PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

Chia sẻ: Nancy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

7
1.763
lượt xem
727
download

PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'phương trình mũ – logarit', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

  1. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH CHUYEÂN ÑEÀ 1. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – LOGARIT DAÏNG 1. PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN Phương trình mũ cơ b n có d ng: a x = m , trong ñó a > 0, a ≠ 1 và m là s ñã cho. ● N u m ≤ 0 , thì phương trình a x = m vô nghi m. ● N u m > 0 , thì phương trình a x = m có nghi m duy nh t x = log a m. Bài 1. Gi i các phương trình sau: 1) 5x +1 + 6.5x − 3.5x −1 = 52 2) 3x +1 + 3x + 2 + 3x +3 = 9.5x + 5x +1 + 5x + 2 3) 3x.2 x +1 = 72 2 −3x + 2 2 + 6x +5 2 +3x +7 4) 4x + 4x = 42x +1 5) 5.32x −1 − 7.3x −1 + 1 − 6.3x + 9 x +1 Bài 2. Gi i các phương trình sau: 1) log 3 x ( x + 2 ) = 1 2) log 2 ( x 2 − 3) − log 2 ( 6x − 10 ) + 1 = 0 3) log ( x + 15 ) + log ( 2x − 5 ) = 2 4) log 2 ( 2x +1 − 5 ) = x Bài 3. Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau: x −1 1) 3x +1 − 2.3x − 2 = 25 2) log 2 + log 2 ( x − 1)( x + 4 ) = 2 x+4 3) 3.2x +1 + 2.5x − 2 = 5x + 2x − 2 4) log x 2 16 − log x 7=2 x 3x −1 4 7 6) 2 log8 ( 2x ) + log 8 ( x 2 − 2x + 1) = 16 4 5)     − =0 7 4 49 3 1 1 7) 4log x +1 − 6log x = 2.3log x +2 8) 2.5x +1 − .4 x + 2 − .5x + 2 = 4x +1 2 5 4 9) log 3 ( x − 2 ) log5 x = 2 log3 ( x − 2 ) 10) 3 2x −5 − 5 2 x −7 = 32 11) 3 (10x − 6x + 2 ) + 4.10 x +1 = 5 (10x −1 − 6 x −1 )
  2. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH DAÏNG 2. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ CUØNG CÔ SOÁ Phương pháp ñưa v cùng cơ s S d ng công th c: ● aα = a β ⇔ α = β .  b > 0 ( hoÆc c > 0 )  ● log a b = log a c ⇔  b = c  Bài 1. Gi i các phương trình sau: 1) 52x +1 + 7 x +1 − 175x − 35 = 0 3) x 2 .2 x +1 + 2 x −3 + 2 = x 2 .2 x −3 + 4 + 2 x −1 1 1 + 21− x = 2( x +1) 2 2) 3.4x + .9 x + 2 = 6.4 x +1 − .9 x +1 +x +1 2 2 4) 4x 3 2 Bài 2. Gi i các phương trình sau: 1) log x 2.log x 2 = log x 2 16 64 5 2) log 5x + log 5 x = 1 2 x 3) log 2 x + log 3 x + log 4 x = log 20 x 1 4) log 2 ( 3x − 1) + = 2 + log 2 ( x + 1) log ( x +3) 2 x −1 5) log 9 ( x 2 − 5x + 6 ) = 2 1 log 3 + log 3 x − 3 2 2 ( ) ( 6) log 2 x 2 + 3x + 2 + log 2 x 2 + 7x + 12 = 3 + log 2 3 ) 1 1 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4x ) 8 Bài 3. Gi i phương trình sau: log 2 2 4 Bài 4. Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau: 2 − 3x 1 x 1) 9   = 27 x . 3 81x +3 6) log 5 ( 6 − 4x − x 2 ) = 2 log 5 ( x + 4 )  3 1 2) 3.13x + 13x +1 − 2 x + 2 = 5.2 x +1 7) 2 log ( x − 1) = log x 5 − log x 2 3) log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2 8) 2 log9 x = log 3 x.log3 2 ( ) 2x + 1 − 1 x −1 4) log 5 ( x 2 + 2x − 3) = log 9) log 4 ( x 2 − 1) − log 4 ( x − 1) = log 4 x − 2 2 5 x+3 5) log 4 ( x + 1) + 2 = log 4 − x + log8 ( 4 + x ) 2 3 2
  3. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH DAÏNG 3. ÑÖA VEÀ DAÏNG TÍCH A.B = 0 +x −x − 4.2 x − 22x + 4 = 0 2 2 Ví d 1: Gi i phương trình: 2x HD: 2x 2 +x − 4.2 x 2 −x − 22x + 4 = 0 ⇔ (2 x2 −x ) − 1 . ( 22x − 4 ) = 0 Nh n xét: M c dù cùng cơ s 2 nhưng không th bi n ñ i ñ ñ t ñư c n ph do ñó ta ph i phân ( tích thành 2 x 2 −x ) − 1 . ( 22 x − 4 ) . ðây là phương trình tích ñã bi t cách gi i. Bài 1. Gi i các phương trình sau: 1) 8.3x + 3.2 x = 24 + 6x +x −x − 4.2x − 22x + 4 = 0 2 2 2) 2x 3) 12.3x + 3.15x − 5x +1 = 20 Ví d 2: Gi i phương trình: 2 ( log 9 x ) = log 3 x.log 3 2 ( ) 2x + 1 − 1 . Nh n xét: Tương t như trên ta ph i bi n ñ i phương trình thành tích log 3 x − 2 log 3  ( ) 2 x + 1 − 1  .log 3 x = 0 . ðây là phương trình tích ñã bi t cách gi i.  T ng quát: Trong nhi u trư ng h p cùng cơ s nhưng không th bi n ñ i ñ ñ t n ph ñư c thì ta bi n ñ i thành tích. Bài 2. Gi i phương trình: log 2 x + 2.log 7 x = 2 + log 2 x.log 7 x . DAÏNG 3. PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHUÏ S d ng công th c v hàm s mũ và lôgarit ñ bi n ñ i bài toán, sau ñó ñ t n s ph , quy phương trình ñã cho v các phương trình ñ i s (phương trình ch a ho c không ch a căn th c). Sau khi gi i phương trình trung gian ta quy v gi i ti p các phương trình mũ ho c lôgarit cơ b n A - Phương pháp ñ t n ph d ng 1. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ ● Phương trình α k a kx + α k −1a (k −1) x + α k − 2a (k −2)x + ... + α1a x + α 0 = 0 , khi ñó ta ñ t t = a x , t > 0 . 1 ● Phương trình α1a x + α 2 b x + α 3 = 0 , v i a.b = 1 . Khi ñó ñ t t = a x , t > 0 ⇒ b x = , ta ñư c t phương trình: α1t 2 + α 3 t + α 2 = 0 . ● Phương trình α1a 2x + α 2 (ab) x + α 3 b 2x = 0 . Chia hai v cho a 2x ho c b 2x ta ñư c 2x x x a a a α1   + α 2   + α 3 = 0 , ñ t t =   , t > 0 . b b b
  4. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH Bài 1. Gi i các phương trình sau: 1) 4x + x2 −2 − 5.2 x −1+ x2 −2 −6 = 0 2) 43+ 2cos x − 7.41+ cos x − 2 = 0 ( 26 + 15 3 ) ( ) ( ) x x x 3) +2 7+4 3 −2 2− 3 =1 Bài 2. Gi i các phương trình sau: (2 − 3) + (2 + 3)  8   x 1  x x 1) = 14 3)  23x − 3x  − 6  2 − x −1  = 1  2   2  2) 5.23 x −1 − 3.25−3x + 7 = 0 4) 27 x + 12 x = 2.8x PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT 1 ● N u ñ t t = log a x, ( x > 0 ) thì log a x = t k ; log x a = , 0 < x ≠ 1. . k t ● N u ñ t t = a logb x thì t = x logb a . Vì a logbc = clogba . Bài 1. Gi i các phương trình sau: 1) log 2 ( 4 x +1 + 4 ) .log 2 ( 4 x + 1) = 3 1 4) log x 3 + log 3 x = log x 3 + log 3 x + 2 2) log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2 5) log 2 ( x + 1) = log x +1 16 4 3) log x (125x ) .log 25 x = 1 2 6) ( 2 − log3 x ) log9x 3 − =1 1 − log 3 x Bài 2. Gi i các phương trình sau: ( 1) log 6.5x + 25.20 x = x + log 25 ) 3) log 2 x = log8 4x log 4 2x log16 8x 2) log 2 x.log x (4x 2 ) = 12 2 4) log 2 x = log 3 ( x +2 ) B - Phương pháp ñ t n ph d ng 2. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ Phương pháp: Ý tư ng là s d ng m t n ph chuy n phương trình ban ñ u thành m t phương trình v i m t n ph nhưng các h só v n còn ch a n x. Khi ñó thư ng ta ñư c m t phương trình b c 2 theo n ph có bi t s ∆ là m t s chính phương. Ví d : Gi i phương trình: 9x + 2 ( x − 2 ) 3x + 2x − 5 = 0 . HD: ð t t = 3x (*) , khi ñó ta có: t 2 + 2 ( x − 2 ) t + 2x − 5 = 0 ⇒ t = −1, t = 5 − 2x . Thay vào (*) ta tìm ñư c x. Lưu ý: Phương pháp này ch s d ng khi ∆ là s chính phương.
  5. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH ( Gi i phương trình: 9x + x 2 − 3 3x − 2x 2 + 2 = 0 ) 2 2 Bài 1. Bài 2. Gi i phương trình: 42x + 23x +1 + 2x + 3 − 16 = 0 PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Ví d 2: Gi i phương trình: log 3 ( x + 1) + ( x − 5 ) log 3 ( x + 1) − 2x + 6 = 0 2 HD: ð t t = log 3 ( x + 1) , ta có: t 2 + ( x − 5 ) t − 2x + 6 = 0 ⇒ t = 2, t = 3 − x . Suy ra x = 8, x = 2. Bài 1. Gi i phương trình: lg 2 ( x 2 + 1) + ( x 2 − 5 ) lg ( x 2 + 1) − 5x 2 = 0 Bài 2. Gi i các phương trình sau: 1) lg 2 x − lgxlog 2 ( 4x ) + 2log 2 x = 0 2) lg 4 x + lg 3 x − 2lg 2 x − 9lgx − 9 = 0 C - Phương pháp ñ t n ph d ng 3. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ Phương pháp: L a ch n n ph thích h p r i chuy n phương trình v h ñơn gi n. +1 + 21− x = 2(x +1) + 1 2 2 2 Bài 1. Gi i phương trình: 4x −3x + 2 + 6x + 5 +3x + 7 + 4x = 42x +1 2 2 2 Bài 2. Gi i phương trình: 4x PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT S d ng 2 n ph cho 2 bi u th c logarit trong phương trình và khéo léo bi n ñ i phương trình thành phương trình tích. Bài 1. Gi i phương trình: log 2 x ( x − 1) + log 2 xlog 2 x 2 − x − 2 = 0 2 ( ) Bài 2. Gi i phương trình: log 2 x − log 2 x + log 3 x − log 2 xlog 3 x = 0 2 ( ) ( ) log 2 x log 2 x Bài 3. Gi i phương trình: 2 + 2 +x 2− 2 = 1 + x2 D - Phương pháp ñ t n ph d ng 4. ð t n ph chuy n thành h phương trình. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ 2x 8 18 Ví d : Gi i phương trình: x −1 + = x −1 1− x 2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2 x 8 1 18 HD: Vi t phương trình dư i d ng x −1 + = x −1 1− x 1− x , ñ t 2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2 u = 2 x −1 + 1, v = 21− x + 1; u, v > 0 .
  6. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 8 1 18  + = Nh n xét: u.v = u + v. T ñó ta có h :  u v u + v u.v = u + v  Bài 1. Gi i phương trình: 22x − 2 x + 6 = 6 PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Bài 1. ( ) ( Gi i phương trình: log 2 x − x 2 − 1 + 3log 2 x + x 2 − 1 = 2 ) Bài 2. Gi i phương trình: 3 2 − lgx = 1 − lgx − 1 Bài 3. ( ) ( Gi i phương trình: 3 + log 2 x 2 − 4x + 5 + 2 5 − log 2 x 2 − 4x + 5 = 6 ) E - Phương pháp ñ t n ph d ng 5. PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT S d ng m t n ph chuy n phương trình ban ñ u thành m t h phương trình v i m t n ph và m t n x. Ta th c hi n các bư c: + ð t ñi u ki n có nghĩa cho phương trình. + Bi n ñ i phương trình v d ng: f(x; φ (x)) = 0.  y = φ ( x) + ð t y = φ (x) ñưa v h :  .  f ( x; y ) = 0 Chú ý: ð i v i phương trình logarít có m t d ng r t ñ c bi t, ñó là phương trình d ng s ax +b = c.log s (dx + e) + α x + β . V i d = ac + α ; e = bc + β . Cách gi i: 0 < s ≠ 1 - ði u ki n có nghĩa c a phương trình:   dx + e ≠ 0 - ð t ay + b = log s (dx + e) khi ñó phương trình ñã cho tr thành:  s ax +b = c(ay + b) + α x + β  s ax +b = acy + α x + bc + β  s ax +b = acy + (d − ac) x + e(1)  ⇔  ay +b ⇔  ay +b ay + b = log s (dx + e) s = dx + e s = dx + e(2) - L y (1) tr cho (2) ta ñư c: s ax +b + acx = s ay +b + acy (3). - Xét hàm s f ( x) = s at +b + act là hàm s dơn ñi u trên R. T (3) ta có f(x) = f(y) ⇔ x = y, khi ñó (2) ⇔ s ax +b = dx + e (4) dùng phương pháp hàm s ñ xác ñ nh nghi m phương trình (4). Ví d : Gi i phương trình: 7 x −1 = 6log 7 ( 6x − 5 ) + 1 HD: ð t y − 1 = log 7 ( 6x − 5 ) . Khi ñó chuy n thành h
  7. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 7 x −1 = 6 ( y − 1) + 1   x −1 7 = 6y − 5  ⇔  y −1 ⇒ 7 x −1 + 6x = 7 y−1 + 6y .  y − 1 = log 7 ( 6x − 5 )  7 = 6x − 5  Xét hàm s f ( t ) = 7 t −1 + 6t suy ra x = y , Khi ñó 7 x −1 − 6x + 5 = 0 . Xét hàm s g ( x ) = 7 x −1 − 6x + 5 . Nh m nghi m ta ñư c 2 nghi m: x = 1, x = 2. Bài 2. Gi i các phương trình sau: 1) log 2 x + log 2 x + 1 = 1 2 3) 3log 2 x + 1 = 4log 2 x + 13log 2 x − 5 2 2) lgx + 1 = lg 2 x + 4lgx + 5 4) 3log 2 x + 1 = −4log 2 x + 13log 2 x − 5 2 Bài 3. Gi i các phương trình sau: 1) lgx + 1 = lg 2 x + 4lgx + 5 3) 6 x = 3log 6 ( 5x − 1) + 2x + 1 2) log 3 x + 2 = 3 3 3log 3 x − 2 2 4) x 3 + 1 = 3 3 2x − 1 Bài 4. Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau: ( ) ( ) =5 cosx cosx 1) 9x − 10.3x + 9 = 0 16) 7+4 3 + 7−4 3 2 17) ( 3) +( 2− 3) = 2 x x 2) 4x − 6.2x + 8 = 0 2+ 2 2 x 18) ( 15 ) + ( 4 + 15 ) = 8 x x 3) 15.25x − 34.15x + 15.9 x = 0 4− 2 2 2 (2 + 3) + (2 − 3) ( ) + (7 − 3 5 ) x x x x 4) =4 19) 7 + 3 5 = 14.2 x 5) 5x −1 + 5.0, 2 x − 2 = 26 20) log x 3x .log 3 x + 1 = 0 log 2 x log8 4x 6) 25x − 12.2x − 6, 25.0,16x = 0 21) = log 4 2x log16 8x 1 3 3+ 7) 64 − 2 x x + 12 = 0 22) 1 + 2 log x + 2 5 = log 5 ( x + 2 ) 8) 4x − 4 x +1 = 3.2x + x 23) log ( log x ) + log ( log x 3 − 2 ) = 0 9) 9x − 8.3x + 7 = 0 24) log 3 ( 3x − 1) .log ( 3x +1 − 3) = 6 25) log 2 ( 9 − 2 x ) = 3 − x 1 2x −1 10) .4 + 21 = 13.4x −1 2 1 1 1 5 11) 6.9 − 13.6 + 6.4 = 0 x x x 26) log 3 x + log x 3 = 2 12) 3 25x − 3 9x + 3 15x = 0 27) 2x log 2 x + 2x −3log8 x − 5 = 0 13) 9sin x + 9cos x = 10 28) 5log 2 x + 2.x log 2 5 = 15 2 2
  8. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH log 2 ( 5x ) −1 14) 2sin x + 5.2cos x = 7 − x log5 7 = 0 2 2 29) 7 25 15) 4cos2x + 4cos x = 3 30) 25log x = 5 + 4.x log5 2 F - M t s bài toán (ñ c bi t là các bài logarrit) ta thư ng ph i ñưa v phương trình – h phương trình – b t phương trình mũ r i s d ng các phương pháp trên. ●D ng 1. Khác cơ s Ví d : Gi i phương trình: log 7 x = log 3 ( x + 2) . ð t t = log 7 x ⇒ x = 7 t . t ( )  7 t 1 Phương trình tr thành t = log 3 7 +2 t ⇔ 3 = 7 +2 ⇔ 1=  t    + 2.   t  3  3 ●D ng 2. Khác cơ s và bi u th c trong d u log ph c t p Ví d 1: Gi i phương trình: log 4 6 ( x 2 − 2x − 2 ) = 2 log 5 (x 2 − 2x − 3) . ð t t = x 2 − 2x − 3 , ta có log 6 ( t + 1) = log 5 t . Ví d 2: Gi i phương trình: log 2 ( x + 3log6 x ) = log 6 x . t 3 ð t t = log 6 x , phương trình tương ñương 6 t + 3t = 2 t ⇔ 3t +   = 1 . 2 log b ( x + c ) ●D ng 3. a = x . (ði u ki n: b = a + c ) Ví d 1. Gi i phương trình: 4log7 ( x +3) = x . ð t t = log 7 ( x + 3) ⇒ 7 t = x + 3 t t 4 1 Phương trình tr thành: 4t = 7 t − 3 ⇔   + 3.   = 1 . 7 7 Ví d 2. Gi i phương trình: 2log3 ( x + 5) = x + 4. ð t t = x + 4 . Phương trình tr thành: 2log3 ( t +1) = t .
  9. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH DAÏNG 5. PHÖÔNG PHAÙP LOÂGARIT HOÙA S d ng công th c l y logarit hai v c a phương trình v i cơ s thích h p. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ 0 < a ≠ 1, b > 0 ● D ng 1: a f (x) = b ⇔  f (x) = log a b. ● D ng 2: a f (x) = b g(x) ⇔ log a a f (x) = log a b g(x ) ⇔ f (x) = g(x).log a b. Bài 1. Gi i các phương trình sau: 2 1) x log4 x − 2 = 23( log4 x −1) x + lg x 3 + 3 = 2 2) x lg 1 1 − 1 + x −1 1+ x +1 Bài 2. Gi i các phương trình sau: 4x +1 3x + 2 2 1 1)   =  2) x lg x = 1000x 2 5 7 PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT 0 < a ≠ 1 ● D ng 1: log a f (x) = b ⇔  . f (x) = a b 0 < a ≠ 1 ● D ng 2: log a f (x) = log a g(x) ⇔  f (x) = g(x) > 0 Bài 1. Gi i các phương trình sau: 1) log x ( x 2 + 4x − 4 ) = 3 3) log x ( x + 6 ) = 3 { 2) log 4 2log 3 1 + log 2 (1 + 3log 2 x )  =   } 1 2 Bài 2. Gi i các phương trình sau:  2x −3  log3   1) 2  x  =1 3) log 2 (x − 1) 2 = 2log 2 (x 3 + x + 1) ( ) 2) log 2 x 2 − 1 = log 1 ( x − 1) 4) x + lg(1 + 2 x ) = xlg5 + lg6 2 Bài 3. Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau: 1) 4.9x −1 = 3 22x +1 2) 23 = 32 x x − 2x .3x = 1,5 4) 5x .3x = 1 2 2 3) 2x 2x −1 x 5) 5 .2x x +1 = 50 x 6) 3 .8 x+2 =6 3x 7) 3x.2 x + 2 = 6 .
  10. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH DAÏNG 6. PHÖÔNG PHAÙP SÖÛ DUÏNG TÍNH ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ ● Nh m nghi m và s d ng tính ñơn ñi u ñ ch ng minh nghi m duy nh t (thư ng là s d ng công c ñ o hàm) ● Ta thư ng s d ng các tính ch t sau: Tính ch t 1: N u hàm s f tăng ( ho c gi m ) trong kho ng (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá m t nghi m trong kho ng (a;b). ( do ñó n u t n t i x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì ñó là nghi m duy nhat c a phương trình f(x) = C) Tính ch t 2 : N u hàm f tăng trong kho ng (a;b) và hàm g là hàm m t hàm gi m trong kho ng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhi u nh t m t nghi m trong kho ng (a;b). ( do ñó n u t n t i x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì ñó là nghi m duy nh t c a phương trình f(x) = g(x)) Tính ch t 3 : ð nh lí Rôn: N u hàm s y = f ( x ) l i ho c lõm trên kho ng ( a; b ) thì phương trình f ( x ) = 0 có không qua hai nghi m thu c kho ng ( a; b ) . Ví d 1: Gi i phương trình: x + 2.3log2 x = 3 HD: x + 2.3log2 x = 3 ⇔ 2.3lo g2 x = 3 − x , v trái là hàm ñ ng bi n, v ph i là hàm ngh ch bi n nên phương trình có nghi m duy nh t x = 1 . Ví d 2: Gi i phương trình: 6 x + 2 x = 5x + 3x . HD: Phương trình tương ñương 6 x − 5x = 3x − 2 x , gi s phương trình có nghi m α. f ( t ) = ( t + 1) − tα , v i t > 0 . Ta nh n th y α Khi ñó: 6α − 5α = 3α − 2α . Xét hàm s f ( 5) = f ( 2 ) nên theo ñ nh lý lagrange t n t i c ∈ ( 2;5 ) sao cho: f ' ( c ) = 0 ⇔ α ( c + 1) α −1 − cα −1  = 0 ⇔ α = 0, α = 1 , th l i ta th y x = 0, x = 1 là   nghi m c a phương trình. Gi i phương trình: −2 x −x + 2x −1 = ( x − 1) . 2 2 Ví d 3: HD: Vi t l i phương trình dư i d ng 2x −1 + x − 1 = 2 x −x + x 2 − x , xét hàm s 2 f ( t ) = 2 t + t là hàm ñ ng bi n trên R (???). V y phương trình ñư c vi t dư i d ng: f ( x − 1) = f ( x 2 − x ) ⇔ x − 1 = x 2 − x ⇔ x = 1 . Ví d 4: Gi i phương trình: 3x + 2 x = 3x + 2 . HD: D dàng ta tìm ñư c nghi m: x = 0 và x = 1 . Ta c n ch ng minh không còn nghi m nào khác.
  11. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH Xét hàm s f ( x ) = 3x + 2 x − 3x − 2 ⇒ f '' ( x ) = 3x ln 2 3 + 2 x ln 2 2 > 0 ⇒ ð th c a hàm s này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghi m. (ð nh lí Rôn)  x y e = 2007 − 2  y −1 Ví d 5: Ch ng minh h phương trình  có ñúng hai nghi m th a mãn e y = 2007 − x   x 2 −1 x > 0, y > 0. x HD: Dùng tính ch t 2 ñ ch ra x = y khi ñó xét hàm s f ( x ) = e x + − 2007 . x2 −1 ● N u x < −1 thì f ( x ) < e −1 − 2007 < 0 suy ra h phương trình vô nghi m. ● N u x > 1 dùng ñ nh lý Rôn và ch ra v i x 0 = 2 thì f ( 2 ) < 0 ñ suy ra ñi u ph i ch ng minh. b a  1  1  Ví d 6: Cho a ≥ b > 0 . Ch ng minh r ng:  2a + a  ≤  2b + b   2   2   1   b 1  ln  2a + a  ln  2 + b   1   1  HD: B t ñ ng th c ⇔ b ln  2a + a  ≤ a ln  2b + b  ⇔  ≤  . 2 2  2   2  a b  1  ln  2 x + x  Xét hàm s f ( x ) =  2  v i x > 0, x Suy ra f’ ( x ) < 0 v i m i x > 0 nên hàm s ngh ch bi n v y v i a ≥ b > 0 ta có f(a) ≤ f ( b ) . Bài 1. Gi i các phương trình sau: 1) 3x + 4x = 5x 7) 4 x − 3x = 1 ( ) 2) log 2 1 + x = log 3 x ( ) 8) log 2 x + 3log6 x = log 6 x 3) x log 2 9 = x 2 .3log2 x − x log 2 3 9) 3.25x − 2 + ( 3x − 10 ) 5x − 2 + 3 − x = 0 4) x 2 .3x + 3x (12 − 7x ) = − x 3 + 8x 2 − 19x + 12 5) 4 ( x − 2 ) log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2 )  = 15 ( x + 1)   1 1 1 6) 5x + 4 x + 3x + 2x = + + − 2x 3 + 5x 2 − 7x + 17 2 x 3x 6 x Bài 2. Gi i các phương trình sau:
  12. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH x 1) 2x = 1 + 3 2 4) 25x − 2 ( 3 − x ) 5x + 2x − 7 = 0 2) 2 3− x = − x 2 + 8x − 14 5) 8 − x.2 x + 23− x − x = 0 3) log 2 x = 3 − x 6) l og 2 x + ( x − 1) log 2 x = 6 − 2x 2 Bài 3. Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau: 1) 4x + 9 x = 25x 2) ( x + 2 ) log 3 ( x + 1) + 4 ( x + 1) log3 ( x + 1) − 16 = 0 2 3) 9x + 2 ( x − 2 ) .3x + 2x − 5 = 0 ( ) 4) x + log x 2 − x − 6 = 4 + log ( x + 2 ) 5) ( x + 3) log3 ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 ) log3 ( x + 2 ) = 16 2 DAÏNG 7. MOÄT VAØI BAØI KHOÂNG MAÃU MÖÏC Bài 1. Gi i phương trình: 4x − 2.2 x + 2 ( 2x − 1) sin ( 2 x + y − 1) + 2 = 0 HD: phương trình 4x − 2.2 x + 2 ( 2x − 1) sin ( 2 x + y − 1) + 2 = 0 ⇔ ( 2 x − 1) + 2 ( 2 x − 1) sin ( 2 x + y − 1) + sin 2 ( 2x + y − 1) + cos 2 ( 2 x + y − 1) = 0 2 ⇔ ( 2 x − 1) + sin ( 2x + y − 1)  + cos 2 ( 2 x + y − 1) = 0 2   ( 2x − 1) + sin ( 2 x + y − 1) = 0  ⇔ cos ( 2 + y − 1) = 0 x  Bài 2. Gi i phương trình: 4sinx − 21+sinx cos ( xy ) + 2 y = 0 . HD: phương trình 4sinx − 21+sinx cos ( xy ) + 2 y = 0 ⇔  2sinx − cos ( xy )  +  2 − cos 2 ( xy )  = 0 2 y     2 ≥ 1  y Ta có  2sinx − cos ( xy )  ≥ 0 và  2 ⇒  2 − cos 2 ( xy )  ≥ 0 2 y     cos ( xy ) ≤ 1  Do ñó  2sinx − cos ( xy )  +  2 y − cos 2 ( xy )  ≥ 0 2     2sinx − cos ( xy ) = 0  2sinx = cos ( xy )  (1) V y phương trình ⇔  y ⇔  y 2 − cos ( xy ) = 0 2 − cos ( xy ) = 0 ( 2) 2 2  
  13. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 2 y = 1  y = 0  ( 2) ⇔  2 ⇔  2 ⇔ y = 0. cos ( xy ) = 1  cos ( x.0 ) = 1  Thay vào (1) ta ñư c x = kπ . 8 Bài 3. Gi i phương trình: 22x +1 + 23− 2x = . log 3 ( 4x − 4x + 4 ) 2 HD: Ta có 4x 2 − 4x + 4 = ( 2x − 1) + 3 ≥ 3 nên log 3 ( 4x 2 − 4x + 4 ) ≥ 1 2 8 Suy ra ≤8 (1) log 3 ( 4x − 4x + 4 ) 2 M t khác 22x +1 + 23− 2x ≥ 2 22x +1.23− 2x = 2 22x +1+3− 2x = 8 (2) Bài 4. Gi i phương trình: log 3 ( x 2 + x + 1) − log 3 x = 2x − x 2 . HD: ði u ki n x > 0. Phương trình log 3 ( x 2 + x + 1) − log 3 x = 2x − x 2  1 ⇔ log 3  x + 1 +  = − (1 − x ) + 1 2  x Ta có 1 1  1 ● x+ ≥ 2 ⇒ x + 1 + ≥ 3 ⇒ log 3  x + 1 +  ≥ 1 x x  x ● − (1 − x ) + 1 ≤ 1 2   1 log 3  x + 1 + x  = 1 V y phương trình ⇔    ⇔ x = 1. − 1 − x + 1 = 1  ( ) 2 x 2 + x + 1 2 x − x2 Nh n xét: Bài toán tương ñương là gi i phương trình =3 . x Bài 5. Gi i phương trình: log 2 ( )  1 x − 2 + 4 = log 3   x −1  + 8 .  HD: ði u ki n x > 2 . ● x − 2 + 4 ≥ 4 ⇒ log 2 ( x−2 +4 ≥ 2 ) 1 1 ● V i x > 2 ta có x −1 ≥ 1 ⇒ ≤1 ⇒ +8 ≤ 9 x −1 x −1  1  ⇒ log 3  + 8 ≤ 2  x −1  Bài 6. Gi i phương trình: 4x + 8 2 − x 2 = 4 + ( x 2 − x ) .2x + x.2 x +1 2 − x 2 .
  14. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH HD: ði u ki n − 2 ≤ x ≤ 2 . Phương trình ⇔ ( 4 − x.2 ) ( x − 1 + 2 x 2 − x2 = 0) ( *) 3 Ta có x ≤ 2 ⇒ x.2 ≤ 2.2 x 2 < 2.2 = 4 . Do ñó (*) ⇔ x − 1 + 2 2 − x 2 = 0 . 2 Bài 7. Gi i phương trình: 5x + 6x 2 − x 3 − x 4 log 2 x = (x 2 − x) log 2 x + 5 + 5 6 + x − x 2 .  x>0 HD: ði u ki n  ⇔ 0 < x ≤ 3. 6 + x − x ≥ 0 2 Phương trình ⇔ ( x log 2 x − 5) ( 6 + x − x2 + 1 − x = 0 ) ( *) Do x ≤ 3 ⇒ x log 2 x ≤ 3log 2 3 < log 2 32 = 5 ⇒ ( x log 2 x − 5) < 0 Khi ñó (*) ⇔ ( 6 + x − x2 + 1 − x = 0 . ) Gi i phương trình: 3sin x + 3cos x = 2 x + 2− x + 2 . 2 2 Bài 8. x -x 2 2 HD: Phương trình ⇔ 3sin x + 31−sin =2 +2 +2 2 2 x 2 2 32sin x + 3 2 x -x 2 2 ⇔ 2 −4= 2 2 +2 2 −2 3sin x ⇔ (3 sin 2 x )( − 1 3sin x − 3 2 ) = 2 x  −2  -x 2  2 2 2 3sin x   Ta có 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 3sin ≤ 3 . Do ñó VT ≤ 0 ≤ VP . 2 x Bài 9. Gi i phương trình: 2 log 3 cot x = log 2 cos x . HD: ð t 2 log 3 cot x = log 2 cos x = t , ta có cos 2 x = 4 t cos x = 2 t cos 2 x = 4 t   2  2  4t cot x = 3 ⇔ cot x = 3 ⇔ sin 2 x = t t t cos x > 0, cot x > 0 cos x > 0, cot x > 0  3   cos x > 0, cot x > 0  cos 2 x = 4 t  t cos 2 x = 4 t  1 4  cos x = ⇔  t + 4 =1 t ⇔  t = −1 ⇔  2 3 cos x > 0, cot x > 0 cos x > 0, cot x > 0  cos x > 0, cot x > 0   π ⇔ x= + k2π . 3 T ng quát: D ng α .log a f ( x ) = β .log b g ( x ) ta ñ t t = α .log a f ( x ) = β .log b g ( x )
  15. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH Bài 10. Gi i phương trình: 3x 2 − 2x 3 = log 2 ( x 2 + 1) − log 2 x. HD: ði u ki n x > 0 . ð t f ( x ) = 3x 2 − 2x 3 , g ( x ) = log 2 ( x 2 + 1) − log 2 x ● Ta có f ( x ) = 3x 2 − 2x 3 ⇒ f ' ( x ) = 6x − 6x 2 ; f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0, x = 1 . L p b ng bi n thiên ta th y f(x) ñ ng bi n trên (0,1) và ngh ch bi n trên (1, +∞ ) . Suy ra trên ( 0, +∞ ) , maxf ( x ) = f (1) = 1 hay f ( x ) ≤ 1, ∀x > 0.  x2 +1  1 ● Ta có g ( x ) = log 2 ( x 2 + 1) − log 2 x = log 2   = log 2  x +  . V i x > 0 , ta có  x   x 1  1 x+ ≥ 2 ( côsi ) => log 2  x +  ≥ log 2 2 = 1. Suy ra g ( x ) ≥ 1, ∀x > 0. x  x 3x 2 − 2x 3 = 1  V y phương trình ⇔  log 2 ( x + 1) − log 2 x = 1 2  Gi i phương trình: 2x −1 − 2 x −x = ( x − 1) . 2 2 Bài 11. HD: phương trình ⇔ 2 x −1 + ( x − 1) = 2 x −x + (x2 − x) . 2 ð t u = x − 1; v = x 2 − x. Khi ñó phương trình có d ng 2u + u = 2v + v . Xét hàm s f ( t ) = 2 t + t , hàm này ñ ng bi n và liên t c trên ℝ . V y phương trình ⇔ f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v ⇔ x − 1 = x 2 − x ⇔ x = 1 . Bài 12. Gi i phương trình: 2009x + 2011x = 2.2010x . HD: G i x 0 là m t nghi m c a phương trình ñã cho. Ta ñư c 2009x 0 + 2011x 0 = 2.2010 x0 ⇔ 2009 x0 − 2010 x0 = 2010 x0 − 2011x 0 ( *) Xét hàm s F ( t ) = t x0 − ( t + 1) 0 . Khi ñó (*) ⇔ F ( 2009 ) = F ( 2010 ) . x Vì F(t) liên t c trên [ 2009, 2010] và có ñ o hàm trong kho ng ( 2009, 2010 ) , do ñó theo ñ nh lí Lagrange t n t i c ∈ ( 2009, 2010 ) sao cho F ( 2010 ) − F ( 2009 ) x0 = 0 F' ( c ) = ⇔ x 0 . c x0 −1 − ( c + 1) 0  = 0 ⇔  x −1 2010 − 2009   x0 = 1 Th l i x 0 = 0, x 0 = 1 th y ñúng. V y nghi m c a phương trình là x 0 = 0, x 0 = 1 . Nh n xét: Bài toán tương t 1) 3cos x − 2cos x = co sx ⇔ 3cos x − 2cos x = 3co sx − 2 co sx .
  16. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 2) 4log3 x + 2log3 x = 2x . ð t u = log 3 x ⇒ x = 3u . Phương trình ⇔ 4u + 2u = 2.3u . Lưu ý: Bài toán trên ta s d ng ñ nh lí Lagrange: N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên ño n [ a; b] và có ñ o hàm trên kho ng ( a; b ) thì t n t i m t ñi m c ∈ ( a; b ) sao cho f (b) − f ( a ) f ' (c) = . b−a x2 + x +1 Bài 13. Gi i phương trình: log 3 = x 2 − 3x + 2 . 2x − 2x + 3 2 HD: ð t u = x 2 + x + 1; v = 2x 2 − 2x + 3 ( u > 0, v > 0 ) . Suy ra v − u = x 2 − 3x + 2. u Phương trình ñã cho tr thành log 3 = v − u ⇔ log 3 u − log 3 v = v − u v ⇔ log 3 u + u = log 3 v + v . 1 Xét hàm s f ( t ) = log 3 t + t . Ta có f ' (t) = + 1 > 0, ∀t > 0 nên hàm s ñ ng bi n t.ln 3 khi t > 0 . Do ñó phương trình ⇔ f ( u ) = f ( v ) suy ra u = v hay v − u = 0 t c là x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1, x = 2 . V y phương trình có nghi m x = 1, x = 2 . u Lưu ý: V i phương trình d ng log a = v − u, ( u > 0, v > 0, a > 1) ta thư ng bi n ñ i v log a u − log a v = v − u ⇔ log a u + u = log a v + v . Vì hàm s f ( t ) = log a t + t ñ ng bi n khi t > 0 . Suy ra u = v . Bài 14. Gi i phương trình: 2cos x + 2sinx = 3 . HD: Áp d ng BðT Becnuli m r ng: t α + (1 − t ) α ≤ 1 v i t > 0, α ∈ [ 0,1]  π  T phương trình suy ra: s inx, cos x ∈ [ 0,1] . Suy ra x ∈  k2π; + k2π   2  Theo Becnuli: 2cos x + (1 − 2 ) cos x ≤ 1 2sinx + (1 − 2 ) sinx ≤ 1 Suy ra 2cos x + 2sinx ≤ ( s inx + cos x ) + 2 Suy ra 2cos x + 2sinx ≤ min ( s inx + cos x ) + 2  = min ( s inx + cos x ) + 2    π  Mà: min ( s inx + cos x ) = 1 v i x ∈  k2π; + k2π  .  2  sinx = 1 sinx = 0 Do ñó 2cos x + 2sinx ≤ 3 . D u '' = '' x y ra khi và chi khi  ho c  cosx = 0 cosx = 1
  17. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH  x = k2π ⇔  .  x = π + k2π  2 ---------- H T ----------
  18. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH CHUYEÂN ÑEÀ 2. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – LOGARIT Ta có th dùng các phương pháp bi n ñ i như ñ i v i gi i phương trình và s d ng các công th c sau HAØM SOÁ MUÕ ● 0 < a <1 ⇔ f (x) < g (x) f (x) g( x ) a >a (ngh ch bi n) a f ( x ) ≥ a g( x ) ⇔ f ( x ) ≤ g ( x ) ● a >1 ⇔ f (x) > g (x) f (x) g( x ) a >a (ñ ng bi n) a f ( x ) ≥ a g( x ) ⇔ f ( x ) ≥ g ( x ) HAØM SOÁ LOGARIT 0 < a ≠ 1  ● log a f ( x ) có nghĩa ⇔  f ( x ) > 0  ● log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b f ( x ) = g ( x )  ● log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔  0 < a ≠ 1  ● 0 < a <1 log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) < g ( x ) (ngh ch bi n) log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) ≤ g ( x ) ● a >1 log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) > g ( x ) (ñ ng bi n) log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) ≥ g ( x ) T ng quát ta có: a > 0   log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ f ( x ) > 0; g ( x ) > 0  ( a − 1) f ( x ) − g ( x )  > 0    a > 0   log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ f ( x ) > 0; g ( x ) > 0  ( a − 1) f ( x ) − g ( x )  ≥ 0   
  19. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 1. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ CUØNG CÔ SOÁ x − x −1 x 2 − 2x 1 Ví d 1. Gi i b t phương trình: 3 ≥   3 L i gi i: - ði u ki n: x ≤ 0 hoÆc x ≥ 2 . - Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi x 2 − 2x x − x −1 3 ≥3 ⇔ x 2 − 2x ≥ x − x − 1 (1) + NÕu x ≤ 0 th× x − 1 = 1 − x , khi ®ã bpt (1) ⇔ x 2 − 2x ≥ 2x − 1 (®óng v× x ≤ 0) + NÕu x ≥ 2 th× x − 1 = x − 1 , khi ®ã bpt (1) ⇔ x 2 − 2x ≥ 1 x ≤ 1− 2 ⇔ x 2 − 2x − 1 ≥ 0 ⇔  x ≥ 1 + 2  - KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ta ®−îc x ≥ 1 + 2 . Ví d 2. Gi i b t phương trình: ( log x 5x 2 − 8x + 3 > 2 ) L i gi i: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi        0 < x <1     0 < x <1  0 < x < 1  2  1<x<3  5x − 8x + 3 < x 2   4x 2 − 8x + 3 < 0  2 1 3 2 < x < 5 2  2   ⇔   5x − 8x + 3 > 0 ⇔  3 ⇔  3 ⇔     x < ∨ x >1 x < 5 ∨ x > 1  x>3  x >1 5     2  5x 2 − 8x + 3 > x 2  x >1  x >1  2    4x − 8x + 3 > 0  1 3    x < 2 ∨ x > 2    Lưu ý: Víi bÊt phương trình d¹ng log f ( x ) g ( x ) > a , ta xÐt hai tr−êng hîp cña c¬ sè 0 < f ( x ) < 1 và 1 < f ( x ) . 3( log 3 x ) 2 Ví d 3. Gi i b t phương trình: + x log3 x ≤ 6 L i gi i: - ði u ki n: x > 0 Ta sö dông phÐp biÕn ®æi 3( log3 x ) = 3log3 x ( ) 2 log3 x - = x log3 x . Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi x log3 x + x log3 x ≤ 6 ⇔ x log3 x ≤ 3 . - ( LÊy l«garit c¬ sè 3 hai vÕ, ta ®−îc: log 3 x log3 x ≤ log 3 3 ⇔ log 3 x.log 3 x ≤ 1 ) 1 ⇔ ( log3 x ) ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ log 3 x ≤ 1 ⇔ ≤ x ≤ 3. 2 3 1 - VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ≤ x ≤ 3. 3
  20. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH  1 + 2x  Ví d 4. Gi i b t phương trình: log 1  log 2 >0 3 1+ x  L i gi i: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi  1 + 2x  1 + 2x  x log 2 1 + x > 0   1+ x > 1   1 + x >0  x < −1 ∨ x > 0  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ x>0  log 1 + 2x  1 + 2x  −1  x > −1 <1 <2 <0  2 1+ x    1+ x  1 + x - VËy x > 0 lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh. BAØI TAÄP Gi i các b t phương trình sau:  x2 + x  1) log 0,7  log 6 <0  x+4  2) log 3x − x 2 ( 3 − x ) > 1 3) log 2 ( x − 5 ) + 3log 5 1 5 ( x − 5) + 6 log 1 ( x − 5) − 4 log 25 ( x − 50 + 2 ) ≤ 0 5 25 2. PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHUÏ 2.3x − 2x + 2 Ví d 1. Gi i b t phương trình: ≤1 3x − 2 x L i gi i: - ði u ki n x ≠ 0 . x 3 2.   − 4 2.3x − 2 x + 2 2 - Chia c t và m u cho 2x , ta ñư c: ≤1 ⇔ ≤1 3x − 2 x 3 x   −1 2 2t − 4 x 3 - §Æt t =   , ( 0 < t ≠ 1) . Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi −1 ≤ 0 2 t −1 t −3 x 3 ⇔ ≤ 0 ⇔ 1 < t ≤ 3 ⇔ 1 <   ≤ 3 ⇔ 0 < x ≤ log 3 3 t −1 2 2 - VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 0 < x ≤ log 3 3 . 2  x3   32  Ví d 2. Gi i b t phương trình: log ( x ) − log   + 9 log 2  2  < 4 log 2 ( x ) 4 2 2 1 1  8  2 x  2 L i gi i: - ði u ki n x > 0 . - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi 2  x   32  3 ⇔ log 4 ( x ) − log 2−1   + 9 log 2  2  < 4 log 2−1 ( x ) 2 2  8   x  ⇔ log 4 ( x ) − log 2 x 3 − log 2 8 + 9 log 2 32 − log 2 x 2  < 4 log 2 ( x ) 2 2 2     ⇔ log 4 ( x ) − [3log 2 x − 3] + 9 [5 − 2 log 2 x ] < 4 log 2 ( x ) 2 2 2
Đồng bộ tài khoản