Phương trình hữu tỷ

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

0
205
lượt xem
35
download

Phương trình hữu tỷ

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tai liệu mang tính chất tham khảo, giúp các bạn đào sâu hơn về cách giải phương trình hữu tỷ

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương trình hữu tỷ

  1. Ph−¬ng tr×nh h÷u tØ 1. C¸c kh¸i niÖm Gi¶ sö f vµ g lµ c¸c hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp D vµ E ⊂ D. Gi¶i ph−¬ng tr×nh f(x) = g(x) (1) trªn tËp hîp E nghÜa lµ t×m tËp hîp M ⊂ E gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö α ∈ E sao cho f(α) = g(α) lµ ®óng. α ®−îc gäi lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1). Ph−¬ng tr×nh (1) ®−îc gäi lµ v« nghiÖm trªn E nÕu tËp nghiÖm M = ∅. Trong tr−êng hîp tr¸i l¹i M ≠ ∅. Trong tr−êng hîp tr¸i l¹i M ≠ ∅, ta nãi r»ng (1) cã nghiÖm. NÕu c¶ f vµ g ®Òu lµ biÓu thøc ®¹i sè th× (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè. NÕu tr¸i l¹i th× (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh siªu viÖt. NÕu c¶ f vµ g ®Òu lµ ®a thøc th× (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®a thøc. Tr¸i l¹i nÕu cã Ýt nhÊt mét vÕ lµ ph©n thøc h÷u tØ cßn l¹i lµ ®a thøc th× (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ph©n thøc. Hai ph−¬ng tr×nh f1(x) = g1(x) víi tËp nghiÖm M1 ⊂ E vµ f2(x) = g 2(x) víi tËp nghiÖm M2 ⊂ E, ®−îc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng trªn E nÕu M1 = M2. NÕu M1 ⊂ M2 th× ph−¬ng tr×nh sau ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh hÖ qu¶ cña ph−¬ng tr×nh ®Çu vµ khi ®ã, ta viÕt f1(x) = g1(x) ⇒ f2(x) = g2(x) NÕu sau phÐp biÕn ®æi, miÒn x¸c ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh më réng ra (hay thu hÑp l¹i) th× ph−¬ng tr×nh ®Çu cã thÓ xuÊt hiÖn nghiÖm ngo¹i lai (hay mÊt nghiÖm). 2. Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ hai 2.1. Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt Ph−¬ng tr×nh d¹ng ax + b = 0 (a ≠ 0), (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®a thøc bËc nhÊt. b Ph−¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm duy nhÊt x1 = − . a VÝ dô 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 1
  2. (c − 1)x + 2 = c + 1. (2) (2) ⇔ (c − 1)x = c − 1. NÕu c ≠ 1 th× (2) cã nghiÖm duy nhÊt c −1 x= = 1 , (M = {1}). c −1 NÕu c = 1 th× (2) cã d¹ng 0x + 2 = 2. Mäi x ∈ R = (−∞, +∞) ®Òu lµ nghiÖm cña (2) nghÜa lµ M = R. 2.2. Ph−¬ng tr×nh bËc 2 2 Ph−¬ng tr×nh ax + bx + c = 0, (3) trong ®ã a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai. 2 Sè ∆ := b − 4ac ®−îc gäi lµ biÖt thøc cña ph−¬ng tr×nh (3). §· biÕt, khi ∆ < 0, (3) v« nghiÖm. NÕu ∆ = 0 ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm (thùc) trïng nhau (nghiÖm kÐp) b x1 = x2 = − . 2a NÕu ∆ > 0 ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm (thùc) ph©n biÖt −b − ∆ −b + ∆ x1 = , x2 = 2a 2a 2 Khi ®ã: ax + bx + c = a(x − x1)(x − x2) VÝ dô 2. Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh 2 (m + 1)x + 2(m + 1)x + m − 2 = 0 (4) Gi¶i. a) NÕu m ≠ −1 th× (4) lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai 2 Khi ®ã, ∆ = 4∆' = 4[(m + 1) − (m + 1)(m − 2)] = 12(m + 1), 2  b ë ®©y, ∆' = b' − ac (b' =  b ' =  ,  2 2
  3. 2 = (m + 1) − (m + 1)(m − 2) = 3(m + 1). b • NÕu m < −1, th× < 0 vµ do ®ã, (4) v« nghiÖm. 2 b • NÕu m > −1, th× > 0 vµ nh− vËy (4) cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2 −(m + 1) ∓ 3(m + 1) x1, 2 = m +1 b) NÕu m = −1, th× (4) cã d¹ng −3 = 0 vµ do ®ã, (4) v« nghiÖm. 2 VÝ dô 3. Cho ph−¬ng tr×nh f(x) := ax + bx + c = 0. (5) Chøng minh r»ng, nÕu 5a + 4b + 6c = 0, (6) th× (5) cã nghiÖm. 2 2 Gi¶i. a) NÕu a = 0 th× (5) cã d¹ng bx − b = 0, vµ do ®ã x = lµ 3 3 nghiÖm. 1 1 b) NÕu a ≠ 0, th× do af(2) + af   + af(0) = 0 4 2 nªn cã mét sè h¹ng ©m hoÆc b»ng 0. Tõ ®ã, (5) cã nghiÖm. VÝ dô 4. Cho ph−¬ng tr×nh a(x − b)(x − c) + b(x − a)(x − c) + c(x − a)(x − b) = 0. (7) 2 2 2 Chøng minh r»ng nÕu a + b + c ≠ 0 th× ph−¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm. 2 Gi¶i. (7) ⇔ (a + b + c)x − 2(ab + ac + bc)x + 3abc = 0. − NÕu a + b + c ≠ 0 th× (7) lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai. Khi ®ã ∆ = (ab − 2 2 ac) + (ab − bc) + (ac − bc) ≥ 0. Do ®ã (7) cã nghiÖm. − NÕu a + b + c = 0 th× (7) cã d¹ng 3
  4. 2(ab + ac + bc)x = 3abc. (8) 2 2 2 2 Tõ (a + b + c) = 0 ⇒ a + b + c + 2(ab + ac + bc) = 0 2 2 2 ⇒ 2(ab + ac + bc) = −(a + b + c ) ≠ 0. Khi ®ã (8) cã nghiÖm. C«ng thøc Viet vµ øng dông 2 §Þnh lÝ. (a) NÕu ph−¬ng tr×nh ax + bx + c = 0 cã hai nghiÖm x1, x2 th× b c x1 + x2 = − , x1x2 = . (9) a a (b) §¶o l¹i, hai sè α, β bÊt k× sÏ lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai 2 x − Sx + P = 0 víi S = α + β, P = α.β. VÝ dô 5. Cho ph−¬ng tr×nh bËc hai 2 2x − 5x + 1 = 0. Kh«ng gi¶i, h·y tÝnh S2 = x1 + x 2 , S 3 = x1 + x3 trong ®ã x1, x2 lµ 2 2 3 2 hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh. 5 1 Gi¶i. Theo c«ng thøc Viet, x1 + x2 = vµ x1x2 = . Chó ý r»ng ∆ = 2 2 17 > 0. Tõ ®ã 2 2 5  1  21 S2 = (x1 + x2) − 2x1x2 =   − 2.   = , 2 2 4 5  21 1  95 S3 = (x1 + x2) (x1 − x1x 2 + x 2 ) = 2 2  − = . 2 4 2 8 2 Chó ý. Gi¶ sö x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ax + bx + c = 0, n n a ≠ 0 vµ Sn = x1 + x 2 , n ≥ 2. B»ng quy n¹p cã thÓ chøng minh ®−îc c«ng thøc sau aSn+1 + bSn + cSn−1 = 0, n ≥ 2. 4
  5. VÝ dô 6. Cho hai ph−¬ng tr×nh bËc hai 2 2 x + b1x + c1 = 0 vµ x + b2x + c2 = 0 víi b2 + 4ci ≥ 0 i = 1, 2. i Chøng minh r»ng chóng cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung khi vµ chØ khi 2 (c2 − c1) = (b2 − b1)(b1c2 − b2c1). (10) Gi¶i. §Æt fi(x) = x2 + bi x + ci (i = 1, 2). NÕu x1, x2 lµ 2 nghiÖm cña f1(x) = 0 th× ®Ó hai ph−¬ng tr×nh ®· cho cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ f2 (x1 )f2 (x2 ) = 0. hay (x1 + b2 x1 + c2 )(x 2 + b2 x2 + c2 ) = 0 . (11) 2 2 (11) ⇔ [f1 (x1 ) + (b2 − b1 )x1 + (c2 − c1 )][f1 (x2 ) + (b2 − b1 )x 2 + (c2 − c1 )] = 0 ⇔ [(b2 − b1 )x1 + (c2 − c1 )][(b2 − b1 )x 2 + (c2 − c1 )] = 0 ⇔ (b2 − b1 )2 x1x 2 + (c2 − c1 )(b2 − b1 )(x1 + x2 ) + (c2 − c1 )2 = 0 2 Tõ ®ã vµ c«ng thøc Viet x1 + x2 = −b1, x1x2 = c1, ta cã (b2 − b1) c1 − 2 2 (c2 − c1)(b2 − b1)c1 + (c2 − c1) = 0 hay (b2 − b1) = (b2 − b1)(c2b1 − b2c1). 3. Mét sè ph−¬ng tr×nh bËc cao ®−îc ®−a vÒ bËc hai Ph−¬ng tr×nh d¹ng 2 a(f(x)) + bf(x) + c = 0 ®−îc ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh bËc hai b»ng c¸ch ®Æt t = f(x). VÝ dô 4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 8 4 x − 26x + 25 = 0. (11) 4 Gi¶i. §Æt t = x . (11) ®−îc ®−a vÒ d¹ng 5
  6. 2 t − 26t + 25 = 0. Tõ ®ã ta cã t1 = 1, t2 = 25 vµ  x4 = 1 x = 1 (11) ⇔  ⇔ x = 5   x = 25  4   x = −5. VÝ dô 8. Gi¶i ph−¬ng tr×nh a) (x − 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = 9, (12) 4 4 b) (x + 1) + (x + 3) = 16, (13) c) 2x 4 + 3x3 − x 2 + 3x + 2 = 0, (14) d) (x 2 + x − 2)(x 2 + x − 3) = 12, (15) e) (12x − 1)(6x − 1)(4x − 1)(3x − 1) = 5, (16) Gi¶i. a) Ph−¬ng tr×nh (12) ⇔ (x − 1)(x + 5)(x + 1)(x + 3) = 9 2 2 ⇔ (x + 4x − 5) + 8(x + 4x − 5) − 9 = 0 §Æt t = x2 + 4x − 5 ta cã ph−¬ng tr×nh 2  t = −9 t + 8t − 9 = 0 ⇔  t = 1  x2 + 4x − 5 = −9 Tõ ®ã (12) ⇔   x2 + 4x − 5 = 1   x2 + 4x + 4 = 0  x = −2 ⇔  ⇔   x2 + 4x − 6 = 0   x = −2 ∓ 10 b) §Æt t = x + 2, ta ®−îc 4 4 4 2 (t − 1) + (t + 1) = 16 ⇔ t + 6t − 7 = 0 6
  7.  t2 = 1 ⇔  ⇔t=±1  t 2 = −7  Tõ ®ã ph−¬ng tr×nh (13) cã hai nghiÖm x1 = −1, x2 = −3. c) x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (14). VËy  1   1 (14) ⇔ 2  x2 + + 3 x +  − 1 = 0 2   x  x  2  1  1 ⇔ 2  x +  + 3  x +  − 5 = 0. (18)  x  x 1 §Æt t = x + , |t| ≥ 2. Khi ®ã (18) trë thµnh x 2 2t + 3t − 5 = 0, 5 Ph−¬ng tr×nh nµy cã hai nghiÖm t1 = 1 (lo¹i) vµ t2 = − . Tõ ®ã 2 1 5 2 x+ = − ⇔ 2x + 5x + 2 = 0. x 2 1 Ph−¬ng tr×nh sau cïng cã hai nghiÖm x1 = −2, x2 = − . 2 2 2 d) §Æt t = x + x. (15) cã d¹ng t − 5t − 6 = 0. Tõ ®ã t1 = 6, t2 = −1 vµ ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi tËp hîp  x2 + x = 6   x2 + x = −1.  Ph−¬ng tr×nh sau v« nghiÖm, ph−¬ng tr×nh ®Çu cho x1 = 2, x2 = −3.  1  1  1  1 5 e) (16) ⇔  x − x − x − x −  = (17)  12   6  4  3  6.122 7
  8. 1  1   1  1  1  5 §Æt t =   x − 12  +  x − 6  +  x − 4  +  x − 3   = x − 24 . 4           1   2  3   2 5 Thay vµo (17), ta nhËn ®−îc  t 2 −     t 2 −    = .   24     24   6.122 2 49 7 Tõ ®ã t = vµ t = ± . 2 24 (24) Chó ý 1. Trong vÝ dô 8.e), ph−¬ng tr×nh cã d¹ng (x − a)(x − b)(x − c)(x − d) = m (18) trong ®ã, a < b < c < d vµ b − a = d − c. Ta cã thÓ gi¶i (18) b»ng c¸ch ®Æt (x − a) + (x − b) + (x − c) + (x − c) a+b+c+d t= =x− . 4 4 Chó ý 2. T−¬ng tù, ®èi víi ph−¬ng tr×nh 2 (x − a)(x − b)(x − c)(x − d) = mx ab víi m ≠ 0 vµ ab = cd cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch ®Æt t = x + . x VÝ dô 9. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x . (19) 2 (19) ⇔ (x + 2)(x + 12)(x + 3)(x + 8) = 4x 2 2 ⇔ (x + 14x + 24)(x + 11x + 24) = 4x . (20) V× x = 0 kh«ng lµ nghiÖm nª  24  24  (20) ⇔  x + + 14   x + + 11  = 4  x  x  24 §Æt t = x + , ta cã ph−¬ng tr×nh x 2 t + 25t + 150 = 0. 8
  9. Gi¶i ra ta ®−îc t1 = −10, t2 = −15 Thay vµo ta thu ®−îc tËp hîp ph−¬ng tr×nh  x2 + 15x + 24 = 0   2  x + 10x + 24 = 0. Gi¶i ra ta ®−îc (−15 ∓ 129) x1,2 = (−15 , x3 = −4, x4 = −6. 2 4. Ph−¬ng tr×nh bËc ba. §ã lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 3 2 f(x) ≡ ax + bx + cx + d = 0, a ≠ 0. (1) 4.1. NÕu biÕt α lµ mét nghiÖm cña (1) th× (1) cã thÓ ®−a vÒ d¹ng 2 a(x − α)(x + px + q) = 0 x − α = 0 ⇔  2  x + px + q = 0  2 b»ng c¸ch chia f(x) cho a(x − α) ®Ó ®−îc tam thøc bËc hai x + px + q. VÝ dô 10. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 3 2 f(x) ≡ x + 3x + x − 5 = 0 (1) Gi¶i. T×m nghiÖm nguyªn cña (1) b»ng c¸ch xÐt c¸c −íc cña −5 ®ã lµ ±1 vµ ±5. Ta thÊy x = 1 lµ mét nghiÖm. Chia f(x) cho x − 1 ta dc th−¬ng 2 lµ x + 4x + 5. Tõ ®ã x − 1 = 0 (1) ⇔  2 ⇔ x ∈ {1, 5}.  x + 4x + 5 = 0  NghiÖm x = 1 lµ nghiÖm kÐp. 3 3 4.2. §èi víi ph−¬ng tr×nh d¹ng (1) víi ®iÒu kiÖn ac = db , d ≠ 0, (cßn ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh håi qui bËc ba) th× cã thÓ gi¶i nh− sau. 9
  10. d a) NÕu c = 0 th× b = 0 vµ x = 3 − lµ nghiÖm béi ba. b b) NÕu c ≠ 0 th× b ≠ 0 vµ (1) cã d¹ng 2 2 (x − α)[ax + (aα + b)x + aα ] = 0 c ë ®©y α = − b 3 VÝ dô 11. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x + 3x − 6x − 8 = 0. (2) 3 3 Gi¶i. (2) lµ ph−¬ng tr×nh håi qui v× 1.(−6) = (−8).3 . 6 Do ®ã ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm α = = 2. 3 x = 2 x = 2  Tõ ®ã (2) ⇔  2 ⇔  x = −1  x + 5x + 4   x = −4.  4.3. §èi víi ph−¬ng tr×nh d¹ng tæng qu¸t 3 2 ax + bx + cx + d = 0 (a ≠ 0), 3 cã thÓ ®−a vÒ d¹ng t + pt + q = 0 (3) 3 2 b»ng c¸ch ®−a vÒ d¹ng x + b'x + c'x + d' = 0, b' sau ®ã ®Æt x = t − ta sÏ nhËn ®−îc (3) víi 3 (b ')2 2(b ')3 b ' c ' p= − + c ', q = − + d '. 3 27 3 p Cuèi cïng b»ng c¸ch ®Æt u = 2 t 3 3 ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh 4u − 3u = m (nÕu p > 0) (4) 3 4u + 3u = m (nÕu p < 0). (5) 10
  11. • Ph−¬ng tr×nh (5) chØ cã mét nghiÖm 3 3 m + m2 + 1 + m − m2 + 1 α= (6) 2 • Ph−¬ng tr×nh (4) còng chØ cã mét nghiÖm 3 3 m + m2 − 1 + m − m2 − 1 α= (7) 2 khi |m| > 1. Khi |m| ≤ 1, chän gãc ϕ sao cho cosϕ = m. Lóc ®ã dùa vµo c«ng thøc ϕ ϕ ϕ ϕ + 2π ϕ + 4π cosϕ = 4 cos3 − 3 cos , ta thÊy cos , cos vµ cos lµ 3 3 3 3 3 ba nghiÖm cña (4). 3 VÝ dô 12. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x − 3x − 1 = 0 (8) p §Æt x = 2 − y = 2 y. 3 3 1 π Ta nhËn ®−îc 4y − 3y = = cos vµ theo trªn ta cã 3 nghiÖm y1 = 2 3 π 4π 7π cos , y2 = − cos , y3 = cos . Tõ ®ã ph−¬ng tr×nh (8) cã 3 nghiÖm 9 9 9 x1 = 2y1, x2 = 2y2 vµ x3 = 2y3. VÝ dô 13. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh 3 2 a) 8x + 24x + 6x + 1 = 0 (9) 3 b) x + 6x + 4 = 0 (10) 3 c) x + 3x − 6 = 0 (11) Gîi ý. §−a (9), (10) vµ (11) lÇn l−ît vÒ d¹ng 2 3 3 2 4z − 3z = − ; 4z + 3x = − vµ 2 2 3 4z + 3z = 3 (t−¬ng øng). 11
  12. 4 3 2 5. Ph−¬ng tr×nh bËc 4 d¹ng ax + bx + cx + dx + e = 0 (a ≠ 0) (1) 5.1. Ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng 4 2 ax + bx + c = 0, (2) 2 cã thÓ ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh bËc hai b»ng c¸ch ®Æt t = x ≥ 0. 5.2. Ph−¬ng tr×nh håi quy bËc bèn lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng ax 4 + bx3 + cx 2 + bαx + aα 2 = 0, (3) trong ®ã a vµ α ≠ 0 2 Ph−¬ng tr×nh nµy cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch chia c¶ hai vÕ cho x mµ kh«ng sî mÊt nghiÖm 0 v× x = 0 kh«ng lµ nghiÖm.  α2   α (3) ⇔ a  x 2 +  + b  x +  + c = 0. (4)  2 x   x α cã thÓ gi¶i (4) b»ng c¸ch ®Æt t = x + . x VÝ dô 14. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 6x 4 − 17x3 + 17x 2 − 17x + 6 = 0. (5) 1 §©y lµ ph−¬ng tr×nh d¹ng (3) víi α = 1. §Æt t = x + . Ph−¬ng tr×nh x (5) t−¬ng ®−¬ng víi  6(t 2 − 2) − 17t + 17 = 0   1 (6) t = x +  x 2 1 5 (6) ⇔ 6t − 17t + 5 = 0 ⇒ t1 = , t2 = . 3 2 12
  13.  1 1  x + x = 3 (v« nghiÖm) (5) ⇔  x + 1 = 5   x 2 1 ⇔x=2∨x= . 2 VÝ dô 15. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 4 3 2 x + 3x − 44x + 15x + 25 = 0 (7) Gîi ý : §©y lµ ph−¬ng tr×nh d¹ng (3) víi α = 5. 25  5 (7) ⇔ x2 + + 3  x +  − 44 = 0 x2  x 2 2  5  5 ⇔  x +  + 3  x +  − 54 = 0  x  x  5 x + x = 6  x2 − 6x + 5 = 0 ⇔  ⇔   x + 5 = −9  x2 + 9x + 5 = 0    x −9 ∓ 61 ⇒ x1 = 1, x2 = 5, x3,4 = . 2 5.3. Ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh ®Ó ph©n tÝch thµnh tÝch VÝ dô 16. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 4 3 2 f(x) ≡ x − 4x − 10x + 37x − 14 = 0. (8) 2 2 ViÕt f(x) = (x + bx + c)(x + px + q). Sau khi khai triÓn vÕ ph¶i, so s¸nh c¸c hÖ sè ta thu ®−îc hÖ b + p = 4  c + q + pb = −10    pc + qb = 37  qc = −14.  13
  14. Gi¶i hÖ ta ®−îc p = −5, q = 2, b = 1, c = −7.  x2 − 5x + 2 = 0 Lóc ®ã (8) ⇔   x2 + x − 7 = 0,   5 ∓ 17 −1 ∓ 29    ⇔x∈  , .   2 2   5.4. Ph−¬ng ph¸p tham sè hãa VÝ dô 17. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 4 x − 2 2x 2 − x + 2 − 2 = 0 (9) Gi¶i. §Æt m = 2 . Khi ®ã (9) cã d¹ng m 2 − (2x 2 + 1)m − x + x 4 = 0 Ph−¬ng tr×nh Èn m cho ta hai nghiÖm 2 2 m1 = x − x, m2 = x + x + 1. Khi ®ã :  x2 − x = 2 Ph−¬ng tr×nh (9) ⇔   x2 + x + 1 =  2,  1 ∓ 1 + 4 2 −1 ∓  4 2 −3  ⇔x∈  , .  2 2    14
Đồng bộ tài khoản