Phương pháp giải bài tập hình học không gian

Chia sẻ: ly_thanh_long

Tài liệu tham khảo luyện thi đại học, cao đẳng - Phương pháp giải bài tập hình học không gian.

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Phương pháp giải bài tập hình học không gian

Chuyên luy n thi i h c
PHƯƠNG PHÁP GI I CÁC BÀI T P HÌNH
KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TS H
Biên so n: GV Nguy n Trung Kiên 0988844088

Trong kỳ thi TS H bài toán hình không gian luôn là d ng bài t p gây khó khăn cho h c
sinh. Nguyên nhân cơ b n là do h c sinh chưa bi t phân bi t rõ ràng d ng bài t p l a
ch n công c , phương pháp gi i cho phù h p. Bài vi t này s giúp h c sinh gi i quy t
nh ng vư ng m c ó.

Ph n 1: Nh ng v n c n n m ch c khi tính toán
- Trong tam giác vuông ABC (vuông t i A) ư ng cao AH thì ta luôn có:



A




B C
H


1 1 1
b=ctanB, c=btanC; 2
= 2
=
AH AB AC 2
b2 + c2 − a2
- Trong tam giác thư ng ABC ta có: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A; cos A = . Tương
2bc
t ta có h th c cho c ng b, c và góc B, C:
1 1 1
- S ∆ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B
2 2 2
1
- V(kh i chóp)= B.h (B là di n tích áy, h là chi u cao)
3
- V(kh i lăng tr )=B.h
1
- V(chóp S(ABCD)= (S(ABCD).dt(ABCD))
3
- Tính ch t phân giác trong AD c a tam giác ABC: AB.DC = AC.DB
- Tâm ư ng tròn ngo i ti p là giao i m 3 trung tr c. Tâm vòng tròn n i ti p là giao i m
3 phân giác trong c a tam giác.
Phương pháp xác nh ư ng cao các lo i kh i chóp:
- Lo i 1: Kh i chóp có 1 c nh góc vuông v i áy ó chính là chi u cao.
- Lo i 2: Kh i chóp có 1 m t bên vuông góc v i áy thì ư ng cao chính là ư ng k t
m t bên n giao tuy n.
- Lo i 3: Kh i chóp có 2 m t k nhau cùng vuông góc v i áy thì ư ng cao chính là giao
tuy n c a 2 m t k nhau ó.


1
- Lo i 4: Kh i chóp có các c nh bên b ng nhau ho c các c nh bên cùng t o v i áy 1 góc
b ng nhau thì chân ư ng cao chính là tâm vòng tròn ngo i ti p áy.
- Lo i 5: Kh i chóp có các m t bên u t o v i áy 1 góc b ng nhau thì chân ư ng cao
chính là tâm vòng tròn n i ti p áy.
S d ng các gi thi t m :
- Hình chóp có 2 m t bên k nhau cùng t o v i áy góc α thì chân ư ng cao h t nh
s rơi vào ư ng phân giác góc t o b i 2 c nh n m trên m t áy c a 2 m t bên (Ví d :
Hình chóp SABCD có m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng t o v i áy góc α thì chân
ư ng cao h t nh S thu c phân giác góc BAC)
- Hình chóp có 2 c nh bên b ng nhau ho c hai c nh bên u t o v i áy m t góc α thì
chân ư ng cao h t nh rơi vào ư ng trung tr c c a o n th ng n i 2 nh c a 2 c nh
c nh n m trên m t áy c a 2 m t bên mà hai nh ó không thu c giao tuy n c a 2 m t
bên. (Ví d : Hình chóp SABCD có SB=SC ho c SB và SC cùng t o v i áy m t góc α
thì chân ư ng cao h t S rơi vào ư ng trung tr c c a BC)
Vi c xác nh ư c chân ư ng cao cũng là y u t quan tr ng tìm góc t o b i ư ng
th ng và m t ph ng ho c góc t o b i 2 m t ph ng.

Ví d : Cho kh i chóp SABCD có m t bên SAD vuông góc (ABCD), góc t o b i SC và (ABCD)
là 600, góc t o b i (SCD) và (ABCD) là 450, áy là hình thang cân có 2 c nh áy là a, 2a; c nh
bên b ng a. G i P,Q l n lư t là trung i m c a SD,BC.Tìm góc t o b i PQ và m t ph ng
(ABCD).Tính V kh i chóp?
Rõ ràng ây là kh i chóp thu c d ng 2. T ó ta d dàng tìm ư c ư ng cao và xác nh các
góc như sau:
- K SH vuông góc v i AD thì SH là ư ng
cao(SC,(ABCD))= SCH ;( SM , ( ABCD )) = HMS ) , v i M là chân ư ng cao k t H lên
ˆ ˆ
CD
- T P h PK vuông góc v i AD ta có ( PQ, ( ABCD )) = PQK ˆ


S




P




K
A D
H
M
B Q C
Ph n 3: Các bài toán v tính th tích


2
A. Tính th tích tr c ti p b ng cách tìm ư ng cao:
Câu 1) (TS H A 2009) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A và D.,
có AB=AD=2a; CD=a. Góc gi a 2 m t ph ng (SCB) và (ABCD) b ng 600. G i I là trung i m
AD bi t 2 m t ph ng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc v i (ABCD). Tính th tích kh i chóp
SABCD?
HD gi i: Vì 2 m t ph ng (SBC) và (SBI) cùng vuông góc v i (ABCD) mà (SBI) và (SCI) có
giao tuy n là SI nên SI là ư ng cao. K IH vuông góc v i BC ta có góc t o b i m t ph ng
(SBC) và (ABCD) là SHI = 600 . T ó ta tính ư c:
ˆ
1
IC = a 2; IB = BC = a 5; S ( ABCD ) = AD ( AB + CD ) = 3a 2
2
1 a 2 3a 2
IH .BC = S ( IBC ) = S ( ABCD) − S ( ABI ) − S (CDI ) = 3a 2 − a 2 − = nên
2 2 2
2 S ( IBC ) 3 3 3 15 3
IH = = a . T ó V(SABCD)= a .
BC 5 5

S




D
A I



C
H
B




Câu 2) (TS H D 2009) Cho lăng tr ng ABCA’B’C’ có áy ABC là tam giác vuông t i B,
AB=a; AA =2a; A C=3a. G i M là trung i m c a o n A’C’, I là trung i m c a AM và A’C’.
’ ’

Tính V chóp IABC theo a?
HD gi i:
- ABC A’B’C’ là lăng tr ng nên các m t bên u vuông góc v i áy.
Vì I ∈ (ACC ) ⊥ (ABC), t I ta k IH ⊥ AC thì IH là ư ng cao và I chính là tr ng tâm tam giác


IH CI 2 4a
AA’C’ ⇒ = = ⇒ IH =
AA′ CA′ 3 3
Có AC = A′C 2 − AA′2 = 9a 2 = 4a 2 = a 5 ⇒ BC = AC − AB 2 = 2a
2




3
1 1 4a 1 4
V(IABC)= IH .dt ( ABC ) = . . .2a.a = a 3 ( vtt)
3 3 3 2 9



B’ M C’



A’
I




C
B

H
A


B. Tính th tích b ng cách s d ng công th c t s th tích ho c phân chia kh i a di n
thành các kh i a di n ơn gi n hơn
Khi g p các bài toán mà vi c tính toán g p khó khăn thì ta ph i tìm cách phân chia kh i a di n
ó thành các kh i chóp ơn gi n hơn mà có th tính tr c ti p th tích c a nó ho c s d ng công
th c tính t s th tích tìm th tích kh i a di n c n tính thông qua 1 kh i a di n trung gian
ơn gi n hơn.
Các em h c sinh c n n m v ng các công th c sau:
V ( SA′B′C ′) SA′.SB′.SC ′
= (1) Công th c này ch ư c dung cho kh i chóp tam giác
V ( SABC ) SA.SB.SC


S

C’
A’

B’ C



A
B




4
Câu 1) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình thoi c nh a, BAD = 600 , SA vuông góc v i
ˆ
áy(ABCD), SA=a. G i C là trung i m SC, m t ph ng (P) i qua AC song song v i BD c t các
c nh SB, SD c a hình chóp t i B’, D’. Tính th tích kh i chóp
HD gi i:
G i O là giao 2 ư ng chéo ta suy ra AC’ và SO c t nhau t i tr ng tâm I c a tam giác SAC. T
I thu c m t ph ng (P)(SDB) k ư ng th ng song song v i BD c t SB, SD t i B’, D’ là 2 giao
i m c n tìm.
SC ′ 1 SD′ SB′ SI 2
Ta có: = ; = = =
SC 2 SD SB SO 3
V ( SAB′C ′D′) V ( SAB′C ′) SA.SB′.SC ′ 1
D th y V( SAB′C ′D′) = 2V( SAB′C ′) ;V( SAB′C ′) = 2V( SABC ) ⇒ = = =
V ( ABCD) V ( SABC ) SA.SB.SC 3
1 1 ˆ 1 3 3
Ta có V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD) = SA. AD. AB.sinDAB = a.a.a. = a3
3 3 3 2 6
3 3
V( SAB′C ′D′) = a ( vtt)
18

S




C’
D’
B’


A D

O

B C
Câu 2) (D b A 2007)
Cho hình chóp SABCD là hình ch nh t AB=a, AD=2a, c ng SA vuông góc v i áy, c nh SB
a 3
h p v i áy m t góc 600. Trên c nh SA l y M sao cho AM= . M t ph ng BCM c t DS t i
3
N. Tính th tích kh i chóp SBCMN.
HD gi i:
T M k ư ng th ng song song v i AD c t SD t i N là giao i m c n tìm, góc t o b i SB và
(ABCD) là SBA = 600 . Ta có SA=SBtan600=a 3 .
ˆ




5
3 2 3 SM SN 2
T ó suy ra SM=SA-AM= a 3 − a =a ⇒ = =
3 3 SA SD 3
D th y V( SABCD ) = V( SABC ) + V( SACD ) = 2V( SABC ) = 2V( SACD )
V( SBCMN ) = V( SMBC ) + V( SMCN )
V ( SMBCN ) V ( SMBC ) + V ( SMCN ) V ( SMCN ) V ( SMCN ) 1.SM .SB.SC 1.SM .SC.SN
⇒ = = + = +
V ( SABCD) V ( SABCD) 2V ( SABC ) 2V ( SACD) 2.SA.SB.SC 2.SA.SC.SD
1 2 5
= + =
3 9 9
1 1 2 3 3 10 3 3
Mà V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD ) = a 3a .2a = a ⇒ V( SMBCN ) = a
3 3 3 27

S




N
M




A D



B C
Ph n 4: Các bài toán v kho ng cách trong không gian
A. Kho ng cách t 1 i m n 1 m t ph ng
V b n ch t khi tìm kho ng cách t 1 i m n 1 m t ph ng ta tìm hình chi u vuông góc c a
i m ó lên m t ph ng. Tuy nhiên 1 s trư ng h p tìm hình chi u tr nên vô cùng khó khăn, khi
ó vi c s d ng công th c tính th tích tr nên r t hi u qu .
1 3V
Ta có V(kh i chóp)= B.h ⇒ h =
3 B
Câu 1) Cho hình chóp SABC có góc t o b i 2 m t ph ng (SBC) và (ABC) là 600, ABC,SBC là
các tam giác u c nh a. Tính kho ng cách t nh B n mp(SAC).( d b kh i A 2007)
HD:
Cách 1: Coi B là nh kh i chóp BSAC t gi thi t ta suy ra BS=BA=BC=a. G i O là chân
ư ng cao h t B xu ng mp(SAC). O chính là tâm vòng tròn ngo i ti p tam giác SAC. G i M là




6
trung i m BC ta có SM ⊥ BC ; AM ⊥ BC . Nên góc t o b i (SBC) và (ABC) là
a 3
SMA = 600 ⇒ SM = AM = AS=
ˆ .
2
Bây gi ta tìm v trí tâm vòng ngo i ti p tam giác SAC.
Tam giác SAC cân t i C nên tâm vòng tròn ngo i ti p n m trên trung tr c c a SA và CN (N là
trung di m c a SA). K trung tr c c a SC c t trung tr c c a SA t i O là i m c n tìm
2
 SA  3a 2
SC − 
2
 a2 −
NC  2  16 = 13
cos SNC = = =
SC SC a 4
SC
2 2a 4a 2 3a
⇒ OC = = ; BO = BC 2 − OC 2 = a 2 − = .
cos SCNˆ 13 13 13

S




N

P

O

A
C

M

B

1 2a 3
Cách 2: V( SABCD ) = 2V( SABM ) = 2 BM .dt ( SAM ) = AM .MS .sin 600 = a 3 dt ( SAC )
3 3.2 16
1 1 13 3 39a 2 3V ( SABC ) 3a
= CN .AS= . a. a= ⇒ d ( B, ( SAC ) = =
2 2 4 2 16 dt ( SAC ) 13
Câu 2) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình thang ABC = BAD = 900 , BA=BC=2a,
ˆ ˆ
AD=2a. C nh bên SA vuông góc v i áy và SA= a 2 , g i H là hình chi u c a A lên SB. Ch ng
minh tam giác SCD vuông và tính theo a kho ng cách t H n mp(SCD) (TS H D 2007)
HD gi i: Ta có AC = a 2; SD = SA2 + AD 2 = a 6; SC = SA2 + AC 2 = 2a . Ta cũng d dàng
tính ư c CD = a 2 . Ta có SD 2 = SC 2 + CD 2 nên tam giác SCD vuông t i C.




7
1 1 1 AB.AS a.a 2 2
2
= 2
+ 2
⇒ AH = = =a
AH AB AS AB2 + AS2 a 2 + 2a 2 3
2
a
2 SH 3 =2
⇒ SH = SA − AH =
2 2
a⇒ =
3 SB a 3 3

1. AB.( BC + AD) 1 a2
dt ( BCD) = dt ( ABCD) − dt ( ABD) = − AB. AD = ;
2 2 2
1
dt ( SCD ) =SC.CD = a 2 2
2
V ( SHCD ) SH .SC.SD 2 1 1.a 2.a 2 2 3
= = ;V ( SBCD ) = SA.dt ( BCD ) = = a
V ( SBCD ) SB.SC.SD 3 3 3.2 6
2 3 3V ( SHCD) 2 3 1 a
V ( SHCD ) = a .Ta có d ( H /( SCD)) = = a .3 2 =
9 dt ( SCD) 9 a 2 3

S




H


A D




B
C
B. Kho ng cách gi a 2 ư ng th ng chéo nhau trong không gian
Khi tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng chéo nhau a và b trong không gian ta tìm o n vuông
góc chung c a 2 ư ng th ng ó, N u vi c tìm o n vuông góc chung g p khó khăn thì ta ti n
hành theo phương pháp sau:
- D ng (tìm) m t ph ng trung gian (P) ch a a song song v i b sau ó tính kho ng cách t 1
i m b t kỳ trên b n mp(P) ho c ngư c l i d ng mp(P) ch a b song song v i a sau ó tính
kho ng cách t 1 i m a n (P).
- Khi tính kho ng cách t 1 i m n m t ph ng ta có th v n d ng 1 trong 2 phương pháp ã
trình bày m c A.




8
Câu 1) Cho lăng tr ng ABCA’B’C’ có áy ABC là tam giác vuông AB=BC=a, c nh bên
AA′ = a 2 . G i M là trung i m c a BC. Tính theo a th tích kh i lăng tr ABCA′B′C ′ và
kho ng cách gi a 2 ư ng th ng AM, B’C.(TS H D2008)
2
HD gi i: V ( ABCA′B′C ′) = S .h = a3 . G i N là trung i m c a BB’ ta có B’C song song v i
2
mp(AMN). T ó ta có: d ( B′C , AM ) = d ( B′, ( AMN )) = d ( B, ( AMN )) vì N là trung i m c a BB’.
G i H là hình chi u vuông góc c a B lên (AMN), vì t di n BAMN là t di n vuông t i B nên ta
1 1 1 1 a
có 2
= 2
+ 2
+ 2
⇒ BH = chính là kho ng cách gi a AM và B’C.
BH BA BN BM 7
B’

A’
C’
N


B H
M

K
A C

(Chú ý:1) Trong bài toán này ta ã d ng m t ph ng trung gian là mp(AMN) t n d ng i u
ki n B’C song song v i (AMN). T i sao không tìm m t ph ng ch a B’C các em h c sinh t suy
nghĩ i u này
Chú ý 2) N u m t ph ng (P) i qua trung i m M c a o n AB thì kho ng cách t A n (P)
cũng b ng kho ng cách t B n (P))
Câu 2) Cho hình chóp t giác u SABCD có áy là hình vuông c nh a. G i E là i m i x ng
c a D qua trung i m c a SA, M là trung i m c a AE, N là trung i m c a BC. Ch ng minh
MN vuông góc v i BD và tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng MN và AC.(TS H B 2007)
HD gi i: G i P là trung i m c a SA, ta có t giác MPNC là hình bình hành.
Nên MN// PC. T ó suy ra MN//(SAC). M t khác BD ⊥ mp(SAC) nên BD ⊥ PC ⇒ BD ⊥ MN .
1 1 1
Ta có: d(MN, AC)=d(N,(SAC))= d ( B, ( SAC )) = BD = a 2
2 4 2




9
S

E



M P



D
A




B
N C
( Vi c chuy n tính kho ng cách t N n (SAC) sang tính kho ng cách t B n (SAC) giúp
ta ơn gi n hoá bài toán i r t nhi u. Các em h c sinh c n nghiên c u k d ng toán này
v n d ng)
Chú ý 2) N u m t ph ng (P) i qua trung i m M c a o n AB thì kho ng cách t A n (P)
cũng b ng kho ng cách t B n (P))
Ph n 5: Các bài toán tính góc gi a 2 ư ng th ng chéo nhau trong không gian.
Khi c n tính góc gi a 2 ư ng th ng chéo nhau a và b trong không gian ta ph i tìm 1 ư ng
th ng trung gian là c song song v i a và c c t b. Khi ó góc t o b i a và b cũng chính là góc
t o b i b và c. Ho c ta d ng liên ti p 2 ư ng th ng c và d c t nhau l n lư t song song v i a
và b. Sau ó ta tính góc gi a c và d theo nh lý hàm s côsin ho c theo h th c lư ng trong
tam giác vuông.
Câu 1) Cho lăng tr ng ABCA’B’C’ có dài c nh bên b ng 2a , áy ABC là tam giác vuông
t i A. AB = a , AC = a và hình chi u vuông góc c a A’ lên mp (ABC) là trung i m c a c nh
BC , Tính theo a th tích kh i chóp A’ABC và tính côsin góc t o b i AA’ và B’C’ . (TS H
A2008)
HD gi i :G i H là trung i m c a BC. Suy ra A’H ⊥ (ABC) và
1 1 2
AH = BC = a + 3a 2 = a Do ó A’H = A ' A2 − AH 2 = a 3.
2 2
1 a3
V(A’ABC) = A’H.dt (ABC) = Trong tam giác vuông A’B’H ta có
3 2
HB’= A ' B 2 + A ' H 2 = 2a nên tam giác B’BH cân t i B’. t α là góc t o b i AA’ và B’C’ thì
a 1
α = B ' BH ⇒ cos α =
ˆ =
2.2a 4
(Trong Bài toán này ta ã chuy n tính góc t o b i AA’ và B’C’ sang tính góc t o b i hai ư ng
th ng l n lư t song song v i AA’ và B’C’ là BB’và BC )
Tel 0988844088


10
A’
C’



B’




C
A
H
B
B

Câu 2:Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình vuông c nh 2a , SA = a, SB = a 3 mp
(SAB) vuông góc v i m t ph ng áy . G i M,N l n lư t là trung i m c a các c nh AB,BC.
Tính theo a th tích kh i chóp SBMDN và tính cosin góc t o b i SM và DN.
Hd gi i: T S h SH vuông góc AB thì SH vuông góc v i mp (ABCD). SH cũng chính là ư ng
cao kh i chóp SBMDN . Ta có SA2 + SB2 = 4a2 = AB2 ⇒ ∆SAB vuông t i
AB a 3
S ⇒ SM = = a ⇒ ∆SAM là tam giác u ⇒ SH =
2 2
1 3a3
D th y dt(BMDN)=1/2dt(ABCD)=2a2 . Do ó V(SBMDN)= SH .dt ( BMDN ) =
3 3
a
K ME song song v i DN ( E thu c AD) suy ra AE = gi s
2
(SM,DN)= α ⇒ α = ( SM , ME ). Ta có SA vuông góc v i AD ( nh lý 3 ư ng vuông góc ) suy
a 5 a 5
ra SA ⊥ AE ⇒ SE = SA2 + AE 2 = , ME = AM 2 + ME 2 = Tam giác SME cân t i E
2 2
SM
5
nên cos α = 2 =
ME 5




11
S




A E
H
D
M




B N
C



M T S BÀI T P
Câu 1) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc v i hình
chóp. Cho AB=a, SA= a 2 . G i H và K l n lư t là hình chi u c a A lên SB, SD. Ch ng minh
SC ⊥ (AHK) và tính th tích hình chóp OAHK.
Câu 2) Cho lăng tr ng ABCA1B1C1 có t t c các c nh u b ng a. M là trung i m c a o n
AA1. Ch ng minh BM ⊥ B1C và tính d(BM,B1C)
Câu 3) Cho lăng tr ng ABCA1B1C1 có AB=a, AC=2a, AA1=2a 5 và BAC = 1200 . G i M là
ˆ
trung i m c a c nh CC1. Ch ng minh MB ⊥ MA1 và tính kho ng cách t C t i mp(A1BM).
Câu 4) Cho lăng tr ng ABCA1B1C1 có áy ABC là tam giác vuông AB=AC=a, AA1=a 2 .
G i M, N l n lư t là trung i m c a o n AA1 và BC1. Ch ng minh MN là ư ng vuông góc
chung c a các ư ng th ng AA1 và BC1. Tính VMA1BC1 .
Câu 5) Cho t di n u ABCD có c nh b ng a. G i O là tâm ư ng tròn ngo i ti p tam giác
BCD. G i M là trung i m c a CD. Tính góc gi a AC và BM.
Câu 6) Cho hình chóp SABC có áy ABC là tam giác vuông t i A, BC=a,
a 3
SA=SB=SC= .Tính kho ng cách t S n (ABC) Tính góc t o b i ư ng th ng SA và
2
mp(ABC)
Câu 7) Cho kh i lăng tr ng ABCA’B’C’ có áy ABC là tam giác u c nh a, AA’=a. Tính
góc t o b i mp(ABC’) và mp(BCA’)
Câu 8) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là n a l c giác u n i ti p ư ng tròn ư ng
kính AB=2a, SA=a 3 và vuông góc v i mp(ABCD)
Tính góc t o b i mp(SAD) và mp(SBC)
Tính góc t o b i mp(SBC) và mp(SCD).



12
Câu 9) Cho hình lăng tr ABCA’B’C’có áy ABC là tam giác u tâm O. Hình chi u vuông góc
c a C’ trên (ABC) trùng v i O .Bi t kho ng cách t O n CC’ là a .Góc t o b i 2 m t ph ng
(AA’C’C) và (BB’C’C) là 1200. Ch ng minh ABB’A’ là hình ch nh t. Tính th tích lăng tr và
góc t o b i m t bên (BCB’C’) và áy (ABC).
Câu 10) Cho t di n ABCD, có áy là tam giác cân ABC và DA vuông góc v i (ABC)
6
AB=AC=a, BC= a . G i M là trung i m c a BC. V AH vuông góc v i MD (H thu c MD)
5
a) Ch ng minh r ng AH vuông góc v i m t ph ng (BCD)
4
b) Cho AD= a . Tính góc gi a hai ư ng th ng AC và DM
5
c) G i G1 và G2 l n lư t là tr ng tâm c a tam giác ABC và tam giác DBC. Ch ng minh
r ng G1G2 vuông góc v i m t ph ng (ABC)
Câu 11) Cho hình chóp SABC có 2 m t ph ng (SAB) và (SBC) vuông góc v i nhau và SA
vuông góc v i m t ph ng (ABC), SB = a 2 ; BSC = 45 0 , ASB = α
ˆ ˆ
a) Ch ng minh r ng BC vuông góc v i SB
b) Tìm giá tr c a α 2 m t ph ng (SCA) và (SCB) t o v i nhau góc 60 0
Câu 12) Cho hình vuông ABCD. G i S là i m trong không gian sao cho SAB là tam giác u
và (SAB) vuông góc v i (ABCD)
a) Ch ng minh r ng (SAB) vuông góc v i (SAD) và (SAB) vuông góc v i (SBC)
b) Tính góc t o b i 2 m t ph ng (SAD) và (SBC)
c) G i H,I l n lư t là trung i m c a AB, BC. Ch ng minh r ng m t ph ng (SHC) vuông
góc v i m t ph ng (SDI)
Câu 13) Cho cho hình lăng tr u ABCA'B'C' có c nh áy b ng a, Chi u cao b ng h. i m M
MA 5
thu c AB’ sao cho = .
MB' 4
a) Tính góc t o b i AC và BC’
b) M t ph ng (P) i qua M song song v i các ư ng th ng A’C và BC’ c t ư ng th ng
DC
CC’ t i D. Tính t s
DC '

Câu 14) Cho cho hình lăng tr tam giác u ABCA'B'C' có t t c các c nh b ng a. G i C 1 là
trung i m c a CC’.
Tính góc t o b i C1 B và A’B’ và góc t o b i 2 m t ph ng ( C1 AB) và )(ABC)

Câu 15) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i
(ABCD) và SA=a. Tính
a) Tính kho ng cách t S n (ECD) trong ó E là trung i m c a SA
b) Tính kho ng cách gi a AC và SD
Câu 16) Cho hình h p ng ABCDA’B’C’D’ có áy là hình thoi c nh a, A = 60 0 , A’C t o v i
ˆ
0
(ABCD) góc 60
a) Tính ư ng cao hình h p
b) Tìm ư ng vuông góc chung c a A’C và BB’.Tính dài o n vuông góc chung
Câu 18) Cho hình chóp SABCD có áy là hình thoi ABCD có A=1200 , BD=a, c nh bên SA
vuông góc v i áy , Góc t o b i (SBC) và (ABCD) là 600.Tính


13
a) ư ng cao k t S
b) Kho ng cách gi a hai ư ng th ng AC và SD; BC và SD
Câu 19) Cho hình chóp u SABCD có các c nh b ng a. G i M,N là trung i m c a SA, SC.
Bi t BM t o v i ND góc 600. Tính th tích kh i chóp
Câu 20) Cho hình chóp u SABCD có các c nh b ng a áy tâm O. G i M, N là trung i m c a
SA, BC. Bi t góc t o b i MN và (ABCD) là 600
a) Tính MN, SO
b) Tính góc t o b i MN và m t ph ng (SAO)
c) Tính th tích kh i chóp SABCD
Câu 21) Cho hình l p phương ABCDA’B’C’D’ c nh a. Tính góc t o b i (BA’C) và (DA’C).
Câu 22) Cho lăng tr tam giác ABCA’B’C’ có hình chi u vuông góc c a nh A’ lên m t ph ng
(ABC) trùng v i tâm vòng tròn ngo i ti p tam giác ABC . Bi t tam giác ABC là tam giác cân t i
ˆ
A và ABC = 1200,AB = a; Góc t o b i m t ph ng (A’BC) và (ABC) b ng 600 . Tính th tích
kh i lăng tr ABCA’B’C’ và kho ng cách t A lên m t ph ng (A’BC).
Câu 23) Cho lăng tr tam giác ABCA’B’C’ có áy ABC là tam giác vuông t i A,AB = a ; AC =
a 3 các c nh A’A,A’B,A’C u h p v i áy các góc b ng nhau .Góc t o b i m t ph ng
(A’AC) và áy `1(ABC) b ng 600
a) Tính th tích kh i lăng tr ABCA’B’C’
b) Trên A’C’ l y i m M sao cho M là trung i m c a A’C’ ư ng th ng A’C’ c t AM
t i I . Tính th tích kh i chóp IABC.
c) G i O là trung i m AM tính kho ng cách t O n m t ph ng (A’BC)
d) Tìm tâm bán kính m t c u ngo i ti p kh i chóp A’ABC.
Câu 24) Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông c nh a . C nh SA vuông góc v i áy ,
góc t o b i m t ph ng (SBD) và áy là 600. G i M là trung i m SA ,N là trunh i m c a SD .
Tính th tích kh i chóp SABCD và cosin góc t o b i BM và AN.
Câu 25) Cho kh i chóp SABCD có SA = x và các c nh còn l i u b ng 1 . Tính th tích VSABCD
c a kh i chóp và tìm x VSABCD l n nh t .
Câu 26) Cho t di n DABC .Bi t tam giác ABC vuông t i A, AB = a, BC = 2a .Các m t (DAB)
và (DAC) cùng h p v i (ABC) góc α ,m t bên (DBC) vuông góc v i (ABC)
a) Tính th tích kh i t di n theo a và α .
2a 3 3
b) Xác nh góc α khi bi t VABCD= .
9
Câu 27) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình bình hành ,m t mp( α ) qua AB c t SC,
SM
SD t i M,N. Tính ( α ) chia hình chóp thành hai ph n có th tích b ng nhau.
SC
Câu 28) Cho hình chóp t giác u SABCD có t t c các c nh u b ng a. G i M và P l n lư t
là trung i m c a SA và SC, m t ph ng (DMP) c t SB t i N .Tính th tích kh i chóp SDMNP.
SM 1 SN
Câu 29) Trên các c nh SA,SB c a t di n SABC l y các i m M,N sao cho = , = 2.
MA 2 NB
M t m t ph ng ( α ) i qua MN và song song v i SC chia t di n thành 2 ph n . Tính t s th
tích hai ph n ó.
ˆ
Câu 30) Cho hình chóp SABC có ABC là tam giác vuông t i A và ABC = 600. Bi t các m t
bên hình chóp cùng h p v i m t áy góc 30 và di n tích xung quanh c a hình chóp b ng a2.
0

a) Tính th tích c a kh i chóp SABC theo a
b) Tính kho ng cách t nh C n m t bên (SAB) theo a .


14
Câu 31) Cho kh i lăng tr tam giác ABC.A’B’C’ có áy ABC là tam giác u c nh a , c nh bên
AA’h p v i m t áy góc 600 . Hình chi u c a A’ lên mp(ABC) trùng v i tr ng tâm G c a tam
giác ABC . Tính th tích c a kh i lăng tr ã cho .
Câu 32) Cho kh i lăng tr ABC.A’B’C’ có áy ABC là tam giác u . Bi t A’A = AB = a . Tính
th tích kh i lăng tr bi t các m t bên (A’AB) và (A’AC) cùng h p v i m t áy (ABC) m t góc
600.
Câu 33) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A, hai áy là AD =
2a , BC = a. Bi t AB = a , SA = a và SA ⊥ (ABCD).
a) Tính th tích c a kh ichóp SACD.
b) Tính th tích c a kh i chóp SBCD và kho ng cách d(B; (SCD))
Câu 34) Cho kh i chóp SABC có áy ABC là tam giác vuông A,BC = a ,SA = SB = SC = 2a
và ABC = α . G i H là hình chi u c a S trên BC.
ˆ
a) Tính th tích kh i chóp SABC theo a và
b) Tính kho ng cách t B n m t ph ng (SAH).
c) Cho (P) là m t ph ng qua A , tr ng tâm tam giác SBC và song song v i BC chia kh i
chóp SABC thành 2 ph n. Tính th tích m i ph n
Câu 35) Cho kh i chóp DABC có m t (DBC) vuông góc v i áy , các m t bên (DAB) và (DAC)
cùng h p v i áy góc α (α < 900 ) . Tính th tích c a kh i chóp trong các trư ng h p sau
a) ABC là tam giác vuông t i A có AB = a , AC = 2a ;
b) ABC là tam giác u có c nh b ng a.

M TS BÀI T P CH N L C V HÌNH KHÔNG GIAN
THƯ NG DÙNG TRONG KỲ THI TS H
BIÊN SO N GV NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088
Câu 1) Kh i chóp SABCD có áy là hình bình hành, M là trung i m c a SC. M t ph ng (P) i
qua AM, song song v i BD chia kh i chóp làm 2 ph n. Tính t s th tích hai ph n ó.
Câu 2) Cho hình chóp t giác u SABCD có các c nh b ng a.
a) Tính th tích kh i chóp.
b) Tính kho ng cách t tâm m t áy n các m t c a hình chóp.
Câu 3) Kh i chóp SABCD có áy là hình vuông c nh a. SA ⊥ (ABCD); SA=2a. G i E, F là hình
chi u c a A trên SB và SD. I là giao i m c a SC và (AEF). Tính th tích kh i chóp SAEIF.
Câu 4) Cho lăng tr ng ABCA1B1C1 áy là tam giác u. M t ph ng (A1BC) t o v i áy 1
0
góc 30 và tam giác A1BC có di n tích b ng 8. Tính th tích kh i lăng tr .
Câu 5) Kh i lăng tr ABCA1B1C1 có áy là tam giác vuông cân, c nh huy n AB= 2 . M t
ph ng (AA1 B) vuông góc v i m t ph ng (ABC), AA1= 3 ; góc A1AB nh n, góc t o b i (A1AC)
và m t ph ng (ABC) b ng 600. Tính th tích kh i lăng tr .
Câu 6) Kh i lăng tr t giác u ABCDA1 B1C1D1 có kho ng cách gi a 2 ư ng th ng AB và
A1D b ng 2, dài ư ng chéo m t bên b ng 5.
a) H AH ⊥ A1D (K ∈ A1D). ch ng minh r ng AK=2.
b) Tính th tích kh i lăng tr ABCDA1B1C1D1.
Câu 7) Cho hình t di n ABCD có c nh AD vuông góc v i m t ph ng (ABC), AC=AD=4cm;
AB=3cm; BC=5cm. Tính kho ng cách t i m A t i m t ph ng (BCD).




15
Câu 8) Cho hình chóp tam giác u SABC nh S, dài c nh áy b ng a. G i M, N l n lư t là
trung i m c a các c nh SB và SC. Tính theo a di n tích tam giác AMN, bi t r ng m t ph ng
(AMN) vuông góc v i m t ph ng (SBC).
Câu 9) Cho hình chóp SABC có SA=3a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). Tam giác ABC
có AB=BC=2a, góc ABC=1200. Tính kho ng cách t nh A n m t ph ng (SBC).
Câu 10) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a, tam giác SAB u và n m
trong m t ph ng vuông góc v i áy. Tính góc gi a 2 m t ph ng (SAB) và (SCD).
Câu 11) Cho hình chóp tam giác u SABC có áy ABC là tam giác u c nh a, SA=2a và SA
vuông góc v i m t ph ng (ABC). G i M và N l n lư t là hình chi u vuông góc c a A trên các
ư ng th ng SB và SC
a) Tính kho ng cách t A n m t ph ng (SBC)
b) Tính th tích c a kh i chóp ABCMN.
Câu 12) Hình chóp tam giác SABC có các c nh bên SA=SB=SC=a, góc ASB=1200, góc
BSC=600, góc ASC=900. Ch ng minh r ng tam giác ABC vuông và tính th tích hình chóp
SABC theo a.
Câu 13) Cho hình chóp t giác u SABCD. Kho ng cách t A n m t ph ng (SBC) b ng 2a.
Góc gi a các m t bên và m t áy là α .
a) Tính th tích kh i chóp theo a và α
b) Xác nh α th tích kh i chóp nh nh t.
Câu 14) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình ch nh t v i AB=a, AD= a 2 , SA=a và
SA vuông góc v i m t ph ng (ABCD). G i M và N l n lư t là trung i m c a AD và SC, I là
giao i m c a BM và AC.
a) Ch ng minh r ng m t ph ng (SAC) vuông góc v i m t ph ng (SMB).
b) Tính th tích c a kh i t di n ANIB.
Câu 15) Cho lăng tr ng ABCA’B’C’ có áy ABC là tam giác vuông t i B, AB=a, AA’=2a,
A’C=3a. G i M là trung i m c a o n th ng A’C’, I là giao i m c a AM và A’C
a) Tính theo a th tích kh i t di n IABC
b) Tính kho ng cách t i m A n m t ph ng (IBC)
Câu 16) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A và D, AB=AD=2a,
CD=a, góc gi a 2 m t ph ng (SBC) và (ABCD) b ng 600. G i I là trung i m c a c nh AD. Bi t
2 m t ph ng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD), tính th tích kh i chóp
SABCD theo a.
Câu 17) Cho hình lăng tr tam giác ABCA’B’C’ có BB’=a, góc t o b i BB’ và m t ph ng
(ABC) là 600, tam giác ABC vuông t i C và góc BAC=600. Hình chi u vuông góc c a i m B’
lên m t ph ng (ABC) trùng v i tr ng tâm c a tam giác ABC. Tính th tích kh i t di n A’ABC
theo a.
Câu 18) Trong không gian cho hình chóp tam giác u SABC có SC = a 7 . Góc t o b i (ABC)
và (SAB) =600. Tính th tích kh i chóp SABC theo a.
Câu 19) Trong không gian cho hình chóp SABCD v i ABCD là hình thoi c nh a, góc ABC=600,
a 3
SO vuông góc v i áy ( O là tâm m t áy), SO = . M là trung i m c a AD. (P) là m t
2
ph ng qua BM và song song v i SA, c t SC t i K. Tính th tích kh i chóp KABCD.
Câu 20) Cho hình chóp SABC có áy ABC là tam giác u c nh a, c nh bên SA vuông góc v i
a 6
áy (ABC). Tính kho ng cách t A n m t ph ng (SBC) theo a bi t SA = .
2


16
Câu 21) Cho hình chóp SABCD có áy là hình ch nh t, AD = a 2, CD = 2a. C nh SA vuông
góc v i áy và SA = 3 2a. G i K là trung i m AB.
a) Ch ng minh r ng (SAC) vuông góc v i (SDK)
b) Tính th tích kh i chóp CSDK theo a; tính kho ng cách t K n (SDC).
Câu 22) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a. M t ph ng (SAC) vuông
góc v i áy, góc ASC=900, SA t o v i áy 1 góc 600. Tính th tích kh i chóp.
Câu 23) Cho lăng tr ABCA’B’C’ có áy ABC là tam giác u c nh a, hình chi u vuông góc
c a A’ lên m t ph ng (ABC) trùng v i tâm O c a tam giác ABC. M t m t ph ng (P) ch a BC và
a2 3
vuông góc v i AA’ c t lăng tr theo 1 thi t di n có di n tích . Tính th tích kh i lăng tr
8
a
Câu 24) Cho hình chóp SABC có AB=AC=a; BC = ; SA = a 3 ; góc SAB b ng góc SAC và
2
b ng 300. Tính th tích c a kh i chóp theo a.
Câu 25) Cho hình chóp t giác u SABCD c nh áy b ng a. G i G là tr ng tâm tam giác SAC
a 3
và kho ng cách t G n m t bên (SCD) b ng .
6
a) Tính kho ng cách t tâm c a m t áy n m t bên (SCD)
b) Tính th tích c a kh i chopSABCD.
Câu 26) Cho hình chóp SABC có ư ng cao AB=BC=a; AD=2a. áy là tam giác vuông cân t i
B. G i B’ là trung i m c a SB, C’ là chân ư ng cao h t A xu ng SC.Tính th tích kh i chóp
SAB’C’.
Câu 27) Cho lăng tr ng ABCA’B’C’ có áy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, c nh bên
AA’= a 2 . G i M là trung i m c a c nh BC
a) Tính theo a th tích c a kh i lăng tr ABCA’B’C’
b) Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng AM và B’C.

Câu 28) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình vuông c nh 2a; SA=a; SB= a 3 và m t
ph ng (SAB) vuông góc v i m t ph ng áy. M và N l n lư t là trung i m c a c nh AB và BC.
Tính th tích kh i chóp SBMDN và góc gi a (SM;ND).
Câu 29) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình thang, góc BAD b ng góc ABC và b ng
900; AB=BC=a; AD=2a. SA vuông góc v i áy và SA=2a. G i M, N l n lư t là trung i m c a
SA; SD. Tính th tích kh i chóp SABCD và kh i chóp SBCMN.
Câu 30) Cho lăng tr ABCA’B’C’ có dài c nh bên b ng 2a, áy ABC là tam giác vuông t i
A, AB=a; AC= a 3. và hình chi u vuông góc c a A’ trên (ABC) là trung i m c a c nh BC.
Tính theo a th tích kh i chóp A’ABC và cosin c a góc gi a 2 ư ng th ng AA’ và B’C’.
Câu 31) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a, m t bên SAD là tam giác
u và n m trong m t ph ng vuông góc v i áy. G i M, N, P l n lư t là trung i m c a các c nh
SB, BC, CD. Ch ng minh AM vuông góc v i BP và tính th tích kh i t di n CMNP.
Câu 32) Cho lăng tr ng ABCA1B1C1 có AB=a; AC=2a; AA1= 2a 5 và góc BAC=1200. G i
M là trung i m c a c nh CC1. Ch ng minh r ng MB ⊥ MA1 và tính kho ng cách d t i m A
n m t ph ng (A1MB)
Câu 33) Cho hình chóp SABC có góc gi a 2 m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 600 . Các tam
giác ABC và SBC là các tam giác u c nh a. Tính theo a kho ng cách t nh B n m t ph ng
(SAC).


17
Câu 34) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc v i áy.
Cho AB=a; SA= a 2 . G i H và K l n lư t là hình chi u c a A lên SB; SC. Ch ng minh
SC ⊥ (AHK) và tính th tích kh i chóp OAHK.
Câu 35) Trong m t ph ng (P) cho n a ư ng tròn ư ng kính AB=2R và i m C thu c n a
vòng (SAB;SBC)=600. G i H, K l n lư t là hình chi u c a A trên SB, SC. Ch ng minh tam giác
AHK vuông và tính VSABC
Câu 36) Lăng tr ng ABCA1B1C1 có áy là tam giác vuông AB=AC=a; AA1= a 2 . G i M, N
l n lư t là trung i m c a AA1 và BC1. Ch ng minh r ng MN là o n vuông góc chung c a AA1
và BC1. Tính th tích kh i chóp MA1BC1
Câu 37) Cho lăng tr ng ABCA1B1C1 có t t c các c nh u b ng a. M là trung i m c a o n
AA1. Ch ng minh BM ⊥ B1C và tính d( BM ; B1C )
Câu 38) Cho hình chóp t giác u SABCD có áy là hình vuông c nh a. E là i m i x ng
c a D qua trung i m SA, M là trung i m c a AE, N là trung i m c a BC. Ch ng minh MN
vuông góc v i BD và tính kho ng cách gi a MN và AC theo a.
Câu 39) Cho hình chóp SABCD có áy là hình thang, góc ABC= góc BAD= 900; AD=2a;
BA=BC=a. C nh bên SA vuông góc v i áy và SA= a 2 . G i H là hình chi u vuông góc c a A
trên SB.
a) Ch ng minh r ng tam giác SCD vuông
b) Tính kho ng cách t H n m t ph ng (SCD)
Câu 40) Cho hình chóp SABC mà m i m t bên là 1 tam giác vuông. SA=SB=BS=a. G i M, N,
E l n lư t là trung i m c a các c nh AB, AC, BC. D là i m i x ng c a S qua E, I là giao
i m c a AD và (SMN)
a) Ch ng minh r ng AD vuông góc v i SI
b) Tính theo a th tích kh i t di n MBSI
a 3
Câu 41) Cho hình h p ng ABCDA’B’C’D’ có các c nh AB=AD=a; AA’= và góc
2
BAD=600. G i M và N l n lư t là trung i m c a A’D’ và A’B’. Ch ng minh AC’ vuông góc
v i m t ph ng (BDMN) và tính th tích kh i chóp ABDMN.
Câu 42) Hình chóp SABCD có áy ABCD là hình ch nh t v i AB=a, AD=2a, c nh SA vuông
a 3
góc v i áy, c nh SB t o v i m t ph ng áy góc 600. Trên c nh SA l y M sao cho AM = ,
3
m t ph ng (BCM) c t SD t i N. Tính th tích kh i chóp SBCNM.
Câu 43) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình thoi c nh a. Góc BAD=600. SA vuông
góc v i m t ph ng (ABCD), SA=a. G i C’ là trung i m c a SC, m t ph ng (P) i qua AC’ và
song song v i BD, c t các c nh SB, SD c a hình chóp l n lư t t i B’, D’. Tính th tích c a kh i
chóp SAB’C’D’.
Câu 44) Cho lăng tr ABCA’B’C’ có A’ABC là hình chóp tam giác u, c nh áy AB=a, c nh
bên AA’=b. G i α là góc gi a 2 m t ph ng (ABC) và (A’BC). Tính tan α và th tích kh i chóp
A’BB’CC’.
Câu 45) Cho hình chóp t giác u SABCD có c nh áy =a. G i SH là ư ng cao c a hình
chóp. Kho ng cách t trung i m I c a SH n m t ph ng (SBC) b ng b. Tính th tích kh i chóp
SABCD.




18
Câu 46) Cho hình l p phương ABCDA’B’C’D’ có c nh =a và i m K thu c c nh CC’ sao
2a
cho: CK = . M t ph ng α i qua A, K và song song v i BD chia kh i l p phương thành 2
3
kh i a di n. Tính th tích c a 2 kh i a di n ó.
Câu 47) Cho 1 hình tr tròn xoay và hình vuông ABCD c nh a có 2 nh liên ti p A; B n m trên
ư ng tròn áy th nh t, 2 nh còn l i n m trên ư ng tròn áy th 2 cùa hình tr . M t ph ng
(ABCD)t o v i áy hình tr góc 450. Tính di n tích xung quanh và th tích c a hình tr .
Câu 48) Cho hình nón nh S, áy là ư ng tròn tâm O, SA và SB là 2 ư ng sinh. Bi t SO=3a,
kho ng cách t O n m t ph ng (SAB) b ng a, di n tích tam giác SAB=18a2. Tính th tích và
di n tích xung quanh.
Câu 49) Cho hình tr có 2 áy là 2 hình tròn tâm O và O’. Bán kính áy b ng chi u cao và b ng
a. Trên ư ng tròn áy tâm O l y i m A, trên ư ng tròn áy tâm O’ l y i m B sao cho
AB=2a.
a) Tính di n tích toàn ph n c a hình tr và th tích c a kh i tr
b) Tính th tích t di n OO’AB.
Câu 50) Cho hình chóp c t tam giác u ngo i ti p 1 hình c u bán kính r cho trư c. Tính th tích
kh i chóp c t bi t r ng c nh áy l n g p ôi c nh nh . (Hình chóp ngo i ti p hình c u n u hình
c u ti p xúc v i t t c các m t c a hình chóp).
Câu 51) Cho hình chóp tam giác u SABC có dài c nh bên b ng a. Các m t bên h p v i m t
ph ng áy m t góc α . Tính th tích kh i c u n i ti p hình chóp.
Câu 52) Cho hình chóp SABCD. Hai m t bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc v i m t áy.
áy ABCD là t giác n i ti p trong ư ng tròn tâm O, bán kính R. Xác nh tâm và tính th tích
kh i c u ngo i ti p hình chóp SABCD bi t SA=h.
Câu 53) Hình c u ư ng kính AB=2R. L y H trên AB sao cho AH=x ( 0
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản