Phương pháp giải bài toán hình học không gian trong các kì thi đại học

Chia sẻ: snailssmall5

Tham khảo tài liệu 'phương pháp giải bài toán hình học không gian trong các kì thi đại học', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Phương pháp giải bài toán hình học không gian trong các kì thi đại học

Chuyên luy n thi i h c
PHƯƠNG PHÁP GI I CÁC BÀI T P HÌNH
KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TS H
Biên so n: GV Nguy n Trung Kiên 0988844088

Trong kỳ thi TS H bài toán hình không gian luôn là d ng bài t p gây khó khăn cho h c
sinh. Nguyên nhân cơ b n là do h c sinh chưa bi t phân bi t rõ ràng d ng bài t p la
ch n công c , phương pháp gi i cho phù h p. Bài vi t này s giúp h c sinh gi i quy t
nh ng vư ng m c ó.

Ph n 1: Nh ng v n c n n m ch c khi tính toán
- Trong tam giác vuông ABC (vuông t i A) ư ng cao AH thì ta luôn có:



A




C
B
H


1 1 1
= =
b=ctanB, c=btanC; 2 2
AC 2
AH AB
b2 + c2 − a2
Trong tam giác thư ng ABC ta có: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A; cos A = . Tương
-
2bc
t ta có h th c cho c ng b, c và góc B, C:
1 1 1
- S ∆ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B
2 2 2
1
- V(kh i chóp)= B.h (B là di n t ích áy, h là chi u cao)
3
- V(kh i lăng tr )=B.h
1
- V(chóp S(ABCD)= (S(ABCD).dt(ABCD))
3
- Tính ch t phân giác trong AD c a tam giác ABC: AB.DC = AC.DB
- Tâm ư ng tròn ngo i ti p là giao i m 3 trung tr c. Tâm vòng tròn n i ti p là giao i m
3 phân giác trong c a tam giác.
Phương pháp xác nh ư ng cao các lo i kh i chóp:
- Lo i 1: Kh i chóp có 1 c nh góc vuông v i áy ó chính là chi u cao.
- Lo i 2: Kh i chóp có 1 m t bên vuông góc v i áy thì ư ng cao chính là ư ng k t
m t bên n giao tuy n.
- Lo i 3: Kh i chóp có 2 m t k nhau cùng vuông góc v i áy thì ư ng cao chính là giao
tuy n c a 2 m t k nhau ó.


1
- Lo i 4: Kh i chóp có các c nh bên b ng nhau ho c các c nh bên cùng t o v i áy 1 góc
b ng nhau thì chân ư ng cao chính là tâm vòng tròn ngo i ti p áy.
- Lo i 5: Kh i chóp có các m t bên u t o v i áy 1 góc b ng nhau thì chân ư ng cao
chính là tâm vòng tròn n i ti p áy.
S d ng các gi thi t m :
- Hình chóp có 2 m t bên k nhau cùng t o v i áy góc α thì chân ư ng cao h t nh
s rơi vào ư ng phân giác góc t o b i 2 c nh n m trên m t áy c a 2 m t bên (Ví d :
Hình chóp SABCD có m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng t o v i áy góc α thì chân
ư ng cao h t nh S thu c phân giác góc BAC)
- Hình chóp có 2 c nh bên b ng nhau ho c hai c nh bên u t o v i áy m t góc α thì
chân ư ng cao h t nh rơi vào ư ng trung tr c c a o n th ng n i 2 nh c a 2 c nh
c nh n m trên m t áy c a 2 m t bên mà hai nh ó không thu c giao tuy n c a 2 m t
bên. (Ví d : Hình chóp SABCD có SB=SC ho c SB và SC cùng t o v i áy m t góc α
thì chân ư ng cao h t S rơi vào ư ng trung tr c c a BC)
Vi c xác nh ư c chân ư ng cao cũng là y u t quan tr ng tìm góc t o b i ư ng
th ng và m t ph ng ho c góc t o b i 2 m t ph ng.

Ví d : Cho kh i chóp SABCD có m t bên SAD vuông góc (ABCD), góc t o b i SC và (ABCD)
là 600, góc t o b i (SCD) và (ABCD) là 450, áy là hình thang cân có 2 c nh áy là a, 2a; c nh
bên b ng a. G i P,Q l n lư t là trung i m c a SD,BC.Tìm góc t o b i PQ và m t ph ng
(ABCD).Tính V kh i chóp?
Rõ ràng ây là kh i chóp thu c d ng 2. T ó ta d dàng tìm ư c ư ng cao và xác nh các
góc như sau:
- K SH vuông góc v i AD thì SH là ư ng
cao(SC,(ABCD))= SCH ;( SM , ( ABCD )) = HMS ) , v i M là chân ư ng cao k t H lên
ˆ ˆ
CD
- T P h PK vuông góc v i AD ta có ( PQ, ( ABCD )) = PQK ˆ


S




P




K
A D
H
M
B Q C
Ph n 3: Các bài toán v tính th tích


2
A. Tính th tích tr c ti p b ng cách tìm ư ng cao:
Câu 1) (TS H A 2009) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A và D.,
có AB=AD=2a; CD=a. Góc gi a 2 m t ph ng (SCB) và (ABCD) b ng 600. G i I là trung i m
AD bi t 2 m t ph ng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc v i (ABCD). Tính th tích kh i chóp
SABCD?
HD gi i: Vì 2 m t ph ng (SBC) và (SBI) cùng vuông góc v i (ABCD) mà (SBI) và (SCI) có
giao tuy n là SI nên SI là ư ng cao. K IH vuông góc v i BC ta có góc t o b i m t ph ng
(SBC) và (ABCD) là SHI = 600 . T ó ta tính ư c:
ˆ
1
IC = a 2; IB = BC = a 5; S ( ABCD ) = AD ( AB + CD ) = 3a 2
2
a 2 3a 2
1
IH .BC = S ( IBC ) = S ( ABCD) − S ( ABI ) − S (CDI ) = 3a 2 − a 2 − = nên
2 2 2
3 15 3
2 S ( IBC ) 3 3
IH = = a.
a . T ó V(SABCD)=
5
BC 5

S




D
A I



C
H
B




ng ABCA’B’C’ có áy ABC là tam giác vuông t i B,
Câu 2) (TS H D 2009) Cho lăng tr
AB=a; AA =2a; A C=3a. G i M là trung i m c a o n A’C’, I là trung i m c a AM và A’C’.
’ ’

Tính V chóp IABC theo a?
HD gi i:
- ABC A’B’C’ là lăng tr ng nên các m t bên u vuông góc v i áy.
Vì I ∈ (ACC ) ⊥ (ABC), t I ta k IH ⊥ AC thì IH là ư ng cao và I chính là tr ng tâm tam giác


IH CI 2 4a
= = ⇒ IH =
AA’C’ ⇒
AA′ CA′ 3 3
Có AC = A′C 2 − AA′2 = 9a 2 = 4a 2 = a 5 ⇒ BC = AC − AB 2 = 2a
2




3
1 1 4a 1 4
V(IABC)= IH .dt ( ABC ) = . . .2a.a = a 3 ( vtt)
3 332 9



B’ M C’



A’
I




C
B

H
A


B. Tính th tích b ng cách s d ng công th c t s th tích ho c phân chia kh i a di n
thành các kh i a di n ơn gi n hơn
Khi g p các bài toán mà vi c tính toán g p khó khăn thì ta ph i t ìm cách phân chia kh i a di n
ó thành các kh i chóp ơn gi n hơn mà có th tính tr c ti p th tích c a nó ho c s d ng công
th c tính t s th tích tìm th tích kh i a di n c n tính thông qua 1 kh i a di n trung gian
ơn gi n hơn.
Các em h c sinh c n n m v ng các công th c sau:
V ( SA′B′C ′) SA′.SB′.SC ′
= (1) Công th c này ch ư c dung cho kh i chóp tam giác
V ( SABC ) SA.SB.SC


S

C’
A’
C
B’



A
B




4
Câu 1) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình thoi c nh a, BAD = 600 , SA vuông góc v i
ˆ
áy(ABCD), SA=a. G i C là trung i m SC, m t ph ng (P) i qua AC song song v i BD c t các
c nh SB, SD c a hình chóp t i B’, D’. Tính th tích kh i chóp
HD gi i:
G i O là giao 2 ư ng chéo ta suy ra AC’ và SO c t nhau t i tr ng tâm I c a tam giác SAC. T
I thu c m t ph ng (P)(SDB) k ư ng th ng song song v i BD c t SB, SD t i B’, D’ là 2 giao
i m c n tìm.
SC ′ 1 SD′ SB′ SI 2
=; = = =
Ta có:
SC 2 SD SB SO 3
V ( SAB′C ′D′) V ( SAB′C ′) SA.SB′.SC ′ 1
= = =
D th y V( SAB′C ′D′) = 2V( SAB′C ′) ;V( SAB′C ′) = 2V( SABC ) ⇒
V ( ABCD) V ( SABC ) SA.SB.SC 3
1 1 ˆ1 3 3
Ta có V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD) = SA. AD. AB.sinDAB = a.a.a. = a3
3 3 3 2 6
33
V( SAB′C ′D′) = a ( vtt)
18

S




C’
D’
B’


A D

O

B C
Câu 2) (D b A 2007)
Cho hình chóp SABCD là hình ch nh t AB=a, AD=2a, c ng SA vuông góc v i áy, c nh SB
a3
h p v i áy m t góc 600. Trên c nh SA l y M sao cho AM= . M t ph ng BCM c t DS t i
3
N. Tính th tích kh i chóp SBCMN.
HD gi i:
T M k ư ng th ng song song v i AD c t SD t i N là giao i m c n tìm, góc t o b i SB và
(ABCD) là SBA = 600 . Ta có SA=SBtan600=a 3 .
ˆ




5
3 23 SM SN 2
ó suy ra SM=SA-AM= a 3 − a =a = =

T
3 3 SA SD 3
D th y V( SABCD ) = V( SABC ) + V( SACD ) = 2V( SABC ) = 2V( SACD )
V( SBCMN ) = V( SMBC ) + V( SMCN )
V ( SMBCN ) V ( SMBC ) + V ( SMCN ) V ( SMCN ) V ( SMCN ) 1.SM .SB.SC 1.SM .SC.SN
= = + = +

V ( SABCD) V ( SABCD) 2V ( SABC ) 2V ( SACD) 2.SA.SB.SC 2.SA.SC.SD
125
=+=
399
1 1 233 10 3 3
Mà V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD ) = a 3a .2a = a ⇒ V( SMBCN ) = a
3 3 3 27

S




N
M




A D



B C
Ph n 4: Các bài toán v kho ng cách trong không gian
A. Kho ng cách t 1 i m n 1 m t ph ng
V b n ch t khi tìm kho ng cách t 1 i m n 1 m t ph ng ta tìm hình chi u vuông góc c a
i m ó lên m t ph ng. Tuy nhiên 1 s trư ng h p tìm hình chi u tr nên vô cùng khó khăn, khi
ó vi c s d ng công th c tính th tích tr nên r t hi u qu .
1 3V
Ta có V(kh i chóp)= B.h ⇒ h =
3 B
Câu 1) Cho hình chóp SABC có góc t o b i 2 m t ph ng (SBC) và (ABC) là 600, ABC,SBC là
các tam giác u c nh a. Tính kho ng cách t nh B n mp(SAC).( d b kh i A 2007)
HD:
Cách 1: Coi B là nh kh i chóp BSAC t gi thi t ta suy ra BS=BA=BC=a. G i O là chân
ư ng cao h t B xu ng mp(SAC). O chính là tâm vòng tròn ngo i ti p tam giác SAC. G i M là




6
trung i m BC ta có SM ⊥ BC ; AM ⊥ BC . Nên góc t o b i (SBC) và (ABC) là
a3
SMA = 600 ⇒ SM = AM = AS=
ˆ .
2
Bây gi ta tìm v trí tâm vòng ngo i ti p tam giác SAC.
Tam giác SAC cân t i C nên tâm vòng tròn ngo i ti p n m trên trung tr c c a SA và CN (N là
trung di m c a SA). K trung tr c c a SC c t trung tr c c a SA t i O là i m c n tìm
2
 SA  3a 2
SC − 
2
a2 −

2
NC 16 = 13
cos SNC = = =
SC SC a 4
SC
4a 2
2a 3a
2
⇒ OC = = ; BO = BC 2 − OC 2 = a 2 − = .
ˆ 13
cos SCN 13 13

S




N

P

O

A
C

M

B

3
1 2a
AM .MS .sin 600 = a 3
Cách 2: V( SABCD ) = 2V( SABM ) = 2 BM .dt ( SAM ) = dt ( SAC )
16
3 3.2
39a 2
1 1 13 3 3V ( SABC ) 3a
a= ⇒ d ( B, ( SAC ) = =
CN .AS= . a.
=
2 24 2 16 dt ( SAC ) 13
Câu 2) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình thang ABC = BAD = 900 , BA=BC=2a,
ˆ
ˆ
AD=2a. C nh bên SA vuông góc v i áy và SA= a 2 , g i H là hình chi u c a A lên SB. Ch ng
minh tam giác SCD vuông và tính theo a kho ng cách t H n mp(SCD) (TS H D 2007)
HD gi i: Ta có AC = a 2; SD = SA2 + AD 2 = a 6; SC = SA2 + AC 2 = 2a . Ta cũng d dàng
tính ư c CD = a 2 . Ta có SD 2 = SC 2 + CD 2 nên tam giác SCD vuông t i C.




7
1 1 1 AB.AS a.a 2 2
= + ⇒ AH = = =a
2 2 2
AB2 + AS2 a 2 + 2a 2
AH AB AS 3
2
a
2 SH 3 =2
⇒ SH = SA − AH = =
a⇒
2 2

SB a 3 3
3

1. AB.( BC + AD) 1 a2
dt ( BCD) = dt ( ABCD) − dt ( ABD) = − AB. AD = ;
2 2 2
1
dt ( SCD ) =SC.CD = a 2 2
2
1.a 2.a 2
V ( SHCD ) SH .SC.SD 2 1 23
= = ;V ( SBCD ) = SA.dt ( BCD ) = = a
V ( SBCD ) SB.SC.SD 3 3 3.2 6
23 3V ( SHCD) 23 1 a
V ( SHCD ) = a .Ta có d ( H /( SCD)) = = =
a .3 2
dt ( SCD) 9 a23
9

S




H


A D




B
C
B. Kho ng cách gi a 2 ư ng th ng chéo nhau trong không gian
Khi tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng chéo nhau a và b trong không gian ta tìm o n vuông
góc chung c a 2 ư ng th ng ó, N u vi c t ìm o n vuông góc chung g p khó khăn thì ta ti n
hành theo phương pháp sau:
- D ng (tìm) m t ph ng trung gian (P) ch a a song song v i b sau ó tính kho ng cách t 1
i m b t kỳ trên b n mp(P) ho c ngư c l i d ng mp(P) ch a b song song v i a sau ó tính
kho ng cách t 1 i m a n (P).
- Khi tính kho ng cách t 1 i m n m t ph ng ta có th v n d ng 1 trong 2 phương pháp ã
trình bày m c A.




8
ng ABCA’B’C’ có áy ABC là tam giác vuông AB=BC=a, c nh bên
Câu 1) Cho lăng tr
AA′ = a 2 . G i M là trung i m c a BC. Tính theo a th tích kh i lăng tr ABCA′B′C ′ và
kho ng cách gi a 2 ư ng th ng AM, B’C.(TS H D2008)
2
HD gi i: V ( ABCA′B′C ′) = S .h = a3 . G i N là trung i m c a BB’ ta có B’C song song v i
2
mp(AMN). T ó ta có: d ( B′C , AM ) = d ( B′, ( AMN )) = d ( B, ( AMN )) vì N là trung i m c a BB’.
G i H là hình chi u vuông góc c a B lên (AMN), vì t di n BAMN là t di n vuông t i B nên ta
1 1 1 1 a
= + + ⇒ BH = chính là kho ng cách gi a AM và B’C.
có 2 2 2 2
BH BA BN BM 7
B’

A’
C’
N


B H
M

K
A C

(Chú ý:1) Trong bài toán này ta ã d ng m t ph ng trung gian là mp(AMN) t n d ng i u
ki n B’C song song v i (AMN). T i sao không tìm m t ph ng ch a B’C các em h c sinh t suy
nghĩ i u này
Chú ý 2) N u m t ph ng (P) i qua trung i m M c a o n AB thì kho ng cách t A n (P)
cũng b ng kho ng cách t B n (P))
Câu 2) Cho hình chóp t giác u SABCD có áy là hình vuông c nh a. G i E là i m i x ng
c a D qua trung i m c a SA, M là trung i m c a AE, N là trung i m c a BC. Ch ng minh
MN vuông góc v i BD và tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng MN và AC.(TS H B 2007)
HD gi i: G i P là trung i m c a SA, ta có t giác MPNC là hình bình hành.
Nên MN// PC. T ó suy ra MN//(SAC). M t khác BD ⊥ mp(SAC) nên BD ⊥ PC ⇒ BD ⊥ MN .
1 1 1
Ta có: d(MN, AC)=d(N,(SAC))= d ( B, ( SAC )) = BD = a 2
2 4 2




9
S

E



M P



D
A




B
C
N
( Vi c chuy n tính kho ng cách t N n (SAC) sang tính kho ng cách t B n (SAC) giúp
ta ơn gi n hoá bài toán i r t nhi u. Các em h c sinh c n nghiên c u k d ng toán này
v n d ng)
Chú ý 2) N u m t ph ng (P) i qua trung i m M c a o n AB thì kho ng cách t A n (P)
cũng b ng kho ng cách t B n (P))
Ph n 5: Các bài toán tính góc gi a 2 ư ng th ng chéo nhau trong không gian.
Khi c n tính góc gi a 2 ư ng th ng chéo nhau a và b trong không gian ta ph i tìm 1 ư ng
th ng trung gian là c song song v i a và c c t b. Khi ó góc t o b i a và b cũng chính là góc
t o b i b và c. Ho c ta d ng liên ti p 2 ư ng th ng c và d c t nhau l n lư t song song v i a
và b. Sau ó ta tính góc gi a c và d theo nh lý hàm s côsin ho c theo h th c lư ng trong
tam giác vuông.
Câu 1) Cho lăng tr ng ABCA’B’C’ có dài c nh bên b ng 2a , áy ABC là tam giác vuông
t i A. AB = a , AC = a và hình chi u vuông góc c a A’ lên mp (ABC) là trung i m c a c nh
BC , Tính theo a th tích kh i chóp A’ABC và tính côsin góc t o b i AA’ và B’C’ . (TS H
A2008)
HD gi i :G i H là trung i m c a BC. Suy ra A’H ⊥ (ABC) và
1 12
AH = BC = a + 3a 2 = a Do ó A’H = A ' A2 − AH 2 = a 3.
2 2
a3
1
V(A’ABC) = A’H.dt (ABC) = Trong tam giác vuông A’B’H ta có
2
3
HB’= A ' B 2 + A ' H 2 = 2a nên tam giác B’BH cân t i B’. t α là góc t o b i AA’ và B’C’ thì
a 1
α = B ' BH ⇒ cos α = =
ˆ
2.2a 4
(Trong Bài toán này ta ã chuy n tính góc t o b i AA’ và B’C’ sang tính góc t o b i hai ư ng
th ng l n lư t song song v i AA’ và B’C’ là BB’và BC )
Tel 0988844088


10
A’
C’



B’




C
A
H
B
B

Câu 2:Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình vuông c nh 2a , SA = a, SB = a 3 mp
(SAB) vuông góc v i m t ph ng áy . G i M,N l n lư t là trung i m c a các c nh AB,BC.
Tính theo a th tích kh i chóp SBMDN và tính cosin góc t o b i SM và DN.
Hd gi i: T S h SH vuông góc AB thì SH vuông góc v i mp (ABCD). SH cũng chính là ư ng
cao kh i chóp SBMDN . Ta có SA2 + SB2 = 4a2 = AB2 ⇒ ∆SAB vuông t i
a3
AB
= a ⇒ ∆SAM là tam giác u ⇒ SH =
S ⇒ SM =
2
2
3a3
1
D th y dt(BMDN)=1/2dt(ABCD)=2a2 . Do ó V(SBMDN)= SH .dt ( BMDN ) =
3 3
a
K ME song song v i DN ( E thu c AD) suy ra AE = gi s
2
(SM,DN)= α ⇒ α = ( SM , ME ). Ta có SA vuông góc v i AD ( nh lý 3 ư ng vuông góc ) suy
a5 a5
ra SA ⊥ AE ⇒ SE = SA2 + AE 2 = , ME = AM 2 + ME 2 = Tam giác SME cân t i E
2 2
SM
5
nên cos α = 2 =
ME 5




11
S




A E
H
D
M




B N
C



M T S BÀI T P
Câu 1) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc v i hình
chóp. Cho AB=a, SA= a 2 . G i H và K l n lư t là hình chi u c a A lên SB, SD. Ch ng minh
SC ⊥ (AHK) và tính th tích hình chóp OAHK.
Câu 2) Cho lăng tr ng ABCA1B1C1 có t t c các c nh u b ng a. M là trung i m c a o n
AA1. Ch ng minh BM ⊥ B1C và tính d(BM,B1C)
ng ABCA1B1C1 có AB=a, AC=2a, AA1=2a 5 và BAC = 1200 . G i M là
ˆ
Câu 3) Cho lăng tr
trung i m c a c nh CC1. Ch ng minh MB ⊥ MA1 và tính kho ng cách t C t i mp(A1BM).
Câu 4) Cho lăng tr ng ABCA1B1C1 có áy ABC là tam giác vuông AB=AC=a, AA1=a 2 .
G i M, N l n lư t là trung i m c a o n AA1 và BC1. Ch ng minh MN là ư ng vuông góc
chung c a các ư ng th ng AA1 và BC1. Tính VMA1BC1 .
Câu 5) Cho t di n u ABCD có c nh b ng a. G i O là tâm ư ng tròn ngo i ti p tam giác
BCD. G i M là trung i m c a CD. Tính góc gi a AC và BM.
Câu 6) Cho hình chóp SABC có áy ABC là tam giác vuông t i A, BC=a,
a3
.Tính kho ng cách t S n (ABC) Tính góc t o b i ư ng th ng SA và
SA=SB=SC=
2
mp(ABC)
ng ABCA’B’C’ có áy ABC là tam giác u c nh a, AA’=a. Tính
Câu 7) Cho kh i lăng tr
góc t o b i mp(ABC’) và mp(BCA’)
Câu 8) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là n a l c giác u n i ti p ư ng tròn ư ng
kính AB=2a, SA=a 3 và vuông góc v i mp(ABCD)
Tính góc t o b i mp(SAD) và mp(SBC)
Tính góc t o b i mp(SBC) và mp(SCD).



12
Câu 9) Cho hình lăng tr ABCA’B’C’có áy ABC là tam giác u tâm O. Hình chi u vuông góc
c a C’ trên (ABC) trùng v i O .Bi t kho ng cách t O n CC’ là a .Góc t o b i 2 m t ph ng
(AA’C’C) và (BB’C’C) là 1200. Ch ng minh ABB’A’ là hình ch nh t. Tính th tích lăng tr và
góc t o b i m t bên (BCB’C’) và áy (ABC).
Câu 10) Cho t di n ABCD, có áy là tam giác cân ABC và DA vuông góc v i (ABC)
6
AB=AC=a, BC= a . G i M là trung i m c a BC. V AH vuông góc v i MD (H thu c MD)
5
a) Ch ng minh r ng AH vuông góc v i m t ph ng (BCD)
4
b) Cho AD= a . Tính góc gi a hai ư ng th ng AC và DM
5
c) G i G1 và G2 l n lư t là tr ng tâm c a tam giác ABC và tam giác DBC. Ch ng minh
r ng G1G2 vuông góc v i m t ph ng (ABC)
Câu 11) Cho hình chóp SABC có 2 m t ph ng (SAB) và (SBC) vuông góc v i nhau và SA
vuông góc v i m t ph ng (ABC), SB = a 2 ; BSC = 45 0 , ASB = α
ˆ ˆ
a) Ch ng minh r ng BC vuông góc v i SB
b) Tìm giá tr c a α 2 m t ph ng (SCA) và (SCB) t o v i nhau góc 60 0
Câu 12) Cho hình vuông ABCD. G i S là i m t rong không gian sao cho SAB là tam giác u
và (SAB) vuông góc v i (ABCD)
a) Ch ng minh r ng (SAB) vuông góc v i (SAD) và (SAB) vuông góc v i (SBC)
b) Tính góc t o b i 2 m t ph ng (SAD) và (SBC)
c) G i H,I l n lư t là trung i m c a AB, BC. Ch ng minh r ng m t ph ng (SHC) vuông
góc v i m t ph ng (SDI)
Câu 13) Cho cho hình lăng tr u ABCA'B'C' có c nh áy b ng a, Chi u cao b ng h. i m M
MA 5
=.
thu c AB’ sao cho
MB' 4
a) Tính góc t o b i AC và BC’
b) M t ph ng (P) i qua M song song v i các ư ng th ng A’C và BC’ c t ư ng th ng
DC
CC’ t i D. Tính t s
DC '

Câu 14) Cho cho hình lăng tr tam giác u ABCA'B'C' có t t c các c nh b ng a. G i C 1 là
trung i m c a CC’.
Tính góc t o b i C1 B và A’B’ và góc t o b i 2 m t ph ng ( C1 AB) và )(ABC)

Câu 15) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i
(ABCD) và SA=a. Tính
a) Tính kho ng cách t S n (ECD) trong ó E là trung i m c a SA
b) Tính kho ng cách gi a AC và SD
Câu 16) Cho hình h p ng ABCDA’B’C’D’ có áy là hình thoi c nh a, A = 60 0 , A’C t o v i
ˆ
0
(ABCD) góc 60
a) Tính ư ng cao hình h p
b) Tìm ư ng vuông góc chung c a A’C và BB’.Tính dài o n vuông góc chung
Câu 18) Cho hình chóp SABCD có áy là hình thoi ABCD có A=1200 , BD=a, c nh bên SA
vuông góc v i áy , Góc t o b i (SBC) và (ABCD) là 600.Tính


13
a) ư ng cao k t S
b) Kho ng cách gi a hai ư ng th ng AC và SD; BC và SD
Câu 19) Cho hình chóp u SABCD có các c nh b ng a. G i M,N là trung i m c a SA, SC.
Bi t BM t o v i ND góc 600. Tính th tích kh i chóp
Câu 20) Cho hình chóp u SABCD có các c nh b ng a áy tâm O. G i M, N là trung i m c a
SA, BC. Bi t góc t o b i MN và (ABCD) là 600
a) Tính MN, SO
b) Tính góc t o b i MN và m t ph ng (SAO)
c) Tính th tích kh i chóp SABCD
Câu 21) Cho hình l p phương ABCDA’B’C’D’ c nh a. Tính góc t o b i (BA’C) và (DA’C).
Câu 22) Cho lăng tr tam giác ABCA’B’C’ có hình chi u vuông góc c a nh A’ lên m t ph ng
(ABC) trùng v i tâm vòng tròn ngo i t i p tam giác ABC . Bi t tam giác ABC là tam giác cân t i
ˆ
A và ABC = 1200,AB = a; Góc t o b i m t ph ng (A’BC) và (ABC) b ng 600 . Tính th tích
kh i lăng tr ABCA’B’C’ và kho ng cách t A lên m t ph ng (A’BC).
Câu 23) Cho lăng tr tam giác ABCA’B’C’ có áy ABC là tam giác vuông t i A,AB = a ; AC =
a 3 các c nh A’A,A’B,A’C u h p v i áy các góc b ng nhau .Góc t o b i m t ph ng
(A’AC) và áy `1(ABC) b ng 600
a) Tính th tích kh i lăng tr ABCA’B’C’
b) Trên A’C’ l y i m M sao cho M là trung i m c a A’C’ ư ng th ng A’C’ c t AM
t i I . Tính th tích kh i chóp IABC.
c) G i O là trung i m AM tính kho ng cách t O n m t ph ng (A’BC)
d) Tìm tâm bán kính m t c u ngo i ti p kh i chóp A’ABC.
Câu 24) Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông c nh a . C nh SA vuông góc v i áy ,
góc t o b i m t ph ng (SBD) và áy là 600. G i M là trung i m SA ,N là trunh i m c a SD .
Tính th tích kh i chóp SABCD và cosin góc t o b i BM và AN.
Câu 25) Cho kh i chóp SABCD có SA = x và các c nh còn l i u b ng 1 . Tính th tích VSABCD
c a kh i chóp và tìm x VSABCD l n nh t .
Câu 26) Cho t di n DABC .Bi t tam giác ABC vuông t i A, AB = a, BC = 2a .Các m t (DAB)
và (DAC) cùng h p v i (ABC) góc α ,m t bên (DBC) vuông góc v i (ABC)
a) Tính th tích kh i t di n theo a và α .
2a 3 3
b) Xác nh góc α khi bi t VABCD= .
9
Câu 27) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình bình hành ,m t mp( α ) qua AB c t SC,
SM
( α ) chia hình chóp thành hai ph n có th tích b ng nhau.
SD t i M,N. Tính
SC
Câu 28) Cho hình chóp t giác u SABCD có t t c các c nh u b ng a. G i M và P l n lư t
là trung i m c a SA và SC, m t ph ng (DMP) c t SB t i N .Tính th tích kh i chóp SDMNP.
SM 1 SN
=, = 2.
Câu 29) Trên các c nh SA,SB c a t di n SABC l y các i m M,N sao cho
MA 2 NB
M t m t ph ng ( α ) i qua MN và song song v i SC chia t di n thành 2 ph n . Tính t s th
tích hai ph n ó.
ˆ
Câu 30) Cho hình chóp SABC có ABC là tam giác vuông t i A và ABC = 600. Bi t các m t
bên hình chóp cùng h p v i m t áy góc 30 và di n tích xung quanh c a hình chóp b ng a2.
0

a) Tính th tích c a kh i chóp SABC theo a
b) Tính kho ng cách t nh C n m t bên (SAB) theo a .


14
Câu 31) Cho kh i lăng tr tam giác ABC.A’B’C’ có áy ABC là tam giác u c nh a , c nh bên
AA’h p v i m t áy góc 600 . Hình chi u c a A’ lên mp(ABC) trùng v i tr ng tâm G c a tam
giác ABC . Tính th tích c a kh i lăng tr ã cho .
Câu 32) Cho kh i lăng tr ABC.A’B’C’ có áy ABC là tam giác u . Bi t A’A = AB = a . Tính
th tích kh i lăng tr bi t các m t bên (A’AB) và (A’AC) cùng h p v i m t áy (ABC) m t góc
600.
Câu 33) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A, hai áy là AD =
2a , BC = a. Bi t AB = a , SA = a và SA ⊥ (ABCD).
a) Tính th tích c a kh ichóp SACD.
b) Tính th tích c a kh i chóp SBCD và kho ng cách d(B; (SCD))
Câu 34) Cho kh i chóp SABC có áy ABC là tam giác vuông A,BC = a ,SA = SB = SC = 2a
và ABC = α . G i H là hình chi u c a S trên BC.
ˆ
a) Tính th tích kh i chóp SABC theo a và
b) Tính kho ng cách t B n m t ph ng (SAH).
c) Cho (P) là m t ph ng qua A , tr ng tâm tam giác SBC và song song v i BC chia kh i
chóp SABC thành 2 ph n. Tính th tích m i ph n
Câu 35) Cho kh i chóp DABC có m t (DBC) vuông góc v i áy , các m t bên (DAB) và (DAC)
cùng h p v i áy góc α (α < 900 ) . Tính th t ích c a kh i chóp trong các trư ng h p sau
a) ABC là tam giác vuông t i A có AB = a , AC = 2a ;
b) ABC là tam giác u có c nh b ng a.

M TS BÀI T P CH N L C V HÌNH KHÔNG GIAN
THƯ NG DÙNG TRONG KỲ THI TS H
BIÊN SO N GV NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088
Câu 1) Kh i chóp SABCD có áy là hình bình hành, M là trung i m c a SC. M t ph ng (P) i
qua AM, song song v i BD chia kh i chóp làm 2 ph n. Tính t s th tích hai ph n ó.
Câu 2) Cho hình chóp t giác u SABCD có các c nh b ng a.
a) Tính th tích kh i chóp.
b) Tính kho ng cách t tâm m t áy n các m t c a hình chóp.
Câu 3) Kh i chóp SABCD có áy là hình vuông c nh a. SA ⊥ (ABCD); SA=2a. G i E, F là hình
chi u c a A trên SB và SD. I là giao i m c a SC và (AEF). Tính th tích kh i chóp SAEIF.
Câu 4) Cho lăng tr ng ABCA1B1C1 áy là tam giác u. M t ph ng (A1BC) t o v i áy 1
0
góc 30 và tam giác A1BC có di n t ích b ng 8. Tính th tích kh i lăng tr .
Câu 5) Kh i lăng tr ABCA1B1C1 có áy là tam giác vuông cân, c nh huy n AB= 2 . M t
ph ng (AA1 B) vuông góc v i m t ph ng (ABC), AA1= 3 ; góc A1AB nh n, góc t o b i (A1AC)
và m t ph ng (ABC) b ng 600. Tính th tích kh i lăng tr .
Câu 6) Kh i lăng tr t giác u ABCDA1 B1C1D1 có kho ng cách gi a 2 ư ng th ng AB và
dài ư ng chéo m t bên b ng 5.
A1D b ng 2,
a) H AH ⊥ A1D (K ∈ A1D). ch ng minh r ng AK=2.
b) Tính th tích kh i lăng tr ABCDA1B1C1D1.
Câu 7) Cho hình t di n ABCD có c nh AD vuông góc v i m t ph ng (ABC), AC=AD=4cm;
AB=3cm; BC=5cm. Tính kho ng cách t i m A t i m t ph ng (BCD).




15
dài c nh áy b ng a. G i M, N l n lư t là
Câu 8) Cho hình chóp tam giác u SABC nh S,
trung i m c a các c nh SB và SC. Tính theo a di n tích tam giác AMN, bi t r ng m t ph ng
(AMN) vuông góc v i m t ph ng (SBC).
Câu 9) Cho hình chóp SABC có SA=3a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). Tam giác ABC
có AB=BC=2a, góc ABC=1200. Tính kho ng cách t nh A n m t ph ng (SBC).
Câu 10) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a, tam giác SAB u và n m
trong m t ph ng vuông góc v i áy. Tính góc gi a 2 m t ph ng (SAB) và (SCD).
Câu 11) Cho hình chóp tam giác u SABC có áy ABC là tam giác u c nh a, SA=2a và SA
vuông góc v i m t ph ng (ABC). G i M và N l n lư t là hình chi u vuông góc c a A trên các
ư ng th ng SB và SC
a) Tính kho ng cách t A n m t ph ng (SBC)
b) Tính th tích c a kh i chóp ABCMN.
Câu 12) Hình chóp tam giác SABC có các c nh bên SA=SB=SC=a, góc ASB=1200, góc
BSC=600, góc ASC=900. Ch ng minh r ng tam giác ABC vuông và tính th tích hình chóp
SABC theo a.
Câu 13) Cho hình chóp t giác u SABCD. Kho ng cách t A n m t ph ng (SBC) b ng 2a.
Góc gi a các m t bên và m t áy là α .
a) Tính th tích kh i chóp theo a và α
b) Xác nh α th tích kh i chóp nh nh t.
Câu 14) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình ch nh t v i AB=a, AD= a 2 , SA=a và
SA vuông góc v i m t ph ng (ABCD). G i M và N l n lư t là trung i m c a AD và SC, I là
giao i m c a BM và AC.
a) Ch ng minh r ng m t ph ng (SAC) vuông góc v i m t ph ng (SMB).
b) Tính th tích c a kh i t di n ANIB.
Câu 15) Cho lăng tr ng ABCA’B’C’ có áy ABC là tam giác vuông t i B, AB=a, AA’=2a,
A’C=3a. G i M là trung i m c a o n th ng A’C’, I là giao i m c a AM và A’C
a) Tính theo a th tích kh i t di n IABC
b) Tính kho ng cách t i m A n m t ph ng (IBC)
Câu 16) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A và D, AB=AD=2a,
CD=a, góc gi a 2 m t ph ng (SBC) và (ABCD) b ng 600. G i I là trung i m c a c nh AD. Bi t
2 m t ph ng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD), tính th tích kh i chóp
SABCD theo a.
Câu 17) Cho hình lăng tr tam giác ABCA’B’C’ có BB’=a, góc t o b i BB’ và m t ph ng
(ABC) là 600, tam giác ABC vuông t i C và góc BAC=600. Hình chi u vuông góc c a i m B’
lên m t ph ng (ABC) trùng v i tr ng tâm c a tam giác ABC. Tính th tích kh i t di n A’ABC
theo a.
Câu 18) Trong không gian cho hình chóp tam giác u SABC có SC = a 7 . Góc t o b i (ABC)
và (SAB) =600. Tính th tích kh i chóp SABC theo a.
Câu 19) Trong không gian cho hình chóp SABCD v i ABCD là hình thoi c nh a, góc ABC=600,
a3
SO vuông góc v i áy ( O là tâm m t áy), SO = . M là trung i m c a AD. (P) là m t
2
ph ng qua BM và song song v i SA, c t SC t i K. Tính th tích kh i chóp KABCD.
Câu 20) Cho hình chóp SABC có áy ABC là tam giác u c nh a, c nh bên SA vuông góc v i
a6
áy (ABC). Tính kho ng cách t A n m t ph ng (SBC) theo a bi t SA = .
2


16
Câu 21) Cho hình chóp SABCD có áy là hình ch nh t, AD = a 2 , CD = 2a. C nh SA vuông
góc v i áy và SA = 3 2a. G i K là trung i m AB.
a) Ch ng minh r ng (SAC) vuông góc v i (SDK)
b) Tính th tích kh i chóp CSDK theo a; tính kho ng cách t K n (SDC).
Câu 22) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a. M t ph ng (SAC) vuông
góc v i áy, góc ASC=900, SA t o v i áy 1 góc 600. Tính th tích kh i chóp.
Câu 23) Cho lăng tr ABCA’B’C’ có áy ABC là tam giác u c nh a, hình chi u vuông góc
c a A’ lên m t ph ng (ABC) trùng v i tâm O c a tam giác ABC. M t m t ph ng (P) ch a BC và
a2 3
vuông góc v i AA’ c t lăng tr theo 1 thi t di n có di n tích . Tính th tích kh i lăng tr
8
a
Câu 24) Cho hình chóp SABC có AB=AC=a; BC = ; SA = a 3 ; góc SAB b ng góc SAC và
2
b ng 300. Tính th tích c a kh i chóp theo a.
Câu 25) Cho hình chóp t giác u SABCD c nh áy b ng a. G i G là tr ng tâm tam giác SAC
a3
.
và kho ng cách t G n m t bên (SCD) b ng
6
a) Tính kho ng cách t tâm c a m t áy n m t bên (SCD)
b) Tính th tích c a kh i chopSABCD.
Câu 26) Cho hình chóp SABC có ư ng cao AB=BC=a; AD=2a. áy là tam giác vuông cân t i
B. G i B’ là trung i m c a SB, C’ là chân ư ng cao h t A xu ng SC.Tính th tích kh i chóp
SAB’C’.
Câu 27) Cho lăng tr ng ABCA’B’C’ có áy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, c nh bên
AA’= a 2 . G i M là trung i m c a c nh BC
a) Tính theo a th tích c a kh i lăng tr ABCA’B’C’
b) Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng AM và B’C.

Câu 28) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình vuông c nh 2a; SA=a; SB= a 3 và m t
ph ng (SAB) vuông góc v i m t ph ng áy. M và N l n lư t là trung i m c a c nh AB và BC.
Tính th tích kh i chóp SBMDN và góc gi a (SM;ND).
Câu 29) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình thang, góc BAD b ng góc ABC và b ng
900; AB=BC=a; AD=2a. SA vuông góc v i áy và SA=2a. G i M, N l n lư t là trung i m c a
SA; SD. Tính th tích kh i chóp SABCD và kh i chóp SBCMN.
Câu 30) Cho lăng tr ABCA’B’C’ có dài c nh bên b ng 2a, áy ABC là tam giác vuông t i
A, AB=a; AC= a 3. và hình chi u vuông góc c a A’ trên (ABC) là trung i m c a c nh BC.
Tính theo a th tích kh i chóp A’ABC và cosin c a góc gi a 2 ư ng th ng AA’ và B’C’.
Câu 31) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a, m t bên SAD là tam giác
u và n m trong m t ph ng vuông góc v i áy. G i M, N, P l n lư t là trung i m c a các c nh
SB, BC, CD. Ch ng minh AM vuông góc v i BP và tính th tích kh i t di n CMNP.
ng ABCA1B1C1 có AB=a; AC=2a; AA1= 2a 5 và góc BAC=1200. G i
Câu 32) Cho lăng tr
M là trung i m c a c nh CC1. Ch ng minh r ng MB ⊥ MA1 và tính kho ng cách d t i m A
n m t ph ng (A1MB)
Câu 33) Cho hình chóp SABC có góc gi a 2 m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 600 . Các tam
giác ABC và SBC là các tam giác u c nh a. Tính theo a kho ng cách t nh B n m t ph ng
(SAC).


17
Câu 34) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc v i áy.
Cho AB=a; SA= a 2 . G i H và K l n lư t là hình chi u c a A lên SB; SC. Ch ng minh
SC ⊥ (AHK) và tính th tích kh i chóp OAHK.
Câu 35) Trong m t ph ng (P) cho n a ư ng tròn ư ng kính AB=2R và i m C thu c n a
vòng (SAB;SBC)=600. G i H, K l n lư t là hình chi u c a A trên SB, SC. Ch ng minh tam giác
AHK vuông và tính VSABC
Câu 36) Lăng tr ng ABCA1B1C1 có áy là tam giác vuông AB=AC=a; AA1= a 2 . G i M, N
l n lư t là trung i m c a AA1 và BC1. Ch ng minh r ng MN là o n vuông góc chung c a AA1
và BC1. Tính th tích kh i chóp MA1BC1
Câu 37) Cho lăng tr ng ABCA1B1C1 có t t c các c nh u b ng a. M là trung i m c a o n
AA1. Ch ng minh BM ⊥ B1C và tính d( BM ; B1C )
Câu 38) Cho hình chóp t giác u SABCD có áy là hình vuông c nh a. E là i m i x ng
c a D qua trung i m SA, M là trung i m c a AE, N là trung i m c a BC. Ch ng minh MN
vuông góc v i BD và tính kho ng cách gi a MN và AC theo a.
Câu 39) Cho hình chóp SABCD có áy là hình thang, góc ABC= góc BAD= 900; AD=2a;
BA=BC=a. C nh bên SA vuông góc v i áy và SA= a 2 . G i H là hình chi u vuông góc c a A
trên SB.
a) Ch ng minh r ng tam giác SCD vuông
b) Tính kho ng cách t H n m t ph ng (SCD)
Câu 40) Cho hình chóp SABC mà m i m t bên là 1 tam giác vuông. SA=SB=BS=a. G i M, N,
E l n lư t là trung i m c a các c nh AB, AC, BC. D là i m i x ng c a S qua E, I là giao
i m c a AD và (SMN)
a) Ch ng minh r ng AD vuông góc v i SI
b) Tính theo a th tích kh i t di n MBSI
a3
Câu 41) Cho hình h p ng ABCDA’B’C’D’ có các c nh AB=AD=a; AA’= và góc
2
BAD=600. G i M và N l n lư t là trung i m c a A’D’ và A’B’. Ch ng minh AC’ vuông góc
v i m t ph ng (BDMN) và tính th tích kh i chóp ABDMN.
Câu 42) Hình chóp SABCD có áy ABCD là hình ch nh t v i AB=a, AD=2a, c nh SA vuông
a3
góc v i áy, c nh SB t o v i m t ph ng áy góc 600. Trên c nh SA l y M sao cho AM = ,
3
m t ph ng (BCM) c t SD t i N. Tính th tích kh i chóp SBCNM.
Câu 43) Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình thoi c nh a. Góc BAD=600. SA vuông
góc v i m t ph ng (ABCD), SA=a. G i C’ là trung i m c a SC, m t ph ng (P) i qua AC’ và
song song v i BD, c t các c nh SB, SD c a hình chóp l n lư t t i B’, D’. Tính th tích c a kh i
chóp SAB’C’D’.
Câu 44) Cho lăng tr ABCA’B’C’ có A’ABC là hình chóp tam giác u, c nh áy AB=a, c nh
bên AA’=b. G i α là góc gi a 2 m t ph ng (ABC) và (A’BC). Tính tan α và th tích kh i chóp
A’BB’CC’.
Câu 45) Cho hình chóp t giác u SABCD có c nh áy =a. G i SH là ư ng cao c a hình
chóp. Kho ng cách t trung i m I c a SH n m t ph ng (SBC) b ng b. Tính th tích kh i chóp
SABCD.




18
Câu 46) Cho hình l p phương ABCDA’B’C’D’ có c nh =a và i m K thu c c nh CC’ sao
2a
. M t ph ng α i qua A, K và song song v i BD chia kh i l p phương thành 2
cho: CK =
3
kh i a di n. Tính th tích c a 2 kh i a di n ó.
Câu 47) Cho 1 hình tr tròn xoay và hình vuông ABCD c nh a có 2 nh liên ti p A; B n m trên
ư ng tròn áy th nh t, 2 nh còn l i n m trên ư ng tròn áy th 2 cùa hình tr . M t ph ng
(ABCD)t o v i áy hình tr góc 450. Tính di n tích xung quanh và th tích c a hình tr .
Câu 48) Cho hình nón nh S, áy là ư ng tròn tâm O, SA và SB là 2 ư ng sinh. Bi t SO=3a,
kho ng cách t O n m t ph ng (SAB) b ng a, di n tích tam giác SAB=18a2. Tính th tích và
di n tích xung quanh.
Câu 49) Cho hình tr có 2 áy là 2 hình tròn tâm O và O’. Bán kính áy b ng chi u cao và b ng
a. Trên ư ng tròn áy tâm O l y i m A, trên ư ng tròn áy tâm O’ l y i m B sao cho
AB=2a.
a) Tính di n tích toàn ph n c a hình tr và th tích c a kh i tr
b) Tính th tích t di n OO’AB.
Câu 50) Cho hình chóp c t tam giác u ngo i ti p 1 hình c u bán kính r cho trư c. Tính th tích
kh i chóp c t bi t r ng c nh áy l n g p ôi c nh nh . (Hình chóp ngo i ti p hình c u n u hình
c u ti p xúc v i t t c các m t c a hình chóp).
Câu 51) Cho hình chóp tam giác u SABC có dài c nh bên b ng a. Các m t bên h p v i m t
ph ng áy m t góc α . Tính th tích kh i c u n i t i p hình chóp.
Câu 52) Cho hình chóp SABCD. Hai m t bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc v i m t áy.
áy ABCD là t giác n i ti p trong ư ng tròn tâm O, bán kính R. Xác nh tâm và tính th tích
kh i c u ngo i t i p hình chóp SABCD bi t SA=h.
Câu 53) Hình c u ư ng kính AB=2R. L y H trên AB sao cho AH=x ( 0
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản