Phương pháp giải bài toán giới hạn hàm số

Chia sẻ: catmeo9x

Tham khảo tài liệu 'phương pháp giải bài toán giới hạn hàm số', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Phương pháp giải bài toán giới hạn hàm số

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số


Bài 2. Giới hạn của hàm số
Phương pháp giải bài tập:

Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn:
Phương pháp:
1. lim f ( x ) L ( xn ), xn K \ x0 , lim xn lim f ( xn )
x0 L
x x0 n n

2. Để chứng minh hàm số f(x) không có giới hạn khi x x0 ta thực hiện:
Chọn hai dãy số khác nhau (xn) và (yn) thoã mãn: xn, yn thuộc tập xác
định của hàm số và khác x0
lim xn x0 , lim yn x0
n n

Chöùng minh lim f xn lim f yn hoaëc moät trong hai giới
n n
hạn đó không tồn tại


Bài tập mẫu:
x2 x2
. Dùng định nghĩa chứng minh rằng lim f ( x ) 3 .
Bài 1. Cho hàm số y
x1 x1

Giải:
Hàm số y=f(x) xác định trên R \ 1 . Giả sử (xn) là dãy số bất kì xn 1 và xn 1
2 xn 1
xn
xn 2
2
xn
lim f ( xn ) lim lim lim xn 2 3
xn 1 xn 1
n n n n


neáu x 0
x
f (x) . Dùng định nghĩa chứng minh hàm số
Bài 2. Cho hàm số y
2 x neáu x 0
y=f(x) không có giới hạn khi x 0
Giải :
1 1
Xeùt daõy xn 0 0
n n
1
lim f ( xn ) lim 0 (1)
n
n n

1
Xeùt daõy xn khi n ; xn 0
n
1
lim f ( xn ) lim 2 2 (2)
n
n n


Vaäy vôùi (1) vaø (2) haøm soá khoâng coù giôùi haïn khi x 0
BÀI TẬP ÁP DỤNG:


Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 1
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

Bài 1. Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau :
x2 9 1
a) lim 6 b) lim
3
3x 3
x2 1
x x


x3 x3 1
c) lim 4 d ) lim 2
x 53 x x1
x

Bài 2.
neáu x 0
x2
1. Cho hàm số f ( x ) .
x 2 1 neáu x 0
a. Vẽ đồ thị hàm số f(x). Từ đó dự đoán về giới hạn của f(x) khi x 0 .
b. Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên.
1
2. Cho hàm số f ( x ) sin 2 . Chứng minh hàm số không có giới hạn khi x 0 .
x
Bài 3.
a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx không có giới hạn khi x
b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a)
; a . Dùng
Bài 4. Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) cùng xác định trên khoảng
định nghĩa chứng minh rằng, nếu
lim f ( x ) L vaø lim g( x ) M thì lim f ( x )g( x ) L .M
x x x




Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức
Phương pháp: Đề tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ta thực
hiện:
1. Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì lim f ( x ) f x0
x x0

2. Áp dụng định lý 1 và các quy tắc về giới hạn



Bài tập mẫu:
Bài 1. Tính các giới hạn của các hàm số sau:
x1
a)lim 2 x 2 1 b) lim
3
x 3x
x1

3x x1
2
c) lim d ) lim
1
1x
2
4
x4x x


x2 4
e)lim
2 2x 2
x

Giải:




Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 2
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số


a)lim 2 x 2 1 211 31
x1

x1 31 1
b) lim
x3 33 3
3
x

3x
2
c)Ta coù: lim 3 x 1 0 vaø lim x 4 0 neân lim 2
4 4
x x
x4
4
x


x2 1
d ) lim
1
1x
x

x40
2
e)lim 0
x 2 2x 24
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tìm giới hạn hàm số sau:
a) lim 2 x 2 x4 b) lim 4 x 2 x1
2
x x

2 2 x 3 15
x2
c)lim d )lim
x2
x3 2
3 3
x x
x2
Đáp số:
a) 14
4x2 x1
b) lim 4 x x1 lim
2

4x2 x1
x x


11
c) d)
4
Bài 2. Tìm giới hạn hàm số sau:
x 2 3x 6
a) y f ( x ) khi x 3
x1
b) y f (x) 4x2 2x 5 khi x
c) y f ( x ) 3x 6x 1 khi x
2


15
x
d) y f (x) khi x 2
2
x
15
x
d) y f (x) khi x 2
2
x
Đáp số:
a) 3 b) c) d) e)




Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 3
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số



0
Dạng 3. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định
0
Phương pháp:
0 u( x )
: lim khi lim u( x ) lim u( x ) 0
1. Nhận dạng vô định
0 x x 0 v( x ) x x0 x x0

2. Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước
( x x 0 ) A( x )
u( x ) A( x ) A( x )
lim lim lim vaø tính lim
x xo v( x ) x xo ( x x 0 ) B ( x ) x xo B ( x ) x xo B ( x )

3. Nếu u(x) và v(x) có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu
với biểu thức liên hiệp, sau đó phân tích chúng thành tích để
giản ước.

Bài tập mẫu:
x2 x
Bài 1. Tính giới hạn sau: lim
x1x 1

Giải :
xx 1
x2 x
lim lim lim x 1
x1 x1
x1 x1 x1

4 x2
lim
Bài 2. Tính giới hạn sau:
x73
2
x

Giải:
2x2x x73
4 x2
lim lim
x2
x73
2 2
x x



lim 2x x73 4.6 24
2
x

Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tìm các giới hạn của hàm số sau:
3
1x 1
x2 2x 3 x2 x 1
x3
a) lim 2 b) lim c) lim
x1
x
x 1 2x x1 x0 x1

x 3 5x 2 3x 1 x3 2x 4
d ) lim e)lim 2
x 4 8x 2 9 x 2x
x1 x1

Đáp số:
4 1
a) b) 3 c)2 d) e) 5
3 5
Bài 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau:




Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 4
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số


4 x2 x5 x4 x42
a) lim b) lim c)lim
x5
x73 5
x
2 5 2
x x x


x2 4 1x 1x
x2
x 3
d )lim e) lim f )lim
x
4x 1 3 3x 2 2
23
5 5
x x x

Đáp số:
1 9 1
a) 24 b) 2 5 c) d) e) 16 f)
3 8 6
Bài 3. Tính giới hạn của hàm số sau:
x3 3 x1
a) lim b) lim
x x1
x 13
0
x


1x 1x x9 x 16 7
x2 x2
c) lim d ) lim
x
x2 x
0 0
x x


x7 5 x2 21 x 8x
3 3
e) lim f )lim
x1 x
x1 0
x


5 x 3 x2 7 x1 2
g)lim h) lim
x2 1 x1
3
0 x1
x

Đáp số:
1 7 7 11 5 3
a) b) 3 c) 1 d) e) f) g) h)
24 12 12 12
23 22


0
Dạng 4: Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác ( dạng vô định )
0
Phương pháp: Vận dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm số
lượng giác thành dạng có thể sử dụng định lí:
sin x sin u( x ) u( x )
lim 1 hoaëc lim u( x ) 0 lim 1; lim 1
u ( x ) 0 u( x ) u ( x ) 0 sin u( x )
x
x0 x0




Bài 1. Tính các giới hạn của hàm số sau:
tan x sin x 1 sin 2 x cos2 x 1 cos2 2 x
a)lim b) lim c) lim
x 0 1 sin 2 x cos2 x x sin x
3
x
x0 x0

sin3 x 1 cos5 x cos 7 x cos12 x cos10 x
d )lim e)lim f )lim
x 0 1 2 cos x x 0 cos8 x cos6 x
sin 2 11x
x0

Đáp số:
1 37 11
a) b) 1 c)4 d) 3 e) f)
2 121 7
Bài 2. Tính các giới hạn sau:



Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 5
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số


2 x 3 2x
a)lim cot x b)lim
sin 2 x tan x 1
0 x1
x


98 1 cos3 x cos5 x cos 7 x
c)lim tan 2 x tan d )lim
x
4 83 sin 2 7 x
0 0
x x


sin sin x
cos4 x sin 4 x 1
e) lim f )lim
x
0 0
x2 1 1
x x


2x 1 3 x2 1 cos x 3 cos x
g)lim h)lim
sin x sin 2 x
x1 x0

Đáp số:
7 1 1
a)0 b) c) d )1 e) 4 f )1 g)1 h)
12 2 12


Dạng 5: Dạng vô định
Phương Pháp:
1. Nhận biết dạng vô định

u( x )
lim khi lim u( x ) , lim v( x )
x x 0 v( x ) x x0 x x0

u( x )
lim khi lim u( x ) , lim v( x )
v( x )
x x x0 x x0

2. Chia tử và mẫu cho x n với n là số mũ cao nhất của biến x ( Hoặc
phân tích thành tích chứa nhân tử x n rồi giản ước)
3. Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài
dấu căn ( Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó
chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.


Bài tập mẫu:
Bài 1. Tính giới hạn sau:
3x 3 5x
lim 3
6x x2
x

Giải:
5
3
3x 5x 1
3
x2
lim 3 lim
1 2
6x x2 x
x
6
x
Bài 2. Tính giới hạn sau:



Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 6
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số


4x2 2x 4x2 2x
x x x
lim 4 x 2 2x lim lim
x
x x x
4x2 2x 4x2 2x
x x

1 1
lim
4
1
x
4 2
x

Bài tập áp dụng :
Bài 1. Tìm các giới hạn của các hàm số sau:
3x 2 1 5x 3
2 x 3 3x 4
a) lim b) lim
x3 x2 1 2x3 1 x 1
x x



7x2 x 5 x2 1 4x2 1
x4
c) lim d ) lim
2x 3
3 x 13
x x


1
3
x 2 3x
x2 x1
e) lim f ) lim
2x 3
1
4x2 1 x 1
x x

x 3x 2
2

Đáp số:
1
a) 2 b) 0 c) d)
2
x 2 3x
x2
khi x : lim =4
4x2 1 x 1
x
e)
x 2 3x 2
x2
khi x : lim =-
3
4x2 1 x 1
x


1
f)
5
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
5
x2 1 1 2x
1 2 x 3x 3
a) lim b) lim
x3 9 x3
x7
x x


2x 3 4x 1 9x x1 4x2 2x 1
x2
c) lim d ) lim
x1
4x2 1 2 x
x x


7x2 x 5 2x 3
x4 x2
e) lim f ) lim
3 x 13 3
x1
x3
x x


Đáp số:




Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 7
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

a)3 b) 32 c)5 khi x ; 1 khi x
d )1 khi x ; 1 khi x
1 1
e) khi x ; khi x
3 3
f )1 khi x ; 1 khi x

;0.
Dạng 6. Dạng vô định
Phương pháp:
1. Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với
biểu thức liên hợp
2. Nếu biều thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa
về cùng một biểu thức.
3. Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay
0
;0. hoặc chuyển về dạng vô định ;
dạng vô định
0

Bài tập 1: Tìm các giớí hạn của hàm số sau:
11
a) lim 1 b) lim 4x2 2x
x
1
x 0x x x


x
c) lim 2 x 3 4x2 4x 3 d ) lim x 3 1
1
2
x
x x1


3
e) lim x2 2x 1 7x 3 f ) lim x2 1 x3 1
x2
x x

Đáp số:
1
a) 1 b) c) khi x : ÑS : 4 ; khi x : ÑS : d )0
4
5 5
e)khi x : ÑS :
; khi x : ÑS : f) 0
2 2
Bài tập 2. Tìm các giớí hạn của hàm số sau:
a) lim x2 1 b) lim x 2 8x 3 4x 3
x2 x2
x
x x

3
c) lim d ) lim
x3 x2 x2 x x x x x
x x

Đáp số:




Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 8
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

1 1
a) khi x ; khi x ; b)2 khi x ; 2 khi x
2 2
3 3
c) lim lim
x3 x2 x2 x3 x2 x2
x x x x
x x



1 1 5
x2 x
lim
3 2 6
2
x2
x
x x
x 3 x3
x3 x2 x2 x2
3



1
1
x x x
d ) lim lim lim
x x x x
x x x
1 1
x x x x 1 1
x xx
1 1
11 2


Dạng 7: Giới hạn kẹp
Phương pháp: h( x ) f ( x ) g( x ), x K \ x0 , x0 K
và lim h( x ) lim g( x ) lim f ( x )
L L
x x0 x x0 x x0




Bài tập mẫu:
x 2 sin 2 x 3 cos2 x
Bài 1. Tính giới hạn : lim
3x 2 6
x

Giài:
Ta nhaän thaáy: -2 sin 2 x 3 cos2 x 2
x2 2 x 2 sin 2 x 3 cos2 x
x2 2
Vaäy
3x 2 6 3x 2 6
3x 2 6
2
12
x2 x2 1
2 2
x
Maø lim 2 lim 2 lim
63
3x 6 3x 6
x x x
3
x2
x 2 sin 2 x 3 cos2 x 1
Vaäy lim
3
3x 2 6
x

1
Bài 2. Tìm lim x 2 sin
x
x0

Giải:




Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 9
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

1
Ta nhaän thaáy : x 2 sin
x2 x2
x
lim lim x 2 0
x2
0 0
x x

1
Vaäy lim x 2 sin 0
x
0
x

Bài tập áp dụng:
Bài tập1. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
2 x sin 2 x 5cos2 x 1
a) lim b)lim x 2cos
x
x2 3 0
x x


x1 x
c) lim cos x1 x
x
x

Đáp số:
a) 0 b) 0 c) 0
Bài tập 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
x 2 5cos x x sin x
a) lim b) lim 2
x1 2x 1
3
x x

sin 2 x 2cos2 x
c) lim
x2 x 1
x

Đáp số:
a) 0 b) 0 c)0


Dạng 8: Giới hạn một bên
Phương pháp:
lim f ( x ) L xn , x0 xn b, lim x n lim f ( x n )
x0 L
n n
x x0

lim f ( x ) xn , a x0 , lim xn lim f ( xn )
L xn x0 L
n n
x x0

lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x )
L L
x x0
x x0 x x0




Bài tập mẫu:
Bài 1.
a) Cho hàm số
x 2 2 x 3 neáu x 3
f (x) 1 neáu x =3
3-2x neáu x 3
2


Tính lim f ( x ) ; lim f ( x ) ; lim f ( x )
3
x
3 3
x x

b) Cho hàm số f ( x ) 1 2 x 6 . Tính lim f ( x ); lim f ( x ); lim f ( x )
3
x
3 3
x x
Giải:


Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 10
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số


a) * lim f ( x ) lim 3 2 x 2 3 2.32 15
3 3
x x

* lim f ( x ) lim x 2 2 x 3 33 2.3 3 6
3 3
x x

* lim f ( x ) lim f ( x ) neân haøm soá khoâng coù giôùi haïn khi x 3
3 3
x x

2x 6 neáu x 3 2 x 5 neáu x 3
b) Ta coù: 2 x 6 neân f ( x )
2 x 6 neáu x 3 2 x 7 neáu x 3
* lim f ( x ) lim 2 x 5 2.3 5 1
3 3
x x

* lim f ( x ) lim 2 x 5 2.3 7 1
3 3
x x

* lim f ( x ) lim f ( x ) 1 lim f ( x ) 1
3
x
3 3
x x


Bài 2. Cho hàm số:
1 3
neáu x 13
f (x)
x 1 x3 1
mx 2 neáu x 3
Tìm giá trị của m để hàm số f(x) có giới hạn khi x 1. Tính giôùi haïn ñoù
Giải:
1 3 x x2
2
* lim f ( x ) lim lim
x1x 1 x3 1
3
x1 x1 x1


x1x2 x2
lim lim 1
x2 x 1
x 1 x2 x1
x1 x1


* lim f ( x ) lim mx 2 m2
x1 x1

Haøm soá f(x) coù giôùi haïn thì lim f ( x ) lim f ( x ) 1m2 1
m
x1 x1

* khi ñoù lim f ( x ) 1
x1

Bài tập áp dụng:

Bài tập 1.
x2
x2
neáu x 1
a) Cho hàm số f ( x ) x1
x x1 neáu x 1
2


Tính lim f ( x ); lim f ( x ); lim f ( x )
1
x
1 1
x x

5x
b) Cho hàm số f ( x ) . Tính lim f ( x ); lim f ( x );lim f ( x )
x5 x5
x5 x5

Đáp số:
a) 3



Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 11
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

b) lim f ( x ) 1 ; lim f ( x ) 1
5 5
x x

x3 1
neáu x 1
Bài tập 2. Cho hàm số f ( x ) . Với giá trị nào của m thì hàm số
x1
mx 2 neáu x 1
f(x) có giới hạn x 1
Đáp số: m=1
Bài tập 3. Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn tại x=1
1 2
vôùi x 1
f (x) x1x 1 2

mx 5 vôùi x 1
Đáp số: m = -3
Bài tập 4. Tìm giá trị của a để hàm số sau có giới hạn tại x=0
sin x vôùi x 0
f (x)
3 x a vôùi x 0
Đáp số: a = 0
Bài tập 5. Cho khoảng K, x0 K và hàm số f(x) xác định trên K \ x0
Chứng minh rằng nếu lim f ( x ) thì luôn tồn tại ít nhât một số c thuộc K \ x0
x x0

sao cho f(c)>0.
Hướng dẫn:
Vì lim f ( x ) neân vôùi daõy soá xn baát lyø, xn K \ x0 vaø xn x0 ta
x x0

luoân coù lim f ( xn ) .
n

Töø ñònh nghóa suy ra f ( xn ) coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät
soá haïng naøo ñoù trôû ñi.
Neáu soá döông naøy laø 1 thì f ( xn ) 1 keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi.
Noùi caùch khaùc, luoân toøn taïi ít nhaát moät soá xk K \ x0 sao cho f ( xk ) 1.
Ñaët c xk , ta coù f (c) 0
Bài tập 6. Cho hàm số y=f(x) xác định trên a; . Chứng minh rằng nếu
lim f ( x ) thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc a; sao cho f(c)
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản