PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

Chia sẻ: pretty16

Tham khảo tài liệu 'phương trình mũ – logarit', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH


CHUYEÂN ÑEÀ 1. PHÖÔNG TRÌNH
MUÕ – LOGARIT

DAÏNG 1. PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN
Phương trình mũ cơ b n có d ng: a x = m , trong ñó a > 0, a ≠ 1 và m là s ñã cho.

● N u m ≤ 0 , thì phương trình a x = m vô nghi m.
● N u m > 0 , thì phương trình a x = m có nghi m duy nh t x = log a m.
Bài 1. Gi i các phương trình sau:
1) 5x +1 + 6.5x − 3.5x −1 = 52
2) 3x +1 + 3x + 2 + 3x +3 = 9.5x + 5x +1 + 5x + 2
3) 3x.2 x +1 = 72
2
−3x + 2 2
+ 6x +5 2
+3x +7
4) 4x + 4x = 42x +1

5) 5.32x −1 − 7.3x −1 + 1 − 6.3x + 9 x +1
Bài 2. Gi i các phương trình sau:
1) log 3 x ( x + 2 ) = 1

2) log 2 ( x 2 − 3) − log 2 ( 6x − 10 ) + 1 = 0

3) log ( x + 15 ) + log ( 2x − 5 ) = 2

4) log 2 ( 2x +1 − 5 ) = x

Bài 3. Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau:
x −1
1) 3x +1 − 2.3x − 2 = 25 2) log 2 + log 2 ( x − 1)( x + 4 ) = 2
x+4
3) 3.2x +1 + 2.5x − 2 = 5x + 2x − 2 4) log x 2 16 − log x
7=2
x 3x −1
4 7
6) 2 log8 ( 2x ) + log 8 ( x 2 − 2x + 1) =
16 4
5)     − =0
7 4 49 3
1 1
7) 4log x +1 − 6log x = 2.3log x +2
8) 2.5x +1 − .4 x + 2 − .5x + 2 = 4x +1
2


5 4

9) log 3
( x − 2 ) log5 x = 2 log3 ( x − 2 ) 10) 3 2x −5 − 5 2 x −7 = 32

11) 3 (10x − 6x + 2 ) + 4.10 x +1 = 5 (10x −1 − 6 x −1 )
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH

DAÏNG 2. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ CUØNG CÔ SOÁ
Phương pháp ñưa v cùng cơ s
S d ng công th c:
● aα = a β ⇔ α = β .

 b > 0 ( hoÆc c > 0 )

● log a b = log a c ⇔ 
b = c

Bài 1. Gi i các phương trình sau:
1) 52x +1 + 7 x +1 − 175x − 35 = 0 3) x 2 .2 x +1 + 2 x −3 + 2 = x 2 .2 x −3 + 4 + 2 x −1
1 1
+ 21− x = 2(
x +1)
2
2) 3.4x + .9 x + 2 = 6.4 x +1 − .9 x +1 +x
+1
2 2
4) 4x
3 2
Bài 2. Gi i các phương trình sau:
1) log x 2.log x 2 = log x 2
16 64

5
2) log 5x + log 5 x = 1
2

x
3) log 2 x + log 3 x + log 4 x = log 20 x

1
4) log 2 ( 3x − 1) + = 2 + log 2 ( x + 1)
log ( x +3) 2

x −1
5) log 9 ( x 2 − 5x + 6 ) =
2 1
log 3
+ log 3 x − 3
2 2

( ) (
6) log 2 x 2 + 3x + 2 + log 2 x 2 + 7x + 12 = 3 + log 2 3 )
1 1
( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4x )
8
Bài 3. Gi i phương trình sau: log 2
2 4
Bài 4. Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau:
2 − 3x
1
x
1) 9   = 27 x . 3 81x +3 6) log 5 ( 6 − 4x − x 2 ) = 2 log 5 ( x + 4 )
 3
1
2) 3.13x + 13x +1 − 2 x + 2 = 5.2 x +1 7) 2 log ( x − 1) = log x 5 − log x
2

3) log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2 8) 2 log9 x = log 3 x.log3
2
( )
2x + 1 − 1

x −1
4) log 5 ( x 2 + 2x − 3) = log 9) log 4 ( x 2 − 1) − log 4 ( x − 1) = log 4 x − 2
2
5
x+3

5) log 4 ( x + 1) + 2 = log 4 − x + log8 ( 4 + x )
2 3
2
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH

DAÏNG 3. ÑÖA VEÀ DAÏNG TÍCH A.B = 0
+x −x
− 4.2 x − 22x + 4 = 0
2 2
Ví d 1: Gi i phương trình: 2x

HD: 2x
2
+x
− 4.2 x
2
−x
− 22x + 4 = 0 ⇔ (2 x2 −x
)
− 1 . ( 22x − 4 ) = 0

Nh n xét: M c dù cùng cơ s 2 nhưng không th bi n ñ i ñ ñ t ñư c n ph do ñó ta ph i phân

(
tích thành 2 x
2
−x
)
− 1 . ( 22 x − 4 ) . ðây là phương trình tích ñã bi t cách gi i.

Bài 1. Gi i các phương trình sau:
1) 8.3x + 3.2 x = 24 + 6x
+x −x
− 4.2x − 22x + 4 = 0
2 2
2) 2x
3) 12.3x + 3.15x − 5x +1 = 20

Ví d 2: Gi i phương trình: 2 ( log 9 x ) = log 3 x.log 3
2
( )
2x + 1 − 1 .

Nh n xét: Tương t như trên ta ph i bi n ñ i phương trình thành tích
log 3 x − 2 log 3
 ( )
2 x + 1 − 1  .log 3 x = 0 . ðây là phương trình tích ñã bi t cách gi i.

T ng quát: Trong nhi u trư ng h p cùng cơ s nhưng không th bi n ñ i ñ ñ t n ph
ñư c thì ta bi n ñ i thành tích.
Bài 2. Gi i phương trình: log 2 x + 2.log 7 x = 2 + log 2 x.log 7 x .



DAÏNG 3. PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHUÏ
S d ng công th c v hàm s mũ và lôgarit ñ bi n ñ i bài toán, sau ñó ñ t n s
ph , quy phương trình ñã cho v các phương trình ñ i s (phương trình ch a ho c
không ch a căn th c). Sau khi gi i phương trình trung gian ta quy v gi i ti p các
phương trình mũ ho c lôgarit cơ b n
A - Phương pháp ñ t n ph d ng 1.
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

● Phương trình α k a kx + α k −1a (k −1) x + α k − 2a (k −2)x + ... + α1a x + α 0 = 0 , khi ñó ta ñ t t = a x , t > 0 .

1
● Phương trình α1a x + α 2 b x + α 3 = 0 , v i a.b = 1 . Khi ñó ñ t t = a x , t > 0 ⇒ b x = , ta ñư c
t
phương trình: α1t 2 + α 3 t + α 2 = 0 .

● Phương trình α1a 2x + α 2 (ab) x + α 3 b 2x = 0 . Chia hai v cho a 2x ho c b 2x ta ñư c
2x x x
a a a
α1   + α 2   + α 3 = 0 , ñ t t =   , t > 0 .
b b b
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
Bài 1. Gi i các phương trình sau:

1) 4x + x2 −2
− 5.2 x −1+ x2 −2
−6 = 0
2) 43+ 2cos x − 7.41+ cos x − 2 = 0

( 26 + 15 3 ) ( ) ( )
x x x
3) +2 7+4 3 −2 2− 3 =1

Bài 2. Gi i các phương trình sau:

(2 − 3) + (2 + 3)  8   x 1 
x x
1) = 14 3)  23x − 3x  − 6  2 − x −1  = 1
 2   2 

2) 5.23 x −1 − 3.25−3x + 7 = 0 4) 27 x + 12 x = 2.8x
PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
1
● N u ñ t t = log a x, ( x > 0 ) thì log a x = t k ; log x a = , 0 < x ≠ 1. .
k

t
● N u ñ t t = a logb x thì t = x logb a . Vì a logbc = clogba .
Bài 1. Gi i các phương trình sau:

1) log 2 ( 4 x +1 + 4 ) .log 2 ( 4 x + 1) = 3
1
4) log x 3 + log 3 x = log x
3 + log 3 x +
2
2) log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2 5) log 2 ( x + 1) = log x +1 16

4
3) log x (125x ) .log 25 x = 1
2
6) ( 2 − log3 x ) log9x 3 − =1
1 − log 3 x
Bài 2. Gi i các phương trình sau:

(
1) log 6.5x + 25.20 x = x + log 25 ) 3)
log 2 x
=
log8 4x
log 4 2x log16 8x

2) log 2 x.log x (4x 2 ) = 12
2 4) log 2 x = log
3
( x +2 )
B - Phương pháp ñ t n ph d ng 2.
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
Phương pháp: Ý tư ng là s d ng m t n ph chuy n phương trình ban ñ u thành m t
phương trình v i m t n ph nhưng các h só v n còn ch a n x. Khi ñó thư ng ta ñư c
m t phương trình b c 2 theo n ph có bi t s ∆ là m t s chính phương.
Ví d : Gi i phương trình: 9x + 2 ( x − 2 ) 3x + 2x − 5 = 0 .

HD: ð t t = 3x (*) , khi ñó ta có: t 2 + 2 ( x − 2 ) t + 2x − 5 = 0 ⇒ t = −1, t = 5 − 2x .

Thay vào (*) ta tìm ñư c x.
Lưu ý: Phương pháp này ch s d ng khi ∆ là s chính phương.
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH

(
Gi i phương trình: 9x + x 2 − 3 3x − 2x 2 + 2 = 0 )
2 2
Bài 1.

Bài 2. Gi i phương trình: 42x + 23x +1 + 2x + 3 − 16 = 0
PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

Ví d 2: Gi i phương trình: log 3 ( x + 1) + ( x − 5 ) log 3 ( x + 1) − 2x + 6 = 0
2



HD: ð t t = log 3 ( x + 1) , ta có: t 2 + ( x − 5 ) t − 2x + 6 = 0 ⇒ t = 2, t = 3 − x . Suy ra

x = 8, x = 2.

Bài 1. Gi i phương trình: lg 2 ( x 2 + 1) + ( x 2 − 5 ) lg ( x 2 + 1) − 5x 2 = 0

Bài 2. Gi i các phương trình sau:
1) lg 2 x − lgxlog 2 ( 4x ) + 2log 2 x = 0

2) lg 4 x + lg 3 x − 2lg 2 x − 9lgx − 9 = 0
C - Phương pháp ñ t n ph d ng 3.
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
Phương pháp: L a ch n n ph thích h p r i chuy n phương trình v h ñơn gi n.
+1
+ 21− x = 2(x +1) + 1
2 2 2
Bài 1. Gi i phương trình: 4x
−3x + 2 + 6x + 5 +3x + 7
+ 4x = 42x +1
2 2 2
Bài 2. Gi i phương trình: 4x
PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
S d ng 2 n ph cho 2 bi u th c logarit trong phương trình và khéo léo bi n ñ i phương
trình thành phương trình tích.

Bài 1. Gi i phương trình: log 2 x ( x − 1) + log 2 xlog 2 x 2 − x − 2 = 0
2
( )
Bài 2. Gi i phương trình: log 2 x − log 2 x + log 3 x − log 2 xlog 3 x = 0
2



( ) ( )
log 2 x log 2 x
Bài 3. Gi i phương trình: 2 + 2 +x 2− 2 = 1 + x2

D - Phương pháp ñ t n ph d ng 4. ð t n ph chuy n thành h phương trình.
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

2x
8 18
Ví d : Gi i phương trình: x −1
+
= x −1 1− x
2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2
x


8 1 18
HD: Vi t phương trình dư i d ng x −1
+ = x −1 1− x
1− x
, ñ t
2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2
u = 2 x −1 + 1, v = 21− x + 1; u, v > 0 .
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
8 1 18
 + =
Nh n xét: u.v = u + v. T ñó ta có h :  u v u + v
u.v = u + v


Bài 1. Gi i phương trình: 22x − 2 x + 6 = 6

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

Bài 1. ( ) (
Gi i phương trình: log 2 x − x 2 − 1 + 3log 2 x + x 2 − 1 = 2 )
Bài 2. Gi i phương trình: 3 2 − lgx = 1 − lgx − 1

Bài 3. ( ) (
Gi i phương trình: 3 + log 2 x 2 − 4x + 5 + 2 5 − log 2 x 2 − 4x + 5 = 6 )
E - Phương pháp ñ t n ph d ng 5.
PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
S d ng m t n ph chuy n phương trình ban ñ u thành m t h phương trình v i m t n ph và
m t n x. Ta th c hi n các bư c:
+ ð t ñi u ki n có nghĩa cho phương trình.
+ Bi n ñ i phương trình v d ng: f(x; φ (x)) = 0.

 y = φ ( x)
+ ð t y = φ (x) ñưa v h :  .
 f ( x; y ) = 0
Chú ý: ð i v i phương trình logarít có m t d ng r t ñ c bi t, ñó là phương trình
d ng s ax +b = c.log s (dx + e) + α x + β . V i d = ac + α ; e = bc + β .
Cách gi i:
0 < s ≠ 1
- ði u ki n có nghĩa c a phương trình: 
 dx + e ≠ 0
- ð t ay + b = log s (dx + e) khi ñó phương trình ñã cho tr thành:

 s ax +b = c(ay + b) + α x + β  s ax +b = acy + α x + bc + β  s ax +b = acy + (d − ac) x + e(1)
 ⇔  ay +b ⇔  ay +b
ay + b = log s (dx + e) s = dx + e s = dx + e(2)


- L y (1) tr cho (2) ta ñư c: s ax +b + acx = s ay +b + acy (3).

- Xét hàm s f ( x) = s at +b + act là hàm s dơn ñi u trên R. T (3) ta có f(x) = f(y) ⇔ x = y,

khi ñó (2) ⇔ s ax +b = dx + e (4) dùng phương pháp hàm s ñ xác ñ nh nghi m phương trình (4).
Ví d : Gi i phương trình: 7 x −1 = 6log 7 ( 6x − 5 ) + 1

HD: ð t y − 1 = log 7 ( 6x − 5 ) . Khi ñó chuy n thành h
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
7 x −1 = 6 ( y − 1) + 1
  x −1
7 = 6y − 5
 ⇔  y −1 ⇒ 7 x −1 + 6x = 7 y−1 + 6y .
 y − 1 = log 7 ( 6x − 5 )
 7 = 6x − 5


Xét hàm s f ( t ) = 7 t −1 + 6t suy ra x = y , Khi ñó 7 x −1 − 6x + 5 = 0 .

Xét hàm s g ( x ) = 7 x −1 − 6x + 5 . Nh m nghi m ta ñư c 2 nghi m: x = 1, x = 2.

Bài 2. Gi i các phương trình sau:
1) log 2 x + log 2 x + 1 = 1
2 3) 3log 2 x + 1 = 4log 2 x + 13log 2 x − 5
2


2) lgx + 1 = lg 2 x + 4lgx + 5 4) 3log 2 x + 1 = −4log 2 x + 13log 2 x − 5
2


Bài 3. Gi i các phương trình sau:
1) lgx + 1 = lg 2 x + 4lgx + 5 3) 6 x = 3log 6 ( 5x − 1) + 2x + 1

2) log 3 x + 2 = 3 3 3log 3 x − 2
2 4) x 3 + 1 = 3 3 2x − 1

Bài 4. Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau:

( ) ( ) =5
cosx cosx
1) 9x − 10.3x + 9 = 0 16) 7+4 3 + 7−4 3
2

17) ( 3) +( 2− 3) = 2
x x
2) 4x − 6.2x + 8 = 0 2+
2 2
x




18) ( 15 ) + ( 4 + 15 ) = 8
x x
3) 15.25x − 34.15x + 15.9 x = 0 4−
2 2 2




(2 + 3) + (2 − 3) ( ) + (7 − 3 5 )
x x x x
4) =4 19) 7 + 3 5 = 14.2 x

5) 5x −1 + 5.0, 2 x − 2 = 26 20) log x 3x .log 3 x + 1 = 0

log 2 x log8 4x
6) 25x − 12.2x − 6, 25.0,16x = 0 21) =
log 4 2x log16 8x
1 3
3+
7) 64 − 2 x x
+ 12 = 0 22) 1 + 2 log x + 2 5 = log 5 ( x + 2 )

8) 4x − 4 x +1
= 3.2x + x
23) log ( log x ) + log ( log x 3 − 2 ) = 0

9) 9x − 8.3x + 7 = 0 24) log 3 ( 3x − 1) .log ( 3x +1 − 3) = 6

25) log 2 ( 9 − 2 x ) = 3 − x
1 2x −1
10) .4 + 21 = 13.4x −1
2
1 1 1
5
11) 6.9 − 13.6 + 6.4 = 0
x x x
26) log 3 x + log x 3 =
2

12) 3
25x − 3 9x + 3 15x = 0 27) 2x log 2 x + 2x −3log8 x − 5 = 0

13) 9sin x + 9cos x = 10 28) 5log 2 x + 2.x log 2 5 = 15
2 2
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
log 2 ( 5x ) −1
14) 2sin x + 5.2cos x = 7 − x log5 7 = 0
2 2
29) 7 25




15) 4cos2x + 4cos x = 3 30) 25log x = 5 + 4.x log5
2




F - M t s bài toán (ñ c bi t là các bài logarrit) ta thư ng ph i ñưa v phương trình – h
phương trình – b t phương trình mũ r i s d ng các phương pháp trên.
●D ng 1. Khác cơ s
Ví d : Gi i phương trình: log 7 x = log 3 ( x + 2) .

ð t t = log 7 x ⇒ x = 7 t .
t

( )  7 t
1
Phương trình tr thành t = log 3 7 +2
t
⇔ 3 = 7 +2 ⇔ 1= 
t
 
 + 2.  
t

 3  3

●D ng 2. Khác cơ s và bi u th c trong d u log ph c t p
Ví d 1: Gi i phương trình: log 4 6 ( x 2 − 2x − 2 ) = 2 log 5 (x 2
− 2x − 3) .

ð t t = x 2 − 2x − 3 , ta có log 6 ( t + 1) = log 5 t .

Ví d 2: Gi i phương trình: log 2 ( x + 3log6 x ) = log 6 x .
t
3
ð t t = log 6 x , phương trình tương ñương 6 t + 3t = 2 t ⇔ 3t +   = 1 .
2
log b ( x + c )
●D ng 3. a = x . (ði u ki n: b = a + c )
Ví d 1. Gi i phương trình: 4log7 ( x +3) = x .
ð t t = log 7 ( x + 3) ⇒ 7 t = x + 3
t t
4 1
Phương trình tr thành: 4t = 7 t − 3 ⇔   + 3.   = 1 .
7 7

Ví d 2. Gi i phương trình: 2log3 ( x + 5) = x + 4.
ð t t = x + 4 . Phương trình tr thành: 2log3 ( t +1) = t .
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH

DAÏNG 5. PHÖÔNG PHAÙP LOÂGARIT HOÙA
S d ng công th c l y logarit hai v c a phương trình v i cơ s thích h p.
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

0 < a ≠ 1, b > 0
● D ng 1: a f (x) = b ⇔ 
f (x) = log a b.
● D ng 2: a f (x) = b g(x) ⇔ log a a f (x) = log a b g(x ) ⇔ f (x) = g(x).log a b.
Bài 1. Gi i các phương trình sau:
2
1) x log4 x − 2 = 23( log4 x −1) x + lg x 3 + 3
=
2
2) x lg
1 1

1 + x −1 1+ x +1
Bài 2. Gi i các phương trình sau:
4x +1 3x + 2
2 1
1)   =  2) x lg x = 1000x 2
5 7

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

0 < a ≠ 1
● D ng 1: log a f (x) = b ⇔  .
f (x) = a
b



0 < a ≠ 1
● D ng 2: log a f (x) = log a g(x) ⇔ 
f (x) = g(x) > 0
Bài 1. Gi i các phương trình sau:
1) log x ( x 2 + 4x − 4 ) = 3 3) log x ( x + 6 ) = 3


{
2) log 4 2log 3 1 + log 2 (1 + 3log 2 x )  =
  }
1
2
Bài 2. Gi i các phương trình sau:
 2x −3 
log3  
1) 2  x 
=1 3) log 2 (x − 1) 2 = 2log 2 (x 3 + x + 1)

( )
2) log 2 x 2 − 1 = log 1 ( x − 1) 4) x + lg(1 + 2 x ) = xlg5 + lg6
2

Bài 3. Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau:

1) 4.9x −1 = 3 22x +1 2) 23 = 32
x x




− 2x
.3x = 1,5 4) 5x .3x = 1
2 2
3) 2x
2x −1 x
5) 5 .2x x +1
= 50 x
6) 3 .8 x+2
=6
3x
7) 3x.2 x + 2 = 6 .
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH

DAÏNG 6. PHÖÔNG PHAÙP SÖÛ DUÏNG TÍNH ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH
BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
● Nh m nghi m và s d ng tính ñơn ñi u ñ ch ng minh nghi m duy nh t
(thư ng là s d ng công c ñ o hàm)
● Ta thư ng s d ng các tính ch t sau:
Tính ch t 1: N u hàm s f tăng ( ho c gi m ) trong kho ng (a;b) thì phương trình
f(x) = C có không quá m t nghi m trong kho ng (a;b). ( do ñó n u t n t i x0 ∈ (a;b) sao
cho f(x0) = C thì ñó là nghi m duy nhat c a phương trình f(x) = C)
Tính ch t 2 : N u hàm f tăng trong kho ng (a;b) và hàm g là hàm m t hàm gi m trong
kho ng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhi u nh t m t nghi m trong kho ng (a;b).
( do ñó n u t n t i x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì ñó là nghi m duy nh t c a phương
trình f(x) = g(x))
Tính ch t 3 : ð nh lí Rôn: N u hàm s y = f ( x ) l i ho c lõm trên kho ng ( a; b ) thì

phương trình f ( x ) = 0 có không qua hai nghi m thu c kho ng ( a; b ) .

Ví d 1: Gi i phương trình: x + 2.3log2 x = 3
HD: x + 2.3log2 x = 3 ⇔ 2.3lo g2 x = 3 − x , v trái là hàm ñ ng bi n, v ph i là hàm
ngh ch bi n nên phương trình có nghi m duy nh t x = 1 .
Ví d 2: Gi i phương trình: 6 x + 2 x = 5x + 3x .
HD: Phương trình tương ñương 6 x − 5x = 3x − 2 x , gi s phương trình có nghi m α.

f ( t ) = ( t + 1) − tα , v i t > 0 . Ta nh n th y
α
Khi ñó: 6α − 5α = 3α − 2α . Xét hàm s

f ( 5) = f ( 2 ) nên theo ñ nh lý lagrange t n t i c ∈ ( 2;5 ) sao cho:

f ' ( c ) = 0 ⇔ α ( c + 1)
α −1
− cα −1  = 0 ⇔ α = 0, α = 1 , th l i ta th y x = 0, x = 1 là
 
nghi m c a phương trình.

Gi i phương trình: −2 x −x
+ 2x −1 = ( x − 1) .
2 2
Ví d 3:

HD: Vi t l i phương trình dư i d ng 2x −1 + x − 1 = 2 x −x
+ x 2 − x , xét hàm s
2




f ( t ) = 2 t + t là hàm ñ ng bi n trên R (???). V y phương trình ñư c vi t dư i d ng:

f ( x − 1) = f ( x 2 − x ) ⇔ x − 1 = x 2 − x ⇔ x = 1 .

Ví d 4: Gi i phương trình: 3x + 2 x = 3x + 2 .
HD: D dàng ta tìm ñư c nghi m: x = 0 và x = 1 . Ta c n ch ng minh không còn
nghi m nào khác.
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
Xét hàm s f ( x ) = 3x + 2 x − 3x − 2 ⇒ f '' ( x ) = 3x ln 2 3 + 2 x ln 2 2 > 0 ⇒ ð th c a

hàm s này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghi m. (ð nh lí Rôn)
 x y
e = 2007 − 2
 y −1
Ví d 5: Ch ng minh h phương trình  có ñúng hai nghi m th a mãn
e y = 2007 − x

 x 2 −1
x > 0, y > 0.
x
HD: Dùng tính ch t 2 ñ ch ra x = y khi ñó xét hàm s f ( x ) = e x + − 2007 .
x2 −1
● N u x < −1 thì f ( x ) < e −1 − 2007 < 0 suy ra h phương trình vô nghi m.

● N u x > 1 dùng ñ nh lý Rôn và ch ra v i x 0 = 2 thì f ( 2 ) < 0 ñ suy ra ñi u ph i

ch ng minh.
b a
 1  1 
Ví d 6: Cho a ≥ b > 0 . Ch ng minh r ng:  2a + a  ≤  2b + b 
 2   2 

 1   b 1 
ln  2a + a  ln  2 + b 
 1   1 
HD: B t ñ ng th c ⇔ b ln  2a + a  ≤ a ln  2b + b  ⇔  ≤  .
2 2
 2   2  a b

 1 
ln  2 x + x 
Xét hàm s f ( x ) = 
2 
v i x > 0,
x
Suy ra f’ ( x ) < 0 v i m i x > 0 nên hàm s ngh ch bi n v y v i a ≥ b > 0 ta có

f(a) ≤ f ( b ) .

Bài 1. Gi i các phương trình sau:
1) 3x + 4x = 5x 7) 4 x − 3x = 1

( )
2) log 2 1 + x = log 3 x ( )
8) log 2 x + 3log6 x = log 6 x

3) x log 2 9 = x 2 .3log2 x − x log 2 3 9) 3.25x − 2 + ( 3x − 10 ) 5x − 2 + 3 − x = 0

4) x 2 .3x + 3x (12 − 7x ) = − x 3 + 8x 2 − 19x + 12

5) 4 ( x − 2 ) log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2 )  = 15 ( x + 1)
 
1 1 1
6) 5x + 4 x + 3x + 2x = + + − 2x 3 + 5x 2 − 7x + 17
2 x 3x 6 x
Bài 2. Gi i các phương trình sau:
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
x
1) 2x = 1 + 3 2 4) 25x − 2 ( 3 − x ) 5x + 2x − 7 = 0

2) 2 3− x
= − x 2 + 8x − 14 5) 8 − x.2 x + 23− x − x = 0
3) log 2 x = 3 − x 6) l og 2 x + ( x − 1) log 2 x = 6 − 2x
2


Bài 3. Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau:
1) 4x + 9 x = 25x
2) ( x + 2 ) log 3 ( x + 1) + 4 ( x + 1) log3 ( x + 1) − 16 = 0
2



3) 9x + 2 ( x − 2 ) .3x + 2x − 5 = 0

( )
4) x + log x 2 − x − 6 = 4 + log ( x + 2 )

5) ( x + 3) log3 ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 ) log3 ( x + 2 ) = 16
2




DAÏNG 7. MOÄT VAØI BAØI KHOÂNG MAÃU MÖÏC

Bài 1. Gi i phương trình: 4x − 2.2 x + 2 ( 2x − 1) sin ( 2 x + y − 1) + 2 = 0

HD: phương trình 4x − 2.2 x + 2 ( 2x − 1) sin ( 2 x + y − 1) + 2 = 0

⇔ ( 2 x − 1) + 2 ( 2 x − 1) sin ( 2 x + y − 1) + sin 2 ( 2x + y − 1) + cos 2 ( 2 x + y − 1) = 0
2




⇔ ( 2 x − 1) + sin ( 2x + y − 1)  + cos 2 ( 2 x + y − 1) = 0
2

 
( 2x − 1) + sin ( 2 x + y − 1) = 0

⇔
cos ( 2 + y − 1) = 0
x

Bài 2. Gi i phương trình: 4sinx − 21+sinx cos ( xy ) + 2 y = 0 .

HD: phương trình 4sinx − 21+sinx cos ( xy ) + 2 y = 0

⇔  2sinx − cos ( xy )  +  2 − cos 2 ( xy )  = 0
2 y
   
2 ≥ 1

y

Ta có  2sinx − cos ( xy )  ≥ 0 và  2 ⇒  2 − cos 2 ( xy )  ≥ 0
2 y
   
cos ( xy ) ≤ 1


Do ñó  2sinx − cos ( xy )  +  2 y − cos 2 ( xy )  ≥ 0
2
   
2sinx − cos ( xy ) = 0
 2sinx = cos ( xy )
 (1)
V y phương trình ⇔  y ⇔  y
2 − cos ( xy ) = 0 2 − cos ( xy ) = 0 ( 2)
2 2
 
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
2 y = 1
 y = 0

( 2) ⇔  2 ⇔  2 ⇔ y = 0.
cos ( xy ) = 1
 cos ( x.0 ) = 1

Thay vào (1) ta ñư c x = kπ .
8
Bài 3. Gi i phương trình: 22x +1 + 23− 2x = .
log 3 ( 4x − 4x + 4 )
2




HD: Ta có 4x 2 − 4x + 4 = ( 2x − 1) + 3 ≥ 3 nên log 3 ( 4x 2 − 4x + 4 ) ≥ 1
2



8
Suy ra ≤8 (1)
log 3 ( 4x − 4x + 4 )
2




M t khác 22x +1 + 23− 2x ≥ 2 22x +1.23− 2x = 2 22x +1+3− 2x = 8 (2)

Bài 4. Gi i phương trình: log 3 ( x 2 + x + 1) − log 3 x = 2x − x 2 .

HD: ði u ki n x > 0. Phương trình log 3 ( x 2 + x + 1) − log 3 x = 2x − x 2

 1
⇔ log 3  x + 1 +  = − (1 − x ) + 1
2

 x
Ta có
1 1  1
● x+ ≥ 2 ⇒ x + 1 + ≥ 3 ⇒ log 3  x + 1 +  ≥ 1
x x  x

● − (1 − x ) + 1 ≤ 1
2



  1
log 3  x + 1 + x  = 1
V y phương trình ⇔    ⇔ x = 1.
− 1 − x + 1 = 1
 ( )
2




x 2 + x + 1 2 x − x2
Nh n xét: Bài toán tương ñương là gi i phương trình =3 .
x

Bài 5. Gi i phương trình: log 2 ( )  1
x − 2 + 4 = log 3 
 x −1

+ 8 .

HD: ði u ki n x > 2 .

● x − 2 + 4 ≥ 4 ⇒ log 2 ( x−2 +4 ≥ 2 )
1 1
● V i x > 2 ta có x −1 ≥ 1 ⇒ ≤1 ⇒ +8 ≤ 9
x −1 x −1

 1 
⇒ log 3  + 8 ≤ 2
 x −1 

Bài 6. Gi i phương trình: 4x + 8 2 − x 2 = 4 + ( x 2 − x ) .2x + x.2 x +1 2 − x 2 .
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH

HD: ði u ki n − 2 ≤ x ≤ 2 .

Phương trình ⇔ ( 4 − x.2 ) ( x − 1 + 2
x
2 − x2 = 0) ( *)
3
Ta có x ≤ 2 ⇒ x.2 ≤ 2.2 x 2
< 2.2 = 4 . Do ñó (*) ⇔ x − 1 + 2 2 − x 2 = 0 .
2



Bài 7. Gi i phương trình: 5x + 6x 2 − x 3 − x 4 log 2 x = (x 2 − x) log 2 x + 5 + 5 6 + x − x 2 .

 x>0
HD: ði u ki n  ⇔ 0 < x ≤ 3.
6 + x − x ≥ 0
2




Phương trình ⇔ ( x log 2 x − 5) ( 6 + x − x2 + 1 − x = 0 ) ( *)
Do x ≤ 3 ⇒ x log 2 x ≤ 3log 2 3 < log 2 32 = 5 ⇒ ( x log 2 x − 5) < 0
Khi ñó (*) ⇔ ( 6 + x − x2 + 1 − x = 0 . )
Gi i phương trình: 3sin x + 3cos x = 2 x + 2− x + 2 .
2 2
Bài 8.
x -x
2 2
HD: Phương trình ⇔ 3sin x + 31−sin =2 +2 +2
2 2
x 2 2



32sin x + 3
2
x -x
2 2
⇔ 2 −4= 2 2
+2 2
−2
3sin x





(3 sin 2 x
)(
− 1 3sin x − 3
2

) = 2 x

−2 
-x 2


2 2
2
3sin x
 

Ta có 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 3sin ≤ 3 . Do ñó VT ≤ 0 ≤ VP .
2
x


Bài 9. Gi i phương trình: 2 log 3 cot x = log 2 cos x .

HD: ð t 2 log 3 cot x = log 2 cos x = t , ta có

cos 2 x = 4 t
cos x = 2 t cos 2 x = 4 t 
 2  2  4t
cot x = 3 ⇔ cot x = 3 ⇔ sin 2 x = t
t t

cos x > 0, cot x > 0 cos x > 0, cot x > 0  3
  cos x > 0, cot x > 0

cos 2 x = 4 t
 t cos 2 x = 4 t  1
4  cos x =
⇔  t + 4 =1
t
⇔  t = −1 ⇔  2
3 cos x > 0, cot x > 0 cos x > 0, cot x > 0

cos x > 0, cot x > 0 

π
⇔ x= + k2π .
3
T ng quát: D ng α .log a f ( x ) = β .log b g ( x ) ta ñ t t = α .log a f ( x ) = β .log b g ( x )
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
Bài 10. Gi i phương trình: 3x 2 − 2x 3 = log 2 ( x 2 + 1) − log 2 x.

HD: ði u ki n x > 0 .
ð t f ( x ) = 3x 2 − 2x 3 , g ( x ) = log 2 ( x 2 + 1) − log 2 x

● Ta có f ( x ) = 3x 2 − 2x 3 ⇒ f ' ( x ) = 6x − 6x 2 ; f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0, x = 1 . L p b ng

bi n thiên ta th y f(x) ñ ng bi n trên (0,1) và ngh ch bi n trên (1, +∞ ) . Suy ra trên

( 0, +∞ ) , maxf ( x ) = f (1) = 1 hay f ( x ) ≤ 1, ∀x > 0.

 x2 +1  1
● Ta có g ( x ) = log 2 ( x 2 + 1) − log 2 x = log 2   = log 2  x +  . V i x > 0 , ta có
 x   x

1  1
x+ ≥ 2 ( côsi ) => log 2  x +  ≥ log 2 2 = 1. Suy ra g ( x ) ≥ 1, ∀x > 0.
x  x

3x 2 − 2x 3 = 1

V y phương trình ⇔ 
log 2 ( x + 1) − log 2 x = 1
2


Gi i phương trình: 2x −1 − 2 x −x
= ( x − 1) .
2 2
Bài 11.

HD: phương trình ⇔ 2 x −1 + ( x − 1) = 2 x −x
+ (x2 − x) .
2




ð t u = x − 1; v = x 2 − x. Khi ñó phương trình có d ng 2u + u = 2v + v .

Xét hàm s f ( t ) = 2 t + t , hàm này ñ ng bi n và liên t c trên ℝ .

V y phương trình ⇔ f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v ⇔ x − 1 = x 2 − x ⇔ x = 1 .

Bài 12. Gi i phương trình: 2009x + 2011x = 2.2010x .
HD: G i x 0 là m t nghi m c a phương trình ñã cho. Ta ñư c

2009x 0 + 2011x 0 = 2.2010 x0 ⇔ 2009 x0 − 2010 x0 = 2010 x0 − 2011x 0 ( *)
Xét hàm s F ( t ) = t x0 − ( t + 1) 0 . Khi ñó (*) ⇔ F ( 2009 ) = F ( 2010 ) .
x



Vì F(t) liên t c trên [ 2009, 2010] và có ñ o hàm trong kho ng ( 2009, 2010 ) , do ñó

theo ñ nh lí Lagrange t n t i c ∈ ( 2009, 2010 ) sao cho

F ( 2010 ) − F ( 2009 ) x0 = 0
F' ( c ) = ⇔ x 0 . c x0 −1 − ( c + 1) 0  = 0 ⇔ 
x −1

2010 − 2009   x0 = 1
Th l i x 0 = 0, x 0 = 1 th y ñúng. V y nghi m c a phương trình là x 0 = 0, x 0 = 1 .
Nh n xét: Bài toán tương t
1) 3cos x − 2cos x = co sx ⇔ 3cos x − 2cos x = 3co sx − 2 co sx .
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
2) 4log3 x + 2log3 x = 2x . ð t u = log 3 x ⇒ x = 3u . Phương trình ⇔ 4u + 2u = 2.3u .

Lưu ý: Bài toán trên ta s d ng ñ nh lí Lagrange: N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên ño n

[ a; b] và có ñ o hàm trên kho ng ( a; b ) thì t n t i m t ñi m c ∈ ( a; b ) sao cho

f (b) − f ( a )
f ' (c) = .
b−a
x2 + x +1
Bài 13. Gi i phương trình: log 3 = x 2 − 3x + 2 .
2x − 2x + 3
2



HD: ð t u = x 2 + x + 1; v = 2x 2 − 2x + 3 ( u > 0, v > 0 ) . Suy ra v − u = x 2 − 3x + 2.

u
Phương trình ñã cho tr thành log 3 = v − u ⇔ log 3 u − log 3 v = v − u
v
⇔ log 3 u + u = log 3 v + v .

1
Xét hàm s f ( t ) = log 3 t + t . Ta có f ' (t) = + 1 > 0, ∀t > 0 nên hàm s ñ ng bi n
t.ln 3
khi t > 0 . Do ñó phương trình ⇔ f ( u ) = f ( v ) suy ra u = v hay v − u = 0 t c là

x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1, x = 2 . V y phương trình có nghi m x = 1, x = 2 .
u
Lưu ý: V i phương trình d ng log a = v − u, ( u > 0, v > 0, a > 1) ta thư ng bi n ñ i
v
log a u − log a v = v − u ⇔ log a u + u = log a v + v . Vì hàm s f ( t ) = log a t + t ñ ng bi n khi t > 0 .

Suy ra u = v .
Bài 14. Gi i phương trình: 2cos x + 2sinx = 3 .
HD: Áp d ng BðT Becnuli m r ng: t α + (1 − t ) α ≤ 1 v i t > 0, α ∈ [ 0,1]

 π 
T phương trình suy ra: s inx, cos x ∈ [ 0,1] . Suy ra x ∈  k2π; + k2π 
 2 
Theo Becnuli: 2cos x + (1 − 2 ) cos x ≤ 1

2sinx + (1 − 2 ) sinx ≤ 1

Suy ra 2cos x + 2sinx ≤ ( s inx + cos x ) + 2

Suy ra 2cos x + 2sinx ≤ min ( s inx + cos x ) + 2  = min ( s inx + cos x ) + 2
 

 π 
Mà: min ( s inx + cos x ) = 1 v i x ∈  k2π; + k2π  .
 2 
sinx = 1 sinx = 0
Do ñó 2cos x + 2sinx ≤ 3 . D u '' = '' x y ra khi và chi khi  ho c 
cosx = 0 cosx = 1
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH

 x = k2π
⇔  .
 x = π + k2π
 2
---------- H T ----------
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH


CHUYEÂN ÑEÀ 2. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH
MUÕ – LOGARIT
Ta có th dùng các phương pháp bi n ñ i như ñ i v i gi i phương trình và s d ng
các công th c sau
HAØM SOÁ MUÕ
● 0 < a a
(ngh ch bi n)
a f ( x ) ≥ a g( x ) ⇔ f ( x ) ≤ g ( x )

● a >1
⇔ f (x) > g (x)
f (x) g( x )
a >a
(ñ ng bi n)
a f ( x ) ≥ a g( x ) ⇔ f ( x ) ≥ g ( x )
HAØM SOÁ LOGARIT
0 < a ≠ 1

● log a f ( x ) có nghĩa ⇔ 
f ( x ) > 0


● log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b

f ( x ) = g ( x )

● log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔ 
0 < a ≠ 1

● 0 < a log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) < g ( x )
(ngh ch bi n)
log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) ≤ g ( x )

● a >1
log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) > g ( x )
(ñ ng bi n)
log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) ≥ g ( x )
T ng quát ta có:

a > 0


log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ f ( x ) > 0; g ( x ) > 0

( a − 1) f ( x ) − g ( x )  > 0
  
a > 0


log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ f ( x ) > 0; g ( x ) > 0

( a − 1) f ( x ) − g ( x )  ≥ 0
  
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH

1. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ CUØNG CÔ SOÁ
x − x −1
x 2 − 2x 1
Ví d 1. Gi i b t phương trình: 3 ≥ 
 3
L i gi i:
- ði u ki n: x ≤ 0 hoÆc x ≥ 2 .
- Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi
x 2 − 2x x − x −1
3 ≥3 ⇔ x 2 − 2x ≥ x − x − 1 (1)
+ NÕu x ≤ 0 th× x − 1 = 1 − x , khi ®ã bpt (1) ⇔ x 2 − 2x ≥ 2x − 1 (®óng v× x ≤ 0)
+ NÕu x ≥ 2 th× x − 1 = x − 1 , khi ®ã bpt (1) ⇔ x 2 − 2x ≥ 1
x ≤ 1− 2
⇔ x 2 − 2x − 1 ≥ 0 ⇔ 
x ≥ 1 + 2

- KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ta ®−îc x ≥ 1 + 2 .

Ví d 2. Gi i b t phương trình: (
log x 5x 2 − 8x + 3 > 2 )
L i gi i:
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi
  
    0 < x 3
 x >1 5

   2
 5x 2 − 8x + 3 > x 2  x >1  x >1
 2 
  4x − 8x + 3 > 0  1 3
   x < 2 ∨ x > 2
  
Lưu ý: Víi bÊt phương trình d¹ng log f ( x ) g ( x ) > a , ta xÐt hai tr−êng hîp cña c¬ sè
0 < f ( x ) < 1 và 1 < f ( x ) .


3(
log 3 x )
2

Ví d 3. Gi i b t phương trình: + x log3 x ≤ 6
L i gi i:
- ði u ki n: x > 0
Ta sö dông phÐp biÕn ®æi 3( log3 x ) = 3log3 x ( )
2 log3 x
- = x log3 x . Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng
víi x log3 x + x log3 x ≤ 6 ⇔ x log3 x ≤ 3 .
- (
LÊy l«garit c¬ sè 3 hai vÕ, ta ®−îc: log 3 x log3 x ≤ log 3 3 ⇔ log 3 x.log 3 x ≤ 1 )
1
⇔ ( log3 x ) ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ log 3 x ≤ 1 ⇔ ≤ x ≤ 3.
2

3
1
- VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ≤ x ≤ 3.
3
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
 1 + 2x 
Ví d 4. Gi i b t phương trình: log 1  log 2 >0
3
1+ x 
L i gi i:
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi
 1 + 2x  1 + 2x  x
log 2 1 + x > 0
  1+ x > 1
 
1 + x
>0
 x < −1 ∨ x > 0
 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ x>0
 log 1 + 2x  1 + 2x  −1  x > −1
0.


3. PHÖÔNG PHAÙP SÖÛ DUÏNG TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ
Ví d 1. Gi i b t phương trình: ( )
log 5 3 + x > log 4 x
L i gi i:
- ði u ki n x > 0 .
- §Æt t = log 4 x ⇔ x = 4 t , bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh log 5 ( 3 + 2t ) > t
t
3 2
⇔ 3+ 2 > 5 ⇔ t +  >1
t t

5 5
t
3 2
- Hµm sè f ( t ) = t +   nghÞch biÕn trªn ℝ vµ f (1) = 1.
5 5
- BÊt ph−¬ng tr×nh trë f ( t ) > f (1) ⇔ t < 1 , ta ®−îc log 4 x < 1 ⇔ 0 < x < 4.
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 0 < x < 4 .

x2 + x +1
Ví d 2. Gi i b t phương trình: log 3 > x 2 − 3x + 2
2x 2 − 2x + 3
L i gi i:
- §Æt u = x 2 + x + 1; v = 2x 2 − 2x + 3 ( u > 0, v > 0 ) . Suy ra v − u = x 2 − 3x + 2 .
- BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi
u
log 3 = v − u ⇔ log 3 u − log 3 v = v − u ⇔ log 3u + u > log 3 v + v (1)
v
1
- XÐt hµm sè f ( t ) = log 3 t + t, ta co: f ' ( t ) = + 1 > 0, ∀t > 0 nªn hàm s ñång biÕn khi
t ln 3
t > 0. Tõ (1) ta cã f ( u ) > f ( v ) ⇔ u > v
⇔ x 2 + x + 1 > 2x 2 − 2x + 3
⇔ x 2 − 3x + 2 < 0
⇔ 1 < x < 2.
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 1 < x < 2 .
Lưu ý:
1. Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng log a u < log b v , ta th−êng gi¶i nh− sau:
§Æt t = log a u (hoÆc t = log b v ) ®−a vÒ bÊt ph−¬ng tr×nh mò vµ sö dông chiÒu biÕn thiªn cña
hµm sè.
u
2. Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng log a < v − u ⇔ log a u + u < log a v + v . Ta xÐt hµm sè
v
f ( t ) = log a t + t ®ång biÕn khi t > 0 , suy ra f ( u ) < f ( v ) ⇔ u < v.
BAØI TAÄP
Gi i các b t phương trình sau:
1) log 6 ( 3
)
x + x x ≥ log 64 x
2) 2.2 + 3.3 > 6 − 1.
x x x


3) 16x − 3x < 4x + 9 x .


4. PHÖÔNG PHAÙP VEÕ ÑOÀ THÒ
5+ x
log
Ví d . Gi i b t phương trình: 5− x < 0
2 − 3x + 1
x

L i gi i:
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ
 5+ x  5+ x
 log >0  log 0

- Gi¶i hÖ (I)
5+ x 5+ x 2x
+ log >0 ⇔ >1 ⇔ >0 ⇔ 0 3 .
x

- Do ®ã hÖ (II) cã nghiÖm −5 < x < 0.
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm (−5, 0) ∪ (1,3) .
BAØI TAÄP
21− x − 2x + 1
Gi i b t phương trình sau: ≤0.
2x − 1


5. MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC
Ví d 1. Gi i b t phương trình: log 2 ( )  1
x − 2 + 4 ≤ log 3 
 x −1

+ 8

L i gi i:
- §iÒu kiÖn x ≥ 2.
- Ta cã nhËn xÐt sau:
+ x − 2 + 4 ≥ 4 ⇔ log 2 ( )
x − 2 + 4 ≥ 2 ⇔ VT ≥ 2.
1
+ x ≥ 2 ⇔ x −1 ≥ 1 ⇔ x −1 ≥ 1 ⇔ ≤1
x −1
1  1 
⇔ + 8 ≤ 9 ⇔ log 3  + 8  ≤ 2 ⇔ VP ≤ 2
x −1  x −1 

VT = 2 
 x−2 =0
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi  ⇔ ⇔ x = 2.
 VP = 2
  x=2

- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2.
Ví d 2. Gi i b t phương trình: log x log 9 3x − 9  < 1
  ( )
L i gi i:
( )
- §Ó log 9 3x − 9 cã nghÜa, ta cÇn cã 3x > 9 ⇔ 3x > 32 ⇔ x > 2.
- Víi ®iÒu kiÖn trªn bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi
 x>2
  3x − 9 > 1
 log 9 ( 3x − 9 ) > 0 ⇔  x
3 − 9 < 9
x
log ( 3x − 9 ) < x
 9
 t > 10
- §Æt 3x = t, ( t > 0 ) , ta cã hÖ  2 ⇔ t > 0 ⇔ 3x > 10 ⇔ x > log 3 10 .
 t −t+9 > 0
Ví d 3. Gi i b t phương trình: 5x + 6x 2 − x 3 − x 4 log 2 x > ( x 2 − x ) log 2 x + 5 + 5 6 + x − x 2
L i gi i:
 x>0
- ði u ki n:  ⇔ 0 0 ( *)
- Do x ≤ 3 ⇒ x log 2 x ≤ 3log 2 3 < log 2 32 = 5 . VËy khi 0 < x ≤ 3 th× xlog 2 x − 5 < 0, do ®ã
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH

 00 (2)
3
- Tõ (1) ta cã x ≤ 2 ⇒ x.2x ≤ 2.2 2 < 2.2 2 = 4. . Do ®ã (2) t−¬ng ®−¬ng víi
 − 2≤x≤ 2

 ⇔ 2 2 − x2 > 1 − x (3)
x − 1 + 2 2 − x > 0
2

- (3) t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau
2 − x 2 ≥ 0
+ ( I) :  ⇔ 1< x ≤ 2
 1− x < 0
 1− x ≥ 0  x ≤1
  x ≤1 
+ ( II ) :  2 ⇔  ⇔  7 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1

 ( )
4 2 − x 2 > (1 − x ) 5x − 2x − 7 < 0
2


−1 < x

log 2 ( x + 1) log 2 ( 3 − 2x )
L i gi i:
  −1 < x ≠ 0  3
 0 < x +1 ≠ 1   −1 < x
0 ⇔ x + 1 > 1 ⇔ x > 0.
● log 2 ( 3 − 2x ) > 0 ⇔ 3 − 2x > 1 ⇔ x < 1.
- Ta cã b¶ng xÐt dÊu

x 0 1 3
-1
log2(x+1) 2
- + +
log2(3-2x) + -
+


- Tõ ®ã ta cã c¸c tr−êng hîp sau
+ TH1: Víi −1 < x < 0 th× VT < 0, VP > 0 suy ra bÊt ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm
+ TH2: Víi 0 < x < 1 th× VT > 0, VP > 0. Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi
log 2 ( x + 1) < log 2 ( 3 − 2x ) ⇔ 3 − 2x > x + 1 ⇔ 0 < x < 1.
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
3 3
+ TH3: Víi 1 < x < th× VT > 0, VP < 0, bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi 1 < x < .
2 2
 3
- VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ  0 < x <  \ {1} .
 2
1 1
Lưu ý: Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng > , ta th−êng gi¶i nh− sau:
log a u log b v
+ LËp b¶ng xÐt dÊu cña log a u vµ log b v trong tËp x¸c ®Þnh cña bÊt ph−¬ng tr×nh.
+ Trong tËp x¸c ®Þnh ®ã nÕu log a u vµ log b v cïng dÊu th× bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng
víi log a u < log b v.
Ví d 6. Trong c¸c nghiÖm ( x; y ) cña bÊt ph−¬ng tr×nh log x 2 + 2 y2 ( 2x + y ) ≥ 1 , chØ ra c¸c
nghiÖm cã tæng ( 2x + y ) lín nhÊt.
L i gi i:
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau

 0 < x 2 + 2y 2 < 1
 x 2 + 2y 2 > 1
( I ) : 2x + y ≤ x 2 + 2y2
 vµ ( II ) : 
 2x + y ≥ x + 2y
2 2

 2x + y > 0
- Râ rµng nÕu ( x; y ) lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh th× tæng ( 2x + y ) lín nhÊt chØ x¶y ra khi
nã lµ nghiÖm cña hÖ ( II )
 x 2 + 2y 2 > 1

( II ) ⇔  
2
1  9
( x − 1) +  2y −  ≤
2

  2 2 8
1  1  9
- Ta cã 2x + y = 2 ( x − 1) +  2y − + .
2 2 2 4
 1   1 
- Áp dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki cho hai bé sè  x − 1; 2y −  vµ  2;  , ta ®−îc
 2 2  2
1   1  
2 2
 1   1  9 9 81
 2 ( x − 1) +  2y −   ≤ ( x − 1) +  2y −    4 + 2  ≤ 8 . 2 = 16
2

 2 2 2     2 2  
 
9 1  1  9 9
⇔ − ≤ 2 ( x − 1) +  2y −  ≤ 4 ⇔ 0 < 2x + y ≤ 2
4 2 2 2
 9
 2x + y =
2
 x = 2
9  1 
- D u '' = '' x y ra khi và ch khi 2x + y = ⇔  2y − ⇔  1
2  x −1 2 2 y = 2
= 
 2 1

 2
1
- Víi x = 2, y = tho¨ m·n bÊt ph−¬ng tr×nh x 2 + 2y 2 > 1.
2
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
 1
- VËy trong c¸c nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh th× nghiÖm  2;  lµ nghiÖm cã tæng ( 2x + y )
 2
9
lín nhÊt b»ng .
2
BAØI TAÄP
Gi i b t phương trình sau:
(
1) log x log 3 9 − 72
x
( )) ≤ 1
2)
(
log a 35 − x 3 ) >3 v i 0 < a ≠ 1.
log a ( 5 − x )
1 1
3) > .
log 1 2x − 3x + 1 2 log 1 ( x + 1)
3 3

4) Trong c¸c nghiÖm ( x; y ) cña bÊt ph−¬ng tr×nh log x 2 + y2 ( x + y ) ≥ 1 . T×m nghiÖm cã tæng
(x + 2y ) lín nhÊt.



BAØI TAÄP LUYEÄN TAÄP
Gi i các b t phương trình sau:
x +1 x −3

1) ( 10 − 3 ) x +3
< ( 10 + 3 ) x −1
(H c vi n GTVT năm 1998)

1 1
2) > (ðH Qu c gia TPHCM 1999)
log 1 2x − 3x + 1 2 log 1 ( x + 1)
3 3


3) (
1 + log 4 2x 2 + 3x + 2 > log 2 2x 2 + 3x + 2 ) ( ) (ðH Thu l i 1999)
4) log 2 x + log 3 x < 1 + log 2 x.log 3 x (ðH NT 1998)
 2x − 3 
5) log 3   3 (ðH Y DƯ C TPHCM)
log a ( 5 − x )
13) 8 + 21+ x − 4x + 21+ x > 5
14) 15.2x +1 + 1 ≥ 2x − 1 + 2 x +1
2 1
+1
 1 x  1 x
15)   + 3.   > 12
3 3
16) 2.14 + 3.49x − 4x ≥ 0
x

x −1

( ) ( )
x −1
17) 5+2 ≥ 5−2 x +1



18) 2 ( 5x + 24 ) − 5x − 7 ≥ 5x + 7
x −3 x +1

19) (10 + 3 ) ( ) x −1
< 10 − 3 x +3



( 2 + 3 ) + ( 7 + 4 3 )( 2 − 3 ) > 4.( 2 + 3 )
x x
20)

( 2. 3 + 11 ) + ( 2 3 − 11) ≤ 4 3
2x −1 2x −1
21)

3 + 5x − 2x 2 + 3x > 3x.5− x. 3 + 5x − 2x 2 + 9x .5− x
2
22)
23) −3x 2 − 5x + 2 + 2x > 3x.2x. −3x 2 − 5x + 2 + 4x 2 .3x
24) log 2 log 3 x − 3 < 1
3

25) (
log x log 9 3x − 9 ≤ 1 ( ))
26) ( )
log 5 4x + 144 − 4 log 5 2 < 1 + log 5 2x − 2 + 1 ( )
27) log 2 (3 x
)
+ 2 + 2.log 3x + 2 2 − 3 > 0
28) log 2x 64 + log x 2 16 ≥ 3

log x 2 +3 ( x 2 − 6 ) < 2 + log 2
1 2 1 1
29)
2 12 64
1 1
>
( )
30)
log 2x 2 − 3x + 1 log 3 ( x + 1)
3

31) log ( −3x −5) 4 − log ( −6x −2 ) 16 ≥ 0

32)
(
lg x 2 − 3x + 2 ) >2
lg x + lg 2
log 2 ( x + 1) − log 3 ( x + 1)
2 3

33) >0
x 2 − 3x − 4
34) (2 + 2 
x 2 − 7x + 12  − 1 ≤
x 
) ( ) 2
14x − 2x 2 − 24 . + log x  
x

35)
(
log 2 x 2 − 9x + 8
(
5 log 4 x 2 − 3 )
2

1 1
40) >
4 x
log 2 − 3 log 2 − 1
x 2
41) log 2 ( x 2 + 3 − x 2 − 1 + 2 log 2 x ≤ 0 )
 1 
42) 2 log 25 ( x − 1) ≥  log 5  .log 1 ( x − 1)
 2x − 1 − 1  5

43) log 4 ( 2x 2 + 3x + 2 ) + 1 > log 2 ( 2x 2 + 3x + 2 )
  x 2 log x −1  
log 3 log 1  + 2 2 ( )  + 3
1 2
 3 2 

 

44)   ≥1
3
45) log 2 ( )
x 2 − 5x + 5 + 1 + log 3 x 2 − 5x + 7 ≤ 2 ( )
 4x − 2  1
log x 2  ≥
 x −2  2
46)

 
47) ( )
log 5 4x + 144 − 4 log 5 2 < 1 + log 5 2x − 2 + 1 ( )
48) log x 3 ( 5x 2
− 18x + 16 > 2 )
49) log 4 ( 2x 2
)
+ 3x + 2 + 1 > log 2 2x 2 + 3x + 2 ( )
50) 8 + 21+ 3− x
−4 3− x
+ 21+ 3− x
>5.
 x +1  3
 2x + 1 
51) log > log
x− x −1  2x 2 + 1  x+ −1  x 2 + 1 
 
2 2
 
x


52) (
log 2 1 + x > log 3 x )
53) 3 + x 2 ( 2 x −1 + 22− x ) > 3x 2 + 22 − x + 2 x −1
54) 2x +1 + ( 5x 2 + 11) 21− x − x 2 < 24 − x 1 − ( x 2 − 9 ) 2− x ( )
55) 32x − 8.3x + x + 4 − 9.9 x + 4 ≥ 0
56) log 2 ( log 3 x ) ≤ log 5 ( log 7 x )
57) log 9 ( 3x 2 + 4x + 2 ) + 1 > log 3 ( 3x 2 + 4x + 2 )
log 1 x log 1 x
58) 3+ x 2
2 log 2 x
2
> 6x 2
.

---------- H T ----------
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH


CHUYEÂN ÑEÀ 3. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH
BAÁT PHÖÔNG TRÌNH
MUÕ – LOGARIT
1. PHÖÔNG PHAÙP BIEÁN ÑOÅI TÖÔNG ÑÖÔNG
- §Æt ®iÒu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa
- Sö dông c¸c phÐp thÕ ®Ó nhËn ®−îc tõ hÖ mét ph−¬ng tr×nh theo Èn x hoÆc y (®«i khi lµ theo
c¶ hai Èn x vµ y)
 1
log 1 ( y − x ) − log 4 = 1
Ví d 1. Gi i h phương trình:  4 y
 x 2 + y 2 = 25

L i gi i:
y > 0
- ði u ki n: 
y > x
− log 4 ( y − x ) + log 4 y = 1
- Víi ®iÒu kiÖn trªn hÖ t−¬ng ®−¬ng víi 
 x 2 + y 2 = 25
 4x  x = 3
 y= 
log y = log 4 ( y − x ) .4
  y = ( y − x ) .4  3   x = −3
⇔  4 2 ⇔  2 ⇔  ⇔ 
x + y 2 = 25  x + y = 25
2
 x 2 +  4x  = 25
2

  4x


 
 3  y = 3

+ Víi x = 3 suy ra y = 4 (tmñk)
+ Víi x = −3 suy ra y = −4 (kh«ng tmñk)
- VËy hÖ cã nghiÖm ( x; y ) = ( 3; 4 ) .

2 x.3y = 12
Ví d 2. Gi i h phương trình:  x y
3 .2 = 18
L i gi i:
 x + y.log 2 3 = 2 + log 2 3
- L«garit c¬ sè 2 c¶ hai vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh trong hÖ ta ñư c 
 x.log 2 3 + y = 1 + 2.log 2 3
®©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn
1 log 2 3
- Ta cã D = = 1 − log 2 3 ≠ 0
2
log 2 3 1
2 + log 2 3 log 2 3
Dx = = 2 − 2 log 2 3
2

1 + 2 log 2 3 1

1 2 + log 2 3
Dy = = 1 − log 2 3
log 2 3 1 + 2 log 2 3
2
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
 Dx
x = D = 2

- Suy ra hÖ cã nghiÖm  .
 y = Dy = 1

 D
 2 log 3 y = log 2 x + 1
Ví d 3. Gi i h phương trình: 
log 2 y = ( log 2 x − 1) .log 2 3
L i gi i:
- ði u ki n: x > 0, y > 0.
2 log 3 y = log 2 x + 1

- HÖ ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi  log 2 y
 log 3 = log 2 x − 1
 2

 2 log 3 y = log 2 x + 1  log x = 3 x = 9
⇔  ⇔  2 ⇔ 
 log 3 y = log 2 x − 1 log 3 y = 2 y = 8
- VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ( x; y ) = ( 9; 8 ) .

log 2 x + log 4 y + log 4 z = 2

Ví d 4. Gi i h phương trình: log 3 y + log 9 x + log 9 z = 2
log z + log x + log y = 2
 4 16 16

L i gi i:
- ði u ki n: x > 0, y > 0, z > 0 .
- Khi ñó h phương trình ñã cho tương ñương
log 4 x 2 + log 4 y + log 4 z = 2 (
log 4 x 2 yz = 2

)
 x 2 yz = 24

( )
  
 ( )
log 9 y 2 + log 9 x + log 9 z = 2 ⇔ log 9 xy 2 z = 2 ⇔  xy 2 z = 34 ( )
  
log16 z + log16 x + log16 y = 2 ( ) ( )
2
log16 xyz = 2  xyz = 4
2 2 4
 
( xyz ) = 24.34.44 = 244 vì
4
- T ñó suy ra xyz > 0 nên xyz = 24 . T ñó suy ra
2 27 32
x= ; y= ; z= .
3 8 3

 x − 1 3 − 3x − k < 0 (1)

Ví d 5. Tìm k ñ h b t phương trình có nghi m:  1 1
 log 2 x + log 2 ( x − 1) ≤ 1 (2)
2 3

2 3
L i gi i:
- Tõ bÊt ph−¬ng tr×nh (2) trong hÖ suy ra ( x − 1) > 0 ⇔ x > 1.
3



( 2) ⇔ log 2 x + log 2 ( x − 1) ≤ 1 ⇔ log 2 x( x − 1) ≤ 1 ⇔ x ( x − 1) ≤ 2 ⇔ 1 < x ≤ 2
Víi 1 < x ≤ 2 th× (1) ⇔ ( x − 1) − 3x < k .
3
-
XÐt hµm sè f ( x ) = ( x − 1) − 3x víi 1 < x ≤ 2 .
3
-
f ' ( x ) = 3x 2 − 6x, f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
Ta cã b¶ng biÕn thiªn
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH

x 1 +∞
-∞ 0 2

y + 0 - - 0 +
-3
y +∞
-∞ -5

Tõ b¶ng biÕn thiªn ta suy ra k ≥ −5 .
BAØI TAÄP
Gi i các h phương trình sau:
 x −1 + 2 − y = 1  x+xy
 4 y = 32
1)  2) 

2
( 3
)
3log 9 9x − log 3 y = 3 log 2 ( x − y ) = 1 − log 3 ( x + y )

x − 2y

( ) 1
x−y
 x −1 + 2 − y = 1
  3 = 
3)  4)  3
2
( 3
)
3log 9 9x − log 3 y = 3 log x − y + log x − y = 4
 2( ) 2( )

 3 4−x 23x = 5y 2 − 4y
5)  (
 x + 1 − 1 3y = ) x

6)  4 x + 2x +1
 y + log x = 1  x =y
 3  2 +2
x log8 y
+ y log8 x = 4  y − x = x +1

7)  8) 
log 4 x − log 4 y = 1  x + 2y = 10

x − 4 y + 3 = 0

9) 

10) 
( )
log 2 x 2 + y 2 = 5

 log 4 x − log 2 y = 0
 2 log 4 x + log 2 y = 4

2 x.4 y = 64
 3− x.2 y = 1152

11)  12) 
 x + y =3
 log 5 ( x + y ) = 2

 x+y
x = y
12

13)  x + y
y = x
12



2. PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHUÏ
- §Æt ®iÒu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa
- Lùa chän Èn phô ®Ó biÕn ®æi hÖ ban ®Çu vÒ c¸c hÖ ®¹i sè ®· biÕt c¸ch gi¶i.
u = a f (x)

- Ta thư ng ñ t các bi n:  . ð ñưa h v i các bi n x, y thành h v i các bi n u, v
v = b
g ( y)

thư ng g p (ð i x ng lo i 1, lo i 2, ñ ng c p..)


 9x 2 − 4y 2 = 5
Ví d 1. Gi i h phương trình: 
log 5 ( 3x + 2y ) − log 3 ( 3x − 2y ) = 1

L i gi i:
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
3x > −2y
- ði u ki n: 
 3x > 2y
 ( 3x + 2y )( 3x − 2y ) = 5
 (1)
- HÖ trªn t−¬ng ®−¬ng víi  .
log 5 ( 3x + 2y ) = log 3 3. ( 3x − 2y ) 
   ( 2)
 3x + 2y = 5t
- §Æt t = log 5 ( 3x + 2y ) = log 3 3. ( 3x − 2y )  , suy ra 
  t −1
3x − 2y = 3
Thay vµo ph−¬ng tr×nh (1) trong hÖ ta ®−îc 5t .3t −1 = 5 ⇔ (15 ) = 15 ⇔ t = 1 .
t
-
3x + 2y = 5 x = 1
- Do ®ã ta cã hÖ  ⇔  (tmñk)
 3x − 2y = 1 y = 1
 f (x) − g (x) = k
2 2

Lưu ý: Víi hÖ ph−¬ng tr×nh d¹ng  , th«ng th−êng ta gi¶i

 log a [ f (x) + g (x)] = log a [ f (x) − g (x) ]
theo h−íng: §Æt t = log a  f ( x ) + g ( x )  = log a  f ( x ) − g ( x )  , suy ra f ( x ) + g ( x ) = a t vµ
   
f ( x ) − g ( x ) = a t . Thay vµo ph−¬ng tr×nh ®Çu trong hÖ ta t×m ®−îc t.
 5log x = 7log y

Ví d 2. Gi i h phương trình: 
( 7x ) = ( 5y )
log 7 log5

L i gi i:
- ði u ki n: x > 0, y > 0
 log x.log 5 = log y.log 7
- LÊy logarit theo c¬ sè 10 c¶ hai vÕ ta ®−îc 
( l og 7 + log x ) log 7 = ( log 5 + log y ) log 5
 u.log 5 − v.log 7 = 0
- §Æt u = logx, v = logy . Khi ®ã hÖ cã d¹ng 
u.log 7 − v.log 5 = log 5 − log 7
2 2


log 5 − log 7
- Ta có D = = log 2 7 − log 2 5
log 7 − log 5
− log 7
( )
0
Du = = log 2 5 − log 2 7 .log 7
log 5 − log 7 − log 5
2 2



( )
log 5 0
Dv = = log 2 5 − log 2 7 .log 5
log 7 log 5 − log 7
2 2


 Du  1
u = D = − log 7
 x = 7

- DÔ thÊy D ≠ 0 nªn hÖ cã nghiÖm duy nhÊt  , suy ra  .
 v = D v = − log 5 y = 1

 D 
 5
 1
 x=
 7
- VËy hÖ cã mét nghiÖm 
y = 1

 5
4log3 xy = 2 + ( xy ) 3
 log 2
(1)
Ví d 3. Gi i h phương trình:  2
 x + y − 3x − 3y = 12
2
 (2)
L i gi i:
- ði u ki n: x.y > 0
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH

( )
log3 xy
- NhËn xÐt a logb c = clog b a , ph−¬ng tr×nh (1) t−¬ng ®−¬ng víi 22 = 2 + 2log3 xy
 t = −1 ( loai )
- §Æt t = 2log3 xy ( t > 0)
ta cã t 2 = 2 + t ⇔ t 2 − t − 2 = 0 ⇔ 
t = 2
- Víi t = 2 th× log 3 xy = 1 hay xy = 3 .
( x + y ) = 6
BiÕn ®æi phương trình (2) thµnh ( x + y ) − 3 ( x + y ) − 18 = 0 ⇔ 
2
-
( x + y ) = −3

x + y = 6  x + y = −3
- Nh− vËy, ta cã hai hÖ  vµ 
 x.y = 3  x.y = 3
- ( ) (
VËy hÖ cã hai nghiÖm 3 − 6; 3 + 6 vµ 3 + 6; 3 − 6 . )
BAØI TAÄP
Gi i các h phương trình sau:
log 27 ( xy ) = 3log 27 x.log 27 y
 5log 2 x − 3log 4 y = 8 
1)  2)  x 3log 3 x
10 log 2 x − log 4 y = −9 log 3 y = 4 log y
2

 3

 x log 2 3 + log 2 y = y + log 2 x x log8 y
+y log8 x
=4
3)  4) 
 x log 3 12 + log 3 x = y + log 3 y log 4 x − log 4 y = 1
2 x + 2 y = 8 log 2 x + 3 5 − log 3 y = 5

5)  6) 
x + y = 4 3 log 2 x − 1 − log 3 y = −1

3y+1 − 2 x = 5
 log x y + log y x = 2

7)  x 8)  2
4 − 6.3 + 2 = 0  x − 3x − y = 20 + log y x
y
 
42x − 2 − 22x + y + 4 y = 1 92cot x +siny = 3
2 2

 
9)  10)  sin y
2y + 2
− 3.22x + y = 16 9 − 81 =2
2 2cot x
2
 
log xy = log x y
  x + 2 lg y = 3

11)  y 12) 
2x + 2y = 3  x − 3lg y = 1
2
 


3. PHÖÔNG PHAÙP SÖÛ DUÏNG TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ
 x − y = ex − ey (1)

Ví d 1. Gi i h phương trình:  x
log 2 + log 2 4y = 10 (2)
3

 2
L i gi i:
- ði u ki n: x, y > 0
- Ph−¬ng tr×nh (1) ⇔ e x − x = e y − y ( 3)
- XÐt hµm sè f ( t ) = e − t liªn tôc víi mäi t > 0 . MÆt kh¸c f ' ( t ) = e t − 1 > 0 víi mäi t > 0 ,
t


do ®ã hàm s f ( t ) ®ång biÕn khi t > 0 .
- Ph−¬ng tr×nh (3) viÕt d−íi d¹ng f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y.
x
- ThÕ x = y vµo ph−¬ng tr×nh (2) ®−îc log 2 + log 2
4x 3 = 10
2
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
⇔ log 2 x − 1 + 2 ( 2 + 3log 2 x ) = 10 ⇔ log 2 x = 1
- VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ( x; y ) = ( 2; 2 ) .

ln (1 + x ) − ln (1 + y ) = x − y (1)
Ví d 2. Gi i h phương trình:  2
2x − 5xy + y = 0
2
(2)
L i gi i:
- ði u ki n: x > −1, y > −1
- Phương trình (1) cña hÖ ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng: ln (1 + x ) − x = ln (1 + y ) − y ( 3)
1 −t
- XÐt hµm sè f ( t ) = ln (1 + t ) − t , víi t ∈ (−1; +∞) . Ta cã f ' ( t ) = −1 = . Ta thÊy
1+ t 1+ t
f ' ( t ) = 0 ⇔ t = 0. Hµm sè f ( t ) ®ång biÕn trong ( −1; 0 ) vµ nghÞch biÕn trong ( 0; +∞ ) .
- Ta cã ( 3) ⇔ f ( x ) = f ( y ) . Lóc ®ã x = y hoÆc xy < 0.
+ NÕu xy < 0. th× vÕ tr¸i cña (2) lu«n d−¬ng. Ph−¬ng tr×nh kh«ng tho¶ m·n.
+ NÕu x = y , thay vµo phương trình (2), ta ®−îc nghiÖm cña hÖ lµ x = y = 0.
 f ( x ) = f ( y)

Lưu ý: Khi gÆp hÖ ph−¬ng tr×nh d¹ng  . Ta cã thÓ t×m lêi gi¶i theo mét trong hai
 g ( x,y ) = 0

h−íng sau
Hư ng 1: Phương trình (1) ⇔ f ( x ) − f ( y ) = 0 vµ t×m c¸ch ®−a vÒ phương trình tÝch.
Hư ng 2: XÐt hµm sè y = f ( t ) . ta th−êng gÆp tr−êng hîp hàm s liªn tôc trong tËp x¸c ®Þnh
cña nã.
+ NÕu hµm sè y = f ( t ) ®¬n ®iÖu, th× tõ (1), suy ra x = y .
+ NÕu hµm sè y = f ( t ) cã mét cùc trÞ t¹i t = a th× nã thay ®æi chiÒu biÕn thiªn mét lÇn khi
qua a. Tõ (1) suy ra x = y hoÆc x, y n»m vÒ hai phÝa cña a.

Ví d 3. Chøng minh r»ng víi mäi a > 0, hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt
e x − e y = ln (1 + x ) − ln (1 + y ) (1)

y−x = a (2)
L i gi i:
- ði u ki n: x > −1, y > −1
- Rót y tõ ph−¬ng tr×nh (2) thay vµo ph−¬ng tr×nh (1), ta ®−îc ph−¬ng tr×nh
f ( x ) = e x +a − e x + ln (1 + x ) − ln (1 + a + x ) = 0

( )
f ' ( x ) = e x . ea − 1 +
a
1 + x (1 + a + x )
> 0 , khi a > 0 vµ x > −1.

- VËy f ( x ) lµ hµm sè liªn tôc, ®ång biÕn trong ( −1; + ∞ ) . MÆt kh¸c lim f ( x ) = −∞ ;
x →−1

lim f ( x ) = +∞ nªn ph−¬ng tr×nh f ( x ) = 0 cã mét nghiÖm trong ( −1; + ∞ ) . VËy hÖ
x →+∞
ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt víi mäi a > 0.
Lưu ý: Häc sinh dÔ m¾c sai lÇm khi thÊy hàm s ®ång biÕn ®· kÕt luËn ph−¬ng tr×nh f ( x ) = 0
cã nghiÖm duy nhÊt. Ta chØ cã thÓ kÕt luËn ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt khi hµm sè ®¬n
®iÖu, liªn tôc vµ trong tËp gi¸ trÞ cã c¶ gi¸ trÞ ©m vµ d−¬ng.
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
log 2 x + 3 = log 3 ( 3y )

Ví d 4. Gi i h phương trình: 
log 2 y + 3 = log 3 ( 3x )

L i gi i:
- ði u ki n: x; y > 0
 log 2 x + 3 − log 2 y + 3 = log 3 ( 3y ) − log 3 ( 3x )
 (1)
- HÖ trªn t−¬ng ®−¬ng víi 
log 2 x + 3 = log 3 ( 3y )
 ( 2)
- Ph−¬ng tr×nh (1) t−¬ng ®−¬ng víi log 2 x + 3 + log 3 ( 3x ) = log 2 y + 3 + log 3 ( 3y ) ( 3)
- XÐt hµm sè f ( t ) = log 2 t + 3 + log 3 ( 3t ) liªn tôc víi mäi t > 0 .
1 1
MÆt kh¸c f ' ( t ) = + > 0, ∀t > 0 do ®ã f ( t ) ®ång biÕn víi mäi t > 0.
2 ( t + 3) t.ln 3
Ph−¬ng tr×nh (3) viÕt d−íi d¹ng f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y. Khi ®ã hÖ t−¬ng ®−¬ng víi
x = y


log 2 x + 3 = log 3 ( 3x )
 ( 4)
- Gi¶i (4): §Æt u = log 2 x + 3 = log 3 ( 3x )
 x + 3 = 2u
 
x + 3 = 4
u
 x = 3u −1
Suy ra  ⇔  u −1
⇔  u
 3x = 3  x =3 3 + 9 = 3.4
u u
 
u u
3 1
Ph−¬ng tr×nh 3 + 9 = 3.4
u u
⇔   + 9.   = 3 .
4 4
u u
3 1
NhËn thÊy hµm sè f ( u ) =   + 9.   lµ hµm liªn tôc, nghÞch biÕn víi mäi u ∈ ℝ vµ
4 4
f (1) = 3. Víi u > 1 th× f ( u ) < 3 . Víi u < 1 th× f ( u ) > 3.
- VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt u = 1 , suy ra x = 1 vµ y = 1
- VËy hÖ cã mét nghiÖm ( x; y ) = (1; 1) .
 x 2 − 2x + 6.log ( 6 − y ) = x
 3
 2
Ví d 5. Gi i h phương trình:  y − 2y + 6.log 3 ( 6 − z ) = y
 2
 z − 2z + 6.log 3 ( 6 − x ) = z

L i gi i:
- ði u ki n: x, y, z < 6
 x
 log 3 ( 6 − y ) = (1)
 x − 2x + 6
2


 y
- HÖ ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi log 3 ( 6 − z ) = (2)
 y − 2y + 6
2

 z
 log 3 ( 6 − x ) = (3)

 z − 2z + 6
2
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
x 6−x
- NhËn xÐt f ( x ) = lµ hµm ®ång biÕn (v× f ' ( x ) = >0
x − 2x + 6
2
(x 2
− 2x + 6 ) x 2 − 2x + 6
víi x < 6 ) cßn g ( x ) = log 3 ( 6 − x ) lµ hµm nghÞch biÕn víi x < 6.
- NÕu ( x, y, z ) lµ mét nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh ta chøng minh x = y = z . Kh«ng mÊt tæng
qu¸t gi¶ sö x = max ( x, y, z ) th× cã hai tr−êng hîp:
+ x ≥ y ≥ z (1) suy ra f ( x ) ≥ f ( y ) ≥ f ( z ) nªn log 3 ( 6 − y ) ≥ log 3 ( 6 − z ) ≥ log 3 ( 6 − x ) .
MÆt kh¸c g ( x ) lµ hµm gi¶m nªn x ≥ z ≥ y. (2). Tõ (1) vµ (2) ta cã x = y = z.
+ x ≥ z ≥ y. T−¬ng tù ta l¹i cã x = y = z.
- Ph−¬ng tr×nh f ( x ) = g ( x ) cã nghiÖm duy nhÊt x = 3 . VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt
( x, y, z ) = ( 3, 3, 3) .
Lưu ý: NÕu hÖ ph−¬ng tr×nh ba Èn x, y, z kh«ng thay ®æi khi ho¸n vÞ vßng quanh ®èi víi x, y, z
th× kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t cã thÓ gi¶ thiÕt x = max ( x, y, z ) .


Ví d 5.
 x 3 + y3 = 29

Hãy xác ñ nh s nghi m c a h phương trình n ( x, y ) sau 
(1)
log 3 x.log 2 y = 1
 ( 2)
L i gi i:
- DÔ thÊy, nÕu ( x, y ) lµ nghiÖm cña hÖ trªn th× x > 1, y > 1 (*) .
1
- §Æt log 3 x = t, t > 0 ( do (*) ) . Khi ®ã, x = 3t vµ tõ ph−¬ng tr×nh (2) cã y = 2 t . V× thÕ, tõ
1
ph−¬ng tr×nh (1) ta cã ph−¬ng tr×nh Èn t sau: 9t + 8 t = 29 (3).
- DÔ thÊy sè nghiÖm cña hÖ b»ng sè nghiÖm d−¬ng cña ph−¬ng tr×nh (3).
1
1 t
8 .ln 8
- XÐt hµm sè f ( t ) = 9 t + 8 − 29 trªn ( 0; +∞ ) . Ta cã f ' ( t ) = 9 t.ln 9 −
t
. Trªn ( 0; +∞ ) ,
t2
1
1
hàm s y = 8 .ln 8 vµ y =
t
lµ c¸c hµm nghÞch biÕn vµ chØ nhËn gi¸ trÞ d−¬ng. V× thÕ, trªn
t2
1
t
8 .ln 8
kho¶ng ®ã, y = − lµ hµm ®ång biÕn trªn ( 0; +∞ ) . Suy ra f ' ( t ) lµ hµm ®ång biÕn trªn
t2
( 0; +∞ ) . H¬n n÷a, do f '   . f ' (1) = 18 ( ln 9 − ln 2256 ) ( ln 27 − ln16 ) < 0 nªn tån t¹i t 0 ∈ ( 0;1)
1

2
sao cho f ' ( t 0 ) = 0. Do ®ã, ta cã b¶ng biÕn thiªn sau cña hµm f ( t ) trªn kho¶ng ( 0; +∞ )

t 0 t0 1 +∞
’ +
f (t) - 0
+∞ +∞
f(t)
f(1)
f(t0)
- Tõ ®ã, víi l−u ý r»ng f (1) = −12 ≤ 0 , suy ra phương trình (3) cã ®óng 2 nghiÖm d−¬ng. V×
vËy, hÖ cã tÊt c¶ 2 nghiÖm.
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH
BAØI TAÄP
Gi i các h phương trình sau:

1) 
 ( )
 1 + 42x − y .51−2x + y = 1 + 22x − y +1 log 2 sin x + 3 = log 3 ( 3cos y )

2) 
x + y = 2 log 2 cos y + 3 = log 3 ( 3sin x )
2 2
 

 2
3) 
( ) 3 (
log 1 + 3 1 − x 2 = log 1 − y 2 + 2 ) 2 x + 2x = 3 + y

4)  y
( ) (
log 2 1 + 3 1 − y 2 = log 3 1 − x 2 + 2

) 2 + 2y = 3 + x


3x − 3y = y − x

5)  2
 x + xy + y = 12
2



4. PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC
Ngoµi c¸ch gi¶i nãi trªn, còng gièng nh− ph−¬ng tr×nh, bÊt ph−¬ng tr×nh mò vµ l«garit ta cã thÓ
®¸nh gi¸ hai vÕ, sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc, dïng ®å thÞ ®Ó gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh, ph−¬ng ph¸p sö
dông ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ..
 x − y = ( log 2 y − log 2 x )(1 + xy )
 (1)
Ví d 1. Gi i h phương trình: 
 xy − 3y + 2 = 0
 ( 2)
L i gi i:
- ði u ki n: x > 0, y > 0
- XÐt ph−¬ng tr×nh thø nhÊt trong hÖ
+ NÕu x > y th× log 2 y < log 2 x suy ra VP < 0, VT > 0. Do ®ã hÖ v« nghiÖm.
+ NÕu x < y th× log 2 y > log 2 x suy ra VP > 0, VT < 0. Do ®ã hÖ v« nghiÖm.
+ VËy x = y lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1)
- Khi ®ã hÖ t−¬ng ®−¬ng víi
x = y
x = y x = y  x = y =1
 ⇔  2 ⇔  x = 1 ⇔ 
 xy − 3y + 2 = 0  x − 3x + 2 = 0  x = 2 x = y = 2

- VËy hÖ cã hai nghiÖm: (1;1) , ( 2; 2 ) .
log x 2 + y2 ( x + y ) ≥ 1
 (1)
Ví d 2. Tìm m ñ h sau có nghi m 
 x + 2y = m
 ( 2)
L i gi i:
- Tr−íc hÕt ta biÓu diÔn trªn mÆt ph¼ng täa ®é c¸c ®iÓm M(x, y) tho¶ m·n (1). Ta thÊy (1)
t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau:
x 2 + y2 > 1
x + y > 1
2 2

( I) : 
 ⇔  2
1 
2
1 1

 x+y≥x +y
2 2
 x −  +y−  ≤
 2  2 2

x + y > 0
x + y > 0 
 
( II ) : 0 < x 2 + y 2 < 1 ⇔ 0 < x 2 + y 2 < 1
 
x + y ≤ x + y
2 2 2
 x − 1  +  y − 1  ≥ 1


 
2 

2 2
Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH

- Tõ ®ã suy ra chóng ®−îc biÓu diÔn b»ng y
miÒn g¹ch trong h×nh bªn (trong ®ã lÊy
3 + 10
2 x+2y=
biªn cña ®−êng trßn t©m O1 b¸n kÝnh 2
2 2
x+2y= −
vµ kh«ng lÊy biªn cña ®−êng trßn t©m O 2 x
b¸n kÝnh 1). §iÓm A lµ giao ®iÓm cña
®−êng th¼ng x + y = 0 víi ®−êng trßn
x 2 + y 2 = 1 vµ chó ý r»ng A lµ giao ®iÓm x+y=0
phÝa d−íi nªn suy ra to¹ ®é cña nã lµ
2 2
x= , y=− . §−êng th¼ng x + 2y = m
2 2
2
®i qua ®iÓm A khi m = − . Áp dông ®iÒu kiÖn ®Ó ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi ®−êng trßn ta
2
3 + 10
2
5  3
ph¶i cã =  − m +  . Do tiÕp tuyÕn phÝa trªn, nªn ta lÊy m = . Tõ ®ã suy ra ®Ó
2  2 2
2 3 + 10
®−êng th¼ng x + 2y = m c¾t miÒn g¹ch ta ph¶i cã − 0

9)  2log x 10)  .
 y y = 4y + 3
 log 4− y ( 2x − 2 ) > 0


---------- H T ----------



GIA SƯ ð C KHÁNH
0975.120.189 -- 0563.602.929
Th y KHÁNH (GV Toán) 22A – PH M NG C TH CH – TP. QUY NHƠN
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản