Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Chia sẻ: | Ngày: doc 31 p | 95

0
265
views

Tài liệu tham khảo bài tập toán về phương pháp đổi biến số

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Nội dung Text

  1. 1vansitran@gmail.com-01689583116 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn  π π Đặt x = |a| sint; với t ∈  − ;  a2 − x2  2 2 hoặc x = |a| cost; với t ∈ [ 0; π ] a  π π Đặt x = ; với t ∈  − ;  \ { 0} sint  2 2 x2 − a2 a π  hoặc x = ; với t ∈ [ 0; π ] \   cost 2  π π Đặt x = |a|tant; với t ∈  − ;  a2 + x2  2 2 hoặc x = |a|cost; với t ∈ ( 0; π ) a+x a−x hoặc Đặt x = acos2t a−x a+x ( x − a) ( b − x) Đặt x = a + (b – a)sin2t 1  π π Đặt x = atant; với t ∈  − ;  a + x2 2  2 2 1 1 − x2 Bài 1: Tính I = ∫ x2 dx 2 2 Giải:  π π Đặt x = cost, t ∈  − ;  . ⇒ dx = - sint dt  2 2 Đổi cận: 2 π x 2 4 t 1 0 1 π π π 1− x 2 0 1 − cos 2t .sint I= ∫ dx = − ∫ dt = 4 sin t .sin t = 4 2 sin t 4  1  Khi đó: 2 x2 π cos 2t ∫ 0 cos 2t dt ∫ cos t dt = ∫  cos t − 1dt = 0 2 0  2  2 4 π π  π = ( tan t − t ) 4 = 1 − . (vì t ∈ 0;  nên sint ≥ 0 ⇒ sin t = sin t ) 0 4  4 a Bài 2: Tính I = ∫ x a − x dx 2 2 2 0 Giải:  π π Đặt x = asint, t ∈  − ;  . ⇒ dx = acostdt  2 2
  2. 2vansitran@gmail.com-01689583116 Đổi cận: x 0 a π t 0 2 π π π a 2 2 4 2 Khi đó: I = ∫ x a − x dx = a 2 sin 2 t a 2 ( 1 − sin 2 t ) .acostdt = a 4 sin 2 tcos 2tdt = a sin 2 2tdt = 2 2 2 0 ∫ 0 ∫ 0 4 ∫0 π π 4 2 a4  1  π a4 = a t − sin 4t  2 = 8 ∫ ( 1 − cos4t ) dt = 8  4 0  0 16 1 Bài 3: Tính I = ∫ x 1 − x dx 2 2 0 Giải:  π π Đặt x = sint, t ∈  − ;  . ⇒ dx = costdt  2 2 Đổi cận: x 0 1 π t 0 2 π π π 1 2 2 2 Khi đó: I = ∫ x 1 − x dx = sin 2 t 1 − sin 2 t .costdt = 1 sin 2 tcos 2tdt = 1 sin 2 2tdt = 2 2 0 ∫0 4∫ 0 4∫ 0 π π 12 1 1  π ( 1 − cos 4t ) dt = 8  t − 4 sin 4t  2 = 16 8∫ =  0 0 1 Bài 4: Tính I = ∫ x 1 − x dx 3 2 0 Giải: Đặt t = 1 − x 2 ⇔ t2 = 1 – x2 ⇒ xdx = -tdt Đổi cận: x 0 1 t 1 0 1 1 1 1  t3 t5  1 2 Khi đó: I = ∫ x 1 − x dx = I = ∫ x 1 − x xdx = ∫ ( 1 − t ) .t.tdt = ∫( t 2 − t 4 ) dt =  −  = . 3 2 2 2 2 0 0 0 0  3 5  0 15 2 e dx Bài 5: Tính I = ∫ x ln e 5 x Giải: dx Đặt t = lnx ⇒ dt = x Đổi cận: x e e2 t 1 2 e2 2 dx dt  1  2 15 Khi đó: I = ∫ = ∫ 5 = − 4  = . e x ln 5 x 1 t  4t  1 64
  3. 3vansitran@gmail.com-01689583116 1 Bài 6: Tính I = ∫ x ( x + 1) dx 3 4 4 0 Giải: dt Đặt t = x4 + 1 ⇒ dt = 4x3dx ⇒ x dx = 3 4 Đổi cận: x 0 1 t 1 2 1 2 1 4  1 5  2 31 Khi đó: I = ∫ x ( x + 1) dx = 4 ∫ t dt =  20 t  1 = 20 . 3 4 0 41   π 2 ∫ Bài 7: Tính I = sin 5 xcoxdx 0 Giải: Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx Đổi cận: π x 0 2 t 0 1 π 2 1 Khi đó: I = sin 5 xcoxdx = t 5 dt = 1 . ∫ 0 ∫ 0 6 π 12 Bài 8: Tính I = ∫ tan 4 xdx 0 Giải: π π 12 12 sin 4 x Ta có: ∫ tan 4 xdx = ∫ cos 4 x dx 0 0 dt Đặt t = cos4x ; ⇒ dt = −4s in 4 xdx ⇒ sin 4 xdx = − 4 Đổi cận: π x 0 12 1 t 1 2 π π 1 12 12 2 1 1 sin 4 x 1 dt 1 dt 1 1 Khi đó: I = ∫ tan 4 xdx = ∫ 0 0 cos 4 x dx = − ∫ = ∫ = ln t 1 = ln 2. 41 t 41 t 4 4 2 2 π 2 ∫ Bài 9: Tính I = cos 5 xdx 0 Giải: π π π 2 2 2 Ta có: cos 5 xdx = cos 4 xcoxdx = ( 1 − sin 2 x ) 2 coxdx ∫ 0 ∫ ∫0 0
  4. 4vansitran@gmail.com-01689583116 Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx Đổi cận: π x 0 2 t 0 1 π π π π Khi đó: I = cos 5 xdx = ( 1 − sin 2 x ) 2 coxdx = ( 1 − t 2 ) 2 dt = ( 1 − 2t 2 + t 4 ) dt =  t − 2t + t  = 5 . 2 2 2 2 3 5 1 ∫ 0 ∫ 0 ∫ 0 ∫ 0   3  5  0 18 π 4 1 Bài 10: Tính I = ∫ 0 cos 4 x dx Giải: 1 Đặt t = tanx ; ⇒ dt = dx cos 2 x Đổi cận: π x 0 4 t 0 1 π π 4 1 4 1 1  t3  1 4 Khi đó: I = ∫ dx = ∫ ( 1 + tan x ) 2 dx = ∫ ( 1 + t ) dt =  t +  = . 2 0 cos 4 x 0 cos 2 x 0  30 3 π 2 cos 3 x Bài 11: Tính I = ∫ dx π s in 2 x 6 Giải: Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx Đổi cận: π π x 6 2 1 t 1 2 π π 1 1 1 2 cos x 3 (1 − s in 2 x) 2 1− t2 1   1  1 Khi đó: I = ∫ 2 dx = ∫ 2 cosxdx = ∫ 2 dt = ∫  2 − 1 dt =  − − t  1 = . π s in x π s in x 1 t 1t   t  2 6 6 2 2 2 π 2 ∫ Bài 12: Tính I = sin 3 xcos3 xdx 0 Giải: Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx Đổi cận: π x 0 2 t 0 1
  5. 5vansitran@gmail.com-01689583116 Khi đó: π π 2 2 1 1  t4 t6  1 1 I = ∫ sin xcos xdx = ∫ sin x ( 1 − sin x ) cosxdx = ∫ t ( 1 − t ) dt = ∫ ( t 3 − t 5 ) dt =  −  = . 3 3 3 2 3 2 0 0 0 0  4 6  0 12 π 2 ∫ Bài 13: Tính I = esin 2 x sin 2 xdx 0 Giải: Đặt t = sin2x ; ⇒ dt = s in 2 xdx Đổi cận: π x 0 2 t 0 1 π 1 2 1 ∫ 0 ∫ Khi đó: I = esin 2 x sin 2 xdx = et dt = et 0 0 = e − 1. π 2 Bài 14: Tính I = sin 2 x dx ∫ 1 + cos 2 x 0 Giải: Đặt t = 1 + cos2x ; ⇒ dt = − s in 2 xdx ⇒ s in 2 xdx = −dt Đổi cận: π x 0 2 t 2 1 π 1 2 2 2 Khi đó: I = sin 2 x dx = − dt = dt = ( ln t ) = ln 2. ∫ 1 + cos 2 x 0 ∫t ∫t 2 1 1 π 4 ∫ Bài 15: Tính I = tan 3 xdx 0 Giải: dt Đặt t = tanx ; ⇒ dt = ( 1 + tan x ) dx = ( 1 + t ) dt ⇒ dx = 2 2 t +1 2 Đổi cận: π x 0 4 t 0 1 π t 2 1 1 d ( t + 1) 1 1 1 1 1 2 4 t3  t  1 2t I = ∫ tan 3 xdx = ∫ dt = ∫  t − 2  dt = ∫ tdt − ∫ 2 dt = − ∫ 2 = t2 +1  t +1  2 0 t +1 2 0 2 0 t +1 Khi đó: 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 = − ln ( t 2 + 1) = − ln 2 = ( 1 − ln 2 ) . 2 2 0 2 2 2 1 1 Bài 16: Tính I = ∫ dx 0 1+ x Giải:
  6. 6vansitran@gmail.com-01689583116 Đặt t = x ; ⇒ t 2 = x ⇒ dx = 2tdt Đổi cận: x 0 1 t 0 1 1 1 1 1 t  1  1 Khi đó: I =∫ dx = 2 ∫ dt = 2∫ 1 −  dt = 2 ( t − ln 1 + t ) 0 = 2 ( 1 − ln 2 ) . 0 1+ x 0 1+ t 0 1+ t  1 Bài 17: Tính I = ∫ x 1 − x dx 33 4 0 Giải: 3 2 Đặt t = 1 − x ⇒ t = 1 − x ⇒ x dx = − t dt 3 4 3 4 3 4 Đổi cận: x 0 1 t 1 0 1 1 3 3 1 3 Khi đó: I = ∫ x 3 3 1 − x 4 dx = ∫ t 3dt = t 4 = . 0 40 16 0 16 0 1 Bài 18: Tính I = ∫x −1 2 + 2x + 4 dx Giải: 0 0 1 1 Ta có: ∫ x 2 + 2 x + 4 dx = ∫ dx ( 3) 2 −1 ( x + 1) + 2 −1  π π Đặt x + 1 = 3 tan t với t ∈  − ;  . ⇒ dx = 3 ( 1 + tan t ) dt 2  2 2 Đổi cận: x -1 0 π t 0 6 π π 0 1 36 3 π 3 Khi đó: I = ∫ 2 dx = ∫ dt = 3 t 6 = 18 . x + 2x + 4 3 0 −1 0 1 x3 Bài 19: Tính I = ∫ dx 0 1 + x8 Giải: 1 1 x3 x3 Ta có: ∫ 1 + x8 dx = ∫ dx 1 + ( x4 ) 2 0 0  π π 1 Đặt x 4 = tan t với t ∈  − ;  . ⇒ x dx = ( 1 + tan t ) dt 3 2  2 2 4 Đổi cận: x 0 0 π t 0 4
  7. 7vansitran@gmail.com-01689583116 π π π 1 x 3 x 1 1 1 + tan t 3 4 1 2 1 π4 Khi đó: I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dt = ∫ dt = t 4 = . 0 1+ ( x ) 1+ x 8 4 2 4 0 1 + tan t 2 40 4 16 0 0 e 1 + ln x Bài 20: Tính I = ∫ dx 1 x Giải: dx Đặt t = 1 + ln x ⇒ t = 1 + ln x ⇒ 2tdt = 2 x Đổi cận: x 1 e t 1 2 Khi đó: I = ∫ e 1 + ln x 2 2 ( t3 2 2 2 2 −1 ) dx = ∫ t.2tdt =2 ∫ t dt =2 = 2 . 1 x 1 1 31 3 1 ln ( 2 − x ) Bài 21: Tính I = ∫ dx 0 2− x Giải: −dx Đặt t = ln ( 2 − x ) ⇒ dt = 2− x Đổi cận: x 1 1 t ln2 0 1 ln ( 2 − x ) 0 ln 2 t 2 ln 2 ln 2 2 Khi đó: I = ∫ dx = − ∫ tdt = ∫ tdt = = . 0 2− x ln 2 0 2 0 2 π 2 cosx Bài 22: Tính I = ∫ 0 1 + sin 2 x dx Giải:  π π Đặt sin x = tan t với t ∈  − ;  ⇒ cosxdx = ( 1 + tan t ) dt 2  2 2 Đổi cận: π x 0 2 π t 0 4 π π π 2 cosx 1 + tan t 4 2 π4 Khi đó: I = ∫ 0 1 + sin x 2 dx = ∫ 0 1 + tan t 2 dt = ∫ dt = 0 4 π 2 1 Bài 23: Tính I = ∫ dx π sin x 3 Giải: x 1 x 2dt Đặt t = tan ⇒ dt = 1 + tan 2  dx ⇒ dx = 2 2 2 1+ t2
  8. 8vansitran@gmail.com-01689583116 1 1 2tdt 1 dx = . = dt Ta tính: sin x 2t 1 + t 2 t 1+ t2 Đổi cận: π π x 3 2 3 t 1 3 π 2 1 1 1 1 3 1 Khi đó: I = ∫ π sin x dx = ∫ t dt = ( ln t ) 3 = − ln 3 = ln 3. 2 3 3 3 3 e 1 Bài 24: Tính I = ∫ dx 1 x ( 1 + ln x ) Giải: dx Đặt t = 1 + ln x ⇒ dt = x Đổi cận: x 1 e t 1 2 e 2 1 dt 2 Khi đó: I = ∫ dx = ∫ = ln t = ln 2. 1 x ( 1 + ln x ) 1 t 1 1 Bài 25: Tính I = ∫ x e dx 3 5 x 0 Giải: dt Đặt t = x ⇒ dt = 3 x dx ⇒ x dx = 3 2 2 3 Đổi cận: x 1 0 t 1 0 1 1 1 1 t 1 t1 1 t e 1 t1 1 Khi đó: I = ∫ x e dx = ∫ te dt = te − ∫ e dt = − e = 5 x3 0 30 3 0 30 3 3 0 3 1+ 5 Bài 26: Tính I = 2 x2 + 1 ∫ 1 x4 − x2 + 1 dx Giải: 1+ 5 1+ 5 1 1+ 5  1  2 x +1 2 2 1+ 2 1 + 2  x2  x  dx Ta có: ∫ x − x2 + 1 4 dx = ∫ 1 dx = ∫  1 2 1 1 x −1 + 2 2 1 x −  +1 x   x 1  1  Đặ t t = x − ⇒ dt =  1 + 2  dx x  x  Đổi cận: 1+ 5 x 1 2
  9. 9vansitran@gmail.com-01689583116 t 0 1 1 dt Khi đó: I = ∫ 0 1+ t2 Đặt t = tan u ⇒ dt = ( 1 + tan u ) du 2 Đổi cận: x 0 1 π t 0 4 π π π dt 1 1 + tan u 4 2 π 4 Vậy I = ∫ =∫ du = ∫ du = u 4 = . 1+ t 2 1 + tan u 2 4 0 0 0 0 2 dx Bài 27: Tính I = ∫ 1 x 1 + x3 Giải: 2 2 dx x 2 dx Ta có: ∫x 1 1 + x3 =∫ 1 x3 1 + x3 2tdt Đặt t = 1 + x ⇒ t = 1 + x ⇒ 2tdt = 3 x dx ⇒ x dx = 3 2 3 2 2 3 Đổi cận: x 1 2 t 2 3 Khi đó: 2 2 3 3 dx x 2 dx 2 dt 1  1 1  I =∫ =∫ = ∫ 2 = ∫  t − 1 − t + 1  dt = 1 x 1+ x 3 1 x 3 1+ x 3 3 2 t −1 3 2   3 −1 3   = 1 ( ln t − 1 − ln t + 1 ) =  1 ln tt + 1  = 1  ln 1 − ln 2 − 1  = 1 ln 2 + 1 = 1 ln 3  1 3 2   2 3 2  2 +1  3 2 2 −1 3  ( ) ( 2 −1 ) 2 2 3x3 Bài 28: Tính I = ∫ dx 0 x2 + 2x + 1 Giải: 2 2 3x3 3 x3 Ta có: ∫ 2 dx = ∫ dx 0 ( x + 1) 0 x + 2x +1 2 Đặt t = x + 1 ⇒ dt = dx Đổi cận: x 0 2 t 2 3 Khi đó: 2 3x3 2 3x3 3 3 ( t − 1) 3 3 3 ( t 3 − 3t 2 + 3t − 1) I =∫ 2 dx = ∫ dx = ∫ dt = ∫ dt = 0 ( x + 1) 0 x + 2x +1 2 1 t2 1 t2 3  9 −2   t2 1 3 3 = ∫  3t − 9 + − 3t  dt =  3 − 9t + 9 ln t + 3  = ( 32 − 12 ) − 9 ( 3 − 1) + 9 ( ln 3 − ln1) + 1 − 3 = 9 ln 3 − 8 1 t   2 t 1 2
  10. 10vansitran@gmail.com-01689583116 ln 2 e 2 x + 3e x Bài 29: Tính I = ∫ 0 e 2 x + 3e x + 2 dx Giải: Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx Đổi cận: x 0 ln2 t 1 2 Khi đó: ln 2 ln 2 2 2 e 2 x + 3e x ex + 3 t +3  2 1  I = ∫ 2x dx = ∫ 2 x e x dx = ∫ 2 dt = ∫  − dt = 0 e + 3e + 2x 0 e + 3e + 2 x 1 t + 3t + 2 1 t +1 t + 2  2 2 1 1 2 2 3 4 9 4 27 = 2∫ dt − ∫ dt = 2 ln t + 1 − ln t + 2 = 2 ( ln 3 − ln 2 ) − ( ln 4 − ln 3) = 2 ln − ln = ln − ln = ln 1 t +1 1 t+2 1 1 2 3 4 3 16 4 dx Bài 30: Tính I = ∫ 1 ( x 1+ x ) Giải: Đặt x = t 2 ⇒ dx = 2tdt Đổi cận: x 1 4 t 1 2 4 2 2 2 dx 2tdt dt 1 1  I =∫ =∫ 2 =2 ∫ =2 ∫  −  dt = Khi đó: 1 x 1+ x ( 1 ) t (1+ t ) 1 t ( 1+ t ) 1  t 1+ t  2  2 1 4 = 2 ( ln t − ln t + 1 ) = 2  ln − ln  = 2 ln . 1  3 2 3 1 Bài 31: Tính I = ∫ (1− x ) 2 3 dx 0 Giải:  π Đặt x = sin t , t ∈ 0;  ⇒ dx = costdt  2 Đổi cận: x 0 1 π t 0 2 Khi đó: π π π π 1 2 ( 1 − sin t ) .costdt = ∫ cos t.costdt = ∫ cos tdt = ∫  1 + cos2t  dt = 2 2 2 2 (1− x )2 3 3 I =∫ dx = ∫ 2 3 4   0  0 0 0 0 2 π π π π π π 1 2 1 1 1 2 2 1 π 1 sin 2t 2 12 = ∫ ( 1 + 2cos 2t + cos 2t ) dt = ∫ dt + ∫ cos 2tdt + ∫ 2cos 2tdt = . + . 2 2 2 + ∫ ( 1 + cos 4t ) dt = 40 40 20 80 4 2 2 2 80 0 π π π π 1 1 2 π π 1 sin 4t 2 π π 3π = + ∫ dt + ∫ cos 4tdt = + + . 2= + = . 8 80 80 8 16 8 4 8 16 16 0
  11. 11vansitran@gmail.com-01689583116 π 2 Bài 32: Tính I = ∫ cos xdx 3 π 6 Giải: π π π π π 2 2 2 2  sin 3 x  2 I = ∫ cos 3 xdx = ∫ cos 2 x.cosxdx = ∫ ( 1 − sin 2 x ) cosxdx = ∫ ( 1 − sin 2 x ) d ( sin x ) =  sin x −  = π π π π  3 π 6 6 6 6 6 1 1 1 5 = 1− − + = 3 2 24 24 π 4 sin 4 x Bài 33: Tính I = ∫ 0 sin x + cos 4 x 4 Giải: π π π π 4 4 4 4 sin 4 x 2sin 2 xcos 2 x 2sin 2 xcos 2 x 2sin 2 xcos 2 x I=∫ 4 dx = ∫ 4 dx = ∫ dx = ∫ dx = sin x + cos x 4 sin x + cos x 4 1 − 2sin xcos x 2 2 0 1− 1 2 0 0 0 sin 2 x 2 π π 4 −1  1 2  1 2 1 =∫ d 1 − sin 2 x  = − ln 1 − sin 2 x 4 = − ln = ln 2 1 2 0 1− sin 2 x  2  2 0 2 2 π 2 cos 3 x Bài 34: Tính I = ∫ dx π 1 + sin x 4 Giải: π π π π I=∫ 2 3 cos x dx = ∫ 2 cos x2 cosxdx = ∫ 2 ( 1 − sin 2 x ) 2 cosxdx = ∫ ( 1 − sin x ) cosxdx = π 1 + sin x π 1 + sin x π 1 + sin x π 4 4 4 4 π π π π 2 2 1 2  1  3− 2 2 = ∫ ( cosx − cosx sin x ) dx = ∫ cosxdx − ∫ s in 2 xdx =  sin x + sin 2 x  2 = π π 2π  4 π 4 4 4 4 4 π  sin x − cosx  2 Bài 35: Tính I = ∫  dx π  sin x + cosx  4 Giải: π π π 2  sin x − cosx  −d ( sin x + cosx ) 2 I = ∫ dx = ∫ = − ( ln sin x + cosx ) 2 = ln 2 π  sin x + cosx  π sin x + cosx π 4 4 4
  12. 12vansitran@gmail.com-01689583116 π 2 ∫ Bài 36: Tính I = sin 3 xdx 0 Giải: π π π π 2 2 2  cos 3 x  1 2 I = ∫ sin xdx = ∫ sin x sin xdx = − ∫ ( 1 − cos x ) d ( cosx ) = −  cosx − 3 2 2  2 = 1− =  3  3 3 0 0 0 0 cos3 x Bài 37: Tính I = ∫ dx sin x Giải: π I =∫ cos3 x dx = ∫ 4cos x − 3cosx 3 dx = ∫ ( 4cos 2 x − 3) 2 .cosxdx = ∫ 4 ( 1 − sin 2 x ) − 3 .d ( sin x ) = sin x sin x sin x 0 sin x  1  1 2 = ∫  −4sin x + d ( sin x ) = −4. sin x + ln ( sin x ) + C  sin1  2 s in3 x Bài 38: Tính I = ∫ dx sin x Giải: s in3 x 3s inx − 4sin 3 x 1 I =∫ dx = ∫ dx = ∫ ( 3 − 4sin 2 x ) dx = 3 x − 2 ∫ ( 1 − cos 2 x ) dx = 3 x − 2 x + 2. sin 2 x + c sin x sin x 2 = x + sin 2 x + C 1 x Bài 39: Tính I = ∫ dx 0 x + x2 + 1 4 Giải: • Đặt t = x 2 ⇒ dt = 2 xdx Đổi cận: x 0 1 t 0 1 1 1 x 1 dt I =∫ 4 dx = ∫ Khi đó: x + x +1 2 2 0  1 2 3 t +  + 0  2 4 1 • Đặt y = t + ⇒ dy = dt 2 Đổi cận: t 0 1 1 3 y 2 2 3 1 2 1 dt 1 dy Khi đó: I= 20∫  1 2 3 = 2 ∫  2 1 3 t +  + 2 y + 2   2 4  4 3 2 • Đặ t z = y ⇒ dz = dy 4 3
  13. 13vansitran@gmail.com-01689583116 Đổi cận: 1 3 y 2 2 1 z 3 3 3 2 3 3 1 dy 3 dz 1 dz 2∫ ∫ ∫ I= = = = Khi đó:  3 3 2 3 2 4 3 z +1 2 1 y2 +  1 z + 1 2  3 4 4 3  4 Đặt z = tan u ⇒ dz = ( 1 + tan u ) du 2 • Đổi cận: 1 z 3 3 π π u 6 3 π π 1 3 dz 1 1 + tan u 3 1 3 π2 Ta được: I = 3 ∫ 1 z +1 2 = ∫ 1 + tan 2 u du = 3 u π = 6 3 3π 3 6 6 1 x Bài 40: Tính I = ∫ dx 0 ( 2 x + 1) 2 Giải: t −1 dt • Đặ t t = 2 x + 1 ⇔ x = ⇒ dx = 2 2 Đổi cận: x 0 1 t 1 3 t −1 1 3 3 Khi đó: I = x 2 . dt = 1  1 − 1  dt = 1  ln t + 1  3 = 1  ln 3 − 2  ∫ ( 2 x + 1) 2 dx = ∫ t 2 2 4 ∫  t t 2  4  0 1 1    t 1 4  3  0 Bài 41: Tính I = ∫ x ( x + 1) dx 2 9 −1 Giải: • Đặt t = x + 1 ⇔⇒ dt = dx Đổi cận: x -1 0 t 0 1 0 1 1 1 I = ∫ x 2 ( x + 1) dx = ∫ ( t − 1) t 9 dt = ∫ ( t 2 − 2t + 1) t 9 dt = ∫ ( t 11 − 2t 10 + t 9 ) dt = 9 2 −1 0 0 0 Khi đó: t t t 1 1 2 1 12 1 11 10 = −2 +  = − + =  12 11 10  0 12 11 10 660
  14. 14vansitran@gmail.com-01689583116 π 2 dx Bài 42: Tính I = ∫ 0 1 + cosx Giải: π  x π π 2 d  2 π 2 dx dx  2  = tan x = 1 I=∫ 1 + cosx ∫ 2cos 2 x ∫ cos 2 x = = 2 2 0 0 0 0 2 2 1 Bài 43: Tính I = ∫ x . 1 + 3 x .dx 15 8 0 Giải: 1 1 ∫x . 1 + 3 x .dx = ∫ x8 . 1 + 3x8 .x 7 dx 15 8 Ta có: 0 0 dt Đặt t = 1 + 3 x ⇒ dt = 24 x dx ⇒ dx = 8 7 • 24 Đổi cận: x 0 1 t 1 4 Khi đó:  5  ( ) 3 1  t 2 t 2  4 29 1 1 4 4 t −1 1 1 3 1 I = ∫ x . 1 + 3 x .dx = ∫ x . 1 + 3 x .x dx = ∫ 15 8 8 . t . dt = ∫ t 2 − t 2 dt =  8 7 − = 3 24 72 1 72  5 3  1 270 0 0 1   2 2  1 3 x Bài 44: Tính I = ∫ dx 0 x+ x2 + 1 Giải: x3 ( x2 + 1 − x ) x3 ( x2 + 1 − x ) dx = ∫( x ) 1 1 1 1 x3 I =∫ dx = ∫ dx = ∫ 3 x 2 + 1 − x 4 dx = 0 x + x +1 2 0 ( x +1 + x 2 )( x +1 − x 2 ) 0 ( x2 + 1 − x2 ) 0 1 1 1 1 x5 1 1 = ∫ x 3 x 2 + 1dx − ∫ x 4 dx = ∫ x 2 x 2 + 1.xdx − = ∫ x 2 x 2 + 1.xdx − 5 0 0 5 0 0 0 1 4 4 2 4 43 J • Đặt t = x + 1 ⇒ dt = 2 xdx 2 Đổi cận: x 0 1 t 1 2 ( ) 2 2 2 2 1 1 3 1 1 3 1 1 1 5 2 2 3 2 J = ∫ ( t − 1) t . dt = ∫ t 2 − t 2 dt = ∫ t 2 dt − ∫ t 2 dt = t 2 − t 2 = 1 2 21 21 21 5 1 3 1 Khi đó: 5 3 2 2 1 22 1 4 2 2 2 2 2 2 2 = − − + = − + = + 5 5 3 3 5 3 15 15 15 2 2 1 Vậy I = − 15 15
  15. 15vansitran@gmail.com-01689583116 π 4 Bài 45: Tính I = sin 4 x dx ∫ 1 + cos 2 x 0 Giải: π π 4 4 sin 4 x 2sin 2 xcos 2 x Ta có: ∫ 1 + cos x dx = ∫ 0 2 0 1 + cos 2 x dx • Đặt t = 1 + cos x ⇒ dt = −2sin xcosxdx = − sin 2 xdx 2 • cos 2 x = t − 1 ⇒ cos 2 x = 2cos 2 x − 1 = 2 ( t − 1) − 1 = 2t − 3 Đổi cận: π x 0 4 3 t 2 2 3 3 2 −2 ( 2t − 3) dt  62 2  6 2 I =∫ = ∫  −4 + dt = ∫  4 − dt = ( 4t − 6 ln t ) 3 = 2 2 t t 3 t 2 Khi đó: 2  3  3 4 = 4  2 −  − 6  ln 2 − ln  = 2 − 6 ln  2  2 3 π 2 dx Bài 46: Tính I = ∫ π 1 + sin 2 x 4 Giải: π π π π π 2 dx 2 dx 2 dx 2 1 dx 1  π 1 I=∫ =∫ =∫ = ∫ = tan  x −  2 = π 1 + sin 2 x π ( sin x + cosx )  π 2 4π 2 2 2 π   π  2π cos 2  x −   4  2cos  x −  4   4 4 4 4 4    π 4 Bài 47: Tính I = ∫ co s 2 x dx ( sin x + cosx + 2 ) 3 0 Giải: π π 4 co s 2 x ( cosx − sin x ) ( cosx + sin x ) dx 4 Ta có: 0 ∫ ( sin x + cosx + 2 ) 0 3 dx = ∫ ( sin x + cosx + 2 ) 3 • Đặt t = cosx + sin x + 2 ⇒ dt = ( cosx − sin x ) dx Đổi cận: π x 0 4 t 2 2+ 2
  16. 16vansitran@gmail.com-01689583116 2+ 2 I= ∫ ( t − 2 ) dt =2+ 2  1 − 2  dt =  − 1 + 1  2 + 2 = − 1 + 1 + 1 − 1 = 0 t3 ∫  t 2 t3   t t2  0 0     2+ 2 6+4 2 3 9 Khi đó: 1− 2 − 2 2 2 1+ 2 2 1 4 2 + 4−9 4 2 −5 = + = − = − = = 6+ 4 2 9 9 2 3+ 2 2 ( ) ( 9 2 2 + 1 18 2 + 1 18 2 + 1 ) ( ) ( ) π 4 co s 2 x Bài 48: Tính I = ∫ 0 sin x + cosx + 2 dx Giải: π π 4 co s 2 x 4 ( cosx − sin x ) ( cosx + sin x ) dx Ta có: ∫ sin x + cosx + 2 dx = ∫ 0 0 sin x + cosx + 2 • Đặt t = cosx + sin x + 2 ⇒ dt = ( cosx − sin x ) dx Đổi cận: π x 0 4 t 2 2+ 2 Khi đó: 2+ 2 ( t − 2 ) dt =2+ 2 1 − 2  dt = t − 2 ln t 2 + 2 = 2 + 2 − 2 ln 2 + 2 − 3 + 2 ln 3 = I= ∫ ∫  t ( ) ( ) 0   0 t 0 ( ) = 2 − 1 + 2 ln 3 − ln 2 + 2  = 2 − 1 + 2 ln   3 2+ 2 π 2 Bài 49: Tính I = sin 2 x ( 1 + sin 2 x ) 3 dx ∫ 0 Giải: • Đặt t = 1 + sin 2 x + 2 ⇒ dt = 2sin xcosxdx = sin 2 xdx Đổi cận: π x 0 2 t 1 2 π 2 2 4 2 Khi đó: I = sin 2 x ( 1 + sin 2 x ) 3 dx = t 3dt = t 1 15 ∫ 0 ∫ 1 41 = 4− = 4 4 π 2 Bài 50: Tính I = sin xcosx ( 1 + cosx ) 2 dx ∫ 0 Giải: Ta có: π π π 2 2 2 I = ∫ sin xcosx ( 1 + cosx ) dx = ∫ sin xcosx ( 1 + 2cosx + cos 2 x ) dx = ∫ ( cosx + 2cos 2 x + cos 3 x ) .sin xdx 2 0 0 0 • Đặt t = cosx ⇒ dt = − sin xdx Đổi cận:
  17. 17vansitran@gmail.com-01689583116 π x 0 2 t 1 0 0 1  t 2 2t 3 t 4  1 17 Khi đó: I = − ∫ ( t + 2t + t ) dt = ∫ ( t + 2t + t ) dt =  + +  = 2 3 2 3 1 0 2 3 4  0 12 π 2 sin xcosx Bài 51: Tính I = ∫ 0 a 2cos 2 x + b 2 sin 2 x dx Giải: π π π 2 2 2 sin xcosx sin xcosx sin xcosx Ta có: I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx 0 a 2cos 2 x + b 2 sin 2 x 0 a 2 ( 1 − sin 2 x ) + b 2 sin 2 x 0 ( b2 − a 2 ) sin 2 x + a 2 2tdt = 2 ( b 2 − a 2 ) sin xcosxdx  Đặt t = ( b − a ) sin x + a ⇒ t = ( b − a ) sin x + a ⇒  2 2 2 2 2 2 2 2 2 • tdt sin xcosxdx = 2  b − a2 Đổi cận: π x 0 2 t |a| |b| b tdt 1 b b−a 1 Khi đó: I = ∫ = 2 .t = 2 = a t(b −a ) 2 2 b −a 2 a b −a 2 a+b 2 x +1 Bài 52: Tính I = ∫ dx 0 3 3x + 2 Giải: t3 − 2 • Đặt t = 3 3 x + 2 ⇒ t 3 = 3 x + 2 ⇒ 3t 2 dt = 3dx; x = 3 Đổi cận: x 0 2 t 3 2 2 t −2 3 3 .t 2 dt = 1 t 4 + t dt = 1  t + t  2 = 1  42 − 4 2 − 1 = 37 − 4 2 2 2 5 2 Khi đó: I = ∫ t 3 3∫2 ( ) 3  5 2  3 2 3  5 5  15   3 2     4 dx Bài 53: Tính I = ∫x x2 + 9 7 Giải: dx tdt tdt Đặt t = x + 9 ⇒ t = x + 9 ( t > 0 ) ⇒ tdt = xdx; = 2 = 2 2 2 2 • x x t −9 Đổi cận: x 4 7 t 5 4 5 dt 1 t −3 5 1 7 Khi đó: ∫ 2 = ln = ln 4 t −9 6 t +3 4 6 4
  18. 18vansitran@gmail.com-01689583116 π 4 dx Bài 54: Tính I = ∫ 0 1 + tan x Giải: 1 dt dt • Đặt t = tan x ⇒ dt = dx = ( 1 + tan 2 x ) dx ⇒ dx = = 2 cos x 1 + tan x 1 + t 2 2 Đổi cận: π x 0 4 t 0 1 1  t −1  1 1 dt 1 1 tdt 1 1 dt 1 dt 1 I =∫ = ∫ − dt = ∫ − ∫ + ∫ 0 ( 1+ t ) ( 1+ t ) 2 2 1+ t ) 2 ( 1+ t2 )  0  ( 2 01+ t 2 0 t2 +1 2 0 t2 +1 Khi đó:   1 2 4 1 4 2 43 14 2 4 4 3 3 J1 J2 J3 1 1 dt 1 1 ln 2  Tính: J1 = ∫ = ln t + 1 = 2 0 t +1 2 0 2 1 d ( t + 1) 1 1 1 2 1 tdt 1 ln 2  Tính: J 2 = ∫ 2 = ∫ 2 = ln t 2 + 1 = 2 0 t +1 4 0 t +1 4 0 4 π  Tính: J 3 = 1 dt = 1 du = π (với t = tanu) 1 4 2 ∫ t2 +1 2 ∫ 0 0 8 ln 2 ln 2 π π ln 2 Vậy I = − + = + 2 4 8 8 4 π 2 dx Bài 55: Tính I = ∫ π sin x 3 Giải: π π π 2 2 dx sin xdx 2 sin xdx Ta có: ∫ =∫ =∫ π 1 − co s x 2 2 π sin x π sin x 3 3 3 • Đặt t = cosx ⇒ dt = − sin xdx Đổi cận: π π x 3 2 1 t 0 2 Khi đó: 1 1 1 1 0 1 −dt 2 dt 1 2 1 1  1 2 dt 1 2 dt 1 1 1 3 I =∫ =∫ = ∫ + dt = − ∫ + ∫ = − ( ln t − 1 − ln t + 1 ) 2 = −  ln − ln  = 1 1− t 1− t 2 0  1− t 1+ t  2 0 t −1 2 0 t +1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 1 = − ln = ln 3 2 3 2
  19. 19vansitran@gmail.com-01689583116 1 x + sin x Bài 56: Tính I =∫ dx 0 cos 2 x Giải: 1 1 1 x + sin x xdx sin x I =∫ 2 dx = ∫ +∫ dx Ta có: cos x cos x 0 cos 2 x 2 0 1 2 4 14 2 4 4 3 0 3 I1 I2 π 3  Tính I1 = xdx ∫ cos 2 x 0 u = x   du = dx Đặ t  1 ⇒  dv = cos 2 x dx v = tan x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: π π π π π 3 π 3 xdx π 3 3 sin x π 3 3 d ( cosx ) π 3 I1 = ∫ = x tan x 3 − ∫ tan xdx = −∫ dx = +∫ = + ( ln cosx ) 3 = cos 2 x 3 cosx 3 cosx 3 0 0 0 0 0 0 π 3 1 = + ln 3 2 π π π sin x3 −d ( cosx ) 3 1  Tính I 2 = ∫ dx = ∫ = 3 = 2 −1 = 1 cos 2 x cos 2 x cosx 0 0 0 π 3 Vậy I = − ln 2 + 1 3 1 x3 Bài 57: Tính I =∫ dx 0 x + x2 + 1 Giải: Ta có: x3 ( x2 + 1 − x ) x3 ( x2 + 1 − x ) dx = ∫( x ) 1 1 1 1 x3 I =∫ dx = ∫ dx = ∫ 3 x 2 + 1 − x 4 dx = 0 x + x +1 2 0 ( x+ x +12 )( x +1 − x 2 ) 0 x +1− x 2 2 0 1 1 1 1 x5 1 1 = ∫ x 3 x 2 + 1.dx − ∫ x 4 = ∫ x 2 x 2 + 1.xdx − = ∫ x 2 x 2 + 1.xdx − 0 0 0 5 0 0 5 • Đặt t = x + 1 ⇒ dt = 2 xdx 2 Đổi cận: x 0 1 t 1 2 ( ) 2 2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 1 32 1 12 I = ∫ ( t − 1) t . dt − = ∫ t − t dt − = − + ∫ t dt − ∫ t dt 2 2 1 2 5 21 5 5 21 21 Khi đó: 5 3 1  1 52 2 1 32 2  2 1 22 22 1 1 1 2 4 2 2 2 1 2 2 = − + t . − t .  = − + − − + = − + − =− + 5 2 5 2 31 5 5 5 5 3 3 5 5 3 15 15
  20. 20vansitran@gmail.com-01689583116 1 x Bài 58: Tính I=∫ dx −1 5 − 4 x Giải: • Đặt t = 5 − 4 x ⇒ dt = −4dx Đổi cận: x -1 1 t 9 1 5−t  1  1 x 1  −  dt 1 9 5 − t 9 5 1 1 9 4  4 I=∫ dx = ∫ = ∫ dt = ∫ dt − ∫ tdt = −1 5 − 4 x Khi đó: 9 t 16 1 t 812 t 16 1 5 9 1 2 9 5 1 5 13 1 = t − . t 3 = ( 3 − 1) − ( 27 − 1) = − = 8 1 16 3 1 8 24 4 12 6 9 Bài 59: Tính I = ∫ x 1 − xdx 3 1 Giải: • Đặt t = 1 − x ⇒ dt = − dx Đổi cận: x 1 9 t 0 -8 Khi đó: ( ) 9 −8 0 3 4 3 7 0 3 3 468 I = ∫ x 3 1 − xdx = ∫ ( 1 − t ) t ( −dt ) = ∫ = − ( −2 ) + ( −2 ) = − 4 7 3 3 t − 3 t 4 dt =  t 3 − t 3  1 0 −8 4 7  −8 4 7 7 π 3 dx Bài 60: Tính I = ∫  π π sin x sin  x +  6  6 Giải: π π π 3 3 3 dx dx 2dx I =∫ =∫ =∫ =  π π  3 1  π 3 sin x + sin xcosx 2 π sin x sin  x +  6 ( sin x )  sin x + cosx  6 6  6  2 2  π π π 3 2dx 3 2d ( tan x ) 3 d ( tan x ) =∫ =∫ = 2 3∫ = π 6 ( co s x ) ( 2 3 tan 2 x + tan x ) π 6 ( tan x ) ( ) 3 tan x + 1 π 6 ( 3 tan x )( ) 3 tan x + 1 π  3 1 1  = 2 3∫  − d ( tan x ) = π  3 tan x 3 tan x + 1  6

Có Thể Bạn Muốn Download

Đồng bộ tài khoản