Phương trình - Bất phương trình cơ bản

Chia sẻ: missyou0411

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học Phương trình - Bất phương trình cơ bản biên soạn bởi giáo viên Lê Thị Phương Hoa

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Phương trình - Bất phương trình cơ bản

Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
1.ph−¬ng tr×nh –bÊt ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n
1.ph−¬ng

a.ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n:

 g ( x) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 
D¹ng ph−¬ng tr×nh: (nÕu g(x) cã TX§ l R)
 f ( x) ≥ g ( x)
2




b.BÊt ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n:

D¹ng 1: D¹ng 2:
 g (x ) > 0
  f ( x) ≥ 0
 
f ( x) < g ( x) ⇔  f (x ) ≥ 0
g ( x) < 0
f ( x ) > g ( x) ⇔  
 ()
 g ( x) ≥ 0
 f x < g (x )
2

 f ( x) ≥ g ( x)
2




Chó ý: Khi hÖ chøa tõ hai biÓu thøc c¨n bËc hai trë lªn , ®Ó cã thÓ ®−a vÒ d¹ng c¬ b¶n
, ta l m nh− sau:
+ §Æt mét hÖ ®iÒu kiÖn cho tÊt c¶ c¸c c¨n ®Òu cã nghÜa .
+ ChuyÓn vÕ hoÆc ®Æt ®iÒu kiÖn ®Ó hai vÕ ®Òu kh«ng ©m .
+ B×nh ph−¬ng hai vÕ .
+ TiÕp tôc cho ®Õn khi hÕt c¨n .
bµi tËp ¸p dông
B i 1.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
1. 3 x + 5 = 2 x − 3 (1)
2. 2 x + 3 = 6 − x ( 2)
Gi¶i1:
Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi:
 x = 2
3
x≥
 
⇔ x = 7
 2

4 x − 15 x + 14 = 0 
2
 2
Gi¶i2:
Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi:
x≤6 x≤6
 
⇔ ⇔ x=3
2 
x − 14 x + 33 = 0 x = 3 ∨ x = 11
 
B i 1.2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau

1. x 2 − 6 x + 6 = 2 x − 1 (1) (§H X©y Dùng -2001).
Gi¶i:
Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi:


Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 1 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
 
1 1
x≥
 x ≥
⇔ ⇔ x =1
 2 2
 x =1
 x 2 − 6 x + 6 = (2 x − 1) 2 

B i 1.3 Gi¶i ph−¬ng tr×nh
x −1 + x+2 =3
Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:
x ≥1
 1≤ x ≤ 4

⇔ ⇔ ⇔x=2
 ( x − 1)( x + 2) = 4 − x (_ x − 1)( x − 2) = (4 − x)
2


B i 1.4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh

x −1 − x − 3 = x − 2
Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:
x≥3 x ≥ 3  3≤ x≤ 4
⇔ ⇔ 2

 x −1 = x − 3 + x − 2  4 − x = 2 x − 5x + 6 3x − 8 x + 8 = 0
2


3 ≤ x ≤ 4
6+2 3
 --
⇔ ⇔x=
6+2 3 6−2 3
x = ∨x= 3
 3 3
B i 1.5: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
2
1+ x − x 2 = x + 1 − x (§HQG H Néi 2000)
3
Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:

 0 ≤ x ≤1  0 ≤ x ≤1
 
1+ 2 x − 2 x2 + 4 x − x2 =1+ 2 x − x2 ⇔2 x − 2 x2 = 2 x − x2
3 3 3 3

 3 3


 0 ≤ x ≤1  0 ≤ x ≤1 x = 0
⇔ ⇔ ⇔
 x − x ( x − x − 1) = 0 x = 0 ∨ x = 1  x = 1
2 2


B i 1.6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh

( )
3 + 4 6 − 16 3 − 8 2 x = 4 x − 3
Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:
 3
 x ≥
3
x ≥  4 ⇔x= 2
⇔
 4
( ) 2
2
 3 + 4 6 − 16 3 − 8 2 x = 4 x − 3 x =
 
 2
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 2 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
B i 1.7: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:
7 x − 13 − 3 x − 9 ≤ 5 x − 27 (§H DL Ph−¬ng §«ng -2001)
27
x≥
§iÒu kiÖn:
5
BÊt ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi:
 27
x ≥
 5
 7 x − 13 ≤ 5 x − 27 + 3 x − 9

 
27 27
x ≥ x ≥
⇔ ⇔
5 5
7 x − 13 ≤ 8 x − 36 + 2 (3 x − 9 )(5 x − 27 ) 2 (3 x − 9 )(5 x − 27 ) ≥ 23 − x
 
 27
 ≤ x ≤ 23 229 + 2 6576
⇔5 ⇔ ≤ x ≤ 23
59
59 x − 458 x + 443 ≥ 0
2



B i tËp l m thªm:
B i 1: (PP B§ T§)

1. x 2 − 3 x + 2 = 2 x − 1; 2. 3 x 2 − 9 x + 1 = x − 2
3. x 2 − 4 x + 6 = x + 4; 4. x 2 + 2 x + 4 = 2 − x
5. 3 x 2 − 9 x + 1 = | x − 2 |; 6. x − 2 x + 3 = 0;
7. x 2 + x + 1 = 1;

B i 2: (PP B§ T§)
1. 3 + x + 6 − x = 3;
2. 3 x − 2 + x − 1 = 3;
3. 3 + x − 2 − x = 1;
4. 9 + x = 5 − 2 x + 4;
5. 3 x + 4 − 2 x + 1 = x + 3;
5 x − 1 − 3 x − 2 − x − 1 = 0;
6.

7. 3x + 4 + x + 4 = 2 x ;

8. 5 x − 5 + 10 x − 5 = 15 x − 10;

9. x + 4 − 1 − x = 1 − 2 x ;

Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 3 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
10. − x 2 + 3 x − 2 + x + 1 = 2;
x − 1 − 5 x − 1 = 3x − 2
11.

x + 1 − 9 − x = 2 x − 12
12.

x2 + x − 5 + x2 + 8x − 4 = 5
13.

14. 3x 2 + 5 x + 8 − 3x 2 + 5 x + 1 = 1

15. x 2 + 9 − x 2 − 7 = 2 5 x − 1 − 3 x − 2 − x − 1

16. 3 x 2 + 6 x + 16 + x 2 + 2 x = 2 x 2 + 2 x + 4
3+ x 114 2
= + +
17.
9 x 9 x2
3x

18. 1 − x = x 2 − 2 x − 5

19. x + x + 11 + x − x + 11 = 4

20. x + 1 − 1 = x − x + 8

--------------------------------------------------------------------------

2.ph−¬ng ph¸p §Æt mét Èn phô
D¹ng 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
Af ( x ) + B f ( x ) + C = 0
f (x ) = t (t ≥ 0) ⇔ f (x ) = t 2 ;
Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt
(t ≥ 0)
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh : At + Bt + C = 0
2


L m t−¬ng tù víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng: Af ( x ) + B f ( x ) + C ≥ 0
D¹ng 2:Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
( )( )
f ( x ) + g ( x ) + B 2 f ( x )g ( x) + D + C = 0
A
(Víi f ( x ) + g ( x) = D )
Ph−¬ng ph¸p gi¶i :
§Æt f ( x ) + g ( x) = t (t ≥ 0) ⇔ t 2 = D + 2 f (x )g ( x )
(t ≥ 0 )
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh : Bt + At + C = 0
2


L m t−¬ng tù víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng:
( )( )
f ( x ) + g ( x ) + 2 f ( x )g ( x) + D + C ≥ 0
A
bµi tËp ¸p dông:
B i 2.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh
3 x 2 − 5x + 5 = x 2 − 5x + 7
1, (1)

Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 4 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa

2.x 2 + x 2 + 12 = 30
2, (2) (§H DL Hång l¹c-2001)
3 x2 − 5x + 5 = x2 − 5x + 7
1, (1)
Gi¶i1:

x2 − 5x + 5 = t (t ≥ 0 )
§Æt

Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:

x = 1

2
t = 1 x − 5x + 5 = 1
t − 3t + 2 = 0 ⇔  ⇔ 2 ⇔ x = 4
2

t = 2 x − 5x + 5 = 4 

 x = 5 ± 21

 2
2 x 2 + x 2 + 12 = 30
2, ( 2)
Gi¶i2:


§Æt t = x + 12 (t >
2
0)
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
t = 6 (tm )
t 2 + t − 42 = 0 ⇔ 
t = − 7 (L)

VËy x + 12 = 6 ⇔ x = ±2 6
2

--------------------------------------------------------------------------

B i 2.2: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh
x 2 + 7x + 4
=4 x
1. (1) (§H §«ng ®«-2000).
x+2
2.x + 4 − x 2 = 2 + 3 x 4 − x 2 (2) (§H Má -2001)
Gi¶i2:

§Æt y = 4 − x ≥ 0)
2
(y
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
x 2 + y 2 = 4 ( x + y ) 2 − 2 xy = 4
⇔

x + y = 2 + 3 xy  x + y − 3 xy = 2





Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 5 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa

x = 0

x = 0 ∧ y = 2
⇔ x = 2

Gi¶i hÖ ®èi xøng n y ta ®−îc nghiÖm:  x = 2 ∧ y = 0 
 x = − 2 + 14

 3
Gi¶i1:§iÒu kiÖn: x ≥ 0 §Æt x = t (t ≥ 0 )
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
t 4 − 4t 3 + 7t 2 − 8t + 4 = 0
Gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc 4 :
XÐt t=0 kh«ng l nghiÖm
2
XÐt t ≠ 0 ,chia hai vÕ cho t2 v ®Æt u = t + (u ≥ 2 2 )
t
u = 1( L) t = 1 x = 1
Ta ®−îc ph−¬ng tr×nh u − 4u + 3 = 0 ⇔  ⇔ ⇔
2

u = 3 t = 2 x = 4



B i 2.3: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau


2x2 + 4x + 3 3 − 2x − x2 > 1
1. (§HDL Ph−¬ng §«ng -2000)


x ( x − 4) − x 2 + 4 x + ( x − 2) 2 < 2
2. (§H QG HCM -1999)
Gi¶i1:

§iÒu kiÖn: − 3 ≤ x ≤1
§Æt: t = 3 − 2 x − x (t ≥ 0)
2

BÊt ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
 5
− 2t 2 + 3t + 5 > 0 − 1 < t < 5
⇔ 2 ⇔0≤t
1
Thay v o BPT § cho v gi¶i ra ta ®−îc

o c¸ch ®Æt ta ®−îc: 2 − 3 < x < 2 + 3
Thay v

B i 2.4: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau
3 1
3 x+ < 2x + −7
1. (§H Th¸i Nguyªn -2000)
2x
2x

2. 2 + x + 7 − x + (2 + x)(7 − x) ≤ 3
Gi¶i1: BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
2 
1 1
) < 2 x + 1 + −9
3( x +
()
 
2
2x  
2x
2
 1  1
⇔ 2 x +  − 3 x + −9 > 0
 2 x  2 x
1
§Æt: t = x+ ⇒t≥ 2
2x
BPT ® cho trë th nh:
t ≥ 2

⇔ t>3
2
 2 t − 3t − 9 > 0

 3
0< x3⇔ 
x > 4 + 3 7
2x

 2
Gi¶i 2:

§iÒu kiÖn: − 2 ≤
x≤7
t = 2+ x + 7−x (t ≥ 0 )
§Æt
t2 −9
VËy (2 + x )(7 − x ) =
2
BÊt ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
t 2 + 2t − 15 ≤ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤ 3
− 2 ≤ x ≤ 7  x = −2

⇔ ⇔
x = 7
9 + 2 (2 + x)(7 − x) ≤ 9


B i tËp. Gi¶i c¸c PT sau:
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 7 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
B i 1:
1. 3 x 2 − 5 x + 5 = x 2 − 5 x + 7;
2. 2 x 2 + x 212 = 30;
3. x 2 − x − x 2 − x + 13 = 7;
4. ( x + 5)(2 − x) = 3 x 2 + 3 x ;

6. ( x + 4)( x + 1) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6;

11. 2( x 2 − 2 x) + x 2 − 2 x − 3 = 9;

12. ( x − 3)2 + 3x − 22 = x 2 − 3x + 7;

( x + 1) ( 2 − x ) = 1 + 2 x − 2 x 2 ;
15.

16. 2 ( x 2 − 2 x ) + x 2 − 2 x − 3 − 9 = 0;

17. 3 x 2 + 15 x + 2 x 2 + 5 x + 1 = 2;

B i 2:
x 2 − 3x + 3 + x 2 − 3x + 6 = 3;
5.

7. x 2 + 5 x + 2 + 2 x 2 + 5 x − 9 = 1;

x + 1 + 4 − x + ( x + 1)(4 − x) = 5;
9.

10. x + 4 − x 2 = 2 + 3 x 4 − x 2 ;

13. 2 x 2 + 5 x + 2 − 2 x 2 + 5 x − 6 = 1;

14. x 2 + 3x + 2 − 2 x 2 + 6 x + 2 = − 2;

18. x 2 + x + 4 + x 2 + x + 1 = 2 x 2 + 2 x + 9;

8. x 2 + 4 x + 8 + x 2 + 4 x + 4 = 2 x 2 + 8 x + 12;

19. x − x 2 − 1 + 2 x + x 2 − 1 = 2;

20. x + 17 − x 2 + x 17 − x 2 = 9;

2
21. 1 + x − x2 = x + 1 − x ;
3
x+4 + x−4
= x + x 2 − 16 − 6;
22.
2

23. 3 x − 2 + x = 1 = 4 x − 9 + 2 3 x 2 − 5 x + 2;


Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 8 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
24. 2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 − 16;

25. x − 2 + 2 x − 5 + x + 2 + 3 2 x − 5 = 7 2;

( 7 x − 3) − 8 5 ( 7 x − 3)
−3
3
= 7;
5
26.

x2
+ 2 x + 3 = 2 x;
27.
2x + 3

28. 4 x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 = 2;

29. 5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1;

30. 10 x 3 + 8 = 3 ( x 2 − x − 6 ) ;

31. x3 − 1 = x 2 + 3x − 1;

32. x − x − 1 − ( x − 1) x + x 2 − x = 0;

§Æt Èn phô ®Ó trë th nh ph−¬ng tr×nh cã 2 Èn:
* L viÖc sö dông 1 Èn phô chuyÓn ®Ó chuyÓn PT ban ®Çu th nh 1 PT víi 1 Èn phô
nh−ng c¸c hÖ sè vÉn cßn chøa x
* PP n y th−êng ®−îc SD ®èi víi nh÷ng PT khi lùa chän 1 Èn phô cho1 BT th× c¸c BT
cßn l¹i kh«ng BD ®−îc triÖt ®Ó qua Èn phô ®ã hoÆc nÕu BD ®−îc th× c«ng thøc BD
qu¸ phøc tap.
* Khi ®ã th−êng ta ®−îc 1 PT bËc 2 theo Èn phô (hoÆc vÉn theo Èn x) cã biÖt sè ∆ l
1 sè chÝnh ph−¬ng.
B i tËp. Gi¶i c¸c PT sau:
B i 1:
1. x 2 − 1 = 2 x x 2 − 2 x ;

2. x 2 − 1 = 2 x x 2 + 2;

3. (4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1;

4. 4 + x 2 − 4 x = (2 + x) x 2 − 2 x + 4;

5. x 2 + 3 x + 1 = (3 + x) x 2 + 1;

6. (4 x − 1) 4 x 2 + 1 = 8 x 2 + 2 x + 1;

7. 4 1 + x − 1 = 3x + 2 1 − x + 1 − x 2 ;

Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 9 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
8. 2(1 − x) x 2 + 2 x − 1 = x 2 − 2 x − 1;
9. 1 + x − 2 x 2 = 4 x 2 − 1 − 2 x + 1;
10. x 2 + x + 12 1 + x = 36;
x −1 1 1
11. 2 x + − 1 − − 3 x − = 0;
x x x

3.Ph−¬ng ph¸p §Æt hai Èn phô
D¹ng 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
( )
A n f ( x ) + n g ( x ) + B n f (x )g ( x) + C = 0
(Víi f ( x ) + g ( x) = D )
n f ( x ) = u

⇒ un + vn = D
Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt: n
 g (x ) = v


 A(u + v ) + Buv + C = 0
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:  n
u + v = D
n



D¹ng 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
( )
A n f ( x ) − n g ( x ) + B n f (x )g ( x) + C = 0
(Víi f ( x ) − g ( x ) = D )
n f ( x ) = u

⇒ un − vn = D
Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt: n
 g (x ) = v


 A(u − v ) + Buv + C = 0
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: 
u − v = D
n n



bµi tËp ¸p dông:
B i 3.1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

x + 2 + 6 − x = ( x + 2)( 6 − x ) (§H Ngo¹i Ng÷-2001)
Gi¶i :
 x+2 =u

(u, v ≥ 0)
§Æt 
 6−x =v

Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
uv = u + v
u2 + v 2 = 8
⇔ ⇔u=v=2

uv = u + v (uv) 2 − 2uv − 8 = 0
 
VËy:

Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 10 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa

x+2 = 6−x =2⇔ x=2
B i 3.2:Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
x + 22 − 3 x + 3 = 1 (An Ninh-01)
3

Gi¶i :
3 x + 22 = u

§Æt: 3
 x+3 =v

Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
u − v = 1 v = 2; u = 3 x = 5
⇔ ⇔

uv = 6 v = 3; u = −2  x = −30
B i 3.3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
56 − x + 4 x + 41 = 5
4


4 56 − x = u

(uv ≥ 0)
§Æt: 4
 x + 41 = v

Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
u + v = 5 u = 2; v = 3  x = −25
⇔ ⇔
4  x = 40
u = 3; v = 2
u + v 4 = 97  

B i tËp l m thªm: Gi¶i c¸c pt:
20 + x 20 − x
− = 6;
1.
x x

2. 6 − x + x − 2 = 2(1 − 4 (6 − x)( x − 2);

3. 3 2 − x = 1 − x − 1;
4. 3 9 − x = 2 − x − 1;
5. 3 9 − x + 1 + 7 + x + 1 = 4;
6. x 2 + 3 + 10 − x 2 = 5;
7. 3 x − 9 = ( x − 3)3 + 6;

8. 3 24 + x + 12 − x = 6;
9. 3 x + 7 − x = 1;
10. 4 5 − x = 4 x − 1 = 2;
11. x 2 − 3 x + 3 + x 2 − 3 x + 6 = 3;
12. x + 1 + 8 − x + ( x + 1)(8 − x) = 3;




Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 11 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
(34 − x) 3 x + 1 − ( x + 1) 3 34 − x
= 30;
13.
34 − x − 3 x + 1
3


14. x + 1 − x − 2 x(1 − x) = −1;

15. 1 + 1 − x 2  (1 − x)3 − 1 + x3  = 2 + 1 − x 2 ;
 
16. 3 2 + x + x 2 + 3 2 − x − x 2 = 3 4;

17. x + 4 x(1 − x) 2 + 4 (1 − x)3 = 1 − x + 4 x3 + 4 x 2 (1 − x);

7− x − 3 x −5
3
= 6 − x;
18.
7− x + 3 x −5
3



19. 3 7 + tgx + 3 2 − tgx = 3;
2 2
20. 81sin x + 81cos = 30;
x


21. 3 sin 2 x + 3 cos 2 x = 3 4;
22. sin x + 2 − sin 2 x + sin x 2 − sin 2 x = 3;
23. 4 10 + 8sin 2 x − 4 8co s 2 x − 1 = 1;

1 1
− cos 2 x + 4 + cos 2 x = 2;
24. 4
2 2

25. 3 5 x + 7 − 3 5 x − 12 = 1;
26. 3 24 + x − 3 5 + x = 1;
27. 3 47 − 2 x + 3 35 + 2 x = 4;
28. 4 47 − x + 4 x + 10 = 5;
29. 3 12 − x + 3 14 − x = 2;

30. 3 x + 1 + 3 7 − x = 2;
31. 4 97 − x + 4 x − 15 = 4;
--------------------------------------------------------------------------
4.Ph−¬ng ph¸p Nh©n liªn hîp
D¹ng : Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
A f ( x ) − B g ( x ) = C.h(x )
Víi A f ( x ) − B g ( x ) = D.h( x )
2 2

Ph−¬ng ph¸p gi¶i :
Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc: A f ( x ) + B g ( x )
( )
Ta ®−îc ph−¬ng tr×nh D.h( x ) = C.h( x ) A f ( x ) + B g (x )
Nhãm nh©n tö chung v gi¶i hai ph−¬ng tr×nh:


Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 12 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
 h( x ) = 0
( )

C A f (x ) + B g (x ) = D

bµi tËp ¸p dông:

B i 4.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
x+3
4 x + 1 − 3x − 2 =
1. (1)
5 (§H B−u ChÝnh-2001)
3(2 + x − 2 ) = 2 x + x + 6 (2) (§H Qu©n Sù -2001)
2.
x+3
4 x + 1 − 3x − 2 =
Gi¶i1: 1. (1)
5
2
§iÒu kiÖn: x ≥ Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp:
3
4 x + 1 + 3 x − 2 , Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
( )
x+3 2
x+3= 4 x + 1 + 3x − 2 ∧x≥
5 3
2
⇔ 4 x + 1 + 3x − 2 = 5 ∧x≥
3
2
⇔ 2 4 x + 1 3 x − 2 = 26 − 7 x ∧x≥
3
2 26
 ≤x≤ x = 2
⇔ 3 ⇔ ⇔x=2
7
 x = 342( L)
 x 2 − 344 x + 684 = 0


Gi¶i2:
3(2 + x − 2 ) = 2 x + x + 6
2. ( 2)
§iÒu kiÖn: x ≥ 2 ; Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi:
3 x − 2 − x + 6 = 2x − 6
3 x−2 + x+6
Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp
 11 − 3 5 
L m t−¬ng tù nh− phÇn 1) ta ®−îc tËp nghiÖm: T = 3; 
2
 
B i 4.2: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau
1 + x − 1 − x ≥ x (§H Ngo¹i th−¬ng HCM-2001).
Gi¶i1:
−1 ≤ x ≤ 1
§iÒu kiÖn:
1+ x + 1 − x th× bÊt ph−¬ng
Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp
tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi:
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 13 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
 − 1 ≤ x ≤ 0

− 1 ≤ x ≤ 1
− 1 ≤ x ≤ 1  2 < 1 + x + 1 − x

⇔ ⇔
 2x
 1+ x + 1− x ≥ x 0 < x ≤ 1
 x(2 − 1 + x − 1 − x ) ≥ 0

 2 > 1 + x + 1 − x


 − 1 ≤ x ≤ 0

x = 0
⇔ ⇔ 0 ≤ x ≤1
0 < x ≤ 1

∀x

B i l m thªm: (Nh©n liªn hîp)
1. x − x + 1 − x + 4 + x + 9 = 0;
x+3
2. 4 x + 1 − 3 x − 2 = ;
5
3. 3(2 + x − 2) = 2 x + x + 6;
4. 3 x 2 − 7 x + 3 − x 2 − 2 = 3 x 2 − 5 x − 1 − x 2 − 3 x + 4;
5. 21 + x + 21 − x = 21;
6. 21 + x − 21 − x = x;
2+ x 2− x
+ = 2 2;
7.
2 + 2+ x 2 − 2+ x
8. 2 x − 1 − x + 2 = x − 2

--------------------------------------------------------------------------
5.Ph−¬ng
5.Ph−¬ng ph¸p Ph©n chia miÒn x¸c ®Þnh
D¹ng : Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

A f ( x )g ( x ) + B f (x )h( x ) = f ( x )
Ph−¬ng ph¸p gi¶i :
XÐt ba tr−êng hîp :
Tr−êng hîp 1: f ( x ) = 0 (tm)
 g (x ) ≥ 0
Tr−êng hîp 2: f ( x ) > 0 Khi ®ã ph¶i cã h( x ) ≥ 0

Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh A g (x ) + B h( x ) = f ( x ) (Ph−¬ng tr×nh
c¬ b¶n)
 g (x ) ≤ 0
Tr−êng hîp 3: f ( x ) < 0 Khi ®ã ph¶i cã h( x ) ≤ 0


Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 14 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa

Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh A − g ( x ) + B − h(x ) = − f (x )
(Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n)
bµi tËp ¸p dông:
B i 5.1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau
2 x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2
1. (1)
(§H B¸ch khoa H Néi -2001).
Gi¶i1: 1. 2x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2x + 2 (1)
2 x 2 + 8 x + 6 ≥ 0
x ≥ 1
2
x − 1 ≥ 0 ⇔
§iÒu kiÖn :
 x = −1
2 x + 2 ≥ 0


NhËn thÊy x=-1 l mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ® cho
Víi x ≥ 1 : Ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi:
x ≥ 1 x ≥ 1
 
⇔ ⇔
 2( x + 1)( x + 3) + ( x − 1)( x + 1) = 2( x + 1)  2( x + 3) + x − 1 = 2 x + 1
 
x ≥ 1

⇔ ⇔ x =1
2 2 x 2 + 4 x − 6 = x − 1


VËy ph−¬ng tr×nh ® cho cã hai nghiÖm l x=1 v x=-1

B i 5.2: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau


x 2 − 4 x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1
1. (§H KÕ to¸n H Néi -2001)


x 2 − 3 x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 4 (§H Y HCM -2001)
2.
x 2 − 4 x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1
1.
Gi¶i1:

x = 1
 ( x − 1)( x − 3 ) ≥ 0 
⇔ x ≥ 3

§iÒu kiÖn: ( x − 1)( 2 x − 1) ≥ 0
  1
x ≤
 2
NhËn thÊy x=1 l mét nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh
Víi x ≥ 3 Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho v ®−îc
x ≥ 3
 x − 3 < x −1
HÖ n y v« nghiÖm v×
 x − 3 − 2x − 1 ≥ x − 1

Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 15 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
1
x≤
Víi
2 Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho v ®−îc

 1
1
x ≤
x ≤ 1
⇔ ⇔x≤
 2
2
2
 3 − x − 1 − 2x ≥ − 1 − x 2 (3 − x)(1 − x) ≥ −3
 

{1} ∪  − ∞; 1 
 
KÕt luËn: TËp nghiÖm
 2
x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 4
2.
Gi¶i2:
x ≥ 1
§iÒu kiÖn:  x ≤ 4



NhËn thÊy x=1 l mét nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh
Víi x ≥ 4 Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho v ®−îc bpt
x−2 + x−3 ≥ 2 x−4
BPT tho¶ m n víi x ≥ 4 v×: x−2 > x−3 > x−4
Víi x ≤ 1 Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho v ®−îc bpt
2− x + 3− x ≥ 2 4− x
2− x < 3− x < 4− x
BPT v« nghiÖm v×

KÕt luËn: TËp nghiÖm { } ∪ [4;+∞ )
1
B i tËp l m thªm:
B i 3: (PP ph©n chia MX§)
1. x 2 − 1 − x + 1 = x + 1;
6. x 2 − 1 = x + 1;
2. x + x( x − 3) = x(2 x − 1);
2

7. 2 x 2 + 8 x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2;
3. ( x − 1)(2 x + 7) + 3( x − 1)( x − 6) = ( x − 1)(7 x + 1);
8. 4 x − 1 + 4 x 2 − 1 = 1
4. x( x − 1) + x( x + 2) = 2 x 2

9.( x + 3) 10 − x 2 = x 2 − x − 12
5. 2 x + 5 x + 2 − x + x − 2) = 3 x + 6;
2 2




6.Ph−¬ng ph¸p Khai c¨n
D¹ng : Gi¶i ph−¬ng tr×nh:



Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 16 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa

( ) ( )
f (x ) + A + f ( x ) − A = B.g (x )
2 2


Ph−¬ng ph¸p gi¶i :
Khai c¨n v lÊy ®Êu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ta ®−îc ph−¬ng tr×nh
f (x ) + A + g (x ) − A = B.g (x )
Ph¸ dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng c¸ch ph©n chia miÒn x¸c ®Þnh ta ®−îc mét tuyÓn
hai hÖ
 f ( x ) ≥ A


2 f ( x ) = B.g (x )


Gi¶i hai hÖ n y ta sÏ t×m ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh
 f ( x ) ≤ A


2 A = B.g ( x )

® cho.
bµi tËp ¸p dông:
B i 6.1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau

1. x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = x 2 − 9 x + 2
x+5
2 x + 2 x +1 + 2 + x − 2 x +1 + 2 =
2
Gi¶i 1:

1. x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = x 2 − 9 x + 2
⇔ x−4 +2 + x − 4 − 2 = x 2 − 9 x + 24
NÕu x ≥ 8 pt trë th nh:
2 x − 4 = x 2 − 9 x + 24 ⇔ 2 x − 4 = x 2 − 9 x + 20 + 4
⇔ 2 x − 4 = (x − 4 )(x − 5) + 4
x − 4 (x − 5) 4
⇔1= +
2 x−4
2
V× x ≥ 8 Nªn
x − 4 ( x − 5) 4
+ ≥ 3 vËy ph−¬ng tr×nh n y v« nghiÖm
2 x−4
2
NÕu 4 ≤ x < 8 pt trë th nh:
4 = x 2 − 9 x + 24 ⇔ x = 4 ∨ x = 5
VËy pt ® cho cã nghiÖm l x=4 v x=5.
Gi¶i 2:
x+5
2 x + 2 x +1 + 2 + x − 2 x +1 + 2 =
2
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 17 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
x+5
⇔ x +1 +1 + x +1 −1 =
2
Gi¶i t−¬ng tù ta ®−îc nghiÖm l x=-1 v x=3.
B i 6.2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau

x + 2 x −1 − x − 2 x −1 = 2
Gi¶i:
Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi:
 x ≥ 2

( )
 x − 1 + 1 − x − 1 − 1 = 2
⇔ ⇔x≥2
⇔ x −1 +1 − x −1 −1 = 2
1 ≤ x < 2
 =2
 x − 1 + 1 x − 1 − 1

[
TËp nghiÖm: 2;+∞)


7.Ph−¬ng ph¸p §¹o hµm
D¹ng : B i to¸n t×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh f(x)=m cã nghiÖm,
B i to¸n chøng minh ph−¬ng tr×nh f(x)=A cã nghiÖm duy nhÊt,
B i to¸n biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh f(x)=m theo tham sè m.
Ph−¬ng ph¸p gi¶i :
* T×m tËp x¸c ®Þnh D cña h m sè y=f(x)
* TÝnh ®¹o h m f’(x) ,lËp b¶ng biÕn thiªn .
* Dùa v o b¶ng biÕn thiªn ®Ó biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh .
bµi tËp ¸p dông:
B i 7.1:T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
x x + x + 12 = m( 5 − x + 4 − x )
Gi¶i:
5 − x − 4 − x ta ®−îc:
Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp:
( x x + x + 12 )( 5 − x − 4 − x ) = m
XÐt VT = f ( x ) TX§ D = [0;4]
3x 1
g ′( x) = + >0
g ( x ) = x x + x + 12 ;
2 x + 12
2
⇒ g ( x) ®ång biÕn v lu«n d−¬ng trªn D.
5− x − 4− x
h( x) = 5 − x − 4 − x ; h ′( x) = >0
2 5− x 4− x
⇒ h( x ) ®ång biÕn v lu«n d−¬ng trªn D.
Suy ra h m sè f ( x ) = g ( x ) h ( x ) còng sÏ l h m sè ®ång biÕn trªn D.
( )
Tõ ®ã f (0) ≤ VT ≤ f (4) ⇔ 12 5 − 4 ≤ VT ≤ 4
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 18 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
VËy ®Ó ph−¬ng tr×nh ® cho cã nghiÖm th×:
( )
12 5 − 4 ≤ m ≤ 4

8.Ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ hai vÕ
Ph−¬ng ph¸p:
Sö dông bÊt ®¼ng thøc ®Ó chøng minh VT ≥ VP ∨ VT ≤ VP v t×m ®iÒu kiÖn ®Ó dÊu
b»ng x¶y ra
bµi tËp ¸p dông:

B i 8.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:

1. x 2 − 2 x + 5 + x − 1 = 2
2. 4 x − 1 + 4 x 2 − 1 = 1 (§HQG H Néi-2001)

1. x 2 − 2 x + 5 + x − 1 = 2 (1)
Gi¶i1:
x 2 − 2x + 5 ≥ 0
⇔ x ≥1
§iÒu kiÖn: 
x −1 ≥ 0

x 2 − 2 x + 5 = ( x − 1) + 4 ≥ 4
2
∀x
Ta cã:

⇒ VT = x 2 − 2 x + 5 + x − 1 ≥ 2 = VP
DÊu b»ng x¶y ra khi x=1.
VËy pt ® cho cã nghiÖm duy nhÊt x=1
2. 4 x − 1 + 4x 2 − 1 = 1
Gi¶i 2:
§iÒu kiÖn:
 1
x ≥ 4
 1
⇔ x≥

x ≥ 1 2

 2

VT = 4 x − 1 + 4 x 2 − 1 ≥ 1 = VP
VËy
4 x − 1 = 1 1
⇔ x=
2
DÊu b»ng x¶y ra khi
4 x − 1 = 0 2
VËy pt ® cho cã nghiÖm: x = 1 2
B i 8.2: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
x + x+2 x = x+ x + x+3 x
Gi¶i:
§iÒu kiÖn: x ≥ 0
NhËn thÊy x=0 l mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh

Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 19 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Víi x>0

x< x+ x 
⇒ x + x+2 x < x+ x + x+3 x
x+2 x < x+3 x 
DÊu b»ng kh«ng x¶y ra nªn pt v« nghiÖm víi x>0
KÕt luËn:nghiÖm x=0
B i 8.3: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0
3

Gi¶i:
NhËn thÊy x=-2 l mét nghiÖm
Víi x>-2 th× x+1>-1
3 x + 1 > −1


⇒ 3 x + 2 > 0 ⇒ VT > 0
3
 x +3 >1

DÊu b»ng kh«ng x¶y ra nªn pt v« nghiÖm víi x>-2
T−¬ng tù víi x0 víi mäi x thuéc kho¶ng (α;β);
bµi tËp ¸p dông:
--------------------------------------------------------------------------
B i 9.1:T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
(x − 5)(1 − x ) = 0
x2 − 6x + m + (C§ SP HCM-2001).
--------------------------------------------------------------------------
Gi¶i: §iÒu kiÖn: 1 ≤ x ≤ 5
(x − 5)(1 − x ) = t ⇒ t 2 = 4 − (x − 3)2 ≤ 4 ⇒ 0 ≤ t ≤ 2
§Æt

B i to¸n ® cho trë th nh:
T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh t2-t+5-m=0
 0 ≤ t1 ≤ 2 ≤ t 2

cã nghiÖm t ∈ [0;2] ,nghÜa l t1 ≤ 0 ≤ t 2 ≤ 2
 0 < t1 ≤ t 2 < 2

HÖ ®iÒu kiÖn trªn t−¬ng ®−¬ng víi:
(5 − m )(7 − m ) ≤ 0
 f (0). f (2 ) ≤ 0 
m ≥ 19

∆ ≥ 0

 4
 f (0 ) > 0
m < 5
 19
⇔ ⇔ ≤m≤7
 
 f (2) > 0
4
m < 7
 
s
0 < < 2 0 < 1 < 2


 2 
 2
--------------------------------------------------------------------------
B i 9.2:T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
x + 9 − x = − x 2 + 9 x + m (C§ Y HCM-1997).
--------------------------------------------------------------------------
Gi¶i: §iÒu kiÖn: 0 ≤ x ≤ 9
2

(t ≥ 0) ⇒ t = 1 −  x − 9  ≤ 81
x(9 − x ) = t 2
 
§Æt :
4 2 4
9
⇒0≤t ≤
2
B i to¸n ® cho trë th nh:
T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh t2-2t+m-9=0




Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 22 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
 9
0 ≤ t1 ≤ ≤ t 2
 2

 9 9

t ∈ 0;  ,nghÜa l t1 ≤ 0 ≤ t 2 ≤ 2
cã nghiÖm
 2 
0 < t1 ≤ t 2 < 9

 2
HÖ ®iÒu kiÖn trªn t−¬ng ®−¬ng
 9
 f (0 ). f  2  ≤ 0   9
 (m − 9 ) m + 4  < 0


 
∆ ′ ≥ 0 
'

  9
  f (0 ) > 0 − ≤m≤9
  − m + 10 ≥ 0 ⇔ 4

  9   
víi:   f   > 0  9 < m < 10
m − 9 > 0
  2   9
 m + >0
s

0 < 0

 x + y − xy = 7
Gi¶i:HÖ ® cho t−¬ng ®−¬ng víi: (x + y ) xy = 78





Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 23 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
u = x + y u > 0 u − v = 7 u = 13

⇔
§Æt  ; 
HÖ ® cho trë th nh
v > 0 uv = 78 v = 6
v = xy

Gi¶i ra ta ®−îc 2 nghiÖm (4;9); (9;4)
HÖ ®èi xøng lo¹i 2:
- L hÖ ph−¬ng tr×nh m khi thay ®æi vai trß cña x v y th× hai ph−¬ng tr×nh cña hÖ
®æi chç cho nhau.
C¸ch gi¶i: -Trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh ®Ó ®−îc mét ph−¬ng tr×nh cã d¹ng
tÝch.
- HÖ ® cho sÏ t−¬ng ®−¬ng víi tuyÓn hai hÖ ph−¬ng tr×nh.
- Gi¶i hai hÖ n y ®Ó t×m nghiÖm x v y.
bµi tËp ¸p dông:

 x +1 + y − 2 = m

B i 10.2: Cho hÖ: 
 y +1 + x − 2 = m

1,Gi¶i hÖ khi m=9;
2,T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm (§H SP HCM 2001).
Gi¶i:
§iÒu kiÖn: x ≥ 1; y ≥ 2; m ≥ 0
B×nh ph−¬ng hai vÕ ta ®−îc hÖ:
(x + 1)( y − 2) = m
x + y − 1 +


( y + 1)(x − 2) = m
x + y − 1 +

Trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc hÖ:

 ( x + 1)( y − 2 ) = ( y + 1)( x − 2 ) x = y
 
⇔

2 ( x + 1)( x − 2 ) = m + 1 − 2 x
 x + y − 1 + ( y + 1)( x − 2 ) = m 

1, Víi m=9 ta cã hÖ:
x ≤ 5
x = y 

⇔ x = y ⇔ x= y =3

 (x + 1)(x − 2) = 5 − x 

(x + 1)(x − 2) = (5 − x )
2


2,T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm :

m ≥ 0

x = y m +1
 
⇔ 2 ≤ x = y ≤

HÖ 2 ( x + 1)( x − 2 ) = m + 1 − 2 x 2


 m + 2m + 8
2

x =
 4m

Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 24 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
m +1
§iÒu kiÖn 2 ≤ x ≤ ⇔ 8m ≤ m 2 + 2 m + 9 ≤ 2 m 2 + 2 m
2
(m − 3)2 ≥ 0
m 2 − 6 m + 9 ≥ 0

⇔ 2 ⇔ ⇔m≥3
m − 9 ≥ 0 m≥3



KÕt luËn: m ≥ 3 .
11.Ph−¬ng ph¸p ®Æc biÖt
1.Ph−¬ng tr×nh chøa c¨n bËc hai vµ luü thõa bËc hai
B i to¸n tæng qu¸t:
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ax + b = r (ux + v ) + dx + e (I ) Víi a ≠ 0, u ≠ 0 , r ≠ 0 ;
2


Ph−¬ng ph¸p gi¶i:
§iÒu kiÖn dÓ ph−¬ng tr×nh cã nghÜa: ax + b ≥ 0
ax + b ⇔ (uy + v) 2 = ax + b(1)
§Æt Èn phô : uy + v =
Víi ®iÒu kiÖn uy + v ≥ 0
Lóc ®ã (I) trë th nh : r (uy + v ) = uy − dx + v − e
2

Gi¶ sö c¸c ®iÒu kiÖn sau ®−îc tho¶ m n: u=ar +d v v=br+e
Lóc ®ã ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh hÖ
r (uy + v )2 = arx + br


r (ux + v )2 = uy + (ar − u )x + br

Gi¶i hÖ trªn b»ng c¸ch trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh , ®−îc mét tuyÓn hai hÖ
ph−¬ng tr×nh trong ®ã cã mét nghiÖm x=y
bµi tËp ¸p dông:
--------------------------------------------------------------------------
B i 11.1:
(1 )
2 x + 15 = 32 x 2 + 32 x − 20
Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
(T¹p chÝ To¸n Häc Tuæi TrÎ – Sè 303)
--------------------------------------------------------------------------
Lêi gi¶i: §iÒu kiÖn 2 x + 15 ≥ 0
BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh (1) th nh: 2 x + 15 = 2(4 x + 2 ) − 28
2


(4 y + 2 ≥ 0 ) .
§Æt Èn phô : 4 y + 2 = 2 x + 15 ⇔ ( 4 y + 2) 2 = 2 x + 15
Ph−¬ng tr×nh (1) trë th nh : ( 4 x + 2) = 2 y + 15
2



( 4 x + 2) = 2 y + 15
2

VËy ta cã hÖ:  HÖ n y l hÖ ®èi xøng lo¹i hai
( 4 y + 2) 2 = 2 x + 15

Gi¶i hÖ trªn b»ng c¸ch trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh ,
− 9 − 221
1
Ta ®−îc 2 nghiÖm l x1 = ∧ x2 =
2 16
2.Ph−¬ng tr×nh chøa c¨n bËc ba vµ luü thõa bËc ba

Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 25 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
B i to¸n tæng qu¸t:
ax + b = r (ux + v ) + dx + e (II ) Víi a ≠ 0, u ≠ 0 ,
3
3
Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
r≠0;
Ph−¬ng ph¸p gi¶i:
ax + b ⇔ (uy + v ) 3 = ax + b(1)
§Æt Èn phô : uy + v =
3


Lóc ®ã (II) trë th nh : r (ux + v ) = uy − dx + v − e
3

Gi¶ sö c¸c ®iÒu kiÖn sau ®−îc tho¶ m n: u=ar +d v v=br+e
Lóc ®ã ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh hÖ
r (uy + v )3 = arx + br


r (ux + v )3 = uy + (ar − u )x + br


Gi¶i hÖ trªn b»ng c¸ch trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh , ®−îc mét tuyÓn hai
hÖ ph−¬ng tr×nh trong ®ã cã mét nghiÖm x=y.
bµi tËp ¸p dông:
B i 11.2:
(2 )
3 x − 5 = 8 x 3 − 36 x 2 + 53 x − 25
3
Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
(T¹p chÝ To¸n Häc Tuæi TrÎ – Sè 303)
--------------------------------------------------------------------------
Lêi gi¶i: PT (2 ) ⇔ 3 3 x − 5 = (2 x − 3) − x + 2 (2)
3


§Æt Èn phô : 2 y − 3 = 3 x − 5 ⇔ (2 y − 3) = 3 x − 5
3
3


Lóc ®ã (2) trë th nh (2 x − 3) = 2 y + x − 5
3


Lóc ®ã ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh hÖ
 (2 x − 3)3 = 2 y + x − 5


(2 y − 3)3 = 3x − 5

Gi¶i hÖ trªn b»ng c¸ch trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh ,
5+ 3 5− 3
Ta ®−îc 3 nghiÖm: x1 = 2; x2 = x3 =
;
4 4
B i tËp. Gi¶i c¸c PT sau:
1. x3 + 1 = 2 3 2 x − 1;

)
(
2. x 3 35 − x 3 x + 3 35 − x3 = 30;

3. x3 − 3 3 3 x + 2 = 2;
4. x 2 + 1 + x = 1;
5. x 2 + 5 + x = 5;
6. x = 5 − (5 − x 2 ) 2 ;
7. 3 + 3 + x = x;

Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 26 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
8. x = a − b( a − bx 2 ) 2 ;


3.Sö dông tÝnh chÊt vÐc t¬: ϖ
ϖϖ ϖ ϖ ρ b
a
a+b ≤ a + b
ϖϖ ϖϖ
av b
DÊu b»ng x¶y ra khi hai vÐc t¬ a +b
cïng h−íng , t−¬ng ®−¬ng víi:
ϖϖ
(k > 0) ;
a = kb
D¹ng :Gi¶i ph−¬ng tr×nh
(x ) + A 2 + g 2 (x ) + B 2 = h 2 (x ) + ( A + B )
2
2
f
 f ( x ) + g ( x ) = h( x )

Víi
A + B = C
ϖ
a = ( f ( x ); A) ϖ ϖ
⇒ a + b = ( f ( x ) + g ( x ); A + B ) = (h( x ); A + B ) ;
DÆt :  ϖ
b = ( g ( x ); B )

ϖϖ ϖ ϖ
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh a + b = a + b DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi v chØ khi
ϖ
ϖ ϖ
ϖ
(k > 0) ;
hai vÐc t¬ a v b cïng h−íng , t−¬ng ®−¬ng víi: a = kb
bµi tËp ¸p dông:

--------------------------------------------------------------------------
B i 11.3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
x 2 − 8 x + 816 + x 2 + 10 x + 267 = 2003
(TuyÓn tËp ®Ò thi Olimpic 30-4 -2003 )
--------------------------------------------------------------------------

Gi¶i:
( )
ϖ
a = 4 − x;20 2 ϖϖ
( )

⇒ a + b = 9;31 2
§Æt  ϖ
( )
b = 5 + x;11 2

VËy ta cã:
ϖ
ϖ
a = x 2 − 8 x + 816 b = x 2 + 10 x + 267
; ;
ϖϖ
a + b = 2003
ϖϖ ϖ ϖ
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh a + b = a + b
ϖϖ
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi v chØ khi hai vÐc t¬ a v b cïng h−íng , t−¬ng
ϖϖ − 56
(k > 0) ; Gi¶i ra ®−îc x = 31
®−¬ng víi: a = kb
----------------------------------------------------

Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 27 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
3.Sö dông phÐp ®Æt l−îng gi¸c:

D¹ng 1: B i to¸n cã chøa 1 − x 2 .
Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §iÒu kiÖn x ≤ 1 .Dùa v o ®iÒu kiÖn n y ta ®Æt x=sint
ΠΠ
víi t ∈ − ;  ; hoÆc x=cost víi t ∈ [0; Π ] ; v gi¶i ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c.
 2 2
 
x 2 −1 .
D¹ng 2: B i to¸n cã chøa
1
= sin t
Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §iÒu kiÖn x ≥ 1 .Dùa v o ®iÒu kiÖn n y ta ®Æt
x
1
ΠΠ
víi t ∈ − ;  ; hoÆc = cos t víi t ∈ [0; Π ] ; v gi¶i ph−¬ng tr×nh l−îng
 2 2 x
 
gi¸c.
bµi tËp ¸p dông:
--------------------------------------------------------------------------
B i 11.4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: :
1 − x 2 = 4 x 2 − 3x ;
(TuyÓn tËp ®Ò thi Olimpic 30-4 -2003 )
--------------------------------------------------------------------------
t ∈ [0; Π ] ; v gi¶i
Gi¶i: §iÒu kiÖn x ≤ 1 .Dùa v o ®iÒu kiÖn n y ta ®Æt x=cost víi
ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c:
(sin t > 0)
4 cos 3 t − 3 cos t = sin 2 t ⇔ cos 3t = sin t
Π Π
t = 8 + k 2
Π 
⇔ cos 3t = cos − t  ⇔ 
t = − Π + k Π
2 

 4 2

Do t ∈ [0; Π ] nªn ta chän:
 −2

 x =
t = 4 2

 
t = Π 2+ 2
x =

 
8 4
 
t = 5Π x = − 2 + 2

 8  4

--------------------------------------------------------------------------
B i 11.5: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: :
x 35
x+ >
12 ;
1 − x2
(TuyÓn tËp ®Ò thi Olimpic 30-4 -2003 )

Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 28 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
--------------------------------------------------------------------------

Gi¶i : §iÒu kiÖn x > 1 .V× vÕ tr¸i lu«n d−¬ng nªn yªu cÇu x > 0 , do ®ã x>1
Dùa v o ®iÒu kiÖn n y ta ®Æt :
 Π
1
= cos t víi t ∈  0;  ; v gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c
 2
x
1 1 35
⇔ 12(sin t + cos t ) > 35 sin t cos t
+ >
cos t sin t 12
⇔ 144(1 + 2 sin t cos t ) > 1225 sin 2 t cos 2 t
( y = sin t cos t )
⇔ 1225 y 2 − 2.144 y − 144 < 0

( )
12 12 144
⇔0< y< ⇔ 0 < sin t cos t < ⇔ 0 < cos 2 t 1 − cos 2 t

  
25 5 3
⇔ ⇔ ⇔
 16 < cos 2 t < 1  4 < cos t < 1 1 < x < 5
 25 5 

  4
---------------------------------------------------------------------------




Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 29 -- http://ebook.here.vn
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản