Phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai

Chia sẻ: hoctoancap3

Tài liệu ôn tập môn toán tham khảo phần Phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai. Tài liệu gồm tóm tắt lý thuyết giáo khoa, ví dụ bài tập và kèm lời giải hướng dẫn giúp các bạn học sinh củng cố kiến thức tốt hơn.

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai

PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH
BAÄC NHAÁT VAØ BAÄC HAI

A– TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA

I. OÂN TAÄP VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT VAØ BAÄC HAI
1. Phöông trình baäc nhaát
Daïng: ax + b = 0 (1)

Caùch giaûi vaø bieän luaän
Heä soá Keát luaän
b
a≠0 (1) coù nghieäm duy nhaát x = −
a
b≠0 (1) voâ nghieäm
a=0
b=0 (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x
2. Phöông trình baäc hai

Daïng ax2 + bx + c = 0 (vôùi a ≠ 0) (1)

Caùch giaûi vaø bieän luaän
∆ = b2 − 4ac Keát luaän
−b ± ∆
∆>0 (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1,2 =
2a
b
∆=0 (1) coù moät nghieäm keùp x = −
2a
∆ 0 thì phöông trình coù hai nghieäm laø x = 3 ± a .
D. Neáu m < 0 thì phöông trình voâ nghieäm.
E. Coù hai khaúng ñònh sai.
x2 + 2x − 3
3– Cho phöông trình = 3 . Khaúng ñònh naøo sau ñaây laø sai ?
x −1
A. Khi x ≠ 1 thì phöông trình coù nghóa.
B. Phöông trình coù hai nghieäm laø 0 vaø 1
C. Phöông trình chæ coù nghieäm laø x = 0.
D. Khi x ≠ 1 thì phöông trình vieát ñöôïc thaønh x2 − x = 0
E. Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi phöông trình x3 − x2 = 0


10
4– Keát quaû naøo sau ñaây laø taäp nghieäm cuûa phöông trình: 2x − 1 = x + 3 ?

2
A. x=4 B. x= −
3
2
C. x = –4 D. x = 4 vaø x = −
3
2
E. x = –4 vaø x = −
3
5– Ñaùp soá naøo sau ñaây laø nghieäm cuûa phöông trình 11− 4x = 2x + 3 ?
4
A. x = −7 hay x = B. x=7
3
4
C. x=4 D. x = 7 hay x =
3
E. Moät keát quaû khaùc


6– Cho phöông trình 2mx + 4 = 6 .Phöông trình voâ nghieäm khi:
A. m=2 B. m=0
C. m=1 D. m = –1
E. Moät keát quaû khaùc
7 – Vôùi giaû thieát laø phöông trình ôû caâu 6. Phöông trình coù nghieäm khi :
A. m ≠ 2 B. m ≠ 1
C. m≠0 D. m ≠ –1
E. Moät keát quaû khaùc
8 – Vôùi giaû thieát laø phöông trình ôû caâu 6, khi m = 1 thì nghieäm cuûa phöông trình laø:
A. x = 1 hoaëc x = –5 B. x = –1 hoaëc x = –5
C. x = 5 hoaëc x = –1 D. x = 1 hoaëc x = 5
E. Moät keát quaû khaùc
9 – Cho phöông trình m2 x + 1− m = ( 5m − 6 ) x . Vôùi giaù trò naøo cuûa m ñöôïc cho sau
ñaây thì phöông trình coù nghieäm duy nhaát ?
A. m = 2 B. m = 3
C. m = 2 hoaëc m = 3 D. m ≠ 2 vaø m ≠ 3
E. Moät keát quaû khaùc
10 – Cho phöông trình m2 x + 3x = 2m + 2x . Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng ?
2m
A. Khi m ≠ ± 1 thì phöông trình coù nghieäm duy nhaát x = 2
m +1
2m
B. Phöông trình luoân luoân coù nghieäm duy nhaát x =
m2 + 1
C. Khi m ≠ ± 1 thì phöông trình coù nghieäm duy nhaát x = m
D. Phöông trình luoân luoân coù nghieäm duy nhaát x = 2m + 1
E. Taát caû caùc khaúng ñònh ñeàu sai

11
Cho phöông trình : m2 x − ( 2x + 1) m = ( 4 − 2m ) x + 2 . Duøng giaû thieát naøy ñeå traû lôøi
caùc caâu 11, 12, 13.
11 – Phöông trình voâ nghieäm khi m coù giaù trò:
A. m = –2 B. m = 1
C. m=2 D. m = –1
E. Moät keát quaû khaùc
12 – Vôùi giaù trò naøo cuûa m ñöôïc cho sau ñaây thì phöông trình coù nghieäm tuøy yù ?
A. m = –2 B. m = 1
C. m=2 D. m = –1
E. Moät keát quaû khaùc
13 – Khi m = 1 thì phöông trình coù nghieäm laø :
A. x = –2 B. x = 1
C. x=2 D. x = –1
E. Moät nghieäm khaùc




Traû lôøi traéc nghieäm
1– Ñaùp aùn (1; E) , ( 2; A ) , ( 3; D) , ( 4; B) , ( 5; C )
2– Ñaùp aùn E
3– Ñaùp aùn B
4– Ñaùp aùn D
x + 3 ≥ 0
  x ≥ −3
2x − 1 = x + 3 ⇔  2 ⇔ 
( 2x − 1) = ( x + 3) ( 2x + 1+ x + 3)( 2x + 1− x − 3) = 0
2

x = 4
 x ≥ −3
⇔  ⇔ 2 (vì thoûa ñieàu kieän x ≥ −3)
( 3x + 2)( x − 4) = 0 x = −
 3

{ }
Taäp nghieäm cuûa (1): S = 4; −
2
3

5– Ñaùp aùn D.
 4
11− 4x = 2x + 3 x = 3
11− 4x = 2x + 3 ⇔  ⇔
11− 4x = −2x − 3 
x = 7
6– Ñaùp aùn B
2mx + 4 = 6 2mx = 2
2mx + 4 = 6 ⇔  ⇔ 
2mx + 4 = −6 2mx = −10
Phöông trình voâ nghieäm khi m = 0.
7– Ñaùp aùn C.

12
Phöông trình baäc nhaát coù nghieäm trong hai tröôøng hôïp: (nghieäm duy nhaát hoaêc voâ
soá nghieäm). Ñoái vôùi phöông trình ñaõ cho chæ xaûy ra tröôøng hôïp coù nghieäm duy
nhaát. Khi ñoù: m ≠ 0.
8– Ñaùp aùn A.
2mx = 2 x = 1
Vôùi m = 1. Ta coù:  ⇔
2mx = −10 x = −5
9– Ñaùp aùn D.
m2 x + 1− m = ( 5m − 6 ) x ⇔ (m2
− 5m + 6 ) x = m − 1

Phöông trình coù nghieäm duy nhaát ⇔ m2 − 5m + 6 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 vaø m ≠ 3 .

10– Ñaùp aùn B
m2 x + 3x = 2m + 2x ⇔ (m 2
+ 1) x = 2m

2m
Phöông trình luoân luoân coù nghieäm duy nhaát x =
m2 + 1
11– Ñaùp aùn C
m2 x − ( 2x + 1) m = ( 4 − 2m ) x + 2 ⇔ (m 2
− 4) x = m + 2

Khi m = 2, phöông trình thaønh 0x = 4 (voâ nghieäm)
12– Ñaùp aùn A
Khi m = –2, phöông trình thaønh 0x = 0 (luoân luoân nghieäm ñuùng)
13– Ñaùp aùn D.
C– BAØI TAÄP COÙ ÑIEÅM THÖÔÛNG

BAØI TAÄP TÖÏ LUAÄN
Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình m3 x − m2 − 4 = 4m ( x − 1) .

Baøi 2: Giaûi phöông trình : 3 + 2x2 − 4x + 9 = 2x
3 7 −3x − 17
Baøi 3: Giaûi phöông trình + = 3
x + 3 x + 1 x + 4x2 + 3x
Baøi 4: Giaûi phöông trình : x2 − x − 3 + x + 1 = 0

Baøi 5: Giaûi phöông trình 7x2 − 12x + 5 = 3x − 5
Baøi 6: Cho phöông trình x2 − 2 ( m + 2) x + 4m + 5 = 0 .

a. Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät.
b. Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm thoûa x1 − x2 = 2




13
Höôùng daãn giaûi baøi taäp
Baøi 1: Phöông trình m3 x − m2 − 4 = 4m ( x − 1) (1)

Phöông trình (1) ⇔ m ( m − 2)( m + 2) x = ( m − 2)
2



Tröôøng hôïp 1: m ( m − 2)( m + 2) ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 , m ≠ ± 2 .
m−2
Phöông trình coù nghieäm duy nhaát: x =
m ( m + 2)

Tröôøng hôïp 2: m ( m − 2)( m + 2) = 0 ⇔ m = 0 hoaëc m = 2 hoaëc m = −2 .

Khi m = 0: (1) ⇔ 0x = 4 : Phöông trình (1) voâ nghieäm.
Khi m = 2: (1) ⇔ 0x = 0 : Phöông trình (1) luoân luoân nghieäm ñuùng.
Khi m = –2: (1) ⇔ 0x = 16 : Phöông trình (1) voâ nghieäm.

Baøi 2: Phöông trình : 3 + 2x2 − 4x + 9 = 2x (1)
2x − 3 ≥ 0

(1) ⇔ 4x2 − 4x + 9 = 2x − 3 ⇔  2
 4x − 4x + 9 = ( 2x − 3)
2

 3
2x − 3 ≥ 0
 x ≥
⇔  2 2 ⇔  2
 4x − 4x + 9 = ( 2x − 3)
 8x = 0

Phöông trình (1) voâ nghieäm.




3 7 −3x − 17
Baøi 3: + = 3 (1)
x + 3 x + 1 x + 4x2 + 3x
Taäp xaùc ñònh D = ℝ \ {0 ; − 1; − 3}

x = −1 (loaïi)
Phöông trình bieán ñoåi thaønh 10 x + 27x + 17 = 0 ⇔ 
2
x = − 17 (nhaän)

 10
Baøi 4: x2 − x − 3 + x + 1 = 0

 x ≤ −1 x ≤ −1
 2 
(1) ⇔ x2 − x − 3 = −x − 1 ⇔  x − 2 = 0 ⇔  x = ± 2
 x2 − 2x − 4 = 0 
  x = 1± 5

x = − 2
Vôùi x ≤ –1, ta nhaän ñöôïc nghieäm 
x = 1− 5





14
Baøi 5: 7x2 − 12x + 5 = 3x − 5 (1)
 5
3x − 5 ≥ 0
 x ≥
(1) ⇔  2 2 ⇔  3
7x − 12x + 5 = ( 3x − 5)
 x2 − 9x + 10 = 0

 5
x ≥ 3
 9 + 41
⇔  ⇔ x=
x = 9 ± 41 2

 2
Baøi 6: Phöông trình x2 − 2 ( m + 2) x + 4m + 5 = 0 (1)

a. Phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät
Phöông trình (1) coù hai nghieäm phaân bieät
m < −1
⇔ ∆’ > 0 ⇔ m2 − 1 > 0 ⇔ m > 1 ⇔ 
m > 1
b. Phöông trình coù hai nghieäm thoûa x1 − x2 = 2

Phöông trình coù hai nghieäm thoûa x1 − x2 = 2 thì hai nghieäm khoâng theå truøng
m < −1
nhau. Do ñoù: ∆’ > 0 ⇔ 
m > 1

Khi ñoù: x1 − x2 = 2 ⇔ x1 + x2 − 2x1x2 = 4 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4x1x2 = 4
2 2
2 (*)

x1 + x2 = 2 ( m + 2)
Vôùi: 
x1x2 = 4m + 5
(*) ⇔ 4 ( m + 2) − 4 ( 4m + 5) = 4
2



⇔ m2 − 2 = 0 ⇔ m = ± 2 (thoûa ñieàu kieän ∆’ > 0)




15
PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH
BAÄC NHAÁT NHIEÀU AÅN

A– TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA


1. Phöông trình baäc nhaát hai aån
Phöông trình baäc nhaát hai aån x, y daïng: ax + by = c (1)

Vôùi a, b, c laø caùc heä soá vaø a, b khoâng ñoàng thôøi baèng 0
Nghieäm cuûa (1) laø ( x0 ; y0 ) sao cho ax0 + by0 = c .

Ghi chuù:
c≠0 voâ nghieäm
a=b=0
c=0 nghieäm (x; y) tuøy yù
c 
a ≠ 0, b = 0 Nghieäm coù daïng  ; y  , ( vôùi y ∈ ℝ )
a 
 c
a = 0, b ≠ 0  x;  , ( vôùi x ∈ ℝ )
 b
 c − ax 
Nghieäm coù daïng  x;  , (x∈ ℝ)
 b 
a ≠ 0, b ≠ 0
 c − by 
hoaëc  ; y  , ( vôùi y ∈ ℝ )
 a 
Bieåu dieãn hình hoïc cuûa taäp nghieäm cuûa (1) laø moät ñöôøng thaúng
trong maët phaúng toïa ñoä Oxy.
2. Heä hai phöông trình baäc nhaát hai aån

a1x + b1y = c1
Daïng  (x, y laø hai aån soá), (caùc chöõ coøn laïi laø heä soá)
a2 x + b2 y = c2

Nghieäm cuûa heä laø caëp soá ( x0 , y0 ) nghieäm ñuùng ñoàng thôøi caû hai
phöông trình.
3. Heä ba phöông trình baäc nhaát ba aån

a1x + b1y + c1z = d1

Daïng a2 x + b2 y + c2 z = d2
a x + b y + c z = d
 3 3 3 3


x, y,z laø ba aån soá. Caùc chöõ coøn laïi laø heä soá.
Nghieäm cuûa heä laø boä ba soá ( x0 , y0 , z0 ) nghieäm ñuùng ñoàng thôøi caû
ba phöông trình cuûa heä.




16
B– CAÙC BAØI TAÄP CÔ BAÛN VAØ PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

BAØI TAÄP TÖÏ LUAÄN
Baøi 1: Giaûi phöông trình: 3x – 5y = 4.
Giaûi
3x − 4
Caùch 1: Vôùi x ∈ ℝ, ta coù: 3x – 5y = 4 ⇔ y = .
5
x ∈ ℝ

Phöông trình voâ soá nghieäm daïng:  3x − 4
y = 5

 3x − 4  
Taäp nghieäm: S =  x;  x ∈ ℝ
 5  
5y + 4
Caùch 2: Vôùi y ∈ ℝ, ta coù: 3x – 5y = 4 ⇔ x = .
3
y ∈ ℝ 1

Phöông trình voâ soá nghieäm daïng:  5y + 4
x = 3
 1
O
 5y + 4  
Taäp nghieäm: S =  y;  x ∈ ℝ .
 3  
Bieåu dieãn hình hoïc cuûa taäp nghieäm laø ñöôøng thaúng (d):
3x − 4
3x – 5y = 4 ⇔ y = .
5


4x + 7y = 1
Baøi 2: Giaûi heä phöông trình:  (*)
x − 3y = −14
a1x + b1y = c1
Chuù yù: Xeùt heä  (*)
a2 x + b2 y = c2
Phöông phaùp Gau-xô: Khöû bôùt moät aån töø moät trong hai phöông trình cuûa heä ñeå heä (*)
a1x + b1y = c1 mx + 0 = n
coù daïng  hoaëc 
0 + my = n a2 x + b2 y = c2
Nhö vaäy ta tính ñöôïc giaù trò cuûa moät aån. Roài tìm giaù trò cuûa aån coøn laïi.
* Ngoaøi ra, ta coøn caùc höông phaùp ñaõ hoïc ôû lôùp döôùi:
Phöông phaùp coäng ñaïi soá: Nhaân laàn löôït hai phöông trình vôùi caùc soá thích hôïp ñeå coù
theå khöû ñöôïc x (nhaèm tính y) hoaëc khöû ñöôïc y (nhaèm tính x). Toång quaùt:
( a1b2 − a2b1 ) x = c1b2 − b1c2

Heä (*) ⇔ 
( a1b2 − a2b1 ) y = a1c2 − a2 c1

Giaûi
Phöông phaùp Gau-xô
Nhaân phöông trình (2) cho –4 roài coäng vôùi phöông trình (1). ta coù:


17
4x + 7y = 1 4x + 7y = 1 y = 3 x = −5
 ⇔ ⇔  ⇔
x − 3y = −14  19y = 57 4x + 7.3 = 1  y = 3
Taäp nghieäm: S = {( −5; 3)}

Phöông phaùp coäng ñaïi soá:
12x + 21y = 3
Ñeå tính x: Heä (*) ⇔  ⇒ 19x = −95 ⇔ x = −5
7x − 21y = −98
4x + 7y = 1
Ñeå tính y: Heä (*) ⇔  ⇒ 19y = 57 ⇔ y = 3
−4x + 12y = 56
Taäp nghieäm: S = {( −5; 3)}

x − 3y = m
Baøi 3: Tìm m ñeå heä phöông trình sau voâ nghieäm  (*)
mx + 6y = 1
Giaûi
Nhaân (1) cho 2, coäng hai phöông trình cho nhau veá theo veá.
x − 3y = m x − 3y = m
 ⇔ 
mx + 6y = 1 ( m + 2) x = 2m + 1
Heä (*) voâ nghieäm khi phöông trình : ( m + 2) x = 2m + 1 voâ nghieäm

⇔ m + 2 = 0 ⇔ m = –2.
x + y + z = 2 (1)

Baøi 4: Giaûi heä phöông trình: (*) : x + 2y + 3z = 1 (2)
2x + y + 3z = −1 (3)

Giaûi
Nhaân (1) vôùi –1, coäng vôùi (2) veá theo veá. Nhaân (1) vôùi –2, coäng vôùi (3) veá theo veá.
x + y + z = 2

(*) ⇔  y + 2z = −1 (4)
 y−z=5 (5)

Nhaân (5) vôùi 2, coäng vôùi (4) veá theo veá. Ta ñöôïc:
x + y + z = 2

(*) ⇔  y + 2z = −1
 3z = −6

Ta coù: z = –2. Theá ngöôïc leân treân, suy ra: y = 3 vaø x = 1.
Vaäy Taäp nghieäm cuûa heä laø S = {(1; 3; − 2)}




18
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ
Baøi 1: Giaûi phöông trình 2x – y = 0.
7x − 11y = 36
Baøi 2: Giaûi heä phöông trình: 
x − 3y = 8
mx + y = 2
Baøi 3: Tìm m ñeå heä phöông trình sau voâ nghieäm  (*)
x − y = 3
x + y + z = 11

Baøi 4: Giaûi heä phöông trình: (*) 2x − y + z = 5
3x + 2y + z = 24

Höôùng daãn vaø ñaùp soá
Baøi 1: Giaûi phöông trình 2x – y = 0.
Phöông trình coù voâ soá ngheäim.
 y
x ∈ ℝ x = 1
Nghieäm coù theå bieåu dieãn ôû hai daïng:  hoaëc  2
y = 2x y ∈ ℝ

1
O
Bieåu dieãn hình hoïc cuûa taäp nghieäm laø ñöôøng thaúng (d): y = 2x.
7x − 11y = 36
Baøi 2: Giaûi heä phöông trình 
x − 3y = 8
7x − 11y = 36 7x − 11y = 36 x = 2
Phöông phaùp Gau-xô:  ⇔  ⇔ 
x − 3y = 8  10y = −20  y = −2
mx + y = 2  mx + y = 2
Baøi 3:  ⇔ 
x − y = 3 ( m + 1) x =5

Heä phöông trình voâ nghieäm khi m + 1 = 0 ⇔ m = –1.
x + y + z = 11 x + y + z = 11 x + y + z = 11 x = 4
   
Baøi 4: 2x − y + z = 5 ⇔  3y + z = 17 ⇔  3y + z = 17 ⇔ y = 5
3x + 2y + z = 24  y + 2z = 9  5z = 10 z = 2
   
Vaäy Taäp nghieäm cuûa heä laø S = {( 4; 5; 2)}


CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM

1– Caëp soá naøo ñöôïc cho sau ñaây laø nghieäm cuûa phöông trình 2x − 3y − 1 = 0 ?

A. (1; 1) B. ( 2; 1)
C. ( 3; 2) D. (1; 2)
E. Khoâng coù caëp soá naøo laø nghieäm




19
2– Caëp soá (1; 2) laø nghieäm cuûa phöông trình naøo ñöôïc cho sau ñaây ?

A. 4x + 3y – 2 = 0 B. –4x – 3y + 2 = 0
C. 4x – 3y + 2 = 0 D. 4x – 3y – 2 = 0
E. 4x + 3 y + 2 = 0
3– Haõy noái lieân keát moãi phöông trình ñöôïc cho ôû coät (I) vôùi nghieäm cuûa noù ñöôïc cho ôû
caëp (II).
Phöông trình Nghieäm
1 x – 2y + 1 = 0 (1; 3) A
2 2x – y + 1 = 0 (1; 0 ) B
3 x + 2y – 1 = 0 (1; 1) C
4 x – 2y – 1 = 0 ( −1; − 3) D
5 2x – y – 1 = 0 ( 3; 1) E
4– Phöông trình 3x + 4y − 1 = 0 coù taäp nghieäm laø taäp naøo sau ñaây ?

x ∈ ℝ  1+ 4y
 x =
A.  3x + 1 B.  3
y = 4
 y ∈ ℝ


x ∈ ℝ  4y − 1
 x =
C.  3x − 1 D.  3
y = 4
 y ∈ ℝ

x ∈ ℝ

E.  1− 3x
y = 4

Cho phöông trình m ( m − 1) x + ( m2 − 1) y + m − 1 = 0 .Duøng giaû thieát naøy ñeå traû lôøi caùc
caâu 5, 6, 7.
5– Khi m = 0. Nghieäm cuûa phöông trình laø:
A. Caëp soá ( x ; 1) , x ∈ ℝ . B. Caëp soá ( x ; − 1) , x ∈ ℝ .

C. Caëp soá ( −1; y ) , y ∈ ℝ . D. Caëp soá (1; y ) , y ∈ ℝ .

E. Phöông trình voâ nghieäm.
6– Khi m = 1. Taäp nghieäm cuûa phöông trình laø:
A. Taäp hôïp roãng.
B. Taäp caùc caëp soá ( x ; 0 ) , vôùi moïi x ∈ ℝ.
C. Taäp caùc caëp soá ( 0; y ) , vôùi moïi y ∈ ℝ.
D. Taäp caùc caëp soá ( x ; y ) , vôùi moïi x, y ∈ ℝ.
E. Moät taäp hôïp khaùc.



20
7– Khi m = –1. Taäp nghieäm cuûa phöông trình laø:
A. Caëp soá ( x ; 1) , x ∈ ℝ . B. Caëp soá ( x ; − 1) , x ∈ ℝ .

C. Caëp soá ( −1; y ) , y ∈ ℝ . D. Caëp soá (1; y ) , y ∈ ℝ .

E. Phöông trình voâ nghieäm.
8– Noái lieân keát moãi heä phöông trình ñöôïc cho ôû coät (I) vôùi nghieäm töông öùng cuûa noù
ñöôïc cho ôû coät (II).
Phöông trình Nghieäm
 3 
1 2x – 3y + 6 = 0  x; x − 3  , x ∈ ℝ A
 2 
 3 
2 3x + 2y + 6 = 0  − y + 3; y  , y ∈ ℝ B
 2 
 3 
3 2x + 3y – 6 = 0  x; − x − 3  , x ∈ ℝ C
 2 
 2 
4 2x – 3y – 6 = 0  x; x − 2  , x ∈ ℝ D
 3 
3 
5 3x – 2y – 6 = 0  y − 3; y  , y ∈ ℝ E
2 
x + my = 3
9– Cho heä phöông trình :  . Khaúng ñònh naøo sau ñaây laø sai ?
mx + 4y = 6
A. Khi m = 1. Heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát (2; 1)
3
B. Khi m = 0. Heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát (3; ).
2
C. Khi m = 2. Heä phöông trình coù nghieäm tuøy yù (x; y)
D. Khi m = –2. Heä phöông trình voâ nghieäm.
E. Coù moät trong caùc khaúng ñònh treân laø sai.
3x + ( m − 1) y = m + 1

Cho heä :  . Duøng giaû thieát naøy ñeå traû lôøi caùc caâu 10, 11, 12.
( m + 1) x + y = 3

10– Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä phöông trình voâ nghieäm ?
A. m = 1. B. m = –1
C. m=2 D. m = –2
E. m = –4
11– Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä phöông trình voâ soá nghieäm ?
A. m = 1. B. m = –1
C. m=2 D. m = –2
E. m = –4




21
Traû lôøi traéc nghieäm
1– Ñaùp aùn B. Thay töøng caëp soá vaøo phöông trình.
2– Ñaùp aùn C. Thay töøng caëp soá vaøo phöông trình.
3– Ñaùp aùn (1; C ) , ( 2; A ) , ( 3; B) , ( 4; E) , ( 5; D)
4– Ñaùp aùn E.
5– Ñaùp aùn B. Khi m = 0. Phöông trình thaønh 0x = y + 1.
Phöông trình nghieäm ñuùng ∀x ∈ ℝ vaø y = –1.

6– Ñaùp aùn D. Khi m = 1. Phöông trình thaønh 0x + 0y = 0 neân phöông trình nghieäm
ñuùng vôùi moïi x, y ∈ ℝ.

7– Ñaùp aùn D. Khi m = –1. Phöông trình thaønh 0y = 2 – 2x.
Phöông trình nghieäm ñuùng khi x = 1, ∀y ∈ ℝ

8– Ñaùp (1; E) , ( 2; C ) , ( 3; B) , ( 4; D) , ( 5; A )

x + my = 3
9– Ñaùp aùn C. Vôùi heä 
mx + 4y = 6
Khi m = 2. Ta coù: x + 2y = 3 .
Do ñoù: heä phöông trình voâ soá nghieäm ( 3 − 2y ; y ) , y ∈ ℝ . Khoâng phaûi nghieäm tuøy yù.

10– Ñaùp aùn D. m = –2
11– Ñaùp aùn C. m = 2


C– BAØI TAÄP COÙ ÑIEÅM THÖÔÛNG

BAØI TAÄP TÖÏ LUAÄN
Baøi 1: Cho hai phöông trình:
4x + y = 5 (1)
3x – 6y = 1 (2)
a. Giaûi phöông trình (1) vaø giaûi phöông trình (2).
b. Tìm nghieäm chung cuûa (1) vaø (2).
mx + y = 2
Baøi 2: Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình:  (m: tham soá)
x − y = 3
2x + (9m2 − 2)y = 3m
Baøi 3: Tìm m ñeå heä phöông trình sau ñaây voâ nghieäm: 
x + y = 1
2x + 3y − 5z = 13

Baøi 4: Giaûi heä phöông trình: (*) 4x − 2y − 3z = 3

−x + 2y + 4z = −1



22
Höôùng daãn giaûi baøi taäp
Baøi 1:
x ∈ ℝ
a. Nghieäm cæa (1)  hay S1 = {( x; − 4x + 5) x ∈ ℝ}
y = −4x + 5
x ∈ ℝ
  3x − 1 
Nghieäm cuûa (2)  3x − 1 hay S2 =  x;  x ∈ ℝ .
y = 6

 6  

4x + 3y = 5
b. Nghieäm chung cuûa (1) vaø (2) laø nghieäm cuûa heä: 
3x − 6y = 1
 1 
Taäp nghieäm chung: S = S1 ∩ S2 =  1; 
 3 
mx + y = 2
Baøi 2: Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình:  (m: tham soá)
x − y = 3
mx + y = 2 mx + y = 2 (1)
 ⇔ 
x − y = 3 ( m + 1) x = 5 (2)
Bieän luaän:
5
+ Neáu m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ –1: Phöông trình (2) coù nghieäm duy nhaát x = .
m +1
5 2 − 3m
Thay x = vaøo (1), ta ñöôïc y = .
m +1 m +1
 5 2 − 3m 
Heä coù nghieäm duy nhaát  ; 
 m +1 m +1 
+ Neáu m + 1 = 0 ⇔ m = –1. Phöông trình (2) voâ nghieäm. Do ñoù heä voâ nghieäm
(Cuõng coù theå thay m = –1 vaøo heä ñaõ cho ñeå chöùng minh heä voâ nghieäm)
2x + ( 9m2 − 2) y = 3m 2x + ( 9m − 2) y = 3m
 2

Baøi 3:  ⇔ 
x + y = 1 ( 9m − 4 ) y = 3m − 2
2
 
9m2 − 4 = 0 2
Heä voâ nghieäm ⇔  ⇔ m=−
3m − 2 ≠ 0 3

2x + 3y − 5z = 13

Baøi 4: Giaûi heä phöông trình 4x − 2y − 3z = 3

−x + 2y + 4z = −1
2x + 3y − 5z = 13  73z = −73 x = 1
  
4x − 2y − 3z = 3 ⇔  6y + 13z = −1 ⇔ y = 2
 −x + 2y + 4z = −1 z = −1
−x + 2y + 4z = −1  




23
OÂN TAÄP CHÖÔNG III

A– KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN


Caùc kieán thöùc chuû ñieåm baét buoäc hoïc sinh phaûi laøm ñöôïc:
Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc nhaát
Giaûi vaø bieän luaän phöông trinh baäc hai.
Ñònh lyù Vi-eùt
Moät soá daïng phöông trình thöôøng gaëp ñöa ñöôïc veà phöông trình
baäc nhaát hoaëc baäc hai.
Heä hai phöông trình baäc nhaát hai aån soá.



BAØI TAÄP
B– CAÙC BAØI TAÄP REØN LUYEÄN
Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : m ( x − 1) = x + 2m − 7 (1)

Giaûi
(1) ⇔ (m − 1) x = 3m − 7
3m − 7
+ m ≠ 1 : Phöông trình coù nghieäm duy nhaát : x =
m −1
+ m = 1 : (1) ⇔ 0x = –4 : phöông trình voâ nghieäm.
Baøi 2: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình: x2 − 2 ( m + 1) x + m2 + 4m = 0 (1)

Giaûi
Ta coù: ∆’ = 1 – 2m.
1
m> : phöông trình voâ nghieäm.
2
1 3
m= : phöông trình coù nghieäm keùp x = m + 1 =
2 2
1
m> : phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät: x = m + 1± 1− 2m
2
Baøi 3: Cho phöông trình x2 − 2 ( m + 1) x + m2 + 2m − 3 = 0 . Ñònh m ñeå phöông trình coù
moät nghieäm laø –1. Tìm nghieäm coøn laïi.
Giaûi
m = 0
Phöông trình coù nghieäm x = –1 ⇔ 1+ 2 ( m + 1) + m2 + 2m − 3 = 0 ⇔ 
m = −4

24
Ta coù: x1 + x2 = 2 ( m + 1) ⇔ x2 = 2 ( m + 1) + 1 = 2m + 3 , (vì x1 = −1)

+ Khi m = 0. Ta coù: x2 = 3

+ Khi m = –4. Ta coù: x2 = −5 .

Baøi 4: Tìm hai soá bieát toång cuûa chuùng laø 29 vaø tích cuûa chuùng laø 198
Giaûi
x + y = 29
Ta coù: 
xy = 198
Theo ñònh lyù Vi-eùt ñaûo; x, y laø nghieäm cuûa phöông trình X2 − 29x + 198 = 0 .
Hai soá phaûi tìm laø 18 vaø 11.
x − 7y = 14
Baøi 5: Baèng phöông phaùp khöû daàn aån soá, giaûi heä phöông trình: 
2x − 3y = 6
Giaûi
x − 7y = 14 x − 7y = 14 x = 0
 ⇔  ⇔ 
2x − 3y = 6  − 11y = 22  y = −2


Baøi 6: Giaûi phöông trình x + 11 = x − 1 (1)
Giaûi
x ≥ 1
x − 1 ≥ 0
 x ≥ 1 
(1 ⇔ 
) 2 ⇔  2 ⇔  x = −2 ⇔ x = 5.
x + 11 = ( x − 1)
 x − 3x − 10 = 0  x = 5


BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ
Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : m2 ( x + 1) + 2m = x − 1

Baøi 2: Laäp moät phöông trình baäc hai coù hai nghieäm laø 2m -1 vaø 3.
Baøi 3: Cho phöông trình x2 − 2 ( m + 1) x + 4m − 3 = 0

a. Chöùng minh raèng phöông trình luoân luoân coù hai nghieäm
b. Ñònh m ñeå phöông trình coù tích cuûa hai nghieäm baèng 5. Khi ñoù, tính toång cuûa
hai nghieäm.
Baøi 4: Goïi x1 , x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình x2 − 3x − 24 = 0 . haõy tính giaù trò cuûa
1 1
bieåu thöùc P = + .
x1 x2

2x − 3y = a
Baøi 5: Xaùc ñònh a ñeå heä phöông trình sau voâ nghieäm: 
−4x + 6y = 3a + 1

Baøi 6: Gaûii phöông trình 2x2 − x + 1 = x − 1 (1)



25
Höôùng daãn vaø ñaùp soá


Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : m2 ( x + 1) + 2m = x − 1 (1)

(1) ⇔ (1− m2 ) x = (1+ m )
2



1+ m
+ Neáu m ≠ ± 1 thì phöông trình coù nghieäm duy nhaát x =
1− m
+ Neáu m = 1 thì heä voâ nghieäm.
+ Neáu m = –1 thì heä voâ soá nghieäm
Baøi 2: Hai nghieäm cuûa phöông trình caàn tìm laø 2m -1 vaø 3.
Ta coù: Toång S = 2m + 2 vaø tích P = 3 ( 2m − 1)

Hai soá caàn tìm laø nghieäm cuûa phöông trình: x2 − 2 ( m + 1) x + 3 ( 2m − 1) = 0

Baøi 3: Phöông trình x2 − 2 ( m + 1) x + 4m − 3 = 0 (1)

a. Phöông trình coù: ∆ ' = m2 − 2m + 4 = ( m − 1) + 3 > 0 , ∀m
2



Neân (1) luoân luoân coù hai nghieäm phaân bieät.
b. Tích cuûa hai nghieäm baèng 5 ⇔ 4m – 3 = 5 ⇔ m = 2
Khi ñoù, toång cuûa hai nghieäm : S = 2 ( m + 1) = 6 .

Baøi 4: Phöông trình x2 − 3x − 24 = 0 (luoân luoân coù hai nghieäm phaân bieät)
Ta coù: x1 + x2 = 3 vaø x1x2 = −24
1 1 x2 + x1 3 1
P= + = = =−
x1 x2 x1x2 −24 8

2x − 3y = a 2x − 3y = a
Baøi 5: Heä phöông trình:  ⇔ 
−4x + 6y = 3a + 1 0x + 0y = 5a + 1
1
Heä voâ nghieäm ⇔ 5a + 1 = 0 ⇔ a = − .
5

Baøi 6: Giaûi phöông trình 2x2 − x + 1 = x − 1 (1)
x ≥ 1
x − 1 ≥ 0
 x ≥ 1 
(1 ⇔  2
) 2 ⇔  2 ⇔  x = 0 ⇔ x ∈ ∅.
2x − x + 1 = ( x − 1)
 x + x = 0   x = −1

Phöông trình voâ nghieäm




26
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản