Phương trình lượng giác không mẫu mực-Nguyễn Tất Thu

Chia sẻ: Trần Bá Trung5 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

0
295
lượt xem
131
download

Phương trình lượng giác không mẫu mực-Nguyễn Tất Thu

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu " Phương trình lượng giác không mẫu mực-Nguyễn Tất Thu " giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình.Chúc các bạn học tốt

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương trình lượng giác không mẫu mực-Nguyễn Tất Thu

  1. 01699257507 Phương trình lư ng giác không m u m c http://nguyentatthu.violet.vn Chuyên ñ : Phương trình lư ng giác không m u m c ð gi i phương trình lư ng giác không m u m c, ta s d ng các phép bi n ñ i lư ng giác, ñưa phương trình ñã cho v nh ng d ng phương trình ñã bi t. Khi th c hi n các phép bi n ñ i c n chú ý m t s nguyên t c sau 1. ðưa v cùng m t hàm s lư ng giác: Trong m t phương trình n u các hàm s lư ng giác có m t trong phương trình có th cùng bi u di n qua ñư c m t hàm s lư ng giác thì ta ñưa phương trình ñã cho v hàm chung ñó r i s s ng phương pháp ñ t n ph ñ chuy n v phương trình ñ i s . Ví d 1: Gi i phương trình : cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0 ( ðH Kh i D – 2006 ). Ta th y các hàm s lư ng giác có m t trong phương trình ñ u bi u di n ñư c qua cosx. Do ñó ta chuy n phương trình ñã cho v phương trình ch ch a hàm s cosx. PT ⇔ 4 cos3 x − 3 cos x + (2 cos2 x − 1) − cos x − 1 = 0 ⇔ 2 cos3 x + cos2 x − 2 cos x − 1 = 0  t = ±1 ð t t = cos x, t ≤ 1 . Ta có: 2t + t − 2t − 1 = 0 ⇔ (t − 1)(2t + 1) = 0 ⇔  3 2 2 . t = − 1   2 * t = ±1 ⇔ cos x = ±1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ 1 1 2π 2π * t = − ⇔ cos x = − = cos ⇔x=± + k2π . 2 2 3 3 Ví d 2: Gi i phương trình : 3 cos 4x − 8 cos6 x + 2 cos2 x + 3 = 0 (D b Kh i B – 2003 ). Ta chuy n phương trình v phương trình ch ch a cos 2x PT ⇔ 3(2 cos2 2x − 1) − (1 + cos 2x)3 + 1 + cos 2x + 3 ⇔ cos 2x(cos2 2x − 3 cos 2x + 2) = 0 cos 2x = 0  π π ⇔ ⇔ x = + k .  4 2 cos 2x = 1   x = kπ  2. ðưa v cùng m t cung: Trong m t phương trình lư ng giác thư ng xu t hi n hàm s lư ng giác c a π các cung khác nhau (ch ng h n cung x; − x, 3x... ), khi ñó ta có th tìm cách ñưa v cùng m t cung n u 3 có th ñư c 1 1 7π Ví d 3: Gi i phương trình : + = 4 sin( − x) (ðH Kh i A – 2008 ) sin x 3π 4 sin(x − ) 2 3π 7 π Trong phương trình có ba cung x; x − ; − x nên ta tìm cách chuy n ba cung này v cùng m t cung x 2 4 3π  π  π Ta có: sin(x − ) = sin (x + ) − 2π  = sin(x + ) = cos x 2  2  2 7π  π  π sin( − x) = sin 2π − (x + ) = − sin(x + ) = − 4 4  4 1 ( sin x + cos x )  2 1 1 PT ⇔ + = −2 2(sin x + cos x) ⇔ (sin x + cos x)( 2 sin 2x + 1) = 0 sin x cos x Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa 1
  2. 01699257507 Phương trình lư ng giác không m u m c http://nguyentatthu.violet.vn sin x + cos x = 0  π   x = − + kπ ⇔ 1 ⇔ 4 . sin 2x = − π  x = − + kπ; x = − 5π  + kπ  2   8 8 Ví d 4: Gi i phương trình : 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x (ðH Kh i D – 2008 ). Ta chuy n cung 2x v cung x. PT ⇔ 4 sin x cos2 x + 2 sin x cos x = 1 + 2 cos x ⇔ 2 sin x cos x(2 cos x + 1) = 2 cos x + 1  π  x = + kπ ⇔ (2 cos x + 1)(sin 2x − 1) = 0 ⇔  4 .  x = ± 2π + k2π   3 3. Bi n ñ i tích thành t ng và ngư c l i: Trong phương trình xu t hi n tích c a các hàm s lư ng giác sn và cos thì ta có th bi n ñ i thành t ng (múc ñích là t o ra nh ng d i lư ng gi ng nhau ñ th c hi n các phép rút g n). N u xu t hi n t ng thì ta bi n ñ i v tích (M c ñích làm xu t hi n th a s chung ), ñ c bi t là ta s gép nh ng c p sao cho t ng ho c hi u hai cung b ng nhau. Ví d 5: Gi i phương trình : sin 2x. cos 3x = sin 5x. cos 6x .  π 1 1 x = k PT ⇔ sin 5x − sin x  = sin 11x − sin x  ⇔ sin 5x = sin 11x ⇔  6 2   2  π π x = +k   16 8 Ví d 6: Gi i phương trình : sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x . PT ⇔ (sin x + sin 3x) + sin 2x = (cos x + cos 3x) + cos 2x ⇔ 2 sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos 2x cos x + cos 2x ⇔ (2 cos x + 1)(sin 2x − cos 2x) = 0   2π cos x = − 1 x = ± + k2π ⇔ 2 ⇔ 3 .  x = π + k π  sin 2x = cos 2x    8 2 4. H b c: Khi gi i phương trình lư ng giác ta ph i s d ng các công th c bi n ñ i lư ng giác. Tuy nhiên nh ng công th c này ch s d ng khi hàm s lư ng giác có s mũ b ng 1, do ñó n u trong phương trình có s mũ c a các hàm s lư ng giác là ch n thì ta có th h b c ñ thu n ti n cho vi c bi n ñ i . Ví d 7: Gi i phương trình : sin2 3x − cos2 4x = sin 2 5x − cos2 6x (ðH Kh i B – 2002 ). Áp d ng công th c h b c, ta có: 1 − cos 6x 1 + cos 8x 1 − cos 10x 1 + cos 12x PT ⇔ − = − ⇔ cos 6x + cos 8x = cos 10x + cos 12x 2 2 2 2  π cos x = 0  x = + kπ ⇔ 2 cos 7x cos x = 2 cos 11x cos x ⇔  ⇔ 2 .  cos 11x = cos 7x x = k π ; x = k π    2 9 Ví d 8: Gi i phương trình : cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0 ( ðH Kh i A – 2005 ). PT ⇔ (1 + cos 6x) cos 2x − 1 − cos 2x = 0 ⇔ cos 6x. cos 2x − 1 = 0 (1) Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa 2
  3. 01699257507 Phương trình lư ng giác không m u m c http://nguyentatthu.violet.vn π ⇔ cos 8x + cos 4x − 2 = 0 ⇔ 2 cos2 4x + cos 4x − 3 = 0 ⇔ cos 4x = 1 ⇔ x = k . 2 Nh n xét: * (1) ta có th s d ng công th c nhân ba, thay cos 6x = 4 cos3 2x − 3 cos 2x và chuy n v phương trình trùng phương ñ i v i hàm s lư ng giác cos 2x . * Ta cũng có th s d ng các công th c nhân ngay t ñ u, chuy n phương trình ñã cho v phương trình ch ch a cosx và ñ t t = cos2 x Tuy nhiên cách ñư c trình bày trên là ñ p hơn c vì chúng ta ch s d ng công th c h b c và công th c bi n ñ i tích thành t ng ( Vì công th c nhân ba chúng ta không ñư c h c). 5. Chuy n hai hàm s tan và cot v hai hàm sin và cos: N u trong phương trình xu t hi n tan, cot và sin, cos thì ta thay tan, cot b i sin và cos và lúc ñó chúng ta d dàng tìm ñư c l i gi i hơn. Chú ý khi g p phương trình ch a tan hay cot, ta nh ñ t ñi u ki n cho phương trình ! ( ) Ví d 9: Gi i phương trình : 5 sin x − 2 = 3 1 − sin x tan2 x (ðH Kh i B – 2004 ). π ði u ki n : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ 2 sin2 x sin2 x PT ⇔ 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) ⇔ 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) cos2 x 1 − sin2 x sin2 x ⇔ 5 sin x − 2 = 3 ⇔ (5 sin x − 2)(1 + sin x) = 3 sin2 x ⇔ 2 sin2 x + 3 sin x − 2 = 0 1 + sin x  π 1 π  x = + k2π ⇔ sin x = = sin ⇔  6 . 2 6 x = 5π + k2π   6 x π x Ví d 10: Gi i phương trình : sin2  −  tan2 x − cos2 = 0 (ðH Kh i D – 2003 ). 2 4 2 π ði u ki n : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ . 2  π  sin x 2 sin2 x PT ⇔ 1 − cos(x − ) − (1 + cos x) = 0 ⇔ (1 − sin x) − (1 + cos x) = 0  2  cos2 x 1 − sin2 x sin2 x ⇔ − (1 + cos x) = 0 ⇔ (1 − cos2 x) − (1 + cos x)(1 + sin x) = 0 1 + sin x cos x = 1  x = k2π ⇔ (1 − cos x)(cos x − sin x) = 0 ⇔  ⇔  x = π + kπ .  tan x = 1    4 Trên là m t s nguyên t c chung thư ng ñư c s d ng trong các phép bi n ñ i phương trình lư ng giác. M c ñích c a các phép bi n ñ i ñó là nh m các m c ñích sau: 1. ðưa phương trình ban ñ u v phương trình lư ng giác thư ng g p (Thư ng là ñưa v phương trình ña th c ñ i v i m t hàm s lư ng giác) Ví d 1: Gi i phương trình : 1 + 3 tan x = 2 sin 2x (ðH Công ðoàn – 2000). Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa 3
  4. 01699257507 Phương trình lư ng giác không m u m c http://nguyentatthu.violet.vn π Gi i: ði u ki n : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ 2 sin x PT ⇔ 1 + 3 = 4 sin x cos x ⇔ cos x + 3 sin x = 4 sin x cos2 x . ðây là phương trình ñ ng c p b c ba cos x nên ta chia hai v c a phương trình cho cos3 x (do cos x ≠ 0 ), ta ñư c phương trình : 1 tan x +3 = 4 tan x ⇔ 1 + tan2 x + 3 tan x(1 + tan2 x) = 4 tan x 2 2 cos x cos x π ⇔ 3 tan 3 x + tan2 x − tan x + 1 = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + kπ th a ñi u ki n . 4 Nh n xét: ð gi i phương trình này ngay t ñ u ta có th chia hai v c a phương trình cho cos2 x ho c s 2 sin x cos x 2 tan x d ng công th c sin 2x = = và chuy n phương trình ban ñ u v phương trình ch sin2 x + cos2 x 1 + tan2 x ch a hàm tan như trên. 2 Ví d 2: Gi i phương trình : cot x − tgx + 4 sin 2x = ( ðH Kh i B – 2003 ). sin 2x π Gi i: ði u ki n: sin 2x ≠ 0 ⇔ x ≠ k 2 cos x sin x 1 PT ⇔ − + 4 sin 2x = ⇔ cos2 x − sin2 x + 4 sin 2x. sin x cos x = 1 sin x cos x sin x cos x 1 ⇔ cos 2x + 2 sin2 2x − 1 = 0 ⇔ 2 cos2 2x − cos 2x − 1 = 0 ⇔ cos2x = − (do 2 sin 2x ≠ 0 ⇔ cos2x ≠ ±1 ) π ⇔ x = ± + kπ . 3 2 Chú ý : Ta c n lưu ý ñ n công th c: tan x + cot x = và cot x − tan x = 2 cot 2x > sin 2x Ví d 3: Gi i phương trình : sin6 x + cos6 x = sin 2x (HVBCVT TPHCM – 2001 ). Gi i: 3 Ta có sin6 x + cos6 x = (sin2 x + cos2 x)3 − 3 sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x) = 1 − sin2 2x 4 3 2 2 Nên pt ⇔ 1 − sin 2x = sin 2x ⇔ 3 sin2 2x + 4 sin 2x − 4 = 0 ⇔ sin 2x = 4 3  1 2  x = arcsin + kπ ⇔ 2 3 . π 1  x = − arcsin + kπ2   2 2 3 Chú ý : Ta c n lưu ý ñ n công th c 1 3 1 sin4 x + cos4 x = 1 − sin2 2x = + cos 4x . 2 4 4 Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa 4
  5. 01699257507 Phương trình lư ng giác không m u m c http://nguyentatthu.violet.vn 3 2 5 3 sin6 x + cos6 x = 1 − sin 2x = + cos 4x . 4 8 8 π π 3 Ví d 4: Gi i phương trình: cos4 x + sin4 x + cos(x − ) sin(3x − ) − = 0 (ðH Kh i D – 2005 ). 4 4 2 1 Gi i: Ta có: sin 4 x + cos4 x = 1 − sin2 2x 2 π π 4 1 2 π 2  1  2 ( 1 2 ) ( sin(3x − ) cos(x − ) = sin(4x − ) + sin 2x  = − cos 4x + sin 2x = 2 sin2 2x + sin 2x − 1 4 ) Nên pt ⇔ 1 − 1 2 2 1 ( 3 ) sin 2x + 2 sin2 2x + sin 2x − 1 − = 0 ⇔ sin2 2x + sin 2x − 2 = 0 2 2 π ⇔ sin 2x = 1 ⇔ x = + kπ . 4 2. ðưa phương trình v phương trình d ng tích : T c là ta bi n ñ i phương trình f(x) = 0 v d ng g(x) = 0 h(x).g(x) = 0 . Khi ñó vi c gi i phương trình ban ñ u ñư c quy v gi i hai phương trình :  . h(x) = 0  Trong m c ñích này, ta c n làm xu t hi n nhân t chung. M t s lưu ý khi tìm nhân t chung : Các bi u th c 1 + sin 2x = (s inx + cos x)2 ; cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x) ; sin x + cos x sin x + cos x 1 + tan x = ; 1 + cot x = nên chúng có th a s chung là sin x + cos x . cos x sin x Các bi u th c 1 − sin 2x ; cos 2x ; 1 − tan x ; 1 − cot x có th a s chung là cos x − sin x . sin2 x; tan2 x có th a s (1 − cos x)(1 + cos x) . Tương t cos2 x; cot2 x có th a s (1 − sin x)(1 + sin x) . Ví d 1: Gi i phương trình: 1+ sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0 (ðH Kh i B – 2005 ). Gi i: PT ⇔ (1 + sin 2x) + (sin x + cos x) + cos2 x − sin2 x = 0 ⇔ (sin x + cos x)2 + (sin x + cos x) + (cos x − sin x)(cos x + sin x) = 0 sin x + cos x = 0  π  x = − + kπ ⇔ (sin x + cos x)(2 cos x + 1) = 0 ⇔  ⇔ 4 . cos x = − 1 x = ± 2π   2 + k2π   3 Nh n xét: Ngoài cách bi n ñ i trên, ta có th bi n ñ i cách khác như sau PT ⇔ 2 cos2 + cos x + sin x + 2 sin x cos x = 0 ⇔ cos x(2 cos+ 1) + sin x(2 cos x + 1) = 0 ⇔ (2 cos x + 1)(sin x + cos x) = 0 . M c dù hai cách bi n ñ i trên khác nhau nhưng chúng ñ u d a trên nguyên t c ”ñưa v m t cung”. cos2 x(cos x − 1) Ví d 2: Gi i phương trình: = 2(1 + sin x) (D b Kh i D – 2003 ). sin x + cos x π Gi i: ðk: sin x + cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ − + kπ 4 PT ⇔ (1 − sin x)(1 + sin x)(cos x − 1) = 2(sin x + cos x)(1 + sin x) Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa 5
  6. 01699257507 Phương trình lư ng giác không m u m c http://nguyentatthu.violet.vn ⇔ (1 + sin x)(sin x + cos x + sin x cos x + 1) = 0 ⇔ (1 + sin x)2 (1 + cos x) = 0 sin x = −1  π ⇔ ⇔  x = − + k2π .  2 cos x = −1   x = π + k2π  Ví d 3: Gi i phương trình: 3 cot2 x + 2 2 sin2 x = (2 + 3 2) cos x . Gi i: ðk: x ≠ kπ 3 cos2 x PT ⇔ + 2 2 sin2 x = (2 + 3 2) cos x . 2 sin x ⇔ 3 cos2 x − 3 2 sin2 x. cos x + 2 2 sin 4 x − 2 sin2 x cos x = 0  2 cos2 x + cos x − 2 = 0 ⇔ (cos x − 2 sin2 x)(3 cos x − 2 sin2 x) = 0 ⇔  2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0   −1 + 3  6− 2 cos x =  x = ± arccos + k2π ⇔ 2 ⇔ 2 .  1  x = ± π + k2π cos x =   2  3 Ví d 4: Gi i phương trình: 2 sin 2x − cos 2x = 7 sin x + 2 cos x − 4 . Gi i: PT ⇔ 4 sin x cos x − 1 + 2 sin2 x − 7 sin x − 2 cos x + 4 = 0 ⇔ 2 cos x(2 sin x − 1) + (2 sin x − 1)(sin x − 3) = 0 ⇔ (2 sin x − 1)(2 cos x + sin x − 3) = 0   π sin x = 1  x = + k2π ⇔ 2 ⇔ 6  x = 5π 2 cos x + sin x − 3 = 0   + k2π  6 ( Lưu ý : | a sin x + b cos x |≤ a 2 + b2 ⇒ 2 cos x + sin x ≤ 5 < 3 ). Nh n xét: Khi s d ng công th c nhân ñôi, ta c n lưu ý là cos 2x có ba công th c ñ thay nên tuy t ng phương trình mà chúng ta ch n công th c phù h p. Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa 6
Đồng bộ tài khoản