PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

Chia sẻ: pretty16

Tham khảo tài liệu 'phương trình mũ – logarit', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

 

  1. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH CHUYEÂN ÑEÀ 1. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – LOGARIT DAÏNG 1. PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN Phương trình mũ cơ b n có d ng: a x = m , trong ñó a > 0, a ≠ 1 và m là s ñã cho. ● N u m ≤ 0 , thì phương trình a x = m vô nghi m. ● N u m > 0 , thì phương trình a x = m có nghi m duy nh t x = log a m. Bài 1. Gi i các phương trình sau: 1) 5x +1 + 6.5x − 3.5x −1 = 52 2) 3x +1 + 3x + 2 + 3x +3 = 9.5x + 5x +1 + 5x + 2 3) 3x.2 x +1 = 72 2 −3x + 2 2 + 6x +5 2 +3x +7 4) 4x + 4x = 42x +1 5) 5.32x −1 − 7.3x −1 + 1 − 6.3x + 9 x +1 Bài 2. Gi i các phương trình sau: 1) log 3 x ( x + 2 ) = 1 2) log 2 ( x 2 − 3) − log 2 ( 6x − 10 ) + 1 = 0 3) log ( x + 15 ) + log ( 2x − 5 ) = 2 4) log 2 ( 2x +1 − 5 ) = x Bài 3. Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau: x −1 1) 3x +1 − 2.3x − 2 = 25 2) log 2 + log 2 ( x − 1)( x + 4 ) = 2 x+4 3) 3.2x +1 + 2.5x − 2 = 5x + 2x − 2 4) log x 2 16 − log x 7=2 x 3x −1 4 7 6) 2 log8 ( 2x ) + log 8 ( x 2 − 2x + 1) = 16 4 5)     − =0 7 4 49 3 1 1 7) 4log x +1 − 6log x = 2.3log x +2 8) 2.5x +1 − .4 x + 2 − .5x + 2 = 4x +1 2 5 4 9) log 3 ( x − 2 ) log5 x = 2 log3 ( x − 2 ) 10) 3 2x −5 − 5 2 x −7 = 32 11) 3 (10x − 6x + 2 ) + 4.10 x +1 = 5 (10x −1 − 6 x −1 )
  2. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH DAÏNG 2. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ CUØNG CÔ SOÁ Phương pháp ñưa v cùng cơ s S d ng công th c: ● aα = a β ⇔ α = β .  b > 0 ( hoÆc c > 0 )  ● log a b = log a c ⇔  b = c  Bài 1. Gi i các phương trình sau: 1) 52x +1 + 7 x +1 − 175x − 35 = 0 3) x 2 .2 x +1 + 2 x −3 + 2 = x 2 .2 x −3 + 4 + 2 x −1 1 1 + 21− x = 2( x +1) 2 2) 3.4x + .9 x + 2 = 6.4 x +1 − .9 x +1 +x +1 2 2 4) 4x 3 2 Bài 2. Gi i các phương trình sau: 1) log x 2.log x 2 = log x 2 16 64 5 2) log 5x + log 5 x = 1 2 x 3) log 2 x + log 3 x + log 4 x = log 20 x 1 4) log 2 ( 3x − 1) + = 2 + log 2 ( x + 1) log ( x +3) 2 x −1 5) log 9 ( x 2 − 5x + 6 ) = 2 1 log 3 + log 3 x − 3 2 2 ( ) ( 6) log 2 x 2 + 3x + 2 + log 2 x 2 + 7x + 12 = 3 + log 2 3 ) 1 1 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4x ) 8 Bài 3. Gi i phương trình sau: log 2 2 4 Bài 4. Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau: 2 − 3x 1 x 1) 9   = 27 x . 3 81x +3 6) log 5 ( 6 − 4x − x 2 ) = 2 log 5 ( x + 4 )  3 1 2) 3.13x + 13x +1 − 2 x + 2 = 5.2 x +1 7) 2 log ( x − 1) = log x 5 − log x 2 3) log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2 8) 2 log9 x = log 3 x.log3 2 ( ) 2x + 1 − 1 x −1 4) log 5 ( x 2 + 2x − 3) = log 9) log 4 ( x 2 − 1) − log 4 ( x − 1) = log 4 x − 2 2 5 x+3 5) log 4 ( x + 1) + 2 = log 4 − x + log8 ( 4 + x ) 2 3 2
  3. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH DAÏNG 3. ÑÖA VEÀ DAÏNG TÍCH A.B = 0 +x −x − 4.2 x − 22x + 4 = 0 2 2 Ví d 1: Gi i phương trình: 2x HD: 2x 2 +x − 4.2 x 2 −x − 22x + 4 = 0 ⇔ (2 x2 −x ) − 1 . ( 22x − 4 ) = 0 Nh n xét: M c dù cùng cơ s 2 nhưng không th bi n ñ i ñ ñ t ñư c n ph do ñó ta ph i phân ( tích thành 2 x 2 −x ) − 1 . ( 22 x − 4 ) . ðây là phương trình tích ñã bi t cách gi i. Bài 1. Gi i các phương trình sau: 1) 8.3x + 3.2 x = 24 + 6x +x −x − 4.2x − 22x + 4 = 0 2 2 2) 2x 3) 12.3x + 3.15x − 5x +1 = 20 Ví d 2: Gi i phương trình: 2 ( log 9 x ) = log 3 x.log 3 2 ( ) 2x + 1 − 1 . Nh n xét: Tương t như trên ta ph i bi n ñ i phương trình thành tích log 3 x − 2 log 3  ( ) 2 x + 1 − 1  .log 3 x = 0 . ðây là phương trình tích ñã bi t cách gi i.  T ng quát: Trong nhi u trư ng h p cùng cơ s nhưng không th bi n ñ i ñ ñ t n ph ñư c thì ta bi n ñ i thành tích. Bài 2. Gi i phương trình: log 2 x + 2.log 7 x = 2 + log 2 x.log 7 x . DAÏNG 3. PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHUÏ S d ng công th c v hàm s mũ và lôgarit ñ bi n ñ i bài toán, sau ñó ñ t n s ph , quy phương trình ñã cho v các phương trình ñ i s (phương trình ch a ho c không ch a căn th c). Sau khi gi i phương trình trung gian ta quy v gi i ti p các phương trình mũ ho c lôgarit cơ b n A - Phương pháp ñ t n ph d ng 1. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ ● Phương trình α k a kx + α k −1a (k −1) x + α k − 2a (k −2)x + ... + α1a x + α 0 = 0 , khi ñó ta ñ t t = a x , t > 0 . 1 ● Phương trình α1a x + α 2 b x + α 3 = 0 , v i a.b = 1 . Khi ñó ñ t t = a x , t > 0 ⇒ b x = , ta ñư c t phương trình: α1t 2 + α 3 t + α 2 = 0 . ● Phương trình α1a 2x + α 2 (ab) x + α 3 b 2x = 0 . Chia hai v cho a 2x ho c b 2x ta ñư c 2x x x a a a α1   + α 2   + α 3 = 0 , ñ t t =   , t > 0 . b b b
  4. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH Bài 1. Gi i các phương trình sau: 1) 4x + x2 −2 − 5.2 x −1+ x2 −2 −6 = 0 2) 43+ 2cos x − 7.41+ cos x − 2 = 0 ( 26 + 15 3 ) ( ) ( ) x x x 3) +2 7+4 3 −2 2− 3 =1 Bài 2. Gi i các phương trình sau: (2 − 3) + (2 + 3)  8   x 1  x x 1) = 14 3)  23x − 3x  − 6  2 − x −1  = 1  2   2  2) 5.23 x −1 − 3.25−3x + 7 = 0 4) 27 x + 12 x = 2.8x PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT 1 ● N u ñ t t = log a x, ( x > 0 ) thì log a x = t k ; log x a = , 0 < x ≠ 1. . k t ● N u ñ t t = a logb x thì t = x logb a . Vì a logbc = clogba . Bài 1. Gi i các phương trình sau: 1) log 2 ( 4 x +1 + 4 ) .log 2 ( 4 x + 1) = 3 1 4) log x 3 + log 3 x = log x 3 + log 3 x + 2 2) log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2 5) log 2 ( x + 1) = log x +1 16 4 3) log x (125x ) .log 25 x = 1 2 6) ( 2 − log3 x ) log9x 3 − =1 1 − log 3 x Bài 2. Gi i các phương trình sau: ( 1) log 6.5x + 25.20 x = x + log 25 ) 3) log 2 x = log8 4x log 4 2x log16 8x 2) log 2 x.log x (4x 2 ) = 12 2 4) log 2 x = log 3 ( x +2 ) B - Phương pháp ñ t n ph d ng 2. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ Phương pháp: Ý tư ng là s d ng m t n ph chuy n phương trình ban ñ u thành m t phương trình v i m t n ph nhưng các h só v n còn ch a n x. Khi ñó thư ng ta ñư c m t phương trình b c 2 theo n ph có bi t s ∆ là m t s chính phương. Ví d : Gi i phương trình: 9x + 2 ( x − 2 ) 3x + 2x − 5 = 0 . HD: ð t t = 3x (*) , khi ñó ta có: t 2 + 2 ( x − 2 ) t + 2x − 5 = 0 ⇒ t = −1, t = 5 − 2x . Thay vào (*) ta tìm ñư c x. Lưu ý: Phương pháp này ch s d ng khi ∆ là s chính phương.
  5. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH ( Gi i phương trình: 9x + x 2 − 3 3x − 2x 2 + 2 = 0 ) 2 2 Bài 1. Bài 2. Gi i phương trình: 42x + 23x +1 + 2x + 3 − 16 = 0 PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Ví d 2: Gi i phương trình: log 3 ( x + 1) + ( x − 5 ) log 3 ( x + 1) − 2x + 6 = 0 2 HD: ð t t = log 3 ( x + 1) , ta có: t 2 + ( x − 5 ) t − 2x + 6 = 0 ⇒ t = 2, t = 3 − x . Suy ra x = 8, x = 2. Bài 1. Gi i phương trình: lg 2 ( x 2 + 1) + ( x 2 − 5 ) lg ( x 2 + 1) − 5x 2 = 0 Bài 2. Gi i các phương trình sau: 1) lg 2 x − lgxlog 2 ( 4x ) + 2log 2 x = 0 2) lg 4 x + lg 3 x − 2lg 2 x − 9lgx − 9 = 0 C - Phương pháp ñ t n ph d ng 3. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ Phương pháp: L a ch n n ph thích h p r i chuy n phương trình v h ñơn gi n. +1 + 21− x = 2(x +1) + 1 2 2 2 Bài 1. Gi i phương trình: 4x −3x + 2 + 6x + 5 +3x + 7 + 4x = 42x +1 2 2 2 Bài 2. Gi i phương trình: 4x PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT S d ng 2 n ph cho 2 bi u th c logarit trong phương trình và khéo léo bi n ñ i phương trình thành phương trình tích. Bài 1. Gi i phương trình: log 2 x ( x − 1) + log 2 xlog 2 x 2 − x − 2 = 0 2 ( ) Bài 2. Gi i phương trình: log 2 x − log 2 x + log 3 x − log 2 xlog 3 x = 0 2 ( ) ( ) log 2 x log 2 x Bài 3. Gi i phương trình: 2 + 2 +x 2− 2 = 1 + x2 D - Phương pháp ñ t n ph d ng 4. ð t n ph chuy n thành h phương trình. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ 2x 8 18 Ví d : Gi i phương trình: x −1 + = x −1 1− x 2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2 x 8 1 18 HD: Vi t phương trình dư i d ng x −1 + = x −1 1− x 1− x , ñ t 2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2 u = 2 x −1 + 1, v = 21− x + 1; u, v > 0 .
  6. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 8 1 18  + = Nh n xét: u.v = u + v. T ñó ta có h :  u v u + v u.v = u + v  Bài 1. Gi i phương trình: 22x − 2 x + 6 = 6 PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Bài 1. ( ) ( Gi i phương trình: log 2 x − x 2 − 1 + 3log 2 x + x 2 − 1 = 2 ) Bài 2. Gi i phương trình: 3 2 − lgx = 1 − lgx − 1 Bài 3. ( ) ( Gi i phương trình: 3 + log 2 x 2 − 4x + 5 + 2 5 − log 2 x 2 − 4x + 5 = 6 ) E - Phương pháp ñ t n ph d ng 5. PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT S d ng m t n ph chuy n phương trình ban ñ u thành m t h phương trình v i m t n ph và m t n x. Ta th c hi n các bư c: + ð t ñi u ki n có nghĩa cho phương trình. + Bi n ñ i phương trình v d ng: f(x; φ (x)) = 0.  y = φ ( x) + ð t y = φ (x) ñưa v h :  .  f ( x; y ) = 0 Chú ý: ð i v i phương trình logarít có m t d ng r t ñ c bi t, ñó là phương trình d ng s ax +b = c.log s (dx + e) + α x + β . V i d = ac + α ; e = bc + β . Cách gi i: 0 < s ≠ 1 - ði u ki n có nghĩa c a phương trình:   dx + e ≠ 0 - ð t ay + b = log s (dx + e) khi ñó phương trình ñã cho tr thành:  s ax +b = c(ay + b) + α x + β  s ax +b = acy + α x + bc + β  s ax +b = acy + (d − ac) x + e(1)  ⇔  ay +b ⇔  ay +b ay + b = log s (dx + e) s = dx + e s = dx + e(2) - L y (1) tr cho (2) ta ñư c: s ax +b + acx = s ay +b + acy (3). - Xét hàm s f ( x) = s at +b + act là hàm s dơn ñi u trên R. T (3) ta có f(x) = f(y) ⇔ x = y, khi ñó (2) ⇔ s ax +b = dx + e (4) dùng phương pháp hàm s ñ xác ñ nh nghi m phương trình (4). Ví d : Gi i phương trình: 7 x −1 = 6log 7 ( 6x − 5 ) + 1 HD: ð t y − 1 = log 7 ( 6x − 5 ) . Khi ñó chuy n thành h
  7. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 7 x −1 = 6 ( y − 1) + 1   x −1 7 = 6y − 5  ⇔  y −1 ⇒ 7 x −1 + 6x = 7 y−1 + 6y .  y − 1 = log 7 ( 6x − 5 )  7 = 6x − 5  Xét hàm s f ( t ) = 7 t −1 + 6t suy ra x = y , Khi ñó 7 x −1 − 6x + 5 = 0 . Xét hàm s g ( x ) = 7 x −1 − 6x + 5 . Nh m nghi m ta ñư c 2 nghi m: x = 1, x = 2. Bài 2. Gi i các phương trình sau: 1) log 2 x + log 2 x + 1 = 1 2 3) 3log 2 x + 1 = 4log 2 x + 13log 2 x − 5 2 2) lgx + 1 = lg 2 x + 4lgx + 5 4) 3log 2 x + 1 = −4log 2 x + 13log 2 x − 5 2 Bài 3. Gi i các phương trình sau: 1) lgx + 1 = lg 2 x + 4lgx + 5 3) 6 x = 3log 6 ( 5x − 1) + 2x + 1 2) log 3 x + 2 = 3 3 3log 3 x − 2 2 4) x 3 + 1 = 3 3 2x − 1 Bài 4. Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau: ( ) ( ) =5 cosx cosx 1) 9x − 10.3x + 9 = 0 16) 7+4 3 + 7−4 3 2 17) ( 3) +( 2− 3) = 2 x x 2) 4x − 6.2x + 8 = 0 2+ 2 2 x 18) ( 15 ) + ( 4 + 15 ) = 8 x x 3) 15.25x − 34.15x + 15.9 x = 0 4− 2 2 2 (2 + 3) + (2 − 3) ( ) + (7 − 3 5 ) x x x x 4) =4 19) 7 + 3 5 = 14.2 x 5) 5x −1 + 5.0, 2 x − 2 = 26 20) log x 3x .log 3 x + 1 = 0 log 2 x log8 4x 6) 25x − 12.2x − 6, 25.0,16x = 0 21) = log 4 2x log16 8x 1 3 3+ 7) 64 − 2 x x + 12 = 0 22) 1 + 2 log x + 2 5 = log 5 ( x + 2 ) 8) 4x − 4 x +1 = 3.2x + x 23) log ( log x ) + log ( log x 3 − 2 ) = 0 9) 9x − 8.3x + 7 = 0 24) log 3 ( 3x − 1) .log ( 3x +1 − 3) = 6 25) log 2 ( 9 − 2 x ) = 3 − x 1 2x −1 10) .4 + 21 = 13.4x −1 2 1 1 1 5 11) 6.9 − 13.6 + 6.4 = 0 x x x 26) log 3 x + log x 3 = 2 12) 3 25x − 3 9x + 3 15x = 0 27) 2x log 2 x + 2x −3log8 x − 5 = 0 13) 9sin x + 9cos x = 10 28) 5log 2 x + 2.x log 2 5 = 15 2 2
  8. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH log 2 ( 5x ) −1 14) 2sin x + 5.2cos x = 7 − x log5 7 = 0 2 2 29) 7 25 15) 4cos2x + 4cos x = 3 30) 25log x = 5 + 4.x log5 2 F - M t s bài toán (ñ c bi t là các bài logarrit) ta thư ng ph i ñưa v phương trình – h phương trình – b t phương trình mũ r i s d ng các phương pháp trên. ●D ng 1. Khác cơ s Ví d : Gi i phương trình: log 7 x = log 3 ( x + 2) . ð t t = log 7 x ⇒ x = 7 t . t ( )  7 t 1 Phương trình tr thành t = log 3 7 +2 t ⇔ 3 = 7 +2 ⇔ 1=  t    + 2.   t  3  3 ●D ng 2. Khác cơ s và bi u th c trong d u log ph c t p Ví d 1: Gi i phương trình: log 4 6 ( x 2 − 2x − 2 ) = 2 log 5 (x 2 − 2x − 3) . ð t t = x 2 − 2x − 3 , ta có log 6 ( t + 1) = log 5 t . Ví d 2: Gi i phương trình: log 2 ( x + 3log6 x ) = log 6 x . t 3 ð t t = log 6 x , phương trình tương ñương 6 t + 3t = 2 t ⇔ 3t +   = 1 . 2 log b ( x + c ) ●D ng 3. a = x . (ði u ki n: b = a + c ) Ví d 1. Gi i phương trình: 4log7 ( x +3) = x . ð t t = log 7 ( x + 3) ⇒ 7 t = x + 3 t t 4 1 Phương trình tr thành: 4t = 7 t − 3 ⇔   + 3.   = 1 . 7 7 Ví d 2. Gi i phương trình: 2log3 ( x + 5) = x + 4. ð t t = x + 4 . Phương trình tr thành: 2log3 ( t +1) = t .
  9. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH DAÏNG 5. PHÖÔNG PHAÙP LOÂGARIT HOÙA S d ng công th c l y logarit hai v c a phương trình v i cơ s thích h p. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ 0 < a ≠ 1, b > 0 ● D ng 1: a f (x) = b ⇔  f (x) = log a b. ● D ng 2: a f (x) = b g(x) ⇔ log a a f (x) = log a b g(x ) ⇔ f (x) = g(x).log a b. Bài 1. Gi i các phương trình sau: 2 1) x log4 x − 2 = 23( log4 x −1) x + lg x 3 + 3 = 2 2) x lg 1 1 − 1 + x −1 1+ x +1 Bài 2. Gi i các phương trình sau: 4x +1 3x + 2 2 1 1)   =  2) x lg x = 1000x 2 5 7 PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT 0 < a ≠ 1 ● D ng 1: log a f (x) = b ⇔  . f (x) = a b 0 < a ≠ 1 ● D ng 2: log a f (x) = log a g(x) ⇔  f (x) = g(x) > 0 Bài 1. Gi i các phương trình sau: 1) log x ( x 2 + 4x − 4 ) = 3 3) log x ( x + 6 ) = 3 { 2) log 4 2log 3 1 + log 2 (1 + 3log 2 x )  =   } 1 2 Bài 2. Gi i các phương trình sau:  2x −3  log3   1) 2  x  =1 3) log 2 (x − 1) 2 = 2log 2 (x 3 + x + 1) ( ) 2) log 2 x 2 − 1 = log 1 ( x − 1) 4) x + lg(1 + 2 x ) = xlg5 + lg6 2 Bài 3. Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau: 1) 4.9x −1 = 3 22x +1 2) 23 = 32 x x − 2x .3x = 1,5 4) 5x .3x = 1 2 2 3) 2x 2x −1 x 5) 5 .2x x +1 = 50 x 6) 3 .8 x+2 =6 3x 7) 3x.2 x + 2 = 6 .
  10. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH DAÏNG 6. PHÖÔNG PHAÙP SÖÛ DUÏNG TÍNH ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ ● Nh m nghi m và s d ng tính ñơn ñi u ñ ch ng minh nghi m duy nh t (thư ng là s d ng công c ñ o hàm) ● Ta thư ng s d ng các tính ch t sau: Tính ch t 1: N u hàm s f tăng ( ho c gi m ) trong kho ng (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá m t nghi m trong kho ng (a;b). ( do ñó n u t n t i x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì ñó là nghi m duy nhat c a phương trình f(x) = C) Tính ch t 2 : N u hàm f tăng trong kho ng (a;b) và hàm g là hàm m t hàm gi m trong kho ng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhi u nh t m t nghi m trong kho ng (a;b). ( do ñó n u t n t i x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì ñó là nghi m duy nh t c a phương trình f(x) = g(x)) Tính ch t 3 : ð nh lí Rôn: N u hàm s y = f ( x ) l i ho c lõm trên kho ng ( a; b ) thì phương trình f ( x ) = 0 có không qua hai nghi m thu c kho ng ( a; b ) . Ví d 1: Gi i phương trình: x + 2.3log2 x = 3 HD: x + 2.3log2 x = 3 ⇔ 2.3lo g2 x = 3 − x , v trái là hàm ñ ng bi n, v ph i là hàm ngh ch bi n nên phương trình có nghi m duy nh t x = 1 . Ví d 2: Gi i phương trình: 6 x + 2 x = 5x + 3x . HD: Phương trình tương ñương 6 x − 5x = 3x − 2 x , gi s phương trình có nghi m α. f ( t ) = ( t + 1) − tα , v i t > 0 . Ta nh n th y α Khi ñó: 6α − 5α = 3α − 2α . Xét hàm s f ( 5) = f ( 2 ) nên theo ñ nh lý lagrange t n t i c ∈ ( 2;5 ) sao cho: f ' ( c ) = 0 ⇔ α ( c + 1) α −1 − cα −1  = 0 ⇔ α = 0, α = 1 , th l i ta th y x = 0, x = 1 là   nghi m c a phương trình. Gi i phương trình: −2 x −x + 2x −1 = ( x − 1) . 2 2 Ví d 3: HD: Vi t l i phương trình dư i d ng 2x −1 + x − 1 = 2 x −x + x 2 − x , xét hàm s 2 f ( t ) = 2 t + t là hàm ñ ng bi n trên R (???). V y phương trình ñư c vi t dư i d ng: f ( x − 1) = f ( x 2 − x ) ⇔ x − 1 = x 2 − x ⇔ x = 1 . Ví d 4: Gi i phương trình: 3x + 2 x = 3x + 2 . HD: D dàng ta tìm ñư c nghi m: x = 0 và x = 1 . Ta c n ch ng minh không còn nghi m nào khác.
  11. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH Xét hàm s f ( x ) = 3x + 2 x − 3x − 2 ⇒ f '' ( x ) = 3x ln 2 3 + 2 x ln 2 2 > 0 ⇒ ð th c a hàm s này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghi m. (ð nh lí Rôn)  x y e = 2007 − 2  y −1 Ví d 5: Ch ng minh h phương trình  có ñúng hai nghi m th a mãn e y = 2007 − x   x 2 −1 x > 0, y > 0. x HD: Dùng tính ch t 2 ñ ch ra x = y khi ñó xét hàm s f ( x ) = e x + − 2007 . x2 −1 ● N u x < −1 thì f ( x ) < e −1 − 2007 < 0 suy ra h phương trình vô nghi m. ● N u x > 1 dùng ñ nh lý Rôn và ch ra v i x 0 = 2 thì f ( 2 ) < 0 ñ suy ra ñi u ph i ch ng minh. b a  1  1  Ví d 6: Cho a ≥ b > 0 . Ch ng minh r ng:  2a + a  ≤  2b + b   2   2   1   b 1  ln  2a + a  ln  2 + b   1   1  HD: B t ñ ng th c ⇔ b ln  2a + a  ≤ a ln  2b + b  ⇔  ≤  . 2 2  2   2  a b  1  ln  2 x + x  Xét hàm s f ( x ) =  2  v i x > 0, x Suy ra f’ ( x ) < 0 v i m i x > 0 nên hàm s ngh ch bi n v y v i a ≥ b > 0 ta có f(a) ≤ f ( b ) . Bài 1. Gi i các phương trình sau: 1) 3x + 4x = 5x 7) 4 x − 3x = 1 ( ) 2) log 2 1 + x = log 3 x ( ) 8) log 2 x + 3log6 x = log 6 x 3) x log 2 9 = x 2 .3log2 x − x log 2 3 9) 3.25x − 2 + ( 3x − 10 ) 5x − 2 + 3 − x = 0 4) x 2 .3x + 3x (12 − 7x ) = − x 3 + 8x 2 − 19x + 12 5) 4 ( x − 2 ) log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2 )  = 15 ( x + 1)   1 1 1 6) 5x + 4 x + 3x + 2x = + + − 2x 3 + 5x 2 − 7x + 17 2 x 3x 6 x Bài 2. Gi i các phương trình sau:
  12. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH x 1) 2x = 1 + 3 2 4) 25x − 2 ( 3 − x ) 5x + 2x − 7 = 0 2) 2 3− x = − x 2 + 8x − 14 5) 8 − x.2 x + 23− x − x = 0 3) log 2 x = 3 − x 6) l og 2 x + ( x − 1) log 2 x = 6 − 2x 2 Bài 3. Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau: 1) 4x + 9 x = 25x 2) ( x + 2 ) log 3 ( x + 1) + 4 ( x + 1) log3 ( x + 1) − 16 = 0 2 3) 9x + 2 ( x − 2 ) .3x + 2x − 5 = 0 ( ) 4) x + log x 2 − x − 6 = 4 + log ( x + 2 ) 5) ( x + 3) log3 ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 ) log3 ( x + 2 ) = 16 2 DAÏNG 7. MOÄT VAØI BAØI KHOÂNG MAÃU MÖÏC Bài 1. Gi i phương trình: 4x − 2.2 x + 2 ( 2x − 1) sin ( 2 x + y − 1) + 2 = 0 HD: phương trình 4x − 2.2 x + 2 ( 2x − 1) sin ( 2 x + y − 1) + 2 = 0 ⇔ ( 2 x − 1) + 2 ( 2 x − 1) sin ( 2 x + y − 1) + sin 2 ( 2x + y − 1) + cos 2 ( 2 x + y − 1) = 0 2 ⇔ ( 2 x − 1) + sin ( 2x + y − 1)  + cos 2 ( 2 x + y − 1) = 0 2   ( 2x − 1) + sin ( 2 x + y − 1) = 0  ⇔ cos ( 2 + y − 1) = 0 x  Bài 2. Gi i phương trình: 4sinx − 21+sinx cos ( xy ) + 2 y = 0 . HD: phương trình 4sinx − 21+sinx cos ( xy ) + 2 y = 0 ⇔  2sinx − cos ( xy )  +  2 − cos 2 ( xy )  = 0 2 y     2 ≥ 1  y Ta có  2sinx − cos ( xy )  ≥ 0 và  2 ⇒  2 − cos 2 ( xy )  ≥ 0 2 y     cos ( xy ) ≤ 1  Do ñó  2sinx − cos ( xy )  +  2 y − cos 2 ( xy )  ≥ 0 2     2sinx − cos ( xy ) = 0  2sinx = cos ( xy )  (1) V y phương trình ⇔  y ⇔  y 2 − cos ( xy ) = 0 2 − cos ( xy ) = 0 ( 2) 2 2  
  13. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 2 y = 1  y = 0  ( 2) ⇔  2 ⇔  2 ⇔ y = 0. cos ( xy ) = 1  cos ( x.0 ) = 1  Thay vào (1) ta ñư c x = kπ . 8 Bài 3. Gi i phương trình: 22x +1 + 23− 2x = . log 3 ( 4x − 4x + 4 ) 2 HD: Ta có 4x 2 − 4x + 4 = ( 2x − 1) + 3 ≥ 3 nên log 3 ( 4x 2 − 4x + 4 ) ≥ 1 2 8 Suy ra ≤8 (1) log 3 ( 4x − 4x + 4 ) 2 M t khác 22x +1 + 23− 2x ≥ 2 22x +1.23− 2x = 2 22x +1+3− 2x = 8 (2) Bài 4. Gi i phương trình: log 3 ( x 2 + x + 1) − log 3 x = 2x − x 2 . HD: ði u ki n x > 0. Phương trình log 3 ( x 2 + x + 1) − log 3 x = 2x − x 2  1 ⇔ log 3  x + 1 +  = − (1 − x ) + 1 2  x Ta có 1 1  1 ● x+ ≥ 2 ⇒ x + 1 + ≥ 3 ⇒ log 3  x + 1 +  ≥ 1 x x  x ● − (1 − x ) + 1 ≤ 1 2   1 log 3  x + 1 + x  = 1 V y phương trình ⇔    ⇔ x = 1. − 1 − x + 1 = 1  ( ) 2 x 2 + x + 1 2 x − x2 Nh n xét: Bài toán tương ñương là gi i phương trình =3 . x Bài 5. Gi i phương trình: log 2 ( )  1 x − 2 + 4 = log 3   x −1  + 8 .  HD: ði u ki n x > 2 . ● x − 2 + 4 ≥ 4 ⇒ log 2 ( x−2 +4 ≥ 2 ) 1 1 ● V i x > 2 ta có x −1 ≥ 1 ⇒ ≤1 ⇒ +8 ≤ 9 x −1 x −1  1  ⇒ log 3  + 8 ≤ 2  x −1  Bài 6. Gi i phương trình: 4x + 8 2 − x 2 = 4 + ( x 2 − x ) .2x + x.2 x +1 2 − x 2 .
  14. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH HD: ði u ki n − 2 ≤ x ≤ 2 . Phương trình ⇔ ( 4 − x.2 ) ( x − 1 + 2 x 2 − x2 = 0) ( *) 3 Ta có x ≤ 2 ⇒ x.2 ≤ 2.2 x 2 < 2.2 = 4 . Do ñó (*) ⇔ x − 1 + 2 2 − x 2 = 0 . 2 Bài 7. Gi i phương trình: 5x + 6x 2 − x 3 − x 4 log 2 x = (x 2 − x) log 2 x + 5 + 5 6 + x − x 2 .  x>0 HD: ði u ki n  ⇔ 0 < x ≤ 3. 6 + x − x ≥ 0 2 Phương trình ⇔ ( x log 2 x − 5) ( 6 + x − x2 + 1 − x = 0 ) ( *) Do x ≤ 3 ⇒ x log 2 x ≤ 3log 2 3 < log 2 32 = 5 ⇒ ( x log 2 x − 5) < 0 Khi ñó (*) ⇔ ( 6 + x − x2 + 1 − x = 0 . ) Gi i phương trình: 3sin x + 3cos x = 2 x + 2− x + 2 . 2 2 Bài 8. x -x 2 2 HD: Phương trình ⇔ 3sin x + 31−sin =2 +2 +2 2 2 x 2 2 32sin x + 3 2 x -x 2 2 ⇔ 2 −4= 2 2 +2 2 −2 3sin x ⇔ (3 sin 2 x )( − 1 3sin x − 3 2 ) = 2 x  −2  -x 2  2 2 2 3sin x   Ta có 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 3sin ≤ 3 . Do ñó VT ≤ 0 ≤ VP . 2 x Bài 9. Gi i phương trình: 2 log 3 cot x = log 2 cos x . HD: ð t 2 log 3 cot x = log 2 cos x = t , ta có cos 2 x = 4 t cos x = 2 t cos 2 x = 4 t   2  2  4t cot x = 3 ⇔ cot x = 3 ⇔ sin 2 x = t t t cos x > 0, cot x > 0 cos x > 0, cot x > 0  3   cos x > 0, cot x > 0  cos 2 x = 4 t  t cos 2 x = 4 t  1 4  cos x = ⇔  t + 4 =1 t ⇔  t = −1 ⇔  2 3 cos x > 0, cot x > 0 cos x > 0, cot x > 0  cos x > 0, cot x > 0   π ⇔ x= + k2π . 3 T ng quát: D ng α .log a f ( x ) = β .log b g ( x ) ta ñ t t = α .log a f ( x ) = β .log b g ( x )
  15. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH Bài 10. Gi i phương trình: 3x 2 − 2x 3 = log 2 ( x 2 + 1) − log 2 x. HD: ði u ki n x > 0 . ð t f ( x ) = 3x 2 − 2x 3 , g ( x ) = log 2 ( x 2 + 1) − log 2 x ● Ta có f ( x ) = 3x 2 − 2x 3 ⇒ f ' ( x ) = 6x − 6x 2 ; f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0, x = 1 . L p b ng bi n thiên ta th y f(x) ñ ng bi n trên (0,1) và ngh ch bi n trên (1, +∞ ) . Suy ra trên ( 0, +∞ ) , maxf ( x ) = f (1) = 1 hay f ( x ) ≤ 1, ∀x > 0.  x2 +1  1 ● Ta có g ( x ) = log 2 ( x 2 + 1) − log 2 x = log 2   = log 2  x +  . V i x > 0 , ta có  x   x 1  1 x+ ≥ 2 ( côsi ) => log 2  x +  ≥ log 2 2 = 1. Suy ra g ( x ) ≥ 1, ∀x > 0. x  x 3x 2 − 2x 3 = 1  V y phương trình ⇔  log 2 ( x + 1) − log 2 x = 1 2  Gi i phương trình: 2x −1 − 2 x −x = ( x − 1) . 2 2 Bài 11. HD: phương trình ⇔ 2 x −1 + ( x − 1) = 2 x −x + (x2 − x) . 2 ð t u = x − 1; v = x 2 − x. Khi ñó phương trình có d ng 2u + u = 2v + v . Xét hàm s f ( t ) = 2 t + t , hàm này ñ ng bi n và liên t c trên ℝ . V y phương trình ⇔ f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v ⇔ x − 1 = x 2 − x ⇔ x = 1 . Bài 12. Gi i phương trình: 2009x + 2011x = 2.2010x . HD: G i x 0 là m t nghi m c a phương trình ñã cho. Ta ñư c 2009x 0 + 2011x 0 = 2.2010 x0 ⇔ 2009 x0 − 2010 x0 = 2010 x0 − 2011x 0 ( *) Xét hàm s F ( t ) = t x0 − ( t + 1) 0 . Khi ñó (*) ⇔ F ( 2009 ) = F ( 2010 ) . x Vì F(t) liên t c trên [ 2009, 2010] và có ñ o hàm trong kho ng ( 2009, 2010 ) , do ñó theo ñ nh lí Lagrange t n t i c ∈ ( 2009, 2010 ) sao cho F ( 2010 ) − F ( 2009 ) x0 = 0 F' ( c ) = ⇔ x 0 . c x0 −1 − ( c + 1) 0  = 0 ⇔  x −1 2010 − 2009   x0 = 1 Th l i x 0 = 0, x 0 = 1 th y ñúng. V y nghi m c a phương trình là x 0 = 0, x 0 = 1 . Nh n xét: Bài toán tương t 1) 3cos x − 2cos x = co sx ⇔ 3cos x − 2cos x = 3co sx − 2 co sx .
  16. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 2) 4log3 x + 2log3 x = 2x . ð t u = log 3 x ⇒ x = 3u . Phương trình ⇔ 4u + 2u = 2.3u . Lưu ý: Bài toán trên ta s d ng ñ nh lí Lagrange: N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên ño n [ a; b] và có ñ o hàm trên kho ng ( a; b ) thì t n t i m t ñi m c ∈ ( a; b ) sao cho f (b) − f ( a ) f ' (c) = . b−a x2 + x +1 Bài 13. Gi i phương trình: log 3 = x 2 − 3x + 2 . 2x − 2x + 3 2 HD: ð t u = x 2 + x + 1; v = 2x 2 − 2x + 3 ( u > 0, v > 0 ) . Suy ra v − u = x 2 − 3x + 2. u Phương trình ñã cho tr thành log 3 = v − u ⇔ log 3 u − log 3 v = v − u v ⇔ log 3 u + u = log 3 v + v . 1 Xét hàm s f ( t ) = log 3 t + t . Ta có f ' (t) = + 1 > 0, ∀t > 0 nên hàm s ñ ng bi n t.ln 3 khi t > 0 . Do ñó phương trình ⇔ f ( u ) = f ( v ) suy ra u = v hay v − u = 0 t c là x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1, x = 2 . V y phương trình có nghi m x = 1, x = 2 . u Lưu ý: V i phương trình d ng log a = v − u, ( u > 0, v > 0, a > 1) ta thư ng bi n ñ i v log a u − log a v = v − u ⇔ log a u + u = log a v + v . Vì hàm s f ( t ) = log a t + t ñ ng bi n khi t > 0 . Suy ra u = v . Bài 14. Gi i phương trình: 2cos x + 2sinx = 3 . HD: Áp d ng BðT Becnuli m r ng: t α + (1 − t ) α ≤ 1 v i t > 0, α ∈ [ 0,1]  π  T phương trình suy ra: s inx, cos x ∈ [ 0,1] . Suy ra x ∈  k2π; + k2π   2  Theo Becnuli: 2cos x + (1 − 2 ) cos x ≤ 1 2sinx + (1 − 2 ) sinx ≤ 1 Suy ra 2cos x + 2sinx ≤ ( s inx + cos x ) + 2 Suy ra 2cos x + 2sinx ≤ min ( s inx + cos x ) + 2  = min ( s inx + cos x ) + 2    π  Mà: min ( s inx + cos x ) = 1 v i x ∈  k2π; + k2π  .  2  sinx = 1 sinx = 0 Do ñó 2cos x + 2sinx ≤ 3 . D u '' = '' x y ra khi và chi khi  ho c  cosx = 0 cosx = 1
  17. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH  x = k2π ⇔  .  x = π + k2π  2 ---------- H T ----------
  18. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH CHUYEÂN ÑEÀ 2. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – LOGARIT Ta có th dùng các phương pháp bi n ñ i như ñ i v i gi i phương trình và s d ng các công th c sau HAØM SOÁ MUÕ ● 0 < a <1 ⇔ f (x) < g (x) f (x) g( x ) a >a (ngh ch bi n) a f ( x ) ≥ a g( x ) ⇔ f ( x ) ≤ g ( x ) ● a >1 ⇔ f (x) > g (x) f (x) g( x ) a >a (ñ ng bi n) a f ( x ) ≥ a g( x ) ⇔ f ( x ) ≥ g ( x ) HAØM SOÁ LOGARIT 0 < a ≠ 1  ● log a f ( x ) có nghĩa ⇔  f ( x ) > 0  ● log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b f ( x ) = g ( x )  ● log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔  0 < a ≠ 1  ● 0 < a <1 log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) < g ( x ) (ngh ch bi n) log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) ≤ g ( x ) ● a >1 log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) > g ( x ) (ñ ng bi n) log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) ≥ g ( x ) T ng quát ta có: a > 0   log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ f ( x ) > 0; g ( x ) > 0  ( a − 1) f ( x ) − g ( x )  > 0    a > 0   log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ f ( x ) > 0; g ( x ) > 0  ( a − 1) f ( x ) − g ( x )  ≥ 0   
  19. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 1. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ CUØNG CÔ SOÁ x − x −1 x 2 − 2x 1 Ví d 1. Gi i b t phương trình: 3 ≥   3 L i gi i: - ði u ki n: x ≤ 0 hoÆc x ≥ 2 . - Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi x 2 − 2x x − x −1 3 ≥3 ⇔ x 2 − 2x ≥ x − x − 1 (1) + NÕu x ≤ 0 th× x − 1 = 1 − x , khi ®ã bpt (1) ⇔ x 2 − 2x ≥ 2x − 1 (®óng v× x ≤ 0) + NÕu x ≥ 2 th× x − 1 = x − 1 , khi ®ã bpt (1) ⇔ x 2 − 2x ≥ 1 x ≤ 1− 2 ⇔ x 2 − 2x − 1 ≥ 0 ⇔  x ≥ 1 + 2  - KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ta ®−îc x ≥ 1 + 2 . Ví d 2. Gi i b t phương trình: ( log x 5x 2 − 8x + 3 > 2 ) L i gi i: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi        0 < x <1     0 < x <1  0 < x < 1  2  1<x<3  5x − 8x + 3 < x 2   4x 2 − 8x + 3 < 0  2 1 3 2 < x < 5 2  2   ⇔   5x − 8x + 3 > 0 ⇔  3 ⇔  3 ⇔     x < ∨ x >1 x < 5 ∨ x > 1  x>3  x >1 5     2  5x 2 − 8x + 3 > x 2  x >1  x >1  2    4x − 8x + 3 > 0  1 3    x < 2 ∨ x > 2    Lưu ý: Víi bÊt phương trình d¹ng log f ( x ) g ( x ) > a , ta xÐt hai tr−êng hîp cña c¬ sè 0 < f ( x ) < 1 và 1 < f ( x ) . 3( log 3 x ) 2 Ví d 3. Gi i b t phương trình: + x log3 x ≤ 6 L i gi i: - ði u ki n: x > 0 Ta sö dông phÐp biÕn ®æi 3( log3 x ) = 3log3 x ( ) 2 log3 x - = x log3 x . Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi x log3 x + x log3 x ≤ 6 ⇔ x log3 x ≤ 3 . - ( LÊy l«garit c¬ sè 3 hai vÕ, ta ®−îc: log 3 x log3 x ≤ log 3 3 ⇔ log 3 x.log 3 x ≤ 1 ) 1 ⇔ ( log3 x ) ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ log 3 x ≤ 1 ⇔ ≤ x ≤ 3. 2 3 1 - VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ≤ x ≤ 3. 3
  20. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH  1 + 2x  Ví d 4. Gi i b t phương trình: log 1  log 2 >0 3 1+ x  L i gi i: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi  1 + 2x  1 + 2x  x log 2 1 + x > 0   1+ x > 1   1 + x >0  x < −1 ∨ x > 0  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ x>0  log 1 + 2x  1 + 2x  −1  x > −1 <1 <2 <0  2 1+ x    1+ x  1 + x - VËy x > 0 lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh. BAØI TAÄP Gi i các b t phương trình sau:  x2 + x  1) log 0,7  log 6 <0  x+4  2) log 3x − x 2 ( 3 − x ) > 1 3) log 2 ( x − 5 ) + 3log 5 1 5 ( x − 5) + 6 log 1 ( x − 5) − 4 log 25 ( x − 50 + 2 ) ≤ 0 5 25 2. PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHUÏ 2.3x − 2x + 2 Ví d 1. Gi i b t phương trình: ≤1 3x − 2 x L i gi i: - ði u ki n x ≠ 0 . x 3 2.   − 4 2.3x − 2 x + 2 2 - Chia c t và m u cho 2x , ta ñư c: ≤1 ⇔ ≤1 3x − 2 x 3 x   −1 2 2t − 4 x 3 - §Æt t =   , ( 0 < t ≠ 1) . Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi −1 ≤ 0 2 t −1 t −3 x 3 ⇔ ≤ 0 ⇔ 1 < t ≤ 3 ⇔ 1 <   ≤ 3 ⇔ 0 < x ≤ log 3 3 t −1 2 2 - VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 0 < x ≤ log 3 3 . 2  x3   32  Ví d 2. Gi i b t phương trình: log ( x ) − log   + 9 log 2  2  < 4 log 2 ( x ) 4 2 2 1 1  8  2 x  2 L i gi i: - ði u ki n x > 0 . - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi 2  x   32  3 ⇔ log 4 ( x ) − log 2−1   + 9 log 2  2  < 4 log 2−1 ( x ) 2 2  8   x  ⇔ log 4 ( x ) − log 2 x 3 − log 2 8 + 9 log 2 32 − log 2 x 2  < 4 log 2 ( x ) 2 2 2     ⇔ log 4 ( x ) − [3log 2 x − 3] + 9 [5 − 2 log 2 x ] < 4 log 2 ( x ) 2 2 2
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản