Phương trình không mẫu mực

Chia sẻ: Nguyen Thi My Quyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

1
871
lượt xem
301
download

Phương trình không mẫu mực

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ta xem Phương trình không mẫu mực là những phương trình không thể biến đổi tương đương hoặc biến đổi hệ quả từ đầu cho đến khi kết thúc. Một sự phân loại như thế chỉ có tính tương đối.Và trong đó phương trình bậc 4 được đưa về dạng phương trình trùng phương.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương trình không mẫu mực

  1. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG M U M C Ta xem phương trình không m u m c nh ng phương trình không th bi n ñ i tương tương, ho c bi n ñ i h qu t ñ u cho ñ n khi k t thúc. M t s phân lo i như th ch có tính tương ñ i. I. PHƯƠNG TRÌNH GI I B NG PHƯƠNG PHÁP ð T N PH . 1. M c ñích ñ t n ph . 1.1. H b c m t s phương trình b c cao. • ðưa m t s phương trình b c 4 v phương trình trùng phương. Phương trình b c b n: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 ( a ≠ 0 ) ñưa v ñư c phương trình trùng phương ch khi ñ th hàm s : f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có tr c ñ i x ng. G i x = x0 là tr c ñ i x ng. Phép ñ t n ph x = x0 + X s ñưa phương trình ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 v phương trình trùng phương. Ví d 1: Gi i phương trình x4 - 4x3 - 2x2 + 12x - 1 = 0 Gi i. ð t y = x4 - 4x3 - 2x2 + 12x - 1 Gi s ñư ng th ng x = x0 là tr c ñ i x ng c a ñ th hàm s .  x = x0 + X Khi ñó qua phép bi n ñ i:  hàm s ñã cho tr thành: y = Y Y = (x0 + X)4 - 4(x0 + X)3 - 2(x0 + X)2 + 12(x0 + X) - 1 = x04 + 4 xo X + 6 xo2 X 2 + 4 x0 X 3 + X 4 - 3 - 4 x0 − 12 x02 X − 12 x0 X 2 − 4 X 3 - 3 - 2 x02 − 4 x0 X − 2 X 2 + +12 x0 + 12 X − −1 4 x0 − 4 = 0 Y là hàm s ch n c a X ⇔   3 2 4 x0 − 12 x0 − 4 x0 + 12 = 0  Suy ra: x0 = 1 và Y = X4 - 8X2 + 6 Phương trình ñã cho tương ñương v i: X4 - 8X2 + 6 = 0 ⇔ X2 = 4 ± 10 ⇔ X = ± 4 − 10 , X = ± 4 + 10 Suy ra phương trình có 4 nghi m: x = 1 ± 4 − 10 , x = 1 ± 4 + 10 Ví d 2: Gi i phương trình x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + 3 = 0 Gi i. ð t y = x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + 3. Gi s ñư ng th ng x = x0 là tr c ñ i x ng c a ñ th hàm s . Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 1
  2. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  x = x0 + X Khi ñó qua phép bi n ñ i:  hàm s ñã cho tr thành: y = Y Y = (x0 + X)4 + 8(x0 + X)3 + 12(x0 + X)2 - 16(x0 + X) + 3 = = x04 + 4 xo X + 6 xo2 X 2 + 4 x0 X 3 + X 4 - 3 +8 x0 + 24 x0 X + 24 x0 X 2 + 8 X 3 + 3 2 +12 x0 + 24 x0 X + 12 X 2 + 2 −16 x0 − 16 X + +3 Y là hàm s ch n, suy ra: x0 = - 2 Y = X4 - 12X2 + 35 Y = 0 ⇔ X2 = 5, X2 = 7 ⇔ X = ± 5 , X = ± 7 Suy ra b n nghi m X = - 2 ± 5 , X = - 2 ± 7 Bài t p tương t : BT1. Gi i phương trình 2x4 - 16x3 + 43x2 - 44x + 14 = 0 1 ðS : x = 2 ± ,x=2 ± 2. 2 BT2. Gi i phương trình 6x4 + 24x3 + 23x2 - 2x - 1 = 0 2 3 ðS : x = - 1 ± ,x=-1 ± . 3 2 • ðưa phương trình b c b n d ng: (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) = m, trong ñó a + d = b + c v phương trình b c hai. Do a + d = b + c nên phương trình ñã cho tương ñương: (x - a)(x - d)(x - b)(x - c) = m ⇔ [x2 - (a+d)x + ad] [x2 - (b+c)x + bc] = m ( X + ad )( X + bc) = m ⇔ 2 2  x − (a + d ) x = X = x − (b + c) x Phương trình ñã cho chuy n ñư c chuy n v : (X + ad)(X + bc) = m 2 ⇔ X + (ad + bc)X + abcd - m = 0 Ví d 1: Gi i phương trình (x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 4) = 14. Gi i. Phương trình ñ cho tương ñương v i: (x - 1)(x + 3)(x - 2)(x + 4) = 14 2 2 ⇔ (x + 2x - 3)(x + 2x - 8) = 14 ( X − 3)( X − 8) = 14 ⇔ 2  2  X − 11X + 10 = 0  X = 1, X = 10  x + 2x = X ⇔  2 ⇔  2 x + 2x = X  x + 2x = X ⇔ x = - 1 ± 2 , x = - 1 ± 11 . Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 2
  3. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Ví d 2: Gi i phương trình (x2 - 1)(x + 2)(x + 4) = 7 Gi i. Phương trình ñ cho tương ñương v i: (x - 1)(x + 4)(x + 1)(x + 2) = 7 2 2 ⇔ (x + 3x - 4)(x + 3x + 2) = 7 ( X − 4)( X + 2) = 7 ⇔ 2  2  X − 2 X − 15 = 0  X = −3, X = 5 −3 ± 29  x + 3x = X ⇔  2 ⇔  2 ⇔x=  x + 3x = X   x + 3x = X 2 Ví d 3: Tìm t t c các giá tr c a tham s m ñ phương trình sau: (x2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m a) Có nghi m. b) Có b n nghi m phân bi t. Gi i. Phương trình ñ cho tương ñương v i: (x - 1)(x + 5)(x + 1)(x + 3) = m 2 2 ⇔ (x + 4x - 5)(x + 4x + 3) = m ( X − 5)( X + 3) = m ⇔ 2  X 2 − 2 X − 15 = m (1)  x + 4x = X ⇔  2 x + 4x = X  (2) a) Phương trình (2) có nghi m ⇔ X ≥ - 4 Phương trình ñã cho có nghi m ch khi phương trình (1) có nghi m X ≥ - 4.  f (−4) ≤ 0    ∆ ' ≥ 0 Cách 1: Phương trình (1) có nghi m X ≥ - 4 ⇔   ⇔ m ≥ - 16   f (−4) ≥ 0  b  − 2a ≥ −4  Cách 2: Hàm s f(X) = X2 - 2X - 15 , X ≥ - 4 có f '(X) = 2X - 2. f(X) liên t c trên [- 4; + ∞ ) và có c c ti u duy nh t trên ñó t i X = 1. Suy ra, trên [- 4; + ∞ ) ta có min f(X) = f(1) = - 16. V y phương trình (1) có nghi m X ≥ - 4 khi m ≥ - 16. b) 4 nghi m phân bi t ? Th y ngay là các phương trình x2 + 4x = X1, x2 + 4x = X2 có nghi m trùng nhau khi và ch khi X1 = X2. Do v y phương trình ñã cho có 4 nghi m phân bi t khi và ch khi phương trình (1) có hai nghi m phân bi t X1 > X2 ≥ - 4. Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 3
  4. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  ∆ ' > 0  Cách 1. Ta ph i có:  f (−4) ≥ 0 ⇔ - 16 < m ≤ 9  b − > −4  2a Cách 2: Hàm s f(X) = X2 - 2X - 15 , X ≥ - 4 có f '(X) = 2X - 2. X - 4 1 +∞ f '(X) - 0 + 9 +∞ f(X) - 16 Bài t p tương t : BT1. Gi i phương trình x4 - 2x3 - 7x2 + 8x + 7 = 0. HD. Tìm a, b: (x2 - x + a)(x2 - x + b) = x4 - 2x3 - 7x2 + 8x + 7. ð t x2 - x = t BT2. Cho phương trình (x + 1)(x + 2)(x + 3)( x + 4) = m. 4 3 2 • ðưa phương trình b c b n d ng: ax + bx + cx + bx + a = 0(a ≠ 0) Th y ngay x = 0 không tho phương trình. Chia hai v c a phương trình cho x2: 1 1 Phương trình ñã cho tương ñương : ax2 + bx + c + b +a 2 =0 x x  1  1 ⇔ a  x 2 + 2  + b( x + ) + c = 0 ⇔ a ( X 2 − 2 ) + bX + c = 0 ,  x  x 1 trong ñó X = x + hay x2 - Xx + 1 = 0, X ≥ 2 x VD1. Gi i phương trình 2x4 + 3x3 - 10x2 + 3x + 2 = 0.  1  1 ⇔ 2  x 2 + 2  + 3( x + ) − 10 = 0 ⇔ 2 ( X 2 − 2 ) + 3 X − 10 = 0 ⇔ 2 X 2 + 3 X − 14 = 0  x  x 7 1 ⇔ X = 2, X = − , trong ñó X = x + hay x2 - Xx + 1 = 0, X ≥ 2 2 x 2 i) X = 2: x - 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1 7 −7 ± 33 ii) X = - : 2x2 + 7x + 2 = 0 ⇔ 2 4 VD2. Cho phương trình x4 + hx3 - x2 + hx + 1 = 0. Tìm h ñ phương trình có không ít hơn hai nghi m âm phân bi t. Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 4
  5. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  1  1 Gi i. ⇔  x 2 + 2  + h( x + ) − 1 = 0 ⇔ ( X 2 − 2 ) + hX − 1 = 0 ⇔ X 2 + hX − 3 = 0 (1), trong ñó  x  x 1 X=x+ hay x2 - Xx + 1 = 0 (2) , X ≥ 2 . x Cách 1. Phương trình (2) n u X ≥ 2 thì có hai nghi m cùng d u. Nên mu n có nghi m âm thì - b/a = X < 0. Suy ra X ≤ - 2. Nhưng (1) luôn luôn có hai nghi m X1 < 0 < X2 nên ch mang v cho (2) ñư c X1. V y X1 < - 2 < 0 < X2. Khi ñó f(- 2) < 0, f(X) = X 2 + hX − 3 1 ⇔ 1 − 2h < 0 ⇔ h > . 2 3− X 2 Cách 2. (1) ⇔ h = , X ≥2 X 3− X 2 3− X 2 −X 2 − 3 ð t f (X ) = , X ≥ 2 ⇒ f '( X ) = = < 0, X ≥ 2 X X X2 X - ∞ - 2 2 +∞ f '(X) - - 1 +∞ - f(X) 2 1 2 -∞ Phương trình (2) n u X ≥ 2 thì có hai nghi m cùng d u. Nên mu n có nghi m âm thì - b/a = X < 0. Suy ra X ≤ - 2. Nhưng (1) luôn luôn có hai nghi m X1 < 0 < X2 nên 1 ch mang v cho (2) ñư c X1. V y X1 < - 2 < 0 < X2. Theo trên: h > . 2 Bài t p tương t : BT1. Gi i phương trình 2x4 - 5x3 + 2x2 - 5x + 2 = 0. BT2. Cho phương trình x4 + mx3 - 2x2 + mx + 1 = 0. Tìm m ñ phương trình có không ít hơn hai nghi m dương phân bi t. 1.2. Làm m t căn th c. VD1. Gi i phương trình x(x + 5) = 2 3 x 2 + 5 x − 2 − 2 Gi i. ð t 3 x 2 + 5 x − 2 = X ⇒ X 3 + 2 = x 2 + 5 x Phương trình ñã cho ⇔ X 3 − 2 X + 4 = 0 ⇔ X = - 2 ⇒ x 2 + 5 x + 6 = 0 ⇒ x = - 2, x = - 3 VD2. Cho phương trình 3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) = m (1) Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 5
  6. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình 1) Gi i phương trình khi m = 3 2) Tìm t t c các giá tr m ñ phương trình (1) có nghi m. 1 1 Gi i. ð t 3 + x + 6 − x = t , −3 ≤ x ≤ 6 ⇒ t ' = − , −3 < x < 6 . 2 3+ x 2 6 − x 3 t ' ≥ 0 ⇔ −3 < x ≤ 2 X - 3 3/ 2 6 f '(X) + 0 - 3 2 f(X) 3 3 Suy ra: 3 ≤ t ≤ 3 2 t2 − 9 Ta có (3 + x)(6 − x) = 2 t2 − 9 Phương trình ñã cho tương ñương: t - = m ⇔ t2 - 2t + 2m - 9 = 0 (*) 2 x +1 VD3. Cho phương trình ( x − 3)( x + 1) + 4( x − 3) =m (1) x−3 1) Gi i phương trình khi m = - 3 2) Tìm t t c các giá tr m ñ phương trình (1) có nghi m x +1 HD. ð t ( x − 3) =t (1) x−3 ⇒ ( x − 3)( x + 1) = t 2 , x ≤ - 1 ho c x > 3 (2) 2 Phương trình ⇔ t + 4t = m (3) 1) m = - 3: Phương trình (3) ⇔ t + 4t + 3 = 0 ⇔ t = - 1, t = - 3. 2 Thay vào (1): x +1 x − 3 < 0 x − 3 < 0 * t = - 1: ( x − 3) = −1 ⇔  ⇔ 2 ⇔ x = 1− 5 x −3 ( x − 3)( x + 1) = 1  x − 2 x − 4 = 0 x = 1 − 5 tho ñi u ki n x ≤ - 1. x +1 x − 3 < 0 x − 3 < 0 * t = - 3: ( x − 3) = −3 ⇔  ⇔ 2 ⇔ x = 1 − 13 x−3 ( x − 3)( x + 1) = 9  x − 2 x − 12 = 0 x = 1 − 13 tho ñi u ki n x ≤ - 1. 2) (3) có nghi m t ⇔ m ≥ - 4. Xét phương trình ( x − 3)( x + 1) = t 2 , x ≤ - 1 ho c x > 3 2 2 ⇔ x - 2x - 3 = t , x ≤ - 1 ho c x > 3 ð t f(x) = x2 - 2x - 3, x ≤ - 1 ho c x > 3 Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 6
  7. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình f '(x) = 2x - 2 x -∞ -1 3 +∞ f '(x) - + +∞ +∞ f(x) 0 0 vì t2 ≥ 0 nên (2) luôn luôn có nghi m. Cách 2. N u dùng ñ nh lý ñ o v d u c a tam th c b c hai thì v i m ≥ - 4. Xét 3 trư ng h p khi thay vào (1): x +1 i) t = 0: ( x − 3) =0 : Phương trình có nghi m x = - 1. x −3 x − 3 > 0 x > 3 ii) t > 0: (1)  2 ⇔ 2 2 ( x − 3)( x + 1) = t  F ( x) = x − 2 x − 3 − t = 0 Th y ngay F(3) = - t2 < 0 nên F(x) có nghi m x > 3. x +1 ≤ 0  x ≤ −1 3i) t < 0: (1)  2 ⇔ 2 2 ( x − 3)( x + 1) = t  F ( x) = x − 2 x − 3 − t = 0 Th y ngay F(- 1) = - t2 < 0 nên F(x) có nghi m x ≤ - 1. VD4. Gi i phương trình n ( x + 1) 2 − 3 n ( x − 1)2 = −2 n x 2 − 1, n ≥ 2 HD. Th y ngay x = ± 1 không tho phương trình. V i x ≠ ± 1: x +1 n x −1 Chia hai v c a phương trình cho n x 2 − 1 , ta có: n −3 = −2 (1) x −1 x +1 x +1 1 2 ð t n = t , khi ñó (1) ⇔ t - 3 + 2 = 0 ⇔ t + 2t - 3 = 0 ⇔ t = 1, t = - 3 x −1 t x +1 x +1 i) t = 1 : n =1⇔ = 1 : Vô nghi m x −1 x −1 x +1 ii) t = - 3: n = −3 (2) x −1 + n ch n: (2) vô nghi m x +1 n 3n − 1 + n l : (2) ⇔ = ( −3) ⇔ x + 1 = ( x − 1)(−3)n ⇔ (3n + 1) x = 3n − 1 ⇔ x = n x −1 3 +1 1.3. Làm m t giá tr tuy t ñ i. VD1. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m x2 − 2 x − m x − 1 + m2 = 0 Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 7
  8. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình HD. ð t x − 1 = t ≥ 0 ⇒ x 2 − 2 x = t 2 − 1 Phương trình ñã cho tương ñương t2 - mt + m2 - 1 = 0 (1) Phương trình ñã cho có nghi m khi ch khi phương trình (1) có nghi m t ≥ 0. 2 2 2 ∆ = m - 4m + 4 = 4 - 3m 2 m 2 i) ∆ = 0 ⇔ 4 - 3m2 = 0 ⇔ m = ± : Pt(1) có nghi m kép t = ⇒ m= tho 3 2 3 2 2 ii) ∆ > 0 ⇔ - 0, S > 0 ⇔ m > 1. Suy ra 1 < m < tho 3 + (1) có hai nghi m trái d u ⇔ P < 0 ⇔ - 1 < m < 1 + (1) có 1 nghi m b ng 0 ⇔ m = ±1 . Khi ñó nghi m kia t = m nên m = 1 tho 2 KL: - 1 < m ≤ 3 VD2. Cho phương trình x 2 − 2 x + m = x − 1 (1) 1) Gi i phương trình khi m = 0. 2) Tìm m ñ phương trình (1) có 4 nghi m phân bi t. HD. ð t x - 1 = t ⇒ x 2 − 2 x = t 2 − 1  t ≥ 0  t ≥ 0  2  2 t − t −1 + m = 0   f (t ) = t − t − 1 = −m Pt(1) ⇔ t − 1 + m = t ⇔   2  t ≥ 0 ⇔  t ≥ 0    2  t + t − 1 + m = 0   g (t ) = t 2 + t − 1 = −m  f '(t) = 2t - 1, g'(t) = 2t + 1 x 0 1/2 +∞ x 0 +∞ f '(x) - 0 + g '(x) + -1 +∞ +∞ f(x) g(x) - 5/4 -1 Vì x = 1 + t nên m i nghi m t cho (1) m t nghi m x. Suy ra không có m tho 1.4. Lư ng giác hoá các phương trình. VD. Gi i phương trình x3 + (1 − x 2 )3 = x 2(1 − x 2 ) HD. Do 1 - x2 ≥ 0 ⇔ - 1 ≤ x ≤ 1. ð t x = cost, t ∈ [0; π ] Ptrình ñã cho ⇔ cos3 t + sin 3 t = 2 sin t cos t Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 8
  9. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình ⇔ (cos t + sin t )3 − 3sin t cos t (sin t + cos t ) = 2 sin t cos t (1) X 2 −1 ð t sint + cost = X ⇒ cos  x −  =  π X  , X ≤ 2,sin t cos t = .  4  2 2 22 X −1 X −1 (1) ⇔ X 3 − 3 X = 2 ⇔ X 3 + 2 X 2 − 3X − 2 = 0 2 2 2 ⇔ ( X − 2)( X + 2 2 X + 1) = 0 ⇔ X − 2, X = − 2 ± 1 . Nhưng X ≤ 2 ⇒ X = 2, X = 1 − 2 . i) X = 2: sint + cost = 2 ⇔ x + 1 − x2 = 2  2 1 − x = 2 − 2 2 x + x 2 ⇔ 1 − x2 = 2 − x ⇔   2−x≥0  2 x − 2 2 x + 1 = 0  2 1 ⇔ ⇔ x= . x ≤ 2  2 i) X = 1- 2 : sint + cost = 1 - 2 ⇔ x + 1 − x2 = 1− 2 1 − x 2 = 2 − 2 2 − 2(1 − 2) x + x 2   x 2 − (1 − 2) x + 1 − 2 = 0  ⇔ 1 − x2 = 1 − 2 − x ⇔  ⇔ 1 − 2 − x ≥ 0  x ≤ 1− 2  1 − 2 − 2 2 −1 ⇔x= . 2 1.5. ð i s hoá các phương trình lư ng giác, mũ, loga. x x VD1. Gi i phương trình ( 2− 3 ) ( + 2+ 3 ) =4 x x HD. ð t ( 2+ 3 ) =t >0 ⇒ ( 2− 3 ) = 1t 1 Pt ⇔ + t = 4 ⇔ t2 - 4t + 1 = 0 ⇔ t = 2 ± 3 t  x  ⇔ ( 2+ 3 ) = 2+ 3 x = 2 ⇔ x −2 ⇔ x = 2, x = −2.    ( 2+ x 3) = 2− 3  2+ 3   ( ) = 2− 3 = ( 2+ 3 ) tan x tanx VD2. Cho phương trình ( 5 + 2 6 ) ( + 5−2 6 ) =m 1) Gi i phương trình khi m = 4 2) Gi i và bi n lu n phương trình (1) theo m. tan x tan x 1 HD. ð t ( 5 + 2 6 ) =t >0 ⇒ (5 − 2 6 ) = t 1 Pt ñã cho tương ñương t + = m ⇔ t 2 − mt + 1 = 0 (1) t Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 9
  10. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình tan x 1) m = 4: t = 2 ± 3 ⇔ ( 5 + 2 6 ) = 2 ± 3 ⇔ tanx = log 5+ 2 6 (2 ± 3) ⇔ x = arctan log5+ 2 ( 2 ± 3 )  + kπ  6  2) Ptrình ñã cho có nghi m khi và ch khi Pt(1) có nghi m t > 0 Th y ngay r ng, n u (1) có nghi m thì có hai nghi m cùng d u. Do v y n u pt (1) có nghi m dương thì có hai nghi m dương. Suy ra, c n và ñ là: ∆ = m 2 − 4 ≥ 0 m ± m2 − 4 tan x m ± m2 − 4  S = m > 0 ⇔ m ≥ 2 . Khi ñó t = 2 ⇔ 5+ 2 6 = 2 ( ) m ± m2 − 4  m ± m2 − 4  ⇔ tan x = log 5+ 2 6 ⇔ x = arctan  log 5+ 2 6  + kπ . 2  2    2. Các ki u ñ t n ph . 1.1. ð t m t n ph chuy n phương trình v phương trình c a n ph . VD. Gi i và bi n lu n phương trình 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 HD. Th y r ng x = - 1 không tho ptrình. x −1 x −1 Pt ñã cho tương ñương v i 3 + m = 24 (1) x +1 x +1 x −1 ð t 4 = t ≥ 0 . Khi ñó (1) ⇔ 3t 2 − 2t + m = 0 (2) x +1 Ptrình ñã cho có nghi m khi và ch khi (2) có nghi m không âm Cách 1: Phương trình (2) có 2 nghi m trái d u ⇔ m < 0 ∆ ' ≥ 0 Phương trình (2) có 2 nghi m không âm ⇔  P ≥ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1  S ≥ 0 3  1 ± 1 − 3m Hai nghi m c a (2) là t = 3 Như th , khi m < 0: 4 1 + 1 − 3m x − 1 1 + 1 − 3m x − 1  1 + 1 − 3m  1 − M1 t= ⇒ 4 = ⇒ =   = M1 ⇒ x =  3 x +1 3 x +1  3  1 + M1 4 1 x − 1 1 ± 1 − 3m x − 1  1 + 1 − 3m  1 − M1 khi 0 ≤ m ≤ : ⇒ 4 = ⇒ =   = M1 ⇒ x =  3 x +1 3 x +1  3  1 + M1 ho c 4 x − 1  1 − 1 − 3m  1− M2 =   = M2 ⇒ x =  x +1  3  1+ M 2 1.2. ð t m t n ph và duy trì n cũ trong cùng m t phương trình. VD1. Gi i phương trình 2(1 - x) x 2 + 2 x − 1 = x 2 − 2 x − 1 Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 10
  11. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình HD. Cách 1: ð t x 2 + 2 x − 1 = t ≥ 0 ⇒ x 2 + 2 x − 1 = t 2 ⇒ x 2 − 2 x − 1 = t 2 − 4 x Pt ⇔ 2(1 − x)t = t 2 − 4 x ⇔ t 2 − 2(1 − x)t − 4 x = 0 ∆ ' = ( x + 1) 2 ⇒ t = (1 − x) ± ( x + 1) ⇔ t = 2, t = −2 x t = −2 x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 : x 2 + 2 x − 1 = −2 x ⇔ x 2 + 2 x − 1 = 4 x 2 ⇒ 3x 2 − 2 x + 1 = 0 : VN t = 2 : x 2 + 2 x − 1 = 2 ⇔ x 2 + 2 x − 5 = 0 ⇒ x = −1 ± 5 Cách 2: Pt ⇔ (x - 1)2 - 2(x - 1) x 2 + 2 x − 1 - 2 = 0 VD2. Gi i phương trình (4x - 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1 Cách 1: ð t x 2 + 1 = t Cách 2: Bình phương hai v 1.3. ð t m t n ph và duy trì n cũ trong m t h phương trình. VD1. Gi i phương trình x2 + x + 5 = 5 HD. ð t x + 5 = y ≥ 0 ⇒ y 2 = x + 5 (1) 2 T Pt ñã cho ⇒ x = 5 - y (2) 2 2 Tr t ng v (1) và (2) ta có: y - x = x + y ⇔ x + y = 0 ho c y - x - 1 = 0 −1 ± 21 i) x = y = 0 ⇔ y = - x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0: (1) ⇔ x2 - x - 5 = 0 ⇔ x = 2 −1 − 21 Nhưng x ≤ 0 nên x = 2 ii) y - x - 1 = 0 ⇔ y = x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 1: (2) ⇔ x2 - x - 4 = 0 −1 ± 17 ⇔x= 2 −1 + 17 Nhưng x ≥ - 1 nên 2 Cách 2.(Bi n ñ i Pt v d ng tích) x2 + x + 5 = 5 ⇔ x 2 − ( x + 5) + ( x + x + 5) = 0 ⇔ ( x + x + 5)( x − x + 5 + 1) = 0 VD2. Gi i phương trình x3 + 1 = 2 3 2 x − 1 HD. ð t 3 2 x + 1 = y ⇒ y 3 = 2 x + 1 (1) 3 T Pt ñã cho ⇒ x = 2y - 1 (2) H (1)&(2) là m t h ñ i x ng lo i 2. Cách 2.(Dùng tính ch t ñ th c a hai hàm ngư c nhau) x3 + 1 3 Pt ñã cho tương ñương = 2x −1 (1) 2 x3 + 1 Các hàm s y= , y = 3 2 x − 1 là các hàm s ngư c c a nhau. V y nên phương 2 x3 + 1 -1 ± 5 trình (1) tương ñương = x ⇔ x 3 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1, x = 2 2 Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 11
  12. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình VD3. Gi i phương trình (x2 - 3x - 4)2 - 3x2 + 8x + 8 = 0 HD. Ptrình ñã cho tương ñương (x2 - 3x - 4)2 - 3(x2 - 3x - 4) - 4 - x = 0 2 2 2 ⇔ (x - 3x - 4) - 3(x - 3x - 4) = 4 + x ð t x2 - 3x - 4 = y ⇒ x2 - 3x = 4 + y (1) 2 T phương trình ñã cho suy ra y - yx = 4 + x (2) H (1)&(2) là m t h ñ i x ng lo i 2. 4x + 9 VD4. Gi i phương trình 7x2 + 7x = 28 PP chuy n v h ñ i x ng lo i 2: - VT b c hai, VP căn hai 4x + 9 - Nên ñ t = at + b (b c nh t c a t ñ khi bình phương thì thành b c hai) 28 - Khi ñ t ta ñư c ngay : 7x2 + 7x = at + b Ta ph i có m t pt m i: 7t2 + 7t = ax + b 4x + 9 = at + b ⇒ x = 7a2t2 + 14abt + 7b2 - 9/4 28 3 2 2 2 9 ⇒ ax + b = 7a t + 14a bt + 7ab - a 4 2 ≡ 7t + 7t  7 a 3 = 1  1 Ta ph i có: 14a 2b = 7 ⇒ a = 1, b =  2 9 7ab 2 − a + b = 0  4 Bài t p tương t : BT1. Gi i phương trình 2x2 - 6x - 1 = 4 x + 5 (Thi ch n ðT12QB 21/12/2004) BT2. Gi i và bi n lu n theo a phương trình x3 + a(2 − a 2 ) = 2 3 2 x + a(a 2 − 2) 1.4. ð t hai n ph và ñưa phương trình v phương trình hai n ph . VD1. Gi i phương trình x 2 − 3 + x 2 + x − 5 = 1 + x 4 + x3 − 8 x 2 − 3x + 15 ðưa phương trình v d ng u + v = 1 + uv VD2. Gi i phương trình 2 x −3 x + 2 + 2 x −2 x −15 = 1 + 22 x −5 x−13 2 2 2 ðưa phương trình v d ng u + v = 1 + uv 1.5. ð t hai n ph và ñưa phương trình v h phương trình hai n. VD1. Gi i phương trình 4 + x + 5 − x = 3 HD. ð t 4 + x = u ≥ 0, 5 − x = v ≥ 0 ⇒ u 2 + v 2 = 9 Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 12
  13. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình u 2 + v 2 = 9 Ta có h phương trình  u + v = 3 Cách 2. Bình phương hai v . Cách 3. ð t f(x) = 4 + x + 5 − x ≥ 0 ⇒ f 2 ( x) = 9 + 2 (4 + x)(5 − x) ≥ 9 ⇔ f ( x) ≥ 3 D u ñ ng th c x y ra khi ch khi x = - 4 ho c x = 5. Cách 4. ð t f(x) = 4 + x + 5 − x , x ∈ [ -4;5] . Kh o sát, l p b ng bi n thiên. VD2. Gi i phương trình 3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) = 3 . HD. ð t 3 + x = u ≥ 0, 6 − x = v ≥ 0 ⇒ u 2 + v 2 = 9 u 2 + v 2 = 9 Ta có h phương trình  u + v − uv = 3 X 2 −9 Cách 2. ð t 3 + x + 6 − x = X ≥ 0 ⇒ (3 + x)(6 − x) = 2 X 2 −9 Phương trình ñã cho tương ñương X − =3 2 VD3. Gi i phương trình x + 1 + 2( x + 1) = x − 1 + 1 − x + 3 1 − x 2 (TS 10 Chuyên Toán ðHSPHNI, 97 - 98) ðưa phương trình v h có m t phương trình tích : u + 2u2 = - v2 + v + 3uv ⇔ u - v + v2 - 3uv + 2v2 = 0 ⇔ u - v + (v - u)(v - 2u) = 0 1.6. ð t hai v c a phương trình cho cùng m t n ph . VD1. Gi i phương trình 2log3cotgx = log 2cosx HD. ð t 2log3cotgx = log 2cosx = t ta có: cos 2 x = 4t cos 2 x = 4t cos 2 x = 4t cos x = 2t  2   t  2 t  cos x t  2 4t 4 cot x = 3 ⇔ 2 =3 ⇔ sin x = t ⇔  t + 4t = 1 cos x > 0, cot x > 0  sin x  3 3   cos x > 0,sin x > 0  cot x > 0,sin x > 0 cos x > 0,sin x > 0    cos 2 x = 4t  1  cos x = π ⇔ t = −1 ⇔ 2 ⇔ x = + k 2π  sin x > 0 3 cos x > 0,sin x > 0  VD2. Gi i phương trình log 7 x = log3 ( x + 2) Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 13
  14. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình HD. ð t log 7 x = log3 ( x + 2) = t , Ta có:  x = 7t x = 7  t  x = 7 t   t  x = 7t  t ⇔ ⇔  7  1 t ⇔ ⇒ x = 49  x +2=3   t  7 +2=3 t    + 2  =1   t=2  3    3 VD3. Gi i phương trình 3 1 − x = 1 + x HD. ð t 3 1 − x = 1 + x = t ≥ 0, ta có: 1 − x = t 3   2 ⇒ t3 + t 2 − 2 = 0 ⇒ t = 1 ⇒ x = 0 1 + x = t  II. PHƯƠNG TRÌNH GI I B NG PHƯƠNG PHÁP ð I L P. 1. D ng 1. N u f(x) ≥ M, (1) (hay f(x) ≤ M, (2)) thì: Phương trình f(x) = M tương ñương d u ñ ng th c (1) hay (2) x y ra. VD1. Gi i phương trình tanx + cotx + tan2x + cot2x + tan3x + cot3x = 6. HD. Phương trình ñã cho ⇔ tanx(1 + tanx + tan2x) + cotx(1 + cotx + cot2x) = 6 (1) π 1 + tanx + tan2x > 0, 1 + cotx + cot2x > 0 v i ∀x ≠ k 2 tanx và cotx cùng d u. Do v y, t (6) ñ ý r ng v ph i dương, suy ra tanx > 0, cotx > 0. Theo Côsi: tanx + cotx ≥ 2 tan2x + cot2x ≥ 2 ⇒ tanx + cotx + tan2x + cot2x + tan3x + cot3x ≥ 6. tan3x + cot3x ≥ 2  tan x = cot x = 1  tan x + cot x = 2   2 2 ⇔  tan 2 x = cot 2 x = 1 Phương trình ñã cho tương ñương:  3 tan x + cot x = 2   tan 3 x = cot 3 x = 1 3   tan x + cot x = 2  tan x > 0 π  ⇔ tanx = cot x = 1 ⇔ x = + kπ 4 1 1 VD2. Gi i phương trình x 2 + y 2 + 2 + 2 = 4 x y HD. ðK x ≠ 0, y ≠ 0. 1 1 1 1 x2 + y 2 + 2 + 2 = 4 ⇔ x2 + 2 + y 2 + 2 = 4 x y x y 1 1 1 1 Ta có: x 2 + 2 ≥ 2, y 2 + 2 ≥ 2 ⇒ x 2 + 2 + y 2 + 2 ≥ 4 x y x y Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 14
  15. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  x2 + y 2 = 2 x2 = y2 = 1 Phương trình ñã cho tương ñương v i:  1 1   ⇔1 1 ⇔ nghi m c a + 2 =2  x2 y + 2 =2  x2 y   phương trình ñã cho là (1; 1), (1; - 1), (-1; 1), (- 1; - 1) 2. D ng 2.  f ( x) = g ( x)  f ( x) = M Phương trình :  ⇔  f ( x) ≤ M ≤ g ( x)  g ( x) = M VD1. Gi i phương trình 4(x - 2)(3 - x2) = ( 2 x − 5) 2 + 1 2 HD. (x2- 2)(3 - x2) > 0 ⇔ 2 < x2 < 3 ⇒ 3 - x2 > 0, x2- 2 > 0. Theo Côsi: 2  x2 − 2 + 3 − x2  1  = ⇒ 4( x − 2)(3 − x ) ≤ 1 2 2 2 2 ( x − 2)(3 − x ) ≤   2  4 M t khác ( 2 x − 5) 2 + 1 ≥ 1 4( x 2 − 2)(3 − x 2 ) = 1  x2 − 2 = 3 − x2  Phươngtrình ñã cho tương ñương:  5  2 ⇔ 5 ⇔x=  2x − 5 + 1 = 1  ( x =  ) 2 2 VD2. Gi i phương trình x − 2 + 4 − x = x 2 − 6 x + 11 HD. ðK 2 ≤ x ≤ 4. Ta có: x − 2 + 4 − x ≤ 2( x − 2 + 4 − x) = 2, x 2 − 6 x + 11 = ( x − 3) 2 + 2 ≥ 2  x−2 + 4− x = 2  Phươngtrình ñã cho tương ñương:  2 ⇔x=2 ( x − 3) + 2 = 2  3. D ng 3.  f ( x ) + g ( x) = M + N  f ( x) = M Phương trình :  f ( x) ≤ M , g ( x) ≤ N  ⇔ (hay : f ( x) ≥ M , g ( x) ≥ N )  g ( x) = N  436 VD1. Gi i phương trình + = 28 − 4 x − 2 − y − 1 x−2 y −1 36 4 HD. Pt ñã cho ⇔ +4 x−2 + + y − 1 = 28 (1) x−2 y −1 36 4 + 4 x − 2 ≥ 24, + y −1 ≥ 4 x−2 y −1 Như th (1) tương ñương: Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 15
  16. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  36  36  x − 2 + 4 x − 2 = 24  = 4 x−2  x = 11   x−2  4 ⇔ ⇔  + y −1 = 4  4 = y −1 y = 5  y −1   y −1  1 1 VD2. Gi i phương trình cos3x - 1 + cosx -1=1 cos3x cosx HD. Pt ñã cho tương ñương: 1 - cos3x 1 - cosx cos3x + cosx =1 cos3x cosx ðK: cos3x > 0, cosx > 0. PT ⇔ cos3x(1 - cos3x) + cosx(1 - cosx) = 1 (1) 1 1 Ta ñã bi t r ng a(1 - a) ≤ , ∀a . Suy ra: 0 ≤ cos3x(1 - cos3x) ≤ 4 4 1 ⇒ cos3x(1 - cos3x) ≤ 2 1 Tương t cosx(1 - cosx) ≤ 2 Như th Ptrình (1)  1  1  1  cos3x(1 - cos3x) = cos3x = 4cos3x - 3cosx =  2 ⇔ 2 ⇔  2 ⇔    : Vô nghi m  cos3x(1 - cos3x) = 1 cosx = 1 cosx = 1   2   2   2 4. D ng 4.  f1 ( x) = 0  f ( x) = 0  f1 ( x) + f 2 ( x) + ... + f n ( x) = 0  Phương trình :  ⇔ 2  f1 ( x) ≥ 0, f 2 ( x) ≥ 0,..., f n ( x) ≥ 0 .............  f n ( x) = 0  VD1. Gi i phương trình x2 - 2xsinxy + 1 = 0 HD. Pt ñã cho tương ñương: (x - sinxy)2 + 1 - (sinxy)2 = 0  x = 1  sin xy = 1  sin y = 1      y = π + k 2π  x − sin xy = 0  x = sin xy x = 1 x = 1  ⇔ ⇔ 2 ⇔ ⇔ ⇔ sin xy = ±1  sin xy = −1  sin(− y ) = −1   x = −1 2 1 − sin xy = 0      x = −1    x = −1   π   y = + k 2π  2 Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 16
  17. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình VD2. Tìm t t c các c p s th c (x, y) tho mãn : x 2 + 2y 2 - 2xy - 2x + 4y + 2 = 0 (Thi HSG L9 Qu ng Bình 2007 - 2008) HD. Ta có: x + 2y - 2xy - 2x + 4y + 2 = 0 2 2 2 ⇔ x 2 - 2 ( y + 1) x + 2 ( y + 1) = 0 (1) Xét phương trình b c hai (1) n x và y là tham s Ta có: ∆ ' = ( y + 1) 2 − 2( y + 1) 2 = −( y + 1) 2 ≤ 0, ∀y Do ñó, phương trình (1) có nghi m x khi và ch khi ∆ ' = 0 ⇔ −( y + 1) 2 = 0 ⇔ y = −1 Khi ñó phương trình (1) có nghi m kép x = 0. V y c p s (x, y) c n tìm là ( 0, -1). Ghi chú: Có th gi i bài toán b ng cách ñưa v d ng A 2 + B2 = 0 2 2 x 2 + 2y 2 - 2xy - 2x + 4y + 2 = 0 ⇔ ( y - x + 1) + ( y + 1) = 0 III. PHƯƠNG TRÌNH GI I B NG PHƯƠNG PHÁP D ðOÁN NGHI M VÀ CH NG MINH KHÔNG CÒN NGHI M. Phương pháp g m hai bư c: 1. D ñoán nghi m, th vào phương trình. 2. Ch ng minh không còn nghi m. VD1. Gi i phương trình 3x + 4x = 5x HD. Bư c 1. D ñoán: x = 2 là nghi m Ch ng minh: 32 + 42 = 52 . Bư c 2. Ch ng minh không còn nghi m n a. x x Th t v y: Pt tương ñương v i   +   = 1 3  4  5 5 x x 2 2 i) N u x > 0 i) N u x > 0 thì   +   <   +   = 1 : Không tho pt. 3  4 3  4  5 5 5 5 x x 2 2 ii) N u x > 0 i) N u x < 0 thì   +   >   +   = 1 : Không tho pt. 3  4 3  4  5 5 5 5 VD2. Gi i phương trình 2 x + 4 + 2 x +5 + 1956 x = 49 4 4 2 HD. Bư c 1. D ñoán: x = 0 là nghi m Ch ng minh: 24 + 25 + 19560 = 49 . Bư c 2. Ch ng minh không còn nghi m n a. Th t v y: N u x ≠ 0 thì x4 > 0, x4 + 4 > 4, x5 + 5 > 5 4 4 4 ⇒ 2x +4 > 24 = 16, 2 x +5 > 25 = 32,1956 x > 19560 = 1 4 4 4 ⇒ 2x +4 + 2x +5 + 1956 x > 16 + 32 + 1 = 49 Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 17
  18. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình VD3. Gi i phương trình 201− x + 91− x + 19561− x = 1985 2 2 2 HD. x = 0 là nghi m x ≠ 0 ⇒ x2 > 0 ⇒ 1 - x2 < 1 ⇒ 201− x < 20, 91− x < 9, 19561− x < 1956 2 2 2 2 2 2 ⇒ 201− x + 91− x + 19561− x < 1985 VD4. Gi i phương trình 191− x 4 4 2 + 51− x + 18901− x = 3 HD. x = ± 1 là nghi m - 1 < x < 1 ⇒ 1 - x2 > 0 ⇒ 191− x + 51− x + 18901− x > 190 + 50 + 18900 = 3 4 4 2 x < - 1 ho c x > 1 ⇒ 1 - x2 < 0 ⇒ 191− x + 51− x + 18901− x < 190 + 50 + 18900 = 3 4 4 2 VD5. Gi i phương trình 5 x 2 + 28 + 2 3 x 2 + 23 + x − 1 + x = 2 + 9 HD. x = 1 là nghi m VD6. Gi i phương trình 3 x 2 + 26 + 3 x + x + 3 = 8 HD. x = 1 là nghi m VD7. Gi i phương trình x − 2007 + x − 2008 = 1 1956 1981 HD. x = 2007, x= 2008 là nghi m i) x < 2007 ⇒ x - 2008 < - 1 ⇒ x − 2008 > 1 ⇒ x − 2008 > 1 1981 1956 1981 ⇒ x − 2007 + x − 2008 >1 ii) x > 2008 ⇒ x - 2007 > 1 ⇒ x − 2007 > 1 ⇒ x − 2007 1956 >1 1956 1981 ⇒ x − 2007 + x − 2008 >1 iii) 2007 < x < 2008 ⇒ 0 < x - 2007 < 1 ⇒ x − 2007 = x - 2007 1956 x − 2007 < 1 ⇒ x − 2007 < x − 2007 = x − 2007 (1) Tuơng t : - 1 < x - 2008 < 0 ⇒ x − 2008 = 2008 - x 1981 x − 2008 < 1 ⇒ x − 2008 < x − 2008 = 2008 − x (2) 1956 1981 T (1)&(2) suy ra: ⇒ x − 2007 + x − 2008
  19. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình x -∞ -1 +∞ f '(x) - 0 + +∞ +∞ f(x) -3 Ta có k t qu : i) 16 - m < - 3 ⇔ m > 19: Vô nghi m. ii) 16 - m = - 3 ⇔ m = 19: x = - 1. iii) 16 - m > - 3 ⇔ m < 19: Hai nghi m phân bi t VD2. Bi n lu n theo m s nghi m phương trình x + m = m x 2 + 1 HD. x = 0 là nghi m v i m i m. x x ≠ 0: Pt ñã cho ⇔ x = m ( x2 + 1 − 1 ⇔) x2 + 1 −1 =m x ð t f ( x) = 2 ,x ≠ 0 x + 1 −1 x x2 + 1 − 1 − x x2 + 1 = 1 − x2 + 1 f '( x) = 2 2 < 0, x ≠ 0 ( 2 x +1 −1 ) 2 x +1 ( 2 x + 1 −1 ) x -∞ 0 +∞ f '(x) - + 1 +∞ f(x) -∞ 1 Ta có k t qu : i) m = 1 ⇔ x = 0. ii) m ≠ 1 ⇔ x = 0 và 1 nghi m khác. Bài t p tương t : BT1. Ch ng minh r ng n u n là s t nhiên ch n và a là m t s l n hơn 3 thì phương trình sau vô nghi m: (n + 1)xn + 2 - 3(n + 2)xn + 1 + an + 2 = 0 BT2. Tìm k ñ phương trình sau có 4 nghi m phân bi t: x4 - 4x3 + 8x - k = 0. Gi i phương trình khi k = 5. BT3. Cho 3 ≤ n ∈ N . Tìm nghi m x ∈  0;  c a phương trình: π   2 2− n cos n x + sin n x = 2 2 Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 19
  20. Phương trình không m u m c Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Chú ý r ng, bài toán này Tr n Phương có m t cách gi i khác cách l p b ng bi n thiên c a hàm s , m t cách gi i ñ y " n tư ng":  n − n − n n (2 − n ) 2 2−n sin x + sin x + 2 + ...2 ≥ n 2  n 2 2 n 2 ( sin x ) = n.2 2 sin 2 x n Trong 2 v trên có n -2 + − n  n − n − n n (2 − n ) 2 2−n h ng t 2 2  cos x + cos n x + 2 2 + ...2 2 ≥ n n 2 2 ( cos n x ) = n.2 2 cos 2 x  2− n 2−n 2− n ⇒ 2(sin n x + cos n x) + (n − 2).2 2 ≥ n.2 2 (sin 2 x + cos 2 x) = n.2 2 2− n ⇒ sin x + cos x ≥ n.2 n n 2 (1) ð ý r ng sinx > 0, cosx > 0. D u ñ ng th c (1) x y ra khi ch khi cosx = sinx π ⇔x= . 4 V. BI N LU N PHƯƠNG TRÌNH VÀ H PHƯƠNG TRÌNH B NG CÁCH XÉT CÁC D U HI U C N VÀ ð VD1. Tìm t t c các nghi m nguyên c a phương trình x 2 + x + 12 x + 1 = 36 HD. Pt ñã cho ⇔ 12 x + 1 = 36 − x − x 2 x +1 ≥ 0 −1 + 145 • D u hi u c n: x = 0 là nghi m thì  ⇔ −1 ≤ x ≤ 0 ⇒ 2 > 20 = 1 > x 1 − x (2) T (1)&(2)suy ra 2 x + x > 1 − x + x 2 Như th x = 0 là nghi m duy nh t. V y m = 0 tho . VD3. Tìm t t c các giá tr m ñ phương trình sau có nghi m duy nh t 4− x + 5+ x = m HD. • D u hi u c n: x là nghi m ⇔ 4 − x + 5 − x = m ⇔ 4 − (−1 − x) x + 5 + (1 − x) = m Tr n Xuân Bang- GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình không m u m c 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản