Phương pháp giải toán khảo sát hàm số

Chia sẻ: trungtran5

Tài liệu " Phương pháp giải toán khảo sát hàm số-Nguyễn Phú Khánh " giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình.Chúc các bạn học tốt

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Phương pháp giải toán khảo sát hàm số

Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


NGUYEÃN PHUÙ KHAÙNH
-----oOo-----




Phöông phaùp giaûi Toaùn 12
CHUYEÂN ÑEÀ: HAØM SOÁ
PHOÅ THOÂNG TRUNG HOÏC




1

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008



LÖU HAØNH NOÄI BOÄ




2

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008



GIÔÙI HAÏN VAØ LIEÂN TUÏC

I. GIÔÙI HAÏN
1. Caùc ñònh nghóa cô baûn
Ñònh nghóa 1: Ta noùi raèng daõy soá (Un) coù giôùi haïn L neáu moïi soá döông ε cho tröôùc, toàn taïi
soá töï nhieân N sao cho ∀n > N ta coù U n − L < ε . Ta vieát: lim U n = L , vieát taét laø lim U n = L
n→∞

Ñònh nghóa 2: Cho haøm soá f(x) xaùc ñònh treân moät khoaûng I, coù theå loaïi tröø taïi ñieåm x0 ∈ I .
Ta noùi raèng f(x) coù giôùi haïn laø L (hay tieán daàn tôùi L), khi x tieán daàn tôùi x0 neáu moïi daõy soá: (xn);
( xn ∈ I , xn ≠ x0 , ∀n ∈ N + ) sao cho lim xn = x0 thì lim f ( xn ) = L . Ta vieát lim f ( x) = L hay
x →∞

f ( x) → L khi x → x0
Ñònh nghóa 3: Ta noùi raèng haøm soá f(x) tieán daàn tôùi voâ cöïc khi khi x daàn tôùi x0, neáu vôùi moïi
daõy soá (xn); ( xn ≠ x0 ) sao cho: lim xn = x0 thì lim f ( xn ) = ∞ ta vieát lim f ( xn ) = ∞ hoaëc
x → x0

f ( x) → ∞ khi x → x0
Ñònh nghóa 4: Soá L ñöôïc goïi laø giôùi haïn beân phaûi (hoaëc beân traùi) cuûa haøm soá f(x) khi x
daàn tôùi x0, neáu vôùi moïi daõy soá (xn) vôùi xn > x0 hoaëc (xn < x0) sao cho lim xn = x0 thì lim f(xn) =
L. Ta vieát: lim+ f ( xn ) = ∞ (hoaëc lim− f ( xn ) = ∞ )
x → x0 x → x0

Chuù yù:
Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå lim f ( xn ) = L vaø giôùi haïn lim+ f ( xn ) vaø lim f ( xn ) ñeàu toàn taïi vaø
x → x0 x → x0 x → x0

ñeàu baèng L
x2 − 4 4 x 2 + x + 5 + 3x
Ví duï 1: Tìm lim lim
x →∞ x →∞
2x 9x2 + 2 − x
 4
 x 1− 2
4 x =1
x 1 − 2 lim
x −4
2
x =  x→∞ 2x 2
* lim = 
x →∞ 2x 2x  −x 1− 2
4
 x =1
lim
 x →∞ 2x 2
 1 5 
x 2  4 + + 2  + 3x
4 x + x + 5 + 3x
2
 x x 
* lim = lim
x →∞ x →∞
9x2 + 2 − x  2
x2  9 + 2  − x
 x 




3

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


 1 5 1 5
 x 4 + + 2 + 3x 4+ + 2 +3
x x x x 5
 lim = lim =
 x →+∞ 2 x →+∞ 2 2
 x 9+ 2 − x 9 + 2 −1
 x x
=
 1 5
− x 4 + + 2 + 3x
1 5
− 4+ + 2 +3
 x x x x 1
 xlim = lim =−
→−∞ 2 x →−∞ 2 4
 x 9+ 2 − x − 9 + 2 −1

 x x

2. Caùc ñònh lí cô baûn:
Ñònh lí 1: Giôùi haïn cuûa toång, hieäu, tích, thöông (vôùi giôùi haïn cuûa maãu thöùc khaùc 0) cuûa hai
haøm soá khi x x0 (hay x ∞ ) baèng toång, hieäu, tích, thöông cuûa caùc giôùi haïn khi x x0 (hay
x ∞)
Ñònh lí 2: Cho 3 haøm soá f(x), g(x), h(x) cuøng xaùc ñònh treân moät khoaûng I chöùa ñieåm x0 (coù
theå tröø taïi ñieåm x0). Neáu trong khoaûng ñoù: g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) vaø neáu lim g ( x) = lim h( x) = L
x → x0 x → x0

thì lim = L
x → x0

sin a a
Nhôø ñònh lí treân, ta chöùng minh ñöôïc: lim = lim =1
a →0 a a →0 sin a

sin 9 x 2
Ví duï 2: Tính lim
x →0 3x 2
2
sin 9 x 2 sin 9 x 2 sin 9 x 2  sin(3 x) 
lim 2
= lim = 3lim 2
= 3lim   =3
x →0 1
x →0 3x 9 x2
x →0 9x x →0
 3x 
3
Ñònh lí 3: Haøm soá ñôn ñieäu taêng vaø bò chaën treân thì coù giôùi haïn haøm soá ñôn ñieäu giaûm vaø
bò chaën döôùi thì coù giôùi haïn
a
1
 1
Nhôø ñònh lí treân ta chöùng minh ñöôïc lim (1 + a ) a = e hoaëc lim 1 +  = e
a →0 a →∞
 a
ln (1 + a ) ea − 1
lim = 1 vaø lim =1
a →0 a a →0 a
x+4
 x+3 1
Ví duï 3: Tính lim   lim (1 − cos x ) x2 − π42
x →∞ x − 2 π
  x→
2
x+3 5
• Ta coù: = 1+
x+2 x−2
5 5
• Ñaët a = ⇒ x + 4 = + 6 . Khi x ∞ thì a 0
x−2 a
• Do vaäy
5
+6 5
 x + 3 a 5 5
 1

= lim (1 + a ) = lim (1 + a ) . (1 + a ) = lim (1 + a ) a  .lim (1 + a ) = e5 .1 = e5
+6 6 6
lim   a a
x →∞ x − 2
  a →0 a→0 a→0
  a →0

4

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


π π π2
• Ñaët t = − x khi x → thì t 0 vaø x 2 − = −t ( π − t )
2 2 4
1
x2−π
2 1
( − sin t ).
4  1
 − t (π − t )
⇒ (1 − cos x ) = (1 − sin t )

sin t

 
U (t )
1
Theo coâng thöùc: lim U (t ) = e (vì lim (1 + a ) a = e )
t →0 a →0

− sin t sin t 1 1
Maët khaùc: lim = lim . =
t →0 −t ( π − t ) t →0 t π −t π
1
2
x 2 −π 1
Vaäy lim (1 − cos x )
4

π
=e π
x→ 2


BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ
0
Daïng 1: Daïng voâ ñònh . Tính caùc giôùi haïn sau:
0




5

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


x2 − 5x + 6 cos 4 x − sin 4 x − 1 3
x 2 + x + 1 − 3 x3 + 1
lim lim lim
x →2 x3 − x 2 − 4 x →0
x2 + 1 − 1 x →0 x

1 − 2 x2 + 1
2

lim 1 + 2 x − 3 1 + 3x e−2 x − 3 1 + x 2
lim lim
x →0 1 − cos x x →0 x2 x →0 ln 1 + x 2( )

Daïng 2: Daïng voâ ñònh . Tính caùc giôùi haïn sau

3x 2 − 7 x + 8
lim
x →∞ 11x 2 + 3 x − 9



Daïng 3: Daïng voâ ñònh ∞ − ∞ . Tính caùc giôùi haïn sau
lim (
x →+∞
)
16 x 2 − x + 7 − 4 x

lim ( 9 x + 7 x + 2 + 3x )
2
x →+∞



Daïng 4: Daïng voâ ñònh 0.∞ hay ∞.0 . Tính caùc giôùi haïn sau

x →+∞ 
 (
lim ( 2 x − 5 ) 2 x − 4 x 2 + 3 

 )
lim (π − 4 x ) .tg 2 x
π
x→
4



Daïng 5: Daïng voâ ñònh 1∞ . Tính caùc giôùi haïn sau
( 2 x −1)
 2 x2 + 7 x − 8 
lim  2 
x →∞ 2 x − 2 x + 5
 




6

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


II. HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC:
1. Moät soá ñònh nghóa:
Ñònh nghóa 1: Haøm soá y = f(x) goïi laø lieân tuïc taïi ñieåm x0, neáu x0 laø moät ñieåm thuoäc taäp xaùc
ñònh cuûa haøm soá vaø lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0

Chuù yù:
- Neáu ta chæ coù: lim− f ( x) = f ( x0 ) thì haøm soá y = f(x) goïi laø lieân tuïc beân traùi ñieåm x0
x → x0

- Neáu ta chæ coù lim+ f ( x) = f ( x0 ) thì haøm soá y = f(x) goïi laø lieân tuïc beân phaûi ñieåm x0
x → x0

Ví duï 1: Xeùt tính lieân tuïc moät beân cuûa caùc haøm soá sau ñaây taïi ñieåm x = 0
 x
2 + x vôù i x > 0 2 + vôù i x ≠ 0
y = f ( x) =  2 y = f ( x) =  x
 x − 1 vôù i x ≤ 0 3 vôù i x = 0


2 + x vôù i x > 0
* y = f ( x) =  2
 x − 1 vôù i x ≤ 0
Ta coù: f(0) = -1
lim f ( x) = lim ( 2 + x ) = x ≠ f (0) 
x → 0+ x → 0+  => y = f(x) lieân tuïc beân traùi taïi ñieåm x = 0 vaø khoâng

x →0 −
x →0 −
( )
lim f ( x) = lim x − 1 = −1 = f (0) 
2

lieân tuïc beân phaûi taïi ñieåm ñoù


 x
2 + vôù i x ≠ 0
* y = f ( x) =  x
3 vôù i x = 0

Ta coù: f(0) = 3
 x 
lim f ( x) = lim  2 +  = 3 = f (0) 
x → 0+ x → 0+  x 
 => y = f(x) lieân tuïc beân phaûi taïi ñieåm x = 0 vaø khoâng
 −x   lieân tuïc beân traùi taïi ñieåm ñoù
lim f ( x) = lim  2 +  = 1 ≠ f (0) 

x →0 

x 
x →0

 1 − x2 −1
 vôù i x ≠ 0
Ví duï 2: Cho haøm soá y = f ( x) =  x
A vôù i x = 0

Tìm A ñeå haøm soá y = f(x) lieân tuïc taïi ñieåm x = 0
1 − x 2 ≥ 0  −1 ≤ x < 0
Ñieàu kieän:  ⇔
x ≠ 0 0 < x ≤ 1
Ta coù:

7

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008




lim f ( x) = lim
1 − x2 −1
= lim
( 1 − x2 − 1 )( 1 + x2 + 1 ) = lim 1 − x2 − 1
= lim
−x
=0
x →0 x →0 x x →0
x ( 1− x +1
2
) x →0
x ( 1− x +1
2
) x →0
1 − x2 + 1

Ñeå haøm soá lieân tuïc taïi x = 0 ⇔ A = lim f ( x ) = 0
x →0

Vaäy neáu A = 0 thì haøm soá ñaõ cho lieân tuïc taïi x = 0

Ñònh nghóa 2:
- Haøm soá y = f(x) goïi laø lieân tuïc treân khoaûng (a,b) neáu coù lieân tuïc taïi moïi ñieåm thuoäc khoaûng ñoù
- Haøm soá y = f(x) goïi laø lieân tuïc treân ñoaïn [a, b] neáu coù lieân tuïc taïi moïi ñieåm thuoäc khoaûng ñoù vaø:
+ lieân tuïc veà beân phaûi ñieåm a
+ lieân tuïc veà beân traùi ñieåm b

2. Caùc ñònh lí quan troïng veà haøm soá lieân tuïc:
• Hai haøm soá y = f(x) vaø y = g(x) lieân tuïc taïi ñieåm x0 thì toång, hieäu, tích, thöông ( g ( x0 ) ≠ 0 ) laø
nhöõng haøm soá lieân tuïc taïi x0
• Haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân khoaûng (a, b) vaø coù x1 < x2 ∈ (a, b) f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) . Khi ñoù, vôùi moãi
soá A naèm trong khoaûng (f(x1), f(x2)) thì ñeàu toàn taïi ñieåm c ∈ ( a, b ) sao cho f(c) = A
Ñònh lí naøy khaúng ñònh söï toàn taïi, nhöng khoâng khaúng ñònh söï duy nhaát cuûa ñieåm c, nghóa laø coù
theå coù nhieàu ñieåm khaùc nhau vaø khaùc c thuoäc khoaûng (a, b) nghieäm ñuùng f(x) = A
* Heä quaû: Haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân khoaûng (a, b) coù giaù trò aâm vaø coù caû giaù trò döông treân
khoaûng ñoù, thì phöông trình f(x) = 0 toàn taïi ít nhaát moät nghieäm x = c maø c ∈ ( a, b )

Ví duï 3: Chöùng minh raèng caùc phöông trình sau coù ít nhaát moät nghieäm
a) x3 – 5x2 + 6x – 1 = 0
b) x4 – 2x3 – 3x2 – 5 = 0
c) 2x + 3x – 6x = 0
d) ln x + x = 0
 f (0) = −1 < 0
a) Ñaët f(x) = x3 – 5x2 + 6x – 1 coù  ⇒ f (0). f (1) < 0
 f (1) = 1 > 0
=> Haøm soá f(x) lieân tuïc treân R neân noù lieân tuïc treân [0, 1] => toàn taïi ít nhaát moät soá thöïc c ∈ [ 0,1]
sao cho: f(c) = 0 => c laø moät nghieäm thöïc cuûa phöông trình ñaõ cho
 f (0) = −5 < 0
b) Ñaët f(x) = x4 – 2x3 – 3x2 – 5 coù  ⇒ f (−2). f (0) < 0
 f (−2) = 15 > 0
=> Haøm soá f(x) lieân tuïc treân R neân noù lieân tuïc treân [-2, 0] => toàn taïi ít nhaát soá thöïc c ∈ [ −2, 0] sao
cho f(c) = 0 => c laø moät nghieäm thöïc cuûa phöông trình ñaõ cho


8

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


 f (0) = 1 > 0
c) Ñaët f(x) = 2x + 3x – 6x coù  ⇒ f (0). f (1) < 0
 f (1) = −1 < 0
=> Haøm soá f(x) lieân tuïc treân R neân noù lieân tuïc treân [0, 1] => toàn taïi ít nhaát soá thöïc c ∈ [ 0,1] sao
cho f(c) = 0 => c laø 1 nghieäm thöïc cuûa phöông trình ñaõ cho
 f (1) = 1 > 0
 1
d) Ñaët f(x) = ln x + x coù   1  1 ⇒ f   . f (1) < 0
 f  e  = −1 + e < 0 e
  
1 
=> Haøm soá f(x) lieân tuïc treân ( 0, +∞ ) neân noù lieân tuïc treân ñoaïn  ,1 => toàn taïi ít nhaát soá thöïc
e 
1 
c ∈  ,1 sao cho f(c) = 0 => c laø moät nghieäm thöïc cuûa phöông trình ñaõ cho
e 




9

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008



ÑAÏO HAØM

I. ÑAÏO HAØM
1. Ñònh nghóa: Haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a, b) vaø laáy x0 ∈ ( a, b ) . Neáu toàn taïi giôùi haïn
f ( x ) − f ( x0 ) ∆y f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
lim hoaëc lim = lim thì ta goïi giôùi haïn ñoù laø ñaïo haøm cuûa haøm soá
x → x0 x − x0 ∆x → 0 ∆x ∆x →0 ∆x
∆y
y = f(x) taïi ñieåm x0, kí hieäu f '( x0 ) = lim
∆x →0 ∆x

Chuù yù:
1/ Duøng khaùi nieäm soá gia cuûa haøm soá ( ∆y ) thì tính ñaëc tröng cuûa haøm soá lieân tuïc y = f(x) taïi ñieåm
x0 ñöôïc neâu: Haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a, b) vaø lieân tuïc taïi ñieåm x0 ∈ ( a, b ) khi vaø chæ
khi lim ∆y = 0
∆x → 0

2/ Neáu haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x0 thì noù lieân tuïc taïi ñieåm ñoù. Ñaûo laïi: Neáu moät haøm
soá lieân tuïc taïi ñieåm x0 coù theå khoâng coù ñaïo haøm taïi ñieåm ñoù

Ví duï 1: Chöùng minh raèng haøm soá y = |x| lieân tuïc taïi ñieåm x = 0 nhöng khoâng coù ñaïo haøm taïi
ñieåm ñoù
Thaät vaäy, ta coù: ∆y = f ( 0 + ∆x ) − f (0) = f (∆x) = ∆x
lim ∆y = lim ∆x = 0 => haøm soá lieân tuïc taïi ñieåm x = 0
∆x → 0 ∆x → 0

∆y ∆x −∆x
f '(0− ) = lim− = lim− = lim− = −1
∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆ x ∆x →0 ∆x
Nhöng:
∆y ∆x ∆x
f '(0+ ) = lim+ = lim+ = lim+ =1
∆x → 0 ∆ x ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x

=> f '(0− ) ≠ f '(0+ ) neân haøm soá cho khoâng coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 0
 x2
 vôù i x ≤ x0
Ví duï 2: Cho haøm soá y = f ( x) = 
ax + b vôù i x > x0

Tìm a vaø b ñeå haøm soá lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm taïi x = x0
* Muoán haøm soá lieân tuïc taïi ñieåm x = x0, ta coù: lim− f ( x) = lim+ f ( x) = f ( x0 )
x → x0 x → x0


 f ( x0 ) = x0 2

Ta coù:  lim+ f ( x ) = lim+ ( ax + b ) = ax + b ⇒ ax0 + b = x0 2 (1)
 x→ x0 x → x0

 lim− f ( x ) = lim− x 2 = x0 2
 x→ x0 x → x0

* Ñeå haøm soá coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = x0, ta coù f '( x0 + ) = f '( x0 − )

10

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


 + f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) a ( x0 + ∆x ) − ax0
 f '( x0 ) = ∆x → x +
lim = lim + =a
 ∆x ∆x → x0 ∆x
Ta coù: 
0


( x0 + ∆x ) − x0 2 = 2 x
2
 −
 f '( x0 ) = ∆x → x0−

lim
∆x
0


=> a = 2x0 (2)
ax + b = x0 2
  a = 2 x0

Töø (1), (2) ta coù:  0 ⇔
a = 2 x0 b = − x0
2
 

2. Baûng coâng thöùc ñaïo haøm
(u + v –w)' = u' + v' – w'
(u.v)' = u'v + uv' => (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'
 u ′ u ' v − uv '  c ′ cv '
  = 2
=>   = − 2 (c: haèng soá)
v v v v

Ñaïo haøm caùc haøm soá cô baûn Ñaïo haøm caùc haøm soá hôïp U = U(x)
(a)' = 0 (aU)' = a.U'
(ax)' = a
(xm)' = m.xm-1; ∀x ∈ R (Um)' = m.Um-1(U')
′ ′
( ) x =
1
2 x
; ∀x ∈ R + ( )
U =
U'
2 U
(sin x)' = cos x (Sin U)' = cos U. (U)'
(cos x)' = - sin x (cos U)' = -sin U. (U)'
1 π U' π
( tgx )′ = 2 ; x ≠ + kπ ( tgU )′ = 2 ;U ≠ + kπ
cos x 2 cos U 2
1 U'
( cotgx )′ = − 2 ; x ≠ kπ ( cot gU )′ = − 2 ;U ≠ kπ
sin x sin U
x x U U
(a )' = a ln a; ( 0 < a ≠ 1 ) (a )' = a ln a. (U)'; ( 0 < a ≠ 1 )
(ex)' = ex (eU)' = eU. U'
1 U'
(logax)' = ; (o < a ≠ 1) (logaU)' = ;(o < a ≠ 1)
x ln a U ln a
1 U'
(ln x)' = ; ∀x ∈ R (ln U)' =
x U

Ví duï 3:
a. Cho y = f ( x) = x ( x − 1)( x − 2 ) ... ( x − 2003) Tính f '(0)
b. Cho y = e 2 x +1 . Tính f '(0)

11

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


 π
c. Cho y = 1 + cos  5 x +  . Tính y’
 5
d. Cho y = x ln x − x ln 2003 . Tính y’

a. f '( x) = ( x − 1)( x − 2 ) ... ( x − 2003) + x ( x − 2 )( x − 3) ... ( x − 2003) + ... + x ( x − 1)( x − 2 ) ... ( x − 2003)
f '(0) = (−1)(−2)...(−2003) = −2003!
b. y′ = e 2 x +1 ( 2 x + 1)′ = 2e 2 x +1 ; y '(0) = 2e

 π  π ′  π
c. y ′ = − sin  5 x +  5 x +  = −5sin  5 x + 
 5  5  5
ex
d. y ' = x ( ln x )′ + ln x − ln 2003 = 1 + ln x − ln 2003 = ln ( x > 0)
2003




12

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


3. Ñaïo haøm caáp n cuûa haøm soá y = f(x)
• Ñaïo haøm caáp 1: y′ = f ′( x)
• Ñaïo haøm caáp 2: y′′ = f ′′( x)
• Ñaïo haøm caáp 3: y′′′ = f ′′′( x) vieát y ( 3) = f ( 3) ( x)
• Ñaïo haøm caáp 4: y ( 4) = f ( 4) ( x)
• Ñaïo haøm caáp n: y ( n ) = f ( n ) ( x); n ≥ 2
Ví duï 4: Tính ñaïo haøm caáp n cuûa y = xe x
y ' = e x (1 + x ) y " = ex ( 2 + x ) … y ( n) = e x ( n + x )


II. ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM
• Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá
• Chöùng minh baát ñaúng thöùc
• Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình, phöông trình, heä vaø heä baát phöông trình
• Giaù trò lôùn nhaát, nhoû nhaát
• Tính giôùi haïn baèng quy taéc L’Hopitale (Loâpitan)
Phaàn naøy taùc giaû coù hai chuyeân ñeà rieâng: (hoïc sinh tìm ñoïc)
Chuyeân ñeà: ÖÙng duïng ñaïo haøm
Chuyeân ñeà: Giaù trò lôùn nhaát, nhoû nhaát cuûa haøm soá
** Chuù yù quy taéc L’Hopitale:
0
1. Quy taéc thöù nhaát cuûa L’Hopitale: Khöû giôùi haïn daïng .
0
f ( x) f '( x )
Neáu lim f ( x ) = lim ϕ ( x ) = 0 thì lim = lim
x→a x→a x →a ϕ ( x) x → a ϕ '( x )


2. Quy taéc thöù hai cuûa L’Hopitale: Khöû giôùi haïn daïng

f ( x) f '( x)
Neáu lim f ( x ) = lim ϕ ( x) = ∞ thì lim = lim
x→a x→a x →a ϕ ( x) x → a ϕ '( x )

3. Caùc giôùi haïn daïng 0.∞; ∞ − ∞,1∞ , 00 seõ ñöa veà giôùi haïn treân
f ( x)
4. Quy taéc L’Hopitale chæ laø ñieàu kieän ñuû ñeå toàn taïi giôùi haïn lim , do vaäy noù khoâng theå thay
x →a ϕ ( x)

theá toaøn boä phöông phaùp thoâng thöôøng




13

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008



Vaán ñeà: DUØNG ÑÒNH NGHÓA TÍNH ÑAÏO HAØM

Cho haøm soá y = f ( x ) xaùc ñònh trong laân caän x0
∆y f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
• Ñaïo haøm taïi ñieåm x0: f '( x0 ) = lim = lim
∆x → 0∆x ∆x → 0 ∆x
• Haøm soá f(x) coù ñaïo haøm trong khoaûng (a, b) neáu vaø chæ neáu haøm soá coù ñaïo haøm taïi moïi
f ( x + ∆x ) − f ( x)
x ∈ ( a, b ) : f '( x0 ) = lim ; x ∈ ( a, b )
∆x → 0 ∆x
∆y 
Ñaï o haø m beâ n phaû i x0 : f '( x0 + ) = lim+
∆x →0 ∆x 

 ⇒ Haø m soá coù ñaï o haø m taï i x0 ⇔ f '( x0 ) = f '( x0 )
+ −

∆y 
Ñaï o haø m beâ n traù i x0 : f '( x0 − ) = lim−
∆x →0 ∆x  
Khi ñoù: f '( x0 ) = f '( x0 ) = f '( x 0 )
+ −




Cô sôû phöông phaùp giaûi toaùn
1. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi moät ñieåm
f ( x) − f ( x0 )
Caùch 1: f '( x0 ) = lim
x → x0 x − x0
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x0 )
Caùch 2: f '( x0 ) = lim+ = lim−
x → x0 x − x0 x → x0 x − x0
2. Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù ñaïo haøm taïi x0
* Neáu f coù ñaïo haøm taïi x0 thì f lieân tuïc taïi x0: lim− f ( x) = lim+ f ( x) = f ( x0 ) (1)
x → x0 x → x0

* Neáu f coù ñaïo haøm taïi x0 thì f '( x0 ) = f '( x0 ) (2)
− +


Töø (1) vaø (2) suy ra ñieàu kieän caàn tìm

Duøng ñònh nghóa ñeå tính ñaïo haøm caùc haøm soá sau taïi x0
π Hoïc sinh coù theå giaûi theo 3 böôùc sau:
1. f ( x) = sin x taï i x0 =
3 Böôùc 1: Tính ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
2. f ( x) = x taï i x0 = 2 ∆y
Böôùc 2: Laäp tæ soá:
π ∆x
3. f ( x) = tgx taï i x0 =
4 ∆y
Böôùc 3: Tìm lim
4. f ( x) = x sin x + 3cos x taï i x = x0 ∆x → 0 ∆x




14

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


π  π  x π
f ( x) − f   sin x − sin   2 cos  + 
1. lim  3  = lim  3  = lim 2 6
π π π π π π
x→
3 x− x→
3 x− x→
3 x−
3 3 3
x π 
sin  − 
= lim  2 6  .lim cos  x + π  = cos π = 1 ⇒ f '  π  = 1
π x π π    
x→
3 − x→
3
2 6 3 2 3 2
2 6




15

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008



f ( x) − f (2) x− 2 1 1 2
2. lim = lim = lim = ⇒ f '( 2) =
x−2
( x) −( 2)
2 2
x →2 x →2 x→2 x+ 2 2 2 4


π  π  π
f ( x) − f   tgx − tg sin  x − 
 4  = lim 4 = lim  4 1 π 
3. lim . = 2 ⇒ f '  = 2
π π π π π π π 4
x→
4 x− x→
4 x− x→
4 x− cos x.cos
4 4 4 4

f ( x) − f ( x0 ) x sin x + 3cos x − ( x0 sin x0 + 3cos x0 )
4. lim = lim
x → x0 x − x0 x → x0 x − x0
x ( sin x − sin x0 ) ( x − x0 ) sin x0 + 3 lim cos x − cos x0
= lim + lim
x → x0 x − x0 x → x0 x − x0 x → x0 x − x0
 x − x0   x − x0 
sin   sin  
 x + x0   x + x0 
. 
2 
. 
2 
= lim x.cos   + sin x0 + 3 lim (−2).sin  
x → x0
 2  x − x0 x → x0
 2  x − x0
2 2
= x0 cos x0 + sin x0 − 3sin x0 = x0 cos x0 − 2sin x0
f ' ( x0 ) = x0 cos x0 − 2sin x0


1. Duøng ñònh nghóa, tính ñaïo haøm caùc haøm soá sau taïi x0 = 0

1 − cos x  2 1
 neá u x ≠ 0  x sin neá u x ≠ 0
a. f ( x) =  x b. f ( x) =  x
0
 neá u x = 0 0
 neá u x = 0

x x
c. f ( x ) = d. f ( x) =
1+ x 1+ x




 sin ( x )  1
2
f ( x) − f (0) 1 − cos x 1 1
a. Ta coù: f '(0) = lim = lim = lim  x 2  = ⇒ f '(0) =
x →0 x−0 x →0 x 2
2 x →0  ( )  2 2
 2 

f ( x) − f (0) 1
b. Ta coù: f '(0) = lim = lim x sin   = 0
x →0 x−0 x →0
x

16

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


1
Vì − x ≤ x sin   ≤ x vaø lim ( − x ) = lim x = 0
 x x →0 x →0



f ( 0 + ∆x ) − f (0) ∆x 1
c. f '(0) = lim = lim = lim =1
∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x (1 + ∆x ) ∆x →0 1 + ∆x




 x
 x +1 neá u x ≥ 0

d. f ( x) =  ; f (0) = 0
 −x neá u x < 1
 x +1


f ( x ) − f (0) x
1
f '(0+ ) = lim = lim x +1 = lim =1
+
x →0 x−0 x → 0+ x x → 0+ x + 1



f ( x ) − f (0) −x
−1
f '(0− ) = lim− = lim x +1 = lim = −1
x →0 x−0 −
x →0 x x →0 x + 1





Vì f '(0+ ) ≠ f '(0− ) Vaäy f khoâng coù ñaïo haøm taïi x0 = 2

2. Tính ñaïo haøm caùc haøm soá sau

 x2
 neá u x ≥ 1
a. f ( x) =  2 taï i x0 = 1
− x + 4 x − 2
 neá u x < 1

 sin 2 π x
 neá u x ≠ 1
b. f ( x) =  x − 1 taï i x0 = 1
0 neá u x = 1




a. Ta coù: f (1) = 0

f ( x ) − f (1) x2 − 1
f '(1+ ) = lim = lim = lim ( x + 1) = 2
x →1+
x −1 x →1+ x − 1 x →1+





f '(1 ) = lim
f ( x ) − f (1)
= lim
(
− x2 + 4 x − 2 − 1 )
= lim ( 3 − x ) = 2
x →1− x −1 x →1− x −1 x →1−



Vì f '(1+ ) = f '(1− ) = 2 Vaäy f '(1) = 2

17

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


b. Ta coù: f (1) = 0

f ( x ) − f (1) sin π x
sin 2 π x
2


lim = lim x −1 = lim
x −1 x →1 x − 1
( x − 1)
x →1 x →1 2




Ñaët t = x – 1 => x = t + 1 khi x 1 thì t 0

sin 2 π ( t + 1)
2
sin 2 π x sin 2 π t  sin π t  2
Vaäy lim = lim = lim = lim   .π = π ⇒ f '(1) = π
2 2

( x − 1)  πt 
2
x →1 t →0 t2 t →0 t 2 t →0




18

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008



 4x − 2
 neá u x ≠ 1
1. Cho f ( x ) =  x − 1
1 neá u x = 1


CMR: haøm soá lieân tuïc taïi x = 1. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi x = 1

− x 2 + a
 vôù i x ≥ -1
2. Cho f ( x ) =  2
 x + bx
 vôù i x < −1

Xaùc ñònh a, b ñeå haøm soá coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = -1

x2 − 2 x + 3
3. CM haøm soá f ( x ) = lieân tuïc taïi x = -3 nhöng khoâng coù ñaïo haøm taïi ñieåm aáy
3x − 1

 α 1
 x sin   neá u x ≠ 0
4. Cho haøm soá f(x) xaùc ñònh bôûi: f ( x ) =  x
0 neá u x = 0


Xaùc ñònh soá thöïc α ñeå haøm soá:

a. Lieân tuïc taïi x = 0

b. Coù ñaïo haøm taïi x = 0

c. Ñaïo haøm f ' (x) lieân tuïc taïi x = 0



4x − 2 4 ( x − 1)
1. * f (1) = 1; lim f ( x ) = lim = lim =1
x →1 x →1 x −1 x →1
(
( x − 1) 4 x + 2 )
Vaäy f (1) = lim f ( x ) = 1 Do ñoù, f(x) lieân tuïc taïi x = 1
x →1


* Cho bieán soá 1 soá gia ∆x ≠ 0 taïi x = 1

2 1 + ∆x − 2 2
Ta coù: ∆y = ( x + ∆x ) − f ( x ) = −1 = −1
(1 + ∆x ) − 1 1 + ∆x + 1



19

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


∆y 1 − 1 + ∆x −1 1
lim = lim = lim =−
∆x → 0 ∆x ∆x → 0
( )
∆x 1 + 1 + ∆x (
∆x →1
1 + 1 + ∆x )
2
4


1
Vaäy f '(1) = −
4




20

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008



2. f (−1) = a − 1; lim+ f ( x ) = a − 1; lim− f ( x ) = 1 − b
x →−1 x →−1


Haøm soá coù ñaïo haøm taïi x = -1 thì lieân tuïc taïi –1

⇒ f (−1) = lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) ⇔ a − 1 = 1 − b ⇔ a + b = 2
x →−1 x →−1


2
f ( −1 + ∆x ) − f (−1) − ( −1 + ∆x ) + a − ( a − 1)
f '(−1 ) = lim+
+
= lim+ =2
∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x
2
f ( −1 + ∆x ) − f (−1) ( −1 + ∆x ) + b ( −1 + ∆x ) − ( a − 1)
f '(−1 ) = lim−

= lim− = b−2
∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x

f(x) coù ñaïo haøm taïi x = -1 ⇔ f '(−1+ ) = f '(−1− ) ⇔ 2 = b − 2 ⇒ b = 4

a + b = 2  x = −2
Ta coù:  ⇒ thì haøm soá coù ñaïo haøm taïi x= -1 vaø f ' (-1) = 2
b = 4 b = 4

9
3. Ta coù: f (−3) = −
10

x2 − 2x − 6 9
lim+ f ( x ) = lim+ =− 
x →−3 x →−3 3x − 1 10  9
 ⇒ f (−3) = xlim− f ( x ) = xlim+ f ( x ) = −
2
x + 2x + 6 9 →−3 →−3 10
lim− f ( x ) = lim− =− 
x →−3 x →−3 3x − 1 10 


Vaäy haøm soá lieân tuïc taïi x = -3

* Cho bieán soá 1 soá gia ∆x ≠ 0 taïi –3 vaø ∆x = x + 3

∆y f ( x ) − f (−3) 10 x − 23 53 
∆x > 0 : lim+ = lim+ = lim+ =
x →0∆x x →−3 x +3 x →−3 10 ( 3 x − 1) 100 

 ⇒ f '(−3 ) ≠ f '(−3 )
− +

∆y f ( x ) − f (−3) 10 x + 17 13 
∆x < 0 : lim− = lim− = lim− =
x → 0 ∆x x →−3 x +3 x →−3 10 ( 3 x − 1) 100 


Vaäy haøm soá khoâng coù ñaïo haøm taïi x = -3

1 1 1 1
1. * Vôùi α ≤ 0 : x α = −α
⇒ lim x α .sin = lim −α .sin khoâng toàn taïi
x x →0 x x →0 x x

21

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


1
* Vôùi α > 0 : lim xα .sin = 0 = f (0)
x →0 x

Vaäy f(x) lieân tuïc taïi x = 0 khi α > 0

f ( x ) − f (0) xα sin ( 1 ) 1
2. lim = lim x
= lim x α −1 .sin  
x →0 x−0 x →0 x x →0
x

1
Neáu α − 1 > 0 ⇔ α > 1 thì lim xα −1 .sin   = 0 ⇒ f '(0) = 0 vôù i α > 1
x →0
x

1  1  1 
3. Vôùi x ≠ 0 ta coù : f '( x ) = α .x α −1 .sin   + xα .cos    − 2 
x  x  x 

1 1
= α x α −1 .sin   − xα − 2 .cos  
x x

Neáu α > 2 thì lim f '( x ) = 0 ⇒ f '( x ) lieân tuïc taïi x = 0 vôùi α > 2
x→0




x neá u x ≤1
1. Cho haøm soá f(x) xaùc ñònh bôûi: y = f ( x ) =  2
− x + bx + c neá u x >1

Tìm b, c ñeå f(x) coù ñaïo haøm taïi x = 1

( x + a ) .e− bx
 vôù i x0
 x

Tìm A, B ñeå haøm soá coù ñaïo haøm vôùi moïi x




22

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


1. Neáu f(x) coù ñaïo haøm taïi x = 1 thì f(x) lieân tuïc taïi x = 1 neân
lim f ( x ) = f (1) ⇒ lim f ( x ) = 1 ⇔ lim ( − x 2 + bx + c ) = 1 ⇒ b + c = 2 ⇒ b = 2 − c
x →1 +
x →1 +
x →1


Ta coù:

lim
f ( x ) − f (1)
= lim
− x 2 + bx + c − 1
= lim
−x2 + (2 − c) x + c −1
= lim
( )
− x 2 − 2 x + 1 − c ( x − 1)
= −c
x →1+ x −1 x →1+ x −1 x →1+ x −1 x →1+ x −1

f ( x ) − f (1) x2 −1
lim = lim = lim ( x + 1) = 2

x →1 x −1 x →1− x − 1 x →1−


f ( x ) − f (1) f ( x ) − f (1)
Ñeå haøm soá coù ñaïo haøm taïi x = 1 thì: lim = lim ⇔ c = −2
+
x →1 x −1 x →1−
x −1

b + c = 2  b = 4
Vaäy  ⇒ => f(x) coù ñaïo haøm taïi x = 1 khi b = 4, c = -2
c = −2 c = −2



2. Neáu f(x) coù ñaïo haøm taïi x = 0 thì f(x) lieân tuïc taïi x = 0 neân lim f ( x ) = f (0)
x →0




 f (0) = 1

Ta coù:  lim+ f ( x ) = lim+ ( ax 2 + bx + 1) = 1 ⇒ lim f (0) = f (0) ⇔ a = 1
x →0
 x →0 x→0

 lim− f ( x ) = lim− ( x + a ) e = a
− bx
 x →0 x →0



e− bx − b ( x + a ) e− bx
 vôù i x0
 x2

∆y ∆x − 0 
lim− = lim− =1 
∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x  ∆y ∆y
 ⇒ ∆lim+ = lim− ⇔ A =1
A. sin∆x∆x
2
∆y x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x
lim = lim+ = A
∆x → 0 + ∆x ∆x → 0 ∆x 





24

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008



Tính ñaïo haøm

 1  ( x + 1)
3 4x + 1
1. f ( x ) = ( x +1 
 x
)
− 1

2. f ( x ) =
x2 − x + 1
3. f ( x ) =
x2 + 2



 1
1. f ( x ) = ( x +1 
 x
) 
− 1 Daïng y = u.v ⇒ y ' = u ' v + v ' u vaø

( x )′ = 2 1 x

′ 1   1 ′ 1  1   1  1  1
f '( x ) = ( x +1 
 x
)
− 1 +

( )
x +1 
 x
− 1 = 
 2 x x
− 1 +

( )
x +1  −
 2x x
=−
 2 x
1 + 
 x



3

2. f ( x ) =
( x + 1) Daïng y =
u
⇒ y' =
u'v − v'u
2
x − x +1 v v2

 x + 1)3 ′ ( x 2 − x + 1) − ( x 2 − x + 1)′ ( x + 1)3 3 ( x + 1)2 x 2 − x + 1 − ( 2 x − 1)( x + 1)3
f '( x ) = (  =
( )
2 2
( x 2 − x + 1) ( x 2 − x + 1)

=
( x + 1)
2
(x 2
− 4x + 4 ) = ( x + 1) ( x − 2 )
2 2

2 2
(x 2
− x +1 ) ( x − x + 1)
2




3. f ( x ) =
4x + 1 u
Daïng y = ⇒ y ' =
u'v − v'u
vaø x α
=
( x )′
α

=
α xα −1
x +1
2 v v2 2 xα 2 xα



f '( x ) =
( 4 x + 1)′ x2 + 2 − ( x2 + 2 )′ ( 4 x + 1) = 4 x2 + 2 − x
x2 +2
( 4 x + 1)
=
8− x
(x )
2 2
x +2 x +2 2
+2 x2 + 2

Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
1. y = sin ( 4 + x2 )

25

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008



( x )′
2

1. y ' = cos ( 4+ x 2
)( 4+ x 2
) = cos (

4+ x 2
)2 4+ x 2
=
x
4+ x 2
.cos ( 4 + x2 )




26

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008



BAØI TAÄP LUYEÄN TAÄP

1. Duøng ñònh nghóa ñeå tính ñaïo haøm caùc haøm sau taïi x0
a. f ( x ) = x 2 − 3 x + 3 taï i x0 = 1
x +1
b. f ( x ) = taï i x0 = 0
x −1
c. f ( x ) = 3 x 2 + 2 taï i x0 = −1
π
d. f ( x ) = sin x taï i x0 =
4
e. f ( x ) = x − 2 x
2
taï i x0 = 2
2
f. f ( x ) = ( x − 1) ( x − 1) taï i x0 = 1
Ñaùp aùn:
−2 3 3 π  2
a. f '(1) = −1 b. f '(0) = −2 c. f '(−1) = d. f '   =
9 4 2
e. Khoâng toàn taïi f. f '(1) = 0

1 − 1 − x
 neá u x ≠ 0
 x
2. Cho haøm soá: f ( x ) = 
1 neá u x = 0
2

a. Chöùng minh raèng f lieân tuïc taïi x0 = 0
b. Tính f '(0) neáu coù:
1
Ñaùp soá: b. f '(0) =
8




27

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


( x + a ) e− bx
 neá u x > 0
Cho haøm soá: f ( x ) = 
2
 ax + bx + 1 neá u x ≤ 0

Tìm a, b ñeå haøm soá coù ñaïo haøm taïi x0 = 0
Ñaùp soá: a = 1, b = 1/2




 p cos x + q sin x neá u x ≤ 0
Cho haøm soá f ( x ) =  Chöùng minh raèng vôùi moïi caùch choïn p vaø q haøm
 px + q + 1 neá u x > 0
f(x) khoâng theå coù ñaïo haøm taïi x0 = 0




28

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


3. Tính ñaïo haøm caùc haøm soá sau
a. f ( x ) = ( x 2 − 3 x + 3)( x 2 + 2 x − 1)
b. f ( x ) = ( x 2 − 1)( x 2 − 4 )( x 2 + 9 )
x3 − x
c. f ( x ) =
x2 + x + 1
3
 3x + 1 
d. f ( x ) =  
 x+2 
x
e. f ( x ) =
9 − x2
1
f. f ( x ) =
x8 + x4 + 2
Ñaùp soá:
a. f ' (x) = 4x3 – 3x2 – 8x + 9 b. f ' (x) = 6x5 – 56x3 + 98x
3
x 4 + 2x3 + 4x2 − 1 15  3x + 1 
c. f '( x ) = 2
d. f '( x ) = 2  
(x 2
+ x +1 ) ( x + 2)  x + 2 

e. f '( x ) =
9
f. f '( x ) =
(
− 4x 7 + 2 x3 )
(9 − x ) 2
9 − x2 (x 8
+ x4 + 2 ) x8 + x 4 + 2




4. Chöùng minh raèng (1 ≤ n ∈ N )
 nπ 
a. ( sin x ) = sin  x +
n

 2 
 nπ 
b. ( cos x ) = cos  x +
n

 2 
( −1) .n!
n
1
c. = n +1
(1 + x ) (1 + x )
n




5x − 3 7 2  7 2 
5. Cho f ( x ) = = − thì f '(n) = (−1)n .n!  − 
x 2 − 3x + 2 x − 2 x − 1  ( x − 2 )n +1 ( x − 1)n +1 
 
Chöùng minh:
a. Neáu y = ax + b + c (a, b, c laø haèng soá) thì: (c.y).y" = y' 2 hay 3y"2 = y'.y"
29

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


1

b. Neáu y = x.e x thì x3y" + y = x.y'
c. Neáu y = cos ex + sin ex thì y" + y.e2x = y'
x −3
d. Neáu y = thì 2y' 2 = (y – 1) y"
x+4

1
Neáu y = thì y" + y = 3y5
cos 2 x


( )
n
Neáu y = x + x 2 − 1 thì (x2 – 1).y" + x.y' – n2y = 0


1 1 2 y '2 − yy ' 2
Neáu y = − (a, b laø haèng soá, khaùc 0) thì 2
=
x−a x−b y a−b
4x -x
Neáu y = e + 2e thì y′′′ − 13y′ − 12 y = 0




30

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


1. CMR vôùi t > 0, ta luoân coù: ln t < t
2. CMR vôùi x ≥ 0 , ta coù e x − e− x ≥ 2 ln x + 1 + x 2 ( )

t −2
1. Ñaët f (t ) = t − ln t (t > 0) ⇒ f '(t ) =
2t
Vì 2 < e => f min (t) > 0
t 0 4 +∞
⇒ t − ln t > 0 ⇒ t > ln t
f ' (t) - 0 +
f (t)
2(1 – ln2)



(
2. Ñaët f ( x ) = e x − e− x − 2 ln x + 1 + x 2 ) coù D = [0, +∞]
2 
f '( x ) = e x + e− x − > 0 vôùi x > 0 
1+ x 2

 => f (x) ñoàng bieán vôùi ∀x ≥ 0 vaø f ( x ) ≥ f (0) = 0 => ñpcm
2 
thì khi ñoù: e x + e− x >2>
1+ x 2 





31

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


1. Tìm m ñeå phöông trình x + 9 − x = − x 2 + 9 x + m coù nghieäm



1. Ñieàu kieän: 0 ≤ x ≤ 9 . Ñaët x + 9 − x = t > 0 ⇔ t2 = 9 + 2 x (9 − x )
2
 t2 − 9 
Theo cosi: 9 ≤ t ≤ 9 + x + 9 − x = 18 ⇒ x ( 9 − x ) = 
2
 ;9 ≤ t ≤ 18
2

 2 
2
 t2 − 9 
Phöông trình cho ⇔ t =  4 2
 + m ⇔ t − 22t + 81 = 4m
 2 
Ñaët u = t 2 ;9 ≤ u ≤ 18 ⇒ f (u) = u 2 − 22u + 81 = −4m
9
Coù f '(u) = 2u − 22 ⇒ −40 ≤ −4m ≤ 9 ⇔ − ≤ m ≤ 10
4

u −∞ 9 11 18 +∞
f ' (u) - 0 +
- 36 9
f (u)
- 40




32

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


1. Tìm m ñeå baát phöông trình mx − x − 3 ≤ m + 1 coù nghieäm
2. Tìm a > 0 ñeå baát phöông trình: x − x − 1 > a coù nghieäm
1
3. Tìm m ñeå baát phöông trình (1 + 2 x )( 3 − x ) > 2 x 2 − 5x + 3 + m thoûa maõn − ≤ x ≤3
2

1. Ñieàu kieän: x ≥ 3 . Ñaët t = x − 3; t ≥ 0
t +1
bpt cho ⇔ mt 2 − t + 2m − 1 ≤ 0 ⇔ m ≤ 2 = f (t )
t +2

⇒ m ≤ max f (t ) coù f '(t ) =
− t 2 − 2t + 2 t = − 1 + 3
; f '(t ) = 0 ⇔ 
( 1
⇒ m ≤ 1+ 3
) ( )
2
t≥0 ( t2 + 2 )  4
t = 3 − 1

t −∞ (
− 1+ 3 ) 0 3 −1 +∞
f ' (t) - 0 + + 0 -
1
f (t)
4
(1 + 3 )
1
0
2




2. Ñieàu kieän: x ≥ 1 . Ñaët f ( x ) = x − x − 1
1 1 1 
Coù f '( x ) =  −  m + 6 coù f '(t ) = 2t + 1 > 0; ∀t ∈  0, 
 2
⇒ m + 6 < min f (t ) = f (0) = 0 ⇒ m < −6
t∈ 0, 7 
 
 2




34

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


3 x 2 + 2 x − 1 < 0

1. Tìm m ñeå heä baát phöông trình  3 coù nghieäm
 x + 3mx + 1 < 0

2. Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a ñeå heä coù nghieäm (x; y) thoûa maõn ñieàu kieän x ≥ 4
 x + y =3


 x +5 + y +3 ≤ a





 1
 −1 < x < 3

(1)
1. Heä ⇔ 
 mx < − 1 x 3 + 1
( ) (2)

 3
 1 1
 x < 0 coù m > −  x 2 +  = f ( x)
3 x

Do x = 0 khoâng laø nghieäm cuûa (2) neân: 
 x > 0 coù 1 1
m < −  x2 +  = f (x)

 3 x
1 1  1
f '( x ) = −  2 x − 2  ; f '( x ) = 0 ⇔ x = 3
3 x  2
 −1 < x < 0 thì m>0 ñeå m > f ( x)

⇒ 1 28
0 < x < 3

thì m f ' (v) nghòch bieán ⇒ a ≥ min f (v) = f (1) = 5 ⇒ a ≥ 5




36

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


0
Tìm caùc giôùi haïn - daïng
0
3
1 + 2x + 1 1 − cos x
lim lim+
x →−1 2+ x + x x → 0 1 − cos x

2 1+ x − 3 8 − x x − sin x
lim lim
x →0 x x →0 x3
x −1
2 x 2 sin 1
lim 2 lim x

x →−1 x + 3 x + 2 x → 0 sin x


ex − 1 tgx − sin x
lim lim
x → 0 x − sin x
x → 0 sin 2 x

e2 x − 1
lim
x → 0 ln (1 + 2 x )





Tìm giôùi haïn - daïng

x − 6x ln x
lim lim
x →∞ x 2003
x →∞ 3x + 1

Tính giôùi haïn – daïng ∞ − ∞
 1 1  1 1 
lim  −  lim  − x 
x →1 ln x x −1  x →0 x e −1 
 

Tính giôùi haïn – daïng 1∞
tg2 x
lim ( tgx )
π
x→ 4
1
lim x 1− x
x →1



Tính giôùi haïn – daïng 0.∞
π
lim (1 − x ) .tg x
x →1 2

Tính giôùi haïn – daïng 00
6
lim+ x 1+2 ln x
x →0



Tính giôùi haïn – daïng ∞ 0


37

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


1

(
lim x + x 2 + 1
x →+∞
) ln x




38

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008



TÍNH ÑÔN ÑIEÄU
1. Tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa haøm soá
x
a. y =
ln x
b. y = x − 2sin x ( 0 < x < 2π )



x
a. y =
ln x
* D = ( 0,1) ∪ [1, +∞ ]
ln x − 1
* y' = ⇒ y ' = 0 ⇔ ln x − 1 = 0 ⇔ x = e
ln 2 x
* Baûng bieán thieân

x −∞ 0 1 e +∞
y' - - 0 +
y
e

taê ng treâ n khoaû ng ( e, +∞ )

Haøm soá 
giaû m treâ n khoaû ng ( 0,1) ∪ (1, e )

b. y = x − 2 sin x
* D = ( 0,2π )
1 π
* y ' = 1 − 2 cos x ⇒ y ' = 0 ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k 2π ; k ∈ Ζ
2 3
π 5π
Trong ( 0,2π ) ; y ' = 0 coù nghieä m x = ; x =
3 3
  π 5π 
taê ng treâ n khoaû ng  3 ; 3 
  
Haøm soá 
giaû m treâ n  0; π  ;  5π ;2π 
    
  3  3 
* Baûng bieán thieân

x −∞ 0 π 5π 2π +∞
3 3
y' - 0 + 0 -
y 39

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008




2. Tuøy theo giaù trò m, haõy khaûo saùt söï bieán thieân cuûa haøm soá
a. y = 4 x 3 + ( m + 3) x 2 + mx




a. Ta coù
* D=ℝ
2
* y ' = 12 x 2 + 2 ( m + 3) x + m coù ∆ = ( m − 3)
• m = 3 ⇒ y ' ≥ 0; ∀x ∈ R : Haøm soá ñoàng bieán
1 m m −3
• m ≠ 3 ⇒ y ' = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1 = − ; x2 = − ⇒ x1 − x2 =
2 6 6
Neáu m < 3 => x1 < x2
1 m
x −∞ − − +∞
2 6
y' + 0 - 0 +
y


  1  m 
taê ng treâ n khoaû ng  −∞; − 2  ∪  − 6 ; +∞ 
    
Haøm soá 
giaû m treâ n khoaû ng  − 1 ; − m 
  
  2 6
Neáu m > 3 => x1 > x2

m 1
x −∞ − − +∞
6 2
y' + 0 - 0 +
y


40

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


  m  1 
taê ng treâ n khoaû ng  −∞; − 6  ∪  − 2 ; +∞ 
    
Haøm soá 
giaû m treâ n khoaû ng  − m ; − 1 
  
  6 2




41

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008



BAØI TAÄP TÖÏ LUYEÄN

1. Tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa haøm soá
x +1
y=
x − x +1
2




Xaùc ñònh m ñeå haøm soá y = f ( x ) = ( m − 3) x − ( 2m + 1) cos x luoân nghòch bieán
Ñaùp soá: D = ℝ : f '( x ) = ( m − 3) + ( 2m + 1) sin x; t = sin x
2
ycbt ⇔ f '( x ) ≤ 0; t ∈ [ −1;1] ⇔ −4 ≤ m ≤
3
Chuù yù: f (x) = ax + b
 f (α ) ≥ 0  f (α ) ≤ 0
f ( x ) ≥ 0 : ∀x ∈ [α ; β ] ⇔  vaø f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [α ; β ] ⇔ 
 f (β ) ≥ 0  f (β ) ≤ 0




42

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


Xaùc ñònh a ñeå haøm soá
1
a. f ( x ) = − x 3 + ( a − 1) x 2 + ( a + 3) x ñoàng bieán trong khoaûng (0; 3)
3
b. f ( x ) = x ( a − x ) − a ñoàng bieán trong (1; 2)
2


c.
d.

Ñaùp soá:
− f '(0) ≤ 0 12
a. x1 ≤ 0 < 3 ≤ x2 ⇔  ⇔a≥
− f '(3) ≤ 0 7

−3 f '(0) ≤ 0
b. x1 ≤ 1 < 2 ≤ x2 ⇔  ⇔a≥3
−3 f '(2) ≤ 0
c.
d.




Xaùc ñònh m ñeå haøm soá
( )
a. f ( x ) = x 3 − ( m + 1) x 2 − 2m 2 − 3m + 2 x + 2m ( m − 1) ñoà ng bieá n khi x ≥ 2
b.
c.
d.

Ñaùp soá:

 ∆′ > 0
 3
a. x1 < x2 ≤ 2 ⇔ 3 f ′(2) ≥ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤
S 2
 −2 < 0
2




43

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


x+m
Cho haøm soá y = f ( x ) = (1)
x−m
a. Ñònh m ñeå haøm soá (1) taêng treân töøng khoaûng xaùc ñònh
b. Ñònh m ñeå haøm soá (1) taêng trong ( −1; +∞ )
2m
Ñaùp soá: f '( x ) = − 2
; x≠m
( x − m)
a. f '( x ) > 0 ⇔ m < 0
 f '( x ) > 0

b.  ⇔ m ≤ −1
m ∉ ( −1; +∞ )





2 x 2 − 3x + m
Cho haøm soá y = f ( x ) = . Ñònh m ñeå f taêng trong töøng khoaûng xaùc ñònh
x −2
2 x 2 − 8x + 6 − m g( x )
Ñaùp soá: f '( x ) = 2
= 2
⇒ g( x ) ≥ 0 ⇔ m ≤ − 2
( x − 2) ( x − 2)


Tìm a ñeå haøm soá
2 x 2 + (1 − a ) x + 1 + a
a. f ( x ) = nghòch bieán trong (1; +∞ )
x−a
x 2 − 2ax + 3a2
b. f ( x ) = nghòch bieán trong (1; +∞ )
2a − x
2 x 2 − ax + 1 + a
c. f ( x ) = nghòch bieán trong ( 2; +∞ )
a− x
x 2 − 2ax + 3a2
d. f ( x ) = ñoàng bieán trong (1; +∞ )
x − 2a
Ñaùp soá:
 ∆′f > 0

 ∆′f ≤ 0 2. f '(1) ≥ 0

a.  ∨ S ⇔ a ≤ 3−2 2
a ≤ 1  −1 < 0
2
a ≤ 1


b. a ≤ 2 − 3
c. a ≤ 5 − 3 2
44

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


d. m ≤ 2 − 3




45

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008



ÑIEÅM CÖÏC TRÒ

1. Tìm caùc ñieåm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau
x+3
a. y =
x2 + 1
1
b. y = x x




a. Ta coù
* D=ℝ
1 − 3x 1
* y' = ⇒ y' = 0 ⇔ x =
(x 2
+1 ) 2
x +1 3
* Baûng bieán thieân


x −∞ 1 +∞
3

y' + 0 -

y



1
Haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x =
3
b. Ta coù
* D = ( 0; +∞ )
1 ln x y' 1 1 1 1
* y = x x ⇒ ln y = ln x x = ⇒ = 2 (1 − ln x ) ⇒ y ' = x x . 2 (1 − ln x )
x y x x
⇒ y ' = 0 ⇔ ln x = 1 ⇒ x = e
* Baûng bieán thieân

x −∞ 0 e +∞
y' + 0 –

y

46

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008




Haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x = e




47

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


Xaùc ñònh m ñeå haøm soá
1 π
a. y = sin 3 x + m sin x ñaït cöïc ñaïi taïi x =
3 3




a. y′ = cos3 x + m cos x; y′′ = −3sin 3 x − m sin x
 π 
y '  = 0
π  3 m = 2
Haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x = ⇔  ⇔ ⇔m=2
3  y′′  π  < 0 m > 0
 3
 





48

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì haøm soá y = −2 x + m x 2 + 1 coù cöïc tieåu




* D=ℝ
mx m
* y ' = −2 + ; y′′ =
x2 + 1 (x 2
)
+1
3



 y '( x0 ) = 0
* Haøm soá coù cöïc tieåu khi heä sau coù nghieäm x0 : 
 y "( x0 ) > 0
m > 2
⇔
2 x 2 + 1 = mx
 0 0
⇔
( 2
)
4 x0 + 1 = ( mx0 )
 2

⇔
 2( )
2
 m − 4 x0 = 4 m 2 − 4 > 0
⇔

⇔ 2
m > 0
 m > 0, x0 > 0
  m > 0, x0 > 0
 m > 0, x0 > 0  x0 =
 m2 − 4
2
Vaäy vôùi m > 2 thì haøm soá coù cöïc tieåu taïi x =
m2 − 4




49

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


1 1
1. Cho haøm soá y = mx 3 − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + . Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc
3 3
tieåu ñoàng thôøi hoaønh ñoä caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu x1, x2 thoûa maõn: x1 + 2x2 = 1
1 1 1
2. Cho g( x ) = x 3 − x 2 + ax + 1 vaø h( x ) = x 3 + x 2 + 3ax + a
3 2 3
Tìm a ñeå moãi haøm coù 2 cöïc trò, sao cho giöõa hai hoaønh ñoä cöïc trò cuûa haøm naøy coù moät hoaønh ñoä cöïc
trò cuûa haøm kia




1. Ta coù
* D=ℝ
* y ' = mx 2 − 2 ( m − 1) x + 3 ( m − 2 )
Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu khi vaø chæ khi y' = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät
m ≠ 0 m ≠ 0
 m ≠ 0 
⇔ 2 ⇔ ⇔ 2 − 6 2+ 6
 ∆′ = ( m − 1) − 3m ( m − 2 ) > 0  −2m + 4m + 1 > 0
2
  0 ⇔ 1 − 4a > 0 ⇔ a < . Trong giaù trò naøy cuûa a ta caàn tìm caùc a sao cho h' (x) coù 2 nghieäm
4
x3 < x4 sao cho:
 x3 < x1 < x4 < x2  x1 trong khoaû ng 2 nghieä m h'(x); x 2 ngoaø i khoaû ng nghieä m h'(x)
 ⇔
 x1 < x3 < x2 < x4  x2 trong khoaû ng 2 nghieä m h'(x); x1 ngoaø i khoaû ng nghieä m h'(x)
 h '( x1 ) < 0; h '( x2 ) > 0
⇔ ⇔ h '( x1 ).h '( x2 ) < 0
 h '( x2 ) < 0; h '( x1 ) > 0

50

Quà t ng cho con trai : Tr n Hoàng Vi t – ðà N ng nhân ngày sinh nh t 27/10
Nguy n Phú Khánh – ðà L t B n th o xu t b n sách tham kh o ôn thi ð i h c năm 2008


(
2 2
)( ) 2
( 2
)( )
⇔ x1 + 2 x1 + 3a x2 + 2 x2 + 3a < 0 ⇔ x1 − x1 + a + 3 x1 + 2a x2 − x2 + a + 3 x2 + 2a < 0
⇔ ( 3 x1 + 2a )( 3 x2 + 2a ) < 0 ⇔ 9 x1 .x2 + 6a ( x1 + x2 ) + 4a2 < 0
15 1
⇔ 9a + 6a.1 + 4a 2 < 0 ⇔ − < a < 0 thoû a a
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản