Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học lớp 11 - Phần Thiết diện

Chia sẻ: Tran Ngoc Hau | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:24

7
3.204
lượt xem
693
download

Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học lớp 11 - Phần Thiết diện

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng: 1.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng 2.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng cho trước 3.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với hai đường thẳng cho trước. 4.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước. 5.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và vuông góc một đường thẳng cho...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học lớp 11 - Phần Thiết diện

  1. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng: 1.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng 2.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng cho trước 3.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với hai đường thẳng cho trước. 4.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước. 5.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và vuông góc một đường thẳng cho trước. 6.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng. Dạng 1: Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng Phương pháp: Bước 1: Từ hai điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng (P) với một mặt của hình chóp. Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được giao tuyến với các mặt này. Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các đoạn giao tuyến tạo thành một đa giác phẳng khép kín ta được thiết diện. Bươc 4: Dựng thiết diện và kết luận. Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là điểm bất kì nằm trên cạnh SC (không trùng với S, C), N và P lần luợt là trung điểm của AB, AD. Tìm thiết diện của hình chóp với (MNP). S Giải: Ta có: ( MNP ) ∩ ( ABCD ) = NP M Kéo dài BC và NP cắt nhau tại I, Q khi đó ( MNP ) ∩ ( SBC ) = KM Kéo dài DC cắt NP tại J, J ( MNP ) ∩ ( SCD ) = MQ K ( MNP ) ∩ ( SAD ) = PQ A Vậy thiết diện là ngũ giác KMQPN. P D I N B 1 C
  2. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Dạng 2:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) ((P) chứa một đường thẳng a song song với một đường thẳng b cho trước ( a và b chéo nhau)) . @Phương pháp: Bước 1: Chỉ ra 2 mp (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song a và b . Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng ( có thể dựng thêm các đường phụ). Bước 3: Khi đó: ( P ) ∩ ( Q ) = Mt P a P b Bước 4: Sử dụng các cách tìm thiết diện đã biết ta tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt còn lại của hình chóp. Bước 5: Dựng thiết diện và kết luận. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC, (P) là mặt phẳng qua AM và song song BD. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt (P). Giải: Ta có: S BD P ( P ) , BD ⊂ ( SBD ) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Gọi I = SO ∩ AM Khi đó ( P ) ∩ ( SBD ) = Ix P BD Ix cắt SB tại K, cắt SD tại N. M N Do đó: ( P ) ∩ ( SBC ) = MK K I ( P ) ∩ ( SCD ) = MN A D ( P ) ∩ ( SAB ) = AK O ( P ) ∩ ( SAD ) = AN B Vậy thiết diện là tứ giác KMNA. C Dạng 3:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với hai đường thẳng cho trước: @Phương pháp: Bước 1: Tìm điểm M ∈ (P) ∩ (Q) Bước 2: Chỉ ra mp (P) P a ( hoặc b ) ⊂ (Q). Suy ra giao tuyến (P) và (Q) là đường thẳng qua M và song song a ( hoặc b ). Bước 3: Tiếp tục tìm giao tuyến của các mặt khác của hình chóp với (P) bằng các cách đã biết. Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang ( AD song song BC ), M là điểm bất kì thuộc AB và (α ) là mặt phẳng qua M và song song với AD và SB. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α ) . 2
  3. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Giải: S Ta có: M ∈ ( α ) ∩ ( ABCD ) (α ) song song với AD nên: P K (α ) ∩ ( ABCD ) = Mx P AD Gọi N = Mx ∩ CD (α ) song song với SB nên: (α ) ∩ ( SAB ) = MP P SB A D Tương tự ta có: (α ) ∩ ( SAD ) = Px P AD Gọi K = Px ∩ SD M (α ) ∩ ( SCD ) = KN B N Vậy thiết diện là hình thang MNKP. C Dạng 4:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước. Phương pháp: Bước 1: Tìm điểm chung M của hai mặt phẳng (P) và một mặt phẳng nào đó của hình chóp. Bước 2: Chỉ ra ( P ) P ( Q ) . Tìm a = ( P ) ∩ ( R ) (b = ( Q ) ∩ ( R ) ) . Khi đó giao tuyến là đường thẳng qua M song song với a ( hoặc b ). Bước 3: Dựng thiết diện và kết luận. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang, cạnh đáy AB, CD < AB . ( α ) là mặt phẳng qua M trên cạnh AB và song song với mặt phẳng (SAD). Tìm thiết diện của hình chóp với ( α ) . S Giải: Ta có: M ∈ ( α ) ∩ ( ABCD ) , K P M ∈ ( α ) ∩ ( SAB ) Do ( α ) song song với (SAD) nên: ( α ) ∩ ( ABCD ) = MN P AD ( α ) ∩ ( SAB ) = MK P SA A D ( α ) ∩ ( SCD ) = NP P SD M N ( α ) ∩ ( SBC ) = KP Vậy thiết diện là hình thang KMNP. B C 3
  4. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Dạng 5:Thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước Giả sử cần xác định thiết diện của một hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua một điểm M và vuông góc với d cho trước. Phương pháp chung: Bước 1: Tìm hai đường thẳng a và b cắt nhau cùng vuông góc với d ( trong đó ít nhất một đường thẳng đi qua điểm M). Bước 2: Khi đó (P) P ( a ,b). Bước 3: Tìm giao tuyến của (P) với hình chóp bằng các cách đã biết. Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận. Chú ý: Nếu đã có sẵn 2 đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau mà cùng vuông góc với d thì ta chọn (P) song song với a (hay chứa a ) và b song song với (P) (hay chứa b). Rồi thực hiện các bước còn lại. Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi ( α ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. Xác định thiết diện khi ( α ) cắt hình chóp (S.ABCD). Giải: Ta có: S AD ⊥ AB   ⇒ AD ⊥ ( SAB ) AD ⊥ SA  ⇒ AD ⊥ SB Từ A kẽ đường thẳng vuông góc với SB tại H. Do đó ( α ) ≡ ( HAD ) Khi đó: I ( α ) ∩ ( SAB ) = AH H ( α ) ∩ ( SAD ) = AD D ( α ) ∩ ( ABCD ) = AD A Do ( α ) ⊃ AD P BC Nên ( α ) ∩ ( SBC ) = Hx P BC B C Gọi I = Hx ∩ SC Khi đó ( α ) ∩ ( SBC ) = HI Vậy thiết diện cần tìm là hình thang AHID. Dạng 6: Thết diện chứa một đường thẳng a và vuông góc với một mặt phẳng . Bước 1: Chọn 1 điểm A nằm trên đường thẳng a sao cho qua A có thể dựng được đường thẳng b vuông góc với mp ( α ) một cách dễ nhất. Bước 2: Khi đó, mp ( a ,b) chính là mp ( α ) cần dựng Bước 3: Tìm giao tuyến của ( α ) với hình chóp bằng các cách đã biết. Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận. 4
  5. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi (P) là mặt phẳng qua Ị và vuông góc với mặt (SBC). Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). Giải: IJ ⊥ AB   ⇒ IJ ⊥ ( SAB ) ⇒ IJ ⊥ SB S Ta có IJ ⊥ SA  Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với SB tại K. Do đó ( P ) ≡ ( KIJ ) Ta có ( P ) ∩ ( SAB ) = KI ( P ) ∩ ( ABCD ) = IJ K A N D ( P ) ⊃ IJ P BC ⇒ ( P ) ∩ ( SBC ) = KN P BC I ( P ) ∩ ( SCD ) = NI J Vậy giao tuyến là hình thang KNIJ. B C Chú ý: Việc tìm thiết diên của mặt phẳng ( α ) với hình lăng trụ được tiến hành tương tự như đối với hình chóp. Nhưng chú ý rằng hình lăng trụ có 2 mặt đáy song song nhau, nếu ( α ) cắt 1 mặt đáy nào thì cuãng cắt mặt đáy còn lại theo giao tuyến song song vơi giao tuyến vừa tìm được. Việc tìm thiết diện của hình lập phương được tiến hành giống như đói với hình lăng trụ. Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, các điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và CC1. Xác định thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng (A1MN). Giải: ( A1MN ) ∩ ( BCB1C1 ) = MN A Kéo dài AC và A1N cắt nhau tại I. C I Khi đó: M ( A1MN ) ∩ ( ABC ) = MP P ( A1MN ) ∩ ( ABB1 A1 ) = PA1 B N Vậy thiết diện là tứ giác PMNA1. A1 C1 B1 5
  6. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Những khó khăn cơ bản khi giải toán thiết diện và biện pháp khắc phục.  Tìm thiết diện của một hình nào đó cắt bởi mặt phẳng nào đó chẳng hạn tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P: là ta tìm các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp. Các “đoạn giao tuyến” liên tiếp tạo ra khi cắt các mặt của hình chóp bởi mặt phẳng (P) hình thành một đa giác phẳng, ta gọi hình đa giác đó là thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) với hình chóp. Như vậy, thực chất bài toán tìm thiết diện chính là bài toán tìm các giao điểm của mặt phẳng (P) với các cạnh của hình chóp và tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp. Từ đó ta có thể thấy những khó khăn trong khi giải bài toán về thiết diện phần lớn bắt nguồn từ những khó trong việc tìm “giao điểm”(của mặt phẳng và các cạnh của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng) cũng như xác định các “đoạn giao tuyến”(của mặt phẳng và các mặt của hình được cắt bởi mặt phẳng)  Ta sẽ lần lượt chỉ ra những khó khăn đó, nhưng một khó khăn đầu tiên mà ta có thể bắt gặp trong giải toán thiết diện là làm sao có một hình vẽ thuận lợi cho việc giải toán, vì hình học không gian (HHKG) đòi hỏi sự tư duy trừu tượng cao mà thiết diện là một vấn đề tương đối phức tạp của HHKG, do vậy một hình vẽ thích hợp sẽ tăng khả năng tư duy của chúng ta. 1. Những khó khăn trong việc vẽ hình không gian và việc tìm lời giải dựa nhiều vào trực giác, thiếu cơ sở từ các định lý hay hệ quả dẫn lời giải sai: Hình vẽ chưa thể hiện hết giả thiết bài toán, hình vẽ sai gây nên sự bế tắc trong việc tìm lời giải, hay trực giác không chính xác dẫn tới bài giải sai. Một số học sinh chịu ảnh hưởng quá nặng của hình học phẳng do vậy khi vẽ hình trong HHKG lại tuân thủ một cách máy móc về độ dài, diện tích, góc…điều này sẽ làm cho các em bị bế tắt khi giải toán HHKG. Ví dụ 0: khi vẽ một hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông thì các em mặc nhiên vẽ hình chóp có đáy ABCD S là hình vuông và có đỉnh là S. Rõ ràng hình vẽ thỏa yêu cầu bài toán nhưng việc vẽ hình như vậy sẽ gặp nhiều khó khăn trong khi giải bài toán. - Thứ nhất: hình vẽ có nhiều đường khuất mà ta có thể hạn chế được. Điều này gây nhiều khó khăn khi giải những bài toán phức tạp. - Thứ hai: cạnh AD là nét khuất nhưng chưa được thể hiện trên hình vẽ. - Thứ ba: giao diện mặt bên ( SAD ) quá nhỏ, điều này gây nhiều khó khăn trong việc giải những bài toán mà A B ta cần kẻ thêm những đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. - Thứ tư: đa giác đáy là hình vuông thì được học sinh thể hiện hoàn là một hình vuông như bên hình học 6 D C
  7. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm phẳng. Nếu đề bài yêu cầu thêm là mặt phẳng ( SAD ) vuông góc với mặt phẳng đáy thì học sinh khó mà vẽ được hình đúng như ý mình. Ngoài ra, việc thể hiện những hình vẽ như vậy còn làm cho học sinh mất nhiều thời gian cho việc vẽ hình. Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Dựng thiết diện của hình lập phương với một mặt phẳng di qua trung điểm M của cạnh DD ' , trung điểm N của cạnh D ' C ' và đỉnh A . Học sinh giải bài toán như sau: C' Do hai mặt bên ( BB′A′A ) và ( CC ′D′D ) song song với B' nhau nên giao tuyến của hai mặt này với mặt phẳng N ( AMN ) cũng phải song song với nhau. Do đó A' ( AMN ) ∩ ( AA ' B ' B ) = AB ', AB′ P MN D' ( AMN ) ∩ ( AA ' D ' D ) = AM ( AMN ) ∩ ( A ' B ' C ' D ') = B ' N M C Vậy thiết diện cần tìm chính là hình AMNB′ B Phân tích sai lầm: Học sinh đã biết được giao tuyến của mặt phẳng ( AMN ) và mặt phẳng ( BB′A′A) là đường thẳng đi D A qua A và song song với MN. Trực giác cho thấy giao tuyến đó là đường thẳng AB′ . Điều này chưa đúng vì chưa có cơ sở chứng minh AB′ P MN . Giải Ta có: ( AMN ) ∩ ( AA ' D ' D ) = AM Trong mặt phẳng ( AA ' D ' D ) dựng AM cắt A ' D ' tại P. C' ( AMN ) ∩ ( A ' B ' C ' D ') = PN B' Trong mặt phẳng ( A ' B ' C ' D ') ta nhận thấy N P, M , B ' thẳng hàng. thật vậy, P Ta có: D' A' MD′ 1 PD′ 1 = ⇒ = AA 2 PA′ 2 D′N 1 C Ta lại có = A′B′ 2 M NB′ 1 B từ đó suy ra PN đi qua B′ và = . PB′ 2 ( AMN ) ∩ ( CC ′D′D ) = MN ( AMN ) ∩ ( AA′B′B ) = AB′ D A Vậy thiết diện cần tìm chính là hình AMNB′ . 7
  8. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Đối với bài toán tìm thiết diện thì hình vẽ là rất quan trọng. @ Nguyên nhân: Vẽ hình không thể hiện hết giả thiết hoặc vẽ hình sai. Do bước đầu tiếp xúc với hình học không gian đòi hỏi trừu tượng và tư duy cao, không thường xuyên luyện tập vẽ hình. Không nắm vững được những khái niêm do dó không thể hiện hết giả thiết dẫn đến không đủ dữ kiện để giải quyết bài toán. Các khái niệm HS không nắm vững hoặc hiểu nhầm, ví dụ: “ tứ diện đều”, “ hình chóp có đáy là tam giác đều”, “ hình chóp đều”, “hình lăng trụ đều”(hình lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều, các mặt bên là hình chữ nhật…) @ Biện pháp khắc phục: giúp học sinh nắm vững những quy tắc vẽ hình trong không gian, rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình trong không gian như: hình chóp( hinh chóp tứ giác đều, hình chóp có đáy là hình vuông,…), hình lăng trụ, hình hộp. Giúp học sinh nắm vững khái niệm về các hình trong không gian để có cách vẽ hình chính xác…. Các quy tắc cơ bản khi vẽ hình trong không gian: - Dùng nét ( ___ ) để biểu diễn cho những đường nhìn thấy. - Dùng nét (---) để biểu diễn những đường khuất. - Hai đường thẳng song song ( cắt nhau ) được biểu diễn thành hai đường thẳng song song ( cắt nhau ). - Hình biểu diễn của hình thang là hình thang. - Hình biểu diễn của hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành, hình vuông là hình bình hành. - Một tam giác ABC có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác bất kì…. Chú ý: vẽ hình không gian đúng quy tắc là chưa đủ mà còn phải đảm bảo thật có lợi cho việc quan sát trực giác, điều này giúp ta dễ tìm ra lời giải cho bài toán. Khả năng tư duy trừu tượng kém tạo ra những khó khăn về trực giác. Khi giải một số bài tập HS thường mắc phải các sai lầm do quan sát trực quan tạo ra. 2. Khó khăn trong việc tìm ra một lời giải từ giả thiết. Học sinh thường rơi vào bế tắc không biết bắt đầu từ đâu cho một bài toán tìm thiết diện. Ví dụ 2: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, S SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi ( α ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( α ) . Trong bài toán này học sinh thường rơi vào bế tắc, không biết bắt đầu lời giải từ đâu, do không thấy được hình biểu diễn của mặt phẳng ( α ) A B Nguyên nhân: Do học sinh chưa nắm được phương pháp chung để giải các dạng bài tập tìm thiết diện. giải D 8 C
  9. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Trong mặt phẳng ( SAB ) dựng AM ⊥ SB S AD ⊥ SA Ta có: AD ⊥ AB do đó AD ⊥ ( SAB ) suy ra AD ⊥ SB (1) mặt khác AM ⊥ SB (2) từ (1) và (2) suy ra ( ADM ) ⊥ SB M vậy ( ADM ) ≡ ( α )  AD ⊂ ( α )   BC ⊂ ( SBC ) A ta có:  ⇒ Mt = ( α ) ∩ ( SBC ) B  AD P BC  M ∈ ( α ) ∩ ( SBC ) N  Mt P BC , Mt P AD Mt cắt SC tại N. ( α ) ∩ ( SAB ) = AM ( α ) ∩ ( SDC ) = DN Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác DAMN. D @ Biện pháp khắc phục: C - Hình thành cho học sinh phương pháp chung nhất để giải bài toán tìm thiết diện: Tìm giao tuyến giữa mặt phẳng với các mặt của hình chóp hay hình lăng trụ…Từ đó suy ra các đoạn giao tuyến. Nối các đoạn giao tuyến ta được đa giác phẳng, đó chính là thiết diện cần tìm. Phân loại các dạng bài tập tìm thiết diện, giúp học sinh biết được cách giải với từng dạng bài toán đề cho (phần này được trình bài ở mục 1). - Như đã nói ở trên nguồn gốc của những khó khăn trong giải toán thiết diện được xuất phát phần lớn ở những khó khăn về tìm “giao điểm” cũng như xác định “đoạn giao tuyến”. Mà việc xác định “đoạn giao tuyến” hoặc là ta đã có hoặc nếu không có sẳn thì xác định đoạn giao tuyến bằng cách tìm các giao điểm là phổ biến (tuy nhiên còn có phương pháp khác sẽ nêu ra sau) - Như vậy quy cho cùng vấn đề tìm “giao điểm” là cốt lõi trong bài toán thiết diện. Vậy làm sao để tìm được “giao điểm” chẳng hạn là giao điểm của hình chóp cắt bởi mặt phẳng nào đó. Khó khăn bắt đầu từ đây mà nguyên nhân chủ yếu là các em học sinh không nắm vững phương pháp dẫn đến sai lầm. Có thể nêu ra hai phương pháp tìm giao điểm của một đường thẳng và một đường thẳng: Cách 1: Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta đi tìm giao điểm của đường thẳng a và một đường thẳng b nằm trong mặt phăng (P). 9
  10. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm b ⊂ ( P )   ⇒ a ∩ ( P) = I a ∩ b = I  Cách 2: Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta chọn mặt phẳng phụ (Q) chứa a, sau đó xác định giao tuyến b của hai mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó giao điểm cần tìm là giao điềm của hai đường thẳng a và b. a ⊂ ( Q )  ( P ) ∩ ( Q ) = b ⇒ a ∩ ( P ) = I a ∩ b = I  Chú ý: ở cách 2 khi tìm giao điểm I ta cần xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng thường là ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó. Nhưng đôi khi việc xác định như vậy lại gặp những khó khăn và từ đó dẫn đến những khó khăn cho bài toán tìm thiết diện. Ta có một cách khác tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Ta tìm một điểm chung của hai mặt phẳng. Nếu hai mặt phẳng đó lần lượt chứa hai đường thẳng song song nhau. Giao tuyến là đường thẳng qua điểm chung và song song với hai đường thẳng đó. Một ví dụ minh họa: Ví dụ 2.1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là điểm nằm trong tam giác SCD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(ABM). S K M B C J I P O A D : Giải: 10
  11. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Đầu tiên ta tìm giao điểm I của AM và (SBD) Gọi P = SM ∩ DC Khi đó trên mp(ABCD), gọi O = AP ∩ BD Ta có SO = ( SAP ) ∩ ( SBD ) Gọi I = AM ∩ SO Mà AM ⊂ ( SAP) Vậy ta suy ra I = AM ∩ ( SBD ) . Trên mp(SBD), gọi J = BI ∩ SD Khi đó trên mp(SCD), gọi K = JM ∩ SC Vậy tứ giác ABKJ là thiết diện cần tìm. Ví dụ 2.2 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC và CD sao cho BM = 2MC và CN = 2ND. Gọi P là trung điểm AD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNP). Giải: A Q P B D E N M C Vì BM = 2MC và CN = 2ND nên MN không song song với BD, do đó BD và MN cắt nhau tại E. Trên mp(ABD), PE cắt AB tại Q, khi đó: MN,NP,PQ,QM lần lượt là các đoạn giao tuyến khi cắt các mặt của tứ diện bằng mp(MNP). Vậy tứ giác MNPQ là thiết diện cần tìm. 3. Những khó khăn do không hiểu kỹ các định lý, hệ quả dẫn đến những kết luận sai. - Sử dụng các định lý, hệ quả một cách chủ quan dựa trên trực giác và những ý nghĩ ở hình học phẳng, chẳng hạn HS thường cho rằng trong không gian có định lý sau: “hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau”, “ hai 11
  12. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau”,… hoặc các định lý, hệ quả mà HS thường hiểu nhầm: + Một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. + Hai mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng nào nằm trong một mặt phẳng mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia. + Luôn có thể dựng được một mặt phẳng đi qua 4 điểm phân biệt. Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC đ ều, SA ⊥ ( ABC ) . Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh SC .G ọi ( α ) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB . học sinh giải như sau: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AB ( α ) ⊥ AB Suy ra ( α ) P SA Trong mặt phẳng (SAC) kẽ đường thẳng qua M và song song với SA cắt AC tại Q S Gọi I là trung điểm AB, khi đó: AB ⊥ CI Mặt khác MQ P SA , nên MQ ⊥ ( ABC ) ⇒ MQ ⊥ AB M Do đó MQ P CI Suy ra ( α ) P CI N Mà CI ⊂ ( ABC ) ⇒ ( ABC ) P ( α ) Suy ra ( α ) P BC A Q C Do đó: ( α ) ∩ ( SBC ) = MN P BC ( α ) ∩ ( ABC ) = QP P BC P I ( α ) ∩ ( SAB ) = NP P SA Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNPQ . B Giải S Ta c ó SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AB ( α ) ⊥ AB Suy ra SA Pα ) ( N M Ta có SA ⊂ ( SAC ) M ∈ ( α ) ∩ ( SAC ) Do đ ó ( α ) ∩ ( SAC ) = MQ , MQ P cắt AC SA A Q t ại Q. C gọi I là trung điểm của AB ta có CI ⊥ AB . P I 12 B
  13. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Suy ra CI P ( α ) CI ⊂ ( ABC ) . Do đ ó ( α ) ∩ ( ABC ) = QP , QP P và cắt AB tại P. CI Ta có SA P ( α ) , SA ⊂ ( SAB ) P ∈ ( α ) ∩ ( SAB ) suy ra PN = ( α ) ∩ ( SAB ) với PN P , PN cắt SB tại N. SA MN = ( α ) ∩ ( SBC ) Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNPQ . @ Nguyên nhân: - Hình học không gian khá trừu tượng nên việc nắm kỹ các định lý rất khó khăn, và trực giác không mang lại kết quả như hình học phẳng mà đôi khi còn đánh lừa người giải toán khi họ thể hiện sai trên hình vẽ. - HS còn dựa nhiều vào những kiến thưc ở hình học phẳng, thản nhiên áp dụng một cách tùy ý bằng cách suy diễn từ hình học phẳng sang hình học không gian. @ Khắc phục: - Giúp HS nắm vững các định lý trong SGK bằng cách vận dụng vào giải các bài tập. Việc vận dụng các định lý, hệ quả vào các bài giải phải hiểu đó là định lý, hệ quả nào thuộc quan hệ song song hay quan hệ vuông góc, phát biểu chính xác hệ quả định lý đó. - Vẽ hình rõ ràng nhằm tận dụng hết giả thiết, điều này rất có lợi để áp dụng các định lý. - Phân dạng các bài tập về thiết diện. Mỗi dạng thường vận dụng những định lý, hệ quả nào,… 4. Khó khăn do hiểu nhầm các khái niệm, dẫn tới bế tắc hoặc có một lời giải sai. Các khái niệm mà học sinh không nắm vững có thể dẫn tới việc thể hiện thiếu dữ kiện của bài toán, hoặc đưa ra những khái niệm sai. Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD và các mặt bên hợp với đáy 1 góc α . Hãy xác định thiết diện tạo nên bởi mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh BC với các mặt bên của hình chóp. S Phân tích: trực giác cho HS thấy rằng mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh BC ¼ ¼ phải chứa hai đường phân giác của góc SBA và SCD N HS tiến hành giải như sau: Trong mp (SAB) ta dựng đường phân giác BM ¼ của góc SBA cắt SA tại M C D Ta có: ( α ) ∩ ( SAB ) = BM M Trong mặt phẳng (SAD) dựng đường ¼ phân giác góc SCD cắt SD tại N. 13 B A
  14. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm ( α ) ∩ ( SCD ) = CN ( α ) ∩ ( SAD ) = MN ( α ) ∩ ( ABCD ) = BC Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác BCNM . Nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó: do học sinh không hiểu mặt phẳng phân giác của góc nhị diện là gì, định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng. Giải: Gọi ( P ) là mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh BC , ( P ) đi qua BC. ( α ) ∩ ( ABCD ) = BC . Dựng trung điểm I, J của cạnh BC và BD. S Ta có: SI ⊥ BC ( do tam giác SBC cân tại S ). IJ ⊥ BC » Do đó SIJ chính là góc phẳng nhị diện cạnh BC. N » Dựng phân giác IK của góc SIJ cắt SJ tại K. Vậy ( P ) ≡ ( BC , IK ) K C Ta có: BC P AD, BC ⊂ ( P ) , AD ⊂ ( SAD ) D M K ∈ ( P ) ∩ ( SAD ) Do đó MN = ( P ) ∩ ( SAD ) I MN P AD, MN P BC với MN đi qua K và cắt J SA, SD lần lượt tại M và N. MB = ( P ) ∩ ( SAB ) NC = ( P ) ∩ ( SCD ) B A Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác BCNM . @ Nguyên nhân: không nắm các khái niệm,các định nghĩa, dựa vào quan sát trực giác để hình thành khái niệm trên cơ sở của hình học phẳng… @ Khắc phục: - Giúp học sinh nắm vững các khái niệm, các định nghĩa chẳng hạn: góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, đường thẳng S song song với mặt phẳng…. - Hình thành cho học sinh phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cách chứng minh hai mặt phẳng song song,… 4. CÁC KỸ NĂNG CẦN RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN THIẾT DIỆN. a) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình đúng và chính xác, giúp cho các em năng cao khả năng tư duy tưởng tượng trong hình học không gian chẳng hạn như các ví dụ B sau: A 14 D C
  15. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm - Nếu đáy là tứ giác lồi tùy ý, ta vẽ hình thường dùng là: S D A - Nếu đáy là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông: S C B A D B S C - Nếu đáy là hình thang: A D B C Hay cho các em biết là thiết diện của một tứ diện không thể là ngũ giác, vì tứ diện chỉ có bốn mặt, thiết diện của tứ diện cũng không nhất thiết là tứ giác … 15
  16. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Ví dụ 1: Chẳng hạn ở ví dụ 2, 4 mà ta xét sau đây. b) Nâng cao kỹ năng giải bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thực chất của bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng là tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng, khi đó giao tuyến chính là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó. Chú ý giúp học sinh hiểu được định lý : “Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó”. + Trường hợp: đề đã cho sẵn hai điểm chung của hai mặt phẳng khi đó ta chỉ cần dựng giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm đó. + Trường hợp đề chỉ cho một điểm chung của hai mặt phẳng ta có hai cách tìm giao tuyến như sau: cách 1: dựng thêm một điểm chung khác nữa bằng cách kéo dài các đường thẳng cắt nhau thuộc hai mặt phẳng đó. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, K lần lượt là 3 điểm bất kì trên AB, AD và BC sao cho MN không song song với BD. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNK). Giải: Ta có: A ( MNK ) ∩ ( ABC ) = MK M ( MNK ) ∩ ( ABD ) = MN Trong mặt phẳng ( ABD ) dựng MN cắt BD tại I N ta được ( MNK ) ∩ ( ABC ) = IK , IK cắt DC tại P ( MNK ) ∩ ( ADC ) = NP D I B Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNPK . P K C Cách 2: từ một điểm chung đã có ta sử dụng các định lý về quan hệ song song để tìm quan hệ giữa giao tuyến với đường thẳng đã có mà ta có thể dựng được đường giao tuyến đó. Chẳng hạn sử dụng hệ quả: “nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng 16
  17. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm song song cắt nhau theo một giao tuyến thì giao tuyến đó song song với hai đường thẳng đó”. Ví dụ 3: Cho hình chóp S . ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I , J lầm lượt là trọng tâm của tam giác ∆SAB và tam giác ∆SAD . M là trung điểm CD . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( IJM ) . SJ SI 2 Trong mặt phẳng ( SLN ) ta có = = do đó IJ P LN . JL IN 3 IJ ⊂ ( JIM ) , NL ⊂ ( ABCD ) S M ∈ ( JIM ) ∩ ( ABCD ) Suy ra Mt ∈ ( JIM ) ∩ ( ABCD ) Mt cắt AD, BC lần lượt J U tại T và W ta được: V MW ∈ ( JIM ) ∩ ( ABCD ) T D I TJ = ( JIM ) ∩ ( SAD ) L A Trong mặt phẳng ( SAD ) dựng JT cắt SA, SD lần lượt tại U và V . M X N UI = ( JIM ) ∩ ( SAB ) , Trong mặt phẳng ( SAB ) dựng UI cắt SB tại X . C W B Ta có XW = ( JIM ) ∩ ( SBC ) MV = ( JIM ) ∩ ( SCD ) , vậy thiết diện cần tìm là ngũA UVMWX . giác c) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng có phương pháp giải từng dạng toán trong bài toán thiết diện (trình bày ở mục 1) d) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích và dự đoán được các trường hợp có thể xảy ra của yêu cầu bài toán trong giải bài toán thiết diện. H B Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC. Trong D tam giác BCD lấy điểm M sao cho hai đường thẳng KM và CD cắt nhau. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (HKM). P M K 17 C
  18. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Giải Gọi P = KM ∩ CD .Ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: Điểm P thuộc đoạn CD Khi đó ta được: ( HKM ) ∩ ( BCD ) = KP . ( HKM ) ∩ ( ACD ) = HP ( HKM ) ∩ ( ABC ) = KH Do đó, thiết diện cần tìm là ∆HKP . Trường hợp 2: điểm P ở ngoài đoạn CD. Khi đó: A Gọi I = KM ∩ BD . N ( HKM ) ∩ ( ABC ) = KH ( HKM ) ∩ ( BCD ) = KI B H Trong mặt phẳng (ACD) dựng HP cắt AD tại N. I M D Khi đó : K ( HKM ) ∩ ( ACD ) = HN C ( HKM ) ∩ ( ABD ) = NI P Vậy thiết diện là tứ giác KHNI. Ví dụ 5: Cho tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a. SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là một điểm tùy ý trên cạnh AC, ( α ) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AC. Tùy theo vị trí điểm M trên cạnh AC, có nhận xét gì về thiết diện tạo bởi ( α ) với tứ diện S.ABC. Giải Gọi E là trung điểm của AC, ta có BE ⊥ AC 18
  19. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Do đó, ta cần xét hai trường hợp khác nhau về vị rí của M trên cạnh AC và trong đó ta giả sử dựng SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AC . Trường hợp 1: M thuộc CE Ta có: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AC ( α ) ⊥ AC Do đó: SA P ( α ) , SA ⊂ ( SAC ) M ∈ ( α ) ∩ ( SAC ) S Vậy ( α ) ∩ ( SAC ) = Mt P SA , Mt cắt SC tại N. Do đó ( α ) ∩ ( SAC ) = MN Ta có BE ⊥ AC nên tương tự ta cũng có: N ( α ) ∩ ( ABC ) = Mx P BE Mx cắt BC tại P. Do đó ( α ) ∩ ( ABC ) = MP E A M ( α ) ∩ ( SBC ) = NP C Vậy thiết diện cần tìm là tam giác vuông MNP vuông tại M. Trường hợp 2: M thuộc đoạn AE ( trừ điểm E). P Gọi E là trung điểm của AC, ta có BE ⊥ AC B Ta có: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AC ( α ) ⊥ AC S Do đó: SA P ( α ) , SA ⊂ ( SAC ) M ∈ ( α ) ∩ ( SAC ) P Vậy ( α ) ∩ ( SAC ) = Mt P SA , Mt cắt SC tại P. Do đó ( α ) ∩ ( SAC ) = MP Ta có BE ⊥ AC nên tương tự ta cũng có: Q E ( α ) ∩ ( ABC ) = Mx P BE A M C Mx cắt AB tại N. Do đó ( α ) ∩ ( ABC ) = MN N 19 B
  20. Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Do đó: SA P ( α ) , SA ⊂ ( SAB ) N ∈ ( α ) ∩ ( SAB ) Vậy ( α ) ∩ ( SAB ) = Ny P SA , My cắt SB tại Q. Do đó ( α ) ∩ ( SAB ) = NQ ( α ) ∩ ( SBC ) = QP Như vậy, trong trường hợp này ta được thiết diện là hình thang vuông MNQP ( vuông tại M và N). d) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm các đoạn giao tuyến thông qua việc dựng thêm các chi tiết ( điểm, đoạn thẳng, mặt phẳng ) trong hình vẽ. Ví dụ 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SD và OC. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) Giải Ta lần lượt tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng ( MNP ) Với các mặt của hình chóp. S Ta có MN P BD mà MN ⊂ ( MNP ) , BD ⊂ ( ABCD ) P ∈ ( MNP ) ∩ ( ABCD ) K Nên ( MNP ) ∩ ( ABCD ) = Pt với Pt P MN , Pt P BD . N Trong mặt phẳng ( ABCD ) dựng M Pt P BD cắt AB, BC , CD lần lượt tại T , L, Q Vậy ( MNP ) ∩ ( ABCD ) = LQ A D Trong mặt phẳng ( SAB ) nối KM cắt O SA tại M ta được: Q B P ( MNP ) ∩ ( SAB ) = MK T L C ( MNP ) ∩ ( SAD ) = KN ( MNP ) ∩ ( SCD ) = NQ 20
Đồng bộ tài khoản