Phương trình hữu tỷ

Chia sẻ: trungtran1

Tai liệu mang tính chất tham khảo, giúp các bạn đào sâu hơn về cách giải phương trình hữu tỷ

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Phương trình hữu tỷ

Ph−¬ng tr×nh h÷u tØ
1. C¸c kh¸i niÖm

Gi¶ sö f vµ g lµ c¸c hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp D vµ E ⊂ D.

Gi¶i ph−¬ng tr×nh f(x) = g(x) (1) trªn tËp hîp E nghÜa lµ t×m tËp hîp
M ⊂ E gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö α ∈ E sao cho f(α) = g(α) lµ ®óng. α ®−îc
gäi lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1).

Ph−¬ng tr×nh (1) ®−îc gäi lµ v« nghiÖm trªn E nÕu tËp nghiÖm M = ∅.
Trong tr−êng hîp tr¸i l¹i M ≠ ∅. Trong tr−êng hîp tr¸i l¹i M ≠ ∅, ta nãi
r»ng (1) cã nghiÖm.

NÕu c¶ f vµ g ®Òu lµ biÓu thøc ®¹i sè th× (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh
®¹i sè. NÕu tr¸i l¹i th× (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh siªu viÖt.

NÕu c¶ f vµ g ®Òu lµ ®a thøc th× (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®a thøc.
Tr¸i l¹i nÕu cã Ýt nhÊt mét vÕ lµ ph©n thøc h÷u tØ cßn l¹i lµ ®a thøc th× (1)
®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ph©n thøc.

Hai ph−¬ng tr×nh f1(x) = g1(x) víi tËp nghiÖm M1 ⊂ E vµ f2(x) =
g 2(x) víi tËp nghiÖm M2 ⊂ E, ®−îc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng trªn E nÕu M1 =
M2. NÕu M1 ⊂ M2 th× ph−¬ng tr×nh sau ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh hÖ qu¶
cña ph−¬ng tr×nh ®Çu vµ khi ®ã, ta viÕt

f1(x) = g1(x) ⇒ f2(x) = g2(x)

NÕu sau phÐp biÕn ®æi, miÒn x¸c ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh më réng ra
(hay thu hÑp l¹i) th× ph−¬ng tr×nh ®Çu cã thÓ xuÊt hiÖn nghiÖm ngo¹i lai
(hay mÊt nghiÖm).

2. Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ hai

2.1. Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt

Ph−¬ng tr×nh d¹ng ax + b = 0 (a ≠ 0), (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®a
thøc bËc nhÊt.

b
Ph−¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm duy nhÊt x1 = − .
a

VÝ dô 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh

1
(c − 1)x + 2 = c + 1. (2)

(2) ⇔ (c − 1)x = c − 1.

NÕu c ≠ 1 th× (2) cã nghiÖm duy nhÊt

c −1
x= = 1 , (M = {1}).
c −1

NÕu c = 1 th× (2) cã d¹ng 0x + 2 = 2.

Mäi x ∈ R = (−∞, +∞) ®Òu lµ nghiÖm cña (2) nghÜa lµ M = R.

2.2. Ph−¬ng tr×nh bËc 2

2
Ph−¬ng tr×nh ax + bx + c = 0, (3) trong ®ã a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ®−îc
gäi lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai.

2
Sè ∆ := b − 4ac ®−îc gäi lµ biÖt thøc cña ph−¬ng tr×nh (3).

§· biÕt, khi ∆ < 0, (3) v« nghiÖm.

NÕu ∆ = 0 ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm (thùc) trïng nhau (nghiÖm kÐp)
b
x1 = x2 = − .
2a

NÕu ∆ > 0 ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm (thùc) ph©n biÖt

−b − ∆ −b + ∆
x1 = , x2 =
2a 2a

2
Khi ®ã: ax + bx + c = a(x − x1)(x − x2)

VÝ dô 2. Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh

2
(m + 1)x + 2(m + 1)x + m − 2 = 0 (4)

Gi¶i. a) NÕu m ≠ −1 th× (4) lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai

2
Khi ®ã, ∆ = 4∆' = 4[(m + 1) − (m + 1)(m − 2)] = 12(m + 1),

2  b
ë ®©y, ∆' = b' − ac (b' =  b ' =  ,
 2


2
2
= (m + 1) − (m + 1)(m − 2) = 3(m + 1).

b
• NÕu m < −1, th× < 0 vµ do ®ã, (4) v« nghiÖm.
2

b
• NÕu m > −1, th× > 0 vµ nh− vËy (4) cã hai nghiÖm ph©n biÖt
2

−(m + 1) ∓ 3(m + 1)
x1, 2 =
m +1

b) NÕu m = −1, th× (4) cã d¹ng −3 = 0

vµ do ®ã, (4) v« nghiÖm.

2
VÝ dô 3. Cho ph−¬ng tr×nh f(x) := ax + bx + c = 0. (5)

Chøng minh r»ng, nÕu 5a + 4b + 6c = 0, (6)

th× (5) cã nghiÖm.

2 2
Gi¶i. a) NÕu a = 0 th× (5) cã d¹ng bx − b = 0, vµ do ®ã x = lµ
3 3
nghiÖm.

1 1
b) NÕu a ≠ 0, th× do af(2) + af   + af(0) = 0
4 2

nªn cã mét sè h¹ng ©m hoÆc b»ng 0. Tõ ®ã, (5) cã nghiÖm.

VÝ dô 4. Cho ph−¬ng tr×nh

a(x − b)(x − c) + b(x − a)(x − c) + c(x − a)(x − b) = 0. (7)

2 2 2
Chøng minh r»ng nÕu a + b + c ≠ 0 th× ph−¬ng tr×nh lu«n cã
nghiÖm.

2
Gi¶i. (7) ⇔ (a + b + c)x − 2(ab + ac + bc)x + 3abc = 0.

− NÕu a + b + c ≠ 0 th× (7) lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai. Khi ®ã ∆ = (ab −
2 2
ac) + (ab − bc) + (ac − bc) ≥ 0. Do ®ã (7) cã nghiÖm.

− NÕu a + b + c = 0 th× (7) cã d¹ng


3
2(ab + ac + bc)x = 3abc. (8)

2 2 2 2
Tõ (a + b + c) = 0 ⇒ a + b + c + 2(ab + ac + bc) = 0

2 2 2
⇒ 2(ab + ac + bc) = −(a + b + c ) ≠ 0.

Khi ®ã (8) cã nghiÖm.

C«ng thøc Viet vµ øng dông

2
§Þnh lÝ. (a) NÕu ph−¬ng tr×nh ax + bx + c = 0 cã hai nghiÖm x1, x2
th×

b c
x1 + x2 = − , x1x2 = . (9)
a a

(b) §¶o l¹i, hai sè α, β bÊt k× sÏ lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai

2
x − Sx + P = 0

víi S = α + β, P = α.β.

VÝ dô 5. Cho ph−¬ng tr×nh bËc hai

2
2x − 5x + 1 = 0.

Kh«ng gi¶i, h·y tÝnh S2 = x1 + x 2 , S 3 = x1 + x3 trong ®ã x1, x2 lµ
2
2
3
2
hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.

5 1
Gi¶i. Theo c«ng thøc Viet, x1 + x2 = vµ x1x2 = . Chó ý r»ng ∆ =
2 2
17 > 0. Tõ ®ã

2
2 5  1  21
S2 = (x1 + x2) − 2x1x2 =   − 2.   = ,
2 2 4

5  21 1  95
S3 = (x1 + x2) (x1 − x1x 2 + x 2 ) =
2
2  − = .
2 4 2 8

2
Chó ý. Gi¶ sö x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ax + bx + c = 0,
n n
a ≠ 0 vµ Sn = x1 + x 2 , n ≥ 2. B»ng quy n¹p cã thÓ chøng minh ®−îc c«ng
thøc sau aSn+1 + bSn + cSn−1 = 0, n ≥ 2.

4
VÝ dô 6. Cho hai ph−¬ng tr×nh bËc hai

2 2
x + b1x + c1 = 0 vµ x + b2x + c2 = 0

víi b2 + 4ci ≥ 0 i = 1, 2.
i

Chøng minh r»ng chóng cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung khi vµ chØ khi

2
(c2 − c1) = (b2 − b1)(b1c2 − b2c1). (10)

Gi¶i. §Æt fi(x) = x2 + bi x + ci (i = 1, 2).

NÕu x1, x2 lµ 2 nghiÖm cña f1(x) = 0 th× ®Ó hai ph−¬ng tr×nh ®· cho cã
Ýt nhÊt mét nghiÖm chung, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ f2 (x1 )f2 (x2 ) = 0.

hay (x1 + b2 x1 + c2 )(x 2 + b2 x2 + c2 ) = 0 . (11)
2
2

(11) ⇔
[f1 (x1 ) + (b2 − b1 )x1 + (c2 − c1 )][f1 (x2 ) + (b2 − b1 )x 2 + (c2 − c1 )] = 0

⇔ [(b2 − b1 )x1 + (c2 − c1 )][(b2 − b1 )x 2 + (c2 − c1 )] = 0

⇔ (b2 − b1 )2 x1x 2 + (c2 − c1 )(b2 − b1 )(x1 + x2 ) + (c2 − c1 )2 = 0

2
Tõ ®ã vµ c«ng thøc Viet x1 + x2 = −b1, x1x2 = c1, ta cã (b2 − b1) c1 −
2 2
(c2 − c1)(b2 − b1)c1 + (c2 − c1) = 0 hay (b2 − b1) = (b2 − b1)(c2b1 −
b2c1).

3. Mét sè ph−¬ng tr×nh bËc cao ®−îc ®−a vÒ bËc hai

Ph−¬ng tr×nh d¹ng

2
a(f(x)) + bf(x) + c = 0

®−îc ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh bËc hai b»ng c¸ch ®Æt t = f(x).

VÝ dô 4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh

8 4
x − 26x + 25 = 0. (11)

4
Gi¶i. §Æt t = x . (11) ®−îc ®−a vÒ d¹ng

5
2
t − 26t + 25 = 0.

Tõ ®ã ta cã t1 = 1, t2 = 25 vµ


 x4 = 1 x = 1
(11) ⇔  ⇔ x = 5

 x = 25

4

 x = −5.

VÝ dô 8. Gi¶i ph−¬ng tr×nh

a) (x − 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = 9, (12)

4 4
b) (x + 1) + (x + 3) = 16, (13)

c) 2x 4 + 3x3 − x 2 + 3x + 2 = 0, (14)

d) (x 2 + x − 2)(x 2 + x − 3) = 12, (15)

e) (12x − 1)(6x − 1)(4x − 1)(3x − 1) = 5, (16)

Gi¶i.

a) Ph−¬ng tr×nh (12) ⇔ (x − 1)(x + 5)(x + 1)(x + 3) = 9

2 2
⇔ (x + 4x − 5) + 8(x + 4x − 5) − 9 = 0

§Æt t = x2 + 4x − 5 ta cã ph−¬ng tr×nh

2  t = −9
t + 8t − 9 = 0 ⇔ 
t = 1

 x2 + 4x − 5 = −9
Tõ ®ã (12) ⇔ 
 x2 + 4x − 5 = 1


 x2 + 4x + 4 = 0  x = −2
⇔  ⇔ 
 x2 + 4x − 6 = 0
  x = −2 ∓ 10

b) §Æt t = x + 2, ta ®−îc

4 4 4 2
(t − 1) + (t + 1) = 16 ⇔ t + 6t − 7 = 0


6
 t2 = 1
⇔  ⇔t=±1
 t 2 = −7


Tõ ®ã ph−¬ng tr×nh (13) cã hai nghiÖm x1 = −1, x2 = −3.

c) x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (14). VËy

 1   1
(14) ⇔ 2  x2 + + 3 x +  − 1 = 0
2   x
 x 

2
 1  1
⇔ 2  x +  + 3  x +  − 5 = 0. (18)
 x  x

1
§Æt t = x + , |t| ≥ 2. Khi ®ã (18) trë thµnh
x

2
2t + 3t − 5 = 0,

5
Ph−¬ng tr×nh nµy cã hai nghiÖm t1 = 1 (lo¹i) vµ t2 = − . Tõ ®ã
2

1 5 2
x+ = − ⇔ 2x + 5x + 2 = 0.
x 2

1
Ph−¬ng tr×nh sau cïng cã hai nghiÖm x1 = −2, x2 = − .
2

2 2
d) §Æt t = x + x. (15) cã d¹ng t − 5t − 6 = 0.

Tõ ®ã t1 = 6, t2 = −1 vµ ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi tËp hîp

 x2 + x = 6

 x2 + x = −1.


Ph−¬ng tr×nh sau v« nghiÖm, ph−¬ng tr×nh ®Çu cho

x1 = 2, x2 = −3.

 1  1  1  1 5
e) (16) ⇔  x − x − x − x −  = (17)
 12   6  4  3  6.122


7
1  1   1  1  1  5
§Æt t =   x − 12  +  x − 6  +  x − 4  +  x − 3   = x − 24 .
4        

  1  
2
 3  
2
5
Thay vµo (17), ta nhËn ®−îc  t 2 −     t 2 −    = .
  24     24   6.122

2 49 7
Tõ ®ã t = vµ t = ± .
2 24
(24)

Chó ý 1. Trong vÝ dô 8.e), ph−¬ng tr×nh cã d¹ng

(x − a)(x − b)(x − c)(x − d) = m (18)

trong ®ã, a < b < c < d vµ b − a = d − c. Ta cã thÓ gi¶i (18) b»ng c¸ch
®Æt

(x − a) + (x − b) + (x − c) + (x − c) a+b+c+d
t= =x− .
4 4

Chó ý 2. T−¬ng tù, ®èi víi ph−¬ng tr×nh

2
(x − a)(x − b)(x − c)(x − d) = mx

ab
víi m ≠ 0 vµ ab = cd cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch ®Æt t = x + .
x

VÝ dô 9. Gi¶i ph−¬ng tr×nh

2
(x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x . (19)

2
(19) ⇔ (x + 2)(x + 12)(x + 3)(x + 8) = 4x

2 2
⇔ (x + 14x + 24)(x + 11x + 24) = 4x . (20)

V× x = 0 kh«ng lµ nghiÖm nª

 24  24 
(20) ⇔  x + + 14   x + + 11  = 4
 x  x 

24
§Æt t = x + , ta cã ph−¬ng tr×nh
x

2
t + 25t + 150 = 0.
8
Gi¶i ra ta ®−îc t1 = −10, t2 = −15

Thay vµo ta thu ®−îc tËp hîp ph−¬ng tr×nh

 x2 + 15x + 24 = 0

 2
 x + 10x + 24 = 0.

Gi¶i ra ta ®−îc

(−15 ∓ 129)
x1,2 = (−15 , x3 = −4, x4 = −6.
2

4. Ph−¬ng tr×nh bËc ba. §ã lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng

3 2
f(x) ≡ ax + bx + cx + d = 0, a ≠ 0. (1)

4.1. NÕu biÕt α lµ mét nghiÖm cña (1) th× (1) cã thÓ ®−a vÒ d¹ng

2
a(x − α)(x + px + q) = 0

x − α = 0
⇔  2
 x + px + q = 0


2
b»ng c¸ch chia f(x) cho a(x − α) ®Ó ®−îc tam thøc bËc hai x + px +
q.

VÝ dô 10. Gi¶i ph−¬ng tr×nh

3 2
f(x) ≡ x + 3x + x − 5 = 0 (1)

Gi¶i. T×m nghiÖm nguyªn cña (1) b»ng c¸ch xÐt c¸c −íc cña −5 ®ã lµ
±1 vµ ±5. Ta thÊy x = 1 lµ mét nghiÖm. Chia f(x) cho x − 1 ta dc th−¬ng
2
lµ x + 4x + 5. Tõ ®ã

x − 1 = 0
(1) ⇔  2 ⇔ x ∈ {1, 5}.
 x + 4x + 5 = 0


NghiÖm x = 1 lµ nghiÖm kÐp.

3 3
4.2. §èi víi ph−¬ng tr×nh d¹ng (1) víi ®iÒu kiÖn ac = db , d ≠ 0,
(cßn ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh håi qui bËc ba) th× cã thÓ gi¶i nh− sau.

9
d
a) NÕu c = 0 th× b = 0 vµ x = 3 − lµ nghiÖm béi ba.
b

b) NÕu c ≠ 0 th× b ≠ 0 vµ (1) cã d¹ng

2 2
(x − α)[ax + (aα + b)x + aα ] = 0

c
ë ®©y α = −
b

3
VÝ dô 11. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x + 3x − 6x − 8 = 0. (2)

3 3
Gi¶i. (2) lµ ph−¬ng tr×nh håi qui v× 1.(−6) = (−8).3 .

6
Do ®ã ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm α = = 2.
3

x = 2
x = 2 
Tõ ®ã (2) ⇔  2 ⇔  x = −1
 x + 5x + 4
  x = −4.


4.3. §èi víi ph−¬ng tr×nh d¹ng tæng qu¸t

3 2
ax + bx + cx + d = 0 (a ≠ 0),

3
cã thÓ ®−a vÒ d¹ng t + pt + q = 0 (3)

3 2
b»ng c¸ch ®−a vÒ d¹ng x + b'x + c'x + d' = 0,

b'
sau ®ã ®Æt x = t − ta sÏ nhËn ®−îc (3) víi
3

(b ')2 2(b ')3 b ' c '
p= − + c ', q = − + d '.
3 27 3

p
Cuèi cïng b»ng c¸ch ®Æt u = 2 t
3

3
ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh 4u − 3u = m (nÕu p > 0) (4)

3
4u + 3u = m (nÕu p < 0). (5)


10
• Ph−¬ng tr×nh (5) chØ cã mét nghiÖm

3 3
m + m2 + 1 + m − m2 + 1
α= (6)
2

• Ph−¬ng tr×nh (4) còng chØ cã mét nghiÖm

3 3
m + m2 − 1 + m − m2 − 1
α= (7)
2

khi |m| > 1.

Khi |m| ≤ 1, chän gãc ϕ sao cho cosϕ = m. Lóc ®ã dùa vµo c«ng thøc
ϕ ϕ ϕ ϕ + 2π ϕ + 4π
cosϕ = 4 cos3 − 3 cos , ta thÊy cos , cos vµ cos lµ
3 3 3 3 3
ba nghiÖm cña (4).

3
VÝ dô 12. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x − 3x − 1 = 0 (8)

p
§Æt x = 2 − y = 2 y.
3

3 1 π
Ta nhËn ®−îc 4y − 3y = = cos vµ theo trªn ta cã 3 nghiÖm y1 =
2 3
π 4π 7π
cos , y2 = − cos , y3 = cos . Tõ ®ã ph−¬ng tr×nh (8) cã 3 nghiÖm
9 9 9
x1 = 2y1, x2 = 2y2 vµ x3 = 2y3.

VÝ dô 13. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh

3 2
a) 8x + 24x + 6x + 1 = 0 (9)

3
b) x + 6x + 4 = 0 (10)

3
c) x + 3x − 6 = 0 (11)

Gîi ý. §−a (9), (10) vµ (11) lÇn l−ît vÒ d¹ng

2 3 3 2
4z − 3z = − ; 4z + 3x = − vµ
2 2

3
4z + 3z = 3 (t−¬ng øng).

11
4 3 2
5. Ph−¬ng tr×nh bËc 4 d¹ng ax + bx + cx + dx + e = 0

(a ≠ 0) (1)

5.1. Ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng

4 2
ax + bx + c = 0, (2)

2
cã thÓ ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh bËc hai b»ng c¸ch ®Æt t = x ≥ 0.

5.2. Ph−¬ng tr×nh håi quy bËc bèn lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng

ax 4 + bx3 + cx 2 + bαx + aα 2 = 0, (3)

trong ®ã a vµ α ≠ 0

2
Ph−¬ng tr×nh nµy cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch chia c¶ hai vÕ cho x mµ
kh«ng sî mÊt nghiÖm 0 v× x = 0 kh«ng lµ nghiÖm.

 α2   α
(3) ⇔ a  x 2 +  + b  x +  + c = 0. (4)
 2
x   x

α
cã thÓ gi¶i (4) b»ng c¸ch ®Æt t = x + .
x

VÝ dô 14. Gi¶i ph−¬ng tr×nh

6x 4 − 17x3 + 17x 2 − 17x + 6 = 0. (5)

1
§©y lµ ph−¬ng tr×nh d¹ng (3) víi α = 1. §Æt t = x + . Ph−¬ng tr×nh
x
(5) t−¬ng ®−¬ng víi

 6(t 2 − 2) − 17t + 17 = 0

 1 (6)
t = x +
 x

2 1 5
(6) ⇔ 6t − 17t + 5 = 0 ⇒ t1 = , t2 = .
3 2




12
 1 1
 x + x = 3 (v« nghiÖm)
(5) ⇔ 
x + 1 = 5

 x 2

1
⇔x=2∨x= .
2

VÝ dô 15. Gi¶i ph−¬ng tr×nh

4 3 2
x + 3x − 44x + 15x + 25 = 0 (7)

Gîi ý : §©y lµ ph−¬ng tr×nh d¹ng (3) víi α = 5.

25  5
(7) ⇔ x2 + + 3  x +  − 44 = 0
x2  x

2 2
 5  5
⇔  x +  + 3  x +  − 54 = 0
 x  x

 5
x + x = 6  x2 − 6x + 5 = 0
⇔  ⇔ 
 x + 5 = −9  x2 + 9x + 5 = 0


 x

−9 ∓ 61
⇒ x1 = 1, x2 = 5, x3,4 = .
2

5.3. Ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh ®Ó ph©n tÝch thµnh tÝch

VÝ dô 16. Gi¶i ph−¬ng tr×nh

4 3 2
f(x) ≡ x − 4x − 10x + 37x − 14 = 0. (8)

2 2
ViÕt f(x) = (x + bx + c)(x + px + q).

Sau khi khai triÓn vÕ ph¶i, so s¸nh c¸c hÖ sè ta thu ®−îc hÖ

b + p = 4
 c + q + pb = −10


 pc + qb = 37
 qc = −14.


13
Gi¶i hÖ ta ®−îc p = −5, q = 2, b = 1, c = −7.

 x2 − 5x + 2 = 0
Lóc ®ã (8) ⇔ 
 x2 + x − 7 = 0,


 5 ∓ 17 −1 ∓ 29 
 
⇔x∈  , .

 2 2 


5.4. Ph−¬ng ph¸p tham sè hãa

VÝ dô 17. Gi¶i ph−¬ng tr×nh

4
x − 2 2x 2 − x + 2 − 2 = 0 (9)

Gi¶i. §Æt m = 2 . Khi ®ã (9) cã d¹ng

m 2 − (2x 2 + 1)m − x + x 4 = 0

Ph−¬ng tr×nh Èn m cho ta hai nghiÖm

2 2
m1 = x − x, m2 = x + x + 1. Khi ®ã :

 x2 − x = 2
Ph−¬ng tr×nh (9) ⇔ 
 x2 + x + 1 =
 2,

 1 ∓ 1 + 4 2 −1 ∓
 4 2 −3

⇔x∈  , .
 2 2 
 




14
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản