SÁCH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

Chia sẻ: anhkhoa_lpt

Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 theo từng dạng gồm 6 phần chính (mỗi phần là một dạng toán thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi). Mỗi phần gồm 30-50 bài tập chọn lọc trong các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: SÁCH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

MATHVN.COM | www.MATHVN.com
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
THEO TỪNG DẠNG

DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Bài 1: Cho biểu thức
a2  2
1 1
P=  
  
2 1  a 2 1  a 1  a3
a) Rút gọn P.
b) Tìm Min P.
Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x
x 2  y 2  xy
Tính giá trị biểu thức : P =
xy - 1
x-y
Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q =
xy
Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0
Bài 4: Cho biểu thức
P = 15 x  11  3 x  2  2 x  3
x  2 x  3 1- x x 3
1
a) Tìm các giá trị của x sao cho P =
2
2
b) Chứng minh P ≤
3
Bài 5: Cho biểu thức
3a  9a  3 a 1 a 2
 
P=
a  2 1 a
a a 2
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức
a 4 a -4  a 4 a -4
P=
8 16
1- 
a a2
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức
 1  1
a 2
P=  : 
 
 a  1 a  a   a  1 a  1



a) Rút gọn P.

www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 1
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.
Bài 8: Cho biểu thức
4x 8x   x  1 2
P=  : 
 
2 x 4x x2 x x
  
a) Rút gọn P.
b) Tính x để P = -1
c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x - 3)P > x + 1.
Bài 9: Cho biểu thức
 y - xy   x x  y
y
P=  x : 
 
   xy  y xy 
x y  xy  x
 
a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3
Bài 10: Cho biểu thức
 x  1 x - 1 x 2  4x  1  x  2007
 
P=  
 
x 2 1 
 x 1 x 1 x
 
a) Tìm x để P xác định.
b) Rút gọn P.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.
Bài 11: Rút gọn P.
 
2 2 2 2 4 22
P =  a  a  b  a  a  b : 4 a  a b
 
b2
 a  a 2  b2 a  a 2  b2 
 
Với | a | >| b | > 0
Bài 12: Cho biểu thức
2
 x 2 x  2  1 x 
P=  .
 
x  2 x  1  2 
 x 1
 

a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
2x 5 x 1 x  10
P=  
x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 14: Chứng minh giá trị của biểu thức
P = x  3 2  3 .6 7  4 3  x
4
x
94 2 5
5.
Không phụ thuộc vào biến số x.
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 2
MATHVN.COM | www.MATHVN.com


Bài 15: Cho biểu thức
x2  x x2  x
P=   x 1
x x 1 x x 1
Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 .
Bài 16: Cho biểu thức
2
P= x  x 2x  x 2(x  1)
 
x x 1 x x 1
a) Rút gọn P.
b) Tìm GTNN của P
2 x nhận giá trị là số nguyên.
c) Tìm x để biểu thức Q =
P
Bài 17: Cho biểu thức
 2x x  x  x x  x  x 1 x
P=  
 
 x  1  2x  x  1 2 x  1
x x 1
 
a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.

Bài 18: Rút gọn biểu thức
3 5 3 5
P= 
10  3  5 10  3  5
Bài 19: Rút gọn biểu thức
4 7  4 7
a) A =
4  10  2 5  4  10  2 5
b) B =
c) C = 4  15  4  15  2 3  5
Bài 20: Tính giá trị biểu thức
x  24  7 2 x  1  x  4  3 2 x  1
P=
1
Với ≤ x ≤ 5.
2
Bài 21: Chứng minh rằng:
2 3  5  13  48
P=
6 2
là một số nguyên.
Bài 22: Chứng minh đẳng thức:




www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 3
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
3
3
1
1
2
2 1

3
3
1 1
1 1
2
2

Bài 23: Cho x = 3 5 2  7  3 5 2  7
Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x
1  xy 1  xy

Bài 24: Cho E =
xy xy
Tính giá trị của E biết:
4  8. 2  2  2 . 2  2  2
x=
3 8  2 12  20
y=
3 18  2 27  45
2
2 2007  2007
Tính P = 1  2007
Bài 25:
20082 2008
Bài 26: Rút gọn biểu thức sau:
1 1 1
P= + + ... +
1 5 5 9 2001  2005
Bài 27: Tính giá rẹi của biểu thức:
P = x + y3 - 3(x + y) + 2004 biết rằng
3


x = 33 2 2 3 32 2
y = 3 17  12 2  3 17  12 2
 a 1 
a 1 1
Cho biểu thức A =   4 a  a 
Bài 28:  
 a 1 
a 1 a
 
a) Rút gọn A.
b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - 6 ) 4  15
Bài 29: Cho biểu thức
x  4 x  1  x  4 x  1  1
 1  
A=
x 2  4 x  1  x 1
a) x = ? thì A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
Bài 30: Cho biểu thức
1 1 x 1 1 x 1
 
P=
1 x  1 x 1 x  1 x 1 x
a) Rút gọn P.
2
b) So sánh P với .
2

www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 4
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Bài 31: Cho biểu thức
1 3 2
 
P=
x 1 x x 1 x  x 1
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.

Bài 32: Cho biểu thức
2 a 9 a  3 2 a 1
 
P=
a 5 a 6 a 2 3 a
a) Rút gọn P.
b) a = ? thì P < 1
c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.
Bài 33: Cho biểu thức
x 2x 1 x
 
P=
xy  2 y x  x  2 xy  2 y 1  x
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 34: Cho biểu thức
x 2x 1 x
 
P=
xy  2 y x  x  2 xy  2 y 1  x
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 35: Cho biểu thức
 1 1 x3  y x  x y  y 3
1 2 1
P =  
  :
 y x y x y xy 3  x 3 y
 x 
 
a) Rút gọn P.
b) Cho xy = 16. Tìm Min P.




www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 5
MATHVN.COM | www.MATHVN.com




DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.

Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab.
P = a b
Tính giá trị của biểu thức:
a b
2 2
Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x +2y = 5xy
Tính giá trị biểu thức E = x  y
x y
Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0
CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc
2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0
Tính giá trị biểu thức:
yz xz xy
M= 2  2  2
x y z
3 3 3
Bài 4: Cho a + b + c = 3abc. Tính giá trị của biểu thức:
a  b  c

P = 1  1  1  
b  c  a

Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:
(x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3
b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 .
Tính giá trị của biểu thức: A = x2007 + y2007 + z2007
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức:
P = a4 + b4 + c4
Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:
a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102
Tính giá trị của biểu thức P = a2007 + b2007
x3 y3
xy
xy
 2 . Tính 3  3
Bài 8: Cho   1 và
ab
ab a b
Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức
1 1 1
2 2 2 2
P=
b 2  c 2  a 2 a  c  b 2 a b  c 2
x4 y 4 1
; x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng:
 
Bài 10: Cho
a b ab
a) bx2 = ay2;



www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 6
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
2008
2008
y
x 2
b) 1004  1004 
( a  b)1004
a b
Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì:
1 1 1
=1
 
1  x  xy 1  y  yz 1  z  xz

Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức:
A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3
Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức:
a2 b2 c2
P=  
(a  b)(a  c ) (b  c)(b  a ) (c  b)(c  a )
Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều.
Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:
bc cb ab 2 2 2
    
(a  b)(a  c ) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) a  b b  c c  a
Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p
abc
1 1 1 1
Chứng minh rằng:   
p  a p  b p  c p p( p  a )( p  b)( p  c)
Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh :
a b 2(ab  2)
3  22
3
b 1 a 1 a b  3
abc
xyz
Bài 18: Cho    1 và    0
abc xyz
x2 y 2 z2
Tính giá trị biểu thức A = 2  2  2
a b c
a b c
Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và   0
bc ca ab
a b c
Tính giá trị của P =  
2 2
( a  c) 2
(b  c ) (c  a)
Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz
Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức
A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0.
Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd
Chứng minh: c = d.
Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2.
x y
Tính giá trị biểu thức: A =
x y
Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy.


www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 7
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
2 xy
Tính giá trị của phân thức A =
 6 x  xy  y 2
2


Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007.
ax 2  by 2  cz 2
Tính giá trị của biểu thức: P=
bc ( y  z )2  ac( x  z ) 2  ab( x  y ) 2




Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008.
Tính giá trị biểu thức:
x3 y3 z3
P=  
( x  y )( x  z ) ( y  x)( y  z ) ( z  y )( z  x)
x  y  z  1

Cho  x 2  y 2  z 2  1
Bài 27:
x3  y 3  z 3  1

Tính giá trị của biểu thức: P = x2007 + y2007 + z2007 .
Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức:
a 
2
 (b  c )2 (a  b  c )
P=
 
( a  b  c) ( a  c) 2  b 2
Bài 29: Cho biểu thức P = (b + c – a ) – 4b2c2.
2 2 22

Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0.
Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:
 xy  y  z  3

 yz  y  z  8
 zx  x  z  15

Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z.
Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:
2 2 2
x  y  z  1
3
x  y3  z3  1

Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003)
2 3 6 84
Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P =
2 3 4
x y
b) Tính giá trị biểu thức: Q =
x y
Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)
Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì:
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006)
Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2.
a) So sánh a và b + c.
b) So sánh a3 và b3 + c3. (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0

www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 8
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
2) Tính A = 3 20  14 2  3 20  14 2 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)




DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.

Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.
c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn
điều kiện x 12 + x 22  10.
c  0
Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện: 
c  a   ab  bc  2ac
2


Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm.
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0.
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai
 x1  x 2  5
nghiệm x1, x2 thỏa mãn:  3 3
 x1  x 2  35
Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình
(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm.
Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm:
(a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0
2b c
Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0) có nghiệm nếu  4
aa
Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa
5
mãn: x 12 - x 22 =
9
Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai
nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN
b) B = x12 + x22 - đạt GTNN.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 11: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2:
3x2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức:

www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 9
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
1 1
S= 3
3
x1 x 2
Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 3 x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x1, x2. Không giải phương
trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:
3 x12  5 x1 x 2  3 x 2
2
A=
4 x1 x 2  4 x13 x 2
3




Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a.
2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 = 6.
3) Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
x1 < 1 < x2.
Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) .
Tìm GTNN của M = x12 + x22
Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
111

ab2
CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0.
Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m.
b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN đó.
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình
sau phải có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (2)
Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.
b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN.
Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.
2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22  10.
3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
E = x12 + x22 đạt GTNN.
Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương.
CMR: a2 + b2 là một hợp số.



www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 10
MATHVN.COM | www.MATHVN.com




DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.
Giải phương trình:
x3 + 2x2 + 2 2 x + 2 2 .
Bài 1:
(x + 1)4 = 2(x4 + 1)
Bài 2:
4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2
Bài 3:
Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x
Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144
(x + 2)4 + (x + 8)4 = 272
Bài 6:
a) (x + 2 )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 2
Bài 7:
b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64
a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0
Bài 8:
b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0
c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0
a) x4 = 24x + 32
Bài 9:
b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0
5 3
Bài 10: x 8  x 9 1
2x 7x
Bài 11: 2 1
2
3x  x  2 3x  5x  2
4x 2
x2 +
Bài 12:  12
 x  2 2
2 2
x2  4
x 2  x  2
20 
Bài 13:   5   48 2 0

 x 1   x 1  x 1
3x 7x
Bài 14: a) 2 2  4
x  3x  1 x  x  1
x 2  10 x  15 4x
b) 2 2
x  6 x  15 x  12 x  15
x 2  3x  5 x 2  5 x  5 1
c) 2 2 
4
x  4x  5 x  6x  5
2
81x
a) x2 +
Bài 15:  40
x  9 2

www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 11
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
2
x
b) x2 +  15
x  12
2 2
x 1  x 1  40
a) 
Bài 16:   

 x   x 2 9
2 2
5 x2  4
x 2  x 2
b)     0

2 x2 1
 x 1   x 1 
8 x 8 x
c) x. x   15
x 1  x 1 
2
x 1
x +2
Bài 17:  = 8( Đề thi HSG V1 2004)

x
Bài 18: x  1  5 x  1  3x  2
Bài 19: 3
x 1  3 7  x  2
Bài 20: x  2 x 1  x  2 x 1  2
3x2 + 21x + 18 + 2 x 2 7 x  7  2
Bài 21:
a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1
Bài 22:
b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0
c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0
(x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003)
Bài 23:
Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24
a) x3 - 6x + 4 = 0
Bài 25:
b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0
a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0
Bài 26:
b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0
x 2 48 x 4
Bài 27:  2  10  0
x
3x 3
a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab
Bài 28:
b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x 3  1
( Đề thi HSG 1998)
x  14
Bài 29: x 5  3
3 x 5
x4 - 4 3 x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000)
Bài 30:
x4  4
Bài 31: ( Đề thi HSG V2 2003)
 5x  0
x2  2
a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0
Bài 32:
b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0
Bài 33: (x + 3 x + 2)(x + 9 x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005)
a) x2 + 4x + 5 = 2 2 x  3
Bài 34:
b) 3 x 3  8 = 2x2 - 6x + 4
4
c) 2  x  2
2 x 3
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 12
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Bài 35: 3
x 1  x  2  3 x  3  0
3


Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m
Bài 36:
a) Giải phương trình khi m = 5.
b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c. Tìm điều kiện của a, b, c để phương
Bài 37:
trình có nghiệm.
Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0
Bài 38:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0.
Bài 39:
x2 + 9x + 20 = 2 3x  10
Bài 40:
x2 + 3x + 1 = (x + 3) x 2 1
Bài 41:
x2 + x  2006 =2006
Bài 42:

DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC

ab
Bài 1) Với a, b > 0 thì  ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
2
Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có:
2
(a 2  b 2 )( x 2  y 2 )  (ax + by) .Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 3) Cho a, b, c, d > 0. Cm: ab  cd  a  c b  d 
Bài 4) CM bất đẳng thức:
a  c 2  b  d 2
a2  b2  c2  d 2 
Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức:
a2 b2 c2 abc
  
bc ca ab 2
Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì:
1 1 11
  ...  
n 1 n  2 2n 2
Bài 7) Cho a3 + b3 = 2. Cmr: a + b  2.
Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1)
a2 + b2 + c2 = 2 (2)
4
CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn  ;0 khi biễu diễn trên trục số.
  3 
Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5.
CMR: 2a2 + 3b2  5.
Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1.
1
CM: a2 + 4b2  . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003).
5

2 2 2 2 2 1
Bài 11) Chứng minh: (Đề thi HSG 2001).

3
2 2 2 2

Bài 12) Chứng minh:
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 13
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
a) (a  b )( x  y )  (ax + by)2
2 2 2 2


b) 0  x  2  4  x  2
a b c 3
Bài 13) Cho a, b, c > 0. Cm:   
bc ca ab 2

1
1 1
Bài 14) Cho S  1  .
 ... 

100
2 3
CMR: S không là số tự nhiên.
11 4
Bài 15) a) Cho x, y dương. CMR: . Dấu bằng xảy ra khi nào?

x y x y
abc
b) Tam giác ABC có chu vi P  .
2
1 1 1 1 1 1
Cm:    2   
pa pb pc a b c
Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?

x
Bài 16) a) CM x > 1 ta có: 2
x 1
a2 b2
b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của: P  
b 1 a 1
Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
111
Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì      9 .
 
a b c
Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2.
CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005).
Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5. Cm: a + 2b  10.
Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab.
8
 a2  b2  8 .
CMR:
3
Dấu bằng xảy ra khi nào?
11 2
Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT:  3
a b ab
Bài 24) CMR nếu:
a) 1  a  5 thì 3 a  1  4 5  a  10
b) a + b  0; b  1  0; a  b  2 thì a  1  b  1  2 2
3 1 4
Bài 25) Cho biểu thức P   
4 3 4 3
x  x  x  x2  x  1
5 4 3
x  x  x 1 x  x  x 1
32
CMR: 0  P  với x  1 .
9


www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 14
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
a a ak
Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và  1.Cmr : 
b b bk
b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:
a b c
< 2.
 
bc ca ab
Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1.
1 1
Chứng minh rằng: 1  1    9
  
a  b

(Đề thi HSG V2 2003 - 2004)
Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0:
x2 y2  x y
 2  4  3  
 y x
2
y x  
DẠNG 6: CỰC TRỊ

Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x + y.
1 1
Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của P =  1  2   1  2 
 
x y
  
2  x  x  1
2

Bài 3) Cho P = . Tìm GTNN, GTLN của P và các giá trị tương ứng của x.
x2  1
Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y  0, x + y = 10
Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5.
Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2 + y2. Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1
x2  x 1
Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P =
x2  x  1
Bài 8) Tìm GTLN của A = x + 2  x
xyz
Bài 9) Tìm GTLN của P =   với x, y, z > 0.
yzx
Bài 10) Tìm GTLN của P = ( x  1990)2  ( x  1991)2
Bài 11) Cho M = a  3  4 a  1  a  15  8 a  1
a) Tìm điều kiện của a để M được xác định.
b) Tìm GTNN của M và giá trị của A tương ứng.
Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:
1 1 1
 2 . Tìm GTNN của P = x.y.z.
 
1 x 1 y 1 z

2 1
Bài 13) Tìm GTNN của P = 
1 x x
Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
P = x + 2y.
Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3.
Tìm GTNN của E = x2 + 2y2.

www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 15
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức
1 2
P= + + 4xy
2 2
x y xy
x2  x  1
Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P = với x bất kỳ.
x2  1
Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức
1 2
A= 2 2
x y xy
2
2
 1
1
Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =  x     y  
 
x  y

1
Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x4 + y4) +
4 xy
1  1
Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =  1   1  
 
 x  y 
Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 4.
2 2
 1 1
Tìm GTNN của biểu thức P =  x     y  
 
y  x

Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
2 2 2
1 1 1
E = a   b   c  
   
a b c
     
Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1. Tìm GTNN của:
P = a3 + b3
Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1.
1 1
Tìm GTNN của P = 
a 1 b 1
x2  y2
Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của P =
x y
Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm GTNN của
1
P = 8(x4 + y4) +
xy
Bài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = 0
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1
Bài 29) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x x + y y biết x + y = 1
x 2  2 x  2000
Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức P =
x2




www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 16
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản