Phương pháp tọa độ trong giải toán hình học

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

0
124
lượt xem
42
download

Phương pháp tọa độ trong giải toán hình học

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'phương pháp tọa độ trong giải toán hình học', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương pháp tọa độ trong giải toán hình học

  1. Trao ®æi vÒ : Ph−¬ng ph¸p to¹ ®é trong gi¶i to¸n h×nh häc Ng−êi so¹n :
  2. C¸c b−íc gi¶i bμi to¸n b»ng Ph−¬ng ph¸p to¹ ®é B−íc I: Chän hÖ trôc to¹ ®é g¾n víi bμi to¸n “TÝn hiÖu ”®Ó chän hÖ trôc lμ trong bμi to¸n cã chøa c¸c ®−êng th¼ng vu«ng gãc nhau , ta sÏ chän c¸c trôc chøa c¸c ®−êng th¼ng vu«ng gãc ®ã Phiªn dÞch bμi to¸n h×nh häc sang ng«n B−íc II: ng÷ to¹ ®é Dïng ng«n ng÷ vecter, to¹ ®é ®Ó gi¶i B−íc III: bμi to¸n Phiªn dÞch bμi to¸n trë l¹i ng«n ng÷ B−íc IV: h×nh häc ban ®Çu
  3. Mét sè c¸ch chän hÖ trôc trong kh«ng gian I, ®èi víi h×nh hép ch÷ nhËt – h×nh lËp ph−¬ng: •Chän gèc lμ 1 trong 8 ®Ønh •Ba c¹nh ph¸t xuÊt tõ mét ®Ønh n»m trªn 3 trôc z A’ B’ D’ C’ A B x D C y
  4. II, Chãp tam gi¸c cã gãc tam diÖn ®Ønh vu«ng •Chän gèc cña hÖ trôc trïng víi ®Ønh z cña gãc tam diÖn vu«ng A •Ba trôc chøa ba y c¹nh ph¸t xuÊt tõ C ®Ønh gãc tam diÖn vu«ng ®ã S B x
  5. Iii, Tø diÖn ®Òu C¸ch I: •Dùng h×nh lËp ph−¬ng ngo¹i tiÕp tø diÖn ®Òu z •Chän hÖ trôc cã gèc A D2 trïng víi 1 ®Ønh cña h×nh lËp ph−¬ng D1 D •Ba c¹nh ph¸t xuÊt tõ ®Ønh ®ã n»m trªn 3 trôc O C x B D3 y
  6. Iii, Tø diÖn ®Òu C¸ch II: •Hai trôc lÇn l−ît chøa ®−êng cao vμ mét c¹nh t−¬ng øng cña mÆt BCD •Trôc cßn l¹i vu«ng gãc víi mÆt BCD ( cïng ph−¬ng víi ®−êng cao AG). z Chó ý : Chãp tam gi¸c ®Òu còng chän A nh− c¸ch 2 nμy D o G C x B y
  7. iV, Chãp tø gi¸c cã ®¸y lμ h×nh thoi , c¸c c¹nh bªn b»ng nhau •Trôc Oz chøa ®−êng cao SO cña h×nh chãp z •Hai trôc Ox , Oy lÇn l−ît chøa hai ®−êng chÐo ®¸y Chó ý : H×nh chãp tø gi¸c S ®Òu ( ®¸y lμ h×nh vu«ng vμ c¸c c¹nh bªn b»ng nhau ) còng chän nh− vËy. D C O A B y x
  8. V, Chãp tø gi¸c cã ®¸y lμ h×nh ch÷ nhËt , c¸c c¹nh bªn b»ng nhau •Chän hai trôc chøa hai c¹nh h×nh vu«ng ®¸y z •Trôc thø ba vu«ng gãc ®¸y ( cïng ph−¬ng víi ZS ®−êng cao SO cña h×nh S chãp - trôc Az nμy n»m trong mÆt chÐo SAC) D A x O C B y
  9. Vi, L¨ng trô ®øng cã ®¸y lμ tam gi¸c c©n •Chän hai trôc lÇn l−ît lμ c¹nh ®¸y vμ chiÒu z cao t−¬ng øng cña tam gi¸c c©n lμ ®¸y cña B chãp C •Trôc cßn l¹i chøa ®−êng trung b×nh cña A mÆt bªn Chó ý : L¨ng B’ trô tam gi¸c ®Òu còng chän O nh− vËy. C’ x A’ y
  10. VII, l¡NG TRô §øng cã ®¸y lμ h×nh thoi : •Chän trôc cao n»m trªn ®−êng th¼ng nèi t©m hai ®¸y z •Hai trôc kia chøa hai ®−êng chÐo ®¸y A’ B’ O’ Chó ý : L¨ng trô tø D’ C’ gi¸c ®Òu còng chän nh− vËy ( l¨ng trô tø gi¸c ®Òu lμ l¨ng A o B trô ®øng cã ®¸y lμ h×nh vu«ng) y D C x
  11. Viii, l¡NG TRô §øng cã ®¸y lμ tam gi¸c vu«ng : Chän ®Ønh tam gi¸c z vu«ng ®¸y lμm gèc . Ba A trôc chøa ba c¹nh ph¸t xuÊt tõ ®Ønh nμy B C A’ B’ C’ y x
  12. C¸c bμi to¸n minh ho¹ Bμi 1:(§¹i häc khèi B – n¨m 2002) Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A1 B1C1 D 1 c¹nh a. a, TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng A1 B vμ B1 D b, Gäi M , N , P lÇn l−ît lμ trung ®iÓm cña c¸c c¹nhBB1 , CD ,A1 D1 . TÝnh gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng MP vμ C1 N Lêi gi¶i z Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz nh− h×nh vÏ : A1 trïng víi O , Ox chøa c¹nh A B A1B1 , Oy chøa c¹nh A1D1 , Oz chøa c¹nh A1A D C Trong hÖ trôc ®· chän ta cã : A1(0 ; 0 ; 0) , B1(a ; 0 ; 0) , C1(a ; a ; 0) , D1( 0 ; a ; 0 ) , A1 B1 x A(0 ; 0 ; a) , B(a ; 0 ; a) , C(a ; a ; a) , D1 a C1 D (0 ; a ; a) y
  13. z z a, TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng A B th¼ng A1B vμ B1D B §t A1B qua A1(0 ; 0 ; 0) vμ cã uuur D C VTCP r 1 D C u1 = A1 B = (1;0;1) a §t B1D qua B1(a ; 0 ; 0) vμ cã VTCP r 1 uuuur A1 B1 x u2 = B1 D = (−1;1;1) a a a D1 D1 C1 C1 A1B vμ B1D lμ hai c¹nh ®èi cña tø diÖn A1D1B1B nªn chÐo nhau , do y y uuuuu r r r 1 [ 2 ] ®ã: A1(0 ; 0 ; 0) , A B . u ,u 1 1 B1(a ; 0 ; 0) , d(A1 B ; B1 D) = r r [ u1 , u2 ] C1(a ; a ; 0) , D1( 0 ; a ; 0 ) , uuuuu r r r Cã A1 B1 = (a ; 0 ; 0) , [u 1 , u 2 ]= (-1 ; -2 ; 1 ) A(0 ; 0 ; a) , B(a ; 0 ; a) , C(a ; a ; a) , a(-1) + 0.(-2) + 0.(-1) a D (0 ; a ; a) d(A1 B;B1 D) = = 1+ 4+1 6
  14. b, Gäi M , N , P lÇn l−ît lμ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BB1 , CD , A1D1 . TÝnh gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng MP vμ C1N z Ta cã a a a M(a ; 0 ;) , N( ; a ; a ) , P( 0; ; 0 ) , A B 2 2 2 §t MP cã VTCP N D C r 2 uuur M u3 = MP = (−2;1; − 1) a §t C1N cã VTCP B1 x P A1 r 2 uuuu r u4 = C1 N = (−1;0; 2) D1 a C1 a Gäi ϕ lμ gãc gi÷a MP vμ C1N , ta cã y A1(0 ; 0 ; 0) , B1(a ; 0 ; 0) , r r C1(a ; a ; 0) , u3 .u4 (−2).(−1) + 1.0 −1.2 D1( 0 ; a ; 0 ) , cosϕ = r r = = 0 ⇒ ϕ = 90o u3 u4 4 +1+1 1+ 0 + 4 A(0 ; 0 ; a) , B(a ; 0 ; a) , hayC1 N ⊥ MP C(a ; a ; a) , D (0 ; a ; a)
  15. Bμi 2:(§¹i häc khèi A- n¨m 2002) Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC ®Ønh S , c¹nh ®¸y b»ng a. Gäi M , N lÇn l−ît lμ trung ®iÓm c¸c c¹nh SB , SC . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMN biÕt mp(AMN) vu«ng gãc víi mp(SBC). Lêi gi¶i z Do S.ABC lμ chãp tam gi¸c ®Òu nªn ®¸y ABC lμ tam gi¸c ®Òu c¹nh a . Gäi O lμ trung ®iÓm c¹nh AC , zs S ta cã BO vu«ng gãc víi AC. Chän hÖ trôc Oxyz nh− h×nh vÏ : Ox chøa OB , Oy chøa AC,Oz ⊥ ( ABC ) ( Oz song song SG lμ chiÒu cao C chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC ) o a Khi ®ã O( 0 ; 0 ; 0) , A(0 ; ;0), G a 3 a 3 2 B( ; 0 ; 0) ( V× OB = ) a B x 2 2 −a a 3 A C ( 0 ; ; 0), S( ; 0 ; zs ) 2 6 y ( zs > 0 )
  16. 2a 3 z a 3 − a zs M( ;0; s ) , N( ; ; ) z 3 2 12 4 2 r uuur uuur m p (A M N ) c o ′ V T P T : n 1 = ⎡ A M , A N ⎤ ⎣ ⎦ uuur 2 a 3 -a z s zs S AM = ( ; ; ) 3 2 2 uuuur a 3 -3 a z s AN = ( ; ; ) N 12 4 2 M 2 r a z -a 3 z s -5 3 a C n1 = ( s ; ; ) 8 8 r 24 uur uuu r o m p ( S B C ) c o ′V T P T : n 2 = ⎡ S B , S C ⎤ ⎣ ⎦ G uur a 3 B x SB = ( ; 0; − z s ) a 3 A uuur −a 3 −a SC = ( ; ; − zs ) y 6 2 a −a a 3 r − azs a 3 zs − a 2 3 O( 0 ; 0 ; 0) , A(0 ; ;0), B( a 3; 0 ; 0) ,C ( 0 ; ; 0), S( ; 0 ; zs ) n2 = ( ; ; ) 2 2 2 6 2 2 6 r r -a2 zs 2 3a2 zs 2 15a4 15a2 (AMN) ⊥ (SBC) ⇔ n1 .n2 = 0 ⇔ - + = 0 ⇔ zs = 2 16 16 6.24 36 1 ⎡uuuu uuur ⎤ 1 r r 1 a2 zs 2 3a2 zs 2 25.3a4 1 a 2 2 25a2 a 2 25a2 SΔAMN = ⎣ AM, AN ⎦ = n1 = + + 2 = . z s + 3z + = 4z s + 2 2 2 64 64 24 2 8 3 16 3 a 15a2 25a2 a2 10 SΔAMN = 4. + = 16 36 3 16
  17. Bμi 3: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã AB = a , AD = 2a , AA’ = a 2 . M lμ ®iÓm thuéc ®o¹n AD , K lμ trung ®iÓm cña B’M 1, §Æt AM = m ( 0 ≤ m < 2a). TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn A’KID theo a vμ m ( trong ®ã I lμ t©m h×nh hép ) . T×m vÞ trÝ cña M ®Ó thÓ tÝch ®ã ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. 2, Gi¶ sö M lμ trung ®iÓm cña AD. a, Hái thiÕt diÖn cña h×nh hép c¾t bëi mp(B’CK) lμ h×nh g× ? TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn ®ã theo a. b, CMR ®−êng th¼ng B’M tiÕp xóc víi mÆt cÇu ®−êng kÝnh AA’
  18. Lêi gi¶i Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz nh− h×nh vÏ : A trïng víi O , Ox chøa c¹nh z AD , Oy chøa c¹nh AB , Oz chøa c¹nh AA’ A’ D’ Trong hÖ trôc ®· chän ta cã : B’ C’ A(0 ; 0 ; 0) , B(0; a ; 0) , I a 2 C(2a ; a ; 0) , D( 2a ; 0 ; 0 ) , K A’(0 ; 0 ; a 2) , B’(0 ; a ; a 2) , a A M 2a D x m C’(2a ; a ; a 2) , D’(2a ; 0 ; a 2) 1, Do I lμ t©m h×nh hép nªn I lμ trung ®iÓm B C B’D, y a a 2 suy ra I(a ; ; ) 2 2 M n»m trªn ®o¹n AD vμ AM = m nªn M(m ; 0 ; 0) m a a 2 K lμ trung ®iÓm B’M nªn K ( ; ; ) 2 2 2
  19. uuur a a 2 A ' I = (a; ; − ) 2 2 uuuur m a a 2 A' K = ( ; ;− ) 2 2 2 uuuur A ' D = (2a;0; −a 2) a −a 2 −a 2 m m a 1 uuur uuuur uuuur 1 a a 2 VA ' KID = A ' I . ⎡ A ' K , A ' D ⎤ = a. 2 ⎣ ⎦ 6 2 + . 2 2 − . 2 2 6 2 2 0 −a 2 −a 2 2a 2a 0 1 −a3 2 a ⎛ am 2 ⎞ a 3 2 1 − a 3 2 a 2 m 2 a 2 2 = + ⎜ −a 2 + ⎜ ⎟+ ⎟ = + = m − 2a 6 2 2⎝ 2 ⎠ 2 6 2 4 24 a2 2 Hay VA ' KID = (2a − m) (do 0 ≤ m < 2a ) 24 a3 2 Còng v× 0 ≤ m < 2a ⇒ 0 < 2a − m ≤ 2a ⇒ VA ' KID ≤ 12 DÊu b»ng x¶y ra khi vμ chØ khi 2a - m = 2a hay m = 0 , ®iÒu nμy còng ®ång nghÜa M trïng A a3 2 VËy maxVA ' KID = ⇔M ≡A 12
  20. 2a, mp(B’CK) còng chÝnh lμ mp(B’CM) , mp nμy cã ®iÓm chung z víi mÆt AA’D’D ë ®iÓm M nªn nã c¾t mÆt AA’D’D theo giao tuyÕn A’ D’ qua M vμ song song víi B’C ( v× B’C song song víi mÆt AA’D’D ) , B’ C’ giao tuyÕn nμy c¾t AA’ t¹i N . Nèi N NB’ ta thu ®−îc thiÕt diÖn lμ h×nh a 2 thang B’CMN ( do MN song song K M víi B’C) [a] A 2a D x d (M ; B ' C ) = V× M lμ trung ®iÓm AD nªn M( a ; 0 ; 0) B C §−êng th¼ng B’C cã vÐct¬ y chØ ph−¬ng lμ r −1 uuuur u= B ' C = (− 2;0;1) a 2 uuuu r r ⎡ MC , u ⎤ ⎣ ⎦ ChiÒu cao cña thiÕt diÖn B’CMN lμ h = d ( M ; B ' C ) = r u
Đồng bộ tài khoản