµo c«ng thøc (2.42) ta ®­îc: 2 ,515517  0 ,802853 W  0 ,010328 W 2 =2,054. ZW 1  1,432788 W  0 ,189629 W 2  0 ,001308 W 3 Cs=0,65 suy ra k=Cs/6=0,65/6=0,11. Víi z võa tÝnh ®­îc ë trªn thay vµo (2.42), ta cã: 1 1 K T  2,054  ( 2,054 2  1). 0,11  ( 2,054 3  6.2,054 ).0,11 2  ( 2,054 2  1).0,113  2,054 .0,11 4  0,115 3 3 = 2,398. §­a gi¸ trÞ võa tÝnh vµo c«ng thøc (2.36a), ®­îc: Qmax 2%  Qmax  K T   9598  2 ,398 * 2399  15350 (m3/s). Trong khi ®ã theo ®­êng P.III cã: Qmax2%= 15500 (m3/s). Sai kh¸c víi ®­êng P.III lµ 0,95%. d. Ph©n bè Kritski-Menkel §­êng tÇn suÊt P.III ®­îc øng dông réng r·i trong thuû v¨n, tuy nhiªn khi Cs
  18. H×nh 2.13. § ­êng tÇn suÊt Kritski-Menkel - Hµm mËt ®é 1  xb   1     a b (2.47) f(x)  x e  a b b(  ) - Hµm tÇn suÊt 1  x b     1    a b (2.48) P( x )   f ( x )dx   f ( x ) x e dx  b x x a b (  ) §­êng tÇn suÊt cã 3 th«ng sè a, b vµ  nªn còng th­êng ®­îc gäi lµ ®­êng cong Gama 3 th«ng sè. D¹ng ®­êng tÇn suÊt nh­ h×nh (2.13). - C¸c th«ng sè: 3 th«ng sè trªn cã thÓ tÝnh ®­îc tõ c¸c m«men sau:  (   b )a ; (2.49) 1  x   (  ) b  (  ) (   2 b )  1; (2.50) 2  (   b )2  2 (  ) (   3 b )  (  ) (   3 b )  2, (2.51) 3  3  (   b )  3  (   b ) 3 2 x =1 nªn tõ (2.49) ta cã: Nãi riªng v× lÊy  (  ) b (2.52) a (   b ) - TÝnh chÊt ChØ cã 1 sè ®«ng x®; Khi Cs = 2Cv trïng víi ®­êng P.III; Khi Cs >2Cv ë vïng P lín (>99%) tung ®é ®­êng Kritski-Menkel nhá h¬n P.III, cßn ë vïng P nhá (
  19. CS =mCV kh¸c nhau (phô lôc 2.6). C¸c b­íc thùc hiÖn t­¬ng tù nh­ khi x©y dùng ®­êng tÇn suÊt Pearson III. - øng dông: §­êng tÇn suÊt Kritski-Menkel còng ®­îc øng dông ë nhiÒu n¬i trong ®ã cã ViÖt nam vµ th­êng hay sö dông cho dßng ch¶y lín nhÊt do ë tÇn suÊt nhá ®­êng nµy cho gi¸ trÞ lín h¬n, lµm t¨ng ®é an toµn cña kÕt qu¶ tÝnh to¸n. Tuy nhiªn trªn thÕ giíi nã kh«ng ®­îc dïng réng r·i nh­ ®­êng P.III. -VÝ dô 2.7: X©y dùng ®­êng tÇn suÊt Kritski-Menkel cho dßng ch¶y lín nhÊt n¨m tr¹m Hoµ B×nh s«ng §µ (1956-2002)(b¶ng 2.6). B¶ng 2.6: L­u l­îng lín nhÊt tr¹m Hoµ B×nh, s«ng §µ (1956-2002) TT N¨m Qmax §­êng kinh nghiÖm Qmaxs¾pxÕp Ki P=m/(n+1) 1 1956 9940 16900 1,76 2,08 2 1957 9210 15400 1,60 4,17 3 1958 9040 14500 1,51 6,25 4 1959 8830 12400 1,29 8,33 5 1960 8230 12300 1,28 10,42 .... .......... .............. .............. ........... .................. 43 1998 12300 6430 0,67 89,58 44 1999 10800 6180 0,64 91,67 45 2000 9810 5890 0,61 93,75 46 2001 10400 5480 0,57 95,83 47 2002 10600 4380 0,46 97,92 TiÕn hµnh nh­ sau: 1). S¾p xÕp sè liÖu theo thø tù gi¶m dÇn, tÝnh tÇn suÊt kinh nghiÖm theo c«ng thøc sè kú väng (2.3). 2). VÏ ®­êng tÇn suÊt kinh nghiÖm lªn giÊy tÇn suÊt Hazen. 3). TÝnh c¸c ®Æc tr­ng thèng kª mÉu theo ph­¬ng ph¸p m«men, ®­îc: Qmax =9598 m /s;   2399 m3/s; Cv=0,25. Riªng Cs chän Cs =3Cv. 3 4). Dùa vµo c¸c gi¸ trÞ Cv vµ Cs ®Ó tra b¶ng ph©n bè Kritski-Menkel øng víi c¸c tÇn suÊt P ®­îc c¸c gi¸ trÞ Kp. TÝnh Qmaxp theo c«ng thøc (2.39). ChÊm c¸c ®iÓm Qmaxp~P lªn giÊy tÇn suÊt. 5). HiÖu chØnh l¹i th«ng sè cho ®­êng lÝ luËn phï hîp víi ®­êng thùc nghiÖm (nguyªn t¾c hiÖu chØnh ®­îc tr×nh bµy môc sau). 6). Víi bé th«ng sè míi, tra l¹i b¶ng vµ tÝnh l¹i Qmaxp. ChÊm l¹i c¸c ®iÓm lªn giÊy tÇn suÊt vµ l­în tr¬n ®­îc ®­êng tÇn suÊt lÝ luËn Kritski-Menkel cã d¹ng nh­ h×nh (2.14). KÕt qu¶ t­¬ng øng víi mét sè tÇn suÊt p cho trong b¶ng (2.5) 40
  20. H×nh 2.14: §­êng tÇn suÊt Kritski-Menkel Qmax tr¹m Hoµ B×nh–s«ng §µ e. Ph©n bè Goodrich Goodrich E.D. ®Ò nghÞ mét ph©n bè thèng kª cho chuçi dßng ch¶y s«ng ngßi vµ m­a cã d¹ng kinh nghiÖm. Sau ®ã Alecx©yev G.A. ®· chØ ra r»ng d¹ng nµy còng lµ d¹ng gi¶i tÝch ®Ó trë thµnh ®­êng tÇn suÊt lÝ luËn m« t¶ chuçi thuû v¨n nh­ c¸c ®­êng tÇn suÊt kh¸c. - Hµm tÇn suÊt ( x  x0 ) n  ( xm  x ) m P( x )  e , (2.53) trong ®ã: x0=xmin lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt; xm=xmax lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña ®¹i l­îng ngÉu nhiªn x,  , n, m lµ c¸c th«ng sè x¸c ®Þnh theo chuçi quan tr¾c x. Nh­ vËy ®­êng nµy cã 5 th«ng sè. Trong thùc tÕ chØ sö dông mét sè tr­êng hîp riªng vµ khi ®ã sè th«ng sè sÏ gi¶m ®i. 1 - n=1,0; Cs = 2,0; Cv = 1,0; 2 - n = 1,4; Cs = 1,19; Cv = 0,72; 3 - n = 2,0; Cs = 0,63; Cv = 0,52; 4 - n=3,6; Cs = 0,0; Cv = 0,31; 5 - n = 6,0; Cs = -0,37; Cv = 0,19. H×nh 2.15: §­êng tÇn suÊt Goodrich tr­êng hîp bÞ chÆn d­íi 1). Tr­êng hîp1: BÞ chÆn d­íi, cã 3 th«ng sè, khi m=0 vµ x0 x
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2