Phép Chia Hết

Chia sẻ: trungtran4

" Phép Chia Hết " sẽ giúp cho các em học sinh có thể tự học, tự ôn tập, luyện tập và tự kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu kiến thức, nâng cao khả năng vận dụng kiến thức toán học, chúc các em học tốt

Nội dung Text: Phép Chia Hết

Tác gi : Nguy n H u ði n http://www.toanthpt.net tư li u Phú Khánh

Phép chia h t
1.1 ð ng dư theo mô ñun

Bài toán 1. Ch ng minh r ng a ≡ b (mod m) khi và ch khi a – b chia h t m.

Bài toán 2. N u a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m), thì a + c ≡ b + d (mod m).

Bài toán 3. N u a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), thì a – c ≡ b – d (mod m).

Bài toán 4. N u a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), thì ac ≡ bd (mod m).

Bài toán 5. N u a ≡ b (mod m), n – s t nhiên, thì an ≡ bn (mod m).

Bài toán 6. Ch ng minh r ng n² + 1 không chia h t cho 3 v i b t c m t s nguyên n nào.

Bài toán 7. Hãy tìm s dư c a phép chia 6¹ºº cho 7.

Bài toán 8. Ch ng minh r ng 3099 + 61¹ºº chia h t cho 31.

Bài toán 9. Ch ng minh r ng
а) 43¹º¹ + 23¹º¹ chia h t cho 66.
б) an + bn chia h t cho a + b, n u n – s l .

Bài toán 10. Ch ng minh r ng 1n + 2n + … + (n – 1)n chia h t cho n v i n là s ch n.

Bài toán 11. Ch ng minh r ng t n t i vô h n các s t nhiên, không bi u di n thành t ng c a ba
s l p phương.

Bài toán 12. Ch ng minh r ng m i s có d ng 103n + 1 không th bi u dư i d ng t ng c a hai s
t nhiên l p phương.

Bài toán 13. Ch ng minh r ng trong 51 s nguyên tìm ñư c hai s , bình phương c a chúng cho
cùng m t s dư khi chia chúng cho 100.

Bài toán 14. Ta g i s t nhiên n là thu n ti n, n u n² + 1 chia h t cho 1000001. Ch ng minh
r ng gi a các s 1, 2, …, 1000000 có s ch n s thu n ti n.

Bài toán 15. а) Có th bình phương m t s t nhiên có ch s t n cùng là 2?
б) Có th ch dùng các ch s 2, 3, 7, 8 (có th dùng m t s l n cho m t ch s ), ñ t o ra m t
s t nhiên chính phương?

Bài toán 16. M t s nào có th c ng vào s (n² – 1)¹ººº • (n² + 1)¹ºº¹, ñ k t qu chia h t cho n?

Bài toán 17. Hãy tìm s dư c a phép chia s 10¹º + 10¹ºº + 10¹ººº + … + 10¹ºººººººººº cho 7.

Bài toán 18. T n t i bao nhiêu s t nhiên n, nh hơn 10000, mà v i chúng 2n – n² chia h t cho
7?
Tác gi : Nguy n H u ði n http://www.toanthpt.net tư li u Phú Khánh

Bài toán 19. Ta kí hi u k là tích c a m t vài s nguyên t ñ u tiên (l n hơn m t). Ch ng minh
r ng s а) k – 1; б) k + 1 không ph i là s chính phương.

Bài toán 20. Có t n t i không m t s t nhiên n, sao cho n² + n + 1 chia h t cho 1955?

Bài toán 21. Ch ng minh r ng 11n + 2 + 122n + 1 chia h t cho 133 v i s t nhiên b t kì n.

Bài toán 22. Cho n – s t nhiên sao cho n + 1 chia h t cho 24. Ch ng minh r ng t ng c a t t c
ư c s t nhiên c a n chia h t cho 24.

Bài toán 23. Dãy s a1, a2, a3, … nh ng s t nhiên sao cho an + 2 = an + 1an + 1 v i m i n.
а) a1 = a2 = 1. Ch ng minh r ng không có m t s h ng nào không chia h t cho 4.
б) Ch ng minh r ng an – 22 là h p s v i m i n > 10.

1. 2. Ghi h s th p phân và nh ng d u hi u chia h t

Bài toán 24. Ch ng minh r ng s t nhiên b t kì l y ñ ng dư v i ch s cu i cùng c a nó theo
mô ñun а) 10; б) 2; в) 5.

Bài toán 25. Ch ng minh r ng a1a2a3 ... an-1an = an-1an (mod 4).

Bài toán 26. Hãy phát bi u và ch ng minh tiêu chu n chia h t c a m t s cho 2n và 5n.

Bài toán 27. Ch s cu i cùng c a bình phương m t s t nhiên là 6. Ch ng minh r ng ch s
trư c ch s cu i cùng là m t s l .

Bài toán 28. Ch s trư c ch s cu i cùng c a m t s t nhiên bình phương là s l . Ch ng
minh r ng ch s cu i cùng c a nó là 6.

Bài toán 29. Ch ng minh r ng lũy th a c a 2 không th có b n ch s cu i cùng có cùng m t
ch s gi ng nhau.

Bài toán 30. Hãy tìm m t s có 100 ch s không có s không mà nó chia h t cho t ng các ch
s c a nó.

Bài toán 31. Ch ng minh r ng s t nhiên b t kì ñ u ñ ng dư v i t ng các ch s c a nó theo
mô ñun а) 3; б) 9.

Bài toán 32. Có th vi t m t s chính phương b ng cách dùng 10 l n các ch a s а) 2, 3, 6; б)
1, 2, 3 ?

Bài toán 33. Trong cơ s 10 c a s 2¹ºº tính t ng các ch s , k t qu tìm ñư c l i tính t ng các
ch s c a nó và vân vân. Cu i cùng ta nh n ñư c m t s có m t ch s . Hãy tìm s này.

Bài toán 34. Ch ng minh r ng n u vi t ngư c th t c a các ch s c a m t s t nhiên b t kì,
thì hi u c a s ban ñ u và s v a t o ra s chia h t cho 9.

Bài toán 35. Vi t thêm vào s 15 phía bên ph i và phía bên trái m t ch s sao cho s nh n
ñư c chia h t cho 15.
Tác gi : Nguy n H u ði n http://www.toanthpt.net tư li u Phú Khánh


Bài toán 36. Có bao nhiêu ch s có b n ch s mà chúng chia h t cho 45, mà hai ch s gi a
nó là s 97?

Bài toán 37. Tìm s t nhiên nh nh t mà nó chia h t cho 36, trong các vi t c a nó b t g p t t
c mư i ch s .

Bài toán 38. Ch ng minh r ng tích c a ch s cu i cungùng c a s 2n và t ng t t c các ch s
c a s này tr s cu i cùng, chia h t cho 3.

Bài toán 39. Có th có t ng các ch s c a m t s chính phương b ng 1970 không?

Bài toán 40. T các s có ba ch s tính t ng các ch s c a nó. T s nh n ñư c chia h t cho
chính nó và hơn n a chia h t 100 l n. Ch ng minh r ng trong k t qu nh n ñư c b ng.

Bài toán 41. Cho A là t ng c a các ch s s 44444444, còn B là t ng các ch s c a s A. Hãy
tìm t ng các ch s c a s B.

Bài toán 42. Ch ng minh r ng
a1a2...an ≡ an – an + ... + (–1)n-1 a1 (mod 11)

Bài toán 43. Ch ng minh r ng число 111 … 11 (2n s 1) là h p s .

Bài toán 44. Ch ng minh r ng s a1a2 ... anan ...a2a1 là h p s .

Bài toán 45. Cho a, b, c, d – các ch s khác nhau. Ch ng minh r ng cdcdcdcd không chia h t
cho aabb.

Bài toán 46. A là m t s có sáu ch s , trong cách vi t c a nó b t g p m i ch s sau m t l n 1,
2, 3, 4, 5, 6. Ch ng minh r ng A không chia h t cho 11.

Bài toán 47. Ch ng minh r ng hi u m t s có s lư ng các ch s ch n và m t s b ng cách
vi t ngư c l i th t ch s trong s này, chia h t cho 99.

Bài toán 48. Có th t o t nh ng ch s 2, 3, 4, 9 (m i s có th vi t l p l i m t s l n) thành
hai s , m t s trong chúng b ng 19 l n s còn l i?

Bài toán 49. T ng hai ch s a và b chia h t cho 7. Ch ng minh r ng s aba cũng chia h t cho
7.

Bài toán 50. T ng các ch s c a m t s có ba ch s b ng 7. Ch ng minh r ng s này chia h t
cho 7 khi và ch khi hai ch s cu i cùng c a nó b ng nhau.

Bài toán 51. а) Cho s có 6 ch s abcdef , hơn n a def - abc chia h t cho 7. Ch ng minh r ng
c chính s ñó chia h t cho 7.
б) Hãy phát bi u và ch ng minh r ng tiêu chu n chia h t cho 7.
в) Hãy phát bi u và ch ng minh r ng tiêu chu n chia h t cho 13.
Tác gi : Nguy n H u ði n http://www.toanthpt.net tư li u Phú Khánh

Bài toán 52. а) Cho s có 6 ch s abcdef, hơn n a abc+def chia h t cho 37. Ch ng minh r ng
c chính s ñó chia h t cho 37.
б) Hãy phát bi u và ch ng minh tiêu chu n chia h t cho 37.

Bài toán 53. Có t n t i không m t s có ba ch s abc sao cho abc - cba là bình phương c a
m t s t nhiên?

Bài toán 54. Tìm s nh nh t mà vi t ch b ng s 1 l i chia h t cho 333 … 33 (trong cách vi t
100 b ba).

Bài toán 55. Có th có t ng m t vài s t nhiên ñ u tiên có các ch s k t thúc là 1989?

Bài toán 56. Tìm t t c nh ng s t nhiên mà chúng tăng lên 9 l n, n u gi a ch s hàng ñơn v
và ch s hàng ch c cho vào ñó s 0.

Bài toán 57. Gi a nh g ch s có hai ch s là b i c a c a 3, ñ t vào s 0, và thêm vào s có
ba ch s v a nh n ñư c hai l n ch s ph n trăm. Ta nh n ñư c m t s 9 l n l n hơn s ban
ñ u. Tìm s ban ñ u.

Bài toán 58. Tìm s có 4 ch s , mà nó là m t s chính phương, hai ch s ñ u tiên c a nó b ng
nhau và hai ch s cu i cùng cũng gi ng nhau.

Bài toán 59. Hãy tìm t t c các s có ba ch s , lũy th a c a m i s t nhiên c a nó có k t thúc
ba ch s t o b i s ban ñ u.

Bài toán 60. Thêm vào t phía ph i m t s ch s 3. Ch ng minh r ng m i trư ng h p ñ u
nh n ñư c m t s ph c h p.

Bài toán 61. Ch ng minh r ng все числа ряда 10001,100010001,1000100010001, … là h p
s .

1.3. Phương trình s nguyên và các bài toán khác

Bài toán 62. Gi i phương trình 3x + 5y = 7 trong các s nguyên.

Bài toán 63. Tìm t t c nghi m nguyên c a phương trình 3x – 12y = 7.

Bài toán 64. Gi i phương trình 1990x – 173y = 11.

Bài toán 65. Tìm t t c nghi m nguyên c a phương trình 21x + 48y = 6.

Bài toán 66. Gi i phương trình 2x + 3y + 5z = 11 trong t p s nguyên.

Bài toán 67. M t con ki n ñ ng t i m t ô trên m t bàn c vô h n ô vuông trên m t t gi y. Nó
có th chuy n ñ n ñư c m ô v phía ph i ho c ñ n n ô bên trái. V i s m và n nào nó có th
di chuy n ñ n ô bên ph i bên c nh? S bư c ñi nh nh t nào nó có th làm ñư c?

Bài toán 68. (2x + y)(5x + 3y) = 7.
Tác gi : Nguy n H u ði n http://www.toanthpt.net tư li u Phú Khánh

Bài toán 69. xy = x + y + 3.

Bài toán 70. x² = 14 + y².

Bài toán 71. x² + y² = x + y + 2.

Bài toán 72. x² + y² = 4z – 1.

Bài toán 73. x² – 7y = 10.

Bài toán 74. x³ + 21y² + 5 = 0.

Bài toán 75. 15x² – 7y² = 9.

Bài toán 76. x² + y² + z² = 8t – 1.

Bài toán 77. 3m + 7 = 2n.

Bài toán 78. 3 • 2m + 1 = n².

Bài toán 79. 1/a + 1/b + 1/c = 1.

Bài toán 80. x² – y² = 1988.

Bài toán 81. Ch ng minh r ng phương trình 1/x – 1/y = 1/n có m t nghi m duy nh t trong t p
s t nhiên khi và ch khi n là s nguyên t .

Bài toán 82. Gi i phương trình trong t p s nguyên. x³ + 3 = 4y(y + 1).

Bài toán 83. Gi i phương trình trong t p s nguyên. x² + y² = z².

Bài toán 84. Gi i phương trình trong t p s nguyên. x² – 5y² = 1.

1.4. ð nh lí Fermat nh

Bài toán 85. Cho ka ≡ kb (mod m), k và m – nguyên t cùng nhau. Khi ñó a ≡ b (mod m).

Bài toán 86. Cho ka ≡ kb (mod kn). Khi ñó a ≡ b (mod n).

Bài toán 87. Tìm s dư c a phép chia 2¹ºº cho 101.

Bài toán 88. Tìm s dư c a phép chia 3¹º² cho 101.

Bài toán 89. Ch ng minh r ng 300³ººº – 1 chia h t cho 1001.

Bài toán 90. Tìm s dư c a phép chia 8900 cho 29.

Bài toán 91. Ch ng minh r ng 7¹²º – 1 chia h t cho 143.

Bài toán 92. Ch ng minh r ng s 30239 + 239³º là h p s .
Tác gi : Nguy n H u ði n http://www.toanthpt.net tư li u Phú Khánh


Bài toán 93. Cho p là s nguyên t . Ch ng minh r ng (a + b)p = ap + bp (mod p) v i m i s
nguyên a và b.

Bài toán 94. T ng c a ba s a, b và c chia h t cho 30. Ch ng minh r ng a5 + b5 + c5 cũng chia
h t cho 30.

Bài toán 95. Cho p và q là nh ng s nguyên t khác nhau. Ch ng minh r ng
а) pq + qp = p + q (mod pq).
б) [(pq+qp)/pq] là m t s ch n, n u p, q ≠ 2.

Bài toán 96. Cho p là s nguyên t , và a không chia h t cho p. Ch ng minh r ng tìm ñư c s t
nhiên b, sao cho ab ≡ 1 (mod p).

Bài toán 97. (ð nh lí Wilson). Cho p là s nguyên t . Ch ng minh r ng (p – 1)! ≡ – 1 (mod p).

Bài toán 98. Cho n – s t nhiên, không ph i b i c a 17. Ch ng minh r ng ho c n8 + 1, ho c
n8 – 1 chia h t cho 17.

Bài toán 99. а) Cho p – s nguyên t , khác 3. Ch ng minh r ng s 111 … 11 (p s 1) không
chia h t cho p.
б) Cho p > 5 – s nguyên t . Ch ng minh r ng s 111 … 11 (p – 1 s 1) chia h t cho p.

Bài toán 100. Ch ng minh r ng v i s nguyên t b t kì p, hi u s
111 … 11222 … 22333 … 33 … 888 … 88999 … 99 – 123456789 (trong s th nh t nh ng s
khác không ñư c l p l i p l n) chia h t cho p.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản