Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6

Chia sẻ: hatram_123

Trong chương trình toán 6, giải các bài toán chia hết là dạng bài tập mới và tương đối khó đối với học sinh. Cái khó ở đây là tuy lượng kiến thức không nhiều nhưng các bài tập thì lại đa dạng, phong phú.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6

 

  1. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 A/ TV N : Trong chương trình toán 6, gi i các bài toán chia h t là d ng bài t p m i và tương i khó i v i h c sinh. Cái khó ây là tuy lư ng ki n th c không nhi u nhưng các bài t p thì l i a d ng, phong phú. Là giáo viên tr c ti p gi ng d y toán 6 nhi u năm, tôi nh n th y khi làm các bài t p v chia h t các em thư ng r t lúng túng, nguyên nhân ch y u là do các em chưa bi t v n d ng nh nghĩa hay các tính ch t c a phép chia h t và các ki n th c có liên quan, t ódn n các em ng i làm bài, n u làm bài thì suy lu n thi u chính xác, thi u ch t ch , xét thi u các trư ng h p. Các bài toán v chia h t là nh ng ki n th c r t cơ b n, quan tr ng không ch trong chương trình toán 6 mà c các l p cao hơn. Vi c giúp các em n m ch c ki n th c v chia h t và làm t t các d ng bài t p này s t o cho các em h ng thú h c t p, say mê môn h c và t o i u ki n thu n l i cho các em trong nh ng năm h c ti p theo khi h c các ki n th c có liên quan v i m c cao hơn. V i suy nghĩ trên, tôi ã suy nghĩ, tìm tòi và ch n vi t sáng ki n "Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p 6". Trong chuyên này, tôi ã ti n hành phân lo i các phương pháp gi i bài toán chia h t kèm theo ví d minh h a v i mong mu n h c sinh có ư c nh hư ng t t v cách gi i i v i m i bài toán c th . T ó giúp các em rèn luy n tư duy, kĩ năng gi i toán. 1 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  2. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 B/ N I DUNG: I. KI N TH C C N S D NG: nh nghĩa: 1, Cho a, b ∈ Z; b ≠ 0. Ta nói r ng a chia h t cho b, kí hi u a Μ b khi và ch khi t n t i s nguyên q sao cho ta có: a = b.q 2, M t s tính ch t: Cho a, b, m, n là s nguyên. * N u a Μ b và b Μ a thì a = b ho c a = - b. * N u a Μ b, b Μ c thì a Μ c * N u a Μ m và b Μ n thì a.b Μ m.n * a Μ m <=> an Μ mn ( n ∈ N, n ≠ 0 ) * a.b Μ m và ( a, m) = 1 thì b Μ m * a Μ m và a Μ n ; ( m, n) = 1 thì a Μ m.n * a Μ m , a Μ n , a Μ p và m, n, p ôi m t nguyên t cùng nhau thì a Μ mnp. 3, M t s d u hi u chia h t: Cho N = an an -1 ...a1a0 * N Μ 2 <=> a0 ∈{0, 2, 4, 6, 8} * N Μ 5 <=> a0 ∈{0, 5} T ó N Μ 10 <=> a0 = 0 * N Μ 3 <=> ( an + an -1 + ... + a1 + a0 ) Μ 3 * N Μ 9 <=> ( an + an -1 + ... + a1 + a0 ) Μ 9 * N Μ 4 <=> a1a0 Μ 4 * N Μ 25 <=> a1a0 Μ 25 * N Μ 8 <=> a2a1a0 Μ 8 * N Μ 125 <=> a2a1a0 Μ 125 2 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  3. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 * N Μ 11 khi và ch khi t ng các ch s v trí l tr t ng các ch s v trí ch n chia h t cho 11. 4, Nguyên t c icriclê: Trong b + 1 s t nhiên b t kì bao gi cũng có 2 s chia cho b có cùng s dư. Khi ó hi u hai s này chia h t cho b. II. Các phương pháp gi i bài toán chia h t: *Phương pháp 1: ch ng minh s a chia h t cho s b ≠ 0 ta bi u di n s a dư i d ng m t tích trong ó có m t th a s b ng b. Thí d 1: Cho n ∈ N. Ch ng minh r ng: (3n)100 Μ 81 Gi i Ta có (3n)100 = 3100.n100 = 34. 396. n100 = 81 . (396.n100) Μ 81 Thí d 2: Cho C = 1 + 3 + 32 +...+ 311 Ch ng minh r ng: a, C Μ 13 b, C Μ 40 Gi i a, C = (1+3 + 32) + (33 + 34 + 35) +...+ (39 + 310 + 311) C = (1+3 + 32) + 33(1+3 + 32) +...+ 39(1+3 + 32) C = 13(1 + 33 +... 39) Μ 13 b, C = (1+3 + 32) + (33 + 34 + 35) +...+ (39 + 310 + 311) C = (1+3 + 32+33) + 34(1+3 + 32+33) +38(1+3 + 32+33) C = 40(1+34+38) Μ 40. *Phương pháp 2: 3 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  4. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 ch ng minh a Μ b ( b ≠ 0 ) ta bi u di n s a dư i d ng m t t ng các s h ng và ch ng minh m i s h ng u chia h t cho b. Thí d 3: Ch ng minh r ng t ng c a 3 s l liên ti p thì chia h t cho 3. Gi i G i 3 s l liên ti p là: 2n +1, 2n + 3, 2n + 5 (n ∈ N) T ng c a chúng là a = 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 = 6n + 1 + 3 + 5 = 6n + 9 Vì 6n Μ 3 ; 9 Μ 3 nên a = (6n + 9) Μ 3 *Phương pháp 3: ch ng minh a Μ b (b ≠ 0) ta bi u di n b = m.n + N u (m, n) = 1 thì tìm cách ch ng minh a Μ m và a Μ n. Khi ó a Μ m.n ⇒ a Μ b + N u (m, n) ≠ 1 thì ta bi u di n a = a1.a2 r i ch ng minh a1 Μ m , a2 Μ n ho c a1 Μ n , a2 Μ m Khi ó a1a2 Μ mn hay a Μ b Thí d 4: Ch ng minh r ng tích c a 2 s ch n liên ti p thì chia h t cho 8. Gi i G i 2 s ch n liên ti p là 2n và 2n +2 (n ∈ N) Tích c a chúng là a = 2n.(2n + 2) = 2. n. 2(n+1) = 4. n(n +1) Ta có 4 Μ 4 và n(n +1) Μ 2 (Vì n và n + 1 là 2 s t nhiên liên ti p) V y a = 4n(n + 1) Μ 8 * Phương pháp 4: ch ng minh m t bi u th c ch a ch chia h t cho b ta có th xét m i trư ng h p v s dư c a phép chia ch ó cho b. Thí d 5: 4 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  5. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 Ch ng minh r ng: n(n + 1)(2n + 1) Μ 6 v i m i n ∈ N Gi i t a = n(n + 1)(2n + 1) D th y n(n + 1) là tích c a 2 s t nhiên liên ti p nên n(n + 1) Μ 2 ⇒ a Μ 2 * N u n = 3k (k ∈ N) thì a Μ 3 * N u n = 3k + 1 thì 2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = (6k + 3) Μ 3 ⇒ a Μ 3 * N u n = 3k + 2 thì n + 1 = (3k + 3) Μ 3 V y a = n(n + 1)(2n + 1) Μ 3 v i m i n ∈ N Do 2.3 = 6 và (2,3) = 1 nên a Μ 6 *Phương pháp 5: Có th v n d ng d u hi u chia h t có liên quan n s nguyên t ; s nguyên t cùng nhau. c bi t có th xét ch s t n cùng khi ph i ch ng minh chia h t cho 2; cho 5 hay cho 10. Cho n ∈ N. Ch ng minh r ng: (34n+1 + 7) Μ 10 Thí d 6: Gi i Ta có 34n+1 = 3.34n = 3.(34 )n = 3.81n Vì 81n có t n cùng là 1 nên 3.81n có t n cùng là 3 ⇒ 34n+1 có t n cùng là 3 ⇒ 34n+1 + 7 có t n cùng là 0 V y (34n+1 + 7) Μ 10 * Phương pháp 6: ch ng minh a Μ b ta dùng nguyên t c icriclê. Thí d 7: Cho a, b, c, d là s nguyên. Ch ng minh r ng: S = (c - b)(b - a)(a - c)(d - a)(d - b)(d - c) Μ 12 Gi i S = (c - b)(b - a)(a - c)(d - a)(d - b)(d - c) (1) * Phép chia cho 3 ch nh n 3 s dư khác nhau là 0; 1; 2 mà có 4 s nguyên a, b, c, d nên ch c ch n có hai trong b n s ó chia cho 3 có cùng s dư. Khi ó 5 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  6. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 hi u c a chúng chia h t cho 3. Suy ra có ít nh t m t th a s trong tích (1) chia h t cho 3. Do ó S Μ 3 * Ta ch ng minh S Μ 4 + N u trong 4 s a, b, c, d có hai s ch n, hai s l . Ch ng h n a, b là s ch n và c, d là s l thì khi ó b - a Μ 2; d - c Μ 2 => (b - a)(d -c) Μ 4 => S Μ 4 + N u trong 4 s a, b, c, d có 3 s ch n và m t s l ho c 3 s l và m t s ch n thì khi ó s t n t i hai s chia cho 4 có cùng s dư nên hi u c a chúng chia h t cho 4. Do ó S Μ 4 Vì S Μ 3, S Μ 4 mà (3,4) = 1 ; 3.4 = 12 ⇒ S Μ 12 Thí d 8: Cho 10 s t nhiên b t kì a1, a2, ... a10. Ch ng minh r ng t n t i m t s chia h t cho 10 ho c t ng c a m t s chia h t cho 10. Gi i: Xét 10 s m i như sau: S1 = a1, S2 = a1 + a2, … S10 = a1 + a2 +…+ a10 . L y 10 s S1, S2,..., S10 chia cho 10. - N u có m t s Si Μ 10 (i = 1, 2, ..., 10) thì bài toán ư c ch ng minh. - N u Si không chia h t cho 10 v i m i i, t c là S1, S2, ..., S10 chia cho 10 có các dư là m t trong chín s : 1, 2, ..., 9. Theo nguyên t c Dirichlet có hai s cùng dư khi chia cho 10, gi s Sk và Sl (k > l). Khi ó : Sk - Sl = al+1 + al+2 +...+ ak Μ 10 ( ccm)  Bài toán trên có th phát bi u dư i d ng t ng quát trong n s t nhiên b t kì t n t i m t s t nhiên chia h t cho n ho c t ng c a m t s chia h t cho n. *Phương pháp 7: Phương pháp ch ng minh quy n p. Gi s c n ch ng minh A(n) Μ P (1) v i n = 1, 2, … 6 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  7. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 Ta ch ng minh (1) úng v i n = 1 t c là ch ng minh A(1) Μ P. Gi s (1) úng v i n = k, t c là ta có A(k) Μ P . Ta ch ng minh (1) úng v i n = (k+1), t c là ph i ch ng minh A(k+1) Μ P. Theo nguyên lý quy n p, ta k t lu n (1) úng v i m i n = 1, 2, … Thí d 9: Ch ng minh r ng v i m i s nguyên dương n ta có : 4n + 15n - 1Μ 9 (1) Gi i : V i n = 1 ta có 41 + 15.1-1 = 18 Μ 9 V y (1) úng v i n = 1. Gi s (1) úng v i n = k t c ta có: 4k + 15k – 1 Μ 9 => 4k + 15k-1 = 9m (m∈ Z) => 4k = 9m +1 – 15k. (2) V i n = k +1 ta có. 4k+1 + 15(k+1) – 1 = 4.4k + 15k +14 = 4(9m + 1 -15k) + 15k + 14 (theo (2)) = 36 m – 45k + 18 Μ 9 V y (1) úng v i n = k +1 do ó (1) úng v i m i n = 1; 2; 3… III. Bài t p áp d ng: Bài 1: Ch ng minh r ng tích 3 s ch n liên ti p chia h t cho 48. Gi i G i 3 s ch n liên ti p là 2n, 2n +2, 2n + 4 (n ∈ N) Tích c a 3 s là a = 2n(2n + 2)(2n + 4) = 2.n. 2(n + 1)2(n + 2) = 8.n.(n + 1)(n + 2) Ta th y 8 Μ 8 Ta ch ng minh n.(n + 1)(n + 2) Μ 6 Th t v y: N u n Μ 3 thì n.(n + 1)(n + 2) Μ 3 N u n = 3k + 1 (k ∈ N) thì (n +2) Μ 3 ⇒ n.(n + 1)(n + 2) Μ 3 N u n = 3k + 2 (k ∈ N) thì (n +1) Μ 3 ⇒ n.(n + 1)(n + 2) Μ 3 7 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  8. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 V y n.(n + 1)(n + 2) Μ 3 v i m i n ∈ N. M t khác trong ba s n, n + 1, n + 2 ch c ch n có m t s ch n nên n.(n + 1)(n + 2) Μ 2 mà (2,3) = 1 ; 2.3 = 6 nên n.(n + 1)(n + 2) Μ 6 V y a = 2n(2n + 2)(2n + 4) Μ 48 ( pcm) Bài 2: Ch ng minh r ng i u ki n c n và m t s chia h t cho 17 là t ng c a ba l n s ch c và hai l n ch s hàng ơn v c a s ó chia h t cho 17. Gi i Gi s s N g m a ch c, b ơn v (a, b là ch s , a ≠ 0) Th t v y: M + 17a = (3a + 2b) + 17a M + 17a = 20a + 2b = 2(10a + b) = 2N - N u N Μ 17 thì 2N Μ 17 ⇒ M + 17a Μ 17 ⇒ M Μ 17 - N u M Μ 17 thì M + 17a Μ 17 ⇒ 2N Μ 17 mà 2 Μ 17 => N Μ 17 Bài toán ư c ch ng minh. Bài 3: a, Ch ng minh r ng: trong n s t nhiên liên ti p có m t và ch m t s chia h t cho n (n ≥ 2). b, Ch ng minh r ng: tích c a 5 s t nhiên liên ti p chia h t cho 120. Gi i a, Dùng phương pháp xét s dư ( h c sinh t trình bày) b, Trong 5 s t nhiên liên ti p có m t s chia h t cho 3, m t s chia h t cho 5. V y tích c a 5 s t nhiên liên ti p chia h t cho 3 và 5. Trong 4 s t nhiên liên ti p có m t s chia h t cho 2 và m t s chia h t cho 4 nên tích c a chúng chia h t cho 8. 8 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  9. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 Tích c a 5 s t nhiên liên ti p v a chia h t cho 3 v a chia h t cho 5 , v a chia h t cho 8 mà các s 3, 5, 8 ôi m t nguyên t cùng nhau nên tích này chia h t cho 3.5.8 = 120. V y tích 5 s t nhiên liên ti p chia h t cho 120. Bài 4: a, Cho a Μ 3 (a ∈ Z) Ch ng minh a2 chia cho 3 dư 1. b, Ch ng minh r ng n u a là m t s l không chia h t cho 3 thì a2 - 1 Μ 6 Gi i a, Vì a Μ 3 nên a = 3k + 1 ho c a = 3k + 2 (k ∈ Z) N u a = 3k + 1 thì a2 = (3k + 1)(3k + 1) ⇒ a2 = 3k(3k + 1) + 3k + 1 ⇒ a2 chia cho 3 dư 1 N u a = 3k + 2 thì a2 = (3k + 2)(3k + 2) ⇒ a2 = 3k (3k + 2) + 2( 3k + 2) ⇒ a2 = 3k (3k + 2) + 6k + 4 Vì 3k(3k + 2) Μ 3 6Μ 3 và 4 chia cho 3 dư 1 nên a2 chia cho 3 dư 1 V y n u a Μ 3 thì a2 chia cho 3 dư 1. b, Vì a là s l nên a2 l ⇒ a2 - 1 ch n ⇒ a2 - 1 Μ 2 a là s không chia h t cho 3 nên a2 chia cho 3 dư 1 (ch ng minh ph n a) ⇒ a2 - 1 Μ 3 a2 - 1 Μ 6 Vì 2 và 3 nguyên t cùng nhau ; 2.3 = 6 nên V y n u a là m t s l không chia h t cho 3 thì a2 -1 Μ 6 9 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  10. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 Bài 5: Ch ng minh r ng t n t i m t b i c a 13 g m toàn ch s 2. Gi i Xét 14 s : 2, 22, 222, ... , 2 22...2 14 ch s 2 Trong phép chia cho 13 ch có 13 s dư khác nhau là 0, 1, 2, 3, ..., 12. Có 14 s mà ch có 13 s dư nên t n t i hai s chia cho 13 có cùng s dư. G i hai s ó là : 222...222 ( m ch s 2) và 22 ...222 (n ch s 2) V i 1 ≤ n < m ≤ 14 Hi u c a chúng là 22...200...0 Μ 13 ( m - n ch s 2, n ch s 0) ⇒ 22...2 . 10n Μ 13 nhưng (10n, 13) = 1 nên 22...2 Μ 13 V y t n t i m t b i c a 13 g m toàn ch s 2. Bài 6: Cho A = 4 + 42 + 43 + ... + 424 Ch ng minh r ng: A Μ 20 ; A Μ 21 ; A Μ 240 Gi i A = 4 + 42 + 43 + ... + 424 Ta th y A là t ng các s h ng chia h t cho 4 nên A Μ 4 L i có A = 4(1 + 4) + 43(1 + 4) + ... + 423(1 + 4) = 4 . 5 + 43 . 5 + ... + 423 . 5 = 5( 4 + 43 + ... + 423 ) ⇒AΜ 5 Vì (4,5) = 1 ; 4.5 = 20 nên A Μ 20 *Ta có : A = (4 + 42 + 43) + (44 + 45 + 46) + ...+ (422 + 423 + 424) = 4( 1 + 4 + 42) + 44(1 + 4 + 42) + ... + 422(1 + 4 + 42) = 4.21 + 44 .21 + ... +422.21 = 21.(4 + 44 + ... + 422) ⇒ A Μ 21 10 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  11. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 Vì A Μ 20 ; A Μ 21 mà (20,21) = 1; 20 . 21 = 420; Nên A Μ 420 IV. M t s bài t p t gi i: 1, Ch ng t r ng: các bi u th c sau có giá tr là s nguyên: 102004 + 8 105 + 2 ; 9 3 2, Ch ng minh r ng n u ab + cd Μ 11 thì abcd Μ 11 3, Cho năm s t nhiên b t kì. Ch ng minh r ng ta luôn ch n ư c ba s có t ng chia h t cho 3. 4, Cho ba s nguyên t l n hơn 3. Ch ng minh r ng t n t i hai s có t ng ho c hi u chia h t cho 12. 5, Ch ng minh r ng: a, 10n + 53 Μ 9; b, 4343 - 1717 Μ 10 6, Vi t 6 s t nhiên vào 6 m t c a m t con súc s c. Ch ng minh r ng khi ta gieo súc s c xu ng m t bàn thì trong 5 m t có th nhìn th y bao gi cũng tìm ư c m t hay nhi u m t t ng các s trên ó chia h t cho 5. 7, Cho abc - deg Μ 7 Ch ng minh abcdeg Μ 7 8, Cho M = 2 + 22 + 23 + ... + 260 Ch ng minh r ng M chia h t cho 3, 7, 15. 9, Cho ba s a, b, c tho mãn ng th c: a2 + b2 = c2 Ch ng minh r ng: a, Trong hai s a và b có ít nh t m t s chia h t cho 2 b,Trong hai s a và b có ít nh t m t s chia h t cho 3 c,Trong hai s a và b có ít nh t m t s chia h t cho 4 d,Trong ba s a, b, c có ít nh t m t s chia h t cho 5. e, a.b.c Μ 60 11 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  12. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 10, Cho năm s nguyên a1 , a2, a3, a4, a5. Các s b1, b2, b3, b4, b5 là m t hoán v c a năm s ã cho. Ch ng minh r ng: (a1 - b1)(a2 - b2)(a3 - b3)(a4 - b4)(a5 - b5) chia h t cho 2. 11, Ch ng minh r ng v i m i n ≥ 1 ta có: a, 16n - 15n - 1 Μ 222. b, 33n+3 - 26n - 27Μ 169. c, 62n + 1 + 5 n + 2 Μ 31. C, K T LU N: Các bài toán chia h t chi m m t s lư ng không nh trong chương trình toán b c trung h c cơ s . Vi c xây d ng m t h th ng ki n th c cơ b n, d a vào ó tìm ra các phương pháp gi i các bài toán v chia h t, giúp các em h c sinh - nh t là h c sinh gi i có kĩ năng thành th o, linh ho t, sáng t o khi h c lo i toán này không nh ng là mong mu n c a riêng b n thân tôi mà còn là i u trăn tr c a các bn ng nghi p. Trong khuôn kh và th i gian có h n, trên ây tôi m i ch d ng l i các phương pháp gi i toán chia h t i v i h c sinh l p 6. Các phương pháp ó s ư c m r ng, hoàn thi n khi các em ư c trang b thêm m t s ki n th c l p 7, l p 8 ... khi ó các em s g p và gi i ư c nh ng bài toán khó hơn, ph c t p hơn. Vi t xong sáng ki n này tôi ã th c hi n gi ng d y cho h c sinh l p 6 t i trư ng. Sau khi trang b và hư ng d n các em h c ph n lí thuy t; làm các thí d minh ho tôi th y các em r t h ng thú, không nh ng không ng i mà còn tích c c gi i các bài toán tương t . C th : - 100% các em h c sinh gi i n m v ng lí thuy t, ch n phương pháp gi i các bài t p phù h p. L i gi i vi t chính xác. - Các em h c sinh khá hoàn thành; gi i úng ư c 80% s bài t p. - Các em h c sinh trung bình hi u lí thuy t, gi i ư c các bài t p tương t như ví d . 12 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  13. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 V i suy nghĩ c a m t cá nhân, bài vi t c a tôi ch c còn có thi u sót. R t mong s góp ý c a các b n ng nghi p. Tôi xin chân thành c m ơn.! Núi èo, ngày 12/03/2009. Ngư i vi t Hoàng Th Thu Hương C NG HOÀ XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM c l p - T do - H nh phúc B N CAM K T 1. Tác gi : . 13 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  14. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 H và tên: HOÀNG TH THU HƯƠNG Ngày, tháng, năm sinh: 09/11/1975 ơn v công tác: Trư ng THCS Núi èo Ch c v : Giáo viên i n tho i : Cơ quan 3874449; D : 0982873720 2. S n ph m : Tên s n ph m: Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 3. Cam k t : Tôi xin cam k t sáng ki n kinh nghi m này là s n ph m c a cá nhân tôi. N u có x y ra tranh ch p v quy n s h u i v i m t ph n hay toàn b s n ph m sáng ki n kinh nghi m, tôi hoàn toàn ch u trách nhi m trư c lãnh o ơn v , lãnh o S GD & T v tính trung th c c a b n cam k t này. Núi èo, ngày 12/03/2009. Ngư i vi t cam k t Hoàng Th Thu Hương D, TÀI LI U THAM KH O: 14 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
  15. Phương pháp gi i các bài toán chia h t l p6 STT TÊN TÀI LI U TÁC GI NHÀ XU T B N 1. Nguy n Vĩnh C n Giáo d c TOÁN S H C NÂNG CAO Vũ Dương Thu TOÁN NÂNG CAO 2. Giáo d c VÀ CÁC CHUYÊN TOÁN 6 Nguy n Ng c m Giáo d c (sách BÀI T P NÂNG CAO 3. Bùi văn Tuyên VÀ M T S CHUYÊN TOÁN 6 d thi) 4. Vũ H u Bình Giáo d c NÂNG CAO VÀ PHÁT TRI N TOÁN 6 Nguy n Ng c m 5. Nguy n Quang Hanh i h c Sư ph m 500 BÀI TOÁN CH N LOC 6 Ngô Long H u 15 Ngư i vi t: Hoàng Th Thu Hương - THCS Núi èo
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản