Phương trình – Bất phương trình mũ

Chia sẻ: Tạ Văn Quân Quân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

1
328
lượt xem
161
download

Phương trình – Bất phương trình mũ

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'phương trình – bất phương trình mũ', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương trình – Bất phương trình mũ

  1. Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH MŨ Công th c hàm s mũ và logarit 1. Phương trình và b t phương trình mũ cơ b n ð so sánh hai lũy th a thì chúng ta ph i chuy n hai lũy th a v cùng cơ s và so sánh hai s mũ c a chúng. Trong trư ng h p so sánh BðT (b t phương trình ) thì ta ph i chú ý ñ n s ñơn ñi u c a hàm s mũ ( t c là ph i so sánh cơ s v i 1). Ta xét các phương trình – b t phương trình cơ b n sau. 1. a f (x) = a g(x) ⇔ f (x) = g(x) . log a b 2. a f (x) = b = a ⇔ f (x) = log a b . =b ⇔ f (x) = g(x)log a b . f (x) g(x) 3. a 4. a f (x) > a g(x) (1) + N u a>1 thì (1) ⇔ f (x) > g(x) + N u 0 0 ð gi i phương trình – b t phương trình mũ thì ta ph i tìm cách chuy n v các phương trình – b t phương trình cơ b n trên. Ví d 1: Gi i các phương trình sau 2 + 3x − 4 1) 2x = 4x −1 2) (2 + 3)3x +1 = (2 − 3)5x + 8 x = 36.32 − x 2 x +1 . 42x −1 .83− x = 2 2.0,125 3 3) 8x+2 4) Gi i: 2 + 3x − 4 1) pt ⇔ 2x = 22x − 2 ⇔ x 2 + 3x − 4 = 2x − 2 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 1;x = −2 2) Ta có: (2 + 3)(2 − 3) = 1 ⇒ (2 − 3) = (2 + 3) −1 . 9 ⇒ pt ⇔ (2 + 3)3x +1 = (2 + 3) −5x − 8 ⇔ 3x + 1 = −5x − 8 ⇔ x = − . 8 3) ðK: x ≠ −2 3x x −4 4− x x−4 Pt ⇔ 2x+2 = 2 .3 2 ⇔ 2x+2 = 34 − x ⇔ log 3 2 = 4 − x x+2 x = 4 ⇔ (x − 4)(x + 2 + log 3 2) = 0 ⇔  .  x = −2 − log3 2 x +1 4x − 2 3 x +1 4x − 2 3 + + 9 − 3x −3 4) Pt ⇔ 2 2 .2 3 .29 − 3x = 2 2 .2−3 ⇔ 2 2 3 = 22 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 1
  2. Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 62 ⇔x= là nghi m c a phương trình . 7 Chú ý : N u trong bài toán có x thì ñi u ki n c a x là : x ≥ 1;x ∈ ℕ . Ví d 2: Gi i phương trình : 3 2 +x 2 −x 1) 2 x. 4 x .3x 0.125 = 4 3 2 2) 2 x − 4.2 x − 22x + 4 = 0 Gi i:  1 x ≥ 1) ðK :  3 . Vì các cơ s c a các lũy th a ñ u vi t ñư c dư i d ng lũy th a cơ s 2 3x ∈ ℕ  nên ta bi n ñ i hai v c a phương trình v lũy th a cơ s 2 và so sánh hai s mũ. x 1 1 x x −1 7 2. 1 3x Phương trình ⇔ 2 .2 x 3 .( ) =2 2 .2 3 ⇔ 2 2 .2 3 2 2x = 23 8 x x 1 + − 7 x = 3 x x 1 7 ⇔ 2 2 3 2x = 23 ⇔ + − = ⇔ 5x − 14x − 3 = 0 ⇔  2 1. 2 3 2x 3 x = −  5 K t h p v i ñi u ki n ta có x = 3 là nghi m c a phương trình . 2) Các lũy th a tham gia trong phương trình ñ u cơ s 2. Ta ñi tìm quan h gi a các s mũ ta th y (x2 + x) − (x2 − x) = 2x ⇒ x2 + x = (x2 − x) + 2x . 2 2 −x −x Ta có: PT ⇔ 2x .22x − 4.2x − 22x + 4 = 0 . 2 2 −x −x ⇔ 2x (22x − 4) − (22x − 4) = 0 ⇔ (22x − 4)(2x − 1) = 0  22x = 4 x = 1 ⇔ 2 ⇔ .  2x − x = 1  x = 0  Ví d 3: Gi i các b t phương trình sau: 1) 2 x > 43x −1 x +1 x+2 x+2 x +1 3) 3 +5 ≥3 +5 1 2 1 2x 2 + x +1 2) ( ) 2x +1 ≤ (0,125)3x + 2 1 4) (x + )2 ≤ (x 2 + )1− x 2 2 2 Gi i: 2 1) BPT ⇔ 2 x > 26x − 2 ⇔ x > 6x − 2 ⇔ x < . 5 x 5 3 3 2) BPT ⇔ 25.5 − 5.5 > 9.3 − 3.3 ⇔ 20.5 > 6.3 ⇔   > ⇔ x > log 5 . x x x x x x  3  10 3 10 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 2
  3. Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 2x 2 +1 3x + 2 9x + 6 1 1 1 3) BPT ⇔   ≤  =  ⇔ 2x 2 + 1 ≥ 9x + 6 ⇔ 2x 2 − 9x − 5 ≥ 0 2 8 2 1 ⇔ x ∈ (−∞; − ] ∪ [5;+∞) . 2 1 4) Vì x 2 + > 0 nên ta có các trư ng h p sau 2 1 1 * x2 + = 1 ⇔ x = ± . 2 2  2 1  1  x ≤ −1 x + > 1 | x |>  * 2 ⇔ 2 ⇔ 1 . x >  2 2x 2 + 2x ≥ 0  2x + x + 1 ≥ 1 − x   2  2 1  1  x +
  4. Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 1 Ví d 5: Gi i và bi n lu n phương trình : |x −1| = 2m − 1 . 2 Gi i: 1 * N u 2m − 1 ≤ 0 ⇔ m ≤ thì phương trình vô nghi m. 2 1 1 * N u m > ⇒ PT ⇔ 2|x −1| = (2) . 2 2m − 1 1 +) V i = 1 ⇔ m = 1 ⇒ (2) ⇔ 2|x −1| = 1 ⇒ (2) có 1 nghi m x = 1. 2m − 1 +) V i m ≠ 1 ⇒ (2) có 2 nghi m phân bi t x = 1 ± log 2 (2m − 1) . Bài t p: Bài 1: Gi i các phương trình sau: 1) 2x + 2x +1 + 2x + 2 = 3x + 3x +1 + 3x + 2 + x +5 = 27 2x +1 2 2) 32x x −1 x 2 − 5x + 6 x −3 x 2 − 5x + 4 3) 5 =2 4) 2 x .5 x = 10 5) (x + 3) 2 = (x 2 + 3) x + 4 x +5 x +17 6) 32 x −7 = 0,25.128 x − 3 ( x=10). 7) x x = xx (x=1;x=4) 2x − 2 3 9 x 9 8)   = . 9) 2x.x +1 27 x . 5x = 180 . 4 16 16 x 2 −3x + 2 x 2 + 6x +5 2x 2 +3x + 7 10) 4 +4 =4 + 1. Bài 3: Gi i các b t phương trình sau: x −3 x +1 x 2 − 4x x−4 2 −x 1) 3 ≤2 2) 10 + 3) x −1 < ( 10 − 3) x +3 3) (4x 2 + 2x + 1) x ≤1 2 2x 2 + x −1 −3 4) | x − 1| >1 5) (x 2 + x + 1) 2x < (x 2 − x + 1) x x −|x −1| 2.3x − 2 x + 2 2 x − 2x 1 6) ≤1 7) 3 ≥  3 −2 x x 3 2 2 2 8) 4x 2 + x.2 x +1 + 3.2 x > x 2 .2 x + 8x + 12 Bài 4: Tìm m ñ phương trình sau có nghi m duy nh t 3m − 1 = 2m + 1 . |x 2 − m + 2| 5 2 − 4x + 3|  1 |x  4 2 Bài 5: Tìm m ñ phương trình      = m − m + 1 có b n nghi m phân bi t. 5 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 4
  5. Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 2) Các phương pháp gi i PT – BPT mũ: 1. Phương pháp ñ t n ph Cũng như PT – BPT vô t và lư ng giác, ñ gi i PT – BPT mũ ta có th dùng phương pháp ñ t n ph . T c là ta thay th m t bi u th c ch a hàm s mũ b ng m t bi u th c ch a n ph mà ta ñ t và chuy n v nh ng phương trình – b t phương trình ma ta ñã bi t cách gi i. Phương pháp ñ t n ph r t phong phú và ña d ng, ñ có ñư c cách ñ t n ph phù h p thì ta ph i nh n xét ñư c quan h c u các cơ s có trong phương trình. Ví d 1: Gi i phương trình: 2 1) 2.16 x − 15.4 x − 8 = 0 2) 4cos 2x + 4cos x − 3 = 0 . Gi i: 1) Nh n xét cơ s ta th y 16 chính là bình phương c a 4, t c là ta có: 16 x = (42 ) x = (4 x ) 2 Nên ta ñ t: t = 4x , t > 0 ⇒ 16 x = (4 x ) 2 = t 2 . 3 Phương trình tr thành: 2t 2 − 15t − 8 = 0 ⇔ t = 8 ⇔ 22x = 23 ⇔ x = . 2 2) Vì s mũ c a hai lũy th a trong phương trình là hai hàm s lư ng giác và hai hàm s này bi u th qua nhau b i h th c cos 2x = 2cos 2 x − 1 nên ta chuy n s mũ c a hai lũy th a ñó v m t hàm lư ng giác. 2 2 Ta có phương trình ⇔ 42 cos x + 4.4cos x − 12 = 0 . cos 2 x ð t t=4 , t > 0 , ta có phương trình : t 2 + 4t − 12 = 0 ⇔ t = 2 2x π π ⇔ 22 cos = 2 ⇔ 2cos 2 x = 1 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = + k . 4 2 Nh n xét: Ta có d ng t ng quát c a bài toán trên là: F(a f (x) ) = 0 .V i d ng này ta ñ t t = a f (x) , t > 0 và chuy n v phương trình F(t) = 0 , gi i tìm nghi m dương t c a phương trình, t ñó ta tìm ñư c x. Ta thư ng g p d ng: m.a 2f (x) + n.a f (x) + p = 0 . V i BPT ta cũng làm tương t . Ví d 2: Gi i các b t phương trình: 1) 2 x − 21− x < 1 2 2 2) 9 x − 2x − x − 7.3 x − 2x − x −1 ≤ 2 Gi i: 2 1) BPT ⇔ 2 x − < 1. ð t t = 2 x , t ≥ 1, ta có: x 2 2 t − < 1 ⇔ t2 − t − 2 < 0 ⇔ 1 ≤ t < 2 ⇔ 2 x < 2 ⇔ 0 ≤ x < 1. t Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 5
  6. Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit x 2 − 2x − x x 2 − 2x − x 2) BPT ⇔ 3.9 − 7.3 ≤ 6. x 2 − 2x − x ð t t =3 , t > 0 , ta có b t phương trình : 3t 2 − 7t − 6 ≤ 0 ⇔ t ≤ 3 ⇔ x 2 − 2x − x ≤ 1 ⇔ x 2 − 2x ≤ x + 1  x 2 − 2x ≥ 0 x ≤ 0 V x ≥ 2   1 ⇔ x + 1 ≥ 0 ⇔  x ≥ −1 ⇔ − ≤ x ≤0 V x ≥ 2.  2  x ≥ −1/ 4 4  x − 2x ≤ (x + 1)2  Ví d 3: Gi i các b t phương trình : 1 4 x+ x +4 x 1) 2.3 +9 2 ≥9 x 2) 32x − 8.3x + x+4 − 9.9 x+4 >0. Gi i: 1) Trong b t phương trình 4x− x 4x− x Chia hai v BPT cho 9 x ta ñư c: 2.3 + 3.9 ≥ 1. 4x− x 1 4 ð t t =3 ⇔ 3 x − x ≥ 3−1 , t > 0 , ta có BPT: 3t 2 + 2t − 1 ≥ 0 ⇔ t ≥ 3 1+ 5 7+3 5 ⇔ 4 x − x ≥ −1 ⇔ x − 4 x − 1 ≤ 0 ⇔ 4 x ≤ ⇔0≤x≤ . 2 2 2) Chia hai v BPT cho 9 x + 4 ta ñư c: 32(x- x+4) − 8.3x − x + 4 − 9 > 0 ð t t = 3x − x+4 , t > 0 , ta có: t 2 − 8t − 9 > 0 ⇔ t > 9 ⇔ 3x − x + 4 > 32 x + 2 > 0   x > −2  x− x+4 >2⇔x+2> x+4 ⇔ ⇔ 2 ⇔ x > 0. (x + 2) > x + 4  x + 3x > 0 2   Ví d 4: Gi i các phương trình sau: 2 2 1 12 −x − 22 + x − x = 3 3x x 1) 2 x 2) 2 − 6.2 − 3(x −1) + x = 1. 2 2 Gi i: 2 −x 4 2 − x) 2 −x 1) PT ⇔ 2 x − = 3 ⇔ 22(x − 3.2 x − 4 = 0. x2 − x 2 2 −x  x = −1 ð t t = 2x , t > 0 . Ta có: t 2 − 3t − 4 = 0 ⇔ t = 4 ⇔ x 2 − x − 2 = 0 ⇔  . x = 2 8 12 8 2 2) ð t t = 2 x , t > 0 ta có: t 3 − 6t − 3 + = 1 ⇔ (t 3 − 3 ) − 6(t − ) − 1 = 0 . t t t t 2 8  2  4   2  2  ð t y = t − ⇒ t 3 − 3 =  t −   t 2 + 2 + 2  =  t −  (t − ) 2 + 6  = y(y 2 + 6) t t  t  t   t  t  Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 6
  7. Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 2 Nên ta có phương trình : y3 − 1 = 0 ⇔ y = 1 ⇔ t − = 1 ⇔ t 2 − t − 2 = 0 ⇔ t = 2 ⇔ x = 1. t Ví d 5: Gi i phương trình : 1) (5 + 24) x + (5 − 24) x = 10 2) (7 + 4 3) x − 3(2 − 3) x + 2 = 0 . Gi i: Nh n xét hai cơ s ta th y: (5 + 24)(5 − 24) = 1 ⇒ (5 + 24) x (5 − 24) x = 1. Do v y 1 n u ñ t t = (5 + 24) x , t > 0 ⇒ (5 − 24) x = và phương trình ñã cho tr thành t 1 t + = 10 ⇔ t 2 − 10t + 1 = 0 ⇔ t = 5 ± 24 . t T ñây ta tìm ñư c x = ±1 . Nh n xét: Bài toán trên có d ng t ng quát như sau: 1 m.a f (x) + n.b f (x) + p = 0 , trong ñó a.b = 1 . ð t t = a f (x) , t > 0 ⇒ b f (x) = . t 2) Ta có: 7 + 4 3 = (2 + 3)2 và (2 − 3)(2 + 3) = 1 nên ta ñ t t = (2 + 3) x , t > 0 ta có 3 phương trình : t 2 − + 2 = 0 ⇔ t 3 + 2t − 3 = 0 ⇔ (t − 1)(t 2 + t + 3) = 0 ⇔ t = 1 t ⇔ (2 + 3) = 1 ⇔ x = 0 . x Ví d 6: Gi i các phương trình sau: 2 2 2 1) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0 2) 9 − x + 2x +1 − 34.15 2x − x + 252x − x +1 =0 Gi i: 1) Nh n xét các cơ s ta có: 9 = 32 ;4 = 22 ;6 = 3.2 , do ñó n u ñ t a = 3x ,b = 2 x , ta có: 6a 2 − 13ab + 6b2 = 0 ñây là phương trình ñ ng c p b c hai ñ i v i a,b. Chia hai v PT x 2 a  3   ta ñư c: 6t 2 − 13t + 6 = 0 ⇔ t = 3 , t = 2 . cho b và ñ t t = =     b  2 2 3 T ñây ta có: x = ±1 . Nh n xét: Ta có d ng t ng quát c a phương trình trên là: m.a 2f (x) + n.(a.b) f (x) + p.b 2f (x) = 0 . Chia 2 v phương trình cho b 2f (x) và ñ t a t = ( ) f (x) , t > 0 . Ta có PT: mt 2 + nt + p = 0 . b 2 2 2 2) PT ⇔ 9.9 2x − x − 34.152x − x + 25.252x − x = 0 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 7
  8. Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 2 2 2(2x − x ) 2x − x 2x − x 2 3 3 3 ⇔ 9  − 34   + 25 = 0 ⇔ 9t − 34t + 25 = 0 (V i t =   , t > 0 ). 2 5 5 5 25 ⇔ t = 1; t = . 9 2x − x 2 3 * t =1⇔   = 1 ⇔ 2x − x 2 = 0 ⇔ x = 0;x = 2 . 5 2x − x 2 −2 25 3 3 * t= ⇔  =  ⇔ x 2 − 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ± 3 . 9 5 5 Ví d 7:Gi i phương trình: 1) 125x + 50x = 23x +1 2) 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0 . Gi i: 3x 2x 5 5 1) PT ⇔ 5 3x + 5 .2 = 2.2 2x x 3x ⇔  +  −2=0 2 2 x 5 ð t t =   , t > 0 ta ñư c: t 3 + t 2 − 2 = 0 ⇔ (t − 1)(t 2 + 2t + 2) = 0 ⇔ t = 1 ⇔ x = 0 . 2 V y phương trình có nghi m x = 0 . 3x 2x x x 2 2 2 2 2) PT ⇔ 3   + 4.  −   − 2 = 0 . ð t t =   , t > 0 ta ñư c: 3 3 3 3 2 3t 3 + 4t 2 − t − 2 = 0 ⇔ (t + 1)(3t 2 + t − 2) = 0 ⇔ t = ⇔ x = 1 . 3 Ví d 8: Tìm m ñ các phương trình sau có nghi m 7+3 5 x 7−3 5 x 1) 4 x + 5.2 x + m = 0 2) ( ) + m( ) = 8. 2 2 Gi i: 1) ð t t = 2x , t > 0. Phương trình tr thành: t 2 + 5t = − m (1). Suy ra phương trình ñã cho có nghi m ⇔ (1) có nghi m t > 0 . V i t > 0 ta có hàm f (t) = t 2 + 5t > 0 và liên t c nên phương trình ñã cho có nghi m ⇔ −m > 0 ⇔ m < 0 . x 7+3 5 m 2) ð t : t =   , t > 0 , ta có phương trình : t + = 8 ⇔ t − 8t = − m (2) 2  2  t Suy ra phương trình ñã cho có nghi m ⇔ (1) có nghi m t > 0 . Xét hàm s f (t) = t 2 − 8t v i t > 0 , ta có: f (t) = (t − 4) 2 − 16 ≥ −16 nên phương trình ñã cho có nghi m −m ≥ −16 ⇔ m ≤ 16 . Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 8
  9. Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Ví d 9: Tìm m ñ b t phương trình sau có nghi m: 1) 9 x + m.3x + 1 ≤ 0 2) 32x − m.3x + x + 4 − 9.9 x + 4 < 0 . Gi i: t2 + 1 1) ð t t = 3 , t > 0 . B t phương trình tr thành: t + mt + 1 ≤ 0 ⇔ x 2 ≤ − m (3). t B t phương trình ñã cho có nghi m ⇔ (3) có nghi m t > 0 ⇔ Min f (t) ≤ − m (*). t >0 t2 + 1 t2 − 1 Xét hàm s f (t) = v i t > 0 . Ta có f '(t) = 2 ⇒ f '(t) = 0 ⇔ t = 1 . T ñây suy ra t t Min f (t) = f (1) = 2 ⇒ (*) ⇔ −m ≥ 2 ⇔ m ≤ −2 . t >0 Chú ý : BPT : f (x) ≤ k ( f(x) ≥ k ) có nghi m trên D ⇔ Min f (x) ≤ k ( Max ≥ k) D D 2) Chia hai v c a BPT cho 3x + x+4 ta ñư c: 9 3x − x + 4 − 9.3 x + 4 − x − m < 0 ⇔ f (t) = t − < m (**), trong ñó t = 3x − x + 4 t Xét hàm s u(x) = x − x + 4 v i x ≥ −4 . Ta có 1 1 15 15 17 u '(x) = 1 − ⇒ u '(x) = 0 ⇔ x + 4 = ⇔ x = − ⇒ u(x) ≥ u(− ) = − 2 x+4 4 4 4 4 17 − Suy ra t ≥ 3 4 . 1 Xét hàm s f(t) trên D = [ ; +∞) , ta có f(t) là hàm ñ ng bi n nên 814 3 1 1 − 729 3 Min f (t) = f ( 4 ) = ⇒ BPT ñã cho có nghi m ⇔ (**) có nghi m t ∈ D D 81 3 814 3 1 − 729 3 ⇔ m > Min f(t) = . D 814 3 Chú ý : 1) bài toán trên chúng ta thư ng m c sai l m là khi ñ t t ta cho r ng ñi u ki n c a t là t > 0 ! D n ñ n ñi u này là do chúng ta không xác ñ nh t p giá tr c a u(x) và lúc ñó ta s cho l i gi i sai!. 2) BPT f (x) ≥ k (f (x) ≤ k) ∀x ∈ D ⇔ Min f (x) ≥ k (Max f (x) ≤ k) . D D Ví d 10: Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho b t phương trình sau ñư c nghi m ñúng v i m i x ≤ 0 : a.2 x +1 + (2a + 1)(3 − 5) x + (3 + 5) x < 0 . Gi i: BPT ⇔ 2a.2 x + (2a + 1)(3 − 5) x + (3 + 5) x < 0 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 9
  10. Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit x x 3+ 5  3− 5  ⇔  + (2a + 1)   + 2a < 0  2   2  x x 3+ 5  1 3− 5  ð t t =  ,0 < t ≤ 1 ∀x ≤ 0 ⇒ =   và b t phương trình tr thành:  2  t  2  1 t2 + 1 t + (2a + 1) + 2a < 0 ⇔ t 2 + 1 < −2a(t + 1) ⇔ < −2a (I ) t t +1 t2 + 1 Xét hàm s f (t) = v i t ∈ D = (0;1] . t +1 t 2 + 2t − 1 Ta có: f '(t) = ⇒ f '(t) = 0 ⇔ t = −1 + 2 ⇒ Max f (t) = f (1) = 1 . (t + 1) 2 (0;1] 1 BPT ñã cho nghi m ñúng ∀x ≤ 0 ⇔ (I ) ñúng ∀t ∈ (0;1] ⇔ −2a > Max f (t) ⇔ a < − . (0;1] 2 2 2 2 −x −x −x Ví d 11: Tìm m ñ bpt m.9 2x − (2m + 1)6 2x + m.4 2x ≤ 0 nghi m ñúng v i 1 m i x th a mãn | x |≥ . 2 Gi i: 2x 2 − x 2x 2 − x 3 Chia hai v b t phương trình cho 4 và ñ t t =   ta có b t phương trình : 2 m.t 2 − (2m + 1)t + m ≤ 0 ⇔ t ≥ m(t 2 − 2t + 1) (*). 1 1 1 Xét hàm s u(x) = 2x 2 − x v i | x |≥ , có u '(x) = 4x − 1 ⇒ u(x) ≥ u( ) = 0 ∀ | x |≥ 2 2 2 1 ⇒ t ≥ 1 ∀ | x |≥ . 2 * V i t=1 ta th y (*) ñúng. t * V i t > 1 ⇒ (*) ⇔ f (t) = 2 ≥ m (**) t − 2t + 1 −t 2 + 1 Ta có f '(t) = < 0 ∀t > 1 ⇒ f (t) ngh ch bi n trên (1; +∞) (t − 1) 4 Mà lim f (t) = 0 ⇒ f (t) > 0 ∀t > 1. Suy ra (**) ñúng ∀t > 1 ⇔ m ≤ 1. t →+∞ Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 10
  11. Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 2. Phương pháp ñánh giá. N i dung phương pháp này là d a vào tính ñơn ñi u c a hàm s mũ ñ tìm nghi m c a phương trình. ðư ng l i chính là ta d ñoán m t nghi m c a phương trình r i d a vào tính ñơn ñi u c a hàm s mũ ch ng minh phương trình có nghi m duy nh t. Ví d 1: Gi i các phương trình sau 1) 4 x + 3x = 5 x 2) 3x = 4 − x Gi i: 1) Ta khó tìm ñư c m i liên h gi a các cơ s xu t hi n trong bài toán. Tuy nhiên ta nh n th y phương trình có nghi m x=2. Ta tìm cách ch ng minh x=2 là nghi m duy nh t c a phương trình. ð làm ñi u này ta chia hai v phương trình cho 5x (Nh m t o ra hàm s x x 4 3 VT ngh ch bi n) ta ñư c:   +   = 1 (1). 5 5 G i f (x) là VT c a (1) ⇒ f (x) là hàm ngh ch bi n và f (2) = 1 . * x > 2 ⇒ f (x) < f (2) = 1 ⇒ (1) vô nghi m. * x < 2 ⇒ f (x) > f (2) = 1 ⇒ (1) vô nghi m. V y phương trình có nghi m duy nh t x = 2 . 2) Ta có: PT ⇔ 3x + x = 4 (2) Ta th y VT c a (2) là m t hàm ñ ng bi n và x=1 là m t nghi m c a phương trình và ñây cũng là nghi m duy nh t c a phương trình ñã cho. Ví d 2: Gi i các phương trình sau: 2 −4 1) 3.4 x + (3x − 10)2 x + 3 − x = 0 2) 4x + (x 2 − 4)2x − 2 = 1 . Gi i: Ví d 2: Gi i và bi n lu n phương trình: 2 2 5x + 2mx + 2 − 52x + 4mx +m + 2 = x 2 + 2mx + m Bài t p: Bài 1: Gi i các phương trình sau x −1 x +5 1) 34x + 8 − 4.32x + 5 + 27 = 0 2) 3.2 x +1 − 2 2 + 4 = 0 3) (5 − 21) x + 7(5 + 21) x = 2x + 3 4) ( 5 + 2 6 )sin x + ( 5 − 2 6 )sin x = 2 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 11
  12. Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 5) 4 x− x −5 − 12.2 x−1− x −5 + 8 = 0 2 2 6) Bài 2: Gi i các b t phương trình sau: 2x − x 2 x 2 − 2x 1 1) 9 − 2  ≤3  3 Bài t p Bài 1: Gi i các phương trình và b t phương trình sau 10) 4 x+1 + 2 x + 2 − 3 = 0 11) 12) 3.16 x + 2.81x = 5.36 x 7) 25x − 6.5x + 5 > 0 13) 22x +1 − 5.6 x − 32x +1 ≥ 0 8) 3x+1 + 18.3− x < 29 14) ( 2 + 3 ) x + ( 2 − 3 ) x = 14 15) ( 7 + 48 ) x + ( 7 − 48 ) x ≤ 14 16) Bài 2: Tìm m ñ các phương trình và B t phương trình sau có nghi m: 1) m.9x + (m − 1)3x + 2 + m − 1 = 0 2)4x − m.2x +1 + 3 − 2m ≤ 0 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 12
  13. Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1.Phương trình cơ b n  f (x ) = g(x )  * loga f (x ) = loga g (x ) ⇔   f (x ) ≥ 0 (g(x ) ≥ 0)  b * loga f (x ) = b ⇔ f (x ) = a * loga f (x ) ≥ loga g(x ) (*)  f (x ) > g(x )  + N u a>1 thì (*) ⇔  g(x ) > 0   f (x ) < g(x )  + N u 0 0  Chú ý: loga f (x ) có nghĩa ⇔  0 < a ≠ 1  Ví d 1: Gi i các phương trình sau 2 4) log 1 (x − 3x + 2) ≥ −1 1) log 3 (x − 1) + log 3 (x − 2) = log 3 6 2 2) lg(x 2 − 7x + 6) = lg(x − 1) + 1 5)log 5 (4x + 144) − 4 log5 2 < log 5 5(2x −2 + 1) 2 3) ( 1-x + 1 + x − 2)log2 (x − x ) = 0 6) 2x − 3 log 3
  14. Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 1) 1 + log2 (x − 1) = logx −1 4 x3  32 4) log2 x − log2 4 1 2   + 9 log2 2 < 4 log 1 x 5  8  2) log5x + log2 x = 1 5 2   x 2 x 5) log 4 (2x 2 + 3x + 2)1 > log2 (2x 2 3x + 2) 3) log2 x + 3 log2 x + 1 − 5 = 0 3 a )lg2 x − lg x 3 + 2 = 0 1 2 c) + =1 4 − lg x 2 + lg x d )3 logx 16 − 4 log16 x = 2 log2 x f )5lg x + x lg 5 = 50 g )logx 2 16 + log2x 64 = 3 lg x + 7 h) x 4 = 10lg x +1 i *)9log3 (1− 2x ) = 5x 2 − 5 1)log 1 (4x + 4) ≥ log 1 (22x +1 − 3.2x ) 2 2 1 1 8 2) log 2 (x + 3) + log 4 (x − 1) = log2 (4x ) 2 4 3) 16 log27x 3 x − 3 log 3x x 2 2 4) 4( log2 x ) − log 1 x + m = 0 x ∈ (0;1) 2 5)log 1 x + 2 log 1 (x − 1) + log2 6 ≤ 0 2 4 6)log 5 (5x − 4) = 1 − x 7)log 3 x > logx 3 1 3 log2 x log2 x 8) 2x 2 ≥ 22 9) log π (log2 (x + 2x 2 − x ) < 0 4 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 14
  15. Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 15

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản