Phương trình và hệ phương trình đại số nâng cao - Trần Xuân Bang

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

3
1.268
lượt xem
662
download

Phương trình và hệ phương trình đại số nâng cao - Trần Xuân Bang

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình và hệ phương trình đại sô nâng cao được biến soạn theo cơ sở Cấu trúc Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành, giúp các em có cách nhìn toàn diện về kiến thức và kĩ năng cần nắm vững trước khi bước vào Kì thi với tâm thế vững vàng nhất. Tác giả hi vọng tài liệu này sẽ là tài liệu bổ ích cho các em học sinh lớp 12, trước hết là các học sinh lớp Ôn thi Đại học. Chúc...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương trình và hệ phương trình đại số nâng cao - Trần Xuân Bang

  1. Phương trình và hệ phương trình đại số nâng cao
  2. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình PHƯƠNG TRÌNH VÀ H PHƯƠNG TRÌNH ð I S I. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0. * Các bư c gi i và bi n lu n: i) a = 0 = b : M i x là nghi m a = 0 ≠ b : Vô nghi m ii) a ≠ 0 : Phương trình g i là phương trình b c nh t, có nghi m duy b nh t: x = − a * Nh n xét: Phương trình ax + b = 0 có hơn m t nghi m khi và ch khi m i x là nghi m, khi và ch khi a = b = 0. * Các phương trình chuy n v phương trình ax + b = 0 : 1. Phương trình có n m u: PP Gi i: ð t ðK m u th c khác không. Quy ñ ng, b m u. Gi i phương trình. ð i chi u k t qu v i ñi u ki n. K t lu n nghi m. VD1. Gi i và bi n lu n phương trình: x − 2m 2 x + 1 = 2x −1 4x − m 1 m HD. ðK: x ≠ , x ≠ 2 4 x − 2m 2 x + 1 = ⇔ 4 x 2 − 9mx + 2m 2 = 4 x 2 − 1 ⇔ 9mx = 2m2 + 1 (1) 2x −1 4x − m i) m = 0: (1) vô nghi m 2m 2 + 1 ii) m ≠ 0 : (1) ⇔ x = . 9m 2m 2 + 1 x= là nghi m c a phương trình ñã cho 9m  2m 2 + 1 1  9m ≠ 2  4m 2 + 2 ≠ 9m  4m 2 − 9m + 2 ≠ 0  1  1     m ≠ 2, m ≠ m ≠ ⇔ 2 ⇔ 2 2 ⇔ 2 ⇔ 4 ⇔ 4  2m + 1 ≠ m 8m + 4 ≠ 9m  m ≠ 4   m ≠ ±2  m ≠ ±2    9m  4  1 m ≠ 0, m ≠ 2m 2 + 1 KL: •  4 : x=  m ≠ ±2 9m  1 • m = 0 ∨ m = ∨ m = ±2 : Vô nghi m. 4 VD2. Gi i và bi n lu n phương trình: a b a+b + = ax − 1 bx − 1 (a + b) x − 1 Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 1
  3. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình ax-1 ≠ 0 ax ≠ 1 (1)   HD. ðK: bx-1 ≠ 0 ⇔ bx ≠ 1 (2) (a+b)x-1 ≠ 0 (a+b)x ≠ 1 (3)   Phương trình tương ñương: 2abx − (a + b) a+b ⇔ 2 = abx − (a + b) x + 1 (a + b) x − 1 ⇔ 2ab(a + b) x 2 − (a + b) 2 x − 2abx + (a + b) = ab(a + b) x 2 − (a + b) 2 x + (a + b) ⇔ ab(a + b) x 2 − 2abx = 0 ⇔ x [ ab(a + b) x − 2ab] = 0 x = 0 (4) ⇔  ab(a + b) x − 2ab = 0 (5) i) (4) cho x = 0 là nghi m v i m i a, b. ii) Gi i (5): + a = 0: ∀ x là nghi m c a (5). b = 0: ∀ x là nghi m c a phương trình ñã cho. 1 b ≠ 0 : ∀x ≠ c a phương trình ñã cho. b + b = 0: ∀ x là nghi m c a (5). a = 0: ∀ x là nghi m c a phương trình ñã cho. 1 a ≠ 0 : ∀x ≠ c a phương trình ñã cho. a + a = - b: (5) ⇔ 0x + 2b2 = 0. b = 0: ∀ x là nghi m c a phương trình ñã cho. b ≠ 0 : (5) vô nghi m. Phương trình ñã cho có nghi m x = 0. 2 + a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ∧ a ≠ −b : (5) ⇔ x = . a+b 2 x= là nghi m c a phương trình ñã cho khi ch khi: a+b  2 1 a + b ≠ a   2 1  ≠ ⇔a≠b. a + b b  2 1 a + b ≠ a + b  KL. • a = b = 0: ∀ x 1 • a = 0 ≠ b: ∀x ≠ b 1 • b = 0 ≠ a: ∀x ≠ a Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 2
  4. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình 2 • a ≠ 0, a ≠ 0, a ≠ b, a ≠ - b: x = a+b • a ≠ 0, a ≠ 0, a = b, a = - b: x = 0 * Bài t p luy n t p. (m − 1) x (m − 1) x + 1 Bài 1. Gi i và bi n lu n theo m phương trình : − =0 x+3 x−m ax + b x − b Bài 2. Gi i và bi n lu n theo a, b phương trình : = x−a x+a a b Bài 3. Gi i và bi n lu n theo a, b phương trình : = x−b x −a ax − 1 b a( x 2 + 1) Bài 4. Gi i và bi n lu n theo a, b phương trình : + = 2 x −1 x +1 x −1 Bài 5. Gi i và bi n lu n theo a, b phương trình : x−a x − a −1 x−b x − b −1 − = − x − a −1 x − a − 2 x − b −1 x − b − 2 a−x b−x a+ x b+ x Bài 6. Gi i và bi n lu n theo a, b phương trình : + = + . a+ x b+ x a−x b−x 2. Phương trình có giá tr tuy t ñ i. D ng 1. f ( x) = g ( x)  f ( x) = g ( x) PP Gi i: Phương trình tương ñương   f ( x) = − g ( x) D ng 2. f ( x) = g ( x) PP Gi i:   f ( x ) = g ( x)  g ( x) ≥ 0 Cách 1: Phương trình tương ñương     f ( x) = − g ( x)    g ( x) ≥ 0    f ( x ) = g ( x)  f ( x) ≥ 0 Cách 2: Phương trình tương ñương    − f ( x) = g ( x)    f ( x) ≤ 0  V n ñ là ch , cách 1, ta ph i gi i b t phương trình g ( x) ≥ 0 ; cách 2, ta ph i gi i b t phương trình f ( x) ≥ 0 . Tuỳ thu c vào b c c a f(x) hay g(x) ñ l a ch n thích h p. D ng 3. Nhi u giá tr tuy t ñ i. Ta phá giá tr tuy t ñ i theo ñ nh nghĩa, và gi i phương trình trên t ng t p con. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 3
  5. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình VD. Gi i phương trình 2 x − 1 + 3 − x − 2 2 x + 3 = 10 1 3 HD. 2 x − 1 = 0 ⇔ x = ; 3 − x = 0 ⇔ x = 3; 2 x + 3 = 0 ⇔ x = − 2 2 3 1 − 3 2 2 2x −1 1 - 2x 1 - 2x 2x - 1 2x - 1 3− x 3-x 3-x 3-x x-3 2 2x + 3 - 4x - 6 4x + 6 4x + 6 4x + 6 VT x + 10 - 7x - 2 - 3x - 4 - x - 10 3 i) x ≤ − : x + 10 = 1 ⇔ x = - 9 : Tho 2 3 1 3 ii) − < x < : - 7x - 2 = 1 ⇔ x = − : Tho 2 2 7 1 5 3i) ≤ x ≤ 3 : - 3x - 4 = 1 ⇔ x = − : Không tho 2 3 4i) x > 3 : - x - 10 = 1 ⇔ x = - 11: Không tho 3. Phương trình có căn th c. D ng 1. f ( x) = g ( x)  f ( x) = g ( x) Bi n ñ i tương ñương f ( x) = g ( x) ⇔  ("hay" ñây  f ( x) ≥ 0 (hay g(x) ≥ 0) có nghĩa là s thay th , l a ch n m t trong hai, l a ch n b t phương trình ñơn gi n hơn) D ng 2. f ( x) = g ( x)  f ( x) = g 2 ( x) Bi n ñ i tương ñương f ( x) = g ( x) ⇔   g ( x) ≥ 0 D ng 3. Nhi u căn th c không thu c các d ng trên. • Bình phương hai v nhi u l n theo nguyên t c: A ≥ 0, B ≥ 0 : A ≥ B ⇔ A2 ≥ B 2 A ≤ 0, B ≤ 0 : A ≥ B ⇔ A2 ≤ B 2 Ngoài phương pháp bi n ñ i tương ñương nói trên, các phương trình chuy n v b c nh t có th gi i b ng cách bi n ñ i v tích,ñ t n ph hay s d ng các phương pháp khác (Xem Phương trình không m u m c) VD. Gi i phương trình: x + x + 1 = 1 (XBang) HD. Cách 1(Bi n ñ i tương ñương): x+ x +1 = 1 ⇔ x +1 = 1− x Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 4
  6. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình   x + 1 = (1 − x) 2   x + 1 = 1 − 2 x + x2  (  x 1+ 2 x − x x = 0 ) ⇔ ⇔ ⇔ 1 − x ≥ 0  1 − x ≥ 0  x ≤ 1  x = 0 x = 0    ⇔  1 + 2 x − x x = 0 ⇔   x = −1, x = 1 ± 5 ⇔ x = 0    x ≤ 1  2   0 ≤ x ≤ 1 Cách 2(Bi n ñ i tương ñương): 2 2 1 1  1  1 x+ x +1 = 1 ⇔ x + x + = x +1− x +1 + ⇔  x +  =  x +1 −  4 4  2  4 Cách 3(Bi n ñ i v d ng tích): x+ x + 1 = 1 ⇔ x − ( x + 1) + x + x +1 = 0 ⇔ ( x+ x +1 )( x− x +1 +1 = 0) Cách 4(ð t n ph ):  y = x +1  ð t y= x +1 ⇒  ⇒ y−x= x + y ⇔ ( x+ y )( ) y − x −1 = 0 x = 1− y  II. PHƯƠNG TRÌNH ax2 + bx + c = 0. 1. Các bư c gi i và bi n lu n. i) a = 0: Phương trình tr thành: bx + c = 0 b = 0 = c : M i x là nghi m b = 0 ≠ c : Vô nghi m b ≠ 0 : Phương trình tr thành phương trình b c nh t, có c nghi m duy nh t: x = − b ii) a ≠ 0: Phương trình ñã cho g i là phương trình b c hai. 2 2 1  ∆ = b − 4ac, ∆ ' =  b  − ac 2  • ∆ < 0 ( ∆ ' < 0): Phương trình vô nghi m. • ∆ = 0 ( ∆ ' = 0): Phương trình có hai nghi m b ng nhau b x=− 2a • ∆ > 0 ( ∆ ' > 0): Phương trình có hai nghi m phân bi t:  1  − b ± ∆' −b ± ∆  2    x1,2 = = 2a a * Nh n xét: Phương trình ax2 + bx + c = 0 có hơn hai nghi m khi và ch khi m i x là nghi m, khi và ch khi a = b = c = 0. 2. D u các nghi m c a phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0). Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 5
  7. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình c b ð tP= ,S= − a a • P < 0: Phương trình có hai nghi m x1 < 0 < x2 ∆ ≥ 0 0 < x1 ≤ x2 • ⇔ P > 0  x1 ≤ x2 < 0 ∆ ≥ 0  • 0 < x1 ≤ x2 ⇔  P > 0 , S > 0  ∆ ≥ 0  • x1 ≤ x2 < 0 ⇔  P > 0 S < 0  *** Chú ý: i) P = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = S P < 0   x1 < 0 < x2 P < 0   x1 < 0 < x2 ii)  ⇔ ;  ⇔ S > 0  x1 < x2  S < 0  x1 > x2  S = 0 3i)  ⇔ x1 = − x2 ∆ ≥ 0 4i) Các d u hi u c n, nhi u khi r t c n cho vi c xét d u các nghi m: i S < 0 : N u phương trình có nghi m thì có ít nh t m t nghi m âm. i S > 0 : N u phương trình có nghi m thì có ít nh t m t nghi m dương VD. Tìm t t c các giá tr m sao cho phương trình sau có không ít hơn 2 nghi m âm phân bi t: x 4 + mx3 + x 2 + mx + 1 = 0 . HD. Th y ngay x = 0 không tho phương trình. Chia hai v c a phương trình cho x 2 ≠ 0 : 1 1 1  1 x 2 + mx + 1 + m + 2 = 0 ⇔ x 2 + 2 + m  x +  + 1 = 0 (1) x x x  x 1 ð t x + = X ⇒ x 2 − Xx + 1 = 0 (2) x 1 ⇒ x 2 + 2 = X 2 − 2, X ≥ 2 x (1) tr thành X 2 + mX − 1 = 0 (3) (3) có hai nghi m trái d u v i m i m. V i X ≥ 2 thì (2) có hai nghi m cùng d u, nên ñ có nghi m âm thì X < 0 Suy ra X < -2. Tóm l i phương trình (3) ph i có hai nghi m X 1 < −2 < 0 < X 2 N u ñư c dùng ñ nh lý ñ o v d u c a tam th c b c hai thì c n và ñ là: Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 6
  8. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  f (−2) < 0 3  2 ⇔ 3 − 2m < 0 ⇔ m >  f ( X ) = X + mX − 1 2 Nhưng chương trình hi n hành không có ñ nh lý ñ o v d u c a tam th c b c hai, nên: Cách 1: ð t X + 2 = Y ⇒ Y < 0: X 2 + mX − 1 = 0 ⇔ (Y − 2)2 + m(Y − 2) − 1 = 0 ⇔ Y 2 + (m − 4)Y + 3 − 2m = 0 3 Phương trình này có hai nghi m trái d u ch khi 3 - 2m < 0 ⇔ m > . 2 1− X 2 Cách 2: X + mX − 1 = 0 ⇔ m = 2 X 2 1− X −2 X − 1 + X 2 − X 2 − 1 2 ð t f (X ) = ⇒ f '( X ) = = < 0, ∀X ≠ 0 . X X2 X2 x -∞ -2 2 +∞ f '(X) - - +∞ - 3 2 f(X) 3 2 -∞ 3 Th y ngay phương trình có nghi m X < - 2 khi ch khi m > . 2 3. So sánh nghi m c a phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) v i m t s th c khác không. 3.1. N u dùng ñ nh lý ñ o v d u c a tam th c b c hai. ð t f(x) = ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) af(α )0 α < x1 ≤ x2  ⇔ ∆ ≥ 0  x1 ≤ x2 < α   af(α )>0 af(α )>0   ∆ ≥ 0 ⇔ α < x1 ≤ x2 ; ∆ ≥ 0 ⇔ x1 ≤ x2 < α S S  >α 
  9. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình ∆ = 0  f (α ) = 0   f (β ) = 0   • f (α ) f ( β ) < 0 • • • b  S − α ∉ [α ; β ]   S − β ∉ [α ; β ]  − 2a ∈ [α ; β ]  ∆ > 0  af (α ) ≥ 0 C n và ñ ñ   •  af ( β ) ≥ 0 f(x) có ñúng 2 nghi m thu c [α ; β ] :  S α < < β   2 • f (α ) f ( β ) ≤ 0  N u không c n ph i tách b ch như th  ∆ ≥ 0 thì c n và ñ ñ f(x) có nghi m thu c [α ; β ] :  af (α ) ≥ 0 •    af ( β ) ≥ 0   S  α ≤ ≤ β   2 3.1.2. f(x) có nghi m thu c (α ; β ) : C n và ñ ñ f(x) có ñúng 1 nghi m thu c (α ; β ) là m t trong b n ñi u ki n: ∆ = 0  f (α ) = 0   f (β ) = 0   • f (α ) f ( β ) < 0 • • • b  S − α ∈ (α ; β )   S − β ∈ (α ; β )   − 2 a ∈ (α ; β )  ∆ > 0  af (α ) > 0   C n và ñ ñ •  af ( β ) > 0 f(x) có ñúng 2 nghi m thu c (α ; β ) là :  α < S < β   2 3.1.3. f(x) có nghi m thu c (α ; +∞ ) : C n và ñ ñ f(x) có ñúng 1 nghi m thu c (α ; +∞ ) là m t trong ba ñi u ki n: ∆ = 0  f (α ) = 0  • af (α ) < 0 • • b S − α > α  − 2a > α  Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 8
  10. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  ∆ > 0  C n và ñ ñ f(x) có ñúng 2 nghi m thu c (α ; +∞ ) : •  af (α ) > 0  S α < < β  2 3.1.4. f(x) có nghi m thu c [α ; +∞) : C n và ñ ñ f(x) có ñúng 1 nghi m thu c [α ; +∞) là m t trong ba ñi u ki n: ∆ = 0  f (α ) = 0  • af (α ) < 0 • • b S − α < α  − 2a ≥ α   ∆ > 0  C n và ñ ñ f(x) có ñúng 2 nghi m thu c [α ; +∞) : •  af (α ) ≥ 0  S α < < β  2 3.1.5. f(x) có nghi m thu c ( −∞;α ) : C n và ñ ñ f(x) có ñúng 1 nghi m thu c ( −∞;α ) là m t trong ba ñi u ki n: ∆ = 0  f (α ) = 0  • af (α ) < 0 • • b S − α < α  − 2a < α   ∆ > 0  C n và ñ ñ f(x) có ñúng 2 nghi m thu c ( −∞;α ) : •  af (α ) > 0 S  α  − 2a ≤ α   ∆ > 0  C n và ñ ñ f(x) có ñúng 2 nghi m thu c (−∞;α ] : •  af (α ) ≥ 0 S 
  11. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình 3.2. N u không dùng ñ nh lý ñ o v d u c a tam th c b c hai. • Phương pháp t t nh t là kh o sát s bi n thiên c a hàm s (xem VD ph n trên) • N u ch so sánh nghi m v i m t s th c α khác không thì có th ñ t y=x-α. VD. Tìm a ñ phương trình sau có hơn 1 nghi m thu c  0;  : π   2 2 (1 − a) tan 2 x − + 1 + 3a = 0 cos x 2  1  2 HD. (1 − a) tan 2 x − + 1 + 3a = 0 ⇔ (1 − a)  2 − 1 − + 1 + 3a = 0 cos x  cos x  cos x 1 2 ⇔ (1 − a) 2 − + 4a = 0 (1) cos x cos x 1 ð t = X ⇒ X ∈ (1; +∞) cos x (1) ⇔ (1 − a) X 2 − 2 X + 4a = 0 (2) Phương trình ñã cho có hơn m t nghi m thu c  0;  ⇔ phương trình (2) có  π   2 hai nghi m X ∈ (1; +∞) . Cách 1. ð t X - 1 = Y > 0 : (2) tr thành (1 − a)(Y + 1) 2 − 2(Y + 1) + 4a = 0 ⇔ (1 − a)Y 2 − 2aY + 3a − 1 = 0 (3) a ≠ 1 1 − a ≠ 0  2  1 ∆ ' > 0  4a − 4 a + 1 > 0 a ≠ 2 (3) có hai nghi m dương ⇔    ⇔ 3a − 1 > 0  ⇔ P > 0  1 < a < 1   2a 3  S > 0 >0 1 − a  Cách 2. Không ph i khi nào cũng có th nh n ra X = 2 là m t nghi m c a (2). Nhưng n u nh n ra ñư c thì: 2 2a V i a ≠ 1 thì nghi m kia là −2= . 1− a 1− a  2a 1 1 − a > 1  3a − 1  < a 0  ⇔  1− a ⇔   2a ≠ 2 2a ≠ 1  a ≠ 1 1 − a    2 • Có th dùng phương pháp ph n bù: Tìm các giá tr tham s ñ phương trình có nghi m thì ta tìm các giá tr làm cho phương trình vô nghi m. VD. Tìm t t c các giá tr m ñ phương trình sau có nghi m: x 4 + 4 x3 + 2mx 2 + 4 x + 1 = 0 Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 10
  12. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình HD. Phương trình ñã cho tương ñương v i :  X 2 + 4 X + 2m − 2 = 0 (1)  2  x − Xx + 1 = 0 (2) X ≥2 (3)  Phương trình ñã cho có nghi m khi và ch khi phương trình (1) có nghi m tho (3) Ta tìm t t c các giá tr m ñ phương trình (1) không có nghi m tho (3). ði u này ch khi phương trình (1) vô nghi m ho c có hai nghi m thu c (- 2 ; 2) i) Phương trình (1) vô nghi m ⇔ 4 − 2m + 2 < 0 ⇔ m > 3 ii) Phương trình (1) có hai nghi m thu c (- 2 ; 2). Trư ng h p này không b x y ra vì − = - 2 không thu c kho ng (- 2 ; 2). Suy lu n này khá hay: N u 2a b hai nghi m thu c kho ng (- 2 ; 2) thì − = - 2 thu c kho ng (- 2 ; 2).Vô lý. 2a B nh ng m > 3 ta còn t t c các giá tr c n tìm là m ≤ 3 . ** B n nên luôn luôn hư ng t i vi c dùng ñ o hàm ñ kh o sát phương trình n u có th thì b n s tránh ñư c nhi u r c r i. Các phương trình chuy n v b c hai, tương t như ñã nói v các phương trình chuy n v b c nh t. VD. Gi i phương trình x 2 + x + 7 = 7 HD. Cách 1(Bi n ñ i tương ñương) 2 2 2 1 2 1  1  1 x + x+7 = 7 ⇔ x + x+ = x+7− x+7 + ⇔x+  = x+7 −  4 4  2  2 Cách 2(Bi n ñ i v d ng tích) x 2 + x + 7 = 7 ⇔ x 2 − ( x + 7) + ( x + x + 7 ) = 0 ⇔ ( x + x + 7)( x − x + 7 + 1) = 0 Cách 3(ð t n ph , ñưa v h phương trình)  y2 = x + 7 ð t y = x+7 ⇒   2 ⇒ y 2 − x 2 = x + y ⇔ ( x + y )( y − x − 1) = 0 x = 7 − y  * Bài t p luy n t p. Bài 1. Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghi m x1 , x2 . ð t S = x1n + x2n . Ch ng minh: aSn + bS n−1 + cSn −−2 = 0, (n ≥ 3) Bài 2. Cho phương trình x 2 + 2mx + 4 = 0 . a) Tìm m ñ phương trình có hai nghi m không âm x1 , x2 . Khi ñó tính theo m: M = x1 + x2 , N = x1 − x2 b) Tìm m ñ phương trình có hai nghi m x1 , x2 sao cho: x14 + x24 ≤ 32 Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 11
  13. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Bài 3. Tìm nghi m (x; y) sao cho y l n nh t: x 2 − yx 2 − y + 8 x + 7 = 0 Bài 4. Bi t r ng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có ñúng m t nghi m dương ( g i là x1 ). Ch ng minh r ng phương trình cx 2 + bx + a = 0 có ñúng m t nghi m dương ( g i là x2 ), ñ ng th i : x1 + x2 ≥ 2. Bài 5. G i x0 là nghi m c a phương trình ax 2 + bx + c = 0 . Ch ng minh: b c  x0 < 1 + max  ;  , a ≠ 0. a a 2 Bài 6. Cho phương trình (1 − a) tan 2 x − + 1 + 3a = 0 cos x 1 a) Gi i phương trình khi a = . 2 b) Tìm t t c các giá tr a ñ phương trình có hơn m t nghi m thu c kho ng  0;  π   2 Bài 7. Tìm t t c các giá tr m ñ phương trình sau có nghi m: ( x 2 − 1)( x + 5)( x + 3) − m = 0 Bài 8. Tìm t t c các giá tr m ñ phương trình sau có nghi m: x − 1 ( x − 2) + m = 0 Bài 9. Tìm t t c các giá tr p ñ phương trình sau có nghi m: 4 x2 2 px 2 4 + 2 + 1 − p2 = 0 1+ 2x + x 1+ x Bài 10. Gi i và bi n lu n theo m phương trình: x2 + x + m = − x2 + x + 2 Bài 11. Tìm t t c các giá tr m ñ phương trình sau có nghi m duy nh t: lg mx =2 lg( x + 1) Bài 12. Tìm t t c các giá tr m ñ phương trình sau có nghi m: ( x + 2) 4 + x 4 = m Gi i phương trình khi m = 82. Bài 13. Tìm t t c các giá tr m ñ phương trình sau có nghi m: 2 x 4 − 3 x 3 + mx 2 − 3 x + 2 = 0 III. PHƯƠNG TRÌNH ax + by + c = 0. a = b = c = 0: M i (x; y) là nghi m. a = b = 0 ≠ c: Vô nghi m. c a = 0, b ≠ 0: x tuỳ ý; y = − b Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 12
  14. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình c a ≠ 0, b = 0: x = - , y tuỳ ý. a ax c by c a ≠ 0, b ≠ 0: x tuỳ ý, y = − − (hay x = − − , y tuỳ ý) b b a a IV. H PHƯƠNG TRÌNH B C NH T HAI N.  ax + by = c D ng   a'x + b'y = c' Phương pháp gi i: 1. Phương pháp th . 2. Phương pháp c ng ñ i s . 3. Dùng máy tính b túi. 4. Phương pháp ñ nh th c Crame. (m − 1) x + y = m VD. Gi i và bi n lu n theo m h phương trình:  mx + (m − 1) y = m HD. m −1 1 m 1 m −1 m D= = m 2 − 2m; Dx = = m 2 − 2m; Dy = = m 2 − 2m 1 m-1 m m-1 1 m i) D ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 ∧ m ≠ 2 : x = y = 1 ii) m = 0: D = Dx = Dy = 0 ⇒ H tương ñương v i m t phương trình: x - y = 0 x = t ⇔  y = t; t ∈ R iii) m = 2: D = Dx = Dy = 0 ⇒ H tương ñương v i m t phương trình: x + y +2 = 0 x = t ⇔  y = −2 − t ; t ∈ R * Bài t p luy n t p. Bài 1. Cho h phương trình: mx + 4 y = m2 + 4   x + (m + 3) y = 2m + 3 a) V i giá tr nào c a m rthì h có nghi m duy nh t và nghi m ñó tho x≥ y. b) V i m tìm ñư c a), tìm min(x + y). Bài 2. Cho h phương trình: ax + y = 1 − a  2  x + ay = 1 − a V i giá tr nào c a a rthì h có nghi m (x ; y) tho 2x + y > 0. Bài 3. Tìm b sao cho v i m i a h sau có nghi m: Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 13
  15. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  x + 2ay = b  2 ax + (1 − a) y = b Bài 4. Cho h phương trình: (2a − 1) x − y = 1   x + (1 + a) y = −1 1 Gi i h khi a =0, a = - . 2 Bài 5. Gi i và bi n lu n theo a, b h phương trình:  ( a + b) x + ( a − b) y = a  (2a − b) x + (2a + b) y = b Bài 6. Gi i và bi n lu n theo a h phương trình: 6ax + (2 − a) y = 3  (a − 1) x − ay = 2 G i (x; y) là nghi m. Tìm h th c liên h x, y không ph thu c a. Bài 7. Cho h phương trình: ax + y = b  2  x + ay = c + c a) V i b = 0, gi i và bi n lu n h theo a và c. b) Tìm b sao cho v i m i a, luôn tìm ñư c c ñ h có nghi m. Bài 8. Bi t r ng h phương trình sau có nghi m: ax + by = c  bx + cy = a cx + ay = b  Ch ng minh a 3 + b3 + c3 = 3abc . V. H PHƯƠNG TRÌNH B C CAO. 1. H có m t phương trình b c nh t. Phương pháp: PP th (Rút x ho c y t phương trình b c nh t thay vào phương trình b c hai) VD. Cho h phương tr×nh  x 3 − y 3 = m( x − y )  x + y = 1 1) Gi i h khi m = 3. 2) Tìm m ñ h có 3 nghi m (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3)sao cho x1; x2; x3 l p thành m t c p s c ng. HD. H ñã cho tương ñương: ( x − y ( x 2 + y 2 + xy ) = m( x − y ) ( x − y ( x 2 + y 2 + xy − m) = 0  ⇔ x + y = 1 x + y = 1 Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 14
  16. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  x − y = 0  1  x = y = − 2 x + y = 1 ⇔ 2    x + y 2 + xy − m = 0 ⇔   y = −1 − x    x 2 + (−1 − x)2 + x(−1 − x) − m = 0  x + y = 1    1 x = y = − 2 (1) ⇔   y = −1 − x 2)   2  x + x + 1 − m = 0 (3) * Bài t p luy n t p. Bài 1. Gi i h phương trình: x − 2 y +1 = 0  2 2  x − y + xy − 1 = 0 Bài 2. Cho h phương trình: x + y = m +1  2 2 2  x y + xy = 2m − m − 3 a) Gi i h khi m = 3. b) Ch ng minh h có nghi m v i m i m. (ðHQuy Nhơn - A99) Bài 3. Gi i và bi n lu n theo a h phương trình: x y  + =a y x (HVQHQT - D97) x + y = 8  Bài 4. Gi i và bi n lu n theo m h phương trình: x − y = m   (ðH ðà N ng- B98) 2 y + xy = 0  Bài 5. Cho h phương trình: x + y = m  2 ( x + 1) y + xy = m( y + 2) a) Tìm m ñ h có hơn hai nghi m. b) Gi i h khi m = 4 (ðHQG Thf HCM- A97) Bài 6. Cho bi t h phương trình sau có nghi m v i m i b: a( x 2 + y 2 ) + x + y = b  y − x = b Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 15
  17. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Ch ng minh a = 0. (ðH Lu t HN - A97) 2. H phương trình ñưa ñư c v d ng tích. Phương pháp: D ng 1.   F ( x, y ) = 0   F ( x, y ).G ( x, y ) = 0   H ( x, y ) = 0  ⇔  G ( x, y ) = 0  H ( x, y ) = 0    H ( x, y ) = 0  D ng 2.   F ( x, y ) = 0    H ( x, y ) = 0   F ( x, y ) = 0   F ( x, y ).G ( x, y ) = 0   K ( x, y ) = 0  ⇔  H ( x, y ).K ( x, y ) = 0 = 0  G ( x, y ) = 0    H ( x, y ) = 0   G ( x, y ) = 0   K ( x, y ) = 0  VD 1. Gi i h phương trình:  x 2 − 5 xy + 6 y 2 = 0   2 2 2 x + y = 1   x − 2 y = 0  2 2 ( x − 2 y )( x − 3 y ) = 0  2 x + y = 1 H ñã cho tương ñương  2 2 ⇔ 2 x + y = 1 x − 3y = 0  2 x 2 + y 2 = 1  VD 2. Gi i h phương trình: log 4 ( x 2 + y 2 ) − log 4 2 x + 1 = log 4 ( x + 3 y ) log 4 4( x 2 + y 2 ) = log 4 2 x( x + 3 y )    2 x ⇔ x 2 log 4 ( xy + 1) − log 4 (4 y + 2 y − 2 x + 4) = log 4 y − 1 log 4 4( xy + 1) = log 4 y (4 y + 2 y − 2 x + 4)   4( x 2 + y 2 ) = 2 x( x + 3 y )   2 2  x − 3 xy + 2 y = 0 ( x − y )( x − 2 y ) = 0 ⇔ x 2 ⇔ ⇔ 4( xy + 1) = y (4 y + 2 y − 2 x + 4) ( x − y )( y − 2) = 0 2 2 y = xy − x + 2 x   Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 16
  18. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  x − y = 0   x − y = 0  x − y = 0 x = y  x = y = 2  x = y  y − 2 = 0  ⇔ ⇔  x = y = 0 ⇔  x = 4  x − 2 y = 0    x = 4   y = 2  x − y = 0    y = 2  x − 2 y = 0  y − 2 = 0  3. H phương trình ñ i x ng lo i 1.  f ( x, y ) = 0 Là h phương trình d ng  trong ñó vai trò c a x, y trong t ng  g ( x, y ) = 0 phương trình và do ñó trong h phương trình như nhau:  f ( x, y ) = f ( y , x )   g ( x, y ) = g ( y, x ) Th y ngay (x; y) là nghi m khi và ch khi (y; x) là nghi m. Cách gi i: • D ng 1. Thông thư ng ngư i ta ñ t n ph : S = x + y, P = xy Ví d : Gi i h :  x 2 y + xy 2 = 6   xy + x + y = 5 ð t S = x + y; P = xy và h ñã cho tr thành: S = 2  x + y = 2    SP = 6   P = 3 ⇔   xy = 3 ⇒ nghi m (1,2); (2,1)  ⇔ S = 3  x + y = 3 S + P = 5    P = 2    xy = 2  • D ng 2. Bi n ñ i h v ϕ ( x) + ϕ ( y ), ϕ ( x).ϕ ( y ) . ð t S = ϕ ( x) + ϕ ( y ), P = ϕ ( x).ϕ ( y )  xy + x + y = 5 Ví d 1: Gi i h phương trình   3 3 (XB) ( x + 1) + ( y + 1) = 35  ( x + 1)( y + 1) = 6 H tương ñương   3 [ ( x + 1) + ( y + 1)] − 3[ ( x + 1) + ( y + 1)] ( x + 1)( y + 1) = 35  ð t S = (x + 1) + (y + 1); P =(x +1)(y + 1) h phương trình tr thành: Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 17
  19. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  P = 6 S = 5 x = 3 x = 2  =>  =>  ∨  S ( S − 3 P ) = 35 2  P = 6 y = 2 y = 3  x + y + x2 + y 2 = 8 Ví d 2:   xy ( x + 1)( y + 1) = 12 S = x + y S 2 + S − 2P = 8 N uñ t:  , ta thu ñư c h sau:  là m t h ph c t p.  P = xy  P( P + S + 1) = 12  x( x + 1) + y ( y + ) = 8 Ch c n bi n ñ i h thành   x( x + 1). y ( y + 1) = 12 ð t: S = x(x + 1), P = y(y + 1) H ñã cho tương ñương v i : S + P = 8 S = 6 S = 2  =>  ∨  SP = 12 P = 2 P = 6 Như v y (x, y) là nghi m c a các phương trình sau: i) x 2 + x = 2 => x1 = 1 ∨ x2 = −2 ii) x 2 + x = 6 => x3 = 2 ∨ x4 = −3 Suy ra nghi m c a h ñã cho là: (1,-2); (-2,1); (2,-3); (-3,2) • D ng 3. H ñã cho không ñ i x ng ñ i v i x, y nhưng ñ i x ng ñ i v i ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) nào ñó. Bi n ñ i h v ϕ ( x, y ) +ψ ( x, y ), ϕ ( x, y ).ψ ( x, y ) . Ví d 1: Gi i h phương trình  x( xy + 1) + y ( xy − 1) = 14  2 2 (XB)  xy ( x − y ) = 24 Th y ngay h không ñ i x ng ñ i v i x,y. Có th c m giác ϕ ( x, y ) = x( xy + 1), ψ ( x, y ) = y ( xy − 1) , ti c r ng không có ñư c ϕ ( x, y ).ψ ( x, y ) .  2 2 ( x y + xy ) + ( x − y ) = 14 Ta bi n ñ i h tương ñương  2 2  x y + xy )( x − y ) = 24  Th y ngay h ñ i x ng ñ i v i ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) trong ñó 2 2 ϕ ( x, y ) = x y + xy = xy ( x + y ), ψ ( x, y ) = x − y .   x 2 y + xy 2 = 12  y = x − 2  y = x − 2     x − y = 2   xy ( x + y ) = 12 ⇔   x( x − 2)(2 x − 2) = 12 H tương ñương:  2 ⇔   y = x − 12   y = x − 12  x y + xy 2 = 2      x − y = 12   xy ( x + y ) = 2    x( x − 12)(2 x − 12) = 2  Ví d 2: Gi i và bi n lu n theo a h phương trình Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 18
  20. Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  1  x − 2y + x + 2y = 5    x + 2y = a  x − 2y  Th y ngay h ñ i x ng ñ i v i ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) trong ñó 1 ϕ ( x, y ) = , ψ ( x, y ) = x + 2 y . Tuy nhiên tính ñ i x ng ñây ch có tính x − 2y 1 tương ñ i vì b n th y ñ y ϕ ( x, y ) = ≠ 0, còn ψ ( x, y ) = x + 2 y thì không có x − 2y ϕ ( x; y ) + ψ ( x; y ) = 5 ñi u ki n gì. Ta có h :  ϕ ( x; y ).ψ ( x; y ) = a Suy ra ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) là nghi m c a phương trình X 2 − 5 X + a = 0 (*) Vì phuơng trình có th có nghi m b ng 0, khi ñó ch có ψ ( x, y ) nh n nghi m ñó thôi. Như th nên ph i xét hai trư ng h p: x + 2 y = 0 x + 2 y = 0 ϕ ( x; y ) + ψ ( x; y ) = 5 ψ ( x; y ) = 0   i) a = 0:  ⇔ ⇔ 1 ⇔ 1 ϕ ( x; y ).ψ ( x; y ) = 0 ϕ ( x; y ) = 5  x − 2 y = 5 x − 2 y = 5   25 ii) a = ≠ 0: Phương trình (*) có nghi m ch khi ∆ = 25 − 4a ≥ 0 ⇔ a ≤ . Hai 4 5 ± 25 − 4a nghi m c a (*) là . 2 H tương ñương v i:  1 5+ 25 − 4a  2 5 − 25 − 4a  =  x − 2 y = =   x − 2 y 2  5+ 25 − 4a 2a  5− 25 − 4a  5− 25 − 4a  x + 2 y =  x + 2 y =  2  2  ⇔   1 = 5 − 25 − 4a  2 5 + 25 − 4a  x − 2 y = =  x − 2 y 2  5− 25 − 4a 2a    5+ 25 − 4a  x + 2 y = 5 + 25 − 4a  x + 2 y =   2   2 Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình và H phương trình ð i s 19

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản