Phương pháp giải bài tập Phương trình lượng giác

Chia sẻ: tatmaonghean

Tài liệu tham khảo chuyên môn Toán học dành cho giáo viên, sinh viên luyện thi đại học, cao đẳng - Phương pháp giải bài tập Phương trình lượng giác.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Phương pháp giải bài tập Phương trình lượng giác

Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam
 C¸c d¹ng bt ph 
  
   ¬ng tr×nh l 
 îng gi¸c 
     Biện luận theo  
Lo¹i 1. k
1. sin (πcosx) = 1 8. cot(x2 + 4x + 3) = cot6
2. cos(8sinx) = -1 9. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
3. tan(πcosx ) = cot(π sinx) cos πx 2 = cos π ( x + 1) 2
4. cos(πsinx) = cos(3πsinx) 10. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
5. tan(π cosx) = tan(2π cosx) sin πx 2 = sin π ( x 2 + 2 x )
6. sinx2 =
1 11. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
2 cos π ( x 2 + 2 x − 1 / 2) − sin πx 2 = 0
    2. Công thức hạ bậ 
Lo¹i   c
2
1. 4cos (2x - 1) = 1 5. 2cosx + 1 = 0
2
2. 2sin (x + 1) = 1 π
2 2 6. tan2 (2x – ) = 2
3. cos 3x + sin 4x = 1 3
3 π 4π
4. sin(1 - x) = 7. cos2 (x – ) = sin2(2x + )
2 5 5
    3. Công thức cộng, biến đổi
Lo¹i  
1. sin2x + cos2x = 2 sin3x
2. cos3x – sinx = 3 (cosx –sin3x )
π 3 1
3. cos( − 3x) + sin 5 x + cos 5 x = 0
2 2 2
4. sin3x = 2 cos(x – π /5) + cos3x
5. sin(x + π /4) + cos(x + π /4) = 2 cos7x
3π π π 1
6. Tìm tất cả các nghiệm x∈ (− ; π ) của pt: sinxcos + cosxsin =
2 8 8 2
     Bài toán biện luận theo m
Lo¹i 4.  
1. Giải và biện luận 6. Giải và biện luận
2sin(1-2x) = m (3m + 5).sin(x + π/2) = (2m + 3)cosx -m
2. 3cos23x = m 7. Giải và biện luận
3. sin3x + cos3x = m cos3x + m – 5 = (3- 2m)cos3x
4. m.sin2 2x + cos4x = m 8. Cho pt sin4x + cos4x = m
5. Giải và biện luận a) Xác định m để pt có nghiệm
sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x b) Giải pt với m = ¾
     Tổng hợ 
Lo¹i 5. p

17π 6. Giải pt:
1. cos22x – sin28x = sin( + 10 x )
2 4sin3xcos3x +4cos3xsin3x + 3 3 cos4x = 3
2. sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 7.
sin 2 x π π π
3. = −2 cos x 2 3 sin( x − ) cos( x − ) + 2 cos 2 ( x − )
1 + sin x 8 8 8
4.
1
+
1
=
2 π π
= 3 + 4(sin x + cos( - x)cos( + x))
2
cos x sin 2 x sin 4 x 3 3
π 8. 4sin32x + 6sin2x = 3
5. Tìm tất cả các nghiệm x∈ ( ;3π ) của pt:
2 9. Tìm nghiệm nguyên của pt:
5π 7π
sin(2x + ) − 3 cos( x − ) = 1 + 2sinx
2 2
1
Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam
π 
cos  (3 x − 9 x 2 + 160 x + 800 ) = 1
8 
 
D¹ng 2: Ph   ¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai vµ bËc cao ®èi víi mét hµm sè   
  
lîng gi¸c  
 2cos2x - 4cosx =1

1/  2/ 4sin3x + 3 2 sin2x = 8sinx

 sinx ≥ 0
1-5sinx + 2cosx = 0

3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 4/ 

 cosx ≥ 0
5/  Cho 3sin3x ­ 3cos2x + 4sinx ­ cos2x + 2 = 0(1) vµ cos2x + 
3cosx(sin2x ­ 8sinx) = 0(2)
1
     T×m n0 cña (1) ®ång thêi lµ n0 cña (2) ( nghiÖm chung sinx = 
3
)
3
6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7/ tanx + -2=0
cotx
4
b/ + tanx = 7 c / sin6x + cos4x = cos2x
cos2 x
5π 7π
8/ sin( 2x + ) - 3cos( x − ) = 1 + 2sinx
2 2
9/ sin 2 x - 2sinx + 2 = 2sinx -1 10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0
sin 2 2x + 4cos4 2x -1
11/ tanx + cotx = 4 12/ =0
2sinxcosx
13/ sin x + 1 + cos x = 0 14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0
4sin 2 x + 6sin x − 9 − 3cos 2 x
2 4
15/ =0 16/ 2cosx - sinx = 1
cos x
1
17. sin4 x + cos4x = 18. sin4 x + cos4x = cos2x
2
4 π 1 2 2π  2 2π  3
19. sin x + sin  x +  = 20. sin x + sin  x −  + sin  x +  =
4 2

 4 4  3  3 2
5
21. sin6 x + cos6x = ( sin4 x + cos4x)
1
22. sin6 x + cos6x + sinxcosx = 0
6 2

23. sin4 x + cos4x = sin4 4x + cos4 4x 24.
1
2
( )
sin4 x + cos4x = sin2 xcos2x + sinxcosx
2
25. cos3xcos3x + sin3 xsin3x= 25. cos34x = cos3xcos3x + sin3 xsin3x
4
 
D¹ng 3: Ph 
 ¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi  sinx vµ cosx  
1. NhËn d¹ng:
a.sinx + b.cosx = c




2
Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam
 
2. Ph 
 ¬ng ph¸p: 
 


C¸ch 1:   asinx + bcosx = c
a b
§Æt   cosx= 2 2  ; sinx=  2 2 ⇒ a 2 + b2 sin(x +α) = c
a +b a +b
 b 
C¸ch 2:       a sinx + cosx  = c
 a 
b c
§Æt  = tanα ⇒ a sinx + cosx.tanα  = c ⇔ sin(x +α) = cosα
 
a a
x 2t 1- t 2 ⇒ (b + c)t 2 - 2at - b + c = 0
C¸ch 3:  §Æt   t = tan  ta cã  sinx = ; cosx =
2 1+ t 2 1+ t 2
§¨c biÖt :
1.   Chó ý: §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm:   a 2
+ b 2 ≥ c2
π π
sinx + 3cosx = 2sin(x + ) = 2cos(x - )
3 6
π π
2.                  sin x ± cos x = 2 sin( x ± ) = 2 cos( x m )
4 4
π π
3.                  sinx - 3cosx = 2sin(x - ) = -2cos(x + )
3 6
gi¶i ph¬ng tr×nh:
1.  3cosx − sinx = 2                ,                         2. 
cosx − 3sinx = −1
3.  3sin3x − 3cos9x = 1+ 4sin3 3x ,                          4. 
π 1
sin4 x + cos4(x + ) =
4 4
5.  3(1 − cos 2 x) = cos x ,            
1
6.  sin 2 x + sin 2 x =   
2sin x 2
1
7.  3sinx + cosx = 8.  tan x − 3cot x = 4(sin x + 3 cos x)
cosx
   
2π 6π
9.  cos7x - 3sin7x + 2 = 0  ;  x ∈ ( ; ) 10. 2sin15x +  3 cos5x + 
5 7
sin5x = 0 (4)            2.             
6
11. sinx + 3cosx + = 6                   12. 
4sinx + 3cosx +1
1
3sinx + cosx = 3+           13. ( cos2x ­  3 sin2x) ­  3 sinx 
3sinx + cosx +1
cosx - 2sinx.cosx
– cosx + 4 = 0       14.  = 3 
2cos2 x + sinx -1
1+ cosx + cos2x + cos3x 2
15.  = (3- 3sinx)        16.
2cos2 x + cosx -1 3
cos7x − sin5x = 3(cos5x − sin7x)
17. T×m GTLN vµ GTNN cña c¸c hµm sè sau:

3
Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam
1− cosx
a. y = 2sinx + 3cosx + 1 b. y =
sinx + cosx + 2
2+ cosx
c. y =
sinx + cosx − 2
 
D¹ng 4: Ph 
 ¬ng tr×nh  ®¼ng cÊp ®èi víi  sinx vµ cosx
 
1. NhËn d¹ng:
a.sinx + b.cosx = 0 (1)
a.sin x + b.sinxcosx + c.cos x = d
2 2
(2)
a.sin x + b.sin xcosx + c.sinxcos x + d.sinx + e.cosx = 0 (3)
3 2 2

 
2. Ph 
 ¬ng ph¸p: 
 
Gi¶i ph¬ng tr×nh
§¼ng cÊp bËc 2: asin2x + bsinx.cosx + c cos2x = 0
   C¸ch 1: Thö víi cosx = 0; víi cosx ≠ 0, chia 2 vÕ cho cos2x ta ®­
îc:
atan2x + btanx + c = d(tan2x + 1)
C¸ch 2: ¸p dông c«ng thøc h¹ bËc             
§¼ng cÊp bËc 3: asin3x + bcos3x + c(sinx + cosx) = 0 
HoÆc asin3x + b.cos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x = 0  
1. 3sin2x - 3 sinxcosx+2cos2x cosx=2 2. 4 sin2x + 3 3 sinxcosx - 2cos2x=4
3. 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0 4. sinx - 4sin3x + cosx = 0
5. 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + 3 )cos2x – 5 - 3 = 0
6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7. sin3x - sinx + cosx – sinx = 0
2 2
8. tanxsin x - 2sin x = 3(cos2x + sinxcosx) 9. 3cos4x - 4sin2xcos2x + sin4x = 0
10. 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0 11. 2cos3x = sin3x
12. cos3x - sin3x = cosx + sinx 13. sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
14. sin3(x - π /4) = 2 sinx
 
D¹ng 5: Ph 
 ¬ng tr×nh  ®èi xøng ®èi víi  sinx vµ cosx  
1. NhËn d¹ng:
 a( sinx + cosx) + b.sinxcosx = c

 a( sinx − cosx) + b.sinxcosx = c
 
2. Ph 
 ¬ng ph¸p: 
  

*     a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c        ®Æt   t = sin x + cosx 
t≤ 2
⇒  at + b
t 2 -1  = c  ⇔ bt2 + 2at – 2c – b 
                           
2
= 0
*     a(sin x ­ cosx) + bsinxcosx = c        ®Æt   t = sin x ­ cosx 
t≤ 2
⇒   at + b
1- t 2  = c  ⇔ bt2  ­ 2at + 2c – b = 0
2




4
Nguyen Tat Mao   Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam




1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2. sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)
 π
3. sin2x + 2sin x −  = 1 3. tanx − 2 2sinx = 1
 4
1 1 1
1. 1 + tanx = 2sinx + 2. sin x + cosx= -
cos x tanx cot x
3 3 3 3
3. sin x + cos x = 2sinxcosx + sin x + cosx 4. 1- sin x+ cos x = sin2x
5. 2sinx+cotx=2 sin2x+1 6. 2 sin2x(sin x + cosx) = 2
7. (1+sin x)(1+cosx)=2 8. 2 (sin x + cosx) = tanx + cotx
3
9. 1 + sin3 2x + cos32 x = sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2
2
11.* cos4x + sin4x - 2(1 - sin2xcos2x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
12. sin x − cos x + 4sin 2 x = 1 13. sinxcosx + sinx + cosx = 1
1 1 10
14. cosx + + sinx + =
cosx sinx 3
 
D¹ng 6: Ph 
 ¬ng tr×nh  ®èi xøng ®èi víi  sinx vµ cosx
 

1 + cos 2 x 1- cos2x
C«ng thøc h¹ bËc 2     cos2x =    ;  sin2x= 
2 2
3cosx + cos3x
         C«ng thøc h¹ bËc 3  cos3x=    ;  sin3x= 
4
3sinx -sin3x Gi¶i ph¬ng tr×nh
24 2 2 2
1/ sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x 2/ cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2
π 5x 9x
3/ sin2x + sin23x - 3cos22x=0 4/ cos3x + sin7x = 2sin2( + ) - 2cos2
4 2 2
4 4 3
5/ cos x – 5sin x = 1        6/ 4sin x ­ 1 = 3 ­  3 cos3x 
2 2 2
7/ sin 2x + sin 4x = sin 6x 8/ sin2x = cos22x + cos23x 
9/  (sin22x + cos42x ­ 1): sinxcosx = 0 10/ 2cos22x + cos2x = 4 
sin22xcos2x
π
11/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x                12/  8cos3(x +  ) = 
3
cos3x
sin5x
13/       = 1              14/ cos7x + sin22x = 
5sinx
cos 2x ­ cosx                       15/   sin2x + sin22x + sin23x = 
2

3/2 16/ 3cos4x – 2cos23x =1
17/ sin24 x+ sin23x= cos22x+ cos2x  víi x ∈ (0;π)
π
18/ sin24x ­ cos26x = sin(10,5π +10x ) víi x ∈ (0; )  
2
3 3
19/ 4sin xcos3x + 4cos x sin3x + 3 3 cos4x = 3   
π x
20/ cos4xsinx ­ sin22x = 4sin2( − ) ­  7  víi   x -1  
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản