Phương pháp giải bài tập Phương trình lượng giác

Chia sẻ: Nguyễn Tất Mão | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:8

5
3.441
lượt xem
1.044
download

Phương pháp giải bài tập Phương trình lượng giác

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo chuyên môn Toán học dành cho giáo viên, sinh viên luyện thi đại học, cao đẳng - Phương pháp giải bài tập Phương trình lượng giác.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương pháp giải bài tập Phương trình lượng giác

  1. Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam  C¸c d¹ng bt ph        ¬ng tr×nh l   îng gi¸c       Biện luận theo   Lo¹i 1. k 1. sin (πcosx) = 1 8. cot(x2 + 4x + 3) = cot6 2. cos(8sinx) = -1 9. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt 3. tan(πcosx ) = cot(π sinx) cos πx 2 = cos π ( x + 1) 2 4. cos(πsinx) = cos(3πsinx) 10. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt 5. tan(π cosx) = tan(2π cosx) sin πx 2 = sin π ( x 2 + 2 x ) 6. sinx2 = 1 11. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2 cos π ( x 2 + 2 x − 1 / 2) − sin πx 2 = 0     2. Công thức hạ bậ  Lo¹i   c 2 1. 4cos (2x - 1) = 1 5. 2cosx + 1 = 0 2 2. 2sin (x + 1) = 1 π 2 2 6. tan2 (2x – ) = 2 3. cos 3x + sin 4x = 1 3 3 π 4π 4. sin(1 - x) = 7. cos2 (x – ) = sin2(2x + ) 2 5 5     3. Công thức cộng, biến đổi Lo¹i   1. sin2x + cos2x = 2 sin3x 2. cos3x – sinx = 3 (cosx –sin3x ) π 3 1 3. cos( − 3x) + sin 5 x + cos 5 x = 0 2 2 2 4. sin3x = 2 cos(x – π /5) + cos3x 5. sin(x + π /4) + cos(x + π /4) = 2 cos7x 3π π π 1 6. Tìm tất cả các nghiệm x∈ (− ; π ) của pt: sinxcos + cosxsin = 2 8 8 2      Bài toán biện luận theo m Lo¹i 4.   1. Giải và biện luận 6. Giải và biện luận 2sin(1-2x) = m (3m + 5).sin(x + π/2) = (2m + 3)cosx -m 2. 3cos23x = m 7. Giải và biện luận 3. sin3x + cos3x = m cos3x + m – 5 = (3- 2m)cos3x 4. m.sin2 2x + cos4x = m 8. Cho pt sin4x + cos4x = m 5. Giải và biện luận a) Xác định m để pt có nghiệm sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x b) Giải pt với m = ¾      Tổng hợ  Lo¹i 5. p 17π 6. Giải pt: 1. cos22x – sin28x = sin( + 10 x ) 2 4sin3xcos3x +4cos3xsin3x + 3 3 cos4x = 3 2. sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 7. sin 2 x π π π 3. = −2 cos x 2 3 sin( x − ) cos( x − ) + 2 cos 2 ( x − ) 1 + sin x 8 8 8 4. 1 + 1 = 2 π π = 3 + 4(sin x + cos( - x)cos( + x)) 2 cos x sin 2 x sin 4 x 3 3 π 8. 4sin32x + 6sin2x = 3 5. Tìm tất cả các nghiệm x∈ ( ;3π ) của pt: 2 9. Tìm nghiệm nguyên của pt: 5π 7π sin(2x + ) − 3 cos( x − ) = 1 + 2sinx 2 2 1
  2. Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam π  cos  (3 x − 9 x 2 + 160 x + 800 ) = 1 8    D¹ng 2: Ph   ¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai vµ bËc cao ®èi víi mét hµm sè       lîng gi¸c    2cos2x - 4cosx =1  1/  2/ 4sin3x + 3 2 sin2x = 8sinx   sinx ≥ 0 1-5sinx + 2cosx = 0  3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 4/    cosx ≥ 0 5/  Cho 3sin3x ­ 3cos2x + 4sinx ­ cos2x + 2 = 0(1) vµ cos2x +  3cosx(sin2x ­ 8sinx) = 0(2) 1      T×m n0 cña (1) ®ång thêi lµ n0 cña (2) ( nghiÖm chung sinx =  3 ) 3 6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7/ tanx + -2=0 cotx 4 b/ + tanx = 7 c / sin6x + cos4x = cos2x cos2 x 5π 7π 8/ sin( 2x + ) - 3cos( x − ) = 1 + 2sinx 2 2 9/ sin 2 x - 2sinx + 2 = 2sinx -1 10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 sin 2 2x + 4cos4 2x -1 11/ tanx + cotx = 4 12/ =0 2sinxcosx 13/ sin x + 1 + cos x = 0 14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0 4sin 2 x + 6sin x − 9 − 3cos 2 x 2 4 15/ =0 16/ 2cosx - sinx = 1 cos x 1 17. sin4 x + cos4x = 18. sin4 x + cos4x = cos2x 2 4 π 1 2 2π  2 2π  3 19. sin x + sin  x +  = 20. sin x + sin  x −  + sin  x +  = 4 2  4 4  3  3 2 5 21. sin6 x + cos6x = ( sin4 x + cos4x) 1 22. sin6 x + cos6x + sinxcosx = 0 6 2 23. sin4 x + cos4x = sin4 4x + cos4 4x 24. 1 2 ( ) sin4 x + cos4x = sin2 xcos2x + sinxcosx 2 25. cos3xcos3x + sin3 xsin3x= 25. cos34x = cos3xcos3x + sin3 xsin3x 4   D¹ng 3: Ph   ¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi  sinx vµ cosx   1. NhËn d¹ng: a.sinx + b.cosx = c 2
  3. Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam   2. Ph   ¬ng ph¸p:    C¸ch 1:   asinx + bcosx = c a b §Æt   cosx= 2 2  ; sinx=  2 2 ⇒ a 2 + b2 sin(x +α) = c a +b a +b  b  C¸ch 2:       a sinx + cosx  = c  a  b c §Æt  = tanα ⇒ a sinx + cosx.tanα  = c ⇔ sin(x +α) = cosα   a a x 2t 1- t 2 ⇒ (b + c)t 2 - 2at - b + c = 0 C¸ch 3:  §Æt   t = tan  ta cã  sinx = ; cosx = 2 1+ t 2 1+ t 2 §¨c biÖt : 1.   Chó ý: §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm:   a 2 + b 2 ≥ c2 π π sinx + 3cosx = 2sin(x + ) = 2cos(x - ) 3 6 π π 2.                  sin x ± cos x = 2 sin( x ± ) = 2 cos( x m ) 4 4 π π 3.                  sinx - 3cosx = 2sin(x - ) = -2cos(x + ) 3 6 gi¶i ph¬ng tr×nh: 1.  3cosx − sinx = 2                ,                         2.  cosx − 3sinx = −1 3.  3sin3x − 3cos9x = 1+ 4sin3 3x ,                          4.  π 1 sin4 x + cos4(x + ) = 4 4 5.  3(1 − cos 2 x) = cos x ,             1 6.  sin 2 x + sin 2 x =    2sin x 2 1 7.  3sinx + cosx = 8.  tan x − 3cot x = 4(sin x + 3 cos x) cosx     2π 6π 9.  cos7x - 3sin7x + 2 = 0  ;  x ∈ ( ; ) 10. 2sin15x +  3 cos5x +  5 7 sin5x = 0 (4)            2.              6 11. sinx + 3cosx + = 6                   12.  4sinx + 3cosx +1 1 3sinx + cosx = 3+           13. ( cos2x ­  3 sin2x) ­  3 sinx  3sinx + cosx +1 cosx - 2sinx.cosx – cosx + 4 = 0       14.  = 3  2cos2 x + sinx -1 1+ cosx + cos2x + cos3x 2 15.  = (3- 3sinx)        16. 2cos2 x + cosx -1 3 cos7x − sin5x = 3(cos5x − sin7x) 17. T×m GTLN vµ GTNN cña c¸c hµm sè sau: 3
  4. Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam 1− cosx a. y = 2sinx + 3cosx + 1 b. y = sinx + cosx + 2 2+ cosx c. y = sinx + cosx − 2   D¹ng 4: Ph   ¬ng tr×nh  ®¼ng cÊp ®èi víi  sinx vµ cosx   1. NhËn d¹ng: a.sinx + b.cosx = 0 (1) a.sin x + b.sinxcosx + c.cos x = d 2 2 (2) a.sin x + b.sin xcosx + c.sinxcos x + d.sinx + e.cosx = 0 (3) 3 2 2   2. Ph   ¬ng ph¸p:    Gi¶i ph¬ng tr×nh §¼ng cÊp bËc 2: asin2x + bsinx.cosx + c cos2x = 0    C¸ch 1: Thö víi cosx = 0; víi cosx ≠ 0, chia 2 vÕ cho cos2x ta ®­ îc: atan2x + btanx + c = d(tan2x + 1) C¸ch 2: ¸p dông c«ng thøc h¹ bËc              §¼ng cÊp bËc 3: asin3x + bcos3x + c(sinx + cosx) = 0  HoÆc asin3x + b.cos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x = 0   1. 3sin2x - 3 sinxcosx+2cos2x cosx=2 2. 4 sin2x + 3 3 sinxcosx - 2cos2x=4 3. 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0 4. sinx - 4sin3x + cosx = 0 5. 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + 3 )cos2x – 5 - 3 = 0 6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7. sin3x - sinx + cosx – sinx = 0 2 2 8. tanxsin x - 2sin x = 3(cos2x + sinxcosx) 9. 3cos4x - 4sin2xcos2x + sin4x = 0 10. 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0 11. 2cos3x = sin3x 12. cos3x - sin3x = cosx + sinx 13. sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 14. sin3(x - π /4) = 2 sinx   D¹ng 5: Ph   ¬ng tr×nh  ®èi xøng ®èi víi  sinx vµ cosx   1. NhËn d¹ng:  a( sinx + cosx) + b.sinxcosx = c   a( sinx − cosx) + b.sinxcosx = c   2. Ph   ¬ng ph¸p:     *     a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c        ®Æt   t = sin x + cosx  t≤ 2 ⇒  at + b t 2 -1  = c  ⇔ bt2 + 2at – 2c – b                              2 = 0 *     a(sin x ­ cosx) + bsinxcosx = c        ®Æt   t = sin x ­ cosx  t≤ 2 ⇒   at + b 1- t 2  = c  ⇔ bt2  ­ 2at + 2c – b = 0 2 4
  5. Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam 1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2. sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)  π 3. sin2x + 2sin x −  = 1 3. tanx − 2 2sinx = 1  4 1 1 1 1. 1 + tanx = 2sinx + 2. sin x + cosx= - cos x tanx cot x 3 3 3 3 3. sin x + cos x = 2sinxcosx + sin x + cosx 4. 1- sin x+ cos x = sin2x 5. 2sinx+cotx=2 sin2x+1 6. 2 sin2x(sin x + cosx) = 2 7. (1+sin x)(1+cosx)=2 8. 2 (sin x + cosx) = tanx + cotx 3 9. 1 + sin3 2x + cos32 x = sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2 2 11.* cos4x + sin4x - 2(1 - sin2xcos2x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0 12. sin x − cos x + 4sin 2 x = 1 13. sinxcosx + sinx + cosx = 1 1 1 10 14. cosx + + sinx + = cosx sinx 3   D¹ng 6: Ph   ¬ng tr×nh  ®èi xøng ®èi víi  sinx vµ cosx   1 + cos 2 x 1- cos2x C«ng thøc h¹ bËc 2     cos2x =    ;  sin2x=  2 2 3cosx + cos3x          C«ng thøc h¹ bËc 3  cos3x=    ;  sin3x=  4 3sinx -sin3x Gi¶i ph¬ng tr×nh 24 2 2 2 1/ sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x 2/ cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2 π 5x 9x 3/ sin2x + sin23x - 3cos22x=0 4/ cos3x + sin7x = 2sin2( + ) - 2cos2 4 2 2 4 4 3 5/ cos x – 5sin x = 1        6/ 4sin x ­ 1 = 3 ­  3 cos3x  2 2 2 7/ sin 2x + sin 4x = sin 6x 8/ sin2x = cos22x + cos23x  9/  (sin22x + cos42x ­ 1): sinxcosx = 0 10/ 2cos22x + cos2x = 4  sin22xcos2x π 11/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x                12/  8cos3(x +  ) =  3 cos3x sin5x 13/       = 1              14/ cos7x + sin22x =  5sinx cos 2x ­ cosx                       15/   sin2x + sin22x + sin23x =  2 3/2 16/ 3cos4x – 2cos23x =1 17/ sin24 x+ sin23x= cos22x+ cos2x  víi x ∈ (0;π) π 18/ sin24x ­ cos26x = sin(10,5π +10x ) víi x ∈ (0; )   2 3 3 19/ 4sin xcos3x + 4cos x sin3x + 3 3 cos4x = 3    π x 20/ cos4xsinx ­ sin22x = 4sin2( − ) ­  7  víi   x -1  < 3  4 2 2 21/ 2cos 2x ­ 4cos3xcos x + cos6x ­ 4sin3xsin3x = 0            3 3 22/ cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x      5
  6. Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam   D¹ng 7: Ph   ¬ng tr×nh l   îng gi¸c bËc cao   * a3 ± b3=(a ± b)(a2 m ab + b2) * a8 + b8 = ( a4 + b4)2 - 2a4b4 * a4 - b4 = ( a2 + b2)(a2 - b2) * a6 ± b6 = ( a2 ± b2)( a4 m a2b2 + b4) Gi¶i ph¬ng tr×nh x x 1. sin4 +cos4 =1-2sinx 2. cos3x-sin3x=cos2x-sin2x 2 2 sin 4 x + cos 4 x 1 3. cos3x+ sin3x= cos2x 4. = (tanx + cotx) sin2x 2 13 7π π 5. cos6x - sin6x = cos22x 6. sin4x + cos4x = cot(x + )cot( - x) 8 8 3 6 7. cos x + sin x = 2(cos8x + sin8x) 6 6 8. cos3x + sin3x = cosx – sinx 9. cos6x + sin6x = cos4x 10. sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x 1 x x 11. cos8x + sin8x = 12. (sinx + 3)sin4 - (sinx + 3)sin2 + 1 = 0 8 2 2   D¹ng 8: Ph   ¬ng tr×nh l   îng gi¸c biÕn ®æi vÒ tÝch b»ng 0   1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0 3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4/ sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0 3 5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6/ sin2x + 2 cos2x + 6 cosx = 0 2 7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4 sin 3x sin 5 x 1 8/ = 9/ 2cos2x - 8cosx + 7 = 3 5 cosx 5 10/ cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + cos2x 4 11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 13/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 1 1 14/ 2sin3x - = 2cos3x + sinx cosx 1 15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - )=0 cosx 16/ cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 17/ cos2x - 2cos3x + sinx = 0 1- cos2x 18/ sin2x = 1+ 2 cosx + cos2x 19/ 1 + cot2x = sin 2 2x 1 20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + 21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0 sin2x 22/ 1 + tanx = sinx + cosx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx π 1 1 2 24/ 2 2 sin(x + ) = + 25/ 2tanx + cotx = 3 + 4 sinx cosx sin 2x 26/ cotx – tanx = cosx + sinx 27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 2 − cos x 1 1. Tìm TXĐ của hàm số: a. y = b. y = t x + an sin 2 x 1− si x n 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: a. y = 2 2 + cos x − 3 b. y = 3. 2x − 2si x. x cos n cos 3. Gi¶I ph¬ng tr×nh: 6
  7. Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam sinx + 2 = 0. 3 tan 2 x + 1 = 0 sin2x - sinx – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 3 s inx − cos x = 1 4 tan 2 x − 7 tan x + 3 = 0 2cos 2 x + 5sin x = 3 3sin 2 x − 3sin x.cos x − 2cos 2 x = 2 π 1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: x = k 2π ; x = + n 2π 2 2. tanx.sin2x− 2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) 2sin π π HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: x = − + kπ ; x = ± + n2π 4 3 3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) 2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin3x-4cos3x +3cosx)=sinx+cosx π π π 7π ĐS: x = ± + k ; x = − + nπ ; x = + mπ . 4 4 12 12 4. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) 2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin3x-4cos3x +3cosx)=sinx+cosx π π π 7π ĐS: x = ± + k ; x = − + nπ ; x = + mπ . 4 4 12 12 π 1 5. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) ĐS: x = + k 2π ; x = α + n2π ; x = π − α + l 2π ; với sin α = − . 2 4 π 6. sinx−4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: x = + kπ . 4 HD:sin3x-sin2x+cosx=0; 3sinx-4sin3x-2sinxcosx+cosx=0(chia cho cosx)  π  π π π 7. sin  3x −  = sin 2 x.sin  x +  ; (Học Viện BCVT) ĐS: x = +k  4   4  4 2 Doi sin(x+II/4) thanh cos(II/2 –x) råi dïng CT biÕn tÝch thµnh tæng. 8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x π HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: x = k . 12 9. sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin 2 x cos x π π HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = − + kπ , x = ± + kπ 3 4 10.2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx π 2π HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + k 2π (k ∈ ¢ ) 4 3 11.sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). Giải ⇔2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. ⇔2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. ⇔2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK t ≤ 1 , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. ∆=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.  1 t = 1 ⇒ 2 ⇒ cos x = 2 …(biết giải) t = sin x - 2 ( loaï )  i 12.1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp … 1 2 ( cos x − sin x ) 13.Giải phương trình lượng giác: = tan x + cot 2 x cot x − 1 Giải 7
  8. Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0  Điều kiện:  cot x ≠ 1  1 2 ( cos x − sin x ) cos x.sin 2 x = ⇔ = 2 sin x Từ (1) ta có: sin x cos 2 x cos x cos x + −1 cos x sin 2 x sin x  π  x = + k 2π 2 4 ⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x ⇔ cos x = ⇔ ( k ∈¢ ) 2  x = − π + k 2π   4 π So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = − + k 2π ( k ∈ ¢ ) 4 2+3 2 14.Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 8 2+3 2 GiảiTa có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = ⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 8 2+3 2 2+3 2 2 π π ⇔ cos 2 3 x + sin 2 3x + 3 ( cos 3 x cos x − sin 3x sin x ) = ⇔ cos 4 x = ⇔ x = ± + k ,k ∈ Z . 8 2 2 16 2 15.Giải phương trình: cos 2 x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x) Giải Phương trình ⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0  cos x − sin x = −1 ⇔  cos x − sin x = 5 (loai vi cos x − sin x ≤ 2) 8

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản