Phương pháp thay đổi biến số

Chia sẻ: Mai Văn Châu Thịnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

0
74
lượt xem
6
download

Phương pháp thay đổi biến số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Phương pháp thay đổi biến số

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương pháp thay đổi biến số

  1. Nguyễn Mạnh Dũng, 11A2 Toán, ĐHKHTN-ĐHQGHN. Email: nguyendunghus@gmail.com Một phương pháp thay đổi biến số Trong bài viết này tôi sẽ giới thiệu với các bạn một phép thế khác trong trường hợp 3 số yz zx xy a,b,c có tích bằng 1, đó là đặt a = 2 , b = 2 , c = 2 , với a,b,c dương thì x,y,z cũng x y z dương. Tư tưởng chủ đạo của phép thế này là xuất hiện đại lượng bình phương ở tử phân thức, sau đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ở dạng Svác: A2 B 2 C 2 ( A + B + C ) 2 + + ³ ; A, B, C , X , Y , Z > 0 X Y Z X +Y + Z Một số kí hiệu dùng trong bài viết: å : tổng đối xứng. Ví dụ: å a 2b = a 2b + b 2c + c 2 a + ab2 + bc 2 + ca 2 sym sym a ,b , c , d å cyc : tổng hoán vị. Ví dụ: å a 2b = a2b + b2c + c 2 a; cyc åcyc a 2 c = a 2 c + ac 2 + b 2 d + bd 2 Các bạn hãy theo dõi một số ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + ³ ( a + 1)( a + 2 ) ( b + 1)( b + 2 ) ( c + 1)( c + 2 ) 2 x y z Giải. Các bạn có thể đặt a = , b = , c = nhưng bất đẳng thức mới không dễ dàng y z x yz zx xy chứng minh được! Xét phép đổi biến a = 2 , b = 2 , c = 2 với x,y,z là các số thực x y z dương. Khi đó bất đẳng thức trên trở thành: x4 y4 z4 1 + 2 + 2 ³ ( x + yz )( 2 x + yz ) ( y + zx )( 2 y + zx ) ( z + xy )( 2 z + xy ) 2 2 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Svác ta có: (x + y2 + z2 ) 2 2 x4 å ( x 2 + yz )( 2 x 2 + yz ) ³ cyc å(x cyc 2 + yz )( 2 x 2 + yz ) Ta có 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) - å ( x 2 + yz )( 2 x 2 + yz ) = x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 - xyz ( x + y + z ) 2 cyc = 1 2 2 ( x ( y - z ) + y2 ( z - x ) + z2 ( x - y ) ³ 0 2 2 2 ) Bất đẳng thức trên luôn đúng, suy ra đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 Û a = b = c = 1 Ví dụ 2: Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 + 2 + 2 ³1 a + a +1 b + b +1 b + b +1 2
  2. Giải. yz zx xy Đặt a = 2 , b = 2 , c = 2 với x,y,z là các số thực dương, bất đẳng thức trên trở thành: x y z x4 y4 z4 + 4 + 4 ³1 x 4 + x 2 yz + y 2 z 2 y + y 2 zx + z 2 x 2 z + z 2 xy + x 2 y 2 Sử dụng bất đẳng thức Svác: ( x2 + y2 + z 2 ) 2 x4 å x 4 + x 2 yz + y 2 z 2 ³ x 4 + y 4 + z 4 + x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 + xyz ( x + y + z ) cyc Vậy ta chỉ cần chứng minh: (x + y 2 + z 2 ) ³ x 4 + y 4 + z 4 + x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 + xyz ( x + y + z ) 2 2 Û x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ³ xyz ( x + y + z ) Û x2 ( y - z ) + y2 ( z - x ) + z 2 ( x - y ) ³ 0 2 2 2 Suy ra đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 Û a = b = c = 1 . Qua hai ví dụ trên các bạn có thể thấy đây là một phương pháp hoàn toàn tự nhiên và dễ sử dụng. Tuy nhiên đối với một số bài toán cần sử dụng cả hai cách thay đổi biến số. Ví dụ 3. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 1 + 2 + 2 ³ a2 + 2 ( a + b ) b + 2 (b + c ) c + 2 ( c + a ) 2 2 2 3 b c a Giải: Đặt x = , y = , z = thì bất đẳng thức trở thành a b c 1 1 1 + + ³0 1 + 2 ( x + 1) 1 + 2 ( y + 1) 1 + 2 ( z + 1) 2 2 2 np mp mn Do xyz = 1 nên ta tồn tại các số thực dương m,n,p sao cho x = 2 ,y = 2 ,z = 2 m n p Bất đẳng thức trên trở thành: m4 1 å ³ m + 2 ( m + np ) 2 cyc 4 2 3 Áp dụng bất đẳng thức Svác ta có (m + n2 + p2 ) 2 2 m4 å ³ m 4 + 2 ( m 2 + np ) m 4 + n 4 + p 4 + 2å ( m 2 + np ) 2 2 cyc cyc 2 æ ö 3 ç å m 2 ÷ - å m 4 - 2å ( m 2 + np ) = å m 2 ( n - p ) ³ 0 2 2 Mà è cyc ø cyc cyc cyc Ta có đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m = n = p Û x = y = z = 1 Û a = b = c Cách thế trên không những phát huy tác dụng với bài toán 3 biến mà còn có thể sử dụng cho những bài toán nhiều biến hơn nhưng khối lượng tính toán hơi phức tạp. Ví dụ 4. (Thi chọn đội tuyển Trung Quốc 2004) Cho a,b,c,d là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
  3. 1 1 1 1 + + + ³1 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) 2 2 2 2 Giải: yzt ztx txy xyz Vì ở đây có 4 biến nên ta đặt a = 3 , b = 3 , c = 3 , d = 3 với x,y,z,t là các số thực x y z t x6 dương. Bất đẳng thức trên trở thành: å ³1 ( x3 + yzt ) 2 cyc (x + y3 + z3 + t 3 ) 3 2 x6 Áp dụng bất đẳng thức Svác: å ³ (x + yzt ) å(x + yzt ) 3 2 3 2 cyc cyc Vì vậy ta chỉ cần chứng minh: (x + y 3 + z 3 + t 3 ) ³ å ( x 3 + yzt ) Û å x 3 ( y 3 + z 3 + x 3 ) ³ å x 2 y 2 z 2 + 2å x 3 yzt 3 2 2 cyc cyc cyc cyc Đến đây các bạn có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si: å x3 ( y 3 + z 3 + t 3 ) ³ 3å x3 yzt cyc cyc åx (y cyc 3 3 + z 3 + t 3 ) = å ( x 3 y 3 + y 3 z 3 + z 3 x 3 ) ³ 3å x 2 y 2 z 2 cyc cyc Suy ra đpcm. Nhận xét: Tương tự như trên ta có thể chứng minh được bài toán tổng quát sau Cho a1 , a2 ,...., an là các số thực dương có tích bằng 1. Với k = n - 1 chứng minh rằng: n 1 å ³1 ( kai + 1) 2 i =1 Kết thúc bài viết, mời các bạn làm một số bài tập vận dụng sau: Bài tập 1. Cho a,b,c,d là các số thực dương có tích là 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + + ³1 1 + a + 2a 1 + b + 2c 1 + c + 2c 1 + d + 2d 2 2 2 2 Bài tập 2. Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 + + £3 1 - a + a 1 - b + b 1 - c + c2 2 2 Lời giải cho bài tập vận dụng: yzt ztx txy xyz Bài tập 1: Đặt a = 3 , b = 3 , c = 3 , d = 3 với x,y,z,t là các số thực dương. x y z t
  4. x6 Bất đẳng thức trên trở thành:å x6 + x3 yzt + 2 y 2 z 2t 2 ³ 1 cyc Áp dụng bất đẳng thức Svác, ta được: 2 æ 3ö 6 çå x ÷ x å x6 + x3 yzt + y 2 z 2t 2 ³ x6 + èx3 yzt + 2 y 2 z 2t 2 ø cyc cyc å å cyc cyc å cyc Vì vậy ta chỉ cần chứng minh 2 æ 3ö ç å x ÷ ³ å x + xyzt å x + å x y z Û 2å x y ³ å x ( y + z + x ) ³ 2å x y z + å x yzt 6 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 è cyc ø cyc cyc cyc cyc cyc cyc cyc Chứng minh điều này tương tự chứng minh trong ví dụ 4. Bài tập 2. Áp dụng kết quả ví dụ 2 ta được: a4 1 a4 a2 + 1 å a4 + a2 +1 = å 1 2 1 cyc æ ³1Þ å 4 cyc a + a + 1 2 - 3 ³ -2 Þ å 4 cyc a + a + 1 2 £2 cyc ö æ ö ç 2 ÷ + ç 2 ÷ +1 èa ø èa ø 1 1 a2 + 1 Suy ra: å 2 +å 2 = 2å 4 £4 cyc a + a + 1 cyc a - a + 1 cyc a + a + 1 2 1 1 Mà å a2 + a + 1 ³ 1 Þ å a2 - a + 1 £ 3 cyc cyc
Đồng bộ tài khoản