Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

Phương pháp giải bài toán giới hạn hàm số

Chia sẻ: | Ngày: pdf 13 p | 90

0
563
views

Tham khảo tài liệu 'phương pháp giải bài toán giới hạn hàm số', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Phương pháp giải bài toán giới hạn hàm số
Nội dung Text

  1. Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số Bài 2. Giới hạn của hàm số Phương pháp giải bài tập: Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn: Phương pháp: 1. lim f ( x ) L ( xn ), xn K \ x0 , lim xn lim f ( xn ) x0 L x x0 n n 2. Để chứng minh hàm số f(x) không có giới hạn khi x x0 ta thực hiện: Chọn hai dãy số khác nhau (xn) và (yn) thoã mãn: xn, yn thuộc tập xác định của hàm số và khác x0 lim xn x0 , lim yn x0 n n Chöùng minh lim f xn lim f yn hoaëc moät trong hai giới n n hạn đó không tồn tại Bài tập mẫu: x2 x2 . Dùng định nghĩa chứng minh rằng lim f ( x ) 3 . Bài 1. Cho hàm số y x1 x1 Giải: Hàm số y=f(x) xác định trên R \ 1 . Giả sử (xn) là dãy số bất kì xn 1 và xn 1 2 xn 1 xn xn 2 2 xn lim f ( xn ) lim lim lim xn 2 3 xn 1 xn 1 n n n n neáu x 0 x f (x) . Dùng định nghĩa chứng minh hàm số Bài 2. Cho hàm số y 2 x neáu x 0 y=f(x) không có giới hạn khi x 0 Giải : 1 1 Xeùt daõy xn 0 0 n n 1 lim f ( xn ) lim 0 (1) n n n 1 Xeùt daõy xn khi n ; xn 0 n 1 lim f ( xn ) lim 2 2 (2) n n n Vaäy vôùi (1) vaø (2) haøm soá khoâng coù giôùi haïn khi x 0 BÀI TẬP ÁP DỤNG: Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 1
  2. Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số Bài 1. Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau : x2 9 1 a) lim 6 b) lim 3 3x 3 x2 1 x x x3 x3 1 c) lim 4 d ) lim 2 x 53 x x1 x Bài 2. neáu x 0 x2 1. Cho hàm số f ( x ) . x 2 1 neáu x 0 a. Vẽ đồ thị hàm số f(x). Từ đó dự đoán về giới hạn của f(x) khi x 0 . b. Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên. 1 2. Cho hàm số f ( x ) sin 2 . Chứng minh hàm số không có giới hạn khi x 0 . x Bài 3. a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx không có giới hạn khi x b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a) ; a . Dùng Bài 4. Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) cùng xác định trên khoảng định nghĩa chứng minh rằng, nếu lim f ( x ) L vaø lim g( x ) M thì lim f ( x )g( x ) L .M x x x Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức Phương pháp: Đề tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ta thực hiện: 1. Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì lim f ( x ) f x0 x x0 2. Áp dụng định lý 1 và các quy tắc về giới hạn Bài tập mẫu: Bài 1. Tính các giới hạn của các hàm số sau: x1 a)lim 2 x 2 1 b) lim 3 x 3x x1 3x x1 2 c) lim d ) lim 1 1x 2 4 x4x x x2 4 e)lim 2 2x 2 x Giải: Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 2
  3. Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số a)lim 2 x 2 1 211 31 x1 x1 31 1 b) lim x3 33 3 3 x 3x 2 c)Ta coù: lim 3 x 1 0 vaø lim x 4 0 neân lim 2 4 4 x x x4 4 x x2 1 d ) lim 1 1x x x40 2 e)lim 0 x 2 2x 24 Bài tập áp dụng: Bài 1. Tìm giới hạn hàm số sau: a) lim 2 x 2 x4 b) lim 4 x 2 x1 2 x x 2 2 x 3 15 x2 c)lim d )lim x2 x3 2 3 3 x x x2 Đáp số: a) 14 4x2 x1 b) lim 4 x x1 lim 2 4x2 x1 x x 11 c) d) 4 Bài 2. Tìm giới hạn hàm số sau: x 2 3x 6 a) y f ( x ) khi x 3 x1 b) y f (x) 4x2 2x 5 khi x c) y f ( x ) 3x 6x 1 khi x 2 15 x d) y f (x) khi x 2 2 x 15 x d) y f (x) khi x 2 2 x Đáp số: a) 3 b) c) d) e) Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 3
  4. Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số 0 Dạng 3. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định 0 Phương pháp: 0 u( x ) : lim khi lim u( x ) lim u( x ) 0 1. Nhận dạng vô định 0 x x 0 v( x ) x x0 x x0 2. Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước ( x x 0 ) A( x ) u( x ) A( x ) A( x ) lim lim lim vaø tính lim x xo v( x ) x xo ( x x 0 ) B ( x ) x xo B ( x ) x xo B ( x ) 3. Nếu u(x) và v(x) có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đó phân tích chúng thành tích để giản ước. Bài tập mẫu: x2 x Bài 1. Tính giới hạn sau: lim x1x 1 Giải : xx 1 x2 x lim lim lim x 1 x1 x1 x1 x1 x1 4 x2 lim Bài 2. Tính giới hạn sau: x73 2 x Giải: 2x2x x73 4 x2 lim lim x2 x73 2 2 x x lim 2x x73 4.6 24 2 x Bài tập áp dụng: Bài 1. Tìm các giới hạn của hàm số sau: 3 1x 1 x2 2x 3 x2 x 1 x3 a) lim 2 b) lim c) lim x1 x x 1 2x x1 x0 x1 x 3 5x 2 3x 1 x3 2x 4 d ) lim e)lim 2 x 4 8x 2 9 x 2x x1 x1 Đáp số: 4 1 a) b) 3 c)2 d) e) 5 3 5 Bài 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau: Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 4
  5. Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số 4 x2 x5 x4 x42 a) lim b) lim c)lim x5 x73 5 x 2 5 2 x x x x2 4 1x 1x x2 x 3 d )lim e) lim f )lim x 4x 1 3 3x 2 2 23 5 5 x x x Đáp số: 1 9 1 a) 24 b) 2 5 c) d) e) 16 f) 3 8 6 Bài 3. Tính giới hạn của hàm số sau: x3 3 x1 a) lim b) lim x x1 x 13 0 x 1x 1x x9 x 16 7 x2 x2 c) lim d ) lim x x2 x 0 0 x x x7 5 x2 21 x 8x 3 3 e) lim f )lim x1 x x1 0 x 5 x 3 x2 7 x1 2 g)lim h) lim x2 1 x1 3 0 x1 x Đáp số: 1 7 7 11 5 3 a) b) 3 c) 1 d) e) f) g) h) 24 12 12 12 23 22 0 Dạng 4: Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác ( dạng vô định ) 0 Phương pháp: Vận dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm số lượng giác thành dạng có thể sử dụng định lí: sin x sin u( x ) u( x ) lim 1 hoaëc lim u( x ) 0 lim 1; lim 1 u ( x ) 0 u( x ) u ( x ) 0 sin u( x ) x x0 x0 Bài 1. Tính các giới hạn của hàm số sau: tan x sin x 1 sin 2 x cos2 x 1 cos2 2 x a)lim b) lim c) lim x 0 1 sin 2 x cos2 x x sin x 3 x x0 x0 sin3 x 1 cos5 x cos 7 x cos12 x cos10 x d )lim e)lim f )lim x 0 1 2 cos x x 0 cos8 x cos6 x sin 2 11x x0 Đáp số: 1 37 11 a) b) 1 c)4 d) 3 e) f) 2 121 7 Bài 2. Tính các giới hạn sau: Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 5
  6. Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số 2 x 3 2x a)lim cot x b)lim sin 2 x tan x 1 0 x1 x 98 1 cos3 x cos5 x cos 7 x c)lim tan 2 x tan d )lim x 4 83 sin 2 7 x 0 0 x x sin sin x cos4 x sin 4 x 1 e) lim f )lim x 0 0 x2 1 1 x x 2x 1 3 x2 1 cos x 3 cos x g)lim h)lim sin x sin 2 x x1 x0 Đáp số: 7 1 1 a)0 b) c) d )1 e) 4 f )1 g)1 h) 12 2 12 Dạng 5: Dạng vô định Phương Pháp: 1. Nhận biết dạng vô định u( x ) lim khi lim u( x ) , lim v( x ) x x 0 v( x ) x x0 x x0 u( x ) lim khi lim u( x ) , lim v( x ) v( x ) x x x0 x x0 2. Chia tử và mẫu cho x n với n là số mũ cao nhất của biến x ( Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử x n rồi giản ước) 3. Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn ( Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. Bài tập mẫu: Bài 1. Tính giới hạn sau: 3x 3 5x lim 3 6x x2 x Giải: 5 3 3x 5x 1 3 x2 lim 3 lim 1 2 6x x2 x x 6 x Bài 2. Tính giới hạn sau: Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 6
  7. Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số 4x2 2x 4x2 2x x x x lim 4 x 2 2x lim lim x x x x 4x2 2x 4x2 2x x x 1 1 lim 4 1 x 4 2 x Bài tập áp dụng : Bài 1. Tìm các giới hạn của các hàm số sau: 3x 2 1 5x 3 2 x 3 3x 4 a) lim b) lim x3 x2 1 2x3 1 x 1 x x 7x2 x 5 x2 1 4x2 1 x4 c) lim d ) lim 2x 3 3 x 13 x x 1 3 x 2 3x x2 x1 e) lim f ) lim 2x 3 1 4x2 1 x 1 x x x 3x 2 2 Đáp số: 1 a) 2 b) 0 c) d) 2 x 2 3x x2 khi x : lim =4 4x2 1 x 1 x e) x 2 3x 2 x2 khi x : lim =- 3 4x2 1 x 1 x 1 f) 5 Bài 2. Tính các giới hạn sau: 5 x2 1 1 2x 1 2 x 3x 3 a) lim b) lim x3 9 x3 x7 x x 2x 3 4x 1 9x x1 4x2 2x 1 x2 c) lim d ) lim x1 4x2 1 2 x x x 7x2 x 5 2x 3 x4 x2 e) lim f ) lim 3 x 13 3 x1 x3 x x Đáp số: Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 7
  8. Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số a)3 b) 32 c)5 khi x ; 1 khi x d )1 khi x ; 1 khi x 1 1 e) khi x ; khi x 3 3 f )1 khi x ; 1 khi x ;0. Dạng 6. Dạng vô định Phương pháp: 1. Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp 2. Nếu biều thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức. 3. Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay 0 ;0. hoặc chuyển về dạng vô định ; dạng vô định 0 Bài tập 1: Tìm các giớí hạn của hàm số sau: 11 a) lim 1 b) lim 4x2 2x x 1 x 0x x x x c) lim 2 x 3 4x2 4x 3 d ) lim x 3 1 1 2 x x x1 3 e) lim x2 2x 1 7x 3 f ) lim x2 1 x3 1 x2 x x Đáp số: 1 a) 1 b) c) khi x : ÑS : 4 ; khi x : ÑS : d )0 4 5 5 e)khi x : ÑS : ; khi x : ÑS : f) 0 2 2 Bài tập 2. Tìm các giớí hạn của hàm số sau: a) lim x2 1 b) lim x 2 8x 3 4x 3 x2 x2 x x x 3 c) lim d ) lim x3 x2 x2 x x x x x x x Đáp số: Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 8
  9. Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số 1 1 a) khi x ; khi x ; b)2 khi x ; 2 khi x 2 2 3 3 c) lim lim x3 x2 x2 x3 x2 x2 x x x x x x 1 1 5 x2 x lim 3 2 6 2 x2 x x x x 3 x3 x3 x2 x2 x2 3 1 1 x x x d ) lim lim lim x x x x x x x 1 1 x x x x 1 1 x xx 1 1 11 2 Dạng 7: Giới hạn kẹp Phương pháp: h( x ) f ( x ) g( x ), x K \ x0 , x0 K và lim h( x ) lim g( x ) lim f ( x ) L L x x0 x x0 x x0 Bài tập mẫu: x 2 sin 2 x 3 cos2 x Bài 1. Tính giới hạn : lim 3x 2 6 x Giài: Ta nhaän thaáy: -2 sin 2 x 3 cos2 x 2 x2 2 x 2 sin 2 x 3 cos2 x x2 2 Vaäy 3x 2 6 3x 2 6 3x 2 6 2 12 x2 x2 1 2 2 x Maø lim 2 lim 2 lim 63 3x 6 3x 6 x x x 3 x2 x 2 sin 2 x 3 cos2 x 1 Vaäy lim 3 3x 2 6 x 1 Bài 2. Tìm lim x 2 sin x x0 Giải: Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 9
  10. Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số 1 Ta nhaän thaáy : x 2 sin x2 x2 x lim lim x 2 0 x2 0 0 x x 1 Vaäy lim x 2 sin 0 x 0 x Bài tập áp dụng: Bài tập1. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 2 x sin 2 x 5cos2 x 1 a) lim b)lim x 2cos x x2 3 0 x x x1 x c) lim cos x1 x x x Đáp số: a) 0 b) 0 c) 0 Bài tập 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau: x 2 5cos x x sin x a) lim b) lim 2 x1 2x 1 3 x x sin 2 x 2cos2 x c) lim x2 x 1 x Đáp số: a) 0 b) 0 c)0 Dạng 8: Giới hạn một bên Phương pháp: lim f ( x ) L xn , x0 xn b, lim x n lim f ( x n ) x0 L n n x x0 lim f ( x ) xn , a x0 , lim xn lim f ( xn ) L xn x0 L n n x x0 lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) L L x x0 x x0 x x0 Bài tập mẫu: Bài 1. a) Cho hàm số x 2 2 x 3 neáu x 3 f (x) 1 neáu x =3 3-2x neáu x 3 2 Tính lim f ( x ) ; lim f ( x ) ; lim f ( x ) 3 x 3 3 x x b) Cho hàm số f ( x ) 1 2 x 6 . Tính lim f ( x ); lim f ( x ); lim f ( x ) 3 x 3 3 x x Giải: Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 10
  11. Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số a) * lim f ( x ) lim 3 2 x 2 3 2.32 15 3 3 x x * lim f ( x ) lim x 2 2 x 3 33 2.3 3 6 3 3 x x * lim f ( x ) lim f ( x ) neân haøm soá khoâng coù giôùi haïn khi x 3 3 3 x x 2x 6 neáu x 3 2 x 5 neáu x 3 b) Ta coù: 2 x 6 neân f ( x ) 2 x 6 neáu x 3 2 x 7 neáu x 3 * lim f ( x ) lim 2 x 5 2.3 5 1 3 3 x x * lim f ( x ) lim 2 x 5 2.3 7 1 3 3 x x * lim f ( x ) lim f ( x ) 1 lim f ( x ) 1 3 x 3 3 x x Bài 2. Cho hàm số: 1 3 neáu x 13 f (x) x 1 x3 1 mx 2 neáu x 3 Tìm giá trị của m để hàm số f(x) có giới hạn khi x 1. Tính giôùi haïn ñoù Giải: 1 3 x x2 2 * lim f ( x ) lim lim x1x 1 x3 1 3 x1 x1 x1 x1x2 x2 lim lim 1 x2 x 1 x 1 x2 x1 x1 x1 * lim f ( x ) lim mx 2 m2 x1 x1 Haøm soá f(x) coù giôùi haïn thì lim f ( x ) lim f ( x ) 1m2 1 m x1 x1 * khi ñoù lim f ( x ) 1 x1 Bài tập áp dụng: Bài tập 1. x2 x2 neáu x 1 a) Cho hàm số f ( x ) x1 x x1 neáu x 1 2 Tính lim f ( x ); lim f ( x ); lim f ( x ) 1 x 1 1 x x 5x b) Cho hàm số f ( x ) . Tính lim f ( x ); lim f ( x );lim f ( x ) x5 x5 x5 x5 Đáp số: a) 3 Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 11
  12. Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số b) lim f ( x ) 1 ; lim f ( x ) 1 5 5 x x x3 1 neáu x 1 Bài tập 2. Cho hàm số f ( x ) . Với giá trị nào của m thì hàm số x1 mx 2 neáu x 1 f(x) có giới hạn x 1 Đáp số: m=1 Bài tập 3. Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn tại x=1 1 2 vôùi x 1 f (x) x1x 1 2 mx 5 vôùi x 1 Đáp số: m = -3 Bài tập 4. Tìm giá trị của a để hàm số sau có giới hạn tại x=0 sin x vôùi x 0 f (x) 3 x a vôùi x 0 Đáp số: a = 0 Bài tập 5. Cho khoảng K, x0 K và hàm số f(x) xác định trên K \ x0 Chứng minh rằng nếu lim f ( x ) thì luôn tồn tại ít nhât một số c thuộc K \ x0 x x0 sao cho f(c)>0. Hướng dẫn: Vì lim f ( x ) neân vôùi daõy soá xn baát lyø, xn K \ x0 vaø xn x0 ta x x0 luoân coù lim f ( xn ) . n Töø ñònh nghóa suy ra f ( xn ) coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Neáu soá döông naøy laø 1 thì f ( xn ) 1 keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Noùi caùch khaùc, luoân toøn taïi ít nhaát moät soá xk K \ x0 sao cho f ( xk ) 1. Ñaët c xk , ta coù f (c) 0 Bài tập 6. Cho hàm số y=f(x) xác định trên a; . Chứng minh rằng nếu lim f ( x ) thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc a; sao cho f(c)<0. x Hướng dẫn: Vì lim f ( x ) neân vôùi daõy soá xn baát lyø, xn a vaø xn ta x luoân coù lim f ( xn ) . n Do ñoù lim f ( xn ) n Töø ñònh nghóa suy ra f ( xn ) coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 12
  13. Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số Neáu soá döông naøy laø 2 thì -f ( xn ) 2 keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Noùi caùch khaùc, luoân toàn taïi ít nhaát moät soá xk a; sao cho -f ( xk ) 2 hay f ( xk ) 20 Ñaët c xk , ta coù f (c) 0 Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 13

Có Thể Bạn Muốn Download

Đồng bộ tài khoản