Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6

Chia sẻ: hatram_123

Trong chương trình toán 6, giải các bài toán chia hết là dạng bài tập mới và tương đối khó đối với học sinh. Cái khó ở đây là tuy lượng kiến thức không nhiều nhưng các bài tập thì lại đa dạng, phong phú.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6

Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6




A/ TV N :
Trong chương trình toán 6, gi i các bài toán chia h t là d ng bài t p m i và
tương i khó i v i h c sinh. Cái khó ây là tuy lư ng ki n th c không nhi u
nhưng các bài t p thì l i a d ng, phong phú.
Là giáo viên tr c ti p gi ng d y toán 6 nhi u năm, tôi nh n th y khi làm các
bài t p v chia h t các em thư ng r t lúng túng, nguyên nhân ch y u là do các em
chưa bi t v n d ng nh nghĩa hay các tính ch t c a phép chia h t và các ki n th c
có liên quan, t ódn n các em ng i làm bài, n u làm bài thì suy lu n thi u
chính xác, thi u ch t ch , xét thi u các trư ng h p.
Các bài toán v chia h t là nh ng ki n th c r t cơ b n, quan tr ng không ch
trong chương trình toán 6 mà c các l p cao hơn. Vi c giúp các em n m ch c
ki n th c v chia h t và làm t t các d ng bài t p này s t o cho các em h ng thú
h c t p, say mê môn h c và t o i u ki n thu n l i cho các em trong nh ng năm
h c ti p theo khi h c các ki n th c có liên quan v i m c cao hơn.
V i suy nghĩ trên, tôi ã suy nghĩ, tìm tòi và ch n vi t sáng ki n
"Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p 6".
Trong chuyên này, tôi ã ti n hành phân lo i các phương pháp gi i bài
toán chia h t kèm theo ví d minh h a v i mong mu n h c sinh có ư c nh
hư ng t t v cách gi i i v i m i bài toán c th . T ó giúp các em rèn luy n tư
duy, kĩ năng gi i toán.




1
Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6

B/ N I DUNG:
I. KI N TH C C N S D NG:
nh nghĩa:
1,
Cho a, b ∈ Z; b ≠ 0.
Ta nói r ng a chia h t cho b, kí hi u a Μ b khi và ch khi t n t i s nguyên
q sao cho ta có: a = b.q
2, M t s tính ch t:
Cho a, b, m, n là s nguyên.
* N u a Μ b và b Μ a thì a = b ho c a = - b.
* N u a Μ b, b Μ c thì a Μ c
* N u a Μ m và b Μ n thì a.b Μ m.n
* a Μ m an Μ mn ( n ∈ N, n ≠ 0 )
* a.b Μ m và ( a, m) = 1 thì b Μ m
* a Μ m và a Μ n ; ( m, n) = 1 thì a Μ m.n
* a Μ m , a Μ n , a Μ p và m, n, p ôi m t nguyên t cùng nhau
thì a Μ mnp.
3, M t s d u hi u chia h t:
Cho N = an an -1 ...a1a0
* N Μ 2 a0 ∈{0, 2, 4, 6, 8}
* N Μ 5 a0 ∈{0, 5}
T ó N Μ 10 a0 = 0
* N Μ 3 ( an + an -1 + ... + a1 + a0 ) Μ 3
* N Μ 9 ( an + an -1 + ... + a1 + a0 ) Μ 9
* N Μ 4 a1a0 Μ 4
* N Μ 25 a1a0 Μ 25
* N Μ 8 a2a1a0 Μ 8
* N Μ 125 a2a1a0 Μ 125




2
Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6

* N Μ 11 khi và ch khi t ng các ch s v trí l tr t ng các ch s v trí
ch n chia h t cho 11.


4, Nguyên t c icriclê:
Trong b + 1 s t nhiên b t kì bao gi cũng có 2 s chia cho b có cùng s dư.
Khi ó hi u hai s này chia h t cho b.
II. Các phương pháp gi i bài toán chia h t:
*Phương pháp 1:
ch ng minh s a chia h t cho s b ≠ 0 ta bi u di n s a dư i d ng m t tích
trong ó có m t th a s b ng b.
Thí d 1: Cho n ∈ N. Ch ng minh r ng: (3n)100 Μ 81
Gi i
Ta có (3n)100 = 3100.n100
= 34. 396. n100
= 81 . (396.n100) Μ 81
Thí d 2: Cho C = 1 + 3 + 32 +...+ 311
Ch ng minh r ng:
a, C Μ 13
b, C Μ 40


Gi i
a, C = (1+3 + 32) + (33 + 34 + 35) +...+ (39 + 310 + 311)
C = (1+3 + 32) + 33(1+3 + 32) +...+ 39(1+3 + 32)
C = 13(1 + 33 +... 39) Μ 13
b, C = (1+3 + 32) + (33 + 34 + 35) +...+ (39 + 310 + 311)
C = (1+3 + 32+33) + 34(1+3 + 32+33) +38(1+3 + 32+33)
C = 40(1+34+38) Μ 40.
*Phương pháp 2:




3
Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6

ch ng minh a Μ b ( b ≠ 0 ) ta bi u di n s a dư i d ng m t t ng các s h ng
và ch ng minh m i s h ng u chia h t cho b.
Thí d 3:
Ch ng minh r ng t ng c a 3 s l liên ti p thì chia h t cho 3.
Gi i
G i 3 s l liên ti p là:
2n +1, 2n + 3, 2n + 5 (n ∈ N)
T ng c a chúng là a = 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5
= 6n + 1 + 3 + 5
= 6n + 9
Vì 6n Μ 3 ; 9 Μ 3 nên a = (6n + 9) Μ 3
*Phương pháp 3:
ch ng minh a Μ b (b ≠ 0) ta bi u di n b = m.n
+ N u (m, n) = 1 thì tìm cách ch ng minh a Μ m và a Μ n.
Khi ó a Μ m.n ⇒ a Μ b
+ N u (m, n) ≠ 1 thì ta bi u di n a = a1.a2 r i ch ng minh a1 Μ m , a2 Μ n
ho c a1 Μ n , a2 Μ m
Khi ó a1a2 Μ mn hay a Μ b
Thí d 4: Ch ng minh r ng tích c a 2 s ch n liên ti p thì chia h t cho 8.
Gi i
G i 2 s ch n liên ti p là 2n và 2n +2 (n ∈ N)
Tích c a chúng là a = 2n.(2n + 2)
= 2. n. 2(n+1)
= 4. n(n +1)
Ta có 4 Μ 4 và n(n +1) Μ 2 (Vì n và n + 1 là 2 s t nhiên liên ti p)
V y a = 4n(n + 1) Μ 8
* Phương pháp 4:
ch ng minh m t bi u th c ch a ch chia h t cho b ta có th xét m i
trư ng h p v s dư c a phép chia ch ó cho b.
Thí d 5:

4
Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6

Ch ng minh r ng: n(n + 1)(2n + 1) Μ 6 v i m i n ∈ N
Gi i
t a = n(n + 1)(2n + 1)
D th y n(n + 1) là tích c a 2 s t nhiên liên ti p nên n(n + 1) Μ 2 ⇒ a Μ 2
* N u n = 3k (k ∈ N) thì a Μ 3
* N u n = 3k + 1 thì 2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = (6k + 3) Μ 3 ⇒ a Μ 3
* N u n = 3k + 2 thì n + 1 = (3k + 3) Μ 3
V y a = n(n + 1)(2n + 1) Μ 3 v i m i n ∈ N
Do 2.3 = 6 và (2,3) = 1 nên a Μ 6
*Phương pháp 5:
Có th v n d ng d u hi u chia h t có liên quan n s nguyên t ; s nguyên t
cùng nhau.
c bi t có th xét ch s t n cùng khi ph i ch ng minh chia h t cho 2; cho 5
hay cho 10.
Cho n ∈ N. Ch ng minh r ng: (34n+1 + 7) Μ 10
Thí d 6:
Gi i
Ta có 34n+1 = 3.34n = 3.(34 )n = 3.81n
Vì 81n có t n cùng là 1 nên 3.81n có t n cùng là 3
⇒ 34n+1 có t n cùng là 3
⇒ 34n+1 + 7 có t n cùng là 0
V y (34n+1 + 7) Μ 10
* Phương pháp 6:
ch ng minh a Μ b ta dùng nguyên t c icriclê.
Thí d 7: Cho a, b, c, d là s nguyên. Ch ng minh r ng:
S = (c - b)(b - a)(a - c)(d - a)(d - b)(d - c) Μ 12
Gi i
S = (c - b)(b - a)(a - c)(d - a)(d - b)(d - c) (1)
* Phép chia cho 3 ch nh n 3 s dư khác nhau là 0; 1; 2 mà có 4 s nguyên a,
b, c, d nên ch c ch n có hai trong b n s ó chia cho 3 có cùng s dư. Khi ó


5
Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6

hi u c a chúng chia h t cho 3. Suy ra có ít nh t m t th a s trong tích (1) chia h t
cho 3.
Do ó S Μ 3
* Ta ch ng minh S Μ 4
+ N u trong 4 s a, b, c, d có hai s ch n, hai s l . Ch ng h n a, b là s ch n và c,
d là s l thì khi ó b - a Μ 2; d - c Μ 2
=> (b - a)(d -c) Μ 4 => S Μ 4
+ N u trong 4 s a, b, c, d có 3 s ch n và m t s l ho c 3 s l và m t s ch n thì
khi ó s t n t i hai s chia cho 4 có cùng s dư nên hi u c a chúng chia h t cho
4. Do ó S Μ 4
Vì S Μ 3, S Μ 4 mà (3,4) = 1 ; 3.4 = 12 ⇒ S Μ 12
Thí d 8:
Cho 10 s t nhiên b t kì a1, a2, ... a10. Ch ng minh r ng t n t i m t s chia h t cho
10 ho c t ng c a m t s chia h t cho 10.
Gi i:
Xét 10 s m i như sau: S1 = a1, S2 = a1 + a2, … S10 = a1 + a2 +…+ a10 .
L y 10 s S1, S2,..., S10 chia cho 10.

- N u có m t s Si Μ 10 (i = 1, 2, ..., 10) thì bài toán ư c ch ng minh.
- N u Si không chia h t cho 10 v i m i i, t c là S1, S2, ..., S10 chia cho 10 có các dư

là m t trong chín s : 1, 2, ..., 9. Theo nguyên t c Dirichlet có hai s cùng dư khi

chia cho 10, gi s Sk và Sl (k > l).

Khi ó : Sk - Sl = al+1 + al+2 +...+ ak Μ 10 ( ccm)

 Bài toán trên có th phát bi u dư i d ng t ng quát trong n s t nhiên b t kì

t n t i m t s t nhiên chia h t cho n ho c t ng c a m t s chia h t cho n.

*Phương pháp 7: Phương pháp ch ng minh quy n p.
Gi s c n ch ng minh
A(n) Μ P (1) v i n = 1, 2, …

6
Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6

Ta ch ng minh (1) úng v i n = 1 t c là ch ng minh A(1) Μ P.
Gi s (1) úng v i n = k, t c là ta có A(k) Μ P .
Ta ch ng minh (1) úng v i n = (k+1), t c là ph i ch ng minh A(k+1) Μ P.
Theo nguyên lý quy n p, ta k t lu n (1) úng v i m i n = 1, 2, …
Thí d 9: Ch ng minh r ng v i m i s nguyên dương n ta có :
4n + 15n - 1Μ 9 (1)
Gi i :
V i n = 1 ta có 41 + 15.1-1 = 18 Μ 9 V y (1) úng v i n = 1.
Gi s (1) úng v i n = k t c ta có:
4k + 15k – 1 Μ 9 => 4k + 15k-1 = 9m (m∈ Z)
=> 4k = 9m +1 – 15k. (2)
V i n = k +1 ta có.
4k+1 + 15(k+1) – 1 = 4.4k + 15k +14
= 4(9m + 1 -15k) + 15k + 14 (theo (2))
= 36 m – 45k + 18 Μ 9
V y (1) úng v i n = k +1 do ó (1) úng v i m i n = 1; 2; 3…

III. Bài t p áp d ng:
Bài 1: Ch ng minh r ng tích 3 s ch n liên ti p chia h t cho 48.
Gi i
G i 3 s ch n liên ti p là 2n, 2n +2, 2n + 4 (n ∈ N)
Tích c a 3 s là a = 2n(2n + 2)(2n + 4)
= 2.n. 2(n + 1)2(n + 2)
= 8.n.(n + 1)(n + 2)
Ta th y 8 Μ 8
Ta ch ng minh n.(n + 1)(n + 2) Μ 6
Th t v y:
N u n Μ 3 thì n.(n + 1)(n + 2) Μ 3
N u n = 3k + 1 (k ∈ N) thì (n +2) Μ 3 ⇒ n.(n + 1)(n + 2) Μ 3
N u n = 3k + 2 (k ∈ N) thì (n +1) Μ 3 ⇒ n.(n + 1)(n + 2) Μ 3

7
Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6

V y n.(n + 1)(n + 2) Μ 3 v i m i n ∈ N.
M t khác trong ba s n, n + 1, n + 2 ch c ch n có m t s ch n
nên n.(n + 1)(n + 2) Μ 2
mà (2,3) = 1 ; 2.3 = 6 nên n.(n + 1)(n + 2) Μ 6
V y a = 2n(2n + 2)(2n + 4) Μ 48 ( pcm)
Bài 2:
Ch ng minh r ng i u ki n c n và m t s chia h t cho 17 là t ng c a
ba l n s ch c và hai l n ch s hàng ơn v c a s ó chia h t cho 17.
Gi i
Gi s s N g m a ch c, b ơn v (a, b là ch s , a ≠ 0)
Th t v y:
M + 17a = (3a + 2b) + 17a
M + 17a = 20a + 2b
= 2(10a + b)
= 2N
- N u N Μ 17 thì 2N Μ 17 ⇒ M + 17a Μ 17 ⇒ M Μ 17
- N u M Μ 17 thì M + 17a Μ 17 ⇒ 2N Μ 17
mà 2 Μ 17 => N Μ 17
Bài toán ư c ch ng minh.
Bài 3:
a, Ch ng minh r ng: trong n s t nhiên liên ti p có m t và ch m t s chia
h t cho n (n ≥ 2).
b, Ch ng minh r ng: tích c a 5 s t nhiên liên ti p chia h t cho 120.
Gi i
a, Dùng phương pháp xét s dư ( h c sinh t trình bày)
b, Trong 5 s t nhiên liên ti p có m t s chia h t cho 3, m t s chia h t
cho 5. V y tích c a 5 s t nhiên liên ti p chia h t cho 3 và 5.
Trong 4 s t nhiên liên ti p có m t s chia h t cho 2 và m t s chia h t cho
4 nên tích c a chúng chia h t cho 8.


8
Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6

Tích c a 5 s t nhiên liên ti p v a chia h t cho 3 v a chia h t cho 5 , v a
chia h t cho 8 mà các s 3, 5, 8 ôi m t nguyên t cùng nhau nên tích này chia h t
cho 3.5.8 = 120.
V y tích 5 s t nhiên liên ti p chia h t cho 120.
Bài 4:
a, Cho a Μ 3 (a ∈ Z)
Ch ng minh a2 chia cho 3 dư 1.
b, Ch ng minh r ng n u a là m t s l không chia h t cho 3 thì a2 - 1 Μ 6
Gi i
a, Vì a Μ 3 nên a = 3k + 1 ho c a = 3k + 2 (k ∈ Z)
N u a = 3k + 1 thì a2 = (3k + 1)(3k + 1)
⇒ a2 = 3k(3k + 1) + 3k + 1
⇒ a2 chia cho 3 dư 1
N u a = 3k + 2 thì a2 = (3k + 2)(3k + 2)
⇒ a2 = 3k (3k + 2) + 2( 3k + 2)
⇒ a2 = 3k (3k + 2) + 6k + 4
Vì 3k(3k + 2) Μ 3
6Μ 3
và 4 chia cho 3 dư 1
nên a2 chia cho 3 dư 1
V y n u a Μ 3 thì a2 chia cho 3 dư 1.
b, Vì a là s l nên a2 l
⇒ a2 - 1 ch n ⇒ a2 - 1 Μ 2
a là s không chia h t cho 3 nên a2 chia cho 3 dư 1 (ch ng minh ph n a)
⇒ a2 - 1 Μ 3
a2 - 1 Μ 6
Vì 2 và 3 nguyên t cùng nhau ; 2.3 = 6 nên
V y n u a là m t s l không chia h t cho 3 thì a2 -1 Μ 6




9
Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6

Bài 5:
Ch ng minh r ng t n t i m t b i c a 13 g m toàn ch s 2.
Gi i
Xét 14 s : 2, 22, 222, ... , 2 22...2
14 ch s 2

Trong phép chia cho 13 ch có 13 s dư khác nhau là 0, 1, 2, 3, ..., 12.
Có 14 s mà ch có 13 s dư nên t n t i hai s chia cho 13 có cùng s dư.
G i hai s ó là : 222...222 ( m ch s 2) và 22 ...222 (n ch s 2)
V i 1 ≤ n < m ≤ 14
Hi u c a chúng là 22...200...0 Μ 13 ( m - n ch s 2, n ch s 0)
⇒ 22...2 . 10n Μ 13
nhưng (10n, 13) = 1 nên 22...2 Μ 13
V y t n t i m t b i c a 13 g m toàn ch s 2.
Bài 6:
Cho A = 4 + 42 + 43 + ... + 424
Ch ng minh r ng: A Μ 20 ; A Μ 21 ; A Μ 240
Gi i
A = 4 + 42 + 43 + ... + 424
Ta th y A là t ng các s h ng chia h t cho 4 nên A Μ 4
L i có A = 4(1 + 4) + 43(1 + 4) + ... + 423(1 + 4)
= 4 . 5 + 43 . 5 + ... + 423 . 5
= 5( 4 + 43 + ... + 423 )
⇒AΜ 5
Vì (4,5) = 1 ; 4.5 = 20 nên A Μ 20
*Ta có :
A = (4 + 42 + 43) + (44 + 45 + 46) + ...+ (422 + 423 + 424)
= 4( 1 + 4 + 42) + 44(1 + 4 + 42) + ... + 422(1 + 4 + 42)
= 4.21 + 44 .21 + ... +422.21
= 21.(4 + 44 + ... + 422)
⇒ A Μ 21

10
Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6

Vì A Μ 20 ; A Μ 21 mà (20,21) = 1; 20 . 21 = 420; Nên A Μ 420

IV. M t s bài t p t gi i:
1, Ch ng t r ng: các bi u th c sau có giá tr là s nguyên:

102004 + 8
105 + 2
; 9
3

2, Ch ng minh r ng n u ab + cd Μ 11 thì abcd Μ 11
3, Cho năm s t nhiên b t kì. Ch ng minh r ng ta luôn ch n ư c
ba s có t ng chia h t cho 3.
4, Cho ba s nguyên t l n hơn 3. Ch ng minh r ng t n t i hai s có t ng
ho c hi u chia h t cho 12.
5, Ch ng minh r ng:
a, 10n + 53 Μ 9; b, 4343 - 1717 Μ 10
6, Vi t 6 s t nhiên vào 6 m t c a m t con súc s c. Ch ng minh r ng khi
ta gieo súc s c xu ng m t bàn thì trong 5 m t có th nhìn th y bao gi cũng tìm
ư c m t hay nhi u m t t ng các s trên ó chia h t cho 5.
7, Cho abc - deg Μ 7
Ch ng minh abcdeg Μ 7
8, Cho M = 2 + 22 + 23 + ... + 260
Ch ng minh r ng M chia h t cho 3, 7, 15.
9, Cho ba s a, b, c tho mãn ng th c:
a2 + b2 = c2
Ch ng minh r ng:
a, Trong hai s a và b có ít nh t m t s chia h t cho 2
b,Trong hai s a và b có ít nh t m t s chia h t cho 3
c,Trong hai s a và b có ít nh t m t s chia h t cho 4
d,Trong ba s a, b, c có ít nh t m t s chia h t cho 5.
e, a.b.c Μ 60



11
Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6

10, Cho năm s nguyên a1 , a2, a3, a4, a5. Các s b1, b2, b3, b4, b5 là m t
hoán v c a năm s ã cho.
Ch ng minh r ng: (a1 - b1)(a2 - b2)(a3 - b3)(a4 - b4)(a5 - b5) chia h t cho 2.


11, Ch ng minh r ng v i m i n ≥ 1 ta có:
a, 16n - 15n - 1 Μ 222.
b, 33n+3 - 26n - 27Μ 169.
c, 62n + 1 + 5 n + 2 Μ 31.

C, K T LU N:

Các bài toán chia h t chi m m t s lư ng không nh trong chương trình toán
b c trung h c cơ s . Vi c xây d ng m t h th ng ki n th c cơ b n, d a vào ó
tìm ra các phương pháp gi i các bài toán v chia h t, giúp các em h c sinh - nh t
là h c sinh gi i có kĩ năng thành th o, linh ho t, sáng t o khi h c lo i toán này
không nh ng là mong mu n c a riêng b n thân tôi mà còn là i u trăn tr c a các
bn ng nghi p.

Trong khuôn kh và th i gian có h n, trên ây tôi m i ch d ng l i các
phương pháp gi i toán chia h t i v i h c sinh l p 6. Các phương pháp ó s
ư c m r ng, hoàn thi n khi các em ư c trang b thêm m t s ki n th c l p 7,
l p 8 ... khi ó các em s g p và gi i ư c nh ng bài toán khó hơn, ph c t p hơn.

Vi t xong sáng ki n này tôi ã th c hi n gi ng d y cho h c sinh l p 6 t i
trư ng. Sau khi trang b và hư ng d n các em h c ph n lí thuy t; làm các thí d
minh ho tôi th y các em r t h ng thú, không nh ng không ng i mà còn tích c c
gi i các bài toán tương t .

C th :
- 100% các em h c sinh gi i n m v ng lí thuy t, ch n phương pháp gi i các
bài t p phù h p. L i gi i vi t chính xác.
- Các em h c sinh khá hoàn thành; gi i úng ư c 80% s bài t p.
- Các em h c sinh trung bình hi u lí thuy t, gi i ư c các bài t p tương t
như ví d .

12
Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6

V i suy nghĩ c a m t cá nhân, bài vi t c a tôi ch c còn có thi u sót.
R t mong s góp ý c a các b n ng nghi p.
Tôi xin chân thành c m ơn.!
Núi èo, ngày 12/03/2009.
Ngư i vi t




Hoàng Th Thu Hương




C NG HOÀ XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM
c l p - T do - H nh phúc


B N CAM K T
1. Tác gi :
.




13
Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6

H và tên: HOÀNG TH THU HƯƠNG
Ngày, tháng, năm sinh: 09/11/1975
ơn v công tác: Trư ng THCS Núi èo
Ch c v : Giáo viên
i n tho i : Cơ quan 3874449; D : 0982873720
2. S n ph m :
Tên s n ph m: Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6
3. Cam k t :

Tôi xin cam k t sáng ki n kinh nghi m này là s n ph m c a cá nhân tôi. N u
có x y ra tranh ch p v quy n s h u i v i m t ph n hay toàn b s n ph m sáng
ki n kinh nghi m, tôi hoàn toàn ch u trách nhi m trư c lãnh o ơn v , lãnh o
S GD & T v tính trung th c c a b n cam k t này.
Núi èo, ngày 12/03/2009.
Ngư i vi t cam k t




Hoàng Th Thu Hương




D, TÀI LI U THAM KH O:

14
Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6

STT TÊN TÀI LI U TÁC GI NHÀ XU T B N
1. Nguy n Vĩnh C n Giáo d c
TOÁN S H C NÂNG CAO
Vũ Dương Thu
TOÁN NÂNG CAO
2. Giáo d c
VÀ CÁC CHUYÊN TOÁN 6 Nguy n Ng c m
Giáo d c (sách
BÀI T P NÂNG CAO
3. Bùi văn Tuyên
VÀ M T S CHUYÊN TOÁN 6 d thi)
4. Vũ H u Bình Giáo d c
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRI N TOÁN 6
Nguy n Ng c m
5. Nguy n Quang Hanh i h c Sư ph m
500 BÀI TOÁN CH N LOC 6
Ngô Long H u




15
Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản