Phương pháp giải hệ phương trình - Tuyển tập các bài toán hay

Chia sẻ: buoichieunangdep

Phương pháp giải hệ phương trình - Tuyển tập các bài toán hay có đáp án.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Phương pháp giải hệ phương trình - Tuyển tập các bài toán hay

Th¸ng 08 – 2007...Ph¹m Kim Chung


HÖ ph−¬ng tr×nh
I. HÖ ph−¬ng tr×nh d¹ng ho¸n vÞ vßng quanh.

Bµi 1. ( §Ò thi HSG quèc gia n¨m 1994 )
(
⎧ x 3 + 3 x − 3 + ln x 2 − x + 1 = y

)

(
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ y 3 + 3 y − 3 + ln y 2 − y + 1 = z )
⎪ 3
⎪ z + 3z − 3 + ln z − z + 1 = x

2
( )
Gi¶i :
(
XÐt hµm sè : f ( t ) = t 3 + 3t − 3 + ln t 2 − t + 1 )
2t 2 − 1
Ta cã : f' ( t ) = 3t 2 + 1 + > 0, ∀x ∈ R
t2 − t + 1
VËy hµm sè f ( t ) ®ång biÕn trªn R. Ta viÕt l¹i hÖ ph−¬ng tr×nh nh− sau :
⎧ f (x) = y

⎨ f (y) = z
⎪ f ( z) = x

Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö : x = min { x, y, z} . Lóc ®ã :
x ≤ y ⇒ f ( x ) ≤ f ( y ) ⇒ y ≤ z ⇒ f ( y ) ≤ f ( z ) ⇒ z ≤ x . Hay : x ≤ y ≤ z ≤ x ⇒ x = y = z
(
Víi : x = y = z , xÐt ph−¬ng tr×nh : x 3 + 2 x − 3 + ln x 2 − x + 1 = 0 )
( )
Do hµm sè : ϕ ( x ) = x 3 + 2 x − 3 + ln x 2 − x + 1 ®ång biÕn trªn R nªn pt cã nghiÖm duy nhÊt : x = 1 .
VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : x = y = z = 1 .

Bµi to¸n tæng qu¸t 1 . XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng :

⎧ f ( x1 ) = g ( x2 )

⎪ f ( x 2 ) = g ( x3 )

⎨ ....
⎪ f (x ) = g(x )
⎪ n −1 n

⎪ f ( x n ) = g ( x1 )

NÕu hai hµm sè f vµ g cïng t¨ng trªn tËp A vµ ( x1 , x2 ..., xn ) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh , trong
®ã xi ∈ A, ∀i = 1, 2,..., n th× x1 = x2 = ... = xn .

Chøng minh :
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö : x1 = min { x1 , x2 ..., x n } .
Lóc ®ã ta cã : x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ⇒ g ( x2 ) ≤ g ( x3 ) ⇒ x2 ≤ x3 ... ⇒ x n ≤ x1 .
VËy : x1 ≤ x2 ≤ .... ≤ xn ≤ x1
Tõ ®ã suy ra : x1 = x2 = ... = xn .

1
Bµi 2.
⎧⎛ 1 ⎞2 x + x
3 2


⎪⎜ ⎟ =y
⎪⎝ 4 ⎠
⎪ 2 y3 + y 2
⎪⎛ 1 ⎞
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎜ ⎟ =z
⎪⎝ 4 ⎠
⎪ 2 z3 + z 2
⎪ ⎛1⎞
=x
⎪⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠

Gi¶i:
V× vÕ tr¸i cña c¸c ph−¬ng tr×nh trong hÖ ®Òu d−¬ng nªn hÖ chØ cã nghiÖm : x, y, z > 0 .
2 t3 +t2 2 t3 +t2
⎛1⎞ ⎛1⎞
XÐt hµm sè : f ( t ) = ⎜ ⎟
⎝ 4⎠
(
, ta cã : f' ( t ) = − ( 2 ln 4 ) 3t 2 + t ) .⎜ ⎟
⎝4⎠
< 0, ∀t > 0 .

VËy hµm sè f ( t ) nghÞch biÕn trªn kho¶ng ( 0; + ∞ ) .
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö : x = min { x, y, z} . Lóc ®ã :
x ≤ y ⇒ f ( x) ≥ f ( y) ⇒ y ≥ z ⇒ f ( y) ≤ f (z) ⇒ z ≤ x ⇒ x = z ⇒ f ( x ) = f (z) ⇒ y = x .
1
VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : x = y = z = .
2
Bµi to¸n tæng qu¸t 2 . XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng (víi n lÎ ):

⎧ f ( x1 ) = g ( x2 )

⎪ f ( x 2 ) = g ( x3 )

⎨ ....
⎪ f (x ) = g(x )
⎪ n −1 n

⎪ f ( x n ) = g ( x1 )

NÕu hµm sè f gi¶m trªn tËp A , g t¨ng trªn A vµ ( x1 , x2 ..., x n ) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh , trong
®ã xi ∈ A, ∀i = 1, 2,..., n th× x1 = x2 = ... = xn víi n lÎ .
Chøng minh :
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö : x1 = min { x1 , x2 ..., x n } .
Lóc ®ã ta cã :
x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ⇒ g ( x2 ) ≥ g ( x3 ) ⇒ x2 ≥ x3 ... ⇒ x n ≤ x1 ⇒ f ( xn ) ≥ f ( x1 ) ⇒ x1 ≥ x2 .
⇒ x1 = x2
Tõ ®ã suy ra : x1 = x2 = ... = xn .

Bµi 3.
⎧( x − 1)2 = 2 y

⎪ ( y − 1) = 2 z
2

Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨
⎪ ( z − 1) = 2 t
2


⎪ ( t − 1) = 2 x
2


2
Gi¶i :
V× vÕ tr¸i cña c¸c ph−¬ng tr×nh trong hÖ kh«ng ©m nªn ph−¬ng chØ cã nghiÖm : x, y, z, t ≥ 0 .
f ( s ) = ( s − 1) , ta cã : f' ( s ) = 2 ( s − 1) . Do ®ã hµm sè t¨ng trªn kho¶ng (1; + ∞ ) vµ gi¶m
2
XÐt hµm sè :
trªn [ 0; 1] ( Do f(s) liªn tôc trªn R ).
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö : x = min { x, y, z, t} .
+ NÕu x ∈ (1; + ∞ ) ⇒ x, y, z, t ∈ (1; + ∞ ) , do ®ã theo bµi to¸n tæng qu¸t 1, hÖ cã nghiÖm
duy nhÊt : x = y = z = t = 2 + 3 .
+ NÕu x ∈ [ 0; 1] ⇒ 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 2 y ≤ 1 , hay y ∈ [ 0;1] , t−¬ng tù ⇒ z, t ∈ [ 0; 1] .
VËy x, y, z, t ∈ [ 0; 1] . Do ®ã ta cã :
x ≤ y ⇒ f ( x) ≥ f ( y) ⇒ y ≥ z ⇒ f ( y) ≤ f (z) ⇒ z ≤ x ⇒ x = z .
Víi x = z ⇒ f ( x ) = f ( z ) ⇒ y = t .
⎧( x − 1)2 = 2 y
⎧( x − 1)2 = 2 y
⎪ ⎪
Lóc ®ã hÖ ph−¬ng tr×nh trë thµnh : ⎨ ⇔ ⎨ ⎡x = y ⇔ x = y = 2− 3
⎪( y − 1) = 2 x
2
⎩ ⎪⎢
⎩ ⎣ x = −y
VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm : x = y = z = t = 2 + 3 vµ x = y = 2 − 3 .

Bµi to¸n tæng qu¸t 3 . XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng (víi n ch½n ):

⎧ f ( x1 ) = g ( x2 )

⎪ f ( x 2 ) = g ( x3 )

⎨ ....
⎪ f (x ) = g(x )
⎪ n −1 n

⎪ f ( xn ) = g ( x1 )

NÕu hµm sè f gi¶m trªn tËp A , g t¨ng trªn A vµ ( x1 , x2 ..., x n ) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh , trong
⎡ x = x3 = ... = x n −1
®ã xi ∈ A, ∀i = 1, 2,..., n th× ⎢ 1 víi n ch½n .
⎣ x2 = x 4 = ... = x n
Chøng minh :
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö : x1 = min { x1 , x2 ..., xn } .
Lóc ®ã ta cã :.
x1 ≤ x3 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x3 ) ⇒ g ( x2 ) ≥ g ( x 4 )
⇒ x2 ≥ x 4
⇒ f ( x 2 ) ≤ f ( x 4 ) ⇒ g ( x3 ) ≤ g ( x5 )
⇒ x3 ≤ x5 .........
⇒ f ( xn −2 ) ≤ f ( x n ) ⇒ g ( x n −1 ) ≤ g ( x1 )
⇒ x n −1 ≤ x1 .........
⇒ f ( xn −1 ) ≥ f ( x1 ) ⇒ g ( x n ) ≥ g ( x2 ) ⇒ x n ≥ x2
VËy : x1 ≤ x3 ≤ .... ≤ xn −1 ≤ x1 ⇒ x1 = x3 = ... = xn −1 ; x2 ≥ x4 ≥ .... ≥ xn ≥ x2 ⇒ x2 = x4 = ... = xn
3
PhÇn bμi tËp øng dông ph−¬ng ph¸p

⎧2 x 3 − 7 x 2 + 8 x − 2 = y
⎪ 3
⎨ 2 y − 7y + 8y − 2 = z
2
1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎪ 2 z3 − 7 z 2 + 8z − 2 = x

2. Chøng minh víi mçi a ∈ R , hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ x 2 = y3 + y + a
⎪ 2
⎨y = z +z+a
3
cã mét nghiÖm duy nhÊt .
⎪ z2 = x 3 + x + a

⎧x2 = y + a
⎪ 2
3. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨y = z + a
⎪ 2
⎩z = x + a
T×m a ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh chØ cã nghiÖm víi d¹ng x = y = z .
4. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ x 31 − 3 x1 + 2 = 2 x2
⎪ 3
⎪ x 2 − 3 x 2 + 2 = 2 x3

⎨ .........
⎪ x 3 − 3x + 2 = 2 x
⎪ 99 99 100

⎪ x 100 − 3 x100 + 2 = 2 x1

3


5. Cho n lµ sè nguyªn lín h¬n 1. T×m a ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ x 21 = x 32 − 4 x2 + ax2
⎪ 2
⎪ x 2 = x 3 − 4 x3 + ax3
3


⎨ ......... cã mét nghiÖm duy nhÊt .
⎪ x 2 = x 3 − 4 x + ax
⎪ n −1 n n n

⎪ x n = x 1 − 4 x1 + ax1

2 3


6. Cho n lµ sè nguyªn lín h¬n 1 vµ a ≠ 0 . Chøng minh hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ x 21 = x 32 − 4 x2 + ax2
⎪ 2
⎪ x 2 = x 3 − 4 x3 + ax3
3


⎨ ......... cã nghiÖm duy nhÊt .
⎪ x 2 = x 3 − 4 x + ax
⎪ n −1 n n n

⎪ x n = x 1 − 4 x1 + ax1

2 3




7. Chøng minh víi mçi a ∈ R , hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ x 2 = y3 + y2 + y + a
⎪ 2
⎨ y = z + z + z + a cã mét nghiÖm duy nhÊt .
3 2

⎪ z2 = x 3 + x 2 + x + a





4
Ii. HÖ ph−¬ng tr×nh gi¶i ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p l−îng gi¸c ho¸.

⎧ x 1 − y2 + y 1 − x2 = 1
⎪ (1)
1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨
⎪(1 − x )(1 + y ) = 2
⎩ (2)
⎧1 − x 2 ≥ 0 ⎧
⎪ x ≤1
Gi¶i. §K : ⎨ ⇔⎨
⎩1 − y ≥ 0 ⎪ y ≤1
2

§Æt x = cosα ; y=cosβ víi α ,β ∈ [ 0; π ] , khi ®ã hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ π
⎧cosα .sinβ + cosβ .sinα =1 ⎪ α + β =
⇔⎨ ⇔⎨ 2
⎩ (1 − cosα )(1 + cosβ ) = 2 ⎪sinα − cosα − sinα .cosα − 1 = 0

1 − t2
§Æt t = sinα − cosα , t ≤ 2 ⇒ sinα .cosα =
2
1− t 2
Khi ®ã ta cã : t − − 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t − 3 ⇒ t = 1
2
⎛ π⎞ π ⎧x = 0
Víi t = 1 , ta cã : 2sin ⎜ α − ⎟ = 1 ⇒ α = ⇒ β = 0 ⇒ ⎨
⎝ 4⎠ 2 ⎩y = 1

NÕu : x ≤ a ( a > 0 ) , ta ®Æt x = acosα , víi α ∈ [ 0; π ]



⎧ 2 ( x − y )(1 + 4 xy ) = 3
⎪ ( 1)
2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ 2
⎪x + y =1

2
(2)

Gi¶i . Do x 2 + y 2 = 1 ⇒ x, y ∈ [ −1; 1] . §Æt x = sinα , y = cosα víi α ∈ [ 0; 2π ] .
Khi ®ã (1) ⇔ 2 ( sinα − cosα )(1 + 2sin2α ) = 3
⎛ π⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ π ⎞⎛ π⎞
⇔ 2. 2sin ⎜ α − ⎟ .2. ⎜ sin2α + ⎟ = 3 ⇔ 4sin ⎜ α − ⎟ ⎜ sin2α + sin ⎟ = 3
⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 4 ⎠⎝ 6⎠
⎛ π⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎡ π ⎛ π ⎞⎤
⇔ 8sin ⎜ α − ⎟ sin ⎜ α − ⎟ cos ⎜ α − ⎟ = 3 ⇔ 4cos ⎜ α + ⎟ ⎢ cos − cos ⎜ 2α − ⎟ ⎥ = 3
⎝ 4⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎣ 3 ⎝ 6 ⎠⎦
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π⎞
⇔ 2cos ⎜ α − ⎟ − 4cos ⎜ α − ⎟ cos ⎜ 2α − ⎟ = 3
⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 6⎠
⎛ π ⎞ ⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤ ⎛ π⎞
⇔ 2cos ⎜ α − ⎟ − 2 ⎢ cos ⎜ 3α − ⎟ + cos ⎜ α − ⎟ ⎥ = 3 ⇔ −2cos ⎜ 3α − ⎟ = 3
⎝ 12 ⎠ ⎣ ⎝ 4⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎦ ⎝ 4⎠
⎛ π⎞ 3 ⎡α = −35 + k120
0 0
cos ⎜ 3α − ⎟ = − ⇔⎢ (k ∈ R)
⎝ 4⎠ ⎣ α = 65 + k120
0 0
2
Tõ ®ã suy ra hÖ cã 6 nghiÖm ( x, y ) = {( sin650 , cos650 ) , ( −sin350 , cos350 ) , ( sin850 , cos850 ) ,
( −sin5 , − cos5 ) , ( -sin25 , − cos25 ) , ( sin305 , cos305 ) }
0 0 0 0 0 0




5
NÕu : x 2 + y 2 = a ( a > 0 ) , ta ®Æt x = asinα , y = acosα , víi α ∈ [ 0; 2π ]
⎧2 x + x 2 y = y

⎨2 y + y z = z
2
3. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :

⎩2 z + z x = x
2


Gi¶i : Tõ c¸c ph−¬ng tr×nh cña hÖ , suy ra : x, y, z ≠ ±1 . Do ®ã ta cã :
⎧ 2x
⎪ y = 1 − x 2 (1)

⎪ 2y
⎨z = (2)
⎪ 1 − y2
⎪ 2z
⎪x = (3)
⎩ 1 − z2
⎛ π π⎞
§Æt §Æt x = tgα víi α ∈ ⎜ − ; ⎟ (4) vµ sao cho tgα , tg2α , tg4α ≠ ±1 (5).
⎝ 2 2⎠
⎛ kπ 2kπ 4kπ ⎞
T−¬ng tù bµi 2. HÖ ph−¬ng tr×nh cã 7 nghiÖm ⎜ x = tg , y = tg , z = tg , k = 0, ± 1,..., ±3
⎝ 7 7 7 ⎟⎠

⎛ π π⎞
Víi mäi sè thùc x cã mét sè α víi α ∈ ⎜ − ; ⎟ sao cho x = tgα
⎝ 2 2⎠


⎧ x − 3z 2 x − 3z + z 3 = 0

⎨ y − 3x y − 3x + x = 0
2 3
4. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎪ z − 3y 2 z − 3y + y 3 = 0

Gi¶i . ViÕt l¹i hÖ ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng :
(
⎧ x 1 − 3z 2 = 3z − z 3

)
⎪ 2
(
⎨ y 1 − 3x = 3x − x
3
) (I)


2
(
⎪ z 1 − 3y = 3y − y
3
)
1
Tõ ®ã, dÔ thÊy nÕu ( x , y, z ) lµ nghiÖm cña hÖ ®· cho th× ph¶i cã x, y, z ≠ ± . Bëi thÕ :
3
⎧ 3z − z 3
⎪ x= (1)
⎪ 1 − 3z 2
⎪ 3x − x 3
(I) ⇔ ⎨ y = (2) (II)
⎪ 1 − 3x 2
⎪ 3y − y 3
⎪ z= (3)
⎩ 1 − 3y 2
⎛ π π⎞ 1
§Æt x = tgα víi α ∈ ⎜ − ; ⎟ (4) vµ sao cho tgα , tg3α , tg9α ≠ ± (5).
⎝ 2 2⎠ 3
Khi ®ã tõ (2), (3), (1) sÏ cã : y = tg3α , z = tg9α vµ x = tg27α

6
Tõ ®©y dÔ dµng suy ra ( x, y, z ) lµ nghiÖm cña (II) khi vµ chØ khi y = tg3α , z = tg9α , x = tgα , víi
α ®−îc x¸c ®Þnh bëi (4), (5) vµ tgα = tg27α (6).
L¹i cã : ( 6 ) ⇔ 26α = kπ ( k ∈ Z )

V× thÕ α tho¶ m·n ®ång thêi (4) vµ (6) khi vµ chØ khi α = víi k nguyªn tho¶ m·n :
26
−12 ≤ k ≤ 12 . DÔ dµng kiÓm tra ®−îc r»ng, tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ α ®−îc x¸c ®Þnh nh− võa nªu ®Òu tho¶
m·n (5).
VËy tãm l¹i hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã tÊt c¶ 25 nghiÖm, ®ã lµ :
⎛ kπ 3kπ 9 kπ ⎞
⎜ x = tg 26 , y = tg 26 , z = tg 26 ⎟ , k = 0, ± 1,... ± 12
⎝ ⎠
5. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
⎪ 3⎜ x + ⎟ = 4 ⎜ y + ⎟ = 5⎜ z + ⎟
⎨ ⎝ x⎠ ⎝ y⎠ ⎝ z⎠
⎪ xy + yz + zx = 1

Gi¶i. NhËn xÐt : xyz ≠ 0; x, y, z cïng dÊu . NÕu ( x, y, z ) lµ mét nghiÖm cña hÖ th×
( − x, − y, − z ) còng lµ nghiÖm cña hÖ, nªn chóng ta sÏ t×m nghiÖm x, y, z d−¬ng .
( )
§Æt x = tgα ; y = tgβ ; z = tgγ 0 < α , β , λ < 90 0 .
⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎪ 3 ⎜ tgα + ⎟ = 4 ⎜ tgβ + ⎟ = 5 ⎜ tgγ + ⎟ ( 1)
HÖ ⎨ ⎝ tgα ⎠ ⎝ tgβ ⎠ ⎝ tgγ ⎠
⎪tgα tgβ + tgβ tgγ + tgγ tgα = 1 (2)

⎛ 1 + tg2α ⎞ ⎛ 1 + tg2 β ⎞ ⎛ 1 + tg2γ ⎞ 3 4 5
(1) ⇔ 3 ⎜ ⎟ = 4⎜ ⎟ = 5⎜ ⎟ ⇔ = =
⎝ tgα ⎠ ⎝ tgβ ⎠ ⎝ tgγ ⎠ sin2α sin2β sin2γ
( tgα + tgβ ) = tg
Tõ (2) suy ra : tgγ ( tgα + tgβ ) = 1 − tgβ tgα ⇒ cotgγ = (α + β )
1 − tgβ tgα

⎛π ⎞ π
⇒ tg ⎜ − γ ⎟ = tg (α + β ) ⇔ α + β + γ = .
⎝2 ⎠ 2
⎧ 3 4 5
=
⎪ sin2α sin2β sin2γ =

Do ⎨ nªn 2α,2β,2γ lµ c¸c gãc cña mét tam gi¸c cã sè ®o 3 c¹nh 3,4,5.
⎪0 < α , β , γ < π ;α + β + γ = π

⎩ 2 2
Do tam gi¸c cã 3 c¹nh 3,4,5 lµ tam gi¸c vu«ng nªn 2γ = 900 ⇒ γ = 450 ⇒ z = tgγ = 1
2tgα 3 2x 3 1
tg2α = = ⇔ = ⇒x=
1 − tg α 4
2
1− x 2
4 3
2tgβ 4 2y 4 1
tg2β = = ⇔ = ⇒y=
1 − tg β 3
2
1− y 2
3 2




7
TuyÓn tËp c¸c bμi to¸n hay

II . HÖ ph−¬ng tr×nh 2 Èn.
⎧ 4 698
⎪ x +y =
2
(1)
1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ 81
⎪ x 2 + y 2 + xy − 3 x − 4 y + 4 = 0
⎩ (2)
Gi¶i : Gi¶ sö hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm . Ta thÊy (2) t−¬ng ®−¬ng víi :
x 2 + ( y − 3) x + ( y − 2 ) = 0
2


§Ó ph−¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm ®èi víi x ta ph¶i cã :
7
Δ = ( y − 3) − 4 ( y − 2 ) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤
2 2
(3)
3
MÆt kh¸c ph−¬ng tr×nh (2) còng t−¬ng ®−¬ng víi : y 2 + ( x − 4 ) y + x 2 − 3 x + 4 = 0
§Ó ph−¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm ®èi víi y ta ph¶i cã :
( )
Δ = ( x − 4) − 4 x 2 − 3x + 4 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤
2 4
3
(4)
256 49 697 698
Tõ (3) vµ (4) ta cã : x 4 + y 2 ≤ + = < , kh«ng tho¶ m·n (1).
81 9 81 81
VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm .

2. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 1995-1996.B¶ng A )
⎧ ⎛ 1 ⎞
⎪ 3x ⎜1 + ⎟=2
⎪ ⎝ x+y⎠
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨
⎪ 7y ⎛ 1 − 1 ⎞ = 4 2
⎪ ⎜ ⎟
⎩ ⎝ x+y⎠
3. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 1995-1996.B¶ng A )
H·y biÖn luËn sè nghiÖm thùc cña hÖ ph−¬ng tr×nh víi Èn x, y :
⎧ x 3 y − y 4 = a2
⎨ 2
⎩ x y + 2 xy + y = b
2 3 2


Gi¶i . §iÒu kiÖn cã nghÜa cña hÖ : x, y ∈ R .
ViÕt l¹i hÖ d−íi d¹ng :
( )
⎧ y x 3 − y 3 = a 2 ( 1)


⎪ y ( x + y ) = b2 (2)
2

XÐt c¸c tr−êng hîp sau :
Tr−êng hîp 1 : b = 0 . Khi ®ã :
⎪y=0

⎨ (I)
⎧y = 0 (⎩ )
⎡ ⎪y x − y = a
3 3 2

(2) ⇔ ⎨ vµ do vËy : HÖ ®· cho ⇔ ⎢
⎩y = −x ⎣ ⎧ y = −x

⎨ ( II )
(⎩
3
)
⎪y x − y = a
3 2




8
⎧ y = −x
Cã (II) ⇔ ⎨
⎩ −2 x = a
4 2


Tõ ®ã : + NÕu a ≠ 0 th× (I) vµ (II) cïng v« nghiÖm, dÉn ®Õn hÖ v« nghiÖm .
+ NÕu a = 0 th× (I) cã v« sè nghiÖm d¹ng ( x ∈ R, y = 0 ) , cßn (II) cã duy nhÊt nghiÖm
( x = 0, y = 0 ) . V× thÕ hÖ ®· cho cã v« sè nghiÖm .
Tr−êng hîp 2 : b ≠ 0 . Khi ®ã, tõ (1) vµ (2) dÔ thÊy , nÕu ( x, y ) lµ nghiÖm cña hÖ ®· cho th×
b
ph¶i cã x, y >0 . V× thÕ (2) ⇔ x = −y ( 3) .
y
⎡⎛ b ⎞
3

ThÕ (3) vµo (1) ta ®−îc : y ⎢⎜ − y ⎟ − y 3 ⎥ = a2
⎢⎜ y ⎟ ⎥
⎣⎝ ⎠ ⎦
§Æt y = t > 0 . Tõ (4) ta cã ph−¬ng tr×nh sau :
⎡⎛ b ⎞
3

( ) + a2 t = 0 ( 5 )
3
t2
⎢⎜ − t ⎟ − t 6 ⎥ = a 2 ⇔ t 9 − b − t 3
2

⎢⎝ t
⎣ ⎠ ⎥

XÐt hµm sè : f ( t ) = t 9 − ( b − t 3 ) + a 2 t x¸c ®Þnh trªn [ 0;+ ∞ ) cã :
3




(
f' ( t ) = 9t 8 + 9 b − t 3 ) t 2 + a 2 ≥ 0, ∀t ∈ [ 0; + ∞ ) .
2



Suy ra hµm sè f ( t ) ®ång biÕn trªn [ 0; + ∞ ) , vµ v× thÕ ph−¬ng tr×nh (5) cã tèi ®a 1 nghiÖm trong

[ 0; + ∞ ) . Mµ f ( 0 ) = − b < 0 vµ f
3
( b )= b
3
3
+ b a 2 > 0 , nªn ph−¬ng tr×nh (5) cã duy nhÊt

⎛ b ⎞
nghiÖm, kÝ hiÖu lµ t0 trong ( 0; + ∞ ) . Suy ra hÖ cã duy nhÊt nghiÖm ⎜ x = − t0 2 , y = t0 2 ⎟ .
⎝ t0 ⎠
VËy tãm l¹i : + NÕu a = b = 0 th× hÖ ®· cho cã v« sè nghiÖm .
` + NÕu a tuú ý , b ≠ 0 th× hÖ ®· cho cã duy nhÊt nghiÖm .
+ NÕu a ≠ 0, b = 0 th× hÖ ®· cho v« nghiÖm .

⎧2 x 2 + xy − y 2 = 1
4. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ 2 (1) cã nghiÖm .
⎩ x + xy + y 2 = m
⎧2 x = 1
2
1
Gi¶i . + Víi y = 0 hÖ trë thµnh ⎨ 2 . HÖ cã nghiÖm khi m =
⎩x = m 2
x
+ Víi y ≠ 0 , ®Æt = t , hÖ trë thµnh
y
⎧ 2 1
⎧ 2
⎪2 t + t − 1 = y 2
1
⎪ ⎪ 2t + t − 1 = y 2
⎨ ⇔⎨ (2)
⎪ t2 + t + 1 = m
⎪ y2
⎪t 2 + t + 1 = m 2 t 2 + t − 1
⎩ ( )

VËy hÖ PT (1) cã nghiÖm ( x, y ) khi vµ chØ khi hÖ PT (2) cã nghiÖm ( t, y ) .



9
⎡ t < −1
1
XÐt hÖ (2), tõ 2t + t − 1 = 2 suy ra 2t + t − 1 > 0 ⇔ ⎢
2 2
. Do ®ã hÖ (2) cã nghiÖm ( t, y )
y ⎢t > 1

⎣ 2
t2 + t + 1 ⎛1 ⎞ t2 + t + 1
⇔m= cã nghiÖm t ∈ ( −∞, −1) ∪ ⎜ , + ∞ ⎟ . XÐt hµm sè f ( t ) = 2 trªn kho¶ng
2t 2 + t − 1 ⎝2 ⎠ 2t + t − 1
t 2 + 6t + 2 ⎡ t = −3 − 7
( −∞, −1) ∪ ⎛ ⎞
1
⎜ , + ∞ ⎟ . Ta cã : f' ( t ) = − , f' ( t ) = 0 ⇔ ⎢
⎝2 ⎠ ( )
2
2t 2 + t − 1 ⎢ t = −3 + 7

LËp b¶ng biÕn thiªn :

−∞ −3 − 7 -1 −3 − 7 1 −∞
t
2
f’(t) - 0 + + 0 -
1 +∞
+∞
2

f(t)
1
−∞ −∞
14 + 5 7 2
28 + 11 7

14 + 5 7
Nh×n vµo b¶ng biÕn thiªn ta thÊy ®Ó hÖ cã nghiÖm : m ≥ .
28 + 11 7

⎧ x 3 ( 2 + 3y ) = 1
⎪ ( 1)
5. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨
⎪ x y −2 =3

3
( ) (2)
Gi¶i . Râ rµng nÕu y = 3 2 hÖ v« nghiÖm.
3
Víi y ≠ 3 2 , tõ (2) suy ra x = , thay vµo (1) ta cã :
y −2
3


27 ( 2 + 3y )
= 1 (3) . XÐt hµm sè : f ( y ) =
27 ( 2 + 3y )
− 1 , ta cã : f' ( y ) = −
(
81 8y 3 + 6 y 2 + 2 )
(y ) (y ) (y )
3 3 3
3
−2 3
−2 3
−2
Suy ra : f' ( y ) = 0 ⇔ y = −1
Ta cã b¶ng biÕn thiªn :

3
y −∞ -1 2 +∞
f’(y) + 0 - -
0 +∞

f (y)
−∞ −∞ −∞

10
Nh×n vµo b¶ng biÕn thiªn suy ra pt(3) kh«ng cã nghiÖm trªn c¸c kho¶ng ( −∞; −1) vµ −1; 3 2 . ( )
Ph−¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm y = −1 vµ 1 nghiÖm trong kho¶ng ( 3
2, + ∞ )
DÔ thÊy y = 2 lµ 1 nghiÖm thuéc kho¶ng ( 3
2, + ∞ . )
⎛1 ⎞
VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm : ( −1; −1) vµ ⎜ ; 2 ⎟ .
⎝2 ⎠
6. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2004 –B¶ng B )
⎧ x 3 + 3 xy 2 = −49
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau : ⎨ 2
⎩ x − 8 xy + y = 8 y − 17 x
2


7. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 1998-1999 –B¶ng A )
⎧(1 + 4 2 x − y ) .51−2 x + y = 1 + 22 x − y +1

Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ 3
⎪ y + 4 x + 1 + ln ( y + 2 x ) = 0
2

Gi¶i . §K: y 2 + 2 x > 0
§Æt t = 2 x − y th× ph−¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ trë thµnh :
1 + 4 t 1 + 2 t +1
(1 + 4 ) .5
t 1− t
= 1 + 2 t +1 ⇔
5t
=
5
(1)
VÕ tr¸i lµ hµm nghÞch biÕn, vÕ ph¶i lµ hµm ®ång biÕn trªn nªn t=1 lµ nghiÖm
duy nhÊt cña (1).
y +1
VËy 2 x − y = 1 ⇒ x = thÕ vµo ph−¬ng tr×nh thø hai cña hÖ ta ®−îc :
2
( )
y 3 + 2 y + 3 + ln y 2 + y + 1 = 0 ( 2 )
VÕ tr¸i lµ hµm ®ång biÕn do ®ã y =-1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña (2).
§¸p sè : x = 0, y = −1 .
8. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2000-2001 –B¶ng B )
⎧ 7x + y + 2 x + y = 5

Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨
⎪ 2x + y + x − y = 2

Gi¶i : §K cã nghÜa cña hÖ ph−¬ng tr×nh : min {7 x, 2 x} ≥ − y
§Æt : 7x + y = a vµ 2x + y = b . Tõ hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho ta cã hÖ :
⎧a + b = 5
⎪ (1 )

⎪b + x − y = 2
⎩ (2)
NhËn thÊy : a 2 − b2 = 5 x . KÕt hîp víi (1) suy ra : b =
( 5 − x ) , thÕ vµo (2) ta ®−îc :
2
5− x
+ x − y = 2 ⇔ x = 2y − 1 ( 3)
2
11 − 77
ThÕ (3) vµo (2) ta cã : 5y − 2 + y − 1 = 2 ⇒ y =
2
11 − 77
ThÕ vµo (3) suy ra nghiÖm cña hÖ lµ: x = 10 − 77, y= .
2


11
9. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh 2 Èn x, y :
(
⎧ k x 2 + 3 x 4 + 3 x 2 + 1 = yx
⎪ )

( )
⎪ k 3 x 8 + x 2 + 3 x 2 + 1 + ( k − 1) 3 x 4 = 2 y 3 x 4

1. X¸c ®Þnh k ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm .
2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi k = 16.

10. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 1995-1996 –B¶ng A )
⎧ ⎛ 1 ⎞
⎪ 3x . ⎜1 + ⎟=2
⎪ ⎝ x+y⎠
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨
⎪ 7y . ⎛ 1 − 1 ⎞ = 4 2
⎪ ⎜ ⎟
⎩ ⎝ x+y⎠
Gi¶i . §K cã nghÜa cña hÖ : x ≥ 0, y ≥ 0 vµ x 2 + y 2 ≠ 0 .
DÔ thÊy , nÕu ( x, y ) lµ nghiÖm cña hÖ ®· cho th× ph¶i cã x >0, y>0 . Do ®ã :
⎧⎛ 1 ⎞ 2 ⎧ 1 1 2 2
⎪⎜ 1 + ⎟= ⎪ = − ( 1)
⎪⎝ x+y⎠ 3x ⎪x + y 3x 7y
HÖ ®· cho ⇔ ⎨ ⇔⎨
⎪ ⎛1 − 1 ⎞ = 4 2 ⎪1 = 1 + 2 2
⎪⎝⎜
x+y⎠
⎟ ⎪ (2)
⎩ 7y ⎩ 3x 7y
Nh©n (1) víi (2) theo vÕ ta ®−îc :
1 1 8
= − ⇔ 21xy = ( x + y )( 7 y − 3 x ) ⇔ ( y − 6 x )( 7 y + 4 x ) = 0 ⇔ y = 6 x ( v× x >0, y>0)
x + y 3x 7y
11 + 4 7 22 + 8 7
Thay vµo (2) vµ gi¶i ra ta ®−îc : x = , y= .Thö l¹i ta thÊy tho¶ m·n yªu cÇu bt.
21 7


Iii. HÖ ph−¬ng tr×nh 3 Èn.


1. ( §Ò thi HSG TØnh Qu¶ng Ng·i 1995-1996)
⎧ y 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = 0
⎪ 3
⎨ z − 6 y + 12 y − 8 = 0
2
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎪ x 3 − 6 z 2 + 12 z − 8 = 0


⎧12 x 2 − 48 x + 64 = y 3

⎨12 y − 48y + 64 = z
2 3
4. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎪12 z 2 − 48z + 64 = x 3

⎧ x 19 + y 5 = 1890 z + z 2001
⎪ 19 5
⎨ y + z = 1890 x + x
2001
5. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎪ z19 + x 5 = 1890 y + y 2001

Gi¶i . Chóng ta sÏ chøng minh hÖ ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm duy nhÊt x = y = z = 0 .
12
Gi¶ sö ( x, y, z ) lµ mét nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh khi ®ã ( − x, − y, − z ) còng lµ mét nghiÖm cña
hÖ ph−¬ng tr×nh , nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ thiÕt : cã Ýt nhÊt hai trong ba sè x, y, z
kh«ng ©m. VÝ dô x ≥ 0, y ≥ 0 . Tõ ph−¬ng tr×nh thø nhÊt ta suy ra z ≥ 0 .
MÆt kh¸c nÕu 0 < u ≤ 1 th× 1890 + u2000 > 2 ≥ u18 + u4
NÕu u > 1 th× 1890 + u2000 > 1 + u2000 > 2. u2000 = 2.u1000 > u18 + u4
Do ®ã 1890u + u2001 > u19 + u5 víi mäi u>0.
Bëi vËy nÕu céng tõng vÕ cña HPT ta suy ra x = y = z = 0 .®pcm

6. T×m ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ cña m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt :
⎧ x 2 = ( 2 + m ) y 3 − 3y 2 + my
⎪ 2
⎨ y = ( 2 + m ) z − 3z + mz
3

⎪ z 2 = ( 2 + m ) x 3 − 3 x + mx

7. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2004 –B¶ng A )
⎧ x 3 + x ( y − z )2 = 2


Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau : ⎨ y 3 + y ( z − x ) = 30
2


⎪ 3
⎪ z + z ( x − y ) = 16
2


( )
⎧ x 2 ( x + 1) = 2 y 3 − x + 1

⎪ 2
8. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : (
⎨ y ( y + 1) = 2 z − y + 1
3
)
⎪ 2
(
⎪ z ( z + 1) = 2 x − z + 1

3
)
Gi¶i . ViÕt l¹i hÖ ®· cho d−íi d¹ng :
⎧ x 3 + x 2 + 2 x = 2 y3 + 1 ⎧ f ( x) = g ( y)
⎪ 3 ⎪
⎨ y + y + 2 y = 2z + 1
2 3
hay ⎨ f ( y ) = g ( z )
⎪ z3 + z 2 + 2 z = 2 x 3 + 1 ⎪ f ( z) = g ( x )
⎩ ⎩
Trong ®ã f ( t ) = t 3 + t 2 + 2t vµ g ( t ) = 2t 3 + 1 . NhËn xÐt r»ng g(t), f(t) lµ hµm ®ång biÕn
trªn R v× : f' ( t ) = 3t 2 + 2t + 2 > 0, g ( t ) = 6t 2 ≥ 0, ∀t ∈ R.
⎧x = y = z
Suy ra hÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ : ⎨ ( 4)
⎩h ( x ) = 0
Trong ®ã h ( t ) = t 3 − t 2 − 2t + 1 . NhËn xÐt r»ng h ( t ) liªn tôc trªn R vµ : h ( −2 ) < 0, h ( 0 ) > 0,
h (1) < 0, h ( 2 ) > 0 nªn ph−¬ng tr×nh h ( t ) = 0 cã c¶ 3 nghiÖm ph©n biÖt ®Òu n»m trong ( −2; 2 )
§Æt x = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) . Khi ®ã sinu ≠ 0 vµ (4) cã d¹ng :
⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) ⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π )

⎨ hay ⎨
⎩8cos u − 4cos u − 4cosu + 1 = 0
3 2

3
(
⎪sinu 8cos u − 4cos u − 4cosu + 1 = 0
2
)
⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π )
Hay ⎨ (5).
⎩ sin4u = sin3u



13
⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π )
⎧ π 3π 5π ⎫ ⎪
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh (5) ta thu ®−îc u ∈ ⎨ ; ; ⎬ vµ ⎨ ⎧ π 3π 5π ⎫
⎩7 7 7 ⎭ ⎪u∈⎨ 7 ; 7 ; 7 ⎬
⎩ ⎩ ⎭

9. T×m tÊt c¶ c¸c bé ba sè d−¬ng ( x, y, z ) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧2 x 2004 = y 6 + z 6
⎪ 2004
⎨2 y = z6 + x 6
⎪ 2004 = x 6 + y 6
⎩2 z
Gi¶i :
Gi¶ sö ( x, y, z ) lµ mét bé ba sè d−¬ng tho¶ m·n hÖ PT ®· cho . Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ,
gi¶ sö 0 < x ≤ y ≤ z . Nh− vËy :
⎧2 x 2004 = y 6 + z 6 ≥ x 6 + x 6 ⎧ x 2004 ≥ x 6 ⎧x ≥ 1
⎨ 2004 ⇒ ⎨ 2004 ⇒⎨ ⇒ x = y = z =1
= x +y ≤z +z ≤z ⎩z ≤ 1
6 6 6 6 6
⎩ 2z ⎩z
§¶o l¹i, dÔ thÊy x = y = z = 1 lµ mét bé ba sè d−¬ng tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n .

10. T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm :
⎧ x 2 + y 2 − z 2 + xy − yz − zx = 1
⎪ 2 2
⎨ y + z + yz = 2
⎪ x 2 + z 2 + xz = m

⎧x5 − x 4 + 2 x2 y = 2
⎪ 5
⎨ y − y + 2y z = 2
4 2
11. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎪ z5 − z 4 + 2 z 2 x = 2

(
⎧ x 3 y 2 + 3y + 3 = 3y 2

)
⎪ 3 2
12. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : (
⎨ y z + 3z + 3 = 3z
2
)
⎪ 3 2
(
⎪z x + 3x + 3 = 3x

2
)
13. T×m tÊt c¶ c¸c sè thùc a sao cho hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thùc x, y, z :

⎪ x −1 + y −1 + z −1 = a −1

⎪ x +1 + y +1 + z +1 = a +1

Gi¶i. §K: x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1
HÖ ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi hÖ ph−¬ng tr×nh :
( ) ( ) (
⎧ x − 1 + x + 1 + y − 1 + y + 1 + z − 1 + z + 1 = 2a
⎪ )

( ) (
⎪ x +1 − x −1 + y +1 − y −1 + z +1 − z −1 = 2
⎩ ) ( )
§Æt u = x − 1 + x + 1 ; v = y − 1 + y + 1 ; s = z − 1 + z + 1
Do x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1 nªn u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ 2 . Ng−îc l¹i nÕu u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ 2 , ta cã :
2 2 1⎛ 2⎞ 1⎛ 4⎞
x +1 − x −1 = = ⇒ x + 1 = ⎜ u + ⎟ ⇒ x = ⎜ u2 + 2 ⎟ ≥ 1
x +1 + x −1 u 2⎝ u⎠ 4⎝ u ⎠
T−¬ng tù ®èi víi y, z .
14
Do ®ã bµi to¸n cña ta ®−a vÒ bµi to¸n t−¬ng ®−¬ng : T×m tÊt c¶ c¸c sè thùc a sao cho hÖ
ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ 2 :
⎧u + v + s = 2 a

⎨1 1 1 ( 1)
⎪u + v + s =1

+ §iÒu kiÖn cÇn : Gi¶ sö hÖ ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm . Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhia ta cã :
⎛ 1 1 1⎞ 9
2a = ( u + v + s ) ⎜ + + ⎟ ≥ 9 ⇒ a ≥
⎝u v s⎠ 2
9
+ §iÒu kiÖn ®ñ : Gi¶ sö a ≥ . Chóng ta sÏ chøng minh hÖ ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm
2
⎧ u + v = 2a − 3

LÊy s = 3 ( tho¶ m·n s ≥ 2 ) . Khi ®ã (1) t−¬ng ®−¬ng víi : ⎨ 3 ( 2a − 3)
⎪u.v =
⎩ 2
3 ( 2a − 3 )
⇔ u, v lµ hai nghiÖm cña tam thøc bËc hai : t 2 − 2 ( 2 a − 3 ) t +
2
2a − 3 ± ( 2a − 3 )( 2a − 9 )
⇒ u, v =
2
( ) > ( h + 3 ) > h ( h + 6 ) . Tøc lµ :
2 2
Chó ý : §Æt h = 2a − 9 ≥ 0 ⇒ h + 6 − 2 2

( 2a − 3 ) − 2 2> ( 2a − 3)( 2a − 9 ) ⇒ u > 2, v > 2 .
Nh− vËy hÖ ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ 2 .
9
Tãm l¹i c¸c sè thùc a cÇn t×m lµ tÊt c¶ c¸c sè thùc a ≥ .
2
14. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
⎪20 ⎜ x + ⎟ = 11 ⎜ y + ⎟ = 2007 ⎜ z + ⎟
⎨ ⎝ x⎠ ⎝ y⎠ ⎝ z⎠
⎪ xy + yz + zx = 1

15. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2005-2006 –B¶ng A )
⎧ x 2 − 2 x + 6.log ( 6 − y ) = x
⎪ 3
⎪ 2
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ y − 2 y + 6.log3 ( 6 − z ) = y
⎪ 2
⎪ z − 2 z + 6.log3 ( 6 − x ) = z

Gi¶i . §K x¸c ®Þnh x, y, z < 6 . HÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi :
⎧ x
⎪ log3 ( 6 − y ) = (1 )
⎪ x − 2x + 6
2


⎪ y
⎨ log3 ( 6 − z ) = (2)
⎪ y − 2y + 6
2

⎪ z
⎪log3 ( 6 − x ) = ( 3)

⎩ z2 − 2 z + 6

15
x
NhËn thÊy f ( x ) = lµ hµm t¨ng, cßn g ( x ) = log3 ( 6 − x ) lµ hµm gi¶m víi x3, n∈ N )
1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎧ x1 + x2 = x31996

⎪ x 2 + x3 = x 4
1996


⎨ .........
⎪ x + x = x 1996
⎪ 1995 1996 1

⎪ x1996 + x1 = x2

1996


Gi¶i : Gäi X lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c nghiÖm xi , i = 1,...1996 vµ Y lµ gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña chóng.
ThÕ th× tõ ph−¬ng tr×nh ®Çu ta cã :
2X ≥ x1 + x2 = x31996
Tõ ®ã ®èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh cña hÖ ta cã : 2X ≥ x k1996 , ∀k = 1, 2,....,1996
Hay lµ ta cã : 2X ≥ X1996 suy ra : 2 ≥ X1995 ( v× X >0 ) (1)
LËp luËn mét c¸ch t−¬ng tù ta còng ®i ®Õn : 2 ≤ Y1995 (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra X1995 = Y1995 = 2
NghÜa lµ ta cã : x1 = x2 = .... = x1996 = 1995 2

⎧ x1 − a1 x2 − a2 x −a
⎪ = = ... = n n
2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ b1 b2 bn
⎪ x + x + .... + x = c
⎩ 1 2 n
n
víi b1 , b2 ,..., bn ≠ 0, ∑b
i =1
i ≠0

17
x1 − a1 x2 − a2 x −a
Gi¶i . §Æt : = = ... = n n = t
b1 b2 bn
⎛ n

⎜ c − ∑ ai ⎟
⇒ c = ∑ ai + t ∑ bi ⇒ t = ⎝ n i =1 ⎠
n n n n n
Ta cã : xi = tbi + ai ⇒ ∑ xi = ∑ ai + t ∑ bi
i =1 i =1 i =1 i =1 i =1
∑ bi
i =1

⎛ ⎞ n

⎜ c − ∑ ai ⎟
⇒ xi = ai + bi ⎝ n i =1 ⎠
∑ bii =1




18
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản