PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Chia sẻ: hpv154654

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh đang ôn thi đại học chuyên môn toán - PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

PHƯƠNG PHÁP GI I H PHƯƠNG TRÌNH TRONG
KỲ THI TUY N SINH IH C
BIÊN SO N: GV NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088
Ph n m t: Các d ng h cơ b n
I . H phương trình i x ng.
1.Phương trình i x ng lo i 1.
a) nh nghĩa
M t h phương trình n x, y ư c g i là h phương trình i x ng lo i 1 n u m i
phương trình ta i vai trò c a x, y cho nhau thì phương trình ó không i
b) Tính ch t
N u ( x0 , y0 ) là m t nghi m thì h ( y0 , x0 ) cũng là nghi m

S = x + y
i u ki n S 2 ≥ 4 P
c) cách gi i 
 P = x. y
Ta bi n i ưa h ã cho (1) v h 2 n S, P (2) (x;y) là nghi m c a (1) khi và ch khi
(S,P) là 1 nghi mc c a (2) tho i mãn i u k i n: S 2 − 4 P ≥ 0 v i m i (S;P) tìm ư c ta có
(x;y) là nghi m c a phương trình: X 2 − SX + P = 0 .
Gi s phương trình có 2 nghi m là X1, X2.
+ N u ∆ > 0 thì X 1 ≠ X 2 nên h (1) có 2 nghi m phân bi t ( X 1 ; X 2 ) ; ( X 2 ; X 1 )
+ N u ∆ = 0 thì X 1 = X 2 nên h có nghi m duy nh t ( X 1 ; X 2 ) .
+ H có ít nh t m t nghi m tho mãn x ≥ 0 khi và ch khi h (2) có ít nh t 1
nghi m (S;P) tho mãn.
∆ = S 2 − 4 P ≥ 0

S ≥ 0
P ≥ 0

VD 1: Gi i h phương trình
 x 2 + y 2 + xy = 7
 H có nghi m là (1;2), (2;1)
x + y + xy = 5

VD2: nh m h sau có nghi m
 x + y + xy = m
S: 0 ≤ m ≤ 8
2
x + y2 = m

2) H phương trình i x ng lo i 2.
-M t h phương trình 2 n x, y ư c g i là i x ng lo i 2 n u trong h phương trình ta
i vai trò x, y cho nhau thì phương trình tr thành phương trình kia.
 x 3 + x 2 y = 10 y

VD:  3
 y + y 2 x = 10 x

b) Tính ch t.
- N u (x0 ; y0 ) là 1 nghi m c a h thì ( y0 ; x0 ) cũng là nghi m
c) Cách gi i



1
- Tr v v i v hai phương trình c a h ta ư c m t phương trình có d ng
(x − y )[ f (x; y )] = 0
x − y = 0
 f ( x; y ) = 0

3x3 = x 2 + 2 y 2

Ví d : Gi i h phương trình sau:  3
3 y = y + 2 x
2 2

HD: Tr hai phương trình c a h ta thu ư c
3( x3 − y 3 ) = −( x 2 − y 2 ) ⇔ ( x − y )[3( x 2 + y 2 + xy ) + x + y ] = 0
H ã cho tương ương v i
 x − y = 0
 3 (I )
 3 y = y + 2 x
2 2

Gi i (I) ta ư c x=y=0 ho c x=y=1
 2
3( x + y + xy ) + x + y = 0
2
 ( II )
 3 y 3 = y 2 + 2 x 2

Xét (II) T gi thi t ta suy ra x, y không âm . N u x, y dương thì h vô nghi m suy ta h
có nghi m duy nh t
x=y=0
K t lu n: H có 2 nghi m x=y=0 và x=y=1

3) H phương trình v trái ng c p b c II
a) Các d ng cơ b n.
ax + bxy + cy = d
2 2

. 2
a1 x + b1 xy + c1 y = d1
2

b) Cách gi i.
+ Xét trư ng h p y=0 xem có ph i là nghi m hay không
+ t x=ty thay vào h r i chia 2 phương trình c a h cho nhau ta ư c phương trình b c
2 theo t. Gi i phương trình tìm t sau ó th vao m t trong hai phương trình c a h tìm
x,y
Phương pháp này cũng úng khi v trái là phương trình ng c p b c n.
 x 2 − 3xy + y 2 = −1

Ví d : Gi i h  2
 x + 2 xy − 2 y = 1
2

+ D th y y=0 không ph i là nghi m
t y − 3ty + y = −1
2 2 2 2

+ t x=ty th vào h ta có  2 2 chia 2 phương trình c a h cho nhau ta
t y + 2ty − 2 y = 1
2 2


t = 1 x = y
t 2 − 3t + 1  ⇔
= −1 ⇔ 2t − t − 1 = 0 ⇒
2
t ó th hai trư ng h p vào
t = − 1 x = − 1 y
t 2 + 2t − 2
 
2 2
m t trong hai phương trình c a h gi i.



2
PHƯƠNG PHÁP KHÁC THƯ NG DÙNG
PH N HAI: M T S
TRONG GI I H
I) PHƯƠNG PH P BI N I TƯƠNG ƯƠNG
Phương pháp này ch y u là dùng các k năng bi n i phương trình cu h dưa v
phương trình ơn gi n có th rút x theo y ho c ngư c l i th vào phương trình khác
c ah
Ta xét ví d sau:
Lo i 1) Trong h có m t phương trình b c nh t theo n x ho c n y. Khi ó ta rút x
theo y ho c y theo x th vào phương trình còn l i
 x 2 ( y + 1)( x + y + 1) = 3 x 2 − 4 x + 1(1)

Ví d 1) Gi i gh phương trình 
 xy + y + 1 = x (2)
2

HD: Ta th y x=0 không ph i là nghi m c a phương trình (2) t phương trình (2) ta có
x2 − 1
y +1 = thay vào phương trình (1) ta có
x
 x 2 − 1  x 2 − 1 
+ x  = 3 x 2 − 4 x + 1 ⇔ ( x − 1) ( 2 x3 + 2 x 2 − x − 1) = ( x − 1)( 3 x − 1)
x2  
 x  x 
( )
⇔ ( x − 1) 2 x3 + 2 x 2 − 4 x = 0
 x + y + xy ( 2 x + y ) = 5 xy

Ví d 2) Gi i h phương trình: 
 x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy

Gi i: Ta có x=y=0 là nghi m.
Các c p s (x,y) v i x=0, y ≠ 0 ho c x ≠ 0, y=0 không là nghi m.
1 1
 x + y + 2x + y = 5

Xét xy ≠ 0. chia 2 v phương trình cho xy ≠ 0 ta ư c 
 1 + 1 + 3x − y = 4
x y

11
Suy ra 5 − 2 x − y = + = 4 + y − 3x ⇔ x = 2 y − 1
xy
Thay x=2y-1 vào phương trình th hai ta thu ư c:
( )
2 y − 1 + y + y ( 2 y − 1) ( 5 y − 3) = 4 ( 2 y − 1) y ⇔ 3 y − 1 + y 10 y 2 − 11y + 3 = 8 y 2 − 4 y
( )
⇔ 10 y 3 − 19 y 2 + 10 y − 1 = 0 ⇔ ( y − 1) 10 y 2 − 9 y + 1
9 + 41 9 − 41
⇔ y = 1; y = ;y =
20 20




3
( y = 1; x = 1)
 41 − 1 
9 + 41
áp s :  y = ;x = 
 
20 10 

 − 41 − 1 
9 + 41
y= ;x = 
 
20 10 

Lo i 2) M t phương trình c a h có th ưa v d ng tích c a 2 phương trình b c nh t
hai n. Khi ó ta ưa v gi i 2 h phương trình tương ương
 xy + x + y = x 2 − 2 y 2 (1)

Ví d 1) Gi i h phương trình sau 
 x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y (2)

i u ki n là y ≥ 0; x ≥ 1
x = − y
Phương trình (1) ⇔ (x+y)(x-2y-1)=0 t ó ta có  thay l n lư t hai trư ng h p
x = 2 y +1
vào phương trình (2) gi i
 x + y + x − y = 1 + x 2 − y 2 (1)

Ví d 2)Gi i h phương trình: 
 x + y = 1(2)

G i i: i u k i n x ≥ y ≥ 0
( )
(1) ⇔ ( x + y − 1) x − y −1 = 0
 x + y = 1


 x + y = 1

ã cho tương ương v i: 
H
 x − y = 1

 x + y = 1

x + y = 1 x = 1 x = 0

⇔
gi i  và 
 x + y =1 y = 0 y =1

x − y = 1 x = 1

⇔
gi i 
 x + y =1 y = 0

áp s : x=1,y=0 và x=0, y=1.
y −3

 x+ y + x+3 = (1)
Ví d 3) Gi i h phương trình:  x
 x + y + x = x + 3(2)

Gi i: i u ki n x > 0, y ≥ 3
y −3 y −3
Ta có: (1) ⇔ =
x+ y − x+3 x
V i y=3 ta có 2 x + 3 = 0 ⇔ x = −3 (lo i)




4
 x+ y − x+3 = x

V i y ≠ 3 ta có 
 x+ y + x = x+3


Suy ra x + 3 − x = x + y = x + x + 3
y +1 = 3 ⇔ y = 8
x + 3 + x = 3 ⇔ x = 1 thay vào (2) ta ư c:
Suy ra
x = 1
áp s : 
y = 8
Chú ý: Trong m t s bài toán nhi u khi các em c n c ng ho c tr 2 phương trình
c a h sau ó m i xu t hi n phương trình d ng tích
 x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41

Ví d 4) Gi i h phương trình : 
 xy ( x + y ) = 10
2 2

( )
ng th c: ( x + y ) = x 4 + y 4 + 4 xy x 2 + y 2 + 6 x 2 y 2
4
Gi i: S d ng h ng
 x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41

HD: H ã cho tương ương v i 
( )
4 xy x + y = 40
2 2

c ng v v i v 2 phương trình ta thu ư c:
( )
x 4 + y 4 + 4 xy x 2 + y 2 + 6 x 2 y 2 = 81 ⇔ ( x + y ) = 81 ⇔ x + y = ±3
4



 x + y = 3


( )
  xy x + y = 10
2 2

h ã cho tương ương v i 
  x + y = −3


( )
  xy x + y = 10
2 2

x + y = 3
x + y = 3 x + y = 3

 
⇔ ⇔
a) Xét 
( )  xy ( x − y ) − 2 xy  = 10  xy ( 9 − 2 xy ) = 10
 
 xy x + y = 10
2
2 2
 

 x + y = −3  x + y = −3


⇔
b) Xét 
( )  xy ( 9 − 2 xy ) = 10
 xy x + y = 10
2 2



Lo i 3) M t phương trình c a h là phương trình b c 2 theo m t n ch ng h n x là
n. Khi ó ta coi y như là tham s gi i x theo y.
(1)
 y = (5 x + 4)(4 − x)
2
Ví d 1) Gi i h phương trình sau 
−5 x + y − 4 xy + 16 x − 8 y + 16 = 0 ( 2 )
2 2


HD: Coi phương trình (2) là phương trình theo n y ta có (2) ⇔ y2 –4(x+2)y-
5x2+16x+16=0




5
 y = 5x + 4
thay l n lư t hai trư ng h p vào phương trình ta s gi i
Gi i y theo x ta có 
y = 4− x
ư c các nghi m c a h
2 x 2 + 2 xy + y = 5

Ví d 2) Gi i h phương trình sau:  2
 y + xy + 5 x = 7

Tr hai phương trình c a hê cho nhau ta có 2 x 2 − y 2 + xy + y − 5 x + 2 = 0 ⇔
y +1

x=
2 x + ( y − 5) x − y + y + 2 = 0; ∆ = ( y − 5) − 8(− y + y + 2) = (3 y − 3) ⇒ 
2 2 2 2 2
2

x = 2− y

Thay l n lư t 2 trư ng h p vào h ta gi i ư c x, y
II) PHƯƠNG PHÁP T N PH
i m m u ch t c a phương pháp này là ph i phát hi n n ph u=f(x,y) và v=g(x,y)
ngay trong t ng phương trình c a h ho c sau các phép bi n i
Thông thư ng các phép bi n i thư ng xoay quanh vi c c ng, tr 2 phương trình
c a h ho c chia các v phương trình cho m t s h ng khác không có s n trong các
phương trình c a h tìm ra nh ng ph n chung mà sau ó ta t thành n ph

 x 2 + 1 + y ( y + x) = 4 y
 (1)
Ví d 1) Gi i h phương trình sau  2
( )
 x + 1 ( y + x − 2) = y (2)

HD: Ta th y y=0 không ph i là nghi m c a h . Chia hai v phương trình (1) và (2) cho y
ta có h tương ương sau
 x2 + 1
+x+ y =4

u + v = 2
x2 + 1
y
; v=x+y-2 ta có h sau 
2 t u= Gi i h tìm u,v
uv = 1
x +1 y
( )( x + y − 2) = 1
y

sau ó tìm x, y.
 3
4 xy + 4( x + y ) + =7
2 2

( x + y)
2

i u ki n x+y ≠ 0
Ví d 2) Gi i h phương trình sau 
2 x + 1
=3
 x+ y

 3
3 ( x + y ) + ( x − y ) +
2 2
=7
(x + y)
2
 1
t u = x+ y+ ;v = x − y
Khi ó ta có h sau 
x+ y
x + y + 1 + x − y = 3
 x+ y

V i u ≥2
3u 2 + v 2 = 13
Thay vào ta có  Gi i h t ìm u;v sau ó thay vào tìm x; y
u + v = 3



6
 x3 + y 2 x + 3 x 2 + y 2 + 3x − 2 y + 1 = 0

Ví d 3) Gi i h phương trình:  3
2 y + xy + y − 3x − 3 = 0
2 2

( x + 1)3 + ( x + 1) y 2 = 2 y

Gi i: H phương trình tương ương v i 
( x + 1) y + 2 y = 3 ( x + 1)
2 3

t u=x+1
u 3 + uy 2 = 2 y

Ta có h m i  2
uy + 2 y = 3u
3

D th y u=y=0 là m t nghi m
Xét y ≠ 0 t u=ty th vào h sau ó chia hai v phương trình cho nhau ta ư c phương
trình m t n t.
( ây là m t bi n th c a h phương trình ng b c)
( x + y ) (1 + xy ) = 18 xy

Ví d 4) Gi i h phương trình:  2
( )
 x + y 1 + x y = 208 x y
2 22 22

Gi i: Ta có x=y=0 lànghi m. Xét xy ≠ 0 . H phương trình tương ương v i
  1
( x + y ) 1 +  = 18
u + v = 18
  xy  1 1
t u = x + , v = y + ta ư c  2 2
 .
u + v = 208
 x 2 + y 2 1 + 1  = 208 x y
( )  2 2
  xy 

  1
( x + y ) 1 +  = 5
  xy 
Ví d 5)Gi i h phương trình 
 xy + 1 = 4

 xy
G i i:
u + v = 5
1 1
i u ki n xy ≠ 0 . t u = x + , v = y + ta ư c h 
uv = 6
y x
 x y 
 +  ( x + y ) = 15
 y x 
Ví d 6) Gi i h phương trình :  2
 x + y  x 2 + y 2 = 85
2

( )
 y 2 x 2 
 
xy
Gi i: t u = + , v = x + y .Ta có:
yx
2 2
x y
+ 2 = u2 − 2
2
y x
x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy = v 2 − 2 xy
2




7
x2 + y 2
u= ⇔ u.xy = x 2 + y 2
xy
v2
Suy ra u.xy = v 2 − 2 xy ⇒ xy =
u+2
2
uv 2
2v 15v
Suy ra x 2 + y 2 = v 2 − = = ( vì uv=15)
u+2 u+2 u+2
uv = 15

Ta ư c h  2  15v 
( u − 2 )  u + 2  = 85
 

 x 2 y + 2 y + x = 4 xy

Ví d 7) Gi i h :  1 1x
 x 2 + xy + y = 3

Gi i: i u ki n xy ≠ 0 .
 111
x + x + x + y = 4

h phương trình tương ương v i  .
1  1 1 

 x+
 +  = 4

 x  x y 
u + v = 4 u = 2
1 11
t u = x + , v = + ta ư c:  ⇔
uv = 4 v = 2
x xy
 1
x + x = 2

⇔ ( x = 1, y = 1)
H phương trình tương ương v i 
1 + 1 = 2
x y


III) PHƯƠNG PHÁP HÀM S
Lo i 1) M t phương trình c a h có d ng f(x)=f(y). M t phương trình cho ta bi t t p
giá tr c a x ho c y. T ó suy ra hàm f(x) ơn i u suy ra x=y
(1)
 x3 − 5x = y3 − 5 y

Ví d 1) Gi i h phương trình sau  8
( 2)
x + y = 1
4

T phương trình (2) ta suy ra x , y ≤ 1 Xét phương trình f ( x) = x3 − 5 x v i
x ∈ [ −1;1] ; f '( x) = 3 x 2 − 5 < 0∀x ∈ [ −1;1] nên f(x) là hàm ngh ch bi n suy ra x=y thay vào
phương trình (2) ta d dàng gi i ư c nghi m
L o i 2) H i x ng mà sau khi bi n i th ơng ưa v d ng f(x)=f(y) ho c f(x)=0
trong ó f là hàm ơn i u
 x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1

Ví d 1) Gi i h phương trình sau 
 y + y 2 − 2 y + 2 = 3x −1 + 1




8

u + u + 1 = 3
2 v

HD: t x-1=u; y-1=v ta có h 
v + v 2 + 1 = 3u

Tr theo v hai phương trình trên ta ư c

u + u 2 + 1 + 3u = v + v 2 + 1 + 3v Xét hàm s
x
f ( x) = x + x 2 + 1 + 3x ; f '( x) = 1 + + 3x ln 3 > 0∀x ⇒ u = v . Thay vào (1) ta có
x +1
2



( )
u + u 2 + 1 = 3u ⇔ ln u + u 2 + 1 = u ln 3 ; f (u ) = ln(u + u 2 + 1) − u ln 3 ta có
u
1+
u 2 + 1 − ln 3 = 1 − ln 3 < 0∀u ⇒ f (u ) là hàm s ngh ch bi n. Ta có
f '(u ) =
u + u2 +1 u2 +1
khi u=0 thì f(0)=0 nên u=v=0 là nghi m duy nh t ⇒ x=y=1 là nghi m duy nh t c a h
ban u
 x3 − 3x2 + 2 = y3 − 3 y − 2

 x−2  y −1 
Ví d 2) Gi i h phương trình sau: 
log y  y − 1  + log x  x − 2  = ( x − 2011)
2

 
 

Gi i: t y=u-1 thay vào phương trình (1) c a h ta có x 3 − 3 x 2 = u 3 − 3u 2 . Ta th y bài
toán xác nh khi
 0 < y < 1

 0 < x < 2 Trong c hai trư ng h p ta th y hàm s f ( x) = x3 − 3 x 2 ⇒ f '( x) = 3 x( x − 2)
 x > 2

 y > 1

luôn ơn i u nên
Ta có x = u ⇔ x = y + 1 thay vào phương trình (2) c a h ta có x=2011 là nghi m.
Chú ý: Trong bài t p này ta cũng có th bi n i tr c ti p phương trình u c a h v
d ng
x3 − 3x 2 = ( y + 1) − 3( y + 1) 2
3



( 4 x + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0
2
Ví d 3) Gi i h phương trình sau: 
4 x 2 + y 2 + 2 3 − 4 x = 7

5−t 2
HD: t 5 − 2 y = t ⇒ y = thay vào phương trình (1) c a h ta có
2
5 − t2
4 x3 + x = t (3 − ) ⇔ 8 x3 + 2 x = t 3 + t Xét f ( x) = x3 + x ⇒ f '( x) = 3 x 2 + 1 suy ra hàm
2
5 − 4 x2
s f ( x) luôn ng bi n t ó suy ra t = 2 x ⇔ 5 − 2 y = 2 x ⇔ y = th vào
2
phương trình (2) c a h ta có


9
2
 5 − 4 x2   3
 + 2 3 − 4 x − 7 = 0 v i x ∈ 0;  .
g ( x) = 4 x + 
2

 4
2
D th y x=0 ho c x=3/4 u không ph i là nghi m
5   3
4 4
g '( x) = 8 x − 8 x  − 2 x 2  − = 4 x(4 x 2 − 3) − < 0 v i x ∈  0;  Ta có
3 − 4x 3 − 4x
2   4
1 1
g ( ) = 0 ⇒ x = ; y = 2 là nghi m duy nh t c a h .
2 2


IV) PHƯƠNG PHÁP ÁNH GIÁ
V i phương pháp này h c sinh c n quan sát n m ch c các bi u th c không âm trong
h , qua ó v n d ng các b t ng th c ánh giá
 2 xy
x + 3 2 = x2 + y
x − 2x + 9

Ví d 1) Gi i h phương trình 
2 xy
y + = y2 + x
 y − 2y + 9
2
3

HD:C ng 2 v c a hai phương trình v i nhau ta có
2 xy 2 xy
+ = x 2 + y 2 Ta có x=y=0 là m t nghi m c a h
x − 2x + 9 y − 2y + 9
32 2
3


Có 3 x 2 − 2 x + 9 = 3 ( x − 1) 2 + 8 ≥ 2 ⇒ VT ≤ 2 xy; x 2 + y 2 ≥ 2 xy ⇒ VP ≥ 2 xy . D u b ng x y
ra khi và ch khi x=y=1
K t lu n: H có 2 ngi m x=y=0 và x=y=1
 y = − x + 3x + 4
 3

Ví d 2) Gi i h phương trình sau 
x = 2 y − 6 y − 2
3

( y − 2 ) = −( x + 1)2 ( x − 2) (1)

H ã cho tương ương v i 
( x − 2 ) = 2 ( y + 1) ( y − 2)
2
(2)

N u y > 2 t (1) suy ra x 1 + x 7
⇒y>x
⇒ 1 + y + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 + y 7 > 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x5 + x 6 + y 7 > 1 + y 7 ⇒ x > y
V y h vô nghi m. Tương t khi y>0 h cũng vô nghi m
Xét x 1 + x 7 ⇒ y > x . Tương t khi yy . V y h vô nghi m
Xét trư ng h p -1
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản