PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Chia sẻ: Anh Dung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:28

0
661
lượt xem
129
download

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'phương trình vi phân cấp 2', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

  1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
  2. BÀI TOÁN CAUCHY Tìm nghiệm của phương trình F(x, y, y’, y”) = 0 (1) hoặc: y” = f(x, y, y’) (2) 0 0 thỏa diều kiện ban đầu : y(x ) = y 0 1 Lưu ý: nghiệm tổng quát của ptvp cấp 2 có 2 hằng số tự do, cần 2 điều kiện để tìm 2 hằng số này. y’(x ) = y
  3. Ví dụ Tìm nghiệm bài toán: y” = x2 (1) y(0) = 1, y’(0) = -2 (2) x3 (1) � y' = + C1 (3) 3 x4 � y= + C1 x + C 2 (4) 12 (2), (3) ⇒ C1 = -2 (2), (4) ⇒ C2 = 1 4 x Vậy nghiệm bài toán là: y= − 2x+1 12
  4. MỘT SỐ PTVP CẤP 2 GIẢM CẤP ĐƯỢC LOẠI 1: pt không chứa y : F(x, y’, y”) = 0 Cách làm: đặt p = y’ đưa về ptvp cấp 1 theo p, x LOẠI 2: pt không chứa x: F(y,y’,y”) = 0 Cách làm: đặt p = y’ đưa về pt cấp 1 theo hàm p và biến y n LOẠI 3: làm:ỏa F(x,ty,ty’,ty”) = t F(x,y,y’,y”) Cách F th đặt y’ = yz đưa về pt theo x, z
  5. Ví dụ 1 / y" = 2 y' Pt không chứa y, đặt y' = p Pt trở thành: p' = 2 p   ( =p'x)    p' ( ) dp Với p ≠ 0 = dx � p = x + C1 2 p 2 � y' = ( x + C1 ) 1 3 � y = ( x + C1 ) + C 2 3 p = 0 ⇔ y’ = 0 ⇔ y = C
  6. 2 / (1 + y2 ) yy" = ( y2 − 1)( y') 2 Pt không chứa x Đặt y’ = p (xem y là dy' dy' dy dp biến) y" = =( =p p == ' p,  (p' ( ) p    =p'y) dx dy dx dy 2 2 2 Pt trở thành: (1 + y ) yp' p = ( y − 1) p Với p ≠ 0: dp y2 − 1 � 2y 1 � = 2 dy = � 2 − �dy p y(1 + y ) � + y y� 1 � py = C1 (1 + y2 ) � y' y = C1 (1 + y )2 ydy 1 2 � 2 = C1dx � ln(1 + y ) = C1x + C 2 1+ y 2
  7. x2 ty ty” – (ty – x ty’)2 x2yy” – (y – xy’)2 = 0 2 Đặt y’ = yz ⇒ y” = y’z + yz’ [x2yy” – (y – xy’)2 ] = t = yz2 + yz’ 2 2 2 Pt trở thành: x y( yz + yz') = ( y − xyz) Với y ≠ 0, chia 2 vế cho y2 2 2 2 2 x ( z + z') = (1 − xz) � x z'+ 2 xz = 1 (Tuyến tính ) C 1 C1 y' 1 C1 − 1 � z= + 2 � = + 2 � y = C 2 xe x x x y x x
  8. PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2 y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) p(x), q(x), f(x) liên tục y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 Phương trình thuần nhất 0 r Cấu trúc nghiệm pt không thuần nhất: y = y + y • y0 là nghiệm tổng quát của pt thuần nhất, • yr là 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất
  9. Nguyên lý chồng chất nghiệm 2 Nếu y và y lần lượt là các nghiệm của pt y” + p(x)y’ + q(x)y = f (x) 2 y” + p(x)y’ + q(x)y = f (x) 1 2 thì y + y là nghiệm của pt 1 2 y” + p(x)y’ + q(x)y = f (x) + f (x)
  10. Giải phương trình thuần nhất 1 2 Nếu y và y là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của pt thuần nhp(x)y’ + q(x)y = 0 y” + ất 0 1 1 2 2 thì nghiệm tổng quát của pt này là Nếu biết trước 1 nghiệm y1 ≠ 0, y2 y ược tìm+như đ =Cy Cy sau − −p( x) dx e y2 = y = 1 dx y2 1
  11. Ví dụ Giải pt: x2y” – xy’ + y = 0, biết pt có 1 nghiệm y1 = x p(x) = – 1/x − −p( x) dx e y2 = y = 1 2 dx y1 − dx −− e x x y2 = x� 2 dx = x� dx = xln | x | 2 x x y0 = C1x + C2xln|x|
  12. Giải pt: (1+x2)y” + 2xy’ – 2y = 4x2 + 2 (k0 t/nhất) biết phương trình có 2 nghiệm y = x2 và y = x + x2 nếu pt k0 t/ nhất có 2 nghiệm y = x2 và y = x + x2 Thì y1 = (x + x2) – x2 là nghiệm của pt thuần nhất 2x − + 2 dx ⇒ y1 = x e 1+ x dx y2 = x� 2 dx = x� x x2 (1 + x2 ) � arctan x − 1 � − xarctan x − 1 y2 = x�− = � � x� y0 = C1x + C2(xarctanx + 1) + x2
  13. PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2 HỆ SỐ HẰNG y” + ay’ + by = f(x) (a, b là hằng số ) Giải pt thuần nhất : y” + ay’ + by = 0 Bước 1: giải phương trình đặc trưng: k2 + ak + b = 0 Bước 2: xác định 2 nghiệm cơ sở (đltt) kx k x  k1, k2 là nghiệm thực phân y = e 1 ,y2 = e 2 1   biệt: kx kx  k là nghiệm kép: y = e ,  y = xe 1  2 α α  k = α ± iβ (phức):y = e x cos β x,  y = e x sin β x 1  2 0 1 1 2 2
  14. Ví dụ 1. y” – 3y’ – 4y = 0, Ptđt: k2 – 3k – 4 = 0 ⇔ k = −1, k = 4 −x 4x −x 4x y = e , y2 = e 1 y = C1e + C 2 e 0 1. y” – 2y’ + y = 0, Ptđt: k2 – 2k + 1 = 0 ⇔ k = 1 (kép) x y = e , y2 = xe 1 x y = C1ex + C 2 xex 0 1. y” – 2y’ + 5y = 0, Ptđt: k2 – 2k + 5 = 0 ⇔ k = 1 ± 2i 1 1 y = e x cos 2 x,  y2 = e x sin 2 x 1   x x y = C1e cos 2 x + C 2 e sin 2 x 0
  15. Tìm nghiệm riêng yr của pt y” + ay’ + by = f(x) Tổng quát: Biến thiên bằng số Trong y0, xem C1 =C1(x), C2 = C2(x), giải hệ +C 1 ( x) y1 + C 2 (x) y2 = 0 ) ( + = + +C 1 ( x) y1 + C 2 (x) y2 = f( x) ) (
  16. Ví dụ y” + 3y’ + 2y = sin(ex) Pt thuần nhất : y” + 3y’ + 2y = 0 Pt đặc trưng: k2 + 3k + 2 = 0 −x −2 x −x −2 x y1 = e , y2 = e � y0 = C 1e + C 2e Xem C1 và C2 là các hàm theo x, giải hệ +C 1 (x)y1 + C 2 (x)y2 = 0 ) ( + = + +C 1 (x)y1 + C 2 (x)y2 = f(x) ) ( −C 1 (x)e− x + C 2 (x)e−2 x = 0 + − + −x −2 x x = + −C 1 (x)(− e ) + C 2 (x)(−2e ) = sin(e ) � C 1 (x) = ex sin(ex ), C 2 (x) = − e2 x sin(ex ) x C
  17. C 1 (x) = ex sin(ex ), C 2 (x) = −e2 x sin(ex ) x C Chọn: C1(x) = −cos(ex), C2(x) = ex cos(ex) – sin(ex) yr = C1(x)y1 + C2(x)y2 yr = −e−x cos(ex) + e−2x [ex cos(ex) – sin(ex)] = −e– 2xsin(ex) −x −2 x y0 = C 1e + C 2e y = y0 + yr = C 1e− x + C 2 e−2 x − e−2 x sin(ex )
  18. PP hệ số bất định tìm yr Áp dụng nếu: f(x) = eαx [Pm(x)cosβ x + Qn(x)sin βx ] Pm, Qn là các đa thức bậc m, n. r • Định dạ β y , s max(m, n) * Nếu α+i ngkhông=là nghiệm pt đặc trưng k2 + ak + b = 0 yr =eαx [Rs(x)cosβ x + Ts(x)sin β x ] • Nếu α+i β là nghiệm bội p của pt đặc trưng (p = 1, 2) yr =xp eαx [Rs(x)cosβ x + Ts(x)sin β x ] Các đa thức R , T được xác định khi thay y vào pt
  19. Lưu ý: 1. Nếu f(x) = eαx : s = 0, β = 0 2. Nếu f(x) = Pm(x): α = 0, β = 0, s = m 3. Nếu f(x) = eαxPm(x): s = m, β = 0 4. Nếu f(x) = eαxPm(x)cosβ x: s = m 5. Nếu f(x) = Pm(x)cos β x: α = 0 Tổng quát : vắng eαx: xem α = 0 vắng cos, sin: xem β = 0 s là bậc của đa thức trong f
  20. VÍ DỤ Ptđt: k2 + 1 = 0 ⇔ k = ± i (1) y” + y = x2 + x y0 = C1cos x + C2sin x f(x) = x2 + x ⇒ α = 0, β = 0, s = 2 ⇒ α + iβ = 0: không là nghiệm ptđt ⇒ yr = Ax2 + Bx + C ⇒ y’r = 2Ax + B, yr” = 2A Thay yr vào (1): 2A + Ax2 + Bx + C = x2 + x, ∀x ⇔ A = 1, B = 1, 2A + C = 0 ⇔ A = 1, B = 1, C = −2 0 r yr = x2 + x – 2 ⇒ y = y + y = C1cos x + C2sin x + x2 + x – 2
Đồng bộ tài khoản