Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6

Chia sẻ: Hoang Thuy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

5
1.297
lượt xem
106
download

Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong chương trình toán 6, giải các bài toán chia hết là dạng bài tập mới và tương đối khó đối với học sinh. Cái khó ở đây là tuy lượng kiến thức không nhiều nhưng các bài tập thì lại đa dạng, phong phú.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6

  1. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 A/ TV N : Trong chương trình toán 6, gi i các bài toán chia h t là d ng bài t p m i và tương i khó i v i h c sinh. Cái khó ây là tuy lư ng ki n th c không nhi u nhưng các bài t p thì l i a d ng, phong phú. Là giáo viên tr c ti p gi ng d y toán 6 nhi u năm, tôi nh n th y khi làm các bài t p v chia h t các em thư ng r t lúng túng, nguyên nhân ch y u là do các em chưa bi t v n d ng nh nghĩa hay các tính ch t c a phép chia h t và các ki n th c có liên quan, t ódn n các em ng i làm bài, n u làm bài thì suy lu n thi u chính xác, thi u ch t ch , xét thi u các trư ng h p. Các bài toán v chia h t là nh ng ki n th c r t cơ b n, quan tr ng không ch trong chương trình toán 6 mà c các l p cao hơn. Vi c giúp các em n m ch c ki n th c v chia h t và làm t t các d ng bài t p này s t o cho các em h ng thú h c t p, say mê môn h c và t o i u ki n thu n l i cho các em trong nh ng năm h c ti p theo khi h c các ki n th c có liên quan v i m c cao hơn. V i suy nghĩ trên, tôi ã suy nghĩ, tìm tòi và ch n vi t sáng ki n "Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p 6". Trong chuyên này, tôi ã ti n hành phân lo i các phương pháp gi i bài toán chia h t kèm theo ví d minh h a v i mong mu n h c sinh có ư c nh hư ng t t v cách gi i i v i m i bài toán c th . T ó giúp các em rèn luy n tư duy, kĩ năng gi i toán. 1 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  2. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 B/ N I DUNG: I. KI N TH C C N S D NG: nh nghĩa: 1, Cho a, b ∈ Z; b ≠ 0. Ta nói r ng a chia h t cho b, kí hi u a Μ b khi và ch khi t n t i s nguyên q sao cho ta có: a = b.q 2, M t s tính ch t: Cho a, b, m, n là s nguyên. * N u a Μ b và b Μ a thì a = b ho c a = - b. * N u a Μ b, b Μ c thì a Μ c * N u a Μ m và b Μ n thì a.b Μ m.n * a Μ m <=> an Μ mn ( n ∈ N, n ≠ 0 ) * a.b Μ m và ( a, m) = 1 thì b Μ m * a Μ m và a Μ n ; ( m, n) = 1 thì a Μ m.n * a Μ m , a Μ n , a Μ p và m, n, p ôi m t nguyên t cùng nhau thì a Μ mnp. 3, M t s d u hi u chia h t: Cho N = an an -1 ...a1a0 * N Μ 2 <=> a0 ∈{0, 2, 4, 6, 8} * N Μ 5 <=> a0 ∈{0, 5} T ó N Μ 10 <=> a0 = 0 * N Μ 3 <=> ( an + an -1 + ... + a1 + a0 ) Μ 3 * N Μ 9 <=> ( an + an -1 + ... + a1 + a0 ) Μ 9 * N Μ 4 <=> a1a0 Μ 4 * N Μ 25 <=> a1a0 Μ 25 * N Μ 8 <=> a2a1a0 Μ 8 * N Μ 125 <=> a2a1a0 Μ 125 2 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  3. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 * N Μ 11 khi và ch khi t ng các ch s v trí l tr t ng các ch s v trí ch n chia h t cho 11. 4, Nguyên t c icriclê: Trong b + 1 s t nhiên b t kì bao gi cũng có 2 s chia cho b có cùng s dư. Khi ó hi u hai s này chia h t cho b. II. Các phương pháp gi i bài toán chia h t: *Phương pháp 1: ch ng minh s a chia h t cho s b ≠ 0 ta bi u di n s a dư i d ng m t tích trong ó có m t th a s b ng b. Thí d 1: Cho n ∈ N. Ch ng minh r ng: (3n)100 Μ 81 Gi i Ta có (3n)100 = 3100.n100 = 34. 396. n100 = 81 . (396.n100) Μ 81 Thí d 2: Cho C = 1 + 3 + 32 +...+ 311 Ch ng minh r ng: a, C Μ 13 b, C Μ 40 Gi i a, C = (1+3 + 32) + (33 + 34 + 35) +...+ (39 + 310 + 311) C = (1+3 + 32) + 33(1+3 + 32) +...+ 39(1+3 + 32) C = 13(1 + 33 +... 39) Μ 13 b, C = (1+3 + 32) + (33 + 34 + 35) +...+ (39 + 310 + 311) C = (1+3 + 32+33) + 34(1+3 + 32+33) +38(1+3 + 32+33) C = 40(1+34+38) Μ 40. *Phương pháp 2: 3 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  4. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 ch ng minh a Μ b ( b ≠ 0 ) ta bi u di n s a dư i d ng m t t ng các s h ng và ch ng minh m i s h ng u chia h t cho b. Thí d 3: Ch ng minh r ng t ng c a 3 s l liên ti p thì chia h t cho 3. Gi i G i 3 s l liên ti p là: 2n +1, 2n + 3, 2n + 5 (n ∈ N) T ng c a chúng là a = 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 = 6n + 1 + 3 + 5 = 6n + 9 Vì 6n Μ 3 ; 9 Μ 3 nên a = (6n + 9) Μ 3 *Phương pháp 3: ch ng minh a Μ b (b ≠ 0) ta bi u di n b = m.n + N u (m, n) = 1 thì tìm cách ch ng minh a Μ m và a Μ n. Khi ó a Μ m.n ⇒ a Μ b + N u (m, n) ≠ 1 thì ta bi u di n a = a1.a2 r i ch ng minh a1 Μ m , a2 Μ n ho c a1 Μ n , a2 Μ m Khi ó a1a2 Μ mn hay a Μ b Thí d 4: Ch ng minh r ng tích c a 2 s ch n liên ti p thì chia h t cho 8. Gi i G i 2 s ch n liên ti p là 2n và 2n +2 (n ∈ N) Tích c a chúng là a = 2n.(2n + 2) = 2. n. 2(n+1) = 4. n(n +1) Ta có 4 Μ 4 và n(n +1) Μ 2 (Vì n và n + 1 là 2 s t nhiên liên ti p) V y a = 4n(n + 1) Μ 8 * Phương pháp 4: ch ng minh m t bi u th c ch a ch chia h t cho b ta có th xét m i trư ng h p v s dư c a phép chia ch ó cho b. Thí d 5: 4 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  5. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 Ch ng minh r ng: n(n + 1)(2n + 1) Μ 6 v i m i n ∈ N Gi i t a = n(n + 1)(2n + 1) D th y n(n + 1) là tích c a 2 s t nhiên liên ti p nên n(n + 1) Μ 2 ⇒ a Μ 2 * N u n = 3k (k ∈ N) thì a Μ 3 * N u n = 3k + 1 thì 2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = (6k + 3) Μ 3 ⇒ a Μ 3 * N u n = 3k + 2 thì n + 1 = (3k + 3) Μ 3 V y a = n(n + 1)(2n + 1) Μ 3 v i m i n ∈ N Do 2.3 = 6 và (2,3) = 1 nên a Μ 6 *Phương pháp 5: Có th v n d ng d u hi u chia h t có liên quan n s nguyên t ; s nguyên t cùng nhau. c bi t có th xét ch s t n cùng khi ph i ch ng minh chia h t cho 2; cho 5 hay cho 10. Cho n ∈ N. Ch ng minh r ng: (34n+1 + 7) Μ 10 Thí d 6: Gi i Ta có 34n+1 = 3.34n = 3.(34 )n = 3.81n Vì 81n có t n cùng là 1 nên 3.81n có t n cùng là 3 ⇒ 34n+1 có t n cùng là 3 ⇒ 34n+1 + 7 có t n cùng là 0 V y (34n+1 + 7) Μ 10 * Phương pháp 6: ch ng minh a Μ b ta dùng nguyên t c icriclê. Thí d 7: Cho a, b, c, d là s nguyên. Ch ng minh r ng: S = (c - b)(b - a)(a - c)(d - a)(d - b)(d - c) Μ 12 Gi i S = (c - b)(b - a)(a - c)(d - a)(d - b)(d - c) (1) * Phép chia cho 3 ch nh n 3 s dư khác nhau là 0; 1; 2 mà có 4 s nguyên a, b, c, d nên ch c ch n có hai trong b n s ó chia cho 3 có cùng s dư. Khi ó 5 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  6. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 hi u c a chúng chia h t cho 3. Suy ra có ít nh t m t th a s trong tích (1) chia h t cho 3. Do ó S Μ 3 * Ta ch ng minh S Μ 4 + N u trong 4 s a, b, c, d có hai s ch n, hai s l . Ch ng h n a, b là s ch n và c, d là s l thì khi ó b - a Μ 2; d - c Μ 2 => (b - a)(d -c) Μ 4 => S Μ 4 + N u trong 4 s a, b, c, d có 3 s ch n và m t s l ho c 3 s l và m t s ch n thì khi ó s t n t i hai s chia cho 4 có cùng s dư nên hi u c a chúng chia h t cho 4. Do ó S Μ 4 Vì S Μ 3, S Μ 4 mà (3,4) = 1 ; 3.4 = 12 ⇒ S Μ 12 Thí d 8: Cho 10 s t nhiên b t kì a1, a2, ... a10. Ch ng minh r ng t n t i m t s chia h t cho 10 ho c t ng c a m t s chia h t cho 10. Gi i: Xét 10 s m i như sau: S1 = a1, S2 = a1 + a2, … S10 = a1 + a2 +…+ a10 . L y 10 s S1, S2,..., S10 chia cho 10. - N u có m t s Si Μ 10 (i = 1, 2, ..., 10) thì bài toán ư c ch ng minh. - N u Si không chia h t cho 10 v i m i i, t c là S1, S2, ..., S10 chia cho 10 có các dư là m t trong chín s : 1, 2, ..., 9. Theo nguyên t c Dirichlet có hai s cùng dư khi chia cho 10, gi s Sk và Sl (k > l). Khi ó : Sk - Sl = al+1 + al+2 +...+ ak Μ 10 ( ccm)  Bài toán trên có th phát bi u dư i d ng t ng quát trong n s t nhiên b t kì t n t i m t s t nhiên chia h t cho n ho c t ng c a m t s chia h t cho n. *Phương pháp 7: Phương pháp ch ng minh quy n p. Gi s c n ch ng minh A(n) Μ P (1) v i n = 1, 2, … 6 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  7. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 Ta ch ng minh (1) úng v i n = 1 t c là ch ng minh A(1) Μ P. Gi s (1) úng v i n = k, t c là ta có A(k) Μ P . Ta ch ng minh (1) úng v i n = (k+1), t c là ph i ch ng minh A(k+1) Μ P. Theo nguyên lý quy n p, ta k t lu n (1) úng v i m i n = 1, 2, … Thí d 9: Ch ng minh r ng v i m i s nguyên dương n ta có : 4n + 15n - 1Μ 9 (1) Gi i : V i n = 1 ta có 41 + 15.1-1 = 18 Μ 9 V y (1) úng v i n = 1. Gi s (1) úng v i n = k t c ta có: 4k + 15k – 1 Μ 9 => 4k + 15k-1 = 9m (m∈ Z) => 4k = 9m +1 – 15k. (2) V i n = k +1 ta có. 4k+1 + 15(k+1) – 1 = 4.4k + 15k +14 = 4(9m + 1 -15k) + 15k + 14 (theo (2)) = 36 m – 45k + 18 Μ 9 V y (1) úng v i n = k +1 do ó (1) úng v i m i n = 1; 2; 3… III. Bài t p áp d ng: Bài 1: Ch ng minh r ng tích 3 s ch n liên ti p chia h t cho 48. Gi i G i 3 s ch n liên ti p là 2n, 2n +2, 2n + 4 (n ∈ N) Tích c a 3 s là a = 2n(2n + 2)(2n + 4) = 2.n. 2(n + 1)2(n + 2) = 8.n.(n + 1)(n + 2) Ta th y 8 Μ 8 Ta ch ng minh n.(n + 1)(n + 2) Μ 6 Th t v y: N u n Μ 3 thì n.(n + 1)(n + 2) Μ 3 N u n = 3k + 1 (k ∈ N) thì (n +2) Μ 3 ⇒ n.(n + 1)(n + 2) Μ 3 N u n = 3k + 2 (k ∈ N) thì (n +1) Μ 3 ⇒ n.(n + 1)(n + 2) Μ 3 7 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  8. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 V y n.(n + 1)(n + 2) Μ 3 v i m i n ∈ N. M t khác trong ba s n, n + 1, n + 2 ch c ch n có m t s ch n nên n.(n + 1)(n + 2) Μ 2 mà (2,3) = 1 ; 2.3 = 6 nên n.(n + 1)(n + 2) Μ 6 V y a = 2n(2n + 2)(2n + 4) Μ 48 ( pcm) Bài 2: Ch ng minh r ng i u ki n c n và m t s chia h t cho 17 là t ng c a ba l n s ch c và hai l n ch s hàng ơn v c a s ó chia h t cho 17. Gi i Gi s s N g m a ch c, b ơn v (a, b là ch s , a ≠ 0) Th t v y: M + 17a = (3a + 2b) + 17a M + 17a = 20a + 2b = 2(10a + b) = 2N - N u N Μ 17 thì 2N Μ 17 ⇒ M + 17a Μ 17 ⇒ M Μ 17 - N u M Μ 17 thì M + 17a Μ 17 ⇒ 2N Μ 17 mà 2 Μ 17 => N Μ 17 Bài toán ư c ch ng minh. Bài 3: a, Ch ng minh r ng: trong n s t nhiên liên ti p có m t và ch m t s chia h t cho n (n ≥ 2). b, Ch ng minh r ng: tích c a 5 s t nhiên liên ti p chia h t cho 120. Gi i a, Dùng phương pháp xét s dư ( h c sinh t trình bày) b, Trong 5 s t nhiên liên ti p có m t s chia h t cho 3, m t s chia h t cho 5. V y tích c a 5 s t nhiên liên ti p chia h t cho 3 và 5. Trong 4 s t nhiên liên ti p có m t s chia h t cho 2 và m t s chia h t cho 4 nên tích c a chúng chia h t cho 8. 8 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  9. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 Tích c a 5 s t nhiên liên ti p v a chia h t cho 3 v a chia h t cho 5 , v a chia h t cho 8 mà các s 3, 5, 8 ôi m t nguyên t cùng nhau nên tích này chia h t cho 3.5.8 = 120. V y tích 5 s t nhiên liên ti p chia h t cho 120. Bài 4: a, Cho a Μ 3 (a ∈ Z) Ch ng minh a2 chia cho 3 dư 1. b, Ch ng minh r ng n u a là m t s l không chia h t cho 3 thì a2 - 1 Μ 6 Gi i a, Vì a Μ 3 nên a = 3k + 1 ho c a = 3k + 2 (k ∈ Z) N u a = 3k + 1 thì a2 = (3k + 1)(3k + 1) ⇒ a2 = 3k(3k + 1) + 3k + 1 ⇒ a2 chia cho 3 dư 1 N u a = 3k + 2 thì a2 = (3k + 2)(3k + 2) ⇒ a2 = 3k (3k + 2) + 2( 3k + 2) ⇒ a2 = 3k (3k + 2) + 6k + 4 Vì 3k(3k + 2) Μ 3 6Μ 3 và 4 chia cho 3 dư 1 nên a2 chia cho 3 dư 1 V y n u a Μ 3 thì a2 chia cho 3 dư 1. b, Vì a là s l nên a2 l ⇒ a2 - 1 ch n ⇒ a2 - 1 Μ 2 a là s không chia h t cho 3 nên a2 chia cho 3 dư 1 (ch ng minh ph n a) ⇒ a2 - 1 Μ 3 a2 - 1 Μ 6 Vì 2 và 3 nguyên t cùng nhau ; 2.3 = 6 nên V y n u a là m t s l không chia h t cho 3 thì a2 -1 Μ 6 9 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  10. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 Bài 5: Ch ng minh r ng t n t i m t b i c a 13 g m toàn ch s 2. Gi i Xét 14 s : 2, 22, 222, ... , 2 22...2 14 ch s 2 Trong phép chia cho 13 ch có 13 s dư khác nhau là 0, 1, 2, 3, ..., 12. Có 14 s mà ch có 13 s dư nên t n t i hai s chia cho 13 có cùng s dư. G i hai s ó là : 222...222 ( m ch s 2) và 22 ...222 (n ch s 2) V i 1 ≤ n < m ≤ 14 Hi u c a chúng là 22...200...0 Μ 13 ( m - n ch s 2, n ch s 0) ⇒ 22...2 . 10n Μ 13 nhưng (10n, 13) = 1 nên 22...2 Μ 13 V y t n t i m t b i c a 13 g m toàn ch s 2. Bài 6: Cho A = 4 + 42 + 43 + ... + 424 Ch ng minh r ng: A Μ 20 ; A Μ 21 ; A Μ 240 Gi i A = 4 + 42 + 43 + ... + 424 Ta th y A là t ng các s h ng chia h t cho 4 nên A Μ 4 L i có A = 4(1 + 4) + 43(1 + 4) + ... + 423(1 + 4) = 4 . 5 + 43 . 5 + ... + 423 . 5 = 5( 4 + 43 + ... + 423 ) ⇒AΜ 5 Vì (4,5) = 1 ; 4.5 = 20 nên A Μ 20 *Ta có : A = (4 + 42 + 43) + (44 + 45 + 46) + ...+ (422 + 423 + 424) = 4( 1 + 4 + 42) + 44(1 + 4 + 42) + ... + 422(1 + 4 + 42) = 4.21 + 44 .21 + ... +422.21 = 21.(4 + 44 + ... + 422) ⇒ A Μ 21 10 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  11. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 Vì A Μ 20 ; A Μ 21 mà (20,21) = 1; 20 . 21 = 420; Nên A Μ 420 IV. M t s bài t p t gi i: 1, Ch ng t r ng: các bi u th c sau có giá tr là s nguyên: 102004 + 8 105 + 2 ; 9 3 2, Ch ng minh r ng n u ab + cd Μ 11 thì abcd Μ 11 3, Cho năm s t nhiên b t kì. Ch ng minh r ng ta luôn ch n ư c ba s có t ng chia h t cho 3. 4, Cho ba s nguyên t l n hơn 3. Ch ng minh r ng t n t i hai s có t ng ho c hi u chia h t cho 12. 5, Ch ng minh r ng: a, 10n + 53 Μ 9; b, 4343 - 1717 Μ 10 6, Vi t 6 s t nhiên vào 6 m t c a m t con súc s c. Ch ng minh r ng khi ta gieo súc s c xu ng m t bàn thì trong 5 m t có th nhìn th y bao gi cũng tìm ư c m t hay nhi u m t t ng các s trên ó chia h t cho 5. 7, Cho abc - deg Μ 7 Ch ng minh abcdeg Μ 7 8, Cho M = 2 + 22 + 23 + ... + 260 Ch ng minh r ng M chia h t cho 3, 7, 15. 9, Cho ba s a, b, c tho mãn ng th c: a2 + b2 = c2 Ch ng minh r ng: a, Trong hai s a và b có ít nh t m t s chia h t cho 2 b,Trong hai s a và b có ít nh t m t s chia h t cho 3 c,Trong hai s a và b có ít nh t m t s chia h t cho 4 d,Trong ba s a, b, c có ít nh t m t s chia h t cho 5. e, a.b.c Μ 60 11 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  12. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 10, Cho năm s nguyên a1 , a2, a3, a4, a5. Các s b1, b2, b3, b4, b5 là m t hoán v c a năm s ã cho. Ch ng minh r ng: (a1 - b1)(a2 - b2)(a3 - b3)(a4 - b4)(a5 - b5) chia h t cho 2. 11, Ch ng minh r ng v i m i n ≥ 1 ta có: a, 16n - 15n - 1 Μ 222. b, 33n+3 - 26n - 27Μ 169. c, 62n + 1 + 5 n + 2 Μ 31. C, K T LU N: Các bài toán chia h t chi m m t s lư ng không nh trong chương trình toán b c trung h c cơ s . Vi c xây d ng m t h th ng ki n th c cơ b n, d a vào ó tìm ra các phương pháp gi i các bài toán v chia h t, giúp các em h c sinh - nh t là h c sinh gi i có kĩ năng thành th o, linh ho t, sáng t o khi h c lo i toán này không nh ng là mong mu n c a riêng b n thân tôi mà còn là i u trăn tr c a các bn ng nghi p. Trong khuôn kh và th i gian có h n, trên ây tôi m i ch d ng l i các phương pháp gi i toán chia h t i v i h c sinh l p 6. Các phương pháp ó s ư c m r ng, hoàn thi n khi các em ư c trang b thêm m t s ki n th c l p 7, l p 8 ... khi ó các em s g p và gi i ư c nh ng bài toán khó hơn, ph c t p hơn. Vi t xong sáng ki n này tôi ã th c hi n gi ng d y cho h c sinh l p 6 t i trư ng. Sau khi trang b và hư ng d n các em h c ph n lí thuy t; làm các thí d minh ho tôi th y các em r t h ng thú, không nh ng không ng i mà còn tích c c gi i các bài toán tương t . C th : - 100% các em h c sinh gi i n m v ng lí thuy t, ch n phương pháp gi i các bài t p phù h p. L i gi i vi t chính xác. - Các em h c sinh khá hoàn thành; gi i úng ư c 80% s bài t p. - Các em h c sinh trung bình hi u lí thuy t, gi i ư c các bài t p tương t như ví d . 12 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  13. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 V i suy nghĩ c a m t cá nhân, bài vi t c a tôi ch c còn có thi u sót. R t mong s góp ý c a các b n ng nghi p. Tôi xin chân thành c m ơn.! Núi èo, ngày 12/03/2009. Ngư i vi t Hoàng Th Thu Hương C NG HOÀ XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM c l p - T do - H nh phúc B N CAM K T 1. Tác gi : . 13 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  14. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 H và tên: HOÀNG TH THU HƯƠNG Ngày, tháng, năm sinh: 09/11/1975 ơn v công tác: Trư ng THCS Núi èo Ch c v : Giáo viên i n tho i : Cơ quan 3874449; D : 0982873720 2. S n ph m : Tên s n ph m: Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 3. Cam k t : Tôi xin cam k t sáng ki n kinh nghi m này là s n ph m c a cá nhân tôi. N u có x y ra tranh ch p v quy n s h u i v i m t ph n hay toàn b s n ph m sáng ki n kinh nghi m, tôi hoàn toàn ch u trách nhi m trư c lãnh o ơn v , lãnh o S GD & T v tính trung th c c a b n cam k t này. Núi èo, ngày 12/03/2009. Ngư i vi t cam k t Hoàng Th Thu Hương D, TÀI LI U THAM KH O: 14 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  15. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 STT TÊN TÀI LI U TÁC GI NHÀ XU T B N 1. Nguy n Vĩnh C n Giáo d c TOÁN S H C NÂNG CAO Vũ Dương Thu TOÁN NÂNG CAO 2. Giáo d c VÀ CÁC CHUYÊN TOÁN 6 Nguy n Ng c m Giáo d c (sách BÀI T P NÂNG CAO 3. Bùi văn Tuyên VÀ M T S CHUYÊN TOÁN 6 d thi) 4. Vũ H u Bình Giáo d c NÂNG CAO VÀ PHÁT TRI N TOÁN 6 Nguy n Ng c m 5. Nguy n Quang Hanh i h c Sư ph m 500 BÀI TOÁN CH N LOC 6 Ngô Long H u 15 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản