PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Chia sẻ: Le Van Truyen | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:12

0
224
lượt xem
105
download

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

PHƯƠNG PHÁP TÍNH .Chương 1 I. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối. Các phép đo Giá trị gần đúng của đối tượng Các phương pháp tính gần đúng Cần xác định sai số. a. Sai số tuyệt đối. A -

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

  1. PHƯƠNG PHÁP TÍNH
  2. Chương 1 SAI SỐ I. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối. Các phép đo Giá trị gần đúng của đối tượng Các phương pháp tính gần đúng Cần xác định sai số. a. Sai số tuyệt đối. A - đại lượng đúng; a – giá trị gần đúng của A; (“a xấp xỉ A” hay “a ≈ A”) a – A - sai số tuyệt đối của A; được ước lượng bằng một số dương Δa nào đó. (1. 1) a – A ≤ Δa ; Δa - sai số tuyệt đối giới hạn; mọi Δ’a > Δa - đều là sai số tuyệt đối giới hạn của a. Chọn Δa là số dương nhỏ nhất thoả mãn điều kiện (1. 1)
  3. Quy ước viết: A = a ± Δa; (1. 2) (1. 3) nghĩa là a – Δa < A < a + Δa; Ví dụ: A = e = 2,718281. . . có th ể ch ọn Δa = 0,01; 2,71 < e < 2,72 = 2,71 + 0,01 có th ể ch ọn Δa = 0,0083; 2,71 < e < 2,7183 = 2,71 + 0,0083 b. Sai số tương đối. ∆a Sai số tương đối giới hạn của A: δ a = ; (1.4) a ∆ a = a .δ a ; (1. 5) (1. 2) A = a(1 ± δa); (1. 6) Thực tế : Δa và δa – sai số tuyệt đối và tương đối. Sai số tương đối chất lượng phép đo.
  4. II. Cách viết số xấp xỉ. 1. Chữ số có nghĩa. 2. Chữ số đáng tin. Mọi số thập phân có thể viết: a = ± ∑ α s .10 s ; (1. 7) αs - những số nguyên từ 0 đến 9; s = ±1; ±2; ±3; . . . */Ví dụ: 56, 708 = 5.101 + 6.100 +7.10-1 + 0.10-2 + 8.10-3. với α1 = 5; α0 = 6; α-1 =7; α-2 = 0; α-3 = 8. 125,018 = 1.102 + 2.101 + 5.100 + 0.10-1 + 1.10-2 + 8.10-3. α2 = 1;α1 = 2; α0 = 5; α-1 =0; α-2 = 1; α-3 = 8. */Nếu a - xấp xỉ của A; Δa – sai số tuyệt đối của a: αs - chữ số đáng tin; - Δa ≤ 0,5.10s αs - chữ số đáng nghi; - Δa > 0,5.10s Mọi chữ số có nghĩa bên trái αs – đáng tin; bên phải – đáng nghi */ Ví dụ: số 56,7082 Các số 5; 6; 7; 0: đáng tin; 8; 2 : đáng nghi; - Δa = 0,0043 - Δa = 0,0067 5; 6; 7 – đáng tin; 0; 8; 2 – đáng nghi.
  5. 3. Cách viết số xấp xỉ. - Viết kèm sai số : a ± Δa - Viết theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin số gần đúng có sai số tuyệt đối không lớn h ơn một n ửa đơn v ị ở hàng cuối cùng. III. Quy tròn số và sai số quy tròn. 1. Quy tròn số. Tính toán thường quy tròn s ố sai s ố quy tròn. Sai số quy tròn tuyệt đối = số đã quy tròn - số ch ưa quy tròn. Nguyên tắc : Sai số tuyệt đối quy tròn không lớn h ơn nửa đơn vị ở hàng giữ lại cuối cùng bên phải hay 5 đơn vị ở hàng bỏ đi đầu tiên bên trái. 2. Sai số của số đã quy tròn. A - số đúng; a - số xấp xỉ của A; Δa – sai số tuyệt đối của a. a’ ; sai số quy tròn tuyệt đối θa’ ; - Quy tròn a a '−a ≤ θ a ' ; (1. 8)
  6. Sai số tuyệt đối Δa’ của a’: a '− A ≤ a '−a + a − A ≤ θ a ' + ∆ a ; a '− A ≤ θ a ' + ∆ a = ∆ a ' ; quy tròn làm tăng sai số tuyệt đối Δa’ > Δa 3. Ảnh hưởng của sai số quy tròn. Ví dụ tính nhị thức Niutơn: ( 2 − 10)10 = 3363 − 2378 2 ; với 2 = 1,41421356; Nếu thay 2 bằng các số đã quy tròn: Vế trái Vế phải 2 33,8 1,4 0,0001048576 10,02 0,00013422659 1,41 0,00014791200 0,508 1,414 0,00014866399 0,00862 1,41421 1,414213563 0,00014867678 0,0001472 Cần quan tâm đến sai số quy tròn khi tính toán.
  7. IV. Các quy tắc tính sai số. 1. Sai số của tổng: u = x + y; Δu = Δx + Δy; Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng. - Trường hợp u = x – y; ( x, y cùng dấu) ∆u ∆ x + ∆ y δu = = ; x− y u Khi x – y rất bé thì δu rất lớn tránh trừ các số gần nhau. 2. Sai số của tích: u = xy; ∆u ∆ x ∆ y δu = = δx +δ y; = + ∆u = y ∆ x + x ∆ y ; u x y 3. Sai số tương đối của một thương: u = x/y; với y ≠ 0. δu = δx + δy Sai số tương đối của một tích hoặc thương bằng tổng sai số tương đối của các số hạng.
  8. V. Sai số tính toán . Các loại sai số thường gặp phải: - Sai số các số liệu ( do đo đạc hay tực nghiệm ); - Sai số của giả thiết (để lý tưởng hoá, mô hình hoá bài toán); -Sai số phương pháp (dùng các phương pháp gần đúng để giải các bài toán phức tạp; -Sai số của phép tính (do thực hiện các phép tính đối với số gần đúng, quy tròn các kết quả trung gian). Sai số tính toán = sai số phương pháp + sai số phép tính . Ví dụ: a/ Tính tổng 1 1 1 1 1 1 A= − + − + − ; 3 3 3 3 3 3 1 2 3 4 5 6 - Tính trực tiếp A qua các phân số Không có sai số ph/pháp; - Tính đến 3 số lẻ và đánh giá sai số quy tròn t ương ứng
  9. 1 1 với θ1 = 0; = = 1,000 3 11 11 = = 0,125 θ2 = 0; 3 8 2 1 1 = = 0,037 θ3 = 1.10-4; (0,037037) 3 27 3 1 1 = = 0,016 (0,015625) θ4 = 4.10-4; 3 64 4 1 1 = = 0,008 θ5 = 0; 3 125 5 1 1 = = 0,005 θ6 = 4.10-4; (0,004629) 3 216 6 A = 1,000 – 0,125 + 0,037 – 0,016 +0,008 – 0,005 = 0,899 . A − a ≤ θ1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 + θ 5 + θ 6 = 9.10 −4 ; Δa = 9.10-4; A = 0,899 ± 9.10-4.
  10. 1 1 1 1 1 n −1 b/ Tính tổng B = −1− + − ⋅ ⋅ ⋅ + (−1) + ⋅ ⋅ ⋅; 3 3 3 3 3 1 2 3 4 n Với sai số tuyệt đối không quá 5.10-3. 1 111 n −1 1 B ≈ Bn = 3 − 1 − 3 + 3 − 3 ⋅ ⋅ ⋅ + (− 1) ; 3 1 234 n B − Bn - Sai số phương pháp. n cần : B − Bn + sai số phép tính < sai s ố cho phép. 1 1 1 Lý thuyết chuỗi: B − Bn = − + ⋅⋅⋅ < ; 3 3 3 (n + 1) (n + 2) (n + 1) 1 1 = 0,002915... < 3.10 −3 ; B − B6 = < 3 = n = 6: 343 7 B6 = A = 0,899 ± 9.10-4. B – 0,899 = B – B6 + A – 0,899; B – 0,899 = B – B6 + A – 0,899 ; B – 0,899 < 3.10-3 + 9.10-4 < 4.10-3; B = 0,899 ± 4.10-3.
  11. VI. Sự ổn định của quá trình tính toán. - Quá trình tính vô hạn ổn định nếu các sai số phép tính (quy tròn) tích luỹ lại không tăng vô h ạn - Nếu sai số tích luỹ tăng vô hạn q/trình tính không ổn đ ịnh không hy vọng tìm được đại lượng cần tính với sai số nhỏ hơn sai số cho phép. Kiểm tra tính ổn định của quá trình tính: - Giả sử sai số chỉ xẩy ra tại một bước; - Các phép tính sau đó đều đúng, không có sai số; - Nếu sai số tích luỹ không tăng vô hạn q/t tính ổn đ ịnh Ví dụ: Xét quá trình tính yi+1 = qyi; ( a ) cho trước yo và q. nhận được ~ y - Giả sử tại bước tính yi mắc sai số Δi ~ − y = ∆; yi (b) Với Δ > 0. i ~yi + =q~i ;y (c) - Tính yi+1 1 ~ − y = q~ − qy = q ( ~ − y ); ( a ) – ( c ) = yi +1 yi yi i +1 i i - Tiếp theo:
  12. ~ = q~ ; yi + 2 = qyi +1; yi + 2 yi +1 ~ − y = q~ − qy = q ( ~ − y ) = q 2 ( ~ − y ); yi + 2 yi +1 yi +1 i +1 yi i+2 i +1 i Tổng quát: ~ − y = q n ( ~ − y ); yi + n yi i+n i ~ − y = q n ( ~ − y ) = q n ∆; yi + n yi i+n i Hai trường hợp: ~ −y ≤∆ yi + n với mọi n q ≤1 */ i+n Sai số bị chặn (không tăng vô hạn), quá trình tính ổn đ ịnh; */ q > 1 ~ − y = q n ∆; ∞ ∞ khi n yi + n i+n quá trình tính không ổn định.
Đồng bộ tài khoản