Phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai

Chia sẻ: hoctoancap3

Tài liệu ôn tập môn toán tham khảo phần Phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai. Tài liệu gồm tóm tắt lý thuyết giáo khoa, ví dụ bài tập và kèm lời giải hướng dẫn giúp các bạn học sinh củng cố kiến thức tốt hơn.

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai

 

  1. PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT VAØ BAÄC HAI A– TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I. OÂN TAÄP VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT VAØ BAÄC HAI 1. Phöông trình baäc nhaát Daïng: ax + b = 0 (1) Caùch giaûi vaø bieän luaän Heä soá Keát luaän b a≠0 (1) coù nghieäm duy nhaát x = − a b≠0 (1) voâ nghieäm a=0 b=0 (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x 2. Phöông trình baäc hai Daïng ax2 + bx + c = 0 (vôùi a ≠ 0) (1) Caùch giaûi vaø bieän luaän ∆ = b2 − 4ac Keát luaän −b ± ∆ ∆>0 (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1,2 = 2a b ∆=0 (1) coù moät nghieäm keùp x = − 2a ∆<0 (1) voâ nghieäm 3. Ñònh lyù Vi-eùt Neáu phöông trình baäc hai ax2 + bx + c = 0 , ( a ≠ 0 ) coù hai nghieäm b c x1 , x2 thì x1 + x2 = − vaø x1x2 = . a a Neáy hai soá u, v coù toång u + v = S vaø tích uv = P thì u, v laø nghieäm cuûa phöông trình x2 − Sx + P = 0 . II. PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT VAØ BAÄC HAI 1. Phöông trình coù chöùa aån trong daáu giaù trò tuyeät ñoái Tuøy theo phöông trình, ta coù nhöõng phöông phaùp: + Duøng ñònh nghóa, hoaëc laäp baûng xeùt daáu ñeå khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái roài giaûi caùc phöông trình treân töøng mieàn ñaõ chæ ra. Nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø hôïp caùc nghieäm nhaän ñöôïc. + Bình phöông hai veáu vôùi ñieàu kieän hai veá khoâng aâm ñeå khuû daáu giaù trò tuyeät ñoái. 1
  2. + Chuù yù: B ≥ 0 Daïng A =B ⇔  2 A = B 2 Daïng ax + b = cx + d . Ta coù: ax + b = cx + d ax + b = cx + d ⇔  ax + b = − ( cx + d) ax + b = cx + d ⇔ ( ax + b ) = ( cx + d) 2 2 hoaëc 2. Phöông trình chöùa aån döôùi caên Phöông phaùp chung: Bình phöông hai veá cuûa phöông trình ñeå daàn maát caên thöùc. Bình phöông hai veá cuûa phöông trình laø pheùp bieán ñoåi töông ñöông neáu hai veá cuûa phöông trình ñeàu khoâng aâm. Tröông hôïp rieâng: Daïng A =B Caùch giaûi 1: Ñaët ñieàu kieän A ≥ 0. Bình phöông hai veá: (Phöông trình heä quaû). Giaûi vaø tìm nghieäm Thöû laïi caùc nghieäm vöøa tìm ñöôïc. Caùch giaûi 2: B ≥ 0 Bieán ñoåi töông ñöông: A =B⇔  A = B 2 3. Phöông trình chöùa aån ôû maãu thöùc Ñieàu kieän xaùc ñònh cuûa phöông trình: Maãu thöùc khaùc 0. Quy ñoàng maãu thöùc, khöû maãu vaø giaûi phöông trình. Ñoái chieáu vôùi ñieàu kieän ñeå choïn nghieäm. 2
  3. BAØI TAÄP B– CAÙC BAØI TAÄP CÔ BAÛN VAØ PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI BAØI TAÄP TÖÏ LUAÄN I. PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình: 3mx + m2(x – 1) + 1 = (m2 + 3)x (1) Giaûi Ta coù: 3mx + m2(x – 1) + 1 = (m2 + 3)x ⇔ 3mx + m2x – m2 + 1 = m2x + 3x ⇔ 3(m – 1)x = m2 – 1 Bieän luaän: + Tröôøng hôïp 1: m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1. (1) coù nghieäm duy nhaát: x = m2 − 1 3(m − 1) 1 1 { = (m + 1 . Taäp nghieäm: S = (m + 1 3 ) 3 ) } + Tröôøng hôïp 2: m – 1 = 0 ⇔ m = 1 (1) ⇔ 0x = 0 (nghieäm ñuùng vôùi moïi x ∈ ℝ). Taäp nghieäm: S = 3. 2 Baøi 2: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình: =a. (1) x −1 Giaûi Ñieàu kieän xaùc ñònh: x ≠ 1. (1) ⇔ 2 = a ( x − 1) ⇔ ax = a + 2 + Tröôøng hôïp 1: a ≠ 0 a+2 (1) ⇔ x = a a+2 Giaù trò x = laø nghieäm cuûa phöông trình (1) a a+2 ⇔ ≠ 1 ⇔ a + 2 ≠ a (luoân luoân ñuùng vôùi moïi a) a Suy ra: Vôùi a ≠ 0, (1) coù nghieäm duy nhaát x = a+2 a . Taäp nghieäm S ={ } a+2 a + Tröôøng hôïp 2: a = 0 (1) ⇔ 0x = 2 ⇔ Phöông trình (1) voâ nghieäm. Taäp nghieäm S = ∅. Baøi 3: Giaûi phöông trình: 2x − 1 = x − 2 (1) Giaûi 3
  4. Caùch 1: Bieán ñoåi töông ñöông x − 2 ≥ 0  x ≥ 2 Phöông trình (1) ⇔  2 ⇔  ( 2x − 1) = ( x − 2) ( 2x − 1+ x − 2)( 2x − 1− x + 2) = 0 2  x ≥ 2 x ≥ 2  ⇔ ⇔  x = 1 ⇔ x ∈ ∅ ( 3x − 3)( x + 1 = 0 )  x = −1  Vaäy phöông trình (1) voâ nghieäm hay taäp nghieäm S = ∅. Caùch 2: Bình phöông hai veá. Giaûi phöông trình. Thöû nghieäm 2x − 1 = x − 2 ⇒ 4x2 − 4x + 1 = x2 − 4x + 4 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1 Thay x = ± 1 vaøo (1): Caû hai 2 − 1 = 1− 2 vaø − 2 − 1 = −1− 2 ñeàu laø ñaúng thöùc sai. Vaäy phöông trình (1) voâ nghieäm hay taäp nghieäm S = ∅. Baøi 4: Giaûi phöông trình: 3x + 4 = x − 2 Giaûi Caùch 1:  x = −3 3x + 4 = x − 2 3x + 4 = x − 2 ⇔  ⇔ 1 3x + 4 = − ( x − 2) x = −  2 { T p nghi m c a phöông trình: S = −3; − 1 2} Caùch 2:  x = −3 3x + 4 = x − 2 ⇔ ( 3x + 4 ) = ( x − 2) ⇔ 2x + 7x + 3 = 0 ⇔  2 2 2 1 x = −  2 { T p nghi m c a phöông trình: S = −3; − 1 2} Baøi 5: Giaûi phöông trình: x2 − 4x + 1 = x + 2 (1) Giaûi Caùch 1: Bieán ñoåi töông ñöông x + 2 ≥ 0   x ≥ −2 3 Pt(1) ⇔  2 2 ⇔  ⇔x=− x − 4x + 1 = ( x + 2)  8x = −3 8 { } Taäp nghieäm: S = − 3 8 . 4
  5. Caùch 2: Bình phöông hai veá. Giaûi phöông trình vaø thöû nghieäm. 3 Pt(1) ⇔ x2 − 4x + 1 = ( x + 2) ⇔ 8x = −3 ⇔ x = − 2 8 3 Thay x = − vaøo phöông trình (1) : 8 2  3  3 13 3 13 3 VT =  −  − 4  −  + 1 = , VP = − + 2 = ⇒ x = − thoûa (!).  8  8 8 8 8 8 Taäp nghieäm: S = −{ }3 8 . x − 4 2x + 7 17 Baøi 6: Giaûi phöông trình: − = (1) x − 6 2x + 5 ( x − 6)( 2x + 5) Giaûi x ≠ 6 x − 6 ≠ 0  Ñieàu kieän xaùc ñònh cuûa phöông trình:  ⇔ 2 2x + 5 ≠ 0 x ≠ − 5  (1) ⇔ ( x − 4)( 2x + 5) − ( 2x + 7 )( x − 6) = 17 5 ⇔ 2x = −5 ⇔ x = − (loaïi) 2 Taäp nghieäm cuûa (1): S = ∅ II. PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI 1 3 1 Baøi 1: Giaûi phöông trình: + 2 = (1) 2 ( x − 1) x − 1 4 Giaûi Ñieàu kieän xaùc ñònh: x ≠ ± 1. Khi ñoù: (1) ⇔ 2 ( x + 1) + 12 = x2 − 1  x = −3 ⇔ x2 − 2x − 15 = 0 ⇔  (thoûa ñieàu kieän xaùc ñònh) x = 5 Vaäy: Taäp nghieäm S = {−3 ; 5} Baøi 2: Giaûi phöông trình: 5x − 2 − 2x2 = 0 (1) Giaûi (1 ⇔ 5x − 2 = 2x2 ) Nhaän xeùt: 2x2 ≥ 0 ; ∀x ∈ ℝ . 5
  6.   1 2x = 5x − 2 2 2x − 5x + 2 = 0 2 ( x = 2) hoaëc  x = 2    Do ñoù: (1 ⇔  2 ) ⇔  2 ⇔  2x = − ( 5x − 2)  2x + 5x − 2 = 0   −5 ± 41 x =  4 1 −5 ± 41 Taäp nghieäm cuûa (1) laø S =  ; 2 ;  2 4  Cuõng coù theå bình phöông hai veá roài ñöa veá phöông trình tích. Baøi 3: Giaûi phöông trình: x − x2 − 1 = 2x − 3 − x2 (1) Giaûi x − x2 − 1 = 2x − 3 − x2 x = 2 x − x − 1 = 2x − 3 − x 2 2 ⇔  ⇔  2 x − x − 1 = −2x + 3 + x 2x − 3x + 4 = 0 2 2  (*) Nhaän xeùt: phöông trình (*) voâ nghieäm. Vaäy: S = {2} Baøi 4: Giaûi phöông trình: 10x + 6 = 9 − x (1) Giaûi Duøng bieán ñoåi töông ñöông: 9 − x ≥ 0  10x + 6 = 9 − x ⇔  10x + 6 = ( 9 − x ) 2  x ≤ 9 x ≤ 9  ⇔  2 ⇔  x = 3 ⇔ x = 3 x − 28x + 75 = 0  x = 25  Duøng phöông trình heä quaû vaø thöû nghieäm 3 Ñieàu kieän: 10x + 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ − . 5 x = 3 Bình phöông hai veá: x2 − 28x + 75 = 0 ⇒  x = 25 x = 3 Caû hai giaù trò  ñeàu thoûa ñieàu kieän xaùc ñònh. Thay töøng giaù trò x vaøo phöông x = 25 trình ñaõ cho, ta chæ nhaän ñöôïc nghieäm x = 3. Baøi 5: Cho phöông trình: x2 + x + m − 1 = 0 (1) a. Xaùc ñònh m ñeå phöông trình coù hai nghieäm. b. Xaùc ñònh m ñeå phöông trình coù moät nghieäm gaáp ñoâi nghieäm kia. c. Ñònh m ñeå phöông trình coù hai nghieäm thoûa maõn heä thöùc: x1x2 + 3 ( x1 + x2 ) + 5 = 0 . 6
  7. Giaûi a. Phöông trình coù hai nghieäm 5 Phöông trình coù hai nghieäm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 5 – 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 4 b. Phöông trình coù moät nghieäm gaáp ñoâi nghieäm kia 5 Khi m ≤ phöông trình (1) coù hai nghieäm x1 , x2 . Ta coù: x1 + x2 = −1 4 1 2 Giaû söû x1 = 2x2 . Khi ñoù: 2x2 + x2 = −1 ⇔ x2 = − . Suy ra: x1 = − 3 3  1  2  11 Maët khaùc: x1x2 = m − 1. Ta coù:  −  .  −  = m − 1 ⇔ m =  3  3 9 c. Phöông trình coù hai nghieäm thoûa : x1x2 + 3 ( x1 + x2 ) + 5 = 0 (*) Ta coù: x1 + x2 = −1 vaø x1x2 = m − 1 Thay vaøo (*) ta ñöôïc: m − 1+ 3 ( −1) + 5 = 0 ⇔ m + 1 = 0 ⇔ m = −1. 5 Giaù trò m = –1 thoûa ñieàu kieän m ≤ neân nhaän ñöïôc. 4 BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ I. PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình: (m2 – 1)x = m(m + 1)(m + 2). 2m − 1 Baøi 2: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình: =m−2 x −1 Baøi 3: Giaûi phöông trình: x − 2 = 5 − x Baøi 4: Giaûi phöông trình 2x − 3 = 4 + 3x Baøi 5: Giaûi phöông trình: x − x2 + 169 = 17 x+2 1 2x2 − x − 4 Baøi 6: Giaûi phöông trình: − = 1− 2x − 3 2x + 3 4x2 − 9 II. PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI 1 4x − 3 Baøi 1: Giaûi phöông trình: x+ = x −1 x −1 Baøi 2: Giaûi phöông trình: x2 − 3x + 2 = x − 2 Baøi 3: Giaûi phöông trình: x2 − 1 = x + 3 Baøi 4: Giaûi phöông trình: 3x2 − 9x + 7 = 2x − 3 Baøi 5: Tìm m ñeå phöông trình ( m + 1) x2 + 3 ( m − 2) x + m = 0 coù moät nghieäm baèng –2. Tính nghieäm coøn laïi. 7
  8. Höôùng daãn vaø ñaùp soá PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT Baøi 1: (m2 – 1)x = m(m + 1)(m + 2) (1) Tröôøng hôïp 1: m2 − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 vaø m ≠ −1. m ( m + 2) (1) coù nghieäm duy nhaát x = m −1 Tröôøng hôïp 2: m2 − 1 = 0 ⇔ m = 1 hoaëc m − 1 + Khi m = 1: Phöông trình (1) ⇔ 0x = 6 (voâ nghieäm) + Khi m = –1: Phöông trình (1) ⇔ 0x = 0. (Phöôøng trình coù nghieäm tuøy yù) 2m − 1 Baøi 2: =m−2 (1) x −1 Ñieàu kieän xaùc ñònh: x ≠ 1. Khi ñoù: (1) ⇔ (m − 2) x = 3 (m − 1) + Tröôøng hôïp 1: m –2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 3 ( m − 1) Pt(1) ⇔ x = m−2 3 ( m − 1) Giaù trò x = laø nghieäm cuûa phöông trình (1) m−2 3 ( m − 1) 1 ⇔ ≠1 ⇔ m≠ m−2 2 1 3 ( m − 1) Suy ra: Vôùi m ≠ 2 vaø m ≠ thì (1) coù nghieäm duy nhaát x = . 2 m−2 + Tröôøng hôïp 2: m = 2 Pt(1) ⇔ 0x = 3 ⇔ Phöông trình (1) voâ nghieäm. Baøi 3: x − 2 = 5 − x (1) Caùch 1: Bieán ñoåi töông ñöông 5 − x ≥ 0  x ≤ 5 7 Phöông trình (1) ⇔  2 ⇔  ⇔ x= ( x − 2) = ( 5 − x ) 3 ( 2x − 7 ) = 0 2  2 Caùch 2: Bình phöông hai veá. Giaûi phöông trình. Thöû nghieäm 7 Pt(1) ⇒ ( x − 2) = ( 5 − x ) 2 2 ⇔ 6x = 21 ⇔ x = 2 7 7 7 Thay x = vaøo (1). Ta ñöôïc −2 = 5− laø ñaúng thöùc ñuùng. 2 2 2 7 Vaäy phöông trình (1) coù nghieäm x = 2 8
  9. Baøi 4: 2x − 3 = 4 + 3x (1) x = −7 2x − 3 = 4 + 3x Caùch 1: 2x − 3 = 4 + 3x ⇔  ⇔ 1  2x − 3 = − ( 4 + 3x ) x = −  5  x = −7 ( 2x − 3) = ( 4 + 3x ) ⇔ ( 5x + 1)( −x − 7 ) = 0 ⇔  2 2 Caùch 2: 1 x = −  5 x ≥ 17  x ≥ 17 Baøi 5: x − x2 + 169 = 17 ⇔ x2 + 169 = x − 17 ⇔  2 2 ⇔  x + 169 = ( x − 17 )  34x = 120 Taäp nghieäm S = ∅ x+2 1 2x2 − x − 4 Baøi 6: − = 1− (1) 2x − 3 2x + 3 4x2 − 9 x+2 1 2x2 − x − 4 Pt(1) ⇔ − = 1− 2x − 3 2x + 3 ( 2x − 3)( 2x + 3) 3 Ñieàu kieän xaùc ñònh: x ≠ ± 2 (1) ⇔ ( x + 2)( 2x + 3) − ( 2x − 3) − ( 4x2 − 9) + ( 2x2 − x − 4) = 0 7 ⇔ 4x + 14 = 0 ⇔ x = − (nhaän) 2 PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI 1 4x − 3 Baøi 1: x + = Ñieàu kieän xaùc ñònh:x ≠ 1. x −1 x −1 x = 1 (loaïi) Phöông trình bieán ñoåi thaønh x2 − 5x + 4 = 0 ⇔  x = 4 (nhaän)  Baøi 2: x2 − 3x + 2 = x − 2 (1) x ≥ 2 x ≥ 2 x ≥ 2  2   (1) ⇔  x − 3x + 2 = x − 2 ⇔  x2 − 4x + 4 = 0 ⇔  x = 2 ⇔ x = 2  2  x2 − 2x = 0  x = 0  x − 3x + 2 = − ( x − 2)     x2 − 1 = x + 3 x2 − x − 4 = 0 Baøi 3: x2 − 1 = x + 3 ⇔  2 ⇔  2  x − 1 = −x − 3  x + x + 2 = 0  (*) 1± 17  Phöông trình (*) voâ nghieäm. Do ñoù: S =    2  Baøi 4: 3x2 − 9x + 7 = 2x − 3  2x − 3 ≥ 0 (1) ⇔  3x − 9x + 7 = ( 2x − 3) 2 2  9
  10.  3  3 x ≥ 2 x ≥  ⇔  2 ⇔  ⇔ x=2 x =1 x2 − 3x + 2 = 0     x = 2  Baøi 5: ( m + 1) x2 + 3 ( m − 2) x + m = 0 (1) Phöôøng trình (1) coù moät ngheäim x = –2 ⇔ 4 ( m + 1) + 3. ( −2)( m − 2) + m = 0 ⇔ −m + 16 = 0 ⇔ m = 16 . m Khi ñoù: x1x2 = . Vôùi m = 16 vaø x1 = −2 . m+1 16 8 Ta ñöôïc: −2x2 = ⇔ x2 = − 17 17 CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM 1– Noái lieân keát moãi phöông trình cho ôû coät (I) vôùi nghieäm cuûa noù ñöôïc cho ôû coät (II). (I) (II) 9x + 7  x − 2 x=3 1 − x −  = 36 A 2  7  7x − 10 4 1 2 = 1− x= B 7x − 6 5x 2 3 2x − 1 = x − 1 x=0 C 4 4−x = x+3 x∈∅ D 5 x−4 = x+4 x=9 E 2– Cho phöông trình 3 − x = m . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A. Taäp xaùc ñònh cuûa phöông trình D = ℝ. B. Neáu m = 0 thì phöông trìnhcoù nghieäm duy nhaát x = 3. C. Neáu m > 0 thì phöông trình coù hai nghieäm laø x = 3 ± a . D. Neáu m < 0 thì phöông trình voâ nghieäm. E. Coù hai khaúng ñònh sai. x2 + 2x − 3 3– Cho phöông trình = 3 . Khaúng ñònh naøo sau ñaây laø sai ? x −1 A. Khi x ≠ 1 thì phöông trình coù nghóa. B. Phöông trình coù hai nghieäm laø 0 vaø 1 C. Phöông trình chæ coù nghieäm laø x = 0. D. Khi x ≠ 1 thì phöông trình vieát ñöôïc thaønh x2 − x = 0 E. Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi phöông trình x3 − x2 = 0 10
  11. 4– Keát quaû naøo sau ñaây laø taäp nghieäm cuûa phöông trình: 2x − 1 = x + 3 ? 2 A. x=4 B. x= − 3 2 C. x = –4 D. x = 4 vaø x = − 3 2 E. x = –4 vaø x = − 3 5– Ñaùp soá naøo sau ñaây laø nghieäm cuûa phöông trình 11− 4x = 2x + 3 ? 4 A. x = −7 hay x = B. x=7 3 4 C. x=4 D. x = 7 hay x = 3 E. Moät keát quaû khaùc 6– Cho phöông trình 2mx + 4 = 6 .Phöông trình voâ nghieäm khi: A. m=2 B. m=0 C. m=1 D. m = –1 E. Moät keát quaû khaùc 7 – Vôùi giaû thieát laø phöông trình ôû caâu 6. Phöông trình coù nghieäm khi : A. m ≠ 2 B. m ≠ 1 C. m≠0 D. m ≠ –1 E. Moät keát quaû khaùc 8 – Vôùi giaû thieát laø phöông trình ôû caâu 6, khi m = 1 thì nghieäm cuûa phöông trình laø: A. x = 1 hoaëc x = –5 B. x = –1 hoaëc x = –5 C. x = 5 hoaëc x = –1 D. x = 1 hoaëc x = 5 E. Moät keát quaû khaùc 9 – Cho phöông trình m2 x + 1− m = ( 5m − 6 ) x . Vôùi giaù trò naøo cuûa m ñöôïc cho sau ñaây thì phöông trình coù nghieäm duy nhaát ? A. m = 2 B. m = 3 C. m = 2 hoaëc m = 3 D. m ≠ 2 vaø m ≠ 3 E. Moät keát quaû khaùc 10 – Cho phöông trình m2 x + 3x = 2m + 2x . Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng ? 2m A. Khi m ≠ ± 1 thì phöông trình coù nghieäm duy nhaát x = 2 m +1 2m B. Phöông trình luoân luoân coù nghieäm duy nhaát x = m2 + 1 C. Khi m ≠ ± 1 thì phöông trình coù nghieäm duy nhaát x = m D. Phöông trình luoân luoân coù nghieäm duy nhaát x = 2m + 1 E. Taát caû caùc khaúng ñònh ñeàu sai 11
  12. Cho phöông trình : m2 x − ( 2x + 1) m = ( 4 − 2m ) x + 2 . Duøng giaû thieát naøy ñeå traû lôøi caùc caâu 11, 12, 13. 11 – Phöông trình voâ nghieäm khi m coù giaù trò: A. m = –2 B. m = 1 C. m=2 D. m = –1 E. Moät keát quaû khaùc 12 – Vôùi giaù trò naøo cuûa m ñöôïc cho sau ñaây thì phöông trình coù nghieäm tuøy yù ? A. m = –2 B. m = 1 C. m=2 D. m = –1 E. Moät keát quaû khaùc 13 – Khi m = 1 thì phöông trình coù nghieäm laø : A. x = –2 B. x = 1 C. x=2 D. x = –1 E. Moät nghieäm khaùc Traû lôøi traéc nghieäm 1– Ñaùp aùn (1; E) , ( 2; A ) , ( 3; D) , ( 4; B) , ( 5; C ) 2– Ñaùp aùn E 3– Ñaùp aùn B 4– Ñaùp aùn D x + 3 ≥ 0   x ≥ −3 2x − 1 = x + 3 ⇔  2 ⇔  ( 2x − 1) = ( x + 3) ( 2x + 1+ x + 3)( 2x + 1− x − 3) = 0 2  x = 4  x ≥ −3 ⇔  ⇔ 2 (vì thoûa ñieàu kieän x ≥ −3) ( 3x + 2)( x − 4) = 0 x = −  3 { } Taäp nghieäm cuûa (1): S = 4; − 2 3 5– Ñaùp aùn D.  4 11− 4x = 2x + 3 x = 3 11− 4x = 2x + 3 ⇔  ⇔ 11− 4x = −2x − 3  x = 7 6– Ñaùp aùn B 2mx + 4 = 6 2mx = 2 2mx + 4 = 6 ⇔  ⇔  2mx + 4 = −6 2mx = −10 Phöông trình voâ nghieäm khi m = 0. 7– Ñaùp aùn C. 12
  13. Phöông trình baäc nhaát coù nghieäm trong hai tröôøng hôïp: (nghieäm duy nhaát hoaêc voâ soá nghieäm). Ñoái vôùi phöông trình ñaõ cho chæ xaûy ra tröôøng hôïp coù nghieäm duy nhaát. Khi ñoù: m ≠ 0. 8– Ñaùp aùn A. 2mx = 2 x = 1 Vôùi m = 1. Ta coù:  ⇔ 2mx = −10 x = −5 9– Ñaùp aùn D. m2 x + 1− m = ( 5m − 6 ) x ⇔ (m2 − 5m + 6 ) x = m − 1 Phöông trình coù nghieäm duy nhaát ⇔ m2 − 5m + 6 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 vaø m ≠ 3 . 10– Ñaùp aùn B m2 x + 3x = 2m + 2x ⇔ (m 2 + 1) x = 2m 2m Phöông trình luoân luoân coù nghieäm duy nhaát x = m2 + 1 11– Ñaùp aùn C m2 x − ( 2x + 1) m = ( 4 − 2m ) x + 2 ⇔ (m 2 − 4) x = m + 2 Khi m = 2, phöông trình thaønh 0x = 4 (voâ nghieäm) 12– Ñaùp aùn A Khi m = –2, phöông trình thaønh 0x = 0 (luoân luoân nghieäm ñuùng) 13– Ñaùp aùn D. C– BAØI TAÄP COÙ ÑIEÅM THÖÔÛNG BAØI TAÄP TÖÏ LUAÄN Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình m3 x − m2 − 4 = 4m ( x − 1) . Baøi 2: Giaûi phöông trình : 3 + 2x2 − 4x + 9 = 2x 3 7 −3x − 17 Baøi 3: Giaûi phöông trình + = 3 x + 3 x + 1 x + 4x2 + 3x Baøi 4: Giaûi phöông trình : x2 − x − 3 + x + 1 = 0 Baøi 5: Giaûi phöông trình 7x2 − 12x + 5 = 3x − 5 Baøi 6: Cho phöông trình x2 − 2 ( m + 2) x + 4m + 5 = 0 . a. Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät. b. Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm thoûa x1 − x2 = 2 13
  14. Höôùng daãn giaûi baøi taäp Baøi 1: Phöông trình m3 x − m2 − 4 = 4m ( x − 1) (1) Phöông trình (1) ⇔ m ( m − 2)( m + 2) x = ( m − 2) 2 Tröôøng hôïp 1: m ( m − 2)( m + 2) ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 , m ≠ ± 2 . m−2 Phöông trình coù nghieäm duy nhaát: x = m ( m + 2) Tröôøng hôïp 2: m ( m − 2)( m + 2) = 0 ⇔ m = 0 hoaëc m = 2 hoaëc m = −2 . Khi m = 0: (1) ⇔ 0x = 4 : Phöông trình (1) voâ nghieäm. Khi m = 2: (1) ⇔ 0x = 0 : Phöông trình (1) luoân luoân nghieäm ñuùng. Khi m = –2: (1) ⇔ 0x = 16 : Phöông trình (1) voâ nghieäm. Baøi 2: Phöông trình : 3 + 2x2 − 4x + 9 = 2x (1) 2x − 3 ≥ 0  (1) ⇔ 4x2 − 4x + 9 = 2x − 3 ⇔  2  4x − 4x + 9 = ( 2x − 3) 2   3 2x − 3 ≥ 0  x ≥ ⇔  2 2 ⇔  2  4x − 4x + 9 = ( 2x − 3)  8x = 0  Phöông trình (1) voâ nghieäm. 3 7 −3x − 17 Baøi 3: + = 3 (1) x + 3 x + 1 x + 4x2 + 3x Taäp xaùc ñònh D = ℝ \ {0 ; − 1; − 3} x = −1 (loaïi) Phöông trình bieán ñoåi thaønh 10 x + 27x + 17 = 0 ⇔  2 x = − 17 (nhaän)   10 Baøi 4: x2 − x − 3 + x + 1 = 0  x ≤ −1 x ≤ −1  2  (1) ⇔ x2 − x − 3 = −x − 1 ⇔  x − 2 = 0 ⇔  x = ± 2  x2 − 2x − 4 = 0    x = 1± 5  x = − 2 Vôùi x ≤ –1, ta nhaän ñöôïc nghieäm  x = 1− 5  14
  15. Baøi 5: 7x2 − 12x + 5 = 3x − 5 (1)  5 3x − 5 ≥ 0  x ≥ (1) ⇔  2 2 ⇔  3 7x − 12x + 5 = ( 3x − 5)  x2 − 9x + 10 = 0   5 x ≥ 3  9 + 41 ⇔  ⇔ x= x = 9 ± 41 2   2 Baøi 6: Phöông trình x2 − 2 ( m + 2) x + 4m + 5 = 0 (1) a. Phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät Phöông trình (1) coù hai nghieäm phaân bieät m < −1 ⇔ ∆’ > 0 ⇔ m2 − 1 > 0 ⇔ m > 1 ⇔  m > 1 b. Phöông trình coù hai nghieäm thoûa x1 − x2 = 2 Phöông trình coù hai nghieäm thoûa x1 − x2 = 2 thì hai nghieäm khoâng theå truøng m < −1 nhau. Do ñoù: ∆’ > 0 ⇔  m > 1 Khi ñoù: x1 − x2 = 2 ⇔ x1 + x2 − 2x1x2 = 4 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4x1x2 = 4 2 2 2 (*) x1 + x2 = 2 ( m + 2) Vôùi:  x1x2 = 4m + 5 (*) ⇔ 4 ( m + 2) − 4 ( 4m + 5) = 4 2 ⇔ m2 − 2 = 0 ⇔ m = ± 2 (thoûa ñieàu kieän ∆’ > 0) 15
  16. PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT NHIEÀU AÅN A– TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA 1. Phöông trình baäc nhaát hai aån Phöông trình baäc nhaát hai aån x, y daïng: ax + by = c (1) Vôùi a, b, c laø caùc heä soá vaø a, b khoâng ñoàng thôøi baèng 0 Nghieäm cuûa (1) laø ( x0 ; y0 ) sao cho ax0 + by0 = c . Ghi chuù: c≠0 voâ nghieäm a=b=0 c=0 nghieäm (x; y) tuøy yù c  a ≠ 0, b = 0 Nghieäm coù daïng  ; y  , ( vôùi y ∈ ℝ ) a   c a = 0, b ≠ 0  x;  , ( vôùi x ∈ ℝ )  b  c − ax  Nghieäm coù daïng  x;  , (x∈ ℝ)  b  a ≠ 0, b ≠ 0  c − by  hoaëc  ; y  , ( vôùi y ∈ ℝ )  a  Bieåu dieãn hình hoïc cuûa taäp nghieäm cuûa (1) laø moät ñöôøng thaúng trong maët phaúng toïa ñoä Oxy. 2. Heä hai phöông trình baäc nhaát hai aån a1x + b1y = c1 Daïng  (x, y laø hai aån soá), (caùc chöõ coøn laïi laø heä soá) a2 x + b2 y = c2 Nghieäm cuûa heä laø caëp soá ( x0 , y0 ) nghieäm ñuùng ñoàng thôøi caû hai phöông trình. 3. Heä ba phöông trình baäc nhaát ba aån a1x + b1y + c1z = d1  Daïng a2 x + b2 y + c2 z = d2 a x + b y + c z = d  3 3 3 3 x, y,z laø ba aån soá. Caùc chöõ coøn laïi laø heä soá. Nghieäm cuûa heä laø boä ba soá ( x0 , y0 , z0 ) nghieäm ñuùng ñoàng thôøi caû ba phöông trình cuûa heä. 16
  17. B– CAÙC BAØI TAÄP CÔ BAÛN VAØ PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI BAØI TAÄP TÖÏ LUAÄN Baøi 1: Giaûi phöông trình: 3x – 5y = 4. Giaûi 3x − 4 Caùch 1: Vôùi x ∈ ℝ, ta coù: 3x – 5y = 4 ⇔ y = . 5 x ∈ ℝ  Phöông trình voâ soá nghieäm daïng:  3x − 4 y = 5   3x − 4   Taäp nghieäm: S =  x;  x ∈ ℝ  5   5y + 4 Caùch 2: Vôùi y ∈ ℝ, ta coù: 3x – 5y = 4 ⇔ x = . 3 y ∈ ℝ 1  Phöông trình voâ soá nghieäm daïng:  5y + 4 x = 3  1 O  5y + 4   Taäp nghieäm: S =  y;  x ∈ ℝ .  3   Bieåu dieãn hình hoïc cuûa taäp nghieäm laø ñöôøng thaúng (d): 3x − 4 3x – 5y = 4 ⇔ y = . 5 4x + 7y = 1 Baøi 2: Giaûi heä phöông trình:  (*) x − 3y = −14 a1x + b1y = c1 Chuù yù: Xeùt heä  (*) a2 x + b2 y = c2 Phöông phaùp Gau-xô: Khöû bôùt moät aån töø moät trong hai phöông trình cuûa heä ñeå heä (*) a1x + b1y = c1 mx + 0 = n coù daïng  hoaëc  0 + my = n a2 x + b2 y = c2 Nhö vaäy ta tính ñöôïc giaù trò cuûa moät aån. Roài tìm giaù trò cuûa aån coøn laïi. * Ngoaøi ra, ta coøn caùc höông phaùp ñaõ hoïc ôû lôùp döôùi: Phöông phaùp coäng ñaïi soá: Nhaân laàn löôït hai phöông trình vôùi caùc soá thích hôïp ñeå coù theå khöû ñöôïc x (nhaèm tính y) hoaëc khöû ñöôïc y (nhaèm tính x). Toång quaùt: ( a1b2 − a2b1 ) x = c1b2 − b1c2  Heä (*) ⇔  ( a1b2 − a2b1 ) y = a1c2 − a2 c1  Giaûi Phöông phaùp Gau-xô Nhaân phöông trình (2) cho –4 roài coäng vôùi phöông trình (1). ta coù: 17
  18. 4x + 7y = 1 4x + 7y = 1 y = 3 x = −5  ⇔ ⇔  ⇔ x − 3y = −14  19y = 57 4x + 7.3 = 1  y = 3 Taäp nghieäm: S = {( −5; 3)} Phöông phaùp coäng ñaïi soá: 12x + 21y = 3 Ñeå tính x: Heä (*) ⇔  ⇒ 19x = −95 ⇔ x = −5 7x − 21y = −98 4x + 7y = 1 Ñeå tính y: Heä (*) ⇔  ⇒ 19y = 57 ⇔ y = 3 −4x + 12y = 56 Taäp nghieäm: S = {( −5; 3)} x − 3y = m Baøi 3: Tìm m ñeå heä phöông trình sau voâ nghieäm  (*) mx + 6y = 1 Giaûi Nhaân (1) cho 2, coäng hai phöông trình cho nhau veá theo veá. x − 3y = m x − 3y = m  ⇔  mx + 6y = 1 ( m + 2) x = 2m + 1 Heä (*) voâ nghieäm khi phöông trình : ( m + 2) x = 2m + 1 voâ nghieäm ⇔ m + 2 = 0 ⇔ m = –2. x + y + z = 2 (1)  Baøi 4: Giaûi heä phöông trình: (*) : x + 2y + 3z = 1 (2) 2x + y + 3z = −1 (3)  Giaûi Nhaân (1) vôùi –1, coäng vôùi (2) veá theo veá. Nhaân (1) vôùi –2, coäng vôùi (3) veá theo veá. x + y + z = 2  (*) ⇔  y + 2z = −1 (4)  y−z=5 (5)  Nhaân (5) vôùi 2, coäng vôùi (4) veá theo veá. Ta ñöôïc: x + y + z = 2  (*) ⇔  y + 2z = −1  3z = −6  Ta coù: z = –2. Theá ngöôïc leân treân, suy ra: y = 3 vaø x = 1. Vaäy Taäp nghieäm cuûa heä laø S = {(1; 3; − 2)} 18
  19. BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ Baøi 1: Giaûi phöông trình 2x – y = 0. 7x − 11y = 36 Baøi 2: Giaûi heä phöông trình:  x − 3y = 8 mx + y = 2 Baøi 3: Tìm m ñeå heä phöông trình sau voâ nghieäm  (*) x − y = 3 x + y + z = 11  Baøi 4: Giaûi heä phöông trình: (*) 2x − y + z = 5 3x + 2y + z = 24  Höôùng daãn vaø ñaùp soá Baøi 1: Giaûi phöông trình 2x – y = 0. Phöông trình coù voâ soá ngheäim.  y x ∈ ℝ x = 1 Nghieäm coù theå bieåu dieãn ôû hai daïng:  hoaëc  2 y = 2x y ∈ ℝ  1 O Bieåu dieãn hình hoïc cuûa taäp nghieäm laø ñöôøng thaúng (d): y = 2x. 7x − 11y = 36 Baøi 2: Giaûi heä phöông trình  x − 3y = 8 7x − 11y = 36 7x − 11y = 36 x = 2 Phöông phaùp Gau-xô:  ⇔  ⇔  x − 3y = 8  10y = −20  y = −2 mx + y = 2  mx + y = 2 Baøi 3:  ⇔  x − y = 3 ( m + 1) x =5 Heä phöông trình voâ nghieäm khi m + 1 = 0 ⇔ m = –1. x + y + z = 11 x + y + z = 11 x + y + z = 11 x = 4     Baøi 4: 2x − y + z = 5 ⇔  3y + z = 17 ⇔  3y + z = 17 ⇔ y = 5 3x + 2y + z = 24  y + 2z = 9  5z = 10 z = 2     Vaäy Taäp nghieäm cuûa heä laø S = {( 4; 5; 2)} CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM 1– Caëp soá naøo ñöôïc cho sau ñaây laø nghieäm cuûa phöông trình 2x − 3y − 1 = 0 ? A. (1; 1) B. ( 2; 1) C. ( 3; 2) D. (1; 2) E. Khoâng coù caëp soá naøo laø nghieäm 19
  20. 2– Caëp soá (1; 2) laø nghieäm cuûa phöông trình naøo ñöôïc cho sau ñaây ? A. 4x + 3y – 2 = 0 B. –4x – 3y + 2 = 0 C. 4x – 3y + 2 = 0 D. 4x – 3y – 2 = 0 E. 4x + 3 y + 2 = 0 3– Haõy noái lieân keát moãi phöông trình ñöôïc cho ôû coät (I) vôùi nghieäm cuûa noù ñöôïc cho ôû caëp (II). Phöông trình Nghieäm 1 x – 2y + 1 = 0 (1; 3) A 2 2x – y + 1 = 0 (1; 0 ) B 3 x + 2y – 1 = 0 (1; 1) C 4 x – 2y – 1 = 0 ( −1; − 3) D 5 2x – y – 1 = 0 ( 3; 1) E 4– Phöông trình 3x + 4y − 1 = 0 coù taäp nghieäm laø taäp naøo sau ñaây ? x ∈ ℝ  1+ 4y  x = A.  3x + 1 B.  3 y = 4  y ∈ ℝ  x ∈ ℝ  4y − 1  x = C.  3x − 1 D.  3 y = 4  y ∈ ℝ  x ∈ ℝ  E.  1− 3x y = 4  Cho phöông trình m ( m − 1) x + ( m2 − 1) y + m − 1 = 0 .Duøng giaû thieát naøy ñeå traû lôøi caùc caâu 5, 6, 7. 5– Khi m = 0. Nghieäm cuûa phöông trình laø: A. Caëp soá ( x ; 1) , x ∈ ℝ . B. Caëp soá ( x ; − 1) , x ∈ ℝ . C. Caëp soá ( −1; y ) , y ∈ ℝ . D. Caëp soá (1; y ) , y ∈ ℝ . E. Phöông trình voâ nghieäm. 6– Khi m = 1. Taäp nghieäm cuûa phöông trình laø: A. Taäp hôïp roãng. B. Taäp caùc caëp soá ( x ; 0 ) , vôùi moïi x ∈ ℝ. C. Taäp caùc caëp soá ( 0; y ) , vôùi moïi y ∈ ℝ. D. Taäp caùc caëp soá ( x ; y ) , vôùi moïi x, y ∈ ℝ. E. Moät taäp hôïp khaùc. 20
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản