PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Chia sẻ: 240271864

Tài liệu ôn thi môn toán tham khảo về các phương pháp giải phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ.

Nội dung Text: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

 

  1. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1: Phương trình: α1a 2 x + α 2 a x + α 3 = 0 Đặt t = a x , điều kiện t >0. Dạng 2: Phương trình: α1a x + α 2b x + α 3 = 0 , với a.b = 1 1 Đặt t = a x , điều kiện t >0, suy ra b x = t Dạng 3: Phương trình: α1a 2 x + α 2 ( ab ) + α 3b 2 x = 0 x Chia hai vế của phương trình cho b 2 x > 0 (hoặc a 2 x , ( ab ) ) x Ví dụ 1: Giải phương trình: 7.22( x +1) − 20.2 x +1 + 12 = 0 2 2 Đặt t = 2 x +1 , vì x 2 + 1 ≥ 1 ⇔ 2 x +1 ≥ 21 ⇔ t ≥ 2 2 2 Khi đó pt (1) có dạng: t = 2 7t − 20t + 12 = 0 ⇔  6 2 2 ⇔ 2 x +1 = 2 ⇔ x 2 + 1 = 2 ⇔ x = 0 t = ( l )  7 Vậy, pt có ... nghiệm ... 1 Ví dụ 2: Giải phương trình: 4cot x + 2 sin x − 3 = 0 ( 1) 2 2 Điều kiện: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈ Z . ( ∗) 1 Vì = 1 + cot 2 x , nên pt (1) được viết lại dưới dạng: sin 2 x 22cot x + 2.2cot x − 3 = 0 ( 2 ) 2 2 Đặt t = 2cot x , vì cot 2 x ≥ 0 ⇔ 2cot x ≥ 20 ⇔ t ≥ 1 ( ∗∗) 2 2 Khi đó pt (2) có dạng: t = 1 2 π t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔  ⇔ 2cot x = 1 ⇔ cot 2 x = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ Z  t = −3 ( l ) 2 Nghiệm đó thỏa mãn (*). Vậy, pt có ... nghiệm ... ( ) ( ) x x Ví dụ 3: Giải phương trình: 2− 3 + 2+ 3 =4 ( 1) Nhận xét rằng: 2 − 3. 2 + 3 = ( 2 − 3) ( 2 + 3) =1 ( ) ( ) x x 1 Đặt t = 2+ 3 , điều kiện t > 0 ⇒ 2− 3 = t Khi đó pt (1) có dạng:
  2.  ( ) x 1 t = 2 + 3  2+ 3 = 2+ 3 t + = 4 ⇔ t + 4t − 1 = 0 ⇔  2 ⇔ t ( ) x t = 2 − 3   2+ 3 = 2− 3    x x ⇔ 2 (  2+ 3 = 2+ 3 ⇔ )2 =1 ⇔ x = 2  x = −1  x = −2 x  ( ) ( ) −1  2+ 3 2 = 2+ 3 2   Vậy, pt có ... nghiệm ... Ví dụ 4: Giải phương trình: ( 7 + 4 3 ) − 3 ( 2 − 3 ) + 2 = 0 ( 1) x x ( ) 2 7+4 3 = 2+ 3 Nhận xét rằng: ( 2 + 3) ( 2 − 3) =1 Đặt t = ( 2 + 3 ) , điều kiện t > 0 ⇒ ( 2 − 3 ) = ( ) x x 1 2 và 7 + 4 3 = 2 + 3 = t2 t Khi đó pt (1) có dạng: 3 t = 1 t 2 − + 2 = 0 ⇔ t 3 + 2t − 3 = 0 ⇔ ( t − 1) ( t 3 + t + 3) = 0 ⇔  t = t + t + 3 ( VN ) 3 t ( ) x ⇔ 2+ 3 =1 ⇔ x = 0 Vậy, pt có ... nghiệm ... Ví dụ 5: Giải phương trình: ( 3 + 5 ) + 16 ( 3 − 5 ) = 2 x+3 ( 1) x x Chia 2 vế của phương trình cho 2 x > 0 , ta được: x x  3+ 5   3− 5   2  + 16  2  = 8 ( 2 )          3 + 5  3 − 5   2  2  = 1 Nhận xét rằng:       x x  3+ 5   3− 5  1 Đặt t =   2   , điều kiện t > 0 ⇒   2  =t      Khi đó pt (2) có dạng: x  3+ 5  t − 8t + 16 = 0 ⇔ t = 4 ⇔  2  2  = 4 ⇔ x = log 3+ 5 4    2 Vậy, pt có ... nghiệm ... Ví dụ 6: Giải phương trình: 2.4 x +1 + 6 x +1 = 9 x +1 ( 1) 2 2 2 Biến đổi phương trình về dạng: ( 2 x 2 +1 ) + 2.3 x ( 2 x 2 +1 ) ( ) ( 2) 2 +1 2.2 =3 Chia hai vế của phương trình cho 22( x +1) ≠ 0 , ta được: 2 x 2 +1 ( 2 x 2 +1 ) 3 3 2+  =  ( 3) 2 2
  3. x 2 +1 x 2 +1 1 Đặt t =   , vì x + 1 ≥ 1 ⇔   3 3 3 3   2   ≥  ⇔t ≥ 2 2 2 2 Khi đó pt (3) có dạng: 2 t = 2 3 x +1 t −t −2 = 0 ⇔  2 ⇔  = 2 ⇔ x 2 + 1 = log 3 2 ⇔ x = ± log 3 2 − 1 t = −1( l ) 2 2 2 Vậy, pt có ... nghiệm ... Ví dụ 7: Giải phương trình: 22 x +1 − 9.2 x + x + 22 x + 2 = 0 ( 1) 2 2 Chia hai vế của phương trình cho 22 x+ 2 ≠ 0 , ta được: 2 2 − 2 x −1 − x−2 22 x − 9.2 x +1 = 0 1 2 9 2 ⇔ .22 x − 2 x − .2 x − x + 1 = 0 2 4 ( 2) 2 2 −2 x −x ⇔ 2.22 x − 9.2 x +4=0 Đặt t = 2 x − x , điều kiện t > 0 2 Khi đó pt (2) có dạng: t = 4  x − x = 22 2  x2 − x = 2  1 ⇔ 2  x = −1 2t − 9t + 4 = 0 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ t = 2  2 x − x = 2−1  x − x = −1  x = 2  2  Vậy, pt có ... nghiệm ... 1 12 Ví dụ 8: Giải phương trình: 2 − 6.2 − + =1 3x x 3( x−1) 2 2x Viết lại phương trình dưới dạng:  3 x 23   x 2   2 − 3x  − 6 2 − x  =1 ( 1)  2   2  3 2 23  2  2  x 2  3 Đặt t = 2 − x , điều kiện t > 0, ⇒ 23 x − 3 x =  2 x − x  + 3.2 x. x x 2 2 − x  = t − 6t 2  2  2  2  Khi đó pt (1) có dạng: 2 t 3 + 6t − 6t = 0 ⇔ t = 1 ⇔ 2 x − =1 ( 2) 2x Lại đặt u = 2 x , điều kiện u > 0 Khi đó pt (2) có dạng: u = −1( l ) u2 − u − 2 = 0 ⇔  ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1 u = 2 Vậy, pt có ... nghiệm ... Ví dụ 9: Giải phương trình: 1 + 1 − 22 x = 1 + 2 1 − 22 x .2 x ( ) Điều kiện: 1 − 2 ≥ 0 ⇔ 0 < 2 ≤ 1 ⇔ x ≤ 0 2x 2x  π Đặt 2 x = sin t , với t ∈  0,   2 Khi đó phương trình có dạng: 1 + 1 − sin 2 t = 1 + 2 1 − sin 2 t .sin t ( )
  4. ⇔ 1 + c ost = ( 1 + 2cost ) .sin t t ⇔ 2cos = sin t + sin 2t 2 t 3t t ⇔ 2cos = 2sin .co s 2 2 2 t 3t  ⇔ 2cos  1 − 2 sin  = 0 2 2  t  π cos 2 = 0 ( l ) t = 6  x 1 2 =  x = −1 ⇔ ⇔ ⇔ 2⇔  3t 2 t = π  x x = 0  s in = 2 = 1   2 2   2 Vậy, pt có ... nghiệm ... 72 x = 6. ( 0, 7 ) + 7 x Ví dụ 10: Giải phương trình: x 100 Biến đổi phương trình về dạng: 2x x 7 7   = 6.   + 7 ( 1)  10   10  x 7 Đặt t =   , điều kiện t >0  10  Khi đó pt (1) có dạng: t = 7 7 x t − 6t − 7 = 0 ⇔  2 ⇔   = 7 ⇔ x = log 7 7 t = −1( l )  10  10 Vậy, pt có ... nghiệm ... 2 1 +1 Ví dụ 11: Giải phương trình:  1  + 3.  1  = 12 x x      3 3 Biến đổi phương trình về dạng: 2 1  1 x  1 x   +   − 12 = 0  3 3 x 1 Đặt t =   , điều kiện t >0 3 Khi đó pt (1) có dạng: t = 3 1 x t 2 + t − 12 = 0 ⇔  ⇔   = 3 ⇔ x = −1  t = −4 ( l ) 3 Vậy, pt có ... nghiệm ... Ví dụ 12: Giải phương trình: 4 x +1 + 2 x + 4 = 2 x + 2 + 16 Biến đổi phương trình về dạng: 22( x +1) + 2 x + 4 = 2 x + 2 + 16 ⇔ 2.22 x − 6.2 x − 8 = 0 ( 1) Đặt t = 2 x , điều kiện t >0 Khi đó pt (1) có dạng:
  5. t = 4 2t 2 − 6t − 8 = 0 ⇔  ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2  t = −1 ( l ) Vậy, pt có ... nghiệm ... Ví dụ 13: Giải phương trình: 3 x − 31− x + 4 = 0 Điều kiện: x ≥ 0 Biến đổi phương trình về dạng: 3 3 x− +4=0 3 x Đặt t = 3 x , điều kiện t ≥ 1 Khi đó pt (1) có dạng:  t = −1 ( l ) t 2 + 4t − 3 = 0 ⇔   t = −3 ( l )  Vậy, pt có vô nghiệm ... Ví dụ 14: Giải phương trình: 125x + 50 x = 23 x+1 Biến đổi phương trình về dạng: 125 x + 50 x = 2.8 x ( 1) Chia hai vế của phương trình (1) cho 8x ≠ 0 , ta được: x x  125   50    +  = 2  8   8  3x 2x 5 5 ⇔   +  −2 = 0 ( 2) 2 2 x 5 Đặt t =   , điều kiện t > 0 2 Khi đó pt (2) có dạng: t = 1 5 x t + t − 2 = 0 ⇔ ( t − 1) ( t + 2t + 2 ) = 0  2 3 2 2 ⇔   =1⇔ x = 0 t + 2t + 2 = 0 ( VN ) 2 Vậy, pt có ... nghiệm ... ( ) ( ) sin x sin x Ví dụ 15: Giải phương trình: 7+4 3 + 7−4 3 =4 ( 1) Nhận xét rằng: 7 + 4 3. 7 − 4 3 = ( 7 + 4 3) ( 7 − 4 3) =1 ( ) ( ) sin x sin x 1 Đặt t = 7+4 3 , điều kiện t > 0 ⇒ 7−4 3 = t Khi đó pt (1) có dạng:  sin x ( )  ( 2 + 3) ( ) 2 −1  sin x  = 2+ 3 t = 2 − 3  7+4 3 = 2− 3  1   t + = 4 ⇔ t 2 + 4t − 1 = 0 ⇔  ⇔ ⇔ ( 7+4 3) t t = 2 + 3  sin x sin x    ( 2 + 3) 2  = 2+ 3 = 2+ 3      (  2+ 3 ) ( ) sinx −1 = 2+ 3 sin x = −1 π  ⇔ ⇔ ⇔ cosx = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ Z ( ) s inx = 1 2 sinx  2+ 3  = 2+ 3 Vậy, pt có ... nghiệm ...
  6. Ví dụ 16: Giải phương trình: ( 5 + 24 ) + ( 5 − 24 ) = 10 ( 1) x x Nhận xét rằng: ( 5 + 24 ) ( 5 − 24 ) = 1 Đặt t = ( 5 + 24 ) , điều kiện t > 0 ⇒ ( 5 − 24 ) = x x 1 t Khi đó pt (1) có dạng:  5 + 24 ( ) (  5 + 24 ) = ( 5 − 24 ) x x −1 t = 5 − 24 = 5 − 24 1   t + = 10 ⇔ t − 10t + 1 = 0 ⇔  2 ⇔ ⇔ t ( ) ( ) = 5 + 24 x x t = 5 + 24   5 + 24 = 5 + 24  5 + 24    x = −1 ⇔ x = 1 Vậy, pt có ... nghiệm ... Ví dụ 17: Giải phương trình: 25x + 10 x = 22 x+1 Viết lại phương trình dưới dạng: 52 x + ( 2.5 ) = 2.22 x x Chia hai vế của phương trình cho 22 x ≠ 0 , ta được: 2x x 5 5   +  = 2 ( 2) 2 2 x   5 Đặt t =   , điều kiện t > 0 2 Khi đó pt (2) có dạng: t = 1 5 x t +t −2 = 0 ⇔  2 ⇔   =1⇔ x = 0 t = −2 ( l ) 2 Vậy, pt có ... nghiệm ... Ví dụ 18: Giải phương trình: 4.33 x − 3x +1 = 1 − 9 x Điều kiện: 1 − 9 ≥ 0 ⇔ 0 < 9 ≤ 1 ⇔ x ≤ 0 ( ∗) x x Biến đổi phương trình về dạng: 4.33 x − 3.3x = 1 − 32 x Với điều kiện (*) thì 0 < 3x ≤ 1   π Đặt cost = 3x , với t ∈ 0,   2 Khi đó pt (2) có dạng: 4cos 3t − 3cost = 1 − cos 2t π  ⇔ cos3t = sin t = cos  − t  2   π  π kπ 3t = 2 − t + 2kπ t = 8 + 2 π 0≤t < 2 π ⇔ ⇔ ⇔ t= 3t = − π + t + 2kπ t = − π + kπ ( l ) 8   2   4 2 Ta có:
  7. π  π π cos = cos  2.  = 2cos 2 − 1 4  8 8 π 2+ 2 ⇔ cos 2 = 8 4 π 2+ 2 ⇔ cos = 8 2 Do đó: π π 2+ 2 2+ 2 t= ⇔ 3x = cos = ⇔ x = log 3 8 8 2 2 Vậy, pt có ... nghiệm ...
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản