Phương pháp giải bài tập Phương trình lượng giác

Chia sẻ: tatmaonghean

Tài liệu tham khảo chuyên môn Toán học dành cho giáo viên, sinh viên luyện thi đại học, cao đẳng - Phương pháp giải bài tập Phương trình lượng giác.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Phương pháp giải bài tập Phương trình lượng giác

 

  1. Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam  C¸c d¹ng bt ph        ¬ng tr×nh l   îng gi¸c       Biện luận theo   Lo¹i 1. k 1. sin (πcosx) = 1 8. cot(x2 + 4x + 3) = cot6 2. cos(8sinx) = -1 9. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt 3. tan(πcosx ) = cot(π sinx) cos πx 2 = cos π ( x + 1) 2 4. cos(πsinx) = cos(3πsinx) 10. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt 5. tan(π cosx) = tan(2π cosx) sin πx 2 = sin π ( x 2 + 2 x ) 6. sinx2 = 1 11. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2 cos π ( x 2 + 2 x − 1 / 2) − sin πx 2 = 0     2. Công thức hạ bậ  Lo¹i   c 2 1. 4cos (2x - 1) = 1 5. 2cosx + 1 = 0 2 2. 2sin (x + 1) = 1 π 2 2 6. tan2 (2x – ) = 2 3. cos 3x + sin 4x = 1 3 3 π 4π 4. sin(1 - x) = 7. cos2 (x – ) = sin2(2x + ) 2 5 5     3. Công thức cộng, biến đổi Lo¹i   1. sin2x + cos2x = 2 sin3x 2. cos3x – sinx = 3 (cosx –sin3x ) π 3 1 3. cos( − 3x) + sin 5 x + cos 5 x = 0 2 2 2 4. sin3x = 2 cos(x – π /5) + cos3x 5. sin(x + π /4) + cos(x + π /4) = 2 cos7x 3π π π 1 6. Tìm tất cả các nghiệm x∈ (− ; π ) của pt: sinxcos + cosxsin = 2 8 8 2      Bài toán biện luận theo m Lo¹i 4.   1. Giải và biện luận 6. Giải và biện luận 2sin(1-2x) = m (3m + 5).sin(x + π/2) = (2m + 3)cosx -m 2. 3cos23x = m 7. Giải và biện luận 3. sin3x + cos3x = m cos3x + m – 5 = (3- 2m)cos3x 4. m.sin2 2x + cos4x = m 8. Cho pt sin4x + cos4x = m 5. Giải và biện luận a) Xác định m để pt có nghiệm sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x b) Giải pt với m = ¾      Tổng hợ  Lo¹i 5. p 17π 6. Giải pt: 1. cos22x – sin28x = sin( + 10 x ) 2 4sin3xcos3x +4cos3xsin3x + 3 3 cos4x = 3 2. sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 7. sin 2 x π π π 3. = −2 cos x 2 3 sin( x − ) cos( x − ) + 2 cos 2 ( x − ) 1 + sin x 8 8 8 4. 1 + 1 = 2 π π = 3 + 4(sin x + cos( - x)cos( + x)) 2 cos x sin 2 x sin 4 x 3 3 π 8. 4sin32x + 6sin2x = 3 5. Tìm tất cả các nghiệm x∈ ( ;3π ) của pt: 2 9. Tìm nghiệm nguyên của pt: 5π 7π sin(2x + ) − 3 cos( x − ) = 1 + 2sinx 2 2 1
  2. Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam π  cos  (3 x − 9 x 2 + 160 x + 800 ) = 1 8    D¹ng 2: Ph   ¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai vµ bËc cao ®èi víi mét hµm sè       lîng gi¸c    2cos2x - 4cosx =1  1/  2/ 4sin3x + 3 2 sin2x = 8sinx   sinx ≥ 0 1-5sinx + 2cosx = 0  3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 4/    cosx ≥ 0 5/  Cho 3sin3x ­ 3cos2x + 4sinx ­ cos2x + 2 = 0(1) vµ cos2x +  3cosx(sin2x ­ 8sinx) = 0(2) 1      T×m n0 cña (1) ®ång thêi lµ n0 cña (2) ( nghiÖm chung sinx =  3 ) 3 6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7/ tanx + -2=0 cotx 4 b/ + tanx = 7 c / sin6x + cos4x = cos2x cos2 x 5π 7π 8/ sin( 2x + ) - 3cos( x − ) = 1 + 2sinx 2 2 9/ sin 2 x - 2sinx + 2 = 2sinx -1 10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 sin 2 2x + 4cos4 2x -1 11/ tanx + cotx = 4 12/ =0 2sinxcosx 13/ sin x + 1 + cos x = 0 14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0 4sin 2 x + 6sin x − 9 − 3cos 2 x 2 4 15/ =0 16/ 2cosx - sinx = 1 cos x 1 17. sin4 x + cos4x = 18. sin4 x + cos4x = cos2x 2 4 π 1 2 2π  2 2π  3 19. sin x + sin  x +  = 20. sin x + sin  x −  + sin  x +  = 4 2  4 4  3  3 2 5 21. sin6 x + cos6x = ( sin4 x + cos4x) 1 22. sin6 x + cos6x + sinxcosx = 0 6 2 23. sin4 x + cos4x = sin4 4x + cos4 4x 24. 1 2 ( ) sin4 x + cos4x = sin2 xcos2x + sinxcosx 2 25. cos3xcos3x + sin3 xsin3x= 25. cos34x = cos3xcos3x + sin3 xsin3x 4   D¹ng 3: Ph   ¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi  sinx vµ cosx   1. NhËn d¹ng: a.sinx + b.cosx = c 2
  3. Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam   2. Ph   ¬ng ph¸p:    C¸ch 1:   asinx + bcosx = c a b §Æt   cosx= 2 2  ; sinx=  2 2 ⇒ a 2 + b2 sin(x +α) = c a +b a +b  b  C¸ch 2:       a sinx + cosx  = c  a  b c §Æt  = tanα ⇒ a sinx + cosx.tanα  = c ⇔ sin(x +α) = cosα   a a x 2t 1- t 2 ⇒ (b + c)t 2 - 2at - b + c = 0 C¸ch 3:  §Æt   t = tan  ta cã  sinx = ; cosx = 2 1+ t 2 1+ t 2 §¨c biÖt : 1.   Chó ý: §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm:   a 2 + b 2 ≥ c2 π π sinx + 3cosx = 2sin(x + ) = 2cos(x - ) 3 6 π π 2.                  sin x ± cos x = 2 sin( x ± ) = 2 cos( x m ) 4 4 π π 3.                  sinx - 3cosx = 2sin(x - ) = -2cos(x + ) 3 6 gi¶i ph¬ng tr×nh: 1.  3cosx − sinx = 2                ,                         2.  cosx − 3sinx = −1 3.  3sin3x − 3cos9x = 1+ 4sin3 3x ,                          4.  π 1 sin4 x + cos4(x + ) = 4 4 5.  3(1 − cos 2 x) = cos x ,             1 6.  sin 2 x + sin 2 x =    2sin x 2 1 7.  3sinx + cosx = 8.  tan x − 3cot x = 4(sin x + 3 cos x) cosx     2π 6π 9.  cos7x - 3sin7x + 2 = 0  ;  x ∈ ( ; ) 10. 2sin15x +  3 cos5x +  5 7 sin5x = 0 (4)            2.              6 11. sinx + 3cosx + = 6                   12.  4sinx + 3cosx +1 1 3sinx + cosx = 3+           13. ( cos2x ­  3 sin2x) ­  3 sinx  3sinx + cosx +1 cosx - 2sinx.cosx – cosx + 4 = 0       14.  = 3  2cos2 x + sinx -1 1+ cosx + cos2x + cos3x 2 15.  = (3- 3sinx)        16. 2cos2 x + cosx -1 3 cos7x − sin5x = 3(cos5x − sin7x) 17. T×m GTLN vµ GTNN cña c¸c hµm sè sau: 3
  4. Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam 1− cosx a. y = 2sinx + 3cosx + 1 b. y = sinx + cosx + 2 2+ cosx c. y = sinx + cosx − 2   D¹ng 4: Ph   ¬ng tr×nh  ®¼ng cÊp ®èi víi  sinx vµ cosx   1. NhËn d¹ng: a.sinx + b.cosx = 0 (1) a.sin x + b.sinxcosx + c.cos x = d 2 2 (2) a.sin x + b.sin xcosx + c.sinxcos x + d.sinx + e.cosx = 0 (3) 3 2 2   2. Ph   ¬ng ph¸p:    Gi¶i ph¬ng tr×nh §¼ng cÊp bËc 2: asin2x + bsinx.cosx + c cos2x = 0    C¸ch 1: Thö víi cosx = 0; víi cosx ≠ 0, chia 2 vÕ cho cos2x ta ®­ îc: atan2x + btanx + c = d(tan2x + 1) C¸ch 2: ¸p dông c«ng thøc h¹ bËc              §¼ng cÊp bËc 3: asin3x + bcos3x + c(sinx + cosx) = 0  HoÆc asin3x + b.cos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x = 0   1. 3sin2x - 3 sinxcosx+2cos2x cosx=2 2. 4 sin2x + 3 3 sinxcosx - 2cos2x=4 3. 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0 4. sinx - 4sin3x + cosx = 0 5. 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + 3 )cos2x – 5 - 3 = 0 6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7. sin3x - sinx + cosx – sinx = 0 2 2 8. tanxsin x - 2sin x = 3(cos2x + sinxcosx) 9. 3cos4x - 4sin2xcos2x + sin4x = 0 10. 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0 11. 2cos3x = sin3x 12. cos3x - sin3x = cosx + sinx 13. sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 14. sin3(x - π /4) = 2 sinx   D¹ng 5: Ph   ¬ng tr×nh  ®èi xøng ®èi víi  sinx vµ cosx   1. NhËn d¹ng:  a( sinx + cosx) + b.sinxcosx = c   a( sinx − cosx) + b.sinxcosx = c   2. Ph   ¬ng ph¸p:     *     a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c        ®Æt   t = sin x + cosx  t≤ 2 ⇒  at + b t 2 -1  = c  ⇔ bt2 + 2at – 2c – b                              2 = 0 *     a(sin x ­ cosx) + bsinxcosx = c        ®Æt   t = sin x ­ cosx  t≤ 2 ⇒   at + b 1- t 2  = c  ⇔ bt2  ­ 2at + 2c – b = 0 2 4
  5. Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam 1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2. sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)  π 3. sin2x + 2sin x −  = 1 3. tanx − 2 2sinx = 1  4 1 1 1 1. 1 + tanx = 2sinx + 2. sin x + cosx= - cos x tanx cot x 3 3 3 3 3. sin x + cos x = 2sinxcosx + sin x + cosx 4. 1- sin x+ cos x = sin2x 5. 2sinx+cotx=2 sin2x+1 6. 2 sin2x(sin x + cosx) = 2 7. (1+sin x)(1+cosx)=2 8. 2 (sin x + cosx) = tanx + cotx 3 9. 1 + sin3 2x + cos32 x = sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2 2 11.* cos4x + sin4x - 2(1 - sin2xcos2x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0 12. sin x − cos x + 4sin 2 x = 1 13. sinxcosx + sinx + cosx = 1 1 1 10 14. cosx + + sinx + = cosx sinx 3   D¹ng 6: Ph   ¬ng tr×nh  ®èi xøng ®èi víi  sinx vµ cosx   1 + cos 2 x 1- cos2x C«ng thøc h¹ bËc 2     cos2x =    ;  sin2x=  2 2 3cosx + cos3x          C«ng thøc h¹ bËc 3  cos3x=    ;  sin3x=  4 3sinx -sin3x Gi¶i ph¬ng tr×nh 24 2 2 2 1/ sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x 2/ cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2 π 5x 9x 3/ sin2x + sin23x - 3cos22x=0 4/ cos3x + sin7x = 2sin2( + ) - 2cos2 4 2 2 4 4 3 5/ cos x – 5sin x = 1        6/ 4sin x ­ 1 = 3 ­  3 cos3x  2 2 2 7/ sin 2x + sin 4x = sin 6x 8/ sin2x = cos22x + cos23x  9/  (sin22x + cos42x ­ 1): sinxcosx = 0 10/ 2cos22x + cos2x = 4  sin22xcos2x π 11/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x                12/  8cos3(x +  ) =  3 cos3x sin5x 13/       = 1              14/ cos7x + sin22x =  5sinx cos 2x ­ cosx                       15/   sin2x + sin22x + sin23x =  2 3/2 16/ 3cos4x – 2cos23x =1 17/ sin24 x+ sin23x= cos22x+ cos2x  víi x ∈ (0;π) π 18/ sin24x ­ cos26x = sin(10,5π +10x ) víi x ∈ (0; )   2 3 3 19/ 4sin xcos3x + 4cos x sin3x + 3 3 cos4x = 3    π x 20/ cos4xsinx ­ sin22x = 4sin2( − ) ­  7  víi   x -1  < 3  4 2 2 21/ 2cos 2x ­ 4cos3xcos x + cos6x ­ 4sin3xsin3x = 0            3 3 22/ cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x      5
  6. Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam   D¹ng 7: Ph   ¬ng tr×nh l   îng gi¸c bËc cao   * a3 ± b3=(a ± b)(a2 m ab + b2) * a8 + b8 = ( a4 + b4)2 - 2a4b4 * a4 - b4 = ( a2 + b2)(a2 - b2) * a6 ± b6 = ( a2 ± b2)( a4 m a2b2 + b4) Gi¶i ph¬ng tr×nh x x 1. sin4 +cos4 =1-2sinx 2. cos3x-sin3x=cos2x-sin2x 2 2 sin 4 x + cos 4 x 1 3. cos3x+ sin3x= cos2x 4. = (tanx + cotx) sin2x 2 13 7π π 5. cos6x - sin6x = cos22x 6. sin4x + cos4x = cot(x + )cot( - x) 8 8 3 6 7. cos x + sin x = 2(cos8x + sin8x) 6 6 8. cos3x + sin3x = cosx – sinx 9. cos6x + sin6x = cos4x 10. sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x 1 x x 11. cos8x + sin8x = 12. (sinx + 3)sin4 - (sinx + 3)sin2 + 1 = 0 8 2 2   D¹ng 8: Ph   ¬ng tr×nh l   îng gi¸c biÕn ®æi vÒ tÝch b»ng 0   1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0 3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4/ sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0 3 5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6/ sin2x + 2 cos2x + 6 cosx = 0 2 7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4 sin 3x sin 5 x 1 8/ = 9/ 2cos2x - 8cosx + 7 = 3 5 cosx 5 10/ cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + cos2x 4 11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 13/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 1 1 14/ 2sin3x - = 2cos3x + sinx cosx 1 15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - )=0 cosx 16/ cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 17/ cos2x - 2cos3x + sinx = 0 1- cos2x 18/ sin2x = 1+ 2 cosx + cos2x 19/ 1 + cot2x = sin 2 2x 1 20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + 21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0 sin2x 22/ 1 + tanx = sinx + cosx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx π 1 1 2 24/ 2 2 sin(x + ) = + 25/ 2tanx + cotx = 3 + 4 sinx cosx sin 2x 26/ cotx – tanx = cosx + sinx 27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 2 − cos x 1 1. Tìm TXĐ của hàm số: a. y = b. y = t x + an sin 2 x 1− si x n 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: a. y = 2 2 + cos x − 3 b. y = 3. 2x − 2si x. x cos n cos 3. Gi¶I ph¬ng tr×nh: 6
  7. Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam sinx + 2 = 0. 3 tan 2 x + 1 = 0 sin2x - sinx – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 3 s inx − cos x = 1 4 tan 2 x − 7 tan x + 3 = 0 2cos 2 x + 5sin x = 3 3sin 2 x − 3sin x.cos x − 2cos 2 x = 2 π 1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: x = k 2π ; x = + n 2π 2 2. tanx.sin2x− 2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) 2sin π π HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: x = − + kπ ; x = ± + n2π 4 3 3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) 2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin3x-4cos3x +3cosx)=sinx+cosx π π π 7π ĐS: x = ± + k ; x = − + nπ ; x = + mπ . 4 4 12 12 4. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) 2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin3x-4cos3x +3cosx)=sinx+cosx π π π 7π ĐS: x = ± + k ; x = − + nπ ; x = + mπ . 4 4 12 12 π 1 5. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) ĐS: x = + k 2π ; x = α + n2π ; x = π − α + l 2π ; với sin α = − . 2 4 π 6. sinx−4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: x = + kπ . 4 HD:sin3x-sin2x+cosx=0; 3sinx-4sin3x-2sinxcosx+cosx=0(chia cho cosx)  π  π π π 7. sin  3x −  = sin 2 x.sin  x +  ; (Học Viện BCVT) ĐS: x = +k  4   4  4 2 Doi sin(x+II/4) thanh cos(II/2 –x) råi dïng CT biÕn tÝch thµnh tæng. 8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x π HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: x = k . 12 9. sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin 2 x cos x π π HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = − + kπ , x = ± + kπ 3 4 10.2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx π 2π HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + k 2π (k ∈ ¢ ) 4 3 11.sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). Giải ⇔2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. ⇔2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. ⇔2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK t ≤ 1 , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. ∆=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.  1 t = 1 ⇒ 2 ⇒ cos x = 2 …(biết giải) t = sin x - 2 ( loaï )  i 12.1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp … 1 2 ( cos x − sin x ) 13.Giải phương trình lượng giác: = tan x + cot 2 x cot x − 1 Giải 7
  8. Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0  Điều kiện:  cot x ≠ 1  1 2 ( cos x − sin x ) cos x.sin 2 x = ⇔ = 2 sin x Từ (1) ta có: sin x cos 2 x cos x cos x + −1 cos x sin 2 x sin x  π  x = + k 2π 2 4 ⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x ⇔ cos x = ⇔ ( k ∈¢ ) 2  x = − π + k 2π   4 π So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = − + k 2π ( k ∈ ¢ ) 4 2+3 2 14.Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 8 2+3 2 GiảiTa có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = ⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 8 2+3 2 2+3 2 2 π π ⇔ cos 2 3 x + sin 2 3x + 3 ( cos 3 x cos x − sin 3x sin x ) = ⇔ cos 4 x = ⇔ x = ± + k ,k ∈ Z . 8 2 2 16 2 15.Giải phương trình: cos 2 x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x) Giải Phương trình ⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0  cos x − sin x = −1 ⇔  cos x − sin x = 5 (loai vi cos x − sin x ≤ 2) 8
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản