Phương pháp toán tử Laplace tính quá trình quá độ mạch tuyến tính hệ số hằng

Chia sẻ: Nguyễn Thị Giỏi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

1
1.352
lượt xem
292
download

Phương pháp toán tử Laplace tính quá trình quá độ mạch tuyến tính hệ số hằng

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phát biểu là: Ảnh của đạo hảm hạng 1 lên gốc bằng tích p với ảnh hàm gốc đó trừ đi sơ kiện của gốc (giống ảnh phức của đạo hàm hàm điều hòa bằng tích j với ảnh phức hàm điều hòa nào đó, có khác là ảnh phức gắn với bài toán xác lập hình sin nên không quan tâm đến sơ kiên).

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương pháp toán tử Laplace tính quá trình quá độ mạch tuyến tính hệ số hằng

  1. Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 83 CHÆÅNG 16 PHÆÅNG PHAÏP TOAÏN TÆÍ LAPLACE TÊNH QUAÏ TRÇNH QUAÏ ÂÄÜ MAÛCH TUYÃÚN TÊNH HÃÛ SÄÚ HÀÒNG §1. Pheïp biãún âäøi Laplace I. Pheïp biãún âäøi Laplace thuáûn Nãúu haìm f(t) haìm biãún thæûc thoía maîn âiãöu kiãûn Âiriclet thç : ∞ ∫ f ( t )e dt = F( p ) häüi tuû − pt (16 -1) 0 Haìm f(t) nhæ váûy goüi laì haìm gäúc. Caïc pheïp tênh lãn haìm gäúc laì âaûo haìm, têch phán,... phán bäú trong khäng gian gäúc laì hãû phæång trçnh vi phán theo t. Haìm F(p) goüi laì haìm aính Laplace cuía gäúc f(t), F(p) laì haìm biãún phæïc trong âoï p = α + jω. Váûy pheïp biãún âäøi Laplace thuáûn chuyãøn (aïnh xaû) haìm gäúc thæûc f(t) thaình haìm aính F(p) biãún phæïc, phán bäú trong khäng gian aính, tæïc laì ta coï quan hãû doïng âäi : f(t) ↔ F(p) Biãún âäøi Laplace (16 -1) laì biãún âäøi mäüt phêa, aính cuía noï khäng phuû thuäüc vaìo haìm f(t) åí t < 0. II. Pheïp biãún âäøi Laplace ngæåüc : Coï cäng thæïc Rieman - Mellin âãø tçm haìm gäúc f(t) theo haìm aính F(p) nhæ sau : 1 α + jω f (t ) = ∫jω (p )e dp pt F (16 -2) 2πj α − cäng thæïc (16 -2) goüi laì pheïp biãún âäøi Laplace ngæåüc. III. Caïc âënh lyï, tênh cháút cå baín cuía pheïp biãún âäøi Laplace. Caïc âënh lyï aính gäúc : 1. Tênh cháút tuyãún tênh : AÍnh cuía täø håüp tuyãún tênh caïc haìm fk(t) cuîng laì mäüt täø håüp tuyãún tênh cuía caïc aính Fk(p) : f k ( t ) ↔ Fk ( p ) ∑a k f ( t ) ↔ ∑ a k Fk ( p ), (a k laì hàòng säú, k = 1,2,...) k k k 2. AÍnh Laplace cuía âaûo haìm haìm gäúc : [f (t )]' = [1(t )f (t )]' ↔ ? [1(t )]' f (0) + 1(t )f ' (t ) ↔ ? δ(t )f (0) + f ' (t ) ↔ ? Tçm aính Laplace cuía δ( t ) : ∞ ⎧δ( t ) khi t = 0 δ( t ) ↔ F( p ) = ∫ e − pt δ( t )dt vç e − pt δ( t ) = ⎨ 0 ⎩0 khi t ≠ 0 ∞ ∞ nãn : ∫ e δ( t )dt = ∫ δ( t )dt = 1 . Váûy aính Laplace cuía δ( t ) laì 1. − pt 0 0 Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
  2. Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 84 δ( t ) ↔ 1 nãn coï δ( t ) .f(0) ↔ f(0) ∞ ∞ e dt = ∫ e − pt d[f ( t )] df ( t ) df ( t ) − pt Tçm aính Laplace cuía f ' ( t ) = ↔ Φ(p ) = ∫ dt 0 dt 0 Duìng phæång phaïp phán âoaûn âãø thæûc hiãûn têch phán trãn : Âàût u = e − pt , coìn dv = d[f ( t )] nãn coï du = − pe − pt dt , vaì v = f ( t ) thay vaìo biãøu thæïc têch phán ta âæåüc : ∞ ∞ ∞ ∫ udv =uv − ∫ vdu = e − pt f ( t ) 0 + ∫ pe − pt f ( t )dt , e − pt f ( t ) 0 = 0 − f (0) ∞ ∞ ∞ 0 0 0 0 ∞ ∞ coìn : ∫ pe − pt f ( t )dt = p ∫ e − pt f ( t )dt = pF( p ) 0 0 Âæåüc aính Laplace cuía âaûo haìm haìm gäúc : Φ ( p ) = pF( p ) − f (0 ) (16 -3) Phaït biãøu laì : AÍnh cuía âaûo haìm haûng 1 lãn gäúc bàòng têch p våïi aính haìm gäúc âoï træì âi så kiãûn cuía gäúc (giäúng aính phæïc cuía âaûo haìm haìm âiãöu hoìa bàòng têch jω våïi aính phæïc haìm âiãöu hoìa naìo âoï; coï khaïc laì aính phæïc gàõn våïi baìi toaïn xaïc láûp hçnh sin nãn khäng quan tám âãún så kiãûn). Coï thãø noïi pheïp âaûo haìm lãn gäúc doïng âäi våïi pheïp nhán våïi p aính cuía gäúc âoï træì âi så kiãûn : [f ( t )]' ↔ pF( p ) − f (0) (16 -4) [f (t )]" ↔ p F(p) − pf (0) − f ' (0) 2 (16 -5) [f (t )] ↔ p F(p ) − p f (0) − p n n n −1 n −2 f ' (0) − p n −3 f " (0) − ... − f n −1 (0) (16 -6) Chæïng minh âæåüc : f(0) = f(-0) nãn coï Nãn : [f ( t )]' ↔ pF( p ) − f (−0) (16 -4a) [f (t )]" ↔ p 2 F( p ) − pf (−0) − f ' (+0) (16 -5a) Tæì cäng thæïc tháúy så kiãûn baìi toaïn coï trong aính cuía âaûo haìm gäúc, tæïc laì thäng tin vãö så kiãûn coï trong aính cuía âaûo haìm vaì vç chè cáön f(-0) nãn khäng phán biãût baìi toaïn chènh hay khäng chènh khi giaíi quaï trçnh quaï âäü bàòng phæång phaïp toaïn tæí. Khi âiãöu kiãûn âáöu bàòng 0 thç coï : [f (t )]' ↔ pF( p ) (16 -7) Váûy muäún xaïc âënh aính cuía âaûo haìm gäúc cáön phaíi tênh så kiãûn cuía baìi toaïn. 3. AÍnh cuía têch phán gäúc : f ( t ) ↔ F( p ) t ∫ f ( t ) ↔ Φ( p ) 0 d ⎡t ⎤ F( p ) maì f ( t ) = ⎢ ∫ f ( t )dt ⎥ ↔ F( p ) = pΦ ( p ) nãn Φ ( p ) = p dt ⎣ 0 ⎦ t F( p ) Váûy : ∫ f ( t )dt ↔ (16 -8) 0 p Ta coï aính cuía têch phán haìm gäúc bàòng aính cuía gäúc âoï chia cho p, hay pheïp têch phán lãn gäúc (æïng) doïng âäi våïi pheïp chia aính cuía haìm gäúc âoï cho p. Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
  3. Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 85 4. Âënh lyï dëch gäúc (cháûm trãù) : Âæåüc mä taí bàòng biãøu thæïc (16 -9) : 1( t − τ).f ( t − τ) ↔ e − pτ F( p ) (16 -9) Pheïp dëch gäúc thåìi gian τ æïng våïi pheïp nhán e-p.τ lãn aính. 5. Âënh lyï dëch aính : Âæåüc biãøu diãùn bàòng biãøu thæïc (16 -10) : 1( t )e ± λt f ( t ) ↔ F( p m λ ) (16 -10) Pheïp nhán e lãn gäúc æïng våïi pheïp dëch aính mäüt âoaûn m λ lãn màût phàóng phæïc. ± λt 6. Âënh lyï âäöng daûng : Mä taí båíi biãøu thæïc (16 -11) : 1 ⎛p⎞ 1( t )f (at ) ↔ F⎜ ⎟ (16 -11) a ⎝a⎠ 7. Âënh lyï têch xãúp : Mä taí båíi biãøu thæïc (16 -12) : t ∫ f ( t )f 0 1 2 ( t − τ )dτ = f 1 * f 2 ↔ F1 ( p ).F2 ( p ) (16 -12) 8. Âënh lyï âaûo haìm aính : Mä taí båíi biãøu thæïc (16 -13) : d dn F( p ) ↔ (− t )f ( t ),..., n F( p ) ↔ (− t ) n f ( t ) (16 -13) dp dp 9. Âënh lyï têch phán aính : Mä taí båíi biãøu thæïc (16 -14) : ∞ f (t ) ∫ F( p )dp ↔ t 0 (16 -14) 10. Âënh lyï vãö caïc giaï trë båì : Giaï trë åí t = 0, t = ∞ lim t →0 f ( t ) = lim p →∞ pF( p ) (16 -15) lim t →∞ f ( t ) = lim p→0 pF( p ) IV. Caïc daûng aính - gäúc thæåìng gàûp : 1. δ( t ) ↔ 1 t 1 2. 1( t ) ↔ ∫ δ( t )dt ↔ (aïp duûng âënh lyï têch phán gäúc) 0 p 1 3. e a . t = 1( t ).e a . t ↔ (aïp duûng âënh lyï dëch aính) p−a 1 4. e −a . t = 1( t ).e − a . t ↔ p+a Ak 5. A k e p . t ↔ k (daûng aính - gäúc ráút hay gàûp) p − pk p 6. cos ωt ↔ 2 p + ω2 ω 7. sin ωt ↔ 2 p + ω2 1 1 Tæì : e − jωt ↔ vaì e jωt ↔ p + jω p − jω Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
  4. Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 86 Coï : cos ωt = [e + e − jωt ] ↔ 1 ⎡ 1 + 1 ⎤ = 2 p 2 1 jωt 2 2 ⎢ p − jω p + jω ⎥ p + ω ⎣ ⎦ 1⎡ 1 1 ⎤ ω Vaì : sin ωt ↔ ⎢ − ⎥ = p 2 + ω2 2 j ⎣ p − jω p + jω ⎦ t t 1 1 2 2 2 8. t = ∫ 1( t )dt ↔ = 2 , t = 2 ∫ tdt ↔ 2 = 3 0 p.p p 0 p .p p 2.3 n! t 3 ↔ 4 ,..., t n ↔ n +1 p p 1 t.e −at ↔ (p + a ) 2 2 n! t 2 e −a .t ↔ ; t n e −a . t ↔ (p + a ) 3 ( p + a ) n +1 t n e − at 1 9. ↔ n! ( p + a ) n +1 A .t n −1 −a . t A1 10. 1 e ↔ ( n − 1)! (p + a ) n E 11. E = 1( t )E ↔ p 12. E.δ( t ) ↔ E p sin Ψ + ω 0 cos Ψ 13. sin(ω 0 t + Ψ ) ↔ p 2 + ω0 2 p sin Ψ − ω 0 cos Ψ 14. cos(ω 0 t + Ψ ) ↔ p 2 + ω0 2 ω 15. e − a . t sin ωt ↔ (p + a ) 2 + ω2 p 16. e − a . t cos ωt ↔ (p + a ) 2 + ω2 V. Tinh tháön phæång phaïp toaïn tæí Laplace giaíi baìi toaïn quaï trçnh quaï âäü : Thæûc cháút viãûc giaíi quaï trçnh quaï âäü laì giaíi hãû phæång trçnh vi phán cho thoía maîn så kiãûn. Thay vç giaíi phæång trçnh vi phán cho thoía maîn så kiãûn ta váûn duûng caïc tênh cháút cuía pheïp biãún âäøi Laplace âãø chuyãøn hãû phæång trçnh vi phán thaình hãû phæång trçnh âaûi säú våïi aính toaïn tæí coï chæïa så kiãûn räöi giaíi hãû phæång trçnh âaûi säú naìy bàòng caïc phæång phaïp âaî hoüc åí CSKTÂ I âãø cho ra nghiãûm aính quaï trçnh quaï âäü F(p). thäng thæåìng ta hay xeït tênh cháút, daïng âiãûu cuía nghiãûm qua phán bäú thåìi gian vç váûy cáön biãún âäøi ngæåüc laûi tæì nghiãûm aính væìa giaíi ra thaình nghiãûm gäúc F(p) → f(t). Váûy theo phæång phaïp toaïn tæí Laplace giaíi QTQÂ ta phaíi giaíi quyãút caïc viãûc sau : 1. Chuyãøn tæì gäúc sang aính : gäöm chuyãøn caïc kêch thêch e(t), j(t) vaì hãû phæång trçnh vi phán mä taí QTQÂ våïi så kiãûn thaình caïc aính Laplace E(p), J(p) vaì hãû phæång trçnh âaûi säú våïi biãún toaïn tæí coï chæïa så kiãûn. Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
  5. Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 87 2. Giaíi hãû phæång trçnh âaûi säú våïi biãún toaïn tæí âæåüc nghiãûm aính F(p). 3. Tæì nghiãûm aính F(p) tçm nghiãûm gäúc f(t) âãø xeït tênh cháút nghiãûm. Trãn thæûc tãú cuîng coï træåìng håüp yãu cáöu thäng tin khäng nhiãöu, coï thãø nháûn biãút qua phán bäú F(p) thç khäng nháút thiãút phaíi tçm f(t). Váûy våïi phæång phaïp toaïn tæí Laplace laì giaíi quyãút váún âãö gäúc → aính vaì ngæåüc laûi aính → gäúc. Váún âãö aính → gäúc laì ráút quan troüng, noï laì kháu khoï khàn nháút, khäng giaíi quyãút âæåüc váún âãö naìy thç phæång phaïp toaïn tæí Laplace báút læûc. VI. Caïch tçm gäúc theo aính Laplace Coï 3 phæång phaïp âãø tçm nghiãûm gäúc theo nghiãûm aính Laplace 1. Thæûc hiãûn pheïp têch phán ngæåüc (Riman - Mellen) : 1 a + j∞ f (t ) = ∫j∞F(p )e dp pt 2πj a − Viãûc sæí duûng træûc tiãúp cäng thæïc naìy âãø xaïc âënh haìm gäúc f(t) theo haìm aính F(p) noïi chung khäng dãù daìng cho nãn trong thæûc tãú kyî thuáût âiãûn hay duìng 2 phæång phaïp sau âáy : 2. Tra baíng aính gäúc (coï åí caïc cáøm nang toaïn, cáøm nang KTÂ) Theo phæång phaïp naìy ta phaíi coï baíng aính - gäúc (xem pháön phuû luûc) 3. Duìng cäng thæïc khai triãøn Hãvisaid (âënh lyï phán têch) Trong træåìng håüp thäng thæåìng ta coï nghiãûm aính Laplace F(p) laì mäüt phán thæïc hæîu tè biãún p, hãû säú thæûc vaì báûc cuía tæí säú nhoí hån báûc cuía máùu säú(m < n) daûng ruït goün b p m + b m −1 p m −1 + ... + b 1 p + b 0 Fm ( p ) nhæ : F( p ) = m n = (16 -16) a n p + a n −1 p n −1 + ... + a 1 p + a 0 Fn ( p ) Vç F(p) laì mäüt phán thæïc hæîu tè nãn bàòng caïch phán têch phán thæïc hæîu tè thaình täøng caïc phán thæïc täúi giaín maì mäùi phán thæïc täúi giaín dãù daìng tçm âæåüc gäúc tæång æïng vaì nhæ váûy seî xaïc âënh âæåüc gäúc æïng våïi phán thæïc hæîu tè. Âãø phán têch phán thæïc hæîu tè (16 -16) thaình caïc phán thæïc täúi giaín cáön giaíi nghiãûm cuía âa thæïc máùu Fn(p) = 0, âæåüc goüi laì caïc âiãøm cæûc. Trong træåìng håüp âa thæïc coï báûc låïn hån 2 thç viãûc tçm caïc âiãøm cæûc ráút khoï khàn. Âáy chênh laì haûn chãú cuía phæång phaïp toaïn tæí. Dæåïi âáy dáùn ra cäng thæïc tçm gäúc cho ba træåìng håüp thäng thæåìng cuía caïc âiãøm cæûc giaíi tæì Fn(p) = 0 a. Træåìng håüp Fn(p) = 0 coï n nghiãûm thæûc, âån : p1, p2,..., pk thç : F (p) A1 A2 Ak Ak F( p ) = m = + + ... + =∑ (16 -17) Fn ( p ) p − p 1 p − p 2 p − pk k p − pk Ak Tæì phán thæïc aính täúi giaín suy ra gäúc A k e p t (âënh lyï aính - gäúc) k p − pk Ak Nãn aính cuía F(p) = ∑ ↔ ∑ A k e p t = A 1 e p t + A 2 e p t + ... + A k e p t (16 -18) k 1 2 k k p − pk k Cáön phaíi xaïc âënh Ak (gäöm A1, A2, ..., Ak) vaì våïi pk âaî coï khi giaíi Fn(p) = 0, ta làõp âæåüc gäúc A k e p t . Coï thãø xaïc âënh Ak bàòng phæång phaïp cán bàòng hãû säú báút âënh. k Song ta coï thãø bàòng cäng thæïc sau âáy : Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
  6. Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 88 Ta nhán 2 vãú phæång trçnh (16 -17) våïi (p - pk) räöi cho p tiãún âãún pk : Fm ( p ) A (p − p k ) A 2 (p − p k ) A (p − p k ) (p − p k ) = 1 + + ... + k Fn ( p ) p − p1 p − p2 p − pk Khi cho p → pk åí vãú phaíi chè coìn säú haûng cuäúi bàòng Ak coìn caïc säú haûng træåïc âãöu bàòng 0. F (p) 0 Nãn âæåüc : A k = lim p → p m ( p − p k ) = lim (daûng vä âënh 0/0) vç pk laì Fn ( p ) k 0 nghiãûm cuía Fn(p) = 0 nãn cho p → pk thç Fn(p) = 0 vaì p - pk = 0. Duìng quy tàõc Lopital âãø khæí daûng vä âënh ta coï : [F (p )(p − p k )]' = lim F' m (p ).(p − p k ) + Fm (p ) A k = lim p→ p m p→p k F' n ( p ) k F' n ( p ) (16 -19) Fm ( p ) Fm ( p k ) A k = lim p→ p = k F' n ( p ) F' n ( p k ) F (p) F (p ) F ( p ) Fm ( p 2 ) Tæång tæû : A 1 = lim p → p m = m 1 , A 2 = lim p → p m = ,... 1 F' n ( p ) F' n ( p 1 ) F' n ( p ) F' n ( p 2 ) 2 F (p) Váûy khi Fn(p) = 0 coï caïc nghiãûm âån p1, p2,..., pk thç F( p ) = m coï gäúc laì : Fn ( p ) F (p ) F (p ) F (p ) f ( t ) = m 1 e p t + m 2 e p t + ... + m k e p t 1 2 k (16 -20) F' n ( p 1 ) F' n ( p 2 ) F' n ( p k ) b. Khi F2(p) = 0 coï nghiãûm phæïc liãn håüp : pk = - α ± jω0 ta coi nhæ hai nghiãûm âån : pk = - α + jω0 vaì p*k = - α - jω0. Aïp duûng cäng thæïc træåìng håüp trãn cho hai nghiãûm pk vaì p ∗ ta xaïc âënh âæåüc k gäúc theo daûng (16 -20) : Fm ( p ) Fm ( p k ) p t Fm ( p ∗ ) p ∗ F( p ) = ↔ e + k k e k .t Fn ( p ) F' n ( p k ) F' n ( p ∗ ) k Vç pk vaì p*k laì liãn håüp phæïc våïi nhau nãn : Fm ( p k ) p t Fm ( p ∗ ) p . t ∗ ⎡ F (p ) ⎤ e + k k ∗ k e = 2 Re ⎢ m k e p . t ⎥ k F' n ( p k ) F' n ( p k ) ⎣ F' n ( p k ) ⎦ F (p ) Vç coï : m k = A k = A k e jΨ nãn âæåüc : F' n ( p k ) ⎡ F (p ) ⎤ 2 Re ⎢ m k e p . t ⎥ = 2 Re[ A k e jΨ e −αt .e jω t ] = 2 Re[ A k e −αt e ( jω t + Ψ ) ] = k 0 0 ⎣ F' n ( p k ) ⎦ 2 Re{A k e [cos(ω 0 .t + Ψ ) + j sin (ω 0 .t + Ψ )]} = 2 A k e − αt cos(ω 0 .t + Ψ ) − αt Váûy khi Fn(p) = 0 coï nghiãûm phæïc liãn håüp : pk = - α ± jω0 thç coï gäúc f(t) laì : F( p ) ↔ f ( t ) = 2 A k e − αt cos(ω 0 .t + Ψ ) (16 -21) c. Khi F2(p) = 0 coï nghiãûm bäüi : pk bäüi r. F (p) Luïc naìy phán têch m thaình caïc säú haûng täúi giaín sau âáy : Fn ( p ) Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
  7. Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 89 Fm ( p ) A k1 A k2 A kr − 2 A kr −1 A kr = + + ... + + + (16 -22) Fn ( p ) ( p − p k ) ( p − p k ) 2 (p − p k ) r−2 (p − p k ) r −1 (p − p k ) r Ta âaî coï daûng aính - gäúc : A kr A kr r −1 p . t A k1 Ak2 ↔ t .e ; k ↔ A k1e p . t ; k ↔ A k 2 t.e p k .t (p − p k ) r ( r − 1)! p − pk (p − p k )2 Cáön phaíi xaïc âënh Akr. Ta nhán 2 vãú (16 -22) våïi (p - pk)r räöi cho p → pk ta âæåüc biãøu thæïc (16 -23) nhæ sau : Fm ( p ) A k1 ( p − p k ) r A k 2 ( p − p k ) r A kr − 2 ( p − p k ) r A kr −1 ( p − p k ) r (p − pk ) =r + + ... + + + A kr Fn ( p ) (p − pk ) ( p − p k )2 ( p − p k )r −2 ( p − p k ) r −1 Fm ( p ) ( p − p k ) r = A k1 .( p − p k ) r −1 + A k 2 .( p − p k ) r − 2 + A kr −2 .( p − p k ) 2 + A kr −1 ( p − p k ) + A kr Fn ( p ) Cho p → pk vãú phaíi chè coìn Akr coìn caïc säú haûng khaïc bàòng 0 nãn ta coï : F (p) A kr = lim p → p m (p − p k ) r (16 -24) Fn ( p ) k Âãø xaïc âënh Akr-1, ta âaûo haìm caí 2 vãú phæång trçnh (16 -23) theo p, ta coï : / ⎡ Fm ( p ) r⎤ ⎢ ( p − p k ) ⎥ = A k1 ( r − 1)( p − p k ) r − 2 + A k 2 ( r − 2 )( p − p k ) r −3 + ... + ⎣ Fn ( p ) ⎦ (16 -25) + A kr − 2 .2( p − p k ) + A kr −1 + 0 Cho p → p1, vãú phaíi cuía biãøu thæïc (16 -25) chè coìn Akr-1, coìn caïc säú haûng khaïc bàòng 0 nãn ta coï : d ⎡ Fm ( p ) ⎤ A kr −1 = lim p→ p ⎢ (p − p k ) r ⎥ (16 -26) dp ⎣ Fn ( p ) k ⎦ Âãø xaïc âënh Akr-2 ta âaûo haìm caí 2 vãú cuía (16 -25) theo p ta coï : / ⎡ Fm ( p ) ⎤ ⎢ ( p − p k ) r ⎥ = A k1 ( r − 1)( r − 2 )( p − p k ) r −3 + ⎣ Fn ( p ) ⎦ (16 -27) A k 2 ( r − 2 )( r − 3)( p − p k ) r − 4 + ... + A kr −3 .3.2.( p − p k ) + A kr − 2 .2 + 0 Cho p → p1, vãú phaíi cuía biãøu thæïc (16 -27) chè coìn 2.Akr-1, coìn caïc säú haûng khaïc bàòng 0 nãn ta coï : 1 d 2 ⎡ Fm ( p ) ⎤ A kr − 2 = lim p→p 2 ⎢ (p − p k ) r ⎥ (16 -28) 2 dp ⎣ Fn ( p ) k ⎦ Âãø xaïc âënh Akr-3 ta âaûo haìm tiãúp phæång trçnh (16 -27) theo p ta coï : 1 d 3 ⎡ F (p) ⎤ A kr −3 = lim p→ p . 3 ⎢ m (p − p k ) r ⎥ (16 -29) 3! dp ⎣ Fn ( p ) k ⎦ cæï nhæ váûy tçm caïc hãû säú tiãúp theo cho âãún : 1 d r −1 ⎡ Fm ( p ) ⎤ A k1 = lim p→ p . r −1 ⎢ (p − p k ) r ⎥ (16 -30) ( r − 1)! dp ⎣ Fn ( p ) k ⎦ Sau khi coï caïc Akr räöi ta xaïc âënh gäúc laì : Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
  8. Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 90 A lr A lr r −1 p . t Vç ↔ t .e nãn khi Fn(p) coï nghiãûm bäüi r thç gäúc thåìi gian laì : 1 (p − p1 ) r ( r − 1)! A A A A kr r −1 p . t f ( t ) = k1 e p . t + k 2 t.e p . t + k 3 t 2 e p . t + ... + k k k t e k 0! 1! 2! ( r − 1)! (16 -31) ⎛ A k2 A k3 2 A kr r −1 ⎞ p . t = ⎜ A k1 + ⎜ t+ t + ... + t ⎟e ⎟ k ⎝ 1! 2! ( r − 1)! ⎠ Ta thæåìng gàûp Fn(p) báûc 2 nãn Fn(p) = 0 coï thãø coï nghiãûm keïp pk (bäüi r = 2). Luïc naìy F (p) A 21 A 22 nghiãûm aính laì F( p ) = 1 = + F2 ( p ) p − p k (p − p k )2 Tênh âæåüc : F (p) d ⎡ F1 ( p ) ⎤ A 22 = lim 1 (p − p k ) 2 (16 − 32) vaì A 21 = lim ⎢ ( p − p k ) 2 ⎥ (16 -33) p→ p F ( p ) p→p k dp ⎣ F2 ( p ) k 2 ⎦ Suy ra haìm gäúc : f ( t ) = (A 21 + A 22 t )e p t k (16 -34) ( p + 2) Vê duû 1 : Coï doìng âiãûn aính I( p ) = xaïc âënh gäúc i(t) ? p( p + 3) 2 F3 ( p ) = p( p + 3) 2 = 0 → nghiãûm âån p 1 = 0, vaì nghiãûm keïp p 2, 3 = −3 F' 3 ( p ) = ( p + 3) 2 + 2p( p + 3) - Khi F2(p) = 0 coï nghiãûm âån p1= 0 tæång æïng coï gäúc daûng:A1ept = A1e0.t = A1 F (p) p+2 2 Xaïc âënh A 1 = lim p →0 1 = lim p→0 = F' 2 ( p ) ( p + 3) + 2 p( p + 3) 9 2 - Khi F2(p) = 0 coï nghiãûm keïp p2,3 = -3(p = -3, bäüi r = 2). Xaïc âënh : ⎡ F (p) ⎤ ⎡ p+2 ⎤ − 3+ 2 1 A l 2 = lim p → p ⎢ 1 ( p + p l ) r ⎥ = lim p →−3 ⎢ ( p + 3) 2 ⎥ = = ⎣ p( p + 3) −3 2 ⎣ F2 ( p ) ⎦ ⎦ 3 l d ⎡ F1 ( p ) ⎤ ⎡ p − ( p + 2) ⎤ 2 A l1 = lim p→ p ⎢ ( p + p l ) r ⎥ = lim p →−3 ⎢ 2 ⎥ =−9 dp ⎣ F2 ( p ) ⎦ ⎣ p ⎦ l ÆÏng våïi nghiãûm keïp coï gäúc laì : A l1e −3. t + A l 2 .t.e −3. t 2 2 1 Täøng håüp coï gäúc : i( t ) = − e −3. t + .t.e −3. t 9 9 3 4p + 4 Vê duû 2 : Xaïc âënh gäúc u(t) cuía aính : U( p ) = 2 p + 6 p + 34 Giaíi F2 ( p ) = 0 = p + 6p + 34 âæåüc p 1, 2 = −3 ± j5 2 F' 2 ( p ) = 2p + 6, F' 2 ( p 1 ) = 2(−3 + j5) + 6 = 10 j, F1 ( p 1 ) = 4(−3 + j5) + 4 = −8 + 20 j F1 ( p 1 ) − 8 + 20 j Tênh A k = = = 2,15〈 21o 50' F' 2 ( p 1 ) 10 j Âæåüc gäúc : u( t ) = 2 A k e −3. t . cos(5t + 21o 50' ) = 4,3e −3. t cos(5t + 21o 50' ) §2. Näüi dung phæång phaïp toaïn tæí Laplace tênh quaï trçnh quaï âäü maûch tuyãún tênh : Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
  9. Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 91 Tæì tinh tháön phæång phaïp toaïn tæí Laplace âaî nãu åí muûc trãn, ta tháúy coï thãø giaíi QTQÂ theo caïc bæåïc : 1. Chuyãøn nguäön kêch thêch thåìi gian vaì hãû phæång trçnh vi phán mä taí quaï trçnh quaï âäü våïi så kiãûn thaình hãû phæång trçnh âaûi säú aính toaïn tæí coï chæïa så kiãûn. Viãûc laìm naìy thæûc cháút laì váûn duûng caïc tênh cháút cuía pheïp biãún âäøi Laplace âãø âaûi säú hoïa hãû phæång trçnh vi phán. 2. Giaíi hãû phæång trçnh âaûi säú våïi aính toaïn tæí bàòng caïc phæång phaïp cå baín âaî hoüc nhæ phæång phaïp doìng nhaïnh, doìng âiãûn voìng, thãú âènh hoàûc biãún âäøi tæång âæång âãø tênh caïc nghiãûm aính. 3. Tçm caïc nghiãûm gäúc tæång æïng caïc nghiãûm aính. Theo trçnh tæû trãn ta tháúy cáön phaíi láûp hãû phæång trçnh vi phán mät taí QTQÂ räöi måïi âaûi säú hoïa noï thaình hãû phæång trçnh âaûi säú våïi aính toaïn tæí. Âãø traïnh viãûc phaíi viãút hãû phæång trçnh vi phán vaì sæí duûng âæåüc tênh æu viãût cuía mä hçnh maûch laì coï thãø veî ra caïc så âäö maûch âãø biãøu diãùn vaì tæì âoï láûp ngay hãû phæång trçnh âaûi säú tênh maûch, ta âæa ra khaïi niãûm vãö så âäö toaïn tæí Laplace mä taí QTQÂ cuía maûch âiãûn. Viãûc dáùn ra så âäö toaïn tæí naìy chênh laì âaûi säú hoïa trãn så âäö âãø hãû phæång trçnh viãút theo så âäö naìy laì hãû phæång trçnh âaûi säú. I. Så âäö toaïn tæí cuía maûch : Chuïng ta âaî biãút quan hãû giæîa 2 biãún u vaì i trãn R mäüt vuìng nàng læåüng - chênh laì âënh luáût Ohm - noïi lãn I(p) phaín æïng cuía vuìng nàng læåüng âoï. Váûy quan hãû giæîa aính âiãûn aïp U(p) våïi aính doìng âiãûn I(p) cuía vuìng nàng læåüng U(p) chè roî phaín æïng toaïn tæí cuía vuìng nàng læåüng. Ta dáùn ra h.16 -1 phaín æïng cuía caïc vuìng nàng læåüng âæåüc âàûc træng båíi caïc pháön tæí R, L, C. 1. Våïi âiãûn tråí R : Tæì phæång trçnh traûng thaïi theo thåìi gian laì : uR(t) = R.iR(t) chuyãøn sang aính toaïn tæí Laplace: u R (t ) ↔ U R (p) i R (t ) ↔ I R (p) Coï phæång trçnh traûng thaïi aính toaïn tæí : U (p) U R ( p ) = R.I R ( p ) hay I( p ) = R = g.U R ( p ) (16 -35) R Váûy âiãûn tråí trong så âäö toaïn tæí váùn laì R nhæ LiL(-0) biãøu diãùn hçnh hoüc nhæ hçnh (h.16 -1) hoàûc coï thãø biãøu L 1 diãùn bàòng âiãûn dáùn g = . IL(p) R 2. Våïi âiãûn caím L : UL(p) Tæì phæång trçnh traûng thaïi theo thåìi gian : h.(16 -2) di u L = L L chuyãøn sang daûng aính : dt Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
  10. Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 92 u L (t ) ↔ U L (p) i L (t ) ↔ I L (p) Coï phæång trçnh aính toaïn tæí : U L ( p ) = L[pI L ( p ) − i L (−0)] = Lp.I L ( p ) − Li L (−0) (16 -36) Så âäö thay thãú maûch nghiãûm âuïng phæång trçnh trãn chênh laì så âäö toaïn tæí cuía cuäün caím L, coï L.iL(-0) laì læåüng âaî biãút noï nhæ nguäön aïp goüi laì nguäön så kiãûn. Noï laì tin tæïc noïi lãn quaï trçnh cuî taïc âäüng vaìo maûch sau âoïng måí. Biãøu diãùn åí hçnh (h.16 -2) Så âäö trãn giäúng nhæ så âäö nguäön aïp Tãvãnin, nhæ váûy coï thãø xaïc âënh så âäö nguäön doìng Norton tæång æïng. Tháût váûy giaíi phæång trçnh (16 -36) IL(p) theo UL(p) ta coï : U ( p ) i L (−0) I L (p) = L + (16 -37) Lp p i ( −0 ) Trong âoï L âaî biãút nhæ laì nguäön doìng goüi laì p pL nguäön doìng så kiãûn, så âäö toaïn tæí nhæ hçnh (h.16 -3) Váûy coï thãø biãøu diãùn L dæåïi daûng så âäö toaïn tæí näúi iL(-0) /p IL(p) tiãúp hay song song, chè cáön ta thay L bàòng pL räöi näúi tiãúp våïi nguäön aïp så kiãûn LiL(-0). Hay thay L bàòng pL näúi UL(p) i ( −0 ) song song våïi nguäön doìng så kiãûn L . (Læu yï : chiãöu h.16 -3 p cuía caïc nguäön så kiãûn cuìng chiãöu doìng IL(p)). 3. Våïi âiãûn dung C : IC(p) 1/pC du Tæì phæång trçnh traûng thaïi thåìi gian : i C = C C dt u (t ) ↔ U C (p) CuC(-0) Chuyãøn sang daûng aính : C UC(p) i C (t ) ↔ I C (p) h.(16 -4a) Âæåüc phæång trçnh traûng thaïi aính theo doìng âiãûn laì : I C ( p ) = C[pU C ( p ) − u C (−0)] = pCU C ( p ) − Cu C (−0) . (16 -38). Trong âoï CuC(-0) laì nguäön så kiãûn, så âäö toaïn tæí nhæ hçnh (h.16 -4a). Phæång trçnh traûng thaïi aính theo âiãûn aïp laì : I ( p ) u C ( −0 ) U C (p) = C + (16 -39) pC p u (−0) IC(p) Trong âoï C laì nguäön så kiãûn så âäö toaïn tæí p nhæ hçnh (h.16 -4b). 1/pC uC(-0)/p Âãø coï så âäö toaïn tæí cuía tuû C, ta thay C bàòng 1/pC näúi song song våïi nguäön doìng CuC(-0). Hoàûc thay C u (−0) UC(p) bàòng 1/pC näúi tiãúp våïi nguäön aïp så kiãûn C ( Chuï yï p h.(16 -4b) nguäön så kiãûn coï chiãöu ngæåüc chiãöu doìng IC(p)). Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
  11. Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 93 4. Våïi nhaïnh R - L - C : Khi caïc så kiãûn bàòng khäng ta coï quan hãû I(p) R pL 1/pC Ohm trãn caïc vuìng nàng læåüng : UR(p) = R.IR(p), U(p) UL(p) = pL.IL(p), UC(p) = IC(p)/pC. Nãn så âäö toaïn tæí h.16 -5 nhaïnh R - L - C nhæ hçnh (h.16 -5). Tæì âoï ruït ra âënh luáût Ohm daûng toaïn tæí cho nhaïnh khäng nguäön R - L - C : ⎡ 1 ⎤ U( p ) = U R ( p ) + U L ( p ) + U C ( p ) = I( p )⎢R + pL + pC ⎥ (16 -40) ⎣ ⎦ 1 Trong âoï : R + pL + = Z( p ) goüi laì täøng tråí toaïn tæí cuía nhaïnh (tæång tæû nhæ pC täøng tråí phæïc Z(jω) trong maûch xaïc láûp âiãöu hoìa khi thay jω bàòng p). Ngæåüc laûi 1 Y (p ) = laì täøng dáùn toaïn tæí. Coï âæåüc biãøu thæïc : I(p) = Y(p).U(p) Z( p ) 5. Våïi hai cuäün caím L1, L2 coï häù caím våïi nhau : Mkl = Mlk = M nhæ hçnh veî (h.16 -7) : uk Uk(p) Lkik(-0) Mil(-0) ik ∗ Ik(p) ∗ Lk pLk Mkl pM Ll pLl il ∗ Il(p) ∗ ul Ul(p) Llil(-0) Mik(-0) h.16 -7 h.16 -8 Biãøu thæïc âiãûn aïp dæåïi daûng phán bäú thåìi gian : ⎧ di di ⎪ uL = LL l + M k ⎪ dt dt ⎨ (16 -41) ⎪u = L di k di l +M ⎪ K ⎩ k dt dt (Chuï yï tuìy cæûc tênh vaì chiãöu doìng âiãûn âãø aïp häù caím coï dáúu +). Chuyãøn sang daûng aính toaïn tæí nhæ hçnh (h.16 -8) : ⎧U L ( p ) = pL l I l ( p ) + pMI k ( p ) − L l i l (−0) − Mi k ( −0) ⎨ (16 -42) ⎩U k ( p ) = pL k I k ( p ) + pMI l ( p ) − L k i k (−0) − Mi l (−0) II. Âënh luáût Kirhof daûng toaïn tæí : n Tæì luáût Kirhof 1 daûng tæïc thåìi ∑i k =1 k ( t ) = 0 chuyãøn sang daûng aính Laplace : n ∑I k =1 k (p) = 0 (16 -43) Phaït biãøu : " Täøng âaûi säú caïc doìng âiãûn toaïn tæí taûi mäüt âènh triãût tiãu" n Tæång tæû ta cuîng coï âënh luáût Kirhof 2 daûng toaïn tæí : ∑U k =1 k ( p ) = 0 (16 -44). Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
  12. Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 94 Phaït biãøu : " Täøng âaûi säú caïc âiãûn aïp aính råi trãn caïc pháön tæí trong mäüt voìng kên triãût tiãu". Læu yï : Khi trong maûch âiãûn coï caïc nguäön så kiãûn thç ta cuîng âæa vaìo phæång trçnh Kirhof 1, 2 theo âuïng thæï nguyãn. Vê duû : Xeït maûch âiãûn nhæ hçnh (h.16 -9) Thay r, L, C vaì caïc nguäön trong maûch sang daûng toaïn tæí âæåüc så âäö maûch daûng toaïn tæí nhæ hçnh (h.16 -10). Trong tæìng nhaïnh ta coï phæång trçnh luáût Äm daûng toaïn tæí, trong toaìn maûch coï luáût K1, K2 dæåïi daûng âaûi säú aính toaïn tæí. i2 r2 C2 I2(p) r2 1/pC2 uC2(0)/p 2 LiL(0) 1/pC1 uC1(0)/p a r1 i1 L C1 b a r1 I1(p) pL b e(t) 1 r I(p) r E(p) i h.16 -9 h.16 -10 Dæûa vaìo så âäö toaïn tæí hçnh (h.16 -10) viãút ngay hãû phæång trçnh K1, K2 dæåïi daûng âaûi säú våïi aính toaïn tæí : P/t K1 cho nuït a : I( p ) = I1 ( p ) + I 2 ( p ) ⎛ 1 ⎞ u (0 ) P/t K2 cho voìng 1 : I( p ).r + I1 ( p )⎜ r1 + pL + ⎜ ⎟ = E( p ) + Li L (0) − C1 (16 -45) ⎝ pC1 ⎟⎠ p ⎛ 1 ⎞ u (0 ) P/t K2 cho voìng 2 : I( p ).r + I 2 ( p )⎜ r2 + ⎜ ⎟ = E(p ) − C 2 ⎝ pC 2 ⎟ ⎠ p III. Trçnh tæû tênh quaï trçnh quaï âäü bàòng phæång phaïp toaïn tæí : Sau khi phán têch mäüt caïch âáöy âuí nhæ trãn, ta ruït ra trçnh tæû caïc bæåïc giaíi quaï trçnh quaï âäü bàòng phæång phaïp toaïn tæí nhæ sau : - Tênh uc(-0), iL(-0) tæì så âäö træåïc khi âoïng måí (åí t < 0) - Láûp så âäö toaïn tæí cho maûch sau khi âoïng måí (åí t > 0 chuï yï coï caïc nguäön så kiãûn). - Viãút phæång trçnh K1, K2 cuía maûch dæåïi daûng âaûi säú cuía aính toaïn tæí. Do sæû tæång tæû vãö hçnh thæïc våïi så âäö maûch åí traûng thaïi xaïc láûp âiãöu hoìa nãn coï thãø duìng caïc phæång phaïp : doìng nhaïnh, doìng voìng, thãú âènh, caïc biãún âäøi tæång âæång... âãø giaíi hãû phæång trçnh âaûi säú âãø cho nghiãûm aính. Sau âoï xaïc âënh nghiãûm gäúc. Vê duû 1 : Mäüt tuû C âæåüc naûp coï âiãûn læåüng qo. Taûi t = 0 cho noï phoïng vaìo cuäün dáy coï âiãûn caím L nhæ hçnh (h.16 -11). Xaïc âënh sæû biãún thiãn cuía âiãûn têch trãn tuû q(t) vaì xaïc âënh doìng âiãûn trong maûch i(t) sau khi âoïng khoïa K. q (−0) q 0 Ta coï så kiãûn : q (−0) = q 0 = q (0), u C (−0) = = = u C (+0) C C Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
  13. Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 95 iL(-0) = 0 = iL(0) 1. Giaíi bàòng phæång phaïp âån thuáön toaïn hoüc : K Tæì phæång trçnh maûch âiãûn : uC + uL = 0 1 dq d 2q Theo biãún i ta coï : ∫ idt + Li' = 0 maì : i = , i' = 2 C dt dt Âæåüc phæång trçnh theo biãún q laì : 1 dq d 2q d 2q q h.16 -11 C ∫ dt dt + L 2 = 0 → L 2 + = 0 dt dt C ta chuyãøn sang daûng toaïn tæí âãø giaíi phæång trçnh vi phán naìy : d 2q Våïi : q ( t ) ↔ Q( p ), vaì 2 ↔ p 2 Q( p ) − pq (−0) − q ' (−0) dt L[p 2 Q( p ) − pq 0 ] + Q( p ) =0 C Ta coï phæång trçnh aính : Q( p ) Lp 2 Q( p ) − Lpq 0 + =0 C dq Læu yï : q ' (0) = (0) = i(0) = 0 (do chæa âoïng khoïa K thç iL(0) = 0) dt ⎡ 1⎤ Lpq 0 pq 0 pq 0 Q( p )⎢Lp 2 + ⎥ = Lpq 0 nãn Q( p ) = = = ⎣ C⎦ 2 1 1 ⎛ 1 ⎞ Lp + 2 p +2 LC p + ⎜ LC ⎟ 2 C ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 Suy ra biãøu thæïc âiãûn têch theo thåìi gian : q ( t ) = q 0 cos t. LC dq 1 1 Vaì doìng âiãûn trong maûch : i ( t ) = = −q 0 . sin t dt LC LC 2. Giaíi bàòng phæång phaïp så âäö toaïn tæí : Tæì så âäö toaïn tæí hçnh (h.16 -12) tênh I(p) : uC(0)/p q ( −0 ) q 0 Våïi u C (−0 ) = = = u C (+0 ) C C I(p) 1/pC − u C (0 ) − q (0 ) − q0 I( p ) = = = 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ p LC + 1 pL p⎜ pL + ⎜ ⎟ C⎜ p L + ⎟ ⎟ ⎝ pC ⎠ ⎝ C⎠ h.16 -12 Chia caí tæí, máùu våïi LC ta coï : 1 1 1 − q0. . − q 0 LC LC LC − q 0 LC I( p ) = = = . ⎡ 2 1 ⎤ 2 2 ⎛ 1 ⎞ LC 2 ⎛ 1 ⎞ ⎢ p + LC ⎥ p +⎜ ⎟ p +⎜ ⎟ 2 ⎣ ⎦ ⎝ LC ⎠ ⎝ LC ⎠ − q0 t Suy ra gäúc doìng âiãûn trong maûch laì : i ( t ) = sin LC LC − q0 t t Vaì biãøu thæïc âiãûn têch : q ( t ) = ∫ idt = ∫ sin dt = q 0 cos LC LC LC Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
  14. Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 96 Vê duû 2 : Tênh doìng i(t) trong maûch âiãûn hçnh (h.16 -13) sau khi âoïng khoïa K. Biãút r = 100Ω, L = 0,139H, C= 15,95µF. u(t) = 2000sin(314t + 900) = 2000cos314t (V). 1. Tênh så kiãûn âäüc láûp : i(t) K u C (−0) = 0 = u C (+0) (khi chæa âoïng khoïa K tuû chæa L âæåüc naûp). Træåïc khi âoïng khoïa K quaï trçnh xaïc láûp cuî u(t) r C (t < 0) nhæ så âäö hçnh (h.16 -14). Vç xaïc láûp hçnh sin nãn coï : • • U 2000〈 90 0 h.16 -13 = = = 10 2e j45 0 I Lxlcuî Z rL 100 + j314.0,319 i(t) i Lxlcuî = 10 2 sin(314t + 45 ) ( A )0 L thay taûi t = 0 coï i L (−0) = 10A r Vç baìi toaïn chènh nãn : iL(0) = iL(-0) = 10A. u(t) 2. Så âäö toaïn tæí sau khi âoïng khoïa K nhæ hçnh (h.16 - 15) h.16 -14 Aính Laplace cuía nguäön u(t) : 2000 p u ( t ) = 2000 cos 314 t ↔ U( p ) = 2 p + 314 2 Täøng tråí vaìo cuía maûch : LiL(0) 1 I(p) r. pC r p 2 rLC + pL + 1 pL Z V ( p ) = pL + = pL + = 1 prC + 1 prC + 1 1/pC r+ U(p) pC r Theo âënh luáût Kirhof tênh doìng âiãûn aính : ⎛ 2000 p ⎞ U ( p ) + Li L (0 ) ⎝⎜ p + 314 2 + Li L (0 ) ⎟(prC + 1) ⎜ 2 ⎟ h.16 -15 I(p ) = = ⎠ Z V (p) p rLC + pL + 1 2 [2000 p + ( p 2 + 314 2 )Li L (0 )]( prC + 1) F3 ( p ) I( p ) = = ( p 2 + 314 2 )( p 2 rLC + pL + 1) F4 ( p ) Âãø xaïc âënh doìng âiãûn gäúc : sæí duûng khai triãøn Hãvisaid. Giaíi : F4(p) = (p2 + 3142).(p2rLC + pL + 1) = 0 Våïi (p2 + 3142) = 0 coï nghiãûm thuáön aío : p1,2 = ± j314. Våïi p 2 rLC + pL + 1 = p 2 .100.0,319.15,95.10 −6 + p.0,319 + 100 = 0 cho nghiãûm phæïc liãn håüp : p3,4 = -314 ± j314. Tæì F4(p) ta coï : F' 4 ( p ) = 2p( p 2 rLC + pL + r ) + ( p 2 + 314 2 )(2prLC + L ) - ÆÏng våïi p1,2 = ± j314 ( coi laì p = α ± jω våïi α = 0) F3 ( p ) Ta coï gäúc daûng 2|A1|cos(314t + β), trong âoï : A 1 〈β = = 10〈− 37 0 F' 4 ( p ) p = j 314 - ÆÏng våïi p3,4 = -314 ± j 314 Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
  15. Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 97 Ta coï daûng gäúc : 2|A2|e-314t.cos(314t + θ) trong âoï : F (p) A 2 〈θ = 3 = 10 〈−1610 30 F' 4 ( p ) p = −341+ j314 Nãn âæåüc gäúc laì : i ( t ) = 20 cos(314t − 37 0 ) + 2 10e −314 t . cos(314t − 1610 30) Tæì gäúc ta tháúy caïc cæûc (nghiãûm) p1, p2 laì do aính cuía aïp nguäön U(p) nãn xaïc âënh thaình pháön cæåîng bæïc, coìn caïc cæûc p3, p4 bàòng nghiãûm cuía så âäö seî xaïc âënh thaình pháön tæû do. i xl = 20 cos(314 t − 37 0 ), i td = 2 10e −314 t cos(314t − 1610 30 ) - Qua vê duû tháúy âæåüc noïi chung phæång phaïp toaïn tæí coï thãø tênh âæåüc aïp, doìng quaï âäü dæåïi daûng täøng cuía caïc thaình pháön tæû do vaì cæåîng bæïc. - Nãúu maûch chæïa caïc nguäön hàòng hay nguäön âiãöu hoìa thç coï thãø xaïc âënh dãù daìng thaình pháön cæåîng bæïc maì khäng cáön aïp duûng phæång phaïp toaïn tæí. Trong træåìng håüp naìy phæång phaïp toaïn tæí âæåüc aïp duûng âãø tênh thaình pháön tæû do. - Thaình pháön tæû do laì gäúc cuía aính âaïp æïng tæû do. Aính âaïp æïng tæû do âæåüc tênh tæì så âäö toaïn tæí tæû do (så âäö chè coï caïc nguäön så kiãûn, khäng coï nguäön aïp, nguäön doìng cæåîng bæïc) vaì váûy aính cuía aïp, doìng tæû do seî âån giaín hån ráút nhiãöu so våïi aính aïp, doìng quaï âäü. - Viãûc æïng duûng phæång phaïp toaïn tæí ráút thuáûn låüi âãø tênh thaình pháön cæåîng bæïc cuía aïp, doìng khi kêch thêch chu kyì khäng âiãöu hoìa. Váûy khi gàûp baìi toaïn quaï trçnh quaï âäü coï kêch thêch chu kyì âiãöu hoìa ta thæûc hiãûn nhæ sau : a. Tæì så âäö phæïc xaïc láûp sau âoïng måí nhæ hçnh (h.16 -16) bàòng phæång phaïp phæïc tênh âæåüc : • • U 2000〈 0 0 I xl = = = 20〈−37 0 1 1 r. 100. jωC j314.15,95.10 −6 jωL + j314.0,319 + 1 1 r+ 100 + jωC j314.15,95.10 −6 suy ra doìng âiãûn xaïc láûp i xl ( t ) = 20 cos(314t − 37 0 )( A ) . LiLtd(0) Ixl Itd(p) jω L pL . 1/jωC 1/pC U r r h.16 -16 h.16 -17 b. Tæì så âäö toaïn tæí tæû do nhæ hçnh (h.16 -17) Xaïc âënh âæåüc thaình pháön tæû do daûng aính : Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
  16. Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 98 Li Ltd (0 ) Li Ltd (0 )( prC + 1) F1 ( p ) I td ( p ) = = 2 = , chuï yï : i Ltd (0) = i L (0) − i Lxl (0) Z V (p) p rLC + pL + 1 F2 ( p ) giaíi F2(p) = 0 âæåüc p 3, 4 = −314 ± j314 suy ra gäúc : i td ( t ) = 2 10e −314 t cos(314 t − 1610 30 ) c. Xãúp chäöng ixl vaì itd âæåüc nghiãûm cuía quaï trçnh quaï âäü iqâ : i ( t ) = 20 cos(314t − 37 0 ) + 2 10e −314 t . cos(314t − 1610 30) Qua phán têch ta tháúy laìm theo caïch naìy goün hån åí chäù chè phaíi giaíi quyãút váún âãö aính gäúc cuía nghiãûm tæû do âån giaín hån ráút nhiãöu aính gäúc cuía nghiãûm quaï trçnh quaï âäü. So våïi viãûc xaïc âënh nghiãûm tæû do bàòng phæång phaïp têch phán kinh âiãøn thç khoíi phaíi tênh p tæì ZV(p) = 0 vaì viãûc tênh så kiãûn cuîng âån giaín hån nhiãöu (chè cáön uC(-0) vaì iL(-0), khäng cáön phaíi læu yï baìi toaïn chènh hay khäng chènh). Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản