PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Chia sẻ: hpv154654

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh đang ôn thi đại học chuyên môn toán - PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

 

  1. PHƯƠNG PHÁP GI I H PHƯƠNG TRÌNH TRONG KỲ THI TUY N SINH IH C BIÊN SO N: GV NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088 Ph n m t: Các d ng h cơ b n I . H phương trình i x ng. 1.Phương trình i x ng lo i 1. a) nh nghĩa M t h phương trình n x, y ư c g i là h phương trình i x ng lo i 1 n u m i phương trình ta i vai trò c a x, y cho nhau thì phương trình ó không i b) Tính ch t N u ( x0 , y0 ) là m t nghi m thì h ( y0 , x0 ) cũng là nghi m S = x + y i u ki n S 2 ≥ 4 P c) cách gi i   P = x. y Ta bi n i ưa h ã cho (1) v h 2 n S, P (2) (x;y) là nghi m c a (1) khi và ch khi (S,P) là 1 nghi mc c a (2) tho i mãn i u k i n: S 2 − 4 P ≥ 0 v i m i (S;P) tìm ư c ta có (x;y) là nghi m c a phương trình: X 2 − SX + P = 0 . Gi s phương trình có 2 nghi m là X1, X2. + N u ∆ > 0 thì X 1 ≠ X 2 nên h (1) có 2 nghi m phân bi t ( X 1 ; X 2 ) ; ( X 2 ; X 1 ) + N u ∆ = 0 thì X 1 = X 2 nên h có nghi m duy nh t ( X 1 ; X 2 ) . + H có ít nh t m t nghi m tho mãn x ≥ 0 khi và ch khi h (2) có ít nh t 1 nghi m (S;P) tho mãn. ∆ = S 2 − 4 P ≥ 0  S ≥ 0 P ≥ 0  VD 1: Gi i h phương trình  x 2 + y 2 + xy = 7  H có nghi m là (1;2), (2;1) x + y + xy = 5  VD2: nh m h sau có nghi m  x + y + xy = m S: 0 ≤ m ≤ 8 2 x + y2 = m  2) H phương trình i x ng lo i 2. -M t h phương trình 2 n x, y ư c g i là i x ng lo i 2 n u trong h phương trình ta i vai trò x, y cho nhau thì phương trình tr thành phương trình kia.  x 3 + x 2 y = 10 y  VD:  3  y + y 2 x = 10 x  b) Tính ch t. - N u (x0 ; y0 ) là 1 nghi m c a h thì ( y0 ; x0 ) cũng là nghi m c) Cách gi i 1
  2. - Tr v v i v hai phương trình c a h ta ư c m t phương trình có d ng (x − y )[ f (x; y )] = 0 x − y = 0  f ( x; y ) = 0  3x3 = x 2 + 2 y 2  Ví d : Gi i h phương trình sau:  3 3 y = y + 2 x 2 2  HD: Tr hai phương trình c a h ta thu ư c 3( x3 − y 3 ) = −( x 2 − y 2 ) ⇔ ( x − y )[3( x 2 + y 2 + xy ) + x + y ] = 0 H ã cho tương ương v i  x − y = 0  3 (I )  3 y = y + 2 x 2 2 Gi i (I) ta ư c x=y=0 ho c x=y=1  2 3( x + y + xy ) + x + y = 0 2  ( II )  3 y 3 = y 2 + 2 x 2  Xét (II) T gi thi t ta suy ra x, y không âm . N u x, y dương thì h vô nghi m suy ta h có nghi m duy nh t x=y=0 K t lu n: H có 2 nghi m x=y=0 và x=y=1 3) H phương trình v trái ng c p b c II a) Các d ng cơ b n. ax + bxy + cy = d 2 2 . 2 a1 x + b1 xy + c1 y = d1 2  b) Cách gi i. + Xét trư ng h p y=0 xem có ph i là nghi m hay không + t x=ty thay vào h r i chia 2 phương trình c a h cho nhau ta ư c phương trình b c 2 theo t. Gi i phương trình tìm t sau ó th vao m t trong hai phương trình c a h tìm x,y Phương pháp này cũng úng khi v trái là phương trình ng c p b c n.  x 2 − 3xy + y 2 = −1  Ví d : Gi i h  2  x + 2 xy − 2 y = 1 2  + D th y y=0 không ph i là nghi m t y − 3ty + y = −1 2 2 2 2 + t x=ty th vào h ta có  2 2 chia 2 phương trình c a h cho nhau ta t y + 2ty − 2 y = 1 2 2  có t = 1 x = y t 2 − 3t + 1  ⇔ = −1 ⇔ 2t − t − 1 = 0 ⇒ 2 t ó th hai trư ng h p vào t = − 1 x = − 1 y t 2 + 2t − 2   2 2 m t trong hai phương trình c a h gi i. 2
  3. PHƯƠNG PHÁP KHÁC THƯ NG DÙNG PH N HAI: M T S TRONG GI I H I) PHƯƠNG PH P BI N I TƯƠNG ƯƠNG Phương pháp này ch y u là dùng các k năng bi n i phương trình cu h dưa v phương trình ơn gi n có th rút x theo y ho c ngư c l i th vào phương trình khác c ah Ta xét ví d sau: Lo i 1) Trong h có m t phương trình b c nh t theo n x ho c n y. Khi ó ta rút x theo y ho c y theo x th vào phương trình còn l i  x 2 ( y + 1)( x + y + 1) = 3 x 2 − 4 x + 1(1)  Ví d 1) Gi i gh phương trình   xy + y + 1 = x (2) 2  HD: Ta th y x=0 không ph i là nghi m c a phương trình (2) t phương trình (2) ta có x2 − 1 y +1 = thay vào phương trình (1) ta có x  x 2 − 1  x 2 − 1  + x  = 3 x 2 − 4 x + 1 ⇔ ( x − 1) ( 2 x3 + 2 x 2 − x − 1) = ( x − 1)( 3 x − 1) x2    x  x  ( ) ⇔ ( x − 1) 2 x3 + 2 x 2 − 4 x = 0  x + y + xy ( 2 x + y ) = 5 xy  Ví d 2) Gi i h phương trình:   x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy  Gi i: Ta có x=y=0 là nghi m. Các c p s (x,y) v i x=0, y ≠ 0 ho c x ≠ 0, y=0 không là nghi m. 1 1  x + y + 2x + y = 5  Xét xy ≠ 0. chia 2 v phương trình cho xy ≠ 0 ta ư c   1 + 1 + 3x − y = 4 x y  11 Suy ra 5 − 2 x − y = + = 4 + y − 3x ⇔ x = 2 y − 1 xy Thay x=2y-1 vào phương trình th hai ta thu ư c: ( ) 2 y − 1 + y + y ( 2 y − 1) ( 5 y − 3) = 4 ( 2 y − 1) y ⇔ 3 y − 1 + y 10 y 2 − 11y + 3 = 8 y 2 − 4 y ( ) ⇔ 10 y 3 − 19 y 2 + 10 y − 1 = 0 ⇔ ( y − 1) 10 y 2 − 9 y + 1 9 + 41 9 − 41 ⇔ y = 1; y = ;y = 20 20 3
  4. ( y = 1; x = 1)  41 − 1  9 + 41 áp s :  y = ;x =    20 10    − 41 − 1  9 + 41 y= ;x =    20 10   Lo i 2) M t phương trình c a h có th ưa v d ng tích c a 2 phương trình b c nh t hai n. Khi ó ta ưa v gi i 2 h phương trình tương ương  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 (1)  Ví d 1) Gi i h phương trình sau   x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y (2)  i u ki n là y ≥ 0; x ≥ 1 x = − y Phương trình (1) ⇔ (x+y)(x-2y-1)=0 t ó ta có  thay l n lư t hai trư ng h p x = 2 y +1 vào phương trình (2) gi i  x + y + x − y = 1 + x 2 − y 2 (1)  Ví d 2)Gi i h phương trình:   x + y = 1(2)  G i i: i u k i n x ≥ y ≥ 0 ( ) (1) ⇔ ( x + y − 1) x − y −1 = 0  x + y = 1    x + y = 1  ã cho tương ương v i:  H  x − y = 1   x + y = 1  x + y = 1 x = 1 x = 0  ⇔ gi i  và   x + y =1 y = 0 y =1  x − y = 1 x = 1  ⇔ gi i   x + y =1 y = 0  áp s : x=1,y=0 và x=0, y=1. y −3   x+ y + x+3 = (1) Ví d 3) Gi i h phương trình:  x  x + y + x = x + 3(2)  Gi i: i u ki n x > 0, y ≥ 3 y −3 y −3 Ta có: (1) ⇔ = x+ y − x+3 x V i y=3 ta có 2 x + 3 = 0 ⇔ x = −3 (lo i) 4
  5.  x+ y − x+3 = x  V i y ≠ 3 ta có   x+ y + x = x+3  Suy ra x + 3 − x = x + y = x + x + 3 y +1 = 3 ⇔ y = 8 x + 3 + x = 3 ⇔ x = 1 thay vào (2) ta ư c: Suy ra x = 1 áp s :  y = 8 Chú ý: Trong m t s bài toán nhi u khi các em c n c ng ho c tr 2 phương trình c a h sau ó m i xu t hi n phương trình d ng tích  x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41  Ví d 4) Gi i h phương trình :   xy ( x + y ) = 10 2 2  ( ) ng th c: ( x + y ) = x 4 + y 4 + 4 xy x 2 + y 2 + 6 x 2 y 2 4 Gi i: S d ng h ng  x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41  HD: H ã cho tương ương v i  ( ) 4 xy x + y = 40 2 2  c ng v v i v 2 phương trình ta thu ư c: ( ) x 4 + y 4 + 4 xy x 2 + y 2 + 6 x 2 y 2 = 81 ⇔ ( x + y ) = 81 ⇔ x + y = ±3 4  x + y = 3   ( )   xy x + y = 10 2 2  h ã cho tương ương v i    x + y = −3   ( )   xy x + y = 10 2 2  x + y = 3 x + y = 3 x + y = 3    ⇔ ⇔ a) Xét  ( )  xy ( x − y ) − 2 xy  = 10  xy ( 9 − 2 xy ) = 10    xy x + y = 10 2 2 2     x + y = −3  x + y = −3   ⇔ b) Xét  ( )  xy ( 9 − 2 xy ) = 10  xy x + y = 10 2 2   Lo i 3) M t phương trình c a h là phương trình b c 2 theo m t n ch ng h n x là n. Khi ó ta coi y như là tham s gi i x theo y. (1)  y = (5 x + 4)(4 − x) 2 Ví d 1) Gi i h phương trình sau  −5 x + y − 4 xy + 16 x − 8 y + 16 = 0 ( 2 ) 2 2  HD: Coi phương trình (2) là phương trình theo n y ta có (2) ⇔ y2 –4(x+2)y- 5x2+16x+16=0 5
  6.  y = 5x + 4 thay l n lư t hai trư ng h p vào phương trình ta s gi i Gi i y theo x ta có  y = 4− x ư c các nghi m c a h 2 x 2 + 2 xy + y = 5  Ví d 2) Gi i h phương trình sau:  2  y + xy + 5 x = 7  Tr hai phương trình c a hê cho nhau ta có 2 x 2 − y 2 + xy + y − 5 x + 2 = 0 ⇔ y +1  x= 2 x + ( y − 5) x − y + y + 2 = 0; ∆ = ( y − 5) − 8(− y + y + 2) = (3 y − 3) ⇒  2 2 2 2 2 2  x = 2− y  Thay l n lư t 2 trư ng h p vào h ta gi i ư c x, y II) PHƯƠNG PHÁP T N PH i m m u ch t c a phương pháp này là ph i phát hi n n ph u=f(x,y) và v=g(x,y) ngay trong t ng phương trình c a h ho c sau các phép bi n i Thông thư ng các phép bi n i thư ng xoay quanh vi c c ng, tr 2 phương trình c a h ho c chia các v phương trình cho m t s h ng khác không có s n trong các phương trình c a h tìm ra nh ng ph n chung mà sau ó ta t thành n ph  x 2 + 1 + y ( y + x) = 4 y  (1) Ví d 1) Gi i h phương trình sau  2 ( )  x + 1 ( y + x − 2) = y (2)  HD: Ta th y y=0 không ph i là nghi m c a h . Chia hai v phương trình (1) và (2) cho y ta có h tương ương sau  x2 + 1 +x+ y =4  u + v = 2 x2 + 1 y ; v=x+y-2 ta có h sau  2 t u= Gi i h tìm u,v uv = 1 x +1 y ( )( x + y − 2) = 1 y  sau ó tìm x, y.  3 4 xy + 4( x + y ) + =7 2 2 ( x + y) 2  i u ki n x+y ≠ 0 Ví d 2) Gi i h phương trình sau  2 x + 1 =3  x+ y   3 3 ( x + y ) + ( x − y ) + 2 2 =7 (x + y) 2  1 t u = x+ y+ ;v = x − y Khi ó ta có h sau  x+ y x + y + 1 + x − y = 3  x+ y  V i u ≥2 3u 2 + v 2 = 13 Thay vào ta có  Gi i h t ìm u;v sau ó thay vào tìm x; y u + v = 3 6
  7.  x3 + y 2 x + 3 x 2 + y 2 + 3x − 2 y + 1 = 0  Ví d 3) Gi i h phương trình:  3 2 y + xy + y − 3x − 3 = 0 2 2  ( x + 1)3 + ( x + 1) y 2 = 2 y  Gi i: H phương trình tương ương v i  ( x + 1) y + 2 y = 3 ( x + 1) 2 3  t u=x+1 u 3 + uy 2 = 2 y  Ta có h m i  2 uy + 2 y = 3u 3  D th y u=y=0 là m t nghi m Xét y ≠ 0 t u=ty th vào h sau ó chia hai v phương trình cho nhau ta ư c phương trình m t n t. ( ây là m t bi n th c a h phương trình ng b c) ( x + y ) (1 + xy ) = 18 xy  Ví d 4) Gi i h phương trình:  2 ( )  x + y 1 + x y = 208 x y 2 22 22  Gi i: Ta có x=y=0 lànghi m. Xét xy ≠ 0 . H phương trình tương ương v i   1 ( x + y ) 1 +  = 18 u + v = 18   xy  1 1 t u = x + , v = y + ta ư c  2 2  . u + v = 208  x 2 + y 2 1 + 1  = 208 x y ( )  2 2   xy     1 ( x + y ) 1 +  = 5   xy  Ví d 5)Gi i h phương trình   xy + 1 = 4   xy G i i: u + v = 5 1 1 i u ki n xy ≠ 0 . t u = x + , v = y + ta ư c h  uv = 6 y x  x y   +  ( x + y ) = 15  y x  Ví d 6) Gi i h phương trình :  2  x + y  x 2 + y 2 = 85 2 ( )  y 2 x 2    xy Gi i: t u = + , v = x + y .Ta có: yx 2 2 x y + 2 = u2 − 2 2 y x x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy = v 2 − 2 xy 2 7
  8. x2 + y 2 u= ⇔ u.xy = x 2 + y 2 xy v2 Suy ra u.xy = v 2 − 2 xy ⇒ xy = u+2 2 uv 2 2v 15v Suy ra x 2 + y 2 = v 2 − = = ( vì uv=15) u+2 u+2 u+2 uv = 15  Ta ư c h  2  15v  ( u − 2 )  u + 2  = 85     x 2 y + 2 y + x = 4 xy  Ví d 7) Gi i h :  1 1x  x 2 + xy + y = 3  Gi i: i u ki n xy ≠ 0 .  111 x + x + x + y = 4  h phương trình tương ương v i  . 1  1 1    x+  +  = 4   x  x y  u + v = 4 u = 2 1 11 t u = x + , v = + ta ư c:  ⇔ uv = 4 v = 2 x xy  1 x + x = 2  ⇔ ( x = 1, y = 1) H phương trình tương ương v i  1 + 1 = 2 x y  III) PHƯƠNG PHÁP HÀM S Lo i 1) M t phương trình c a h có d ng f(x)=f(y). M t phương trình cho ta bi t t p giá tr c a x ho c y. T ó suy ra hàm f(x) ơn i u suy ra x=y (1)  x3 − 5x = y3 − 5 y  Ví d 1) Gi i h phương trình sau  8 ( 2) x + y = 1 4  T phương trình (2) ta suy ra x , y ≤ 1 Xét phương trình f ( x) = x3 − 5 x v i x ∈ [ −1;1] ; f '( x) = 3 x 2 − 5 < 0∀x ∈ [ −1;1] nên f(x) là hàm ngh ch bi n suy ra x=y thay vào phương trình (2) ta d dàng gi i ư c nghi m L o i 2) H i x ng mà sau khi bi n i th ơng ưa v d ng f(x)=f(y) ho c f(x)=0 trong ó f là hàm ơn i u  x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1  Ví d 1) Gi i h phương trình sau   y + y 2 − 2 y + 2 = 3x −1 + 1  8
  9.  u + u + 1 = 3 2 v HD: t x-1=u; y-1=v ta có h  v + v 2 + 1 = 3u  Tr theo v hai phương trình trên ta ư c u + u 2 + 1 + 3u = v + v 2 + 1 + 3v Xét hàm s x f ( x) = x + x 2 + 1 + 3x ; f '( x) = 1 + + 3x ln 3 > 0∀x ⇒ u = v . Thay vào (1) ta có x +1 2 ( ) u + u 2 + 1 = 3u ⇔ ln u + u 2 + 1 = u ln 3 ; f (u ) = ln(u + u 2 + 1) − u ln 3 ta có u 1+ u 2 + 1 − ln 3 = 1 − ln 3 < 0∀u ⇒ f (u ) là hàm s ngh ch bi n. Ta có f '(u ) = u + u2 +1 u2 +1 khi u=0 thì f(0)=0 nên u=v=0 là nghi m duy nh t ⇒ x=y=1 là nghi m duy nh t c a h ban u  x3 − 3x2 + 2 = y3 − 3 y − 2   x−2  y −1  Ví d 2) Gi i h phương trình sau:  log y  y − 1  + log x  x − 2  = ( x − 2011) 2      Gi i: t y=u-1 thay vào phương trình (1) c a h ta có x 3 − 3 x 2 = u 3 − 3u 2 . Ta th y bài toán xác nh khi  0 < y < 1   0 < x < 2 Trong c hai trư ng h p ta th y hàm s f ( x) = x3 − 3 x 2 ⇒ f '( x) = 3 x( x − 2)  x > 2   y > 1  luôn ơn i u nên Ta có x = u ⇔ x = y + 1 thay vào phương trình (2) c a h ta có x=2011 là nghi m. Chú ý: Trong bài t p này ta cũng có th bi n i tr c ti p phương trình u c a h v d ng x3 − 3x 2 = ( y + 1) − 3( y + 1) 2 3 ( 4 x + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 2 Ví d 3) Gi i h phương trình sau:  4 x 2 + y 2 + 2 3 − 4 x = 7  5−t 2 HD: t 5 − 2 y = t ⇒ y = thay vào phương trình (1) c a h ta có 2 5 − t2 4 x3 + x = t (3 − ) ⇔ 8 x3 + 2 x = t 3 + t Xét f ( x) = x3 + x ⇒ f '( x) = 3 x 2 + 1 suy ra hàm 2 5 − 4 x2 s f ( x) luôn ng bi n t ó suy ra t = 2 x ⇔ 5 − 2 y = 2 x ⇔ y = th vào 2 phương trình (2) c a h ta có 9
  10. 2  5 − 4 x2   3  + 2 3 − 4 x − 7 = 0 v i x ∈ 0;  . g ( x) = 4 x +  2  4 2 D th y x=0 ho c x=3/4 u không ph i là nghi m 5   3 4 4 g '( x) = 8 x − 8 x  − 2 x 2  − = 4 x(4 x 2 − 3) − < 0 v i x ∈  0;  Ta có 3 − 4x 3 − 4x 2   4 1 1 g ( ) = 0 ⇒ x = ; y = 2 là nghi m duy nh t c a h . 2 2 IV) PHƯƠNG PHÁP ÁNH GIÁ V i phương pháp này h c sinh c n quan sát n m ch c các bi u th c không âm trong h , qua ó v n d ng các b t ng th c ánh giá  2 xy x + 3 2 = x2 + y x − 2x + 9  Ví d 1) Gi i h phương trình  2 xy y + = y2 + x  y − 2y + 9 2 3  HD:C ng 2 v c a hai phương trình v i nhau ta có 2 xy 2 xy + = x 2 + y 2 Ta có x=y=0 là m t nghi m c a h x − 2x + 9 y − 2y + 9 32 2 3 Có 3 x 2 − 2 x + 9 = 3 ( x − 1) 2 + 8 ≥ 2 ⇒ VT ≤ 2 xy; x 2 + y 2 ≥ 2 xy ⇒ VP ≥ 2 xy . D u b ng x y ra khi và ch khi x=y=1 K t lu n: H có 2 ngi m x=y=0 và x=y=1  y = − x + 3x + 4  3 Ví d 2) Gi i h phương trình sau  x = 2 y − 6 y − 2 3  ( y − 2 ) = −( x + 1)2 ( x − 2) (1)  H ã cho tương ương v i  ( x − 2 ) = 2 ( y + 1) ( y − 2) 2 (2)  N u y > 2 t (1) suy ra x<2. Nhưng i u này là vô lý vì (2) vô nghi m L p lu n tương t cho trư ng h p y<2 K t lu n x=y=2 là nghi m duy nh t c a h phương trình. (1 + x)(1 + x )(1 + x ) = 1 + y  2 4 7 Ví d 3) Gi i h phương trình sau:  (1 + y )(1 + y )(1 + y ) = 1 + x 2 4 7  HD: D th y x=y=0 ho c x=y=-1 là nghi m Xét x>0 ta có (1 + x)(1 + x 2 )(1 + x 4 ) = 1 + x + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x 6 + x 7 > 1 + x 7 ⇒y>x ⇒ 1 + y + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 + y 7 > 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x5 + x 6 + y 7 > 1 + y 7 ⇒ x > y V y h vô nghi m. Tương t khi y>0 h cũng vô nghi m Xét x<-1 ⇒ 1 + x 7 < 0 ⇒ 1 + y < 0 ⇒ y < −1 10
  11. Ta có 1 + ( x + x 2 ) + ( x 3 + x 4 ) + ( x 5 + x 6 ) + x 7 > 1 + x 7 ⇒ y > x . Tương t khi y<-1 ta có x>y . V y h vô nghi m Xét trư ng h p -1<x<0 ch ng minh tương t ta có h vô nghi m. K t lu n: x=y=0 ho c x=y=-1 V) GI I H B NG CÁCH ƯA V PHƯƠNG TRÌNH CÙNG B C Cơ s c a pp này là khi 2 phương trình c a h có th ưa v d ng phương trình cùng b c so c i x,y thì ta t x=ty sau ó ưa v phương trình m t n s và gi i như bình thư ng 2 x + 3 y = x + 3xy + y  2 2 Ví d 1) Gi i h phương trình sau  2 x + 2 y = x + 2 y 2  HD: Rõ ràng ban u h không thu c d ng c bi t nào c nhưng quan sát k Hs s th y i m m u ch t c a bài toán n m v n sau Ta th y x=y=0 là m t nghi m c a h Xét trư ng h p x, y ≠ 0 h ã cho tương ương v i (2x+3y)(x 2 +2y 2 )=(x+2y)(x 2 +3xy+y 2 ) ⇔ x 3 + 4 y 3 − 3 xy 2 − 2 x 2 y = 0 t x=ty th vào phương trình ta có  t = 1  1 + 17 t − 2t − 3t + 4 = 0 ⇔ (t − 1)(t `−t − 4) = 0 ⇔ t = 3 2 2  2  t = 1 − 17   2 T ó ta gi i h theo 3 trư ng h p c a t. Sau khi gi i xong chú ý vi c th nghi m ch n nghi m chính xác 2 x 2 y 2 + x 2 + 2 x = 2  Ví d 2) Gi i h phương trình sau:  2 2 x y − x y + 2 xy = 1 22  2( xy ) 2 + ( x + 1) 2 = 3  HD: Ta th y h tương ương v i  t xy=u;x+1=v Ta ư c h 2 xy ( x + 1) − xy = 1 2  ng b c 2u 2 + v 2 = 3   2uv − u = 1 2  Trong m t s bài t p vi c ưa v h ng b c nhi u khi ò i h i nh ng k th t tương i khó nhưng sau ó ta thư ng thu ư c cách gi i h khá hay. Ta xét ví d sau:  x + y + xy + 2 y + x = 2 2 2 Ví d 3) Gi i h phương trình sau:  2 2 x − y − 2 y − 2 = 0 2  HD: t x=u+a,y=y+b thay vào phương trình u c a h ta có 11
  12. (u + a ) + ( v + b) + (u + a)(v + b) + 2(v + b) + u + a = 0 2 2 h phương trình òng b c thì i u ki n c n là trong phương trình không có s h ng b c nh t. 2a + b + 1 = 0 a = 0 ⇒ Suy ra  2b + a + 2 = 0 b = −1  x 2 + u 2 + xu = 3  t y=u-1 ta có h sau:  2 2 x − u = 1 2  BÀI T P GI I H PHƯƠNG TRÌNH M TS Biên so n: NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088 2 5  x + y + x y + xy + xy = − 4 3 2 x + 2x y + x y = 2 x + 9 4 3 22  1)  2)  2  x + 2 xy = 6 x + 6  x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x ) = − 5    4  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 x 2 + y 2 + x − y = 4  3)  4)   x( x − y + 1) + y ( y − 1) = 2 x 2 y − y x − 1 = 2x − 2 y   x 2 + y 2 + xy = 7 1 + x 3 y 3 = 19 x 3   5)  4 6)   x + y 4 + x 2 y 2 = 21  y + xy 2 = −6 x 2     1 (x + y )1 +  = 5  xy   xy + 3 y 2 − x + 4 y = 7     8)  7)  2 xy + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0 ( )  x 2 + y 2 1 + 1  = 49     x2 y2       x+ y − x− y = 2  x 3 + 2 xy 2 + 12 y = 0   9)  10)  2 8 y + x 2 = 12  x +y + x −y =4 2 2 2 2    x + x 2 − y 2 x − x 2 − y 2 17 + =  2 x 2 + 5 xy + 2 y 2 + x + y + 1 = 0 4 12)   11)  x − x − y x+ x − y 2 2 2 2 2  x + y 2 + 4 xy + 12 x + 12 y + 10 = 0    x( x + y ) + x + xy + 4 = 52 2   2( x − y ) = xy x + y + x − 2 y = 2 2 2  13)  2 14)   x + y + 2 x + 2 y = 11 x − y = 3 2 2 2   2 2 xy  y x 2 − y 2 = 48 x + y + x + y = 1 2  15)  16)   x + y + x 2 − y 2 = 24  x + y = x2 − y    2y 2 xy + 3 x + 4 y = −6 x − y + = −2 18)  17)  2 x  x + 4 y + 4 x + 12 y = 3 2 2 xy − 2 y 2 + x = 0  12
  13.  x 2 + y 2 + xy = 3 x2 y + 2x + 3y = 6  19)  2 20)  3 xy + x + y = 5  x + 2 xy = 7 x + 5 y − 9   x + y + xy = 3 2 x y + x + 2 x = 2 2  22 2 2 21)  2 22)  2  y − xy + 5 x + 4 y = 9 2 x y − x y + 2 xy = 1 22   2 x 2 + 2 y 2 = 1 + 2 x + y  x2 y 2 + y 4 + 1 = 3 y 2   23)  2 24)  2 2 y + 2 x + y + 1 = 6 xy  xy + x = 2 y    2 y − x + 6 y + y x − 2 y = 0  x+ y + x− y =2 y 2  26)  25)   x + 5y = 3  x + x − 2 y − x − 3y = 2   2 1 2 x + x − y = 2  x − 2 y − xy = 0  28)  27)   x −1 − 2 y −1 = 1  y − y 2 x − 2 y 2 = −2    x2 y + y = 2  x3 + y 2 x + 3x 2 + y 2 + 3x − 2 y + 1 = 0   30)  3 29)  2 1 x + 2 + x y = 3 2 y + xy + y − 3 x − 3 = 0 22 2 2   x y −3   x + y + x − y = 1 + x 2 − y 2 (1)  x+ y + x+3 = (1)  32)  31)  x  x + y = 1(2)  x + y + x = x + 3(2)    3 4 xy + 4( x + y ) + =7 2 2  x 2 y + 2 y + x = 4 xy ( x + y) 2   34)  1 33)  1x  x 2 + xy + y = 3 2 x + 1 = 3   x+ y   2 xy x + 3 2 = x2 + y  x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1 x − 2x + 9   35)  36 )  2 xy  y + y 2 − 2 y + 2 = 3x −1 + 1 y + = y2 + x   y − 2y + 9 2 3   x + y + xy ( 2 x + y ) = 5 xy  x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41   37)  38)  ( )  x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy  xy x + y = 10 2 2    x2 y + y3 = x 4 + x6  x 3 + 4 y = y 3 + 16 x   39)  40)  1 + y = 5( x + 1) ( x + 2) y + 1 = ( x + 1) 2 2 2    x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y  x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 1 + 2 xy   41)  42)   y ( x + y ) = 2( x + 1) + 7 y  x + x y + xy = y + xy + 1 2 2 2 2   13
  14.  x3 − 3x 2 = y 3 − 3 y − 2 ( 4 x 2 + x ) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0    x−2  y −1  44)  43)  log y  y − 1  + log x  x − 2  = ( x − 3) 3 4 x + y + 2 3 − 4 x = 7 2 2        x − y sin x e = sin y  π x, y ∈  0;  45)   4 3 8 x 2 + 3 + 1 = 6 2 y 2 − 2 y + 1 + 8 y  (1 + 42 x − y ) 51− 2 x + y = 1 + 22 x − y +1  1− x 2 3 2 x − 2 y = − xy −  2 47)  46)   y + 4 x + 1 + ln ( y + 2 x ) = 0 2 3 2 ( x 2 y + 2 x ) 2 − 2 x 2 y + 1 − 4 x = 0    x2 +1 8 y 2 + 1 2 − 4 = 3(2 y − x )  x 2 + y 2 + xy + 2 y + x = 2 2  49)  2 48)  2 x = 2 + y + 2 y 3 7 2  2( x + y ) + x+ y = 2  2 2 x + 2 y + 2x + 8 y + 6 = 0  x 2 + xy + y 2 = 3 2 2   50)  2 51)  3  x + xy + y + 4 x + 1 = 0 x + 2 y = y + 2x 3    x 2 + y 2 + xy = 3  x2 + y 2 + 2 x = 3   53)  x 5 + y 5 31 52)  3  x3 + y3 = 7 2( x + y ) + 6 x = 5 + 3( x + y ) 3 2 2 2    x 2 − 8 x + 9 − 3 xy + 12 − 6 x ≤ 1  x2 + y 2 = 5   55)  54)  4  x + y + 6 x y + 20 xy = 81 4 22  2( x − y ) 2 + 10 x − 6 y + 12 − y = x + 2    y 6 + y 3 + 2 x 2 = xy − x 2 y 2 2  y + (4 x − 1) = 3 4 x(8 x + 1) 2  56)  57)  1 4 xy + y + ≥ 2 x + 1 + ( 2 x − y ) 40 x + x = y 14 x − 1 2 2 3 3 2   2   1  3x 1 + =2  x+ y  58)   7 y 1 − 1  = 4 2     x+ y  Trong bài vi t có s d ng m t s tư li u trích t bài vi t c a th y Nguy n Minh Nhiên, th y Nguy n T t Thu.Tôi xin chân thành c m ơn các th y. 14
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản