PHÉP TỊNH TIẾN

Chia sẻ: hoangyeudoi110

Tham khảo tài liệu 'phép tịnh tiến', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: PHÉP TỊNH TIẾN

PHÉP TỊNH TIẾN

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
r uuuuu r
r
1. Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho MM ' = v
uuuuu u
rr
r
Tv ( M ) = M ' � MM ' = V
được gọi là phép tịnh tiến theo v . Ta có: r
uuuuur uuuu r
2. Nếu Tv ( M ) = M ', Tv ( N ) = N ' thì M ' N ' = MN , từ đó suy ra: MN = M’N’
r r

3. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đườngthẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng bằng nó, ...
r =x ' = x + a
4. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ v ( a;b ) là: =
=y ' = y + b

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Vấn đề 1. Tìm ảnh của một hình qua phép tịnh tiến
Phương pháp.
Dùng định nghĩa hoặc biểu thức tọa độ

Bài 1. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của hình bình hành ABOF qua phép tịnh tiến theo
uuu
r
vectơ OD
Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 3x + 2y – 4 = 0. Hãy tìm ảnh của d qua
r
phép tịnh tiến theo vectơ v = ( −2;3)
Bài 3. Trong mpOxy, hãy tìm ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 qua phép tịnh tiến vectơ
r
v = ( 2; −3)
Bài 4. Trong mpOxy cho đường thẳng a: 3x + 2y + 1 = 0. Hãy tìm đường thẳng b sao cho a là ảnh của b
r
qua phép tịnhtiến theo vectơ v = ( −2;3)

Vấn đề 2. Chứng minh một số tính chất hình học

Bài 5. Cho đường tròn (O ; R) và hai điểm A, B nằm trên đường tròn sao cho số đo cung AB bé hơn 1800.
uuu
r

Gọi (O’ ; R’) và B’là ảnh của (O;R) và B qua phép tịnh tiến theo 2OA . Chứng minh: BAB' = 900
Bài 6.
Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N
sao cho BM = CN. Gọi P, Q lần lượt là chấn các đường vuông góc hạ từ M và N xuống các đường thẳng
AC và AB. Chứng minh rằng tập hợp 4 điểm A, P, H, Q nằm trên cùng một đường tròn.
Bài 7.
uuuu tam giác ABC nội tiếp (O) và điểm M nằm trên cung BC không chứa A. Phép tịnh tiến theo
Cho
r
vectơ MA biến B thành B’, C thành C’. Chứng minh rằng trực tâm tam giác AB’C’ nằm trên đường cao
tam giác ABC kẻ từ A.

Bài 8. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G, biết rằng: BGC = 600 . Chứng
BE + CF
minh rằng: BC +
3
Vấn đề 3. Dựng hình
Bài 9. Cho hai đường tròn (O), (O’) và đường thẳng d. Hãy dựng đường thẳng d’//d cắt hai đường tròn đã
cho thành hai dây cung có độ dài bằng nhau.

Vấn đề 4. Tìm tập hợp điểm
Bài 10. Cho tam giác ABC. Vuuuu ỗi điểm M uuurựng điểm N theo công thức:
uuuu ới m uuur ta d
r r
MN = MA + 2MB − 3MC
Tìm tập hợp N, khi M thay đổi trên đường thẳng d cho trước.

1
Bài 11. Cho hai điểm cố định A, B và đường tròn (O). Với mỗi điểm M thuộc (O) ta gọi M’ là điểm đối
xứng với M qua A và M’’ là đối xứng với M’ qua B. Tìm tập hợp M’’ khi M thay đổi trên (O)

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Bài 1. Cho hai đường thẳng a, b và đường tròn (O). Hãy tìm trên a điểm M và trên (O) điểm N sao cho b
là đường trung trực của đoạn MN
Bài 2. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm khác phía đối với d. Hãy dựng điểm C trên d sao cho
tam giác ABC có đường phân giác góc ACB nằm trên d.
Bài 3. Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại I và điểm A không nằm trên hai đường thẳng dó. Hãy tìm
điểm B trên a và điểm C trên b sao cho tam giác ABC nhận I là tâm đường tròn nội tiếp
Bài 4. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng phía đối với d. Hãy tìm điểm M trên d sao cho độ
dài MA + MB nhỏ nhất.
Bài 5. Cho hai điểm A, B cố định. Với moi đường thẳng d đi qua B ta dựng điểm A’ đối xứng với A qua
d. Tìm tập hợp A’, khi d quay quanh B.

PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phép quay: Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác ϕ không đổi. Phép biến
hình biến điểm O thành O, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và (OM,OM’) =
ϕ được gọi là phép quay tâm O và góc quay là ϕ .
2. Phép quay là một phép dời hình.
3. Phép đối xứng tâm: Phép đối xứng qua r ểuuuur là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành
uuuu m O r
đi u
điểm M’ đối xứng với M qua O, có nghĩa là: OM + OM ' = 0
4. Biểu thức tọa độ: Trong mặt phẳng Oxy cho I(a;b). Nếu phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M(x;y)
=x ' = 2a − x
thành điểm M’(x’;y’) thì : =
= y ' = 2b − y

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
• Phương pháp:
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm, từ phương trình của hình đã cho suy ra
phương trình ảnh của hình cần tìm.
• Bài tập ví dụ:
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép đối xứng tâm I(1;2). Phép đối xứng tâm I biến đường
thẳng ∆ : x – y + 3 = 0 thành đường thẳng ∆ ' . Hãy xác định phương trình của ∆ ' .
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép đối xứng tâm I(-2;3). Phép đối xứng tâm I biến đường tròn
( ξ ) : (x-2)2 + (y+4)2 = 16 thành đường tròn ( ξ ' ) . Hãy xác định phương trình của ( ξ ' ) .
Dạng 2: DÙNG PHÉP QUAY, PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI MỘT
SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH

• Phương pháp:
Xác định phép quay; phép đối xứng tâm , thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố cần chứng minh .
• Bài tập ví dụ: B
Bài 3: Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có chung đỉnh O
sao cho O nằm trên đoạn thẳng AB’ và nằm ngoài đoạn A’B ( hình bên).
A’
Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác OAA’ và OBB’.
Chứng minh GOG’ lần lượt là trọng tâm các tam giác vuông cân.
Bài 4: Hình bình hành MNPQ nội tiếp trong hình bình hành
ABCD (M A AB, N A BC, P CD, Q DA).

2 A
B’
O
Chứng minh rằng hai hình bình hành đó có cùng tâm.


Dạng 3: DÙNG PHÉP QUAY, PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI MỘT
SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM

• Phương pháp:
Xác định phép quay, phép đối xứng tâm cho phép tìm tạo ảnh của điểm cần tìm, tập hợp điểm qua
phép quay, phép đối xứng tâm đó. Từ sự di chuyển của tạo ảnh suy ra tập hợp điểm cần tìm.
• Bài tập ví dụ:
Bài 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn. Tìm tập hợp các
điểm I trên tia AC sao cho AI = BC.
Bài 6: Cho điểm C thay đổi trên đường tròn có đường kính AOB cố định. Trên tia AC lấy điểm P sao cho
AC = CP.
a) Tìm tập hợp các điểm Q là đỉnh của hình bình hành có hai cạnh PA, PB.
b) Tìm tập hợp các điểm R là đỉnh của hình bình hành mà có hai cạnh AB, AP.
Dạng 4: DÙNG PHÉP QUAY, PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI MỘT
SỐ BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

• Phương pháp:
Dựa vào các yếu tố cố định, đại lượng không đổi để tìm góc quay, tâm đối xứng, từ đó
xác định tạo ảnh của hình cần dựng để suy ra cách dựng.
• Bài tập ví dụ:
Bài 7: Dựng hình vuông ABCD biết ba điểm, tâm hình vuông và hai điểm M ể AB, N BC.
Bài 8: Qua điểm A là giao điểm củahai đường tròn dựng đường thẳng d cắt hai đường tròn thành hai dây
cung bằng nhau.
BÀI TẬP:
Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm I(2;-2), phép đối xứng tâm I biến
() ()
đường tròn ( ξ ) : (x-2)2 + (y+5)2 =16 thành đường tròn ξ . Hãy xác định phương trình ξ .
' '


Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho phép đối xứng tâm I(4;-3), phép đối xứng tâm I biến
(P): y = x2 – 2x +1 thành parabol (P’). Hãy xác định phương trình của (P’).
Bài 11: Cho ba đường tròn bằng nhau (O1;R), (O2;R), (O3;R) đôi một tiếp xúc nhau. (O1) tiếp xúc (O2) tại
A, (O2) tiếp xúc (O3) tại B, (O3) tiếp xúc (O1) tại C. Gọi M1=ĐA(M), M2=ĐB(M1), M3=ĐC(M2).
Chứng minh rằng nếu M ế (01;R) thì M3 là điểm đối xứng với M qua O1.
Bài 12: Từ các cạnh của ∆ ABC, dựng ra ngoài nó các tam giác đều ABC1, BCA1, CAB1. Chứng minh các
đoạn thẳng AA1, BB1,CC1 bằng nhau và đồng qui.
Bài 13: Trong ∆ ABC, tìm điểm M để tổng MA + MB + MC nhỏ nhất.
Bài 14: Cho A, B cố định trên đường tròn (O;R). Dựng tiếp tuyến với đường tròn sao cho khoảng cách từ
A tới tiếp tuyến bằng khoảng cách từ A tới đường vuông góc kẻ từ B tới tiếp tuyến.




HAI HÌNH BẰNG NHAU
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Định lý: Nếu ABC và A’B’C’ là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến tam giác ABC
thành tam giác A’B’C’.
2. Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia.
3. Nếu hình H1 bằng hình H2 và hình H2 bằng hình H3 thì hình H1 bằng hình H3.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: CHỨNG MINH HAI HÌNH BẰNG NHAU

• Phương pháp:
- Thực hiện một phép dời hình thích hợp.
3
- Sử dụng các tính chất của phép dời hình để giải quyết các yêu cầu bài toán.
• Bài tập ví dụ:
Bài 1: Hình H1 gồm ba đường tròn (O;r1), (O;r2), (O;r3) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Hình H2 gồm ba
đường tròn (I1;r1), (I2;r2), (I3;r3) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Chứng tỏ rằng hai hình H 1 và H2
bằng nhau.
Bài 2: Chứng minh rằng nếu ba trung tuyến của tam giác ABC lần lượt bằng ba trung tuyến của tam giác
A’B’C’ thì hai tam giác đó bằng nhau.
Dạng 2: CHỨNG MINH HAI HÌNH BẰNG NHAU
TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
• Phương pháp:
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép dời hình ( phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép
tịnh tiến, phép quay), từ phương trình của hình đã cho, suy ra ảnh của hình cần tìm.
• Bài tập ví dụ:
Bài 3: Trong hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho hai parabol(P) và (P’) lần lượt có phương trình y=2007x 2
và y=2007x2+2008x. Chứng minh rằng hai parabol đó bằng nhau.
Bài 4: Cho hai đường tròn (C ) và (C’ ) lần lượt có phương trình:
(x-1)2 + (y-3)2 = 9; (x+1)2 + (y-2)2 = 9
Chứng minh rằng hai đường tròn đó bằng nhau.

Dạng3: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM
• Phương pháp:
Nếu có một phép dời hình f xác định , biến một điểm M di động thành một điểm M’ và nếu ta
tìm được tập hợp (H) của các điểm M thì tập hợp các điểm M’ là ảnh của H qua phép dời hình f.
• Bài tập ví dụ:
Bài 5: Hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định và có đường chéo AC=m không đổi. Hãy tìm tập
hợp các đỉnh D của hình bình hành đó.
Bài 6: Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = AI.
a) Xác định phép dời hình biến A thành B và I thành E.
b) Dựng ảnh của hình vuông ABCD trong phép dời hình ấy.
BÀI TẬP:
x2 y 2 x2 y 2
Bài 7: Cho hai đường elip (E) và (E’) lần lượt có phương trình: + = 1 và + =1
9 4 4 9
Chứng minh rằng hai elip (E) và (E’) bằng nhau.
Bài 8: Chứng minh rằng nếu ba đường cao của tam giác ABC lần lượt bằng ba đường cao của tam
giác A’B’C’ thì hai tam giác này bằng nhau.
Bài 9: Cho tam giác ABC và D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Từ một điểm K tùy
ý ta gọi các điểm đối xứng của K lần lượt qua tâm D, E, F là M, N, P. Chứng minh rằng hai tam giác
ABC và MNP bằng nhau.
Bài 10:
Trong mặt phẳng Oxy, cho phép dời hình f biến điểm M có tọa độ (x;y) thành điểm M’=f(M) có
1
y
=x ' = 2 ( x + 3 y )
=
tọa độ (x’;y’) thỏa mãn hệ thức: =
= y ' = 1 (− 3 x + y )
= 2
Tìm ảnh của đường tròn ( C) có phương trình : x 2 + y2 - 2x + 4y – 31 = 0 qua phép dời hình f đã cho
trên.
Bài 11: Cho hai tứ giác lồi ABCD và A’B’C’D’ có tam giác ABC bằng tam giác A’B’C’ và tam giác
ACD bằng tam giác A’C’D’. Hai tứ giác này có phải hai hình bằng nhau không?

Bài 12: Hãy dựng một hình vuông có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của một hình bình hành cho trước.

PHÉP VỊ TỰ
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I.
4
1. Định nghĩa: Cho điểm O cố định và một số k không đổi, k k 0 . Phép biến hình biến mỗi
uuuur
u uuuu
r
điểm M thành điểm M’ sao cho OM ' = kOM được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k. Kí hiệu V(O;k).
Tính chất:
2. uuuuuu
r uuuu
r
• Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N thành hai điểm M’ và N’ thì M ' N ' = k MN và
M ' N ' = k .MN
• Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi vị trí
của ba điểm thẳng hàng đó.
Như vậy: phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song (hoặc trùng) với
đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên
với k , biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k , biến góc thành góc
bằng nó.
• Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k R.
Phép vị tự tâm O biến đường tròn này thành đường tròn kia thì O được gọi là tâm vị tự của
3.
hai đường tròn đó. Nếu phép vị tự có tỉ số dương thì O gọi là tâm vị tự ngoài, nếu phép vị tự đó
có tỉ số âm thì điểm O gọi là tâm vị tự trong.

CÁC DẠNG BÀI TẬP
II.
Dạng 1: DÙNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ CHỨNG MINH MỘT
SỐ BÀI TOÁN.

• Phương pháp:
Xác lập phép vị tự ( tâm và tỉ số k) để tìm mối liên hệ giữa các yếu tố cần chứng minh.
• Bài tập ví dụ:
Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một
đường tròn (O’’) thay đổi, luôn tiếp xúc ngoài với (O) và (O’) lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng
đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2: Cho tam giác ABC và A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB . Gọi G là
trọng tâm của tam giác ABC, O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm tam
giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm G, O, H thẳng hàng.
Dạng2 :DÙNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN DỰNG HÌNH.
• Phương pháp:
Dựa vào các yếu tố cố định, đại lượng không đổi để tìm ra tâm và tỉ số vị tự, từ đó xác định
ảnh của hình cần dựng để suy ra hình cần dựng.

• Bài tập ví dụ:
Bài 3:Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Hãy dựng qua A một đường thẳng d cắt
(O) tại M và cắt (O’) tại N sao cho M là trung điểm của AN.
ˆ
Bài 4: Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó. Hãy dựng đường tròn đi qua A và đồng
thời tiếp xúc với hai cạnh Ox và Oy.
Dạng 3: DÙNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM.


• Phương pháp:
Xác định phép vị tự cho phép tìm ảnh của điểm cần tìm, tập hợp điểm qua phép vị tự đó. Từ
sự di chuyển của tạo ảnh, suy ra tập hợp điểm cần tìm.
• Bài tập ví dụ:
Bài 5: Cho đường tròn (O;R) và điểm I cố định khác O. Một điểm m thay đổi trên đường tròn. Tia
phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quĩ tích điểm N.

5
ˆ
Bài 6: Cho góc xOy cố định. Trên tia Oy lấy một điểm A cố định và trên tia Ox có một điểm B
chuyển động. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác OAB.
Dạng 4: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA PHÉP VỊ TỰ TRONG
MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ .

• Phương pháp:
- Sử dụng biểu thức tọa độ sau: M(x;y), M’(x’;y’), I(a;b)
Giả sử điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép vị tự V tâm I, tỉ số k. Khi đó
uuur uuu
r
IM ' = kIM
=x ' = kx + (1 − k)a
==
=y ' = ky + (1 − k)b
• Bài tập ví dụ:
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng có phương trình : 2x +y – 1 = 0 . Hãy viết
phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng đã cho qua phép vị tự tâm là gốc tọa độ và tỉ số vị
tự k = 3.
Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình : y = x 2 + 4x. Hãy viết phương
trình parabol là ảnh của (P) đã cho qua phép vị tự tâm I(1;2), tỉ số k=2.

Bài 9: Hãy xác định phép vị tự trong mỗi trường hợp sau:
a) Biết tâm vị tự, biết một điểm A và ảnh A’ của nó.
b) Biết hai điểm A, B và hai ảnh tương ứng của chúng là A’ và B’.
AB
= k và cạnh BC = m cho trước.
ˆ
Bài 10: Dựng tam giác ABC biết A = 600 và biết
AC
Bài 11:
Tìm tập hợp các trọng tâm G của tam giác ABC cân tại A có AB cố định.
Bài 12:
Cho hình thang ABCD có AB//CD và AD=a, DC=b, còn A và B là hai đỉnh cố định. Gọi I là giao
điểm hai đường chéo.
a) Tìm tập hợp các điểm C khi D thay đổi.
b) Tìm tập hợp các điểm I khi C và D thay đổi.
Bài 13: Hãy dựng một hình vuông có hai đỉnh nằm trên một nửa đường tròn cho trứơc và hai đỉnh còn
lại nằm trên đường kính của nửa đường tròn đo.
( x − 1) + y 2 = 1
2

Bài 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) có phương trình :
4 9
Hãy tìm phương trình của (E’) là ảnh của (E) qua phép vị tự tâm O (gốc tọa độ), tỉ số k = 2.




6
PHÉP ĐỒNG DẠNG
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I.
1. Định nghĩa: Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng với tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm bất kỳ
M, N và ảnh M’, N’ của chúng, ta có M’N’= k.MN
2. Tính chất:
• Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k và một phép
dời hình D.
• Phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng ( và không làm thay
đổi thứ tự ba điểm đó), biến đường thẳng thành đường thẳng , biến tia thành tia, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k ( k là tỉ số phép đồng dạng ),
biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k, biến đường tròn có bán kính R thành
đường tròn có bán kính kR, biến góc thành góc bằng nó.
3. Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

CÁC DẠNG BÀI TẬP
II.

Dạng 1: DÙNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN CHỨNG MINH

• Phương pháp:
- Thực hiện phép đồng dạng thích hợp ( tỉ số đồng dạng)
- Sử dụng các tính chất của phép đồng dạng để giải quyết yêu cầu của bài toán.
• Bài tập ví dụ:
Bài 1:
Chứng minh rằng nếu phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì trọng tâm,
trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt biến thành trọng tâm, trực tâm, tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’.
Bài 2:
Chứng minh rằng hai đường tròn bất kỳ là hai hình đồng dạng .

Dạng 2: DÙNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
• Phương pháp:
Xác định phép đồng dạng (tìm tỉ số đồng dạng) để tìm ảnh của điểm cần tìm. Từ sự di
chuyển của tạo ảnh, suy ra tập hợp các điểm cần tìm.
• Bài tập ví dụ:
ˆ
ˆ
Bài 3: Dựng tam giác ABC nếu biết hai góc B = β , C = γ và một trong các yếu tố sau:
a) Đường cao AH:
b) Đường trung tuyến AM=m;
c) Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp.
Bài 4: Dựng tam giác BAC vuông cân tại A, có C là một điểm cho trước còn hai đỉnh A, B lần lượt
thuộc hai đường thẳng a, b song song với nhau cho trước.


Dạng 3: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA PHÉP ĐỒNG DẠNG
TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

• Phương pháp:
Do mọi phép đồng dạng là hợp thành của phép vị tự V và phép dời hình D, do vậy ta:
+ Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự.
+ Sử dụng biểu thức tọa độ của phép dời hình.
• Bài tập ví dụ:
Bài 5:

7
Trong hệ trục tọa độ Oxy. Xét phép biến hình f cho ứng với mỗi điểm M(x;y), ta xác định một
điểm M’(3x;-3y)
a) Chứng minh f là phép đồng dạng .
b) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đồng dạng f, biết A(3;4), B(-4;2), C(2;4).
Bài 6:
Trong mặt phẳng Oxy cho hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng có tọa độ các đỉnh là A(0;0),
B(0;2), C(4;0) và A’(3;8), B’(0;5), C’(9;2). Hãy xác định phương trình của phép đồng dạng f sao cho
f(A) = A’, f(B) = B’, f(C) = C’.

BÀI TẬP:
Bài 7:
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A xuống BC (H ố BC). Chứng minh rằng
có một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC.
Bài 8:
Cho tam giác ABC vuông tại B, BE là đường cao kẻ từ B xuống AC (E ố AC). Chứng minh rằng
có một phép đồng dạng biến tam giác AEB thành tam giác BEC.
Bài 9:
A ' B ' B 'C ' C ' A '
= = = 2.
Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng với nhau theo tỉ số
AB BC CA
Hãy xác định phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.
Bài 10:
Trên hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cho trước ta lần lượt lấy hai điểm A, A’. Cho A di động trên
đường tròn (O;R). Tìm tập hợp các điểm M là trung điểm của đoạn AA’.
Bài 11:
Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) ngoài nhau. Hãy xác định phép đồng dạng biến đường tròn
này thành đường tròn kia.
Bài 12:
Trong hệ trục tọa độ Oxy. Xét phép biến hình f cho ứng với mỗi điểm M(x;y), ta xác định điểm
M(2x+1;2y)
a) Chứng minh f là phép đồng dạng .
b) Tìm phương trình của đường tròn (C) qua phép đồng dạng f biết (C) có phương trình :
(x -1)2 + (y +2)2 = 9




8
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản