PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Chia sẻ: 240271864

Tài liệu tham khảo bài tập toán về phương pháp đổi biến số

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

1vansitran@gmail.com-01689583116
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Dấu hiệu Cách chọn
 π π
Đặt x = |a| sint; với t ∈  − ; 
a2 − x2  2 2
hoặc x = |a| cost; với t ∈ [ 0; π ]
a  π π
Đặt x = ; với t ∈  − ;  \ { 0}
sint  2 2
x2 − a2
a π 
hoặc x = ; với t ∈ [ 0; π ] \  
cost 2
 π π
Đặt x = |a|tant; với t ∈  − ; 
a2 + x2  2 2
hoặc x = |a|cost; với t ∈ ( 0; π )
a+x a−x
hoặc Đặt x = acos2t
a−x a+x
( x − a) ( b − x) Đặt x = a + (b – a)sin2t
1  π π
Đặt x = atant; với t ∈  − ; 
a + x2
2
 2 2

1
1 − x2
Bài 1: Tính I = ∫ x2
dx
2
2

Giải:
 π π
Đặt x = cost, t ∈  − ;  . ⇒ dx = - sint dt
 2 2
Đổi cận:
2 π
x
2 4
t 1 0
1 π π π
1− x 2 0
1 − cos 2t .sint
I= ∫ dx = − ∫ dt = 4
sin t .sin t = 4 2
sin t 4
 1 
Khi đó:
2
x2 π cos 2t ∫
0
cos 2t
dt ∫ cos t dt = ∫  cos t − 1dt =
0
2
0 
2

2 4

π
π  π
= ( tan t − t ) 4 = 1 − . (vì t ∈ 0;  nên sint ≥ 0 ⇒ sin t = sin t )
0
4  4
a

Bài 2: Tính I = ∫ x a − x dx
2 2 2

0

Giải:
 π π
Đặt x = asint, t ∈  − ;  . ⇒ dx = acostdt
 2 2
2vansitran@gmail.com-01689583116
Đổi cận:
x 0 a
π
t 0
2
π π π
a
2 2 4 2
Khi đó: I = ∫ x a − x dx = a 2 sin 2 t a 2 ( 1 − sin 2 t ) .acostdt = a 4 sin 2 tcos 2tdt = a sin 2 2tdt =
2 2 2

0

0

0
4 ∫0
π π
4 2 a4  1  π a4
= a t − sin 4t  2 =
8 ∫ ( 1 − cos4t ) dt = 8  4
0
 0 16
1

Bài 3: Tính I = ∫ x 1 − x dx
2 2

0

Giải:
 π π
Đặt x = sint, t ∈  − ;  . ⇒ dx = costdt
 2 2
Đổi cận:
x 0 1
π
t 0
2
π π π
1
2 2 2
Khi đó: I = ∫ x 1 − x dx = sin 2 t 1 − sin 2 t .costdt = 1 sin 2 tcos 2tdt = 1 sin 2 2tdt =
2 2

0
∫0
4∫
0
4∫
0
π π
12 1 1  π
( 1 − cos 4t ) dt = 8  t − 4 sin 4t  2 = 16
8∫
=
 0
0
1

Bài 4: Tính I = ∫ x 1 − x dx
3 2

0

Giải:
Đặt t = 1 − x 2 ⇔ t2 = 1 – x2 ⇒ xdx = -tdt
Đổi cận:
x 0 1
t 1 0
1 1 1 1
 t3 t5  1 2
Khi đó: I = ∫ x 1 − x dx = I = ∫ x 1 − x xdx = ∫ ( 1 − t ) .t.tdt = ∫( t 2 − t 4 ) dt =  −  = .
3 2 2 2 2

0 0 0 0  3 5  0 15
2
e
dx
Bài 5: Tính I = ∫ x ln
e
5
x
Giải:
dx
Đặt t = lnx ⇒ dt =
x
Đổi cận:
x e e2
t 1 2
e2 2
dx dt  1  2 15
Khi đó: I = ∫ = ∫ 5 = − 4  = .
e
x ln 5 x 1
t  4t  1 64
3vansitran@gmail.com-01689583116
1

Bài 6: Tính I = ∫ x ( x + 1) dx
3 4 4


0

Giải:
dt
Đặt t = x4 + 1 ⇒ dt = 4x3dx ⇒ x dx =
3

4
Đổi cận:
x 0 1
t 1 2
1 2
1 4  1 5  2 31
Khi đó: I = ∫ x ( x + 1) dx =
4
∫ t dt =  20 t  1 = 20 .
3 4

0 41  
π
2


Bài 7: Tính I = sin 5 xcoxdx
0

Giải:
Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx
Đổi cận:
π
x 0
2
t 0 1
π
2 1
Khi đó: I = sin 5 xcoxdx = t 5 dt = 1 .

0

0
6
π
12
Bài 8: Tính I =
∫ tan
4
xdx
0

Giải:
π π
12 12
sin 4 x
Ta có:
∫ tan 4 xdx = ∫ cos 4 x dx
0 0

dt
Đặt t = cos4x ; ⇒ dt = −4s in 4 xdx ⇒ sin 4 xdx = −
4
Đổi cận:
π
x 0
12
1
t 1
2
π π 1
12 12 2 1 1
sin 4 x 1 dt 1 dt 1 1
Khi đó: I = ∫ tan 4 xdx = ∫
0 0
cos 4 x
dx = − ∫ = ∫ = ln t 1 = ln 2.
41 t 41 t 4 4
2 2
π
2


Bài 9: Tính I = cos 5 xdx
0

Giải:
π π π
2 2 2
Ta có: cos 5 xdx = cos 4 xcoxdx = ( 1 − sin 2 x ) 2 coxdx
∫ 0
∫ ∫0 0
4vansitran@gmail.com-01689583116
Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx
Đổi cận:
π
x 0
2
t 0 1
π π π π

Khi đó: I = cos 5 xdx = ( 1 − sin 2 x ) 2 coxdx = ( 1 − t 2 ) 2 dt = ( 1 − 2t 2 + t 4 ) dt =  t − 2t + t  = 5 .
2 2 2 2 3 5
1

0

0

0

0

 3

5  0 18
π
4
1
Bài 10: Tính I =
∫ 0
cos 4 x
dx

Giải:
1
Đặt t = tanx ; ⇒ dt = dx
cos 2 x
Đổi cận:
π
x 0
4
t 0 1
π π
4
1 4
1
1
 t3  1 4
Khi đó: I =
∫ dx = ∫ ( 1 + tan x )
2
dx = ∫ ( 1 + t ) dt =  t +  = .
2

0
cos 4 x 0
cos 2 x 0  30 3
π
2
cos 3 x
Bài 11: Tính I = ∫ dx
π s in 2 x
6
Giải:
Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx
Đổi cận:
π π
x
6 2
1
t 1
2
π π
1 1 1
2
cos x 3
(1 − s in 2 x)
2
1− t2 1   1  1
Khi đó: I = ∫ 2
dx = ∫ 2
cosxdx = ∫ 2 dt = ∫  2 − 1 dt =  − − t  1 = .
π s in x π s in x 1 t 1t   t  2
6 6 2 2 2
π
2


Bài 12: Tính I = sin 3 xcos3 xdx
0

Giải:
Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx
Đổi cận:
π
x 0
2
t 0 1
5vansitran@gmail.com-01689583116
Khi đó:
π π
2 2 1 1
 t4 t6  1 1
I = ∫ sin xcos xdx = ∫ sin x ( 1 − sin x ) cosxdx = ∫ t ( 1 − t ) dt = ∫ ( t 3 − t 5 ) dt =  −  = .
3 3 3 2 3 2

0 0 0 0  4 6  0 12
π
2


Bài 13: Tính I = esin 2 x sin 2 xdx
0

Giải:
Đặt t = sin2x ; ⇒ dt = s in 2 xdx
Đổi cận:
π
x 0
2
t 0 1
π
1
2
1
∫ 0

Khi đó: I = esin 2 x sin 2 xdx = et dt = et
0
0
= e − 1.
π
2
Bài 14: Tính I = sin 2 x dx
∫ 1 + cos 2 x
0

Giải:
Đặt t = 1 + cos2x ; ⇒ dt = − s in 2 xdx ⇒ s in 2 xdx = −dt
Đổi cận:
π
x 0
2
t 2 1
π
1 2
2
2
Khi đó: I = sin 2 x dx = − dt = dt = ( ln t ) = ln 2.
∫ 1 + cos 2 x
0
∫t ∫t
2 1
1
π
4


Bài 15: Tính I = tan 3 xdx
0

Giải:
dt
Đặt t = tanx ; ⇒ dt = ( 1 + tan x ) dx = ( 1 + t ) dt ⇒ dx =
2 2

t +1
2

Đổi cận:
π
x 0
4
t 0 1
π

t 2 1 1 d ( t + 1)
1 1 1 1 1 2
4
t3  t  1 2t
I = ∫ tan 3 xdx = ∫ dt = ∫  t − 2  dt = ∫ tdt − ∫ 2 dt = − ∫ 2 =
t2 +1  t +1  2 0 t +1 2 0 2 0 t +1
Khi đó: 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1
= − ln ( t 2 + 1) = − ln 2 = ( 1 − ln 2 ) .
2 2 0 2 2 2
1
1
Bài 16: Tính I = ∫ dx
0 1+ x
Giải:
6vansitran@gmail.com-01689583116
Đặt t = x ; ⇒ t 2 = x ⇒ dx = 2tdt
Đổi cận:
x 0 1
t 0 1
1 1 1
1 t  1  1
Khi đó: I =∫ dx = 2 ∫ dt = 2∫ 1 −  dt = 2 ( t − ln 1 + t ) 0 = 2 ( 1 − ln 2 ) .
0 1+ x 0
1+ t 0
1+ t 
1

Bài 17: Tính I = ∫ x 1 − x dx
33 4

0

Giải:
3 2
Đặt t = 1 − x ⇒ t = 1 − x ⇒ x dx = − t dt
3 4 3 4 3

4
Đổi cận:
x 0 1
t 1 0
1 1
3 3 1 3
Khi đó: I = ∫ x 3 3 1 − x 4 dx = ∫ t 3dt = t 4 = .
0
40 16 0 16
0
1
Bài 18: Tính I = ∫x
−1
2
+ 2x + 4
dx

Giải:
0 0
1 1
Ta có: ∫ x 2 + 2 x + 4 dx = ∫ dx
( 3)
2
−1 ( x + 1) +
2
−1


 π π
Đặt x + 1 = 3 tan t với t ∈  − ;  . ⇒ dx = 3 ( 1 + tan t ) dt
2

 2 2
Đổi cận:
x -1 0
π
t 0
6
π
π
0
1 36 3 π 3
Khi đó: I = ∫ 2 dx = ∫ dt = 3 t 6 = 18 .
x + 2x + 4 3 0
−1 0
1
x3
Bài 19: Tính I = ∫ dx
0
1 + x8
Giải:
1 1
x3 x3
Ta có: ∫ 1 + x8 dx = ∫ dx
1 + ( x4 )
2
0 0


 π π 1
Đặt x 4 = tan t với t ∈  − ;  . ⇒ x dx = ( 1 + tan t ) dt
3 2

 2 2 4
Đổi cận:
x 0 0
π
t 0
4
7vansitran@gmail.com-01689583116
π π
π
1
x 3
x
1
1 1 + tan t
3 4
1 2
1 π4
Khi đó: I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dt = ∫ dt = t 4 = .
0 1+ ( x )
1+ x 8 4 2 4 0 1 + tan t
2
40 4 16
0 0
e
1 + ln x
Bài 20: Tính I = ∫ dx
1
x
Giải:
dx
Đặt t = 1 + ln x ⇒ t = 1 + ln x ⇒ 2tdt =
2

x
Đổi cận:
x 1 e
t 1 2

Khi đó: I = ∫
e
1 + ln x
2 2
(
t3 2 2 2 2 −1 )
dx = ∫ t.2tdt =2 ∫ t dt =2 =
2
.
1
x 1 1
31 3
1
ln ( 2 − x )
Bài 21: Tính I = ∫ dx
0
2− x
Giải:
−dx
Đặt t = ln ( 2 − x ) ⇒ dt =
2− x
Đổi cận:
x 1 1
t ln2 0
1
ln ( 2 − x ) 0 ln 2
t 2 ln 2 ln 2 2
Khi đó: I = ∫ dx = − ∫ tdt = ∫ tdt = = .
0
2− x ln 2 0
2 0 2
π
2
cosx
Bài 22: Tính I =
∫ 0
1 + sin 2 x
dx

Giải:
 π π
Đặt sin x = tan t với t ∈  − ;  ⇒ cosxdx = ( 1 + tan t ) dt
2

 2 2
Đổi cận:
π
x 0
2
π
t 0
4
π π π
2
cosx 1 + tan t
4 2
π4
Khi đó: I =
∫ 0
1 + sin x
2
dx = ∫
0
1 + tan t
2
dt = ∫ dt =
0
4
π
2
1
Bài 23: Tính I = ∫ dx
π sin x
3
Giải:
x 1 x 2dt
Đặt t = tan ⇒ dt = 1 + tan 2  dx ⇒ dx =
2 2 2 1+ t2
8vansitran@gmail.com-01689583116
1 1 2tdt 1
dx = . = dt
Ta tính: sin x 2t 1 + t 2 t
1+ t2
Đổi cận:
π π
x
3 2
3
t 1
3
π
2 1
1
1 1 3 1
Khi đó: I = ∫
π sin x
dx = ∫ t dt = ( ln t ) 3 = − ln
3
= ln 3.
2
3
3 3 3
e
1
Bài 24: Tính I = ∫ dx
1
x ( 1 + ln x )
Giải:
dx
Đặt t = 1 + ln x ⇒ dt =
x
Đổi cận:
x 1 e
t 1 2
e 2
1 dt 2
Khi đó: I = ∫ dx = ∫ = ln t = ln 2.
1
x ( 1 + ln x ) 1
t 1
1

Bài 25: Tính I = ∫ x e dx
3
5 x

0

Giải:
dt
Đặt t = x ⇒ dt = 3 x dx ⇒ x dx =
3 2 2

3
Đổi cận:
x 1 0
t 1 0
1 1 1
1 t 1 t1 1 t e 1 t1 1
Khi đó: I = ∫ x e dx = ∫ te dt = te − ∫ e dt = − e =
5 x3

0
30 3 0 30 3 3 0 3
1+ 5

Bài 26: Tính I =
2
x2 + 1

1
x4 − x2 + 1
dx

Giải:
1+ 5 1+ 5 1 1+ 5  1 
2
x +1 2 2 1+ 2 1 + 2 
x2  x  dx
Ta có: ∫ x − x2 + 1
4
dx = ∫ 1
dx = ∫  1
2
1 1 x −1 + 2
2 1
x −  +1
x 
 x
1  1 
Đặ t t = x − ⇒ dt =  1 + 2  dx
x  x 
Đổi cận:
1+ 5
x 1
2
9vansitran@gmail.com-01689583116
t 0 1
1
dt
Khi đó: I = ∫
0
1+ t2
Đặt t = tan u ⇒ dt = ( 1 + tan u ) du
2


Đổi cận:
x 0 1
π
t 0
4
π π
π
dt
1
1 + tan u 4 2
π 4
Vậy I = ∫ =∫ du = ∫ du = u 4 = .
1+ t 2
1 + tan u
2
4
0 0 0 0
2
dx
Bài 27: Tính I = ∫
1 x 1 + x3
Giải:
2 2
dx x 2 dx
Ta có: ∫x
1 1 + x3
=∫
1 x3 1 + x3
2tdt
Đặt t = 1 + x ⇒ t = 1 + x ⇒ 2tdt = 3 x dx ⇒ x dx =
3 2 3 2 2

3
Đổi cận:
x 1 2
t 2 3
Khi đó:
2 2 3 3
dx x 2 dx 2 dt 1  1 1 
I =∫ =∫ = ∫ 2 = ∫  t − 1 − t + 1  dt =
1 x 1+ x
3
1 x
3
1+ x 3 3 2 t −1 3 2  
3 −1 3  
=
1
( ln t − 1 − ln t + 1 ) =  1 ln tt + 1  = 1  ln 1 − ln 2 − 1  = 1 ln 2 + 1 = 1 ln
3 
1
3 2   2 3 2
 2 +1  3 2 2 −1 3
 ( ) ( 2 −1 )
2




2
3x3
Bài 28: Tính I = ∫ dx
0
x2 + 2x + 1
Giải:
2 2
3x3 3 x3
Ta có: ∫ 2 dx = ∫ dx
0 ( x + 1)
0
x + 2x +1 2


Đặt t = x + 1 ⇒ dt = dx
Đổi cận:
x 0 2
t 2 3
Khi đó:
2
3x3
2
3x3
3
3 ( t − 1)
3 3
3 ( t 3 − 3t 2 + 3t − 1)
I =∫ 2 dx = ∫ dx = ∫ dt = ∫ dt =
0 ( x + 1)
0
x + 2x +1 2
1
t2 1
t2
3
 9 −2   t2 1 3 3
= ∫  3t − 9 + − 3t  dt =  3 − 9t + 9 ln t + 3  = ( 32 − 12 ) − 9 ( 3 − 1) + 9 ( ln 3 − ln1) + 1 − 3 = 9 ln 3 − 8
1
t   2 t 1 2
10vansitran@gmail.com-01689583116
ln 2
e 2 x + 3e x
Bài 29: Tính I = ∫
0
e 2 x + 3e x + 2
dx

Giải:
Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx
Đổi cận:
x 0 ln2
t 1 2
Khi đó:
ln 2 ln 2 2 2
e 2 x + 3e x ex + 3 t +3  2 1 
I = ∫ 2x dx = ∫ 2 x e x dx = ∫ 2 dt = ∫  − dt =
0
e + 3e + 2x
0
e + 3e + 2
x
1
t + 3t + 2 1
t +1 t + 2 
2 2
1 1 2 2 3 4 9 4 27
= 2∫ dt − ∫ dt = 2 ln t + 1 − ln t + 2 = 2 ( ln 3 − ln 2 ) − ( ln 4 − ln 3) = 2 ln − ln = ln − ln = ln
1
t +1 1
t+2 1 1 2 3 4 3 16
4
dx
Bài 30: Tính I = ∫
1 (
x 1+ x )
Giải:
Đặt x = t 2 ⇒ dx = 2tdt
Đổi cận:
x 1 4
t 1 2
4 2 2 2
dx 2tdt dt 1 1 
I =∫ =∫ 2 =2 ∫ =2 ∫  −  dt =
Khi đó:
1 x 1+ x ( 1 )
t (1+ t ) 1
t ( 1+ t ) 1  t 1+ t 
2  2 1 4
= 2 ( ln t − ln t + 1 ) = 2  ln − ln  = 2 ln .
1  3 2 3
1

Bài 31: Tính I = ∫ (1− x ) 2 3
dx
0

Giải:
 π
Đặt x = sin t , t ∈ 0;  ⇒ dx = costdt
 2
Đổi cận:
x 0 1
π
t 0
2
Khi đó:
π π π π
1 2

( 1 − sin t ) .costdt = ∫ cos t.costdt = ∫ cos tdt = ∫  1 + cos2t  dt =
2 2 2 2

(1− x )2 3 3
I =∫ dx = ∫ 2 3 4
 
0 
0 0 0 0
2
π π π π π
π
1 2
1 1 1 2 2
1 π 1 sin 2t
2
12
= ∫ ( 1 + 2cos 2t + cos 2t ) dt = ∫ dt + ∫ cos 2tdt + ∫ 2cos 2tdt = . + .
2 2
2 + ∫ ( 1 + cos 4t ) dt =
40 40 20 80 4 2 2 2 80
0
π π
π
π 1 1 2
π π 1 sin 4t
2
π π 3π
= + ∫ dt + ∫ cos 4tdt = + + . 2= + = .
8 80 80 8 16 8 4 8 16 16
0
11vansitran@gmail.com-01689583116
π
2

Bài 32: Tính I = ∫ cos xdx
3

π
6
Giải:
π π π π π
2 2 2 2
 sin 3 x  2
I = ∫ cos 3 xdx = ∫ cos 2 x.cosxdx = ∫ ( 1 − sin 2 x ) cosxdx = ∫ ( 1 − sin 2 x ) d ( sin x ) =  sin x −  =
π π π π  3 π
6 6 6 6
6
1 1 1 5
= 1− − + =
3 2 24 24
π
4
sin 4 x
Bài 33: Tính I =
∫ 0
sin x + cos 4 x
4


Giải:
π π π π
4 4 4 4
sin 4 x 2sin 2 xcos 2 x 2sin 2 xcos 2 x 2sin 2 xcos 2 x
I=∫ 4 dx = ∫ 4 dx = ∫ dx = ∫ dx =
sin x + cos x
4
sin x + cos x
4
1 − 2sin xcos x
2 2
0 1−
1 2
0 0 0 sin 2 x
2
π
π
4
−1  1 2  1 2 1
=∫ d 1 − sin 2 x  = − ln 1 − sin 2 x 4 = − ln = ln 2
1 2
0 1− sin 2 x  2  2
0
2
2
π
2
cos 3 x
Bài 34: Tính I = ∫ dx
π 1 + sin x
4
Giải:
π π π π


I=∫
2 3
cos x
dx = ∫
2
cos x2
cosxdx = ∫
2
( 1 − sin 2 x ) 2
cosxdx = ∫ ( 1 − sin x ) cosxdx =
π 1 + sin x π 1 + sin x π 1 + sin x π
4 4 4 4

π π π π
2 2
1 2
 1  3− 2 2
= ∫ ( cosx − cosx sin x ) dx = ∫ cosxdx − ∫ s in 2 xdx =  sin x + sin 2 x  2 =
π π 2π  4 π 4
4 4 4
4
π

 sin x − cosx 
2

Bài 35: Tính I = ∫  dx
π  sin x + cosx 
4
Giải:
π π π
2
 sin x − cosx  −d ( sin x + cosx )
2
I = ∫ dx = ∫ = − ( ln sin x + cosx ) 2 = ln 2
π  sin x + cosx  π sin x + cosx π
4 4
4
12vansitran@gmail.com-01689583116
π
2


Bài 36: Tính I = sin 3 xdx
0

Giải:
π π π
π
2 2 2
 cos 3 x  1 2
I = ∫ sin xdx = ∫ sin x sin xdx = − ∫ ( 1 − cos x ) d ( cosx ) = −  cosx −
3 2 2
 2 = 1− =
 3  3 3
0 0 0 0
cos3 x
Bài 37: Tính I = ∫ dx
sin x
Giải:
π


I =∫
cos3 x
dx = ∫
4cos x − 3cosx 3
dx = ∫
( 4cos 2 x − 3) 2
.cosxdx = ∫
4 ( 1 − sin 2 x ) − 3
.d ( sin x ) =
sin x sin x sin x 0
sin x
 1  1 2
= ∫  −4sin x + d ( sin x ) = −4. sin x + ln ( sin x ) + C
 sin1  2
s in3 x
Bài 38: Tính I = ∫ dx
sin x
Giải:
s in3 x 3s inx − 4sin 3 x 1
I =∫ dx = ∫ dx = ∫ ( 3 − 4sin 2 x ) dx = 3 x − 2 ∫ ( 1 − cos 2 x ) dx = 3 x − 2 x + 2. sin 2 x + c
sin x sin x 2
= x + sin 2 x + C
1
x
Bài 39: Tính I = ∫ dx
0
x + x2 + 1
4


Giải:
• Đặt t = x 2 ⇒ dt = 2 xdx
Đổi cận:
x 0 1
t 0 1
1 1
x 1 dt
I =∫ 4 dx = ∫
Khi đó: x + x +1
2
2 0  1 2 3
t +  +
0

 2 4
1
• Đặt y = t + ⇒ dy = dt
2
Đổi cận:
t 0 1
1 3
y
2 2
3
1 2
1 dt 1 dy
Khi đó:
I=
20∫  1 2 3 = 2 ∫  2
1 3
t +  + 2 y +
2

 2 4  4
3 2
• Đặ t z = y ⇒ dz = dy
4 3
13vansitran@gmail.com-01689583116
Đổi cận:
1 3
y
2 2
1
z 3
3
3
2 3 3
1 dy 3 dz 1 dz
2∫ ∫ ∫
I= = = =
Khi đó:  3 3 2 3 2
4 3 z +1
2
1
y2 + 
1 z + 1
2  3 4 4 3
 4
Đặt z = tan u ⇒ dz = ( 1 + tan u ) du
2

Đổi cận:
1
z 3
3
π π
u
6 3
π π
1
3
dz 1 1 + tan u 3
1 3 π2

Ta được: I =
3 ∫
1 z +1
2
= ∫ 1 + tan 2 u du = 3 u π = 6 3

3 6
6
1
x
Bài 40: Tính I = ∫ dx
0 ( 2 x + 1)
2


Giải:
t −1 dt
• Đặ t t = 2 x + 1 ⇔ x = ⇒ dx =
2 2
Đổi cận:
x 0 1
t 1 3
t −1
1 3 3
Khi đó: I = x 2 . dt = 1  1 − 1  dt = 1  ln t + 1  3 = 1  ln 3 − 2 
∫ ( 2 x + 1) 2 dx = ∫ t 2 2 4 ∫  t t 2  4 
0 1 1  

t 1 4

3

0

Bài 41: Tính I = ∫ x ( x + 1) dx
2 9

−1
Giải:
• Đặt t = x + 1 ⇔⇒ dt = dx
Đổi cận:
x -1 0
t 0 1
0 1 1 1
I = ∫ x 2 ( x + 1) dx = ∫ ( t − 1) t 9 dt = ∫ ( t 2 − 2t + 1) t 9 dt = ∫ ( t 11 − 2t 10 + t 9 ) dt =
9 2

−1 0 0 0
Khi đó:
t t t 1 1 2 1
12
1 11 10
= −2 +  = − + =
 12 11 10  0 12 11 10 660
14vansitran@gmail.com-01689583116
π
2
dx
Bài 42: Tính I =
∫ 0
1 + cosx
Giải:
π  x π π
2 d  2 π 2
dx dx  2  = tan x = 1
I=∫
1 + cosx ∫ 2cos 2 x ∫ cos 2 x
= = 2
2
0 0 0 0
2 2
1

Bài 43: Tính I = ∫ x . 1 + 3 x .dx
15 8

0

Giải:
1 1

∫x . 1 + 3 x .dx = ∫ x8 . 1 + 3x8 .x 7 dx
15 8
Ta có:
0 0

dt
Đặt t = 1 + 3 x ⇒ dt = 24 x dx ⇒ dx =
8 7

24
Đổi cận:
x 0 1
t 1 4
Khi đó:
 5 
( )
3
1  t 2 t 2  4 29
1 1 4 4
t −1 1 1 3 1
I = ∫ x . 1 + 3 x .dx = ∫ x . 1 + 3 x .x dx = ∫
15 8 8
. t . dt = ∫ t 2 − t 2 dt = 
8 7
− =
3 24 72 1 72  5 3  1 270
0 0 1 
 2 2 
1 3
x
Bài 44: Tính I = ∫ dx
0 x+ x2 + 1
Giải:
x3 ( x2 + 1 − x ) x3 ( x2 + 1 − x ) dx =
∫( x )
1 1 1 1
x3
I =∫ dx = ∫ dx = ∫ 3
x 2 + 1 − x 4 dx =
0 x + x +1 2
0 ( x +1 + x
2
)( x +1 − x
2
) 0 ( x2 + 1 − x2 ) 0

1 1 1 1
x5 1 1
= ∫ x 3 x 2 + 1dx − ∫ x 4 dx = ∫ x 2 x 2 + 1.xdx − = ∫ x 2 x 2 + 1.xdx −
5 0 0 5
0 0 0
1 4 4 2 4 43
J

• Đặt t = x + 1 ⇒ dt = 2 xdx
2

Đổi cận:
x 0 1
t 1 2

( )
2 2 2 2
1 1 3 1 1 3 1 1 1 5 2 2 3 2
J = ∫ ( t − 1) t . dt = ∫ t 2 − t 2 dt = ∫ t 2 dt − ∫ t 2 dt = t 2 − t 2 =
1
2 21 21 21 5 1 3 1
Khi đó: 5 3
2 2 1 22 1 4 2 2 2 2 2 2 2
= − − + = − + = +
5 5 3 3 5 3 15 15 15
2 2 1
Vậy I = −
15 15
15vansitran@gmail.com-01689583116
π
4
Bài 45: Tính I = sin 4 x dx
∫ 1 + cos 2 x
0

Giải:
π π
4 4
sin 4 x 2sin 2 xcos 2 x
Ta có:
∫ 1 + cos x dx = ∫
0
2
0
1 + cos 2 x
dx

• Đặt t = 1 + cos x ⇒ dt = −2sin xcosxdx = − sin 2 xdx
2


• cos 2 x = t − 1 ⇒ cos 2 x = 2cos 2 x − 1 = 2 ( t − 1) − 1 = 2t − 3
Đổi cận:
π
x 0
4
3
t 2
2
3 3
2
−2 ( 2t − 3) dt  62 2
 6 2
I =∫ = ∫  −4 + dt = ∫  4 − dt = ( 4t − 6 ln t ) 3 =
2
2
t t 3 t 2
Khi đó: 2

 3  3 4
= 4  2 −  − 6  ln 2 − ln  = 2 − 6 ln
 2  2 3
π
2
dx
Bài 46: Tính I = ∫
π 1 + sin 2 x
4
Giải:
π π π π π
2
dx 2
dx 2
dx 2
1 dx 1  π 1
I=∫ =∫ =∫ = ∫ = tan  x −  2 =
π 1 + sin 2 x π ( sin x + cosx )  π 2 4π 2
2 2
π   π  2π
cos 2  x −  
4  2cos  x − 
4   4 4
4 4 4
  
π
4
Bài 47: Tính I = ∫ co s 2 x
dx
( sin x + cosx + 2 )
3
0

Giải:
π π
4
co s 2 x ( cosx − sin x ) ( cosx + sin x ) dx
4
Ta có:
0
∫ ( sin x + cosx + 2 ) 0
3
dx = ∫
( sin x + cosx + 2 )
3



• Đặt t = cosx + sin x + 2 ⇒ dt = ( cosx − sin x ) dx
Đổi cận:
π
x 0
4
t 2 2+ 2
16vansitran@gmail.com-01689583116
2+ 2
I= ∫
( t − 2 ) dt =2+ 2  1 − 2  dt =  − 1 + 1  2 + 2 = − 1 + 1 + 1 − 1 =
0
t3 ∫  t 2 t3   t t2  0
0     2+ 2 6+4 2 3 9
Khi đó:
1− 2 − 2 2 2 1+ 2 2 1 4 2 + 4−9 4 2 −5
= + = − = − = =
6+ 4 2 9 9 2 3+ 2 2 ( ) (
9 2 2 + 1 18 2 + 1 18 2 + 1 ) ( ) ( )
π
4
co s 2 x
Bài 48: Tính I =
∫ 0
sin x + cosx + 2
dx

Giải:
π π
4
co s 2 x 4
( cosx − sin x ) ( cosx + sin x ) dx
Ta có:
∫ sin x + cosx + 2 dx = ∫
0 0
sin x + cosx + 2
• Đặt t = cosx + sin x + 2 ⇒ dt = ( cosx − sin x ) dx
Đổi cận:
π
x 0
4
t 2 2+ 2
Khi đó:
2+ 2
( t − 2 ) dt =2+ 2 1 − 2  dt = t − 2 ln t 2 + 2 = 2 + 2 − 2 ln 2 + 2 − 3 + 2 ln 3 =
I= ∫ ∫  t ( ) ( )
0  
0
t 0

( )
= 2 − 1 + 2 ln 3 − ln 2 + 2  = 2 − 1 + 2 ln
 
3
2+ 2
π
2
Bài 49: Tính I = sin 2 x ( 1 + sin 2 x ) 3 dx
∫ 0

Giải:
• Đặt t = 1 + sin 2 x + 2 ⇒ dt = 2sin xcosxdx = sin 2 xdx
Đổi cận:
π
x 0
2
t 1 2
π
2
2 4
2
Khi đó: I = sin 2 x ( 1 + sin 2 x ) 3 dx = t 3dt = t 1 15

0

1
41
= 4− =
4 4
π
2
Bài 50: Tính I = sin xcosx ( 1 + cosx ) 2 dx
∫ 0

Giải:
Ta có:
π π π
2 2 2
I = ∫ sin xcosx ( 1 + cosx ) dx = ∫ sin xcosx ( 1 + 2cosx + cos 2 x ) dx = ∫ ( cosx + 2cos 2 x + cos 3 x ) .sin xdx
2

0 0 0

• Đặt t = cosx ⇒ dt = − sin xdx
Đổi cận:
17vansitran@gmail.com-01689583116
π
x 0
2
t 1 0
0 1
 t 2 2t 3 t 4  1 17
Khi đó: I = − ∫ ( t + 2t + t ) dt = ∫ ( t + 2t + t ) dt =  + +  =
2 3 2 3

1 0 2 3 4  0 12
π
2
sin xcosx
Bài 51: Tính I =
∫ 0 a 2cos 2 x + b 2 sin 2 x
dx

Giải:
π π π
2 2 2
sin xcosx sin xcosx sin xcosx
Ta có: I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx
0 a 2cos 2 x + b 2 sin 2 x 0 a 2 ( 1 − sin 2 x ) + b 2 sin 2 x 0 ( b2 − a 2 ) sin 2 x + a 2
2tdt = 2 ( b 2 − a 2 ) sin xcosxdx

Đặt t = ( b − a ) sin x + a ⇒ t = ( b − a ) sin x + a ⇒ 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
• tdt
sin xcosxdx = 2
 b − a2
Đổi cận:
π
x 0
2
t |a| |b|
b
tdt 1 b b−a 1
Khi đó: I = ∫ = 2 .t = 2 =
a t(b −a )
2 2
b −a 2
a b −a
2
a+b
2
x +1
Bài 52: Tính I = ∫ dx
0
3
3x + 2
Giải:
t3 − 2
• Đặt t = 3 3 x + 2 ⇒ t 3 = 3 x + 2 ⇒ 3t 2 dt = 3dx; x =
3
Đổi cận:
x 0 2
t 3
2 2
t −2
3


3 .t 2 dt = 1 t 4 + t dt = 1  t + t  2 = 1  42 − 4 2 − 1 = 37 − 4 2
2 2 5 2
Khi đó: I =
∫ t 3 3∫2
( ) 3  5 2  3 2 3  5 5  15
 
3
2    
4
dx
Bài 53: Tính I = ∫x x2 + 9
7

Giải:
dx tdt tdt
Đặt t = x + 9 ⇒ t = x + 9 ( t > 0 ) ⇒ tdt = xdx; = 2 = 2
2 2 2

x x t −9
Đổi cận:
x 4 7
t 5 4
5
dt 1 t −3 5 1 7
Khi đó: ∫ 2 = ln = ln
4
t −9 6 t +3 4 6 4
18vansitran@gmail.com-01689583116
π
4
dx
Bài 54: Tính I =
∫ 0
1 + tan x
Giải:
1 dt dt
• Đặt t = tan x ⇒ dt = dx = ( 1 + tan 2 x ) dx ⇒ dx = =
2
cos x 1 + tan x 1 + t 2
2

Đổi cận:
π
x 0
4
t 0 1
1 
t −1  1 1 dt 1 1 tdt 1 1 dt
1
dt 1
I =∫ = ∫ − dt = ∫ − ∫ + ∫
0 ( 1+ t ) ( 1+ t )
2
2 1+ t ) 2 ( 1+ t2 ) 
0  (
2 01+ t 2 0 t2 +1 2 0 t2 +1
Khi đó:   1 2 4 1 4 2 43 14 2 4
4 3 3
J1 J2 J3


1
1 dt 1 1 ln 2
 Tính: J1 = ∫ = ln t + 1 =
2 0 t +1 2 0 2
1 d ( t + 1) 1
1 1 2
1 tdt 1 ln 2
 Tính: J 2 = ∫ 2 = ∫ 2 = ln t 2 + 1 =
2 0 t +1 4 0 t +1 4 0 4
π

 Tính: J 3 = 1 dt = 1 du = π (với t = tanu)
1
4


2 ∫ t2 +1 2 ∫
0 0
8
ln 2 ln 2 π π ln 2
Vậy I = − + = +
2 4 8 8 4
π
2
dx
Bài 55: Tính I = ∫
π sin x
3
Giải:
π π π
2 2
dx sin xdx 2 sin xdx
Ta có: ∫ =∫ =∫
π 1 − co s x
2 2
π sin x π sin x
3 3 3

• Đặt t = cosx ⇒ dt = − sin xdx
Đổi cận:
π π
x
3 2
1
t 0
2
Khi đó:
1 1 1 1
0 1
−dt 2 dt 1 2 1 1  1 2 dt 1 2 dt 1 1 1 3
I =∫ =∫ = ∫ + dt = − ∫ + ∫ = − ( ln t − 1 − ln t + 1 ) 2 = −  ln − ln  =
1 1− t 1− t 2 0  1− t 1+ t  2 0 t −1 2 0 t +1
2 2
2 2 2 2
2
0 0
1 1 1
= − ln = ln 3
2 3 2
19vansitran@gmail.com-01689583116
1
x + sin x
Bài 56: Tính I =∫ dx
0
cos 2 x
Giải:
1 1 1
x + sin x xdx sin x
I =∫ 2
dx = ∫ +∫ dx
Ta có: cos x cos x 0 cos 2 x
2
0
1 2 4 14 2 4
4 3
0
3
I1 I2
π
3
 Tính I1 = xdx
∫ cos 2 x
0

u = x
  du = dx
Đặ t  1 ⇒
 dv = cos 2 x dx v = tan x

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
π π π π
π 3 π
3
xdx π 3 3
sin x π 3 3 d ( cosx ) π 3
I1 = ∫ = x tan x 3 − ∫ tan xdx = −∫ dx = +∫ = + ( ln cosx ) 3 =
cos 2 x 3 cosx 3 cosx 3
0
0 0 0 0
0
π 3 1
= + ln
3 2
π π
π
sin x3
−d ( cosx ) 3
1
 Tính I 2 = ∫ dx = ∫ = 3 = 2 −1 = 1
cos 2 x cos 2 x cosx
0 0 0
π 3
Vậy I = − ln 2 + 1
3
1
x3
Bài 57: Tính I =∫ dx
0 x + x2 + 1
Giải:
Ta có:
x3 ( x2 + 1 − x ) x3 ( x2 + 1 − x ) dx =
∫( x )
1 1 1 1
x3
I =∫ dx = ∫ dx = ∫ 3
x 2 + 1 − x 4 dx =
0 x + x +1 2
0 ( x+ x +12
)( x +1 − x
2
) 0
x +1− x
2 2
0

1 1 1 1
x5 1 1
= ∫ x 3 x 2 + 1.dx − ∫ x 4 = ∫ x 2 x 2 + 1.xdx − = ∫ x 2 x 2 + 1.xdx −
0 0 0
5 0 0 5
• Đặt t = x + 1 ⇒ dt = 2 xdx
2

Đổi cận:
x 0 1
t 1 2

( )
2 2 2 2
1 1 1 3 1 1 1 1 32 1 12
I = ∫ ( t − 1) t . dt − = ∫ t − t dt − = − + ∫ t dt − ∫ t dt
2 2

1
2 5 21 5 5 21 21
Khi đó: 5 3
1  1 52 2 1 32 2  2 1 22 22 1 1 1 2 4 2 2 2 1 2 2
= − + t . − t .  = − + − − + = − + − =− +
5 2 5 2 31 5 5 5 5 3 3 5 5 3 15 15
20vansitran@gmail.com-01689583116
1
x
Bài 58: Tính I=∫ dx
−1 5 − 4 x
Giải:
• Đặt t = 5 − 4 x ⇒ dt = −4dx
Đổi cận:
x -1 1
t 9 1
5−t  1 
1
x
1  −  dt 1 9 5 − t 9
5 1 1
9
4  4
I=∫ dx = ∫ = ∫ dt = ∫ dt − ∫ tdt =
−1 5 − 4 x
Khi đó: 9 t 16 1 t 812 t 16 1
5 9 1 2 9 5 1 5 13 1
= t − . t 3 = ( 3 − 1) − ( 27 − 1) = − =
8 1 16 3 1 8 24 4 12 6
9

Bài 59: Tính I = ∫ x 1 − xdx
3

1
Giải:
• Đặt t = 1 − x ⇒ dt = − dx
Đổi cận:
x 1 9
t 0 -8
Khi đó:

( )
9 −8 0
3 4 3 7 0 3 3 468
I = ∫ x 3 1 − xdx = ∫ ( 1 − t ) t ( −dt ) = ∫ = − ( −2 ) + ( −2 ) = −
4 7
3 3
t − 3 t 4 dt =  t 3 − t 3 
1 0 −8 4 7  −8 4 7 7
π
3
dx
Bài 60: Tính I = ∫  π
π
sin x sin  x + 
6
 6
Giải:
π π π
3 3 3
dx dx 2dx
I =∫ =∫ =∫ =
 π π  3 1  π 3 sin x + sin xcosx
2
π
sin x sin  x +  6 ( sin x )  sin x + cosx  6
6
 6
 2 2 
π π π
3
2dx 3
2d ( tan x ) 3
d ( tan x )
=∫ =∫ = 2 3∫ =
π
6
( co s x ) (
2
3 tan 2 x + tan x ) π
6
( tan x ) ( )
3 tan x + 1 π
6
( 3 tan x )( )
3 tan x + 1
π

 3
1 1 
= 2 3∫  − d ( tan x ) =
π  3 tan x 3 tan x + 1 
6
21vansitran@gmail.com-01689583116
π π
( ) = 2 ( ln tan x )
π π
d ( tan x ) d 3 tan x + 1
( )  1 
3 3
3 3
= 2∫ − 2∫
π
− 2 ln 3 tan x + 1
π
= 2  ln 3 − ln  − 2 ( ln 4 − ln 2 ) =
π tan x π 3 tan x + 1  3
6 6
6 6
3
= 2 ln 3 − 2 ln 2 = ln  
2
1
dx
Bài 61: Tính I = ∫ 2 x
0
e +3
Giải:
• Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx
Đổi cận:
x 0 1
t 1 e
Khi đó:
1
dx
e
dt
e
tdt 1
e
2tdt 1
e
d ( t2 )
I = ∫ 2x
e + 3 ∫ t ( t 2 + 3) ∫ t 2 ( t 2 + 3 ) 2 ∫ t 2 ( t 2 + 3) 2 ∫ t 2 ( t 2 + 3 )
= = = =
0 1 1 1 1

e
1 1 1 1  1 e 1 e2 + 3 
= . ∫ 2 − 2  d ( t 2 ) = ln t 2 − ln ( t 2 + 3)  =  2 − ln 
2 3 1 t t +3 6 1 6
 4 

1
dx
Bài 62: Tính I = ∫ ( 11 + 5x )
−2
2


Giải:
• Đặt t = 11 + 5 x ⇒ dt = 5dx
Đổi cận:
x -2 1
t 1 6
1 6
dx 1 dt 1 6 −1 1 1
Khi đó: I = ∫ = ∫ 2 =− = + =
−2 ( 11 + 5 x )
2
51t 5t 1 30 5 6
e
sin ( ln x )
Bài 63: Tính I = ∫ dx
1
x
Giải:
dx
• Đặt t = ln x ⇒ dt =
x
Đổi cận:
x 1 e
t 0 1
e
sin ( ln x ) 1
1
Khi đó: I =∫ dx = ∫ sin tdt = −cost = −cos1 + cos0 = 1 − cos1
1
x 0
0
5

Bài 64: Tính I = ∫ x − 9dx
2

3

Giải:
22vansitran@gmail.com-01689583116
t2 + 9
t = x + x2 − 9 ⇒ x =
2t
• Đặ t
t + 9 t2 − 9
2
t2 − 9
x −9 = t − x = t −
2
= ⇒ dx = dt
2t 2t 2t 2
Đổi cận:
x 3 5
t 3 9
Khi đó:
5 9 2
t − 9 t2 − 9
9
 t 9 81   t2 9 81  9
I = ∫ x − 9dx = ∫
2
. 2 dt = ∫  − + 3  dt =  − ln t − 2  = ...
3 3
2t 2t 3
4 2t 4t  8 2 6t  3
π
4
1
Bài 65: Tính I = ∫ ( sin x + cosx )
π
2
dx

12
Giải:
π π π
4
1 1 4
1 1  π 3
I= ∫ ( sin x + cosx ) dx = ∫ dx = − cot  x +  4 =
2
2 π 2 π 2  4 π 2
− sin  x + −
π
− 
12 12
 4 12
1

Bài 66: Tính I = ∫ sin xdx
0

• Đặt t = x ⇒ dx = 2td
Đổi cận:
x 0 1
t 0 1
Khi đó:
1
I = 2 ∫ t sin tdt
0

u = t  du = dt
Đặ t  ⇒
 dv = sin tdt v = −cosx
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
1
1 1 1
I = −2 ( tcost ) + 2 ∫ costdt = −2 ( tcost ) + 2 ( sin t ) = 2 ( sin1 − cos1)
0 0 0 0

Xong lúc 1h49, ngày 09 tháng 04 năm 2009
23vansitran@gmail.com-01689583116
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
 Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)eax trong đó P(x) là một đa thức Đặt
u = P ( x )


 dv = ...

u = ln x
 Tích phân các hàm số dạng P(x)lnx trong đó P(x) là một đa thức Đặt 
 dv = ...

1

Bài 1: Tính I = ∫ xe dx
2x

0

 du = dx
u = x 
Đặ t  ⇒ 1 2x
 dv = e dx v = e
2x

 2
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1 1 1
1 2x 1 1 2x 1 2 1 2x 1 2 1 2x 1 1 2 1 2 e2 + 1
I = ∫ xe dx = xe e dx = e − ∫ e d ( 2 x ) = e − e = e − ( e − 1) =
0 2∫
2x

0
2 0
2 40 2 4 0 2 4 4
π
3
x
Bài 2: Tính I =
∫ 0
cos 2 x
dx

u = x
 du = dx
Đặ t  dx ⇒ 
 dv = co s 2 x v = tan x

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
π π π π
π 4 π
3
x π 3 3
sin x π 3 3 d ( cosx ) π 3 π 3
I=∫ 2
dx = x tan x 3 − ∫ tan xdx = −∫ dx = +∫ = + ln cosx 3 = − ln 2
cos x 3 cosx 3 cosx 3 3
0 0 0 0 0 0
1

Bài 3: Tính I = ∫ x e dx
2 x

0

u = x

2
 du = 2 xdx
Đặ t  ⇒
 dv = e dx v = e
x x

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1 1 1
2 x 1
I = ∫ x e dx = x e − 2∫ xe dx = e − 2 ∫ xe x dx
2 x x

0
0 0 0
1

Tiếp tục tính: J = ∫ xe dx
x

0

u = x  du = dx
Đặ t  ⇒
 dv = e dx v = e
x x


Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1
1 1
J = ∫ xe x dx = xe x − ∫ xe x dx = 1
0
0 0
Vậy I = e - 2
24vansitran@gmail.com-01689583116
1

Bài 4: Tính I = ∫ ( 3x + 1) e dx
−3 x

0

du = 3dx
u = 3 x + 1 
Đặ t  ⇒ 1 −3 x
 dv = e dx v = − e
−3 x

 3
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 5
I = ∫ ( 3x + 1) e −3 x dx = − ( 3x + 1) e−3 x + ∫ e−3 x dx = − ( 3x + 1) e−3 x − ∫ e−3 x d ( e−3 x ) = − ( 3x + 1) e−3 x − e−3 x = − 3
0
3 0 0 3 0 30 3 0 3 0 3 e
π
2


Bài 5: Tính I = x sin 2 xdx
0
π π
π π

2
1 − cos 2 x
2
12 2

Ta có: I = ∫ x sin xdx = ∫ x dx =  ∫ xdx − ∫ xcos 2 xdx 
2

0 0
2 2 0 0 
 
π
π
2
x2 π2
• ∫ xdx =
2
2=
8
0 0
π
2
• Tính
∫ xcos2 xdx
0

du = dx
u = x 
Đặ t  ⇒ 1
 dv = cos 2 xdx v = sin 2 x
 2
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
π π
2 π π
1 12 cos 2 x 1
∫ xcos2 xdx = 2 x sin 2 x 2 − 2 ∫ sin 2 xdx = 0 + 4 2 = − 2
0 0 0 0
π

Vậy I = x sin 2 xdx = π + 4
2 2


0
16
π
2


Bài 6: Tính I = esin x sin 2 xdx
0

Giải:
π π
2 2

∫ ∫
Ta có: I = esin x sin 2 xdx = 2 esin x sin xcosxdx
0 0

Đặt t = sin x ⇒ dt = cosxdx
Đổi cận:
π
x 0
2
t 0 1
Khi đó:
25vansitran@gmail.com-01689583116
π
2 1
I = 2 ∫ esin x sin xcosxdx = 2 ∫ tet dt
0 0

u = t du = dt
Đặ t  ⇒
 dv = e dt v = e
t t


Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1 1
t 1 1 1
∫ te dt = te − ∫ et dt = tet − et = 1
t

0
0 0 0 0
Vậy I = 2
e

Bài 7: Tính I = ∫ ( 4 x + 1) ln xdx
1

 dx
u = ln x
  du =
Đặ t  ⇒ x
 dv = ( 4 x + 1) dx v = 2 x 2 + x


Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
e
e e e
I = ∫ ( 4 x + 1) ln xdx = ( 2 x + x ) ln x − ∫ ( 2 x + 1) dx = 2e 2 + e − ( x 2 + x ) = e 2 + 2
2

1
1 1 1
1

Bài 8: Tính I = ∫ x ln ( x + 1) dx
2

0

Đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx
Đổi cận:
x 0 1
t 1 2
Khi đó:
1 2
1
I = ∫ x ln ( x 2 + 1) dx = ∫ ln tdt
0
21
 dx
u = ln t du =
Đặ t  ⇒ t
 dv = dt v = t

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
2
2 2
∫ ln tdt = t ln t 1 − ∫ dt = 2 ln 2 − 1
1 1
1
1
Vậy I = ∫ x ln ( x + 1) dx = ln 2 −
2

0
2
π
2

Bài 9: Tính I = ∫ cosx ln ( sin x ) dx
π
6

 cosx
u = ln ( sin x )
  du = dx
Đặ t  ⇒ sin x
 dv = cosdx
 v = sin x

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
26vansitran@gmail.com-01689583116
π π π π π
2 2
2 2 2 1
I = ∫ cosx ln ( sin x ) dx = sin x ln ( sin x ) − ∫ cosxdx = in x ln ( sin x ) − sin x = ( ln 2 − 1)
π π π π π 2
6
6 6 6 6
π
3
xdx
Bài 10: Tính I = ∫
π sin 2 x
4

u = x
 du = dx
Đặ t  dx ⇒ 
 dv = sin 2 x v = − cot x

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
π π π
( )
π

π 1 3 π 9−4 3 1 3
3 3
xdx 3
I = ∫ 2 = − x cot x + ∫ cot xdx = − . + ln sin x = + ln
π sin x π π 3 3 π 36 2 2
4
4 4 4
π
2


Bài 11: Tính I = e x cos xdx
0

u = cosx  du = − sin xdx
Đặ t  ⇒
 dv = e dx v = e
x x


Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
π π
2 π 2
I = ∫ e x cos xdx = e x cosx 2 + ∫ e x sin xdx
0 0 1 4 2 43
0
I1
π
2


Tính I1 = e x sin xdx
0

u = sin x  du = cosxdx
Đặ t  ⇒
 dv = e dx v = e
x x


Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
π π
2 π 2 π
I1 = ∫ e sin xdx = e sin x 2 − ∫ e co s xdx =e sin x 2 − I
x x x x

0 0 0 0
π
 π π π
2
1 x e 2 −1
Suy ra: I = ∫ e cos xdx =  e cosx 2 + e sin x 2  =
x x

2  2
0
 0 0 

π

Bài 12: Tính I = 1 + sin x .e x dx
2

∫ 1 + cosx
0
27vansitran@gmail.com-01689583116
π π π π π
2
1 + sin x x 2 x
e dx 2
sin x x 1 e dx 2 x 2
sin x x
I=∫ .e dx = ∫ +∫ .e dx = ∫
x ∫ 1 + cosx
+ .e dx
Ta có: 1 + cosx 1 + cosx 0 1 + cosx 2 0 cos 2
0 0
1 44 2 4 43
0

1 4 2 43 2 I2
I1
π

1 e x dx
2


2 ∫ cos 2 x
Tính: I1 =
0
2
u = e x

  du = e x dx
 
Đặt  dv = dx ⇒  x
 cos 2 x v = tan
  2
 2
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
π π π
2 x π 2 π 2
1 e dx x x x
I1 = ∫ = e x tan 2 − ∫ tan .e x dx = e 2 − ∫ tan .e x dx
2 0 cos 2 x 2 2 2
0 0 0
2
π π x x π
2 2 2sin co s 2
sin x x 2 2 .e x dx = tan x .e x dx
Tính: I 2 = ∫ .e dx = ∫ ∫ 2
1 + cosx x
0 0 2cos 2 0
2
π
Vậy I = e 2
28vansitran@gmail.com-01689583116
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH GIÁN TIẾP
π
2
sin x
Bài 1: Tính I =
∫ 0 sin x + cosx
dx

Giải:
π
Đặ t x = − t ⇒ dx = −dt
2
Đổi cận:
π
x 0
2
π
t 0
2
Khi đó:
π  π π
0 sin  − t  2 2
2  co s t co s x
I = −∫ dt = ∫ dt = ∫ dx
π π  π  co s t + s int co s x + s in x
2 sin  − t  + cos  − t  0 0

2  2 
π π
π
2
sin x + cosx 2
π π
Vậy I + I = 2 I = ∫ dx = ∫ dx = x 2 = ⇒ I =
sin x + cosx 2 4
0 0 0
π
2
sin 3 x
Bài 2: Tính I =
∫ 0
sin 3 x + cos 3 x
dx

Giải:
π
Đặ t x = − t ⇒ dx = −dt
2
Đổi cận:
π
x 0
2
π
t 0
2
Khi đó:
π  π π
0 sin 3  − t 
2 
2
co s3 t 2
co s3 x
I = −∫ dt = ∫ dt = ∫ dx
3π  3π  co s3 t + sin 3 t co s3 x + sin 3 x
π
sin  − t  + co s  − t  0 0
2
2  2 
π π
π
sin 3 x + cos 3 x
2 2
π π
Vậy I + I = 2 I = ∫ 3 dx = ∫ dx = x 2 = ⇒ I =
sin x + cos x 3
2 4
0 0 0
e− x
1 1
ex
Bài 3: Tính các tích phân: I = ∫ dx và I = ∫ x − x dx
0
e x + e− x 0
e +e
1

Ta có: I + J = ∫ dx = 1
0
29vansitran@gmail.com-01689583116
e − e− x
1 x 1
d ( e x + e− x ) 1 e2 + 1
I − J = ∫ x − x dx = ∫ x − x = ln e x + e − x = ln ( e + e −1 ) − ln 2 = ln
0
e +e 0
e +e 0 2e
1 e2 + 1 1 2e 
Từ đó suy ra: I = 1 + ln  và J = 2 1 + ln e 2 + 1 
2 2e   
π

Bài 4: Tính I = ln 1 + s inx dx
2

∫ 1+cosx
0

Giải:
π
Đặt x = − t ⇒ dx = −dt
2
Đổi cận:
π
x 0
2
π
t 0
2
Khi đó:
π  π π
0 1 + s in  − t 
 2  dt = ln 1 + co s t dt = ln 1 + co s x dx
2 2
I = − ∫ ln ∫ 1+sint ∫ 1+sinx
π 
π
1+cos  − t  0 0
2
2 
Vậy
π π π π

 1 + cosx 1 + s inx   1 + cosx 1 + s inx 
2 2 2 2
I + I = 2 I = ∫  ln + ln  dx = ∫  ln .  dx = ∫ ( ln1) dx = ∫ 0dx = 0 ⇒ I = 0
0
1 + s inx 1 + co s x  0
1 + s inx 1 + co s x  0 0
π
2
sin 6 x
Bài 5: Tính I =
∫ 0
sin 6 x + cos 6 x
dx

Giải:
π
Đặ t x = − t ⇒ dx = −dt
2
Đổi cận:
π
x 0
2
π
t 0
2
Khi đó:
π  π π
0 sin 6  − t 
2 
2
co s 6 t 2
co s 6 x
I = −∫ dt = ∫ dt = ∫ dx
6 π  6 π  co s 6 t + sin 6 t co s 6 x + sin 6 x
π
sin  − t  + co s  − t  0 0
2
2  2 
π π
π
sin 6 x + cos 6 x
2 2
π π
Vậy I + I = 2 I = ∫ 6 dx = ∫ dx = x 2 = ⇒ I =
sin x + cos x 6
2 4
0 0 0
30vansitran@gmail.com-01689583116


Bài 6: Tính I = ∫ sin ( sin x + nx ) dx
0

Giải:
Đặt t = π − t ⇒ dt = −dx
Đổi cận:
x 0 2π
t π −π
Khi đó:
−π π
I = − ∫ sin ( sin ( π − t ) + n ( π − t ) ) dt = ∫ sin ( sin t + nπ − nt ) dt
π −π
π π
= ∫ sin ( sin t − nt ) cos ( nπ ) dt + ∫ sin ( sin t − nt ) s in ( nπ ) dt
−π −π
π
⇒I = ∫ sin ( sin t − nt ) cos ( nπ ) dt
−π
(do sin ( nπ ) = 0 )

Đặt y = −t ⇒ dy = − dt
Đổi cận:
t −π π
y π −π
Khi đó:
−π π π
I = − ∫ sin sin ( − y ) + ny  cos ( nπ ) dy = ∫ sin [ − sin y + ny ] cos ( nπ ) dy = −
  ∫ sin ( sin y − ny ) cos ( nπ ) dy
π −π −π
π
= − ∫ sin ( sin t − nt ) cos ( nπ ) dy = − I
−π



⇒ I = −I ⇒ I = 0

π
2
Bài 7: Tính I = ∫ 4sin x
dx
( sin x + cosx )
3
0

Giải:
π
Đặ t x = − t ⇒ dx = −dt
2
Đổi cận:
π
x 0
2
π
t 0
2
Khi đó:
π  π π
0 4sin  − t  2 2
2  4co s t 4co s x
I = −∫ dt = ∫ dt = ∫ dx
0 [ co s t + sin t ] 0 [ co s x + sin x ]
3 3 3
π  π  π 
2 sin  − t  + co s  − t  
 2   2 
31vansitran@gmail.com-01689583116
π π π π
2 2 2 2
4sin x 4co s x 4 4
⇒ I + I = 2I = ∫ dx + ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx
( sin x + cosx ) ( sin x + cosx ) ( sin x + cosx ) 2 π
3 3 2
0 0 0 0 2cos  x − 
 4
π
 π
= 2 tan  x −  2 = 2 + 2 = 4 ⇒ I = 2
 4
0
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản