Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 6

Chia sẻ: Thái Duy Ái Ngọc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

185
lượt xem 55
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 113 Ch ng minh. Không gi m t ng quát gi s EXn = 0. Xét bi u di n ph c a Xn π Xn = −π einλ dZ(λ) . Khi đó 1 n Đ t Sn (λ) = Ta có Sn (λ) = Do đó  1  1−einλ n(1−eiλ ) n−1 π X(k) = k=0 −π 1 n 1 n n−1 eikλ dZ(λ) . k=0 n−1 eikλ. k=0 n uλ = 0 , n uλ = 0  1 n u λ = 0 , lim Sn (λ) = n→∞ 0 n uλ = 0 , lim Sn (λ) = I{0}(λ) . hay n→∞ Vì |Sn (λ)|...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 6

2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 113 Ch ng minh. Không gi m t ng quát gi s EXn = 0. Xét bi u di n ph c a Xn π einλ dZ (λ) . Xn = −π Khi đó n −1 n −1 π 1 1 eikλ dZ (λ) . X (k ) = n n −π k =0 k =0 Đt n −1 1 eikλ. S n ( λ) = n k =0  Ta có 1 n uλ = 0 , S n ( λ) =  1−einλ n uλ = 0 n(1−eiλ )  Do đó 1 n u λ = 0 , lim Sn (λ) = 0 n uλ = 0 , n→∞ hay lim Sn (λ) = I{0}(λ) . n→∞ Vì |Sn (λ)| ≤ 1 , ∀λ nên theo đ nh lý h i t b ch n ta có Sn (λ) h i t t i I{0}(λ) trongL2 ([−π, π ], µ) . V y n −1 π π 1 Xk = Sn (λ)dZ (λ) → I{0}(λ)dZ (λ) = Z ({0}) . n −π −π k =0 theo nghĩa bptb. Quá trình d ng (Xn ) đư c g i là ergodic n u n −1 1 Xk → m n k =0
114 Chương 2. Quá trình d ng theo nghĩa bình phưong trung bình trong đó m = EXn . Nói cách khác (Xn ) là ergodic n u trung bình th i gian h i t bptb t i trung bình theo t p h p hay (Xn ) tuân theo lu t s l n. Đ nh lý sau dây cho ta đi u ki n c n và đ d (Xn ) là ergodic thông qua đ đo ph c a nó. Đ nh lý 2.23. Quá trình d ng (Xn ) là ergodic khi và ch khi µ{0} = 0. Ch ng minh. T đ nh lý trên suy ra (Xn ) là ergodic khi và ch khi Z ({0}) = 0 h.c.c. Mà E |Z ({0})|2 = µ{0}. Do đó Z ({0}) = 0 h.c.c khi và ch khi µ{0} = 0 Đ nh lý 2.24. Gi s K (h) là hàm tương quan c a X (n) . Khi đó (Xn ) là ergodic n u và ch n u n −1 1 lim K ( m) = 0 , n→∞ n m=0 t c là K (n) → 0 theo nghĩa trung bình Cesaro khi n → ∞ . Đi u ki n đ đ (Xn ) ergodic là limn→∞ K (n) = 0 . Ch ng minh. Xu t phát t bi u di n ph c a K (h) π einλ dµ(λ) , K ( n) = −π tương t như trong ch ng minh đ nh lý 2.22 ta có n −1 π 1 K ( m) = Sn (λ)dµ(λ) . n m=0 −π Thành th n −1 1 lim K (m) = µ({0}) . n→∞ n m=0 Theo đ nh lý 2.23 ta có đi u ph i ch ng minh. Vì K (n) → 0 kéo theo K (n) → 0 theo nghĩa trung bình Cesaro khi n → ∞ nên ta có đi u ki n đ đ (Xn ) ergodic là limn→∞ K (n) = 0
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 115 Đ nh lý 2.22 là m t trư ng h p riêng c a đ nh lý ergodic trung bình cho toán t unita do nhà toán h c M Von Neuman tìm ra. Đ nh lý 2.25. Cho H là không gian Hilbert và T : H → H là toán t tuy n tính b o toàn tích vô hư ng < T f, T g >=< f, g > ( T đư c g i là m t toán t unita). Khi đó v i m i f ∈ H t n t i n −1 1 ˆ T kf = f . lim n→∞ n k =0 Ch ng minh. Ký hi u HT là không gian con b t bi n c a T . HT = {f ∈ H : T f = f } và H0 là không gian con c a H sinh b i t p M = {g − T g, g ∈ H }. B đ 2.1. T f = f n u và ch n u T ∗f = f Th t v y n u T f = f thì ∀g ∈ H ta có < T ∗f, g >=< f, T g >=< T f, T g >=< f, g > Suy ra T ∗f = f . Ngư c l i n u T ∗f = f thì 2 f − Tf =< f − T f, f − T f > =< f, f > − < f, T f > − < T f, f > + < T f, T f > =< f, f > − < T ∗f, f > − < f, T ∗f > + < f, f >= 0. B đ 2.2. Ta có phân tích sau H = H0 ⊕ HT . ⊥ Th t v y ta c n ch ra HT = H0 . Gi s f ∈ HT . Khi đó < f, g − T g > =< f, g > − < f, T g >=< f, g > − < T ∗f, g > =< f, g > − < f, g >= 0 ∀g ∈ H ⊥ ⊥ do b đ 1. Suy ra f ∈ H0 . Đ o l i gi s f ∈ H0 . Khi đó 0 =< f, g − T g > =< f, g > − < f, T g > =< f, g > − < T ∗f, g > ∀g ∈ H.
116 Chương 2. Quá trình d ng Suy ra T ∗f = f → T f = f do b đ 2.1. ˆ Ta b t tay vào ch ng minh đ nh lý. Cho f ∈ H . Theo b đ 2.2, f = f1 + f ˆ trong đó f1 ∈ H0 , f ∈ HT . Ký hi u n −1 1 Tk Sn = n k =0 ˆ ˆ Ta có Sn f = Sn f1 + Sn f = Sn f1 + f . Ta c n ch ng minh lim Sn f1 = 0 (2.12) n→∞ Cho > 0. T n t i g ∈ H, v ∈ H, v < sao cho f1 = g − T g + v .Ta có Sn f1 = Sn (g − T g ) + Sn v . D th y T ng − g T ng + g 2g Sn ( g − T g ) = ≤ = n n n và Sn v ≤ v < . Thành th Sn f1 < 2 v i n đ l n. V y (2.12) đư c ch ng minh. Ti p theo ta ch ng minh r ng đ nh lý 2.22 là h qu c a đ nh lý Von Neuman. G i H là không gian Hilbert sinh b i {Xk }, k ∈ Z . Ta đ nh nghĩa toán t T như sau : G i M là không gian tuy n tính sinh b i {Xk }, k ∈ Z . N uf= ci Xi ∈ M thì T f = ci Xi+1 . Vì (Xn ) là quá trình d ng nên < T f, T g >=< f, g > ∀f, g ∈ M . Do đó T thác tri n thành toán t unita trên H . Vì Xk = T k X0 nên đ nh lý 2.22 suy t đ nh lý Von Neuman. Như đ nh lý 2.22 đã ch ng t , trung bình th i gian h i t bptb t i m t ĐLNN .Câu h i đ t ra là li u s h i t này có ph i là h i t h u ch c ch n hay không? Câu tr l i là có n u (Xn ) là m t quá trình d ng m nh. Đ nh lý 2.26. Gi s (Xn ) là quá trình d ng m nh v i E |Xn | < ∞ . Khi đó
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 117 n −1 1 ˆ lim Xn = X (h.c.c) . n→∞ n k =0 ˆ ˆ Gi i h n X là m t ĐLNN v i E X = EXn . Cũng như đ nh lý 2.22 là trư ng h p riêng c a d nh lý ecgodic trung bình c a Von Neuman, đ nh lý 2.26 (còn g i là lu t m nh s l n cho quá trình d ng m nh) là h qu c a đ nh lý sau đây đư c g i là d nh lý ecgodic cá nhân do Birkoff và Khinchin tìm ra. Đ nh lý 2.27. Gi s (X, A, µ) là m t không gian xác su t và T : X → X là m t ánh x b o toàn đ đo µ µ(T −1 (A)) = µ(A) , ∀A ∈ A. Khi đó v i m i hàm f ∈ L1 (X, µ) ta có n −1 1 ˆ f ( T k x) = f ( x) lim n→∞ n k =0 t n t i µ-h u kh p nơi. ˆ ˆ Hàm gi i h n f ∈ L1 (X, µ) và ta có f = E [f |A0] , trong đó A0 là σ -đ i s các t p b t bi n A0 = {C ∈ A : T −1 C = C } Ch ng minh khá ph c t p nên chúng ta công nh n và b qua ch ng minh. Ta s ch ra r ng đ nh lý 2.26 là h qu c a đ nh lý ecgodic cá nhân. Th t v y cho (Xn ) là quá trình d ng m nh. G i µ là đ đo c m sinh b i dãy (Xn ) trên không gian R∞ . Xét ánh x T : R∞ → R∞ xác đ nh b i T {(xn )∞ −∞ } = {(xn+1 )∞ −∞ } , (t c là (T x)n = xn+1 ) n= n= ( T đư c g i là phép d ch chuy n sang trái). Khi đó do (Xn ) là quá trình d ng m nh nên T b o toàn đ đo µ. Áp d ng đ nh lý ecgodic cá nhân cho hàm f (x) = x0 n u x = (..., x−2, x−1 , x0, x1, x2 , ...)
118 Chương 2. Quá trình d ng ta có f (T k x) = (T k x)0 = xk n u x = (..., x−22, x−1 , x0 , x1, x2, ...). Phép bi n đ i T đư c g i là ergodic n u v i m i t p b t bi n A ∈ A0 ta có µ(A) = 0 ho c µ(A) = 1 . Khi đó m i hàm A0-đo đư c là h ng s µ-h u kh p nơi và ta có ˆ f (x) = Ef (x) = f (x)dµ(x) . X Vi c nh n bi t khi nào m t phép bi n đ i T là ergodic nói chung là m t công vi c ph c t p. M t tiêu chu n đ m b o tính ergodic c a T là đ nh lý sau đây: Đ nh lý 2.28. Phép bi n đ i T trên không gian xác su t (X, A, µ) là ergodic khi và ch khi n −1 1 µ(A ∩ T −k B ) = µ(A)µ(B ) lim (2.13) n→∞ n k =0 Nói riêng T là ergodic n u lim µ(A ∩ T −n B ) = µ(A)µ(B ) (2.14) n→∞ Ch ng minh. Gi s có h th c (2.13) và B ∈ A0 . Trong h th c đó cho A = B thì A ∩ T −k B = B . Suy ra µ(B ) = µ2 (B ) , do đó µ(B ) = 0 ho c µ(B ) = 1 . V y phép bi n đ i T là ergodic. Đ o l i n u phép bi n đ i T là ergodic ta áp d ng đ nh lý ergodic cá nhân Birkhoff - Khinchin cho hàm f (x) = IB (x) thì thu đư c n −1 1 lim IT −k B (x) = µ(B ). n→∞ n k =0 Tích phân hai v trên t p A ta s có h th c (2.13). Rõ ràng h th c (2.13) đư c tho mãn n u ta có h th c (2.14). Đi u ki n (2.14) có nghĩa là A và T −n B là ti m c n đ c l p khi n → ∞. Phép bi n đ i T tho mãn đi u ki n (2.14) đư c g i là có tính tr n. Như v y tính tr n kéo theo tính ergodic.
2.2. Quá trình d ng th i gian liên t c 119 Quá trình d ng m nh (Xn ) đư c g i là ergodic n u phép d ch chuy n sang trái T là ergodic đ i v i đ đo µ c m sinh b i quá trình (Xn ). Đ nh lý 2.29. Gi s (Xn ) là quá trình d ng m nh và ergodic. Khi đó v i m i hàm g : Rm → R ta có n −1 1 lim g [Xk .Xk+1 , ..., Xk+m−1 ] = n→∞ n k =0 = Eg (X0 , X1 , ..., Xm−1). Th t v y ch vi c áp d ng đ nh lý Birkhoff - Khinchin cho hàm f (x) = g (x0.x1, ..., xm−1) , n u x = (xn )∞ −∞ . n= Như v y, n u (Xn ) là quá trình d ng m nh ergodic thì ta có th ư c lư ng đư c các đ c trưng c a quá trình (giá tr trung bình, hàm t tương quan) d a trên m t th hi n c a nó. Đi u này có ý nghĩa l n trong nghiên c u th ng kê các quá trình d ng. Ch ng h n, v i m i quan sát (th hi n) c a quá trình ω = (x0 , x1, ...., ) thì giá tr trung bình m và hàm t tương quan K (h) có th xác đ nh b i n −1 1 m = lim xk , n→∞ n k =0 n −1 1 K (h) = lim (xk+h − m)(xk − m) . n n→∞ k =0 2.2 Quá trình d ng th i gian liên t c 2.2.1 Hàm t tương quan, đ đo ph , bi u di n ph Cho X (t) là quá trình ng u nhiên v i t ∈ R. Hàm trung bình m(t) đư c đ nh nghĩa b i m(t) = EX (t).
120 Chương 2. Quá trình d ng Hàm t tương quan đư c đ nh nghĩa b i công th c sau r(s, t) = cov[X (s), X (t)] = E X (s) − m(s) X ( t ) − m( t ) = = EX (s)X (t) − m(s)m(t) . Vì VarX (t) = cov[X (t), X (t)] nên ta có VarX (t) = r(t, t) . Đ nh lý 2.30. Hàm t tương quan r(t, s) là đ i x ng và xác đ nh không âm t c là (i) r(s, t) = r(t, s) , ∀s, t ∈ T . (ii) ∀n∀t1, t2, ..., tn ∈ T , ∀b1, b2 , ..., bn ∈ R n n bi bj r(ti , tj ) ≥ 0 . i=1 j =1 Ch ng minh hoàn toàn tương t như trư ng h p th i gian r i r c. Ví d 2.17. (Quá trình Wiener.) Quá trình Wt , t ∈ R đư c g i là m t quá trình Wiener v i tham s σ 2 n u nó có các tính ch t sau (i) W (0) = 0 . (ii) V i m i s, t ∈ R thì W (t) − W (s) là ĐLNN có phân ph i chu n v i kỳ v ng 0 và phương sai σ 2|t − s| . (iii) W (t) là quá trình gia s đ c l p t c là v i m i t1 < t2 < ... < tn các ĐLNN W (t2) − W (t1) , W (t3) − W (t2) , ..., W (tn ) − W (tn−1 ) là đ c l p. Ta hãy tìm hàm trung bình và hàm t tương quan c a W (t). T đ nh nghĩa W (t) có phân b chu n N (0, t) thành th m(t) = 0. Ta tìm hàm t
2.2. Quá trình d ng th i gian liên t c 121 tương quan r(t, s). N u 0 ≤ s < t thì r(s, t) = EW (s)W (t) = EW (s)[W (s) + W (t) − W (s)] = = E |W (s)|2 + E [W (s) − W (0)][W (t) − W (s)] = E |W (s)|2 + E [W (s) − W (0)]E [W (t) − W (s)] = E |W (s)|2 + EW (s)E [W (t) − W (s)] = σ 2s. Tương t n u s < t ≤ 0 thì r(s, t) = EW (s)W (t) = −EW (t)[−W (t) + W (t) − W (s)] = = E |W (t)|2 + E [W (0) − W (t)][W (t) − W (s)] = E |W (t)|2 + E [W (0) − W (t)]E [W (t) − W (s)] = E |W (t)|2 − EW (t)E [W (t) − W (s)] = σ 2 |t |. N u s < 0 < t thì EW (s)W (t) = −E (W (0) − W (s)(W (t) − W (0) = −E (W (0) − W (s))E (W (t) − W (s)) = 0.V y  σ 2 min(|s|, |t|) n u rs ≥ 0 r(s, t) = 0 n u rs < 0. Đ nh nghĩa 2.9. Quá trình X (t) đư c g i là m t quá trình d ng n u hàm trung bình m(t) là h ng s và hàm t tương quan r(s, t) ch ph thu c vào |t − s| . Nói cách khác m(t) = m ∀t ∈ R và t n t i hàm ch n K (t) sao cho r(t, s) = K (t − s). Hàm K (t) cũng đư c g i là hàm t tương quan c a quá trình d ng X (t). Ta có tính ch t sau đây c a hàm t tương quan Đ nh lý 2.31. (i) K (t) là hàm ch n K (t) = K (−t) , ∀t ∈ R.
122 Chương 2. Quá trình d ng (ii) |K (t)| ≤ K (0) , ∀t ∈ R . (iii) K (t) là hàm xác đ nh không âm t c là v i m i t1, t2, ..., tn ∈ R và v i m i b1 , b2, ..., bn ∈ R thì n n bi bj K (ti − tj ) ≥ 0. i=1 j =1 Ta có đ nh lý quan tr ng sau đây: Đ nh lý 2.32. Gi s K (t) là hàm t tương quan c a m t quá trình d ng. N u K (t) liên t c thì t n t i duy nh t m t đ đo h u h n µ trên R sao cho ta có bi u di n tích phân ∞ eitxdµ(x). K (t) = −∞ K (t) Ch ng minh. Đ t φ(t) = K (0) . Khi đó φ(t) là hàm xác đ nh không âm và φ(0) = 1. Theo đ nh lý Bochner thì φ(t) là hàm đ c trưng c a m t đ đo xác su t ν nào đó. Đ t µ = K (0)ν ta có bi u di n c n tìm. Đ đo µ đư c g i là đ đo ph c a quá trình d ng X (t). N u đ đo µ là tuy t đ i liên t c dµ = f (x)dx thì f (x) đư c g i là m t đ ph . Khi đó ta có ∞ eitxf (x)dx. K (t) = −∞ Hàm f (x) xác đ nh trên R là m t đ ph c a m t quá trình d ng nào đó khi và ch khi 1. f (x) = f (−x) v i m i x ∈ R 2. f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R 3. và ∞ f (x)dx < ∞. −∞
2.2. Quá trình d ng th i gian liên t c 123 V i m t s đi u ki n nh t đ nh có th tìm đư c m t đ ph t hàm tương quan. C th ta có ∞ Đ nh lý 2.33. N u |K (t)|dt < ∞ thì đ đo ph µ có m t đ f (x) và −∞ ∞ 1 e−itx K (t)dt . f ( x) = 2π −∞ Chú ý: N u quá trình X (t) nh n giá tr th c thì K (t) nh n giá tr th c. Khi đó ta có ∞ K (t) = cos txdµ(x). −∞ Ví d 2.18. Xét hàm K (t) = αe−β |t| trong đó α, β là các s dương cho trư c. Đây là m t hàm ch n xác đ nh không âm vì th nó là hàm t tương quan c a m t quá trình d ng. Vì ∞ ∞ e−βtdt < ∞ , |K (t)|dt = 2α −∞ 0 nên m t đ ph f (x) là ∞ α e−itx e−β |t|dt. f ( x) = 2π −∞ Ta hãy tính tích phân trên. Ta có ∞ ∞ e−(β +ix)t 1 ∞ e−itx e−βtdt = e−(β +ix)tdt = = , −(β + ix) β + ix 0 0 0 0 0 e(β −ix)t 1 0 e−itx eβtdt = e(β −ix)tdt = = . β − ix β − ix −∞ −∞ −∞ V y thì α 1 1 αβ f ( x) = + = . 2 + x2 ) 2π β + ix β − ix π (β
124 Chương 2. Quá trình d ng Ti p theo là đ nh lý v bi u di n ph c a quá trình d ng. Đ nh lý 2.34. Cho X (t) là quá trình d ng có hàm t tương quan liên t c. Khi đó t n t i đ đo ng u nhiên tr c giao Z trên R sao cho ∞ eitλdZ (λ) X (t) = , ∀t ∈ R . −∞ Ch ng minh tương t như trư ng h p th i gian r i r c. 2.2.2 Ti ng n tr ng, trung bình trư t tích phân Quá trình n tr ng và g n li n v i nó là khái ni m quá trình trung bình trư t trong trư ng h p th i gian liên t c là gì? Quá trình ng u nhiên X (t) có th coi như m t hàm X : R → H xác đ nh trên R l y giá tr trên H , đó H là không gian Hilbert các ĐLNN có momen c p 2 t c là H = L2 (Ω, A, P ). Vì th ta có khái ni m L2 - kh vi và L2-kh tích như sau: Đ nh nghĩa 2.10. 1. Quá trình ng u nhiên X (t) đư c g i là L2 - kh vi n u hàm t → X (t) t R vào H là kh vi. Nghĩa là gi i h n X ( t + h) − X ( t ) lim h h→0 t n t i trong H v i m i t. Gi i h n này đư c g i là L2 - đ o hàm c a X (t) và ký hi u là X (t). 2. Quá trình X (t) đư c g i là L2- kh vi liên t c n u nó L2 - kh vi và hàm t → X (t) là liên t c. 3. Quá trình ng u nhiên X (t) đư c g i là L2 - kh tích n u hàm t → X (t) t R vào H là kh tích Riemann. Tích phân ∞ X (t)dt −∞ là m t ph n t c a H nghĩa là m t ĐLNN.
2.2. Quá trình d ng th i gian liên t c 125 Các đ nh lý sau đây cho ta tiêu chu n đ m t quá trình X (t) là L2 -kh vi hay L2 -kh tích thông qua hàm trung bình và hàm t tương quan. Đ nh lý 2.35. Quá trình X (t) là L2 -kh vi khi và ch khi hàm trung bình m(t) kh vi và t n t i gi i h n 1 lim r(t0 + h, t0 + k ) − r(t0 + h, t0) − r(t0, t0 + k ) + r(t0, t0 ) . hk h,k →0 Nói riêng quá trình X (t) là L2 -kh vi n u hàm trung bình m(t) kh vi và đ o hàm c p 2 ∂ 2r(s, t) ∂s∂t c a hàm t tương quan t n t i và liên t c. Đ nh lý 2.36. X (t) là L2 -kh tích trên R n u và ch n u hàm trung bình m(t) kh tích trên R và hàm t tương quan r(s, t) kh tích trên R2 . Trong trư ng h p đó ta có công th c sau: E X (t)dt = m(t)dt , R R Var X (t)dt = r(s, t)dsdt , R R R Cov X (s), X (t)dt = r(s, t)dt . R R Ví d 2.19. Quá trình Wiener không L2 -kh vi. Th t v y quá trình Wiener có hàm t tương quan là r(s, t) = σ 2 min(s, t) n u st > 0. V i h = k > 0 ta có 1 lim r(t0 + h, t0 + h) − r(t0 + h, t0 ) − r(t0 , t0 + h) + r(t0 , t0) h→0 h2 σ2 σ2 = lim 2 [t0 + h − t0 − t0 + t0] = lim = ∞. h→0 h h→0 h
126 Chương 2. Quá trình d ng Gi s X (t) là quá trình gia s tr c giao trên R. Trong ti t 3 chúng ta đã đ nh nghĩa tích phân ng u nhiên d ng f (t)dX (t) R |f (t)|2 dm(t) < ∞. Ta có m i liên v i m i hàm f (t) bình phương kh tích h sau đây: N u quá trình gia s tr c giao X (t) là L2 - kh vi liên t c thì f (t)dX (t) = f (t)X (t)dt. (2.15) R R Khi đó ta có th g n m i quá trình gia s tr c giao X (t) là L2 - kh vi liên t c v i m t phi m hàm tuy n tính ng u nhiên xác đ nh trên không gian L2 R b i công th c < f, T >= f (t)dX (t) = f (t)X (t)dt =< f, X (t) > . R R V i m i quá trình gia s tr c giao X (t) b t kỳ ( không nh t thi t có L2 - đ o hàm liên t c) ta đ nh nghĩa L2 -đ o hàm suy r ng c a X (t) là phi m hàm ng u nhiên tuy n tính T xác đ nh trên không gian L2 R b i công th c < f, T >= f (t)dX (t). R Ta cũng ký hiê hình th c T = X (t) và tích phân f (t)X (t)dt đư c hi u R là R f (t)dX (t). Gi s W (t) là quá trình Wiener. Như đã th y nó không có L2 - đ o hàm. Tuy nhiên nhi u v n đ c a th c ti n đòi h i ta ph i g n cho đ o hàm W (t) m t ý nghĩa nào đó. Nh khái ni m L2 - đ o hàm suy r ng ta có th d nh nghĩa n tr ng như sau Đ nh nghĩa 2.11. L2 -đ o hàm suy r ng c a quá trình Wiener W (t) ddư c g i là ti ng n tr ng (white noise).
2.2. Quá trình d ng th i gian liên t c 127 (Trong chương 4 chúng ta s đ c p chi ti t hơn khái ni m ti ng n tr ng). T tính ch t c a tích phân ng u nhiên trình bày trong m c 3 ta có các k t qu sau E f (t)dW (t) = 0 , R g (t)dW (t) = σ 2 E f (t)dW (t) f (t)g (t)dt , R R R f (t)dW (t) = σ 2 f 2 (t)dt , Var R R c b E f (t)dW (t) g (t)dW (t) = 0 , v i a ≤ c ≤ d ≤ b , a d c b c g (t)dW (t) = σ 2 E f (t)dW (t) f (t)g (t)dt v i a ≤ c ≤ b. a a a Bây gi ta đ nh nghĩa khái ni m trung bình trư t tích phân. Đ nh nghĩa 2.12. . Cho trư c hàm h(t) tho mãn h(t)2dt < ∞ R . Quá trình X (t) xác đ nh b i ∞ ∞ X (t) = h(t − s)W (s)ds = h(t − s)dW (s) , −∞ −∞ đư c g i là đ u ra c a phép bi n đ i tuy n tính n tr ng v i hàm truy n xung h(t) hay còn g i là m t trung bình trư t tích phân. Không gi m t ng quát ta có th xem W (t) là quá trình Wiener v i tham s σ 2 = 1. Đ nh lý 2.37. X(t) là m t quá trình d ng v i hàm t tương quan ∞ K (s) = h(s + v )h(v )dv −∞
128 Chương 2. Quá trình d ng và hàm m t đ ph 1 .|g ( λ ) |2 , f ( λ) = 2π trong đó ∞ h(s)e−isλ ds . g ( λ) = −∞ Ch ng minh. Ta có ∞ K (s) =< X (t + s), X (t) >= h(t + s − u)h(t − u)du . −∞ Phép đ i bi n v = t − u cho ta ∞ K (s) = h(s + v )h(v )dv . −∞ Ti p theo vì ∞ ∞ h2(t)dt < ∞ , |K (t)|dt ≤ −∞ −∞ do đó ∞ 1 e−itλ K (t)dt . f ( λ) = . 2π −∞ Ta có ∞ ∞ ∞ −itλ e−itλh(t + v )h(v )dv = e K (t)dt = dt −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ ivλ e−i(t+v)λh(t + v )dt = = e h(v )dv −∞ −∞ ∞ eivλh(v )g (λ)dv = g (λ)g (λ) = |g (λ)|2 . = −∞ Vy 1 .|g ( λ ) |2 . f ( λ) = 2π
2.2. Quá trình d ng th i gian liên t c 129 Trong trư ng h p h(s) = 0 , v i s < 0 , thì X (t) đư c g i là trung bình trư t tích phân m t phía hay còn g i là đ u ra c a m t b l c kh thi. Trong trư ng h p này, hàm m t đ c a X (t) là 1 .|g ( λ ) |2 , f ( λ) = 2π trong đó ∞ h(s)e−isλ ds . g ( λ) = 0 Đ nh lý sau cho ta đi u ki n c n và đ đ X (t) có bi u di n trung bình trư t tích phân m t phía t X (t) = h(t − s)dW (s). −∞ Đ nh lý 2.38. (i) Quá trình d ng X (t) có bi u di n trung bình trư t tích phân m t phía n u và ch n u hàm m t đ ph c a nó có d ng 1 .|g ( λ ) |2 , f ( λ) = 2π trong đó ∞ h(s)e−isλ ds . g ( λ) = 0 (ii) Đi u ki n c n và đ đ hàm m t đ ph f (λ) có d ng trên là ∞ ln f (λ) dλ > −∞ . 1 + λ2 −∞ Ví d 2.20. Cho X (t) là quá trình d ng v i hàm t tương quan là K (t) = αe−β |t| α > 0, β > 0. Trong ví d trư c ta đã th y hàm m t đ c a X (t) là αβ f ( λ) = . π (β 2 + λ2 )
130 Chương 2. Quá trình d ng Có th vi t l i 1 2αβ f ( λ) = . , 2π |β + iλ|2 do đó √ 2αβ g ( λ) = . β + iλ Ta có ∞ 1 e−βt e−itλdt , = β + iλ 0 nên ∞ 2αβe−βt e−itλdt , g ( λ) = 0 do đó 2αβe−βt . h( t ) = V y ta có bi u di n trung bình trư t tích phân m t phía như sau t 2αβe−β (t−s)dW (s). X (t) = −∞ 2.2.3 Phương trình vi phân, d báo và tính ergodic Như ta đã bi t m t quá trình (Xn ) t h i quy c p 1 là quá trình tho mãn phương trình sai phân sau đây Xn = pXn−1 + Wn hay (1 − p)Xn − pDXn = Wn đó DXn = Xn − Xn−1 là sai phân c p 1. Trong trư ng h p th i gian liên t c tương t v i phương trình sai phân là phương trình vi phân. Xét phương trình vi phân ng u nhiên c p 1 sau đây a0 X (t) − a1 X (t) = W (t) (2.16)
2.2. Quá trình d ng th i gian liên t c 131 đó các h s a0, a1 > 0 còn W (t) là n tr ng ( t c là L2-đ o hàm suy r ng c a W (t)). Quá trình d ng X (t) đư c g i là nghi m c a phương trình vi phân trên n u ta có t a0(X (t) − X (t0 )) − a0 X (s)ds = W (t) − W (t0) ∀t > t0 . 0 Ngư i ta đã ch ng minh đư c r ng phương trình (2.16) có nghi m duy nh t cho b i công th c sau t 1 e−β (t−s)dW (s) . X (t) = a0 −∞ Hàm t tương quan c a nó là 1 .e−β |t| , K (t) = 2a0 a1 và hàm m t đ ph là 1 1 1 f ( λ) = . = . 2π (a1 + a2λ2 ) 2 2 2π |a1 + ia0λ| 0 T ng quát hơn ta xét phương trình vi phân ng u nhiên c p p a0 X (p)(t) + a1X (p−1) (t) + ... + ap X (t) = W (t). (2.17) Nghi m c a phương trình (2.17) đư c hi u là m t quá trình d ng, L2 -kh vi cho t i c p p − 1 và tho mãn a0 X (p−1) (t) − X (p−1) (t0) + a1 X (p−2) (t) − X (p−2)(t0 ) + ...+ t + ap−1 X (t) − X (t0 ) + ap X (s)ds = W (t) − W (t0) ∀t > t0 . t0 Có th xem nghi m X (t) c a phương trình vi phân ng u nhiên c p p là d ng liên t c c a quá trình t h i quy c p p. Ta có đ nh lý sau:
132 Chương 2. Quá trình d ng Đ nh lý 2.39. N u phương trình t t đ nh thu n nh t tương ng a0x(n) (t) + a1 x(n−1)(t) + ... + an x(t) = 0 . là n đ nh thì phương trình (2.17) có nghi m duy nh t cho b i công th c sau t t X (t) = h(t − s)W (s)ds = h(t − s)dW (s) . −∞ ∞ Ví d 2.21. Phương trình chuy n đ ng c a con l c trong ch t l ng r i. Phương trình chuy n đ ng c a con l c trong ch t l ng r i đư c mô t như sau X (t) + 2γX (t) + (ω 2 + γ 2 )X (t) = W (t) trong đó X (t) là kho ng d ch chuy n c a con l c so v i v trí đ ng yên, γ và ω là các h s còn W (t) là l c tác đ ng ng u nhiên (l c này là s va đ p c a các ph n t nên đư c mô t b ng n tr ng). Phương trình thu n nh t t t đ nh tương ng x (t) + 2γx (t) + (ω 2 + γ 2 )x(t) = 0 , có nghi m n đ nh. Thành th , phương trình có nghi m duy nh t cho b i t 1 e−γ (t−s) sin [ω (t − s)]dW (s) . X (t) = ω −∞ Hàm t tương quan c a X (t) e−γ |t| γ K (t) = cos ω |t| + sin ω |t| . 2 + γ 2) 4γ (ω ω Hàm m t đ ph c a X (t) 1 f ( λ) = . 2π [(λ2 − ω 2 − γ 2 )2 + 4γ 2 λ2 ] Ti p theo, ta xét bài toán d báo quá trình d ng th i gian liên t c. Xét quá trình d ng X (t) và không gi m t ng quát gi s EX (t) = 0. V i m i T ta ký hi u H (X, t) là không gian con c a L2(Ω, F , P ) sinh ra b i các ĐLNN