Slide bài giảng toán a2 đại học

Chia sẻ: Nguyen Thi Gioi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

4
2.593
lượt xem
1.013
download

Slide bài giảng toán a2 đại học

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Toán cao câp A2 – Nguyen Phú Vinh – ĐHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao câp – ĐHCN TP.HCM. 3. Toán cao câp A2 – ðo Công Khanh – NXBĐHQG TP. HCM. 4. Toán cao câp A2 – Nguyen ðình Trí – NXB Giáo dục. 5. Toán cao câp A2 – Nguyen Viêt ðông – NXB Giáo dục. 6. Toán cao câp đại số Tuyên tính – Lê Sĩ Đông – NXB Giáo dục.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Slide bài giảng toán a2 đại học

  1. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH TOÁN CAO C P A2 ð I H C Tài li u tham kh o 1. Giáo trình Toán cao c p A2 – Nguy n Phú Vinh – ðHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu h i Toán cao c p – ðHCN TP.HCM. 3. Toán cao c p A2 – ð Công Khanh – NXBðHQG TP. HCM. 4. Toán cao c p A2 – Nguy n ðình Trí – NXB Giáo d c. 5. Toán cao c p A2 – Nguy n Vi t ðông – NXB Giáo d c. 6. Toán cao c p ð i s Tuy n tính – Lê Sĩ ð ng – NXB Giáo d c. 7. Bài t p Toán cao c p ð i s Tuy n tính – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo d c. 8. ð i s tuy n tính – Bùi Xuân H i (ch biên) – ðHKHTN TP. HCM. Chương 1. MA TR N – ð NH TH C – H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH §1. MA TR N 1.1. ð nh nghĩa • Khi m = 1, A = (a11 a12 … a1n) là ma tr n dòng; n = 1, a) Ma tr n A c p m × n trên ℝ là 1 h th ng g m m.n s  a11  ( ) A =  ...  là ma tr n c t; m = n = 1, A = (a11) (1 ph n t ). aij ∈ ℝ i = 1, m; j = 1, n và ñư c s p x p thành b ng:   a   m1   a11 a12 ... a1n  a  • T p h p các ma tr n A là M m ,n (ℝ ) , ñ cho g n ta vi t  21 a22 ... a2 n  (g m m dòng và n c t). A= A = ( aij )m×n .  ... ... ... ...     am1 am 2 ... amn  b) Hai ma tr n A và B b ng nhau, ký hi u A = B khi và ch • aij là các ph n t c a A dòng th i và c t th j. khi chúng cùng kích thư c và aij = bij. • C p s (m, n) là kích thư c c a A. VD 1. Các ma tr n vuông ñ c bi t: y   1 0 −1  • ðư ng chéo ch a a11, a22, …, ann là ñư ng chéo chính c a 1 x =  ⇔ x = 0; y = −1; z = 2; u = 2; t = 3 . z 2 A, ñư ng chéo còn l i là ñư ng chéo ph .  t  2 u 3  • Ma tr n vuông có t t c các ph n t n m ngoài ñư ng chéo chính ñ u b ng 0 là ma tr n chéo. c) Ma tr n Ο = (0ij )m×n g m t t c các ph n t ñ u b ng 0 là • Ma tr n chéo c p n g m t t c các ph n t trên ñư ng chéo chính ñ u b ng 1 là ma tr n ñơn v c p n, ký hi u In. ma tr n không.  1 0 0 1 0   d) Khi m = n: A là ma tr n vuông c p n, ký hi u A = ( aij ) n . VD 2. I 2 =   , I3 =  0 1 0  . 0 1 0 0 1   • Ma tr n tam giác trên (dư i) c p n là ma tr n có các ph n • Ma tr n ph n ñ i x ng c p n là ma tr n có các ph n t ñ i t n m phía dư i (trên) ñư ng chéo chính ñ u b ng 0. x ng qua ñư ng chéo chính ñ i nhau (aij = –aji) và t t c các  1 0 −2  ph n t trên ñư ng chéo chính ñ u b ng 0. VD 3. A =  0 −1 1  là ma tr n tam giác trên;   4 −1  3 0 0 0    VD 4. A =  4 1 0  là ma tr n ñ i x ng;    3 0 0  −1  0 2  B =  4 1 0  là ma tr n tam giác dư i.   −4 1  0  −1 5 2    B= 4 0 0  là ma tr n ph n ñ i x ng.   • Ma tr n ñ i x ng c p n là ma tr n có các ph n t ñ i x ng  −1  0 0  qua ñư ng chéo chính b ng nhau (aij = aji). b) Nhân vô hư ng 1.2. Các phép toán trên ma tr n Cho A = ( aij )m×n , λ ∈ ℝ ta có: a) Phép c ng và tr Cho A = ( aij )m×n , B = (bij ) m×n ta có: λ A = (λ aij ) m×n . A ± B = ( aij ± bij )m×n .  −1 1 0   3 −3 0  VD 6. −3  = ;  −1 2  2 0 2 1 4 0 0  −2 0 −4   6 0 12  + = VD 5.  ; 3 −4   5 −3 1   7 0 −3  2  2 6 4  1 3 2  −4 0 8  = 2  −2 0 4  .  −1 0 2   2 0 2   −3 0 0     − = . 2 3 −4   5 −3 1   −3 6 −5   • Phép nhân vô hư ng có tính phân ph i ñ i v i phép c ng ma tr n. • Ma tr n –A là ma tr n ñ i c a A. • Phép c ng ma tr n có tính giao hoán và k t h p. Trang 1
  2. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH c) Nhân hai ma tr n • Phép nhân ma tr n có các tính ch t: • Cho A = ( aij )m×n , B = (b jk )n× p ta có: 1) (AB)C = A(BC); ( ) n AB = ( cik )m× p , cik = ∑ aij b jk i = 1, m; k = 1, p . 2) A(B + C) = AB + AC; 3) (A + B)C = AC + BC; j =1 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);  −1  5) AI n = A = I m A , v i A ∈ M m ,n (ℝ ) .  1 0 0 0 VD 7. Tính a) (1 2 3)  2  ; b)  ;    4 0   −3 2   −5   VD 8. Tính  1 −1 2   0 1 3   2 −1 2   −1  2 0 1  1 1 −1    2 −3 0   −1 −2 1   1 0 −2   1  ;  1 −1 2  . c)  a)  −2 0 3         −1 3 −2   −1 1 4   2 −1 −3   3 1 0   −2          1 −1  1 0 −1   −1 −2 1  VD 9. a) Cho A =  2009  , tính A ; b)  2 −2 0   0 −3 1  và  0 1     3 0 −3   2 −1 0   2 0    b) Cho B =  2009  , tính (I2 – B) .  −1 −2 1   1 0 −1   1 2  0 −3 1   2 −2 0  . VD 10. Cho A = (aij) là ma tr n vuông c p 100 có các ph n    dòng th i là (–1)i. Tìm ph n t a36 c a A2.  2 −1 0   3 0 −3  t    d) Phép chuy n v • Phép nhân ma tr n không có tính giao hoán. • Cho A = ( aij )m×n , ma tr n chuy n v c a A là: • ð c bi t, khi A = ( aij ) n và p ∈ ℕ* ta có: AT = (a ji )n ×m (chuy n t t c dòng thành c t). A0 = In; Ap = Ap–1A (lũy th a ma tr n). – (e1): Hoán v hai dòng cho nhau A  A′ . di ↔ d k → • Tính ch t: 1) (A + B)T = AT + BT; di → λ di – (e2): Nhân 1 dòng v i s λ ≠ 0 , A → A′′ . 2) (λA)T = λAT; – (e3): Thay 1 dòng b i t ng c a dòng ñó v i tích λ dòng 3) (AT)T = A; di → di + λ d k khác A → A′′′ . 4) (AB)T = BTAT; 5) AT = A ⇔ A ñ i x ng; Chú ý 6) AT = − A ⇔ A ph n x ng. di → µ d i + λ d k 1) Trong th c hành ta thư ng làm A  B . → 2) Sau 1 s h u h n các PBðSC dòng ta ñư c ma tr n 1.3. Phép bi n ñ i sơ c p trên dòng c a ma tr n B tương ñương v i A, ký hi u B ∼ A . a) ð nh nghĩa 3) Tương t , ta cũng có các phép bi n ñ i sơ c p trên • Cho A = ( aij )m×n (m ≥ 2) . Các phép bi n ñ i sơ c p dòng c t c a ma tr n. e trên A là:  1 −2 3   1 −2 1.4. Ma tr n b c thang và ma tr n b c thang rút g n 3  2 1 −1 và B =  0 1 −7 / 5  . VD 11. Cho A =     a) Ma tr n b c thang  3 −1 2  0 0  0    • Hàng có t t c các ph n t ñ u b ng 0 ñư c g i là hàng b ng 0. Ch ng t A ∼ B . • Ph n t khác 0 ñ u tiên tính t trái sang c a 1 hàng ñư c b) Ma tr n sơ c p g i là ph n t cơ s c a hàng ñó. • Ma tr n thu ñư c t In b i ñúng 1 phép bi n ñ i sơ c p dòng (c t) là ma tr n sơ c p. • Ma tr n b c thang là ma tr n khác 0 c p m × n (m, n ≥ 2) 0 0 1 1 0 0  1 0 0  0 1 0  ,  0 −5 0  và  2 1 0  là các ma th a: VD 12.      1) Các hàng b ng 0 dư i các hàng khác 0; 1 0 0 0 0 1 0 0 1      2) Ph n t cơ s c a 1 hàng b t kỳ n m bên ph i tr n sơ c p. ph n t cơ s c a hàng trên nó. Trang 2
  3. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH VD 13. b) Ma tr n b c thang rút g n 1 0 2 0 1 2 3 +  0 0 3 ,  0 0 4 5  và In là các ma tr n b c thang; • Ma tr n b c thang rút g n là ma tr n b c thang có ph n t    cơ s c a m t dòng b t kỳ ñ u b ng 1 và là ph n t khác 0 0 0 0 0 0  0 1   duy nh t c a c t ch a nó. 0 2 7 2 3 5  0 3 4  và  0 0 0  không là ma tr n b c thang. VD 14. +    1 3 0 0  0 1 0 3 0 0 5 0  I n,  0 0  và  0 0 1 2  là các ma tr n b c 1 3    1 0    0 0  0 0 0 0 0 1    ð nh lý thang rút g n. • M i ma tr n ñ u có th ñưa v b c thang b ng h u h n phép bi n ñ i sơ c p trên dòng. 1.5. Ma tr n kh ngh ch VD 15.  3 −5   2 5 A=  và B =  −1 2  là ngh ch ñ o c a nhau vì a) ð nh nghĩa  1 3   AB = BA = I2. • Ma tr n A ∈ M n (ℝ ) ñư c g i là kh ngh ch n u t n t i B ∈ M n ( ℝ ) sao cho AB = BA = In. Nh n xét Ma tr n B là duy nh t và ñư c g i là ma tr n ngh ch ñ o 1) N u ma tr n vuông A có 1 dòng (ho c 1 c t) c a A, ký hi u A–1. Khi ñó: b ng 0 thì không kh ngh ch. A–1A = AA–1 = In; (A–1)–1 = A. 2) M i ma tr n sơ c p ñ u kh ngh ch và ma tr n ngh ch ñ o cũng là ma tr n sơ c p. 3) (AB)–1 = B–1A–1. • N u B là ma tr n ngh ch ñ o c a A thì A cũng là ma tr n ngh ch ñ o c a B. 1) N u A′ có 1 dòng (c t) b ng 0 ho c A′ ≠ I n thì A b) Tìm ma tr n ngh ch ñ o b ng phép bi n ñ i sơ c p dòng không kh ngh ch. • Cho A ∈ M n (ℝ ) , ta tìm A–1 như sau: 2) N u A′ = I n thì A kh ngh ch và A–1 = B. Bư c 1. L p ma tr n ( A I n ) (ma tr n chia kh i) b ng cách ghép In VD 16. Tìm ma tr n ngh ch ñ o (n u có) c a:  1 −1 0 1  vào bên ph i A.  1 1 −1   0 −1 1 0  Bư c 2.  và B =  1 0 1  . A= Dùng phép bi n ñ i sơ c p dòng ñ ñưa ( A I n ) v d ng   0 0 1 1 2 1 0      ( A′ B ) ( A′ là ma tr n b c thang dòng rút g n). 0 0 0 1 §2. ð NH TH C 2.1. ð nh nghĩa b) ð nh th c • ð nh th c c p n c a ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) , a) Ma tr n con c p k n • Cho ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) . Ma tr n vuông ký hi u detA hay A , là 1 s th c ñư c ñ nh nghĩa: n c p k ñư c l p t các ph n t n m trên giao k dòng và k c t 1) A c p 1: A = ( a11 ) ⇒ det A = a11 ; c a A ñư c g i là ma tr n con c p k c a A. a a12  2) A c p 2: A =  11  ⇒ det A = a11a22 − a12 a21 ; • Ma tr n Mij c p n–1 thu ñư c t A b ng cách b ñi dòng  a21 a22  th i và c t th j là ma tr n con c a A ng v i ph n t aij. 3) A c p n: det A = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n, trong ñó Aij = (–1)i+jdet(Mij) là ph n bù ñ i s c a ph n t aij. Trang 3
  4. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH 2.2. Các tính ch t cơ b n c a ñ nh th c Chú ý • Cho ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) , ta có các tính a11 a12 a13 n a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13 • a21 a22 ch t cơ b n sau: Tính ch t 1 a31 a32 a33 det ( AT ) = det A . −a31a22 a13 − a12 a21a33 − a23a32 a11 (quy t c 6 ñư ng chéo). −1 ð c bi t. 1 3 2 1 2 det In = 1, det 0n = 0. −2 1 = 3 −2 VD 2. 2 1; VD 1. Tính các ñ nh th c c a: −1 1 1 2 1 1 1 0 2 0   1 2 −1   4 1 2 −1   3 −2  1 3 2 1 0 0 , B =  3 −2 1  và C =  . A=    0 −2 1 = 3 −2 0 . 3 1 0 2  1 4  2 1 1      0 0 1 2 1 1 2 3 3 5  Tính ch t 2. Hoán v hai dòng (c t) cho nhau thì ñ nh th c Tính ch t 3. Nhân 1 dòng (c t) v i s th c λ thì ñ nh th c ñ i d u. tăng lên λ l n. 3 0 −3 1 0 −1 VD 3. −1 1 1 1 −1 1 132 VD 5. 2 1 −2 = 3 2 1 −2 ; −2 1 = − 2 −2 1 = −2 2 2 1. 31 7 31 7 −1 1 1 1 3 2 3 1 2 x +1 x 3 x3 1x x H qu ( x + 1) 1 y y3 = x +1 y y3 . • ð nh th c có ít nh t 2 dòng (c t) gi ng nhau thì b ng 0. x +1 z z3 z3 1z VD 4. x x2 x3 1 y2 y5 331 H qu 1) ð nh th c có ít nh t 1 dòng (c t) b ng 0 thì b ng 0. y =0; 1 y y =0. 2 2 1 =0; 1 2 5 2 5 y 2) ð nh th c có 2 dòng (c t) t l v i nhau thì ñ nh th c y2 y5 1 y2 y5 117 1 b ng 0. Tính ch t 4 Chú ý 1 5 d1 →d 2 − 2 d1 0 −7 • N u ñ nh th c có 1 dòng (c t) mà m i ph n t là t ng c a = • Phép bi n ñ i là sai do dòng 1 ñã 2 s h ng thì có th tách thành t ng 2 ñ nh th c. 23 13 x + 1 x x3 x x x3 1 x x3 nhân v i s –2. VD 6. x + 1 y y3 = x y3 + 1 y3 . y y x −1 z −1 z 2.3. ð nh lý Laplace z3 z3 z3 x z • Cho ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) , ta có các khai Tính ch t 5 n • ð nh th c s không ñ i n u ta c ng vào 1 dòng (c t) v i λ tri n det A sau: l n dòng (c t) khác. a) Khai tri n theo dòng th i det A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain 123 x11 VD 7. Tính các ñ nh th c: −1 2 −1 ; 1 x 1. n . = ∑ aij Aij , Aij = ( −1)i + j det( M ij ) 2 3 4 11 x j =1 VD 9. Áp d ng tính ch t và ñ nh lý Laplace, tính ñ nh th c: b) Khai tri n theo c t th j det A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj 1112 2 −1 1 3 . n = ∑ aij Aij , Aij = ( −1)i + j det( M ij ) . 1 2 −1 2 i =1 3 3 2 1 1002 Các k t qu ñ c bi t: 2112 VD 8. Tính ñ nh th c a11 a12 ... a1n a11 0 ... 0 1223 0 a22 ... a2 n a21 a22 ... 0 3021 = = a11a22 ...ann 1) ... ... ... ... ... ... ... ... b ng cách khai tri n theo dòng 1; c t 2. 0 0 ... ann an1 an 2 ... ann (d ng tam giác). Trang 4
  5. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH 2) det(AB) = detA.detB (ñ nh th c c a tích hai ma tr n).  1 1 −1   2 1 4   −3 1 4  T c)  2 0 3   2 1 3   0 1 2  = AB = det A.det C , v i A, B, C ∈ M n ( ℝ) 3)     0n C  1 2 −3   1 2 1   1 2 1      (ñ nh th c chia kh i). 1 1 −1 2 1 4 −3 1 4 1234 =2 0 3 2 1 3 0 1 2. 0 −2 7 19 1 2 3 0 = VD 10. a) ; 1 2 −3 1 2 1 1 2 1 0 −2 0 −1 0030 0 −1 0 0 2.4. ng d ng ñ nh th c tìm ma tr n ngh ch ñ o  1 1 −1   2 1 4  1 1 −1 2 1 4 a) ð nh lý b)  2 0 3   2 1 3  = 2 0 3 2 1 3 ; • Ma tr n vuông A kh ngh ch khi và ch khi det A khác 0.     1 2 −3   1 2 1  1 2 −3 1 2 1    b) Thu t toán tìm A–1 VD 11. Tìm ma tr n ngh ch ñ o (n u có) c a: 1 2 1 1 2 1  1 1 2  và B =  0 1 1 . • Bư c 1 A=    Tính det A. N u det A = 0 thì k t lu n A không kh ngh ch, 3 5 4 1 2  3    ngư c l i làm ti p bư c 2. • Bư c 2 Nh n xét L p ma tr n ( Aij ) ⇒ A = ( Aij ) (ma tr n ph h p c a A). T T • N u ac − bd ≠ 0 thì: n n −1 −b   a b c 1 d c = • Bư c 3. Ma tr n ngh ch ñ o là:  −d . ac − bd    a 1 T A−1 = .A . det A c) Phương pháp tìm h ng c a ma tr n 2.5. H ng c a ma tr n a) ð nh th c con c p k ð nh lý • Cho ma tr n A = ( aij ) • H ng c a ma tr n b c thang (dòng) b ng s dòng khác 0 . ð nh th c c a ma tr n con c p m×n c a ma tr n ñó. k c a A ñư c g i là ñ nh th c con c p k c a A. • Cho A là ma vuông c p n, r ( A) = n ⇔ det A ≠ 0 . ð nh lý Phương pháp • N u trong ma tr n A t t c các ñ nh th c con c p k ñ u • Bư c 1. Dùng PBðSC dòng ñưa ma tr n A v b c thang. b ng 0 thì các ñ nh th c con c p k + 1 cũng b ng 0. • Bư c 2. S dòng khác 0 c a A sau bi n ñ i là r(A).  2 1 −1 3  b) H ng c a ma tr n  0 −1 0 0  • H ng c a ma tr n A là c p cao nh t c a ñ nh th c con VD 12. Tìm h ng c a ma tr n A =  . 0 1 2 0  khác 0 c a A, ký hi u r(A). Ta có: 1 ≤ r ( A) ≤ min{m, n} .    0 −1 1 −4  • N u A là ma tr n không thì ta quy ư c r(A) = 0. VD 13. Tìm h ng c a ma tr n −3 4 2  1 A = 2 −5 1 4  .   3  −8 5 6   VD 14. Tùy theo giá tr m, tìm h ng c a ma tr n  −1 2 1 −1 1   m −1 1 −1 −1 A= . 1 m 0 1 1   −1 1  1 2 2 Trang 5
  6. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH §3. H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH 3.1. ð nh nghĩa  b1  B =  ...  = ( b1 ... bm ) (ma tr n c t t do) • H phương trình tuy n tính g m n n và m phương trình T  có d ng: b   m a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x = b  x1   21 1 22 2 và X =  ...  = ( x1 ... xn ) là ma tr n c t n. 2n n 2  (1). T  ................................................. x  am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm  n  Khi ñó, h (1) tr thành AX = B .  a11 ... a1n  ð t A =  ... ... ...  = ( aij ) (ma tr n h s ), • B s α = (α1 ... α n ) ñư c g i là nghi m c a (1) n u   T m×n a   m1 ... amn  Aα = B .  x1 − x2 + 2 x3 + 4 x4 = 4 3.2. ð nh lý Crocneker – Capelli  VD 1. Cho h phương trình: 2 x1 + x2 + 4 x3 = −3 • Cho h phương trình tuy n tính AX = B. Xét ma tr n m 2 x − 7 x = 5 2  a11 a12 ... a1n b1  3   r ng A = ( A B ) =  ... ðưa h v d ng ma tr n: ... ... ... ...  .  x1  a   1 −1 2 4     4   m1 am 2 ... amn bm   2 1 4 0   x2  =  − 3  . () H có nghi m khi và ch khi r A = r ( A) = r .     0 2 −7 0   x3   5   x      4 Khi ñó: 1) r = n: H phương trình tuy n tính có nghi m duy nh t; Khi ñó, (1; –1; –1; 1) là 1 nghi m c a h . 2) r < n: H phương trình tuy n tính có vô s nghi m ph thu c vào n – r tham s . 3.3. Phương pháp gi i h phương trình tuy n tính a11 ... b j ... a1n a) Phương pháp ma tr n ngh ch ñ o ∆ j = ... ... , j = 1, n (thay c t j trong A b i ... ... ... • Cho h pttt AX = B, A là ma tr n vuông c p n kh ngh ch. an1 ... b j ... ann Ta có AX = B ⇔ X = A−1 B . 2 x + y − z = 1 c t t do).  VD 2. Gi i h phương trình  y + 3z = 3 . Khi ñó, ta có các trư ng h p:   2 x + y + z = −1 ∆j 1) N u ∆ ≠ 0 thì h có nghi m duy nh t x j = , ∀j = 1, n . b) Phương pháp ñ nh th c (Cramer) ∆ • Cho h pttt AX = B, A là ma tr n vuông c p n. 2) N u ∆ = ∆ j = 0, ∀j = 1, n thì h có vô s nghi m (thay a11 ... a1 j ... a1n tham s vào h và tính tr c ti p). ð t ∆ = det A = ... ... ... ... ... , 3) N u ∆ = 0 và ∃∆ j ≠ 0, j = 1, n thì h vô nghi m. an1 ... anj ... ann c) Phương pháp Gauss • Bư c 1. ðưa ma tr n m r ng ( A B ) v d ng b c thang VD 3. Gi i h phương trình sau b ng ñ nh th c: 2 x + y − z = 1 b i PBðSC trên dòng.   y + 3z = 3 . • Bư c 2. Gi i ngư c t dòng cu i cùng lên trên.  2 x + y + z = −1  Chú ý Trong quá trình th c hi n bư c 1, n u: VD 4. Tùy theo tham s m, gi i và bi n lu n h phương 1) Có 2 dòng t l thì xóa ñi 1 dòng; trình: 2) Có dòng nào b ng 0 thì xóa dòng ñó; mx + y + z = 1 3) Có 1 dòng d ng ( 0 ... 0 b ) , b ≠ 0 thì k t lu n h vô   x + my + z = m . nghi m.  x + y + mz = m 2 4) G p h gi i ngay ñư c thì không c n ph i ñưa ( A B ) v  b c thang. Trang 6
  7. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH 3.4. H phương trình tuy n tính thu n nh t a) ð nh nghĩa VD 5. Gi i h phương trình:  x1 + 6 x2 + 2 x3 − 5 x4 − 2 x5 = −4 • H pttt thu n nh t là h pttt có d ng:  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 2 x1 + 12 x2 + 6 x3 − 18 x4 − 5 x5 = −5 . a x + a x + ... + a x = 0 3x + 18 x + 8 x − 23x − 6 x = −2  21 1 22 2 1 ⇔ AX = θ (2). 2n n  2 3 4 5 ............................................. am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0 VD 6. Gi i h phương trình:  5x1 − 2 x2 + 5 x3 − 3x4 = 3 Nh n xét  () 4 x1 + x2 + 3x3 − 2 x4 = 1 . • Do r A = r ( A) nên h pttt thu n nh t luôn có nghi m. 2 x + 7 x − x = −1 1 Nghi m (0; 0;…; 0) ñư c g i là nghi m t m thư ng. 2 3 b) ð nh lý • H (2) ch có nghi m t m thư ng ⇔ r ( A) = n ⇔ det A ≠ 0 . c) Liên h v i h pttt t ng quát ð nh lý • Xét h pttt t ng quát AX = B (1) và h pttt thu n nh t AX = θ (2). Khi ñó: 1) Hi u hai nghi m b t kỳ c a (1) là nghi m c a (2); 2) T ng 1 nghi m b t kỳ c a (1) và 1 nghi m b t kỳ c a (2) là nghi m c a (1). Chương 2. KHÔNG GIAN VECTOR §1. KHÁI NI M KHÔNG GIAN VECTOR VD 1. T p nghi m c a h phương trình tuy n tính thu n 1.1. ð nh nghĩa nh t là không gian vector. T p V = { A ∈ M n (ℝ )} các ma tr n vuông c p n là kgvt. • Không gian vector V trên ℝ là c p (V, ℝ ) trang b hai phép toán { } V = u = ( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ ℝ, ∀i ∈1, n là kgvt Euclide ℝ n . V ×V → V ℝ ×V → V th a 8 tính ch t sau: (λ , y ) ֏ λ x ( x, y ) ֏ x + y 1.2. Không gian con c a kgvt • Cho kgvt V, t p W ⊂ V là kgvt con c a V n u (W, ℝ ) 1) x + y = y + x; cũng là m t kgvt. 2) (x + y) + z = x + (y + z); • Cho kgvt V, t p W ⊂ V là kgvt con c a V n u: 3) ∃!θ ∈V : x + θ = θ + x = x ; ( x + λ y ) ∈ W , ∀x , y ∈ W , ∀λ ∈ ℝ . 4) ∃( − x ) ∈V : ( − x ) + x = x + ( − x ) = θ ; VD 2. T p W = {θ } là kgvt con c a m i kgvt V. 5) (λ1λ2 ) x = λ1 (λ2 x ) ; 6) λ ( x + y ) = λ x + λ y ; 7) (λ1 + λ2 ) x = λ1 x + λ2 x ; 8) 1.x = x. Trong ℝ n , t p W = {u = ( x1 ,0,...,0) x1 ∈ ℝ} là kgvt con. ð C L P TUY N TÍNH VÀ PH THU C TUY N TÍNH §2. S 2.1. ð nh nghĩa ð nh lý • H n vector ph thu c tuy n tính ⇔ ∃ 1 vector là t h p Trong kgvt V, cho n vector ui (i = 1, 2,…, n). n tuy n tính c a n – 1 vector còn l i. ∑λ u ,λ ∈ℝ ñư c g i là m t t h p tuy n tính c a • T ng VD 2. N u x1 = 2x2 – 3x3 thì h {x1, x2, x3} là ph thu c ii i i =1 tuy n tính. n vector ui. H qu • H n vector {u1, u2,…, un} ñư c g i là ñ c l p tuy n tính • H có 1 vector không thì ph thu c tuy n tính. n ∑λ u = θ thì λi = 0, ∀i = 1, n . • N u có 1 b ph n c a h ph thu c tuy n tính thì h ph n u có ii thu c tuy n tính. i =1 • H n vector {u1, u2,…, un} không là ñ c l p tuy n tính thì ñư c g i là ph thu c tuy n tính. 2.2. H vector trong ℝ n VD 1. Trong ℝ 2 , h {u1 = (1;–1), u2 = (2; 3)} là ñltt. ð nh nghĩa Trong ℝ n , h {ui = (0; 0;…; 1; 0;…; 0)} (v trí th i là 1) • Trong ℝ n cho m vector ui = ( ai1 , ai 2 ,..., ain ), i = 1, m . Ta g i A = ( aij ) là ñltt. là ma tr n dòng c a m vector ui. Trong ℝ3 , h {u1=(–1;3;2), u2=(2;0;1), u3=(0;6;5)} là pttt. m×n Trang 7
  8. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH §3. CƠ S – S CHI U – T A ð ð nh lý 3.1. Cơ s c a kgvt {u1 , u2 ,..., um } • Trong ℝ n , h ñ c l p tuy n tính khi và ch ð nh nghĩa khi r(A) = m (b ng s ph n t c a h ). • Trong kgvt V, h B = {u1, u2,…, un} ñư c g i là m t cơ s • Trong ℝ n , h {u1 , u2 ,..., um } ph thu c tuy n tính khi và c a V n u h B ñltt và m i vector c a V ñ u bi u di n tuy n ch khi r(A) < m. tính qua B. VD 3. Xét s ñltt hay pttt c a các h : B1 = {(–1;2;0), (1;5;3), (2;3;3)}, B2 = {(–1; 2; 0), (2; 1; 1)}. VD 1. – Trong ℝ n , h H qu E = {e1 = (1; 0;…; 0), e2 = (0; 1;…; 0), …, en = (0;…; 0; 1)} • Trong ℝ n , h có nhi u hơn n vector thì ph thu c tuy n là cơ s chính t c. tính. – Trong ℝ 2 , h B = {u1 = (1;–1), u2 = (2; 3)} là cơ s . • Trong ℝ n , h n vector ñ c l p tuy n tính ⇔ det A ≠ 0 . 3.3. T a ñ 3.2. S chi u c a kgvt a) ð nh nghĩa ð nh nghĩa • Trong kgvt V cho cơ s B = {u1, u2,…, un}. Khi ñó, m i x ∈V có bi u di n tuy n tính duy nh t x = x1u1+…+xnun. • Kgvt V ñư c g i là có n chi u, ký hi u dimV = n, n u trong V có ít nh t 1 h g m n vector ñltt và m i h g m n+1 Ta nói x có t a ñ ñ i v i B là (x1,…, xn). vector ñ u pttt.  x1  Ký hi u [ x ]B =  ...  .  ð nh lý x   n • dimV = n khi và ch khi trong V t n t i 1 cơ s g m n vector. • ð c bi t, t a ñ c a vector x ñ i v i cơ s chính t c E là [x]E = [x] (t a ñ c t thông thư ng c a x). H qu VD 2. Trong ℝ 2 cho cơ s B = {u1 = (2;–1), u2 = (1; 1)} và • Trong ℝ n , m i h g m n vector ñltt ñ u là cơ s . x = (3;–5). Tìm [x]B. b) ð i cơ s VD 3. Trong ℝ 2 cho 2 cơ s B1 = {u1 = (1; 0), u2 = (0;–1)}, • Ma tr n chuy n cơ s 1 B2 = {v1 = (2;–1), v2 = (1; 1)} và [ x ]B =   . – Trong kgvt V cho 2 cơ s  2 2 B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vn}. ([ v ] [v2 ]B ... [vn ]B ) b) Tìm [ x ]B . a) Tìm PB1 → B2 ; ñư c g i là ma tr n chuy n Ma tr n 1 1 B1 1 1 ð nh lý cơ s t B1 sang B2. Ký hi u PB1 → B2 . Trong kgvt ℝ n cho 3 cơ s B1, B2 và B3. Khi ñó: – ð c bi t, n u E là cơ s chính t c thì: 1) PBi → Bi = I n (i = 1, 2, 3); PE → B1 = ([u1 ] [u2 ] ... [un ]) . 2) PB1 → B3 = PB1 → B2 .PB2 → B3 ; ( ) −1 3) PB1 → B2 = PB2 → B1 • Công th c ñ i t a ñ . [ x ]B1 = PB1 → B2 [ x ]B2 . • Trong kgvt ℝ n , ta có: H qu u1 , u2 ,..., um = {x ∈ ℝ n : x = λ1u1 + λ2 u2 + ... + λm um , λi ∈ ℝ} . ( ) −1 PB1 → B2 = PB1 → E PE → B2 = PE → B1 PE → B2 . Khi ñó: VD 4. Gi i l i VD 3. 1) dim<S> = r(S) (h ng ma tr n dòng m vector c a S); 2) N u dim<S> = r thì m i h con g m r vector ñltt c a S 3.4. Không gian con sinh b i 1 h vector ñ u là cơ s c a spanS. • Trong kgvt V cho h m vector S = {u1,…, um}. T p t t c VD 5. các t h p tuy n tính c a S ñư c g i là không gian con sinh Trong ℝ 4 cho h vector b i S trên ℝ . Ký hi u spanS ho c <S>. S = {u1 =(–2; 4;–2;–4), u2 = (2;–5;–3; 1), u3 = (–1; 3; 4; 1)}. Tìm 1 cơ s và dimspanS. Trang 8
  9. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH §4. ÁNH X TUY N TÍNH f(x1; x2) = (x1 – x2; 2 + 3x2) không là PBðTT t ℝ 2 → ℝ 2 . 4.1. ð nh nghĩa • Ánh x f : ℝ n → ℝ m th a Chú ý  f ( x + y) = f ( x) + f ( y) ∀x , y ∈ ℝ n , ∀λ ∈ ℝ  f ( x + y) = f ( x) + f ( y)   f (λ x ) = λ f ( x ) ði u ki n   f (λ x ) = λ f ( x ) ñư c g i là ánh x tuy n tính. ⇔ f ( x + λ y ) = f ( x ) + λ f ( y ) ∀x , y ∈ ℝ n , ∀λ ∈ ℝ . • Ánh x f : ℝ n → ℝ n th a VD 2. Các PBðTT thư ng g p trong m t ph ng:  f ( x + y) = f ( x) + f ( y) ∀x , y ∈ ℝ n , ∀λ ∈ ℝ  1) Phép chi u vuông góc xu ng tr c Ox, Oy:  f (λ x ) = λ f ( x ) f(x; y) = (x; 0), f(x; y) = (0; y). ñư c g i là phép bi n ñ i tuy n tính. 2) Phép ñ i x ng qua Ox, Oy: VD 1. f(x; y) = (x;–y), f(x; y) = (–x; y). f(x1; x2; x3) = (x1–x2 +x3; 2x1 +3x2) là AXTT t ℝ 3 → ℝ 2 . 3) Phép quay góc φ quanh g c t a ñ O: f(x1; x2) = (x1 – x2; 2x1 + 3x2) là PBðTT t ℝ 2 → ℝ 2 . f(x; y) = (xcosφ – ysinφ; xsinφ + ycosφ).  a11 an 1  4.2. Ma tr n c a ánh x tuy n tính a12 ... a a22 ... an 2  a) ð nh nghĩa [ f ]B12 =  21 . • Cho AXTT f : ℝ n → ℝ m và hai cơ s l n lư t là  ... ... ... ...  B   B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vm}. ([ f (u ) ] ) ñư c  a m1 am 2 ... amn  [ f (u2 )]B ... [ f (un )]B Ma tr n c p m × n • Cho PBðTT f : ℝ → ℝ n 1 B2 n và cơ s B = {u1, u2,…, un}. 2 2 g i là ma tr n c a AXTT f trong c p cơ s B1, B2. ([ f (u )] [ f (u )] ... [ f (u )] ) ñư c Ma tr n vuông c p n Ký hi u [ f ]B12 ho c A. 1 2 n B B B B g i là ma tr n c a PBðTT f trong cơ s B.  f ( u1 ) = a11v1 + a21v2 + a31v3 + ... + am1vm Ký hi u [ f ]B ho c [f] ho c A.   f ( u2 ) = a12 v1 + a22 v2 + a32 v3 + ... + am 2 vm Chú ý C th , n u  thì • N u A là ma tr n c a AXTT f trong c p cơ s B1, B2 thì ....................................................................  f ( u ) = a v + a v + a v + ... + a v f ( x1 , x2 ,..., xn ) = A( x1 x2 ... xn )T .  n 1n 1 2n 2 3n 3 mn m b) Ma tr n ñ ng d ng VD 3. a) Cho AXTT f(x, y, z, t) = (3x + y – z; x – 2y + t; y + 3z – 2t). ð nh nghĩa Tìm [ f ]E3 . E4 • Hai ma tr n vuông A, B c p n ñư c g i là ñ ng d ng v i E3 b) Cho AXTT f(x, y) = (3x; x – 2y; –5y). Tìm [ f ] . nhau n u t n t i ma tr n kh ngh ch P th a B = P–1AP. E2 c) Cho PBðTT f(x, y, z) = (3x + y – z; x – 2y; y + 3z). ð nh lý Tìm [ f ]E3 . • N u AXTT f : ℝ n → ℝ m có ma tr n trong các c p cơ s VD 4. Cho AXTT f : ℝ 2 → ℝ 3 có ma tr n c a f trong hai (B , B ) , (B , B ) tương ng là A1, A2 và P = PB1 → B2 , / /  1 −3  1 1 2 2 cơ s chính t c E2 và E3 là A =  0 2  . P′ = PB / → B / thì A2 = ( P ′) A1 P . −1   1 2 4 3  • ð c bi t, n u PBðTT f : ℝ n → ℝ n có ma tr n trong hai   cơ s B1, B2 l n lư t là A, B và P = PB1 → B2 thì B = P–1AP. Tìm ma tr n f trong hai cơ s B1 = {u1 = (1; 1), u2 = (1; 2)} và B2 = {v1 = (1; 0; 1), v2 = (1; 1; 1), v3 = (1; 0; 0)}. c) Thu t toán tìm ma tr n c a AXTT • Cho AXTT f : ℝ n → ℝ m và hai cơ s l n lư t là VD 5. Cho PBðTT f(x, y) = (x + y; x – 2y). Tìm ma tr n c a f B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vm}. trong cơ s chính t c E và trong B={u1=(2;1),u2=(1;–1)}. – Ký hi u: VD 6. S = ([ v1 ] [ v2 ] ... [vm ]) (ma tr n c t các vector c a B2), Cho AXTT f(x, y, z) = (x + y – z; x – y + z). Tìm ma tr n Q = ([ f (u1 ) ] [ f (u2 ) ] ... [ f (un )]) . c a f trong c p cơ s : B = {u1 = (1;1;0), u2 = (0;1;1), u3 = (1;0;1)} và B′ = {u1/ = (2;1), u2 = (1;1)} . ( ) / – Dùng PBðSC dòng ñưa ma tr n ( S Q ) → I [ f ]B2 . B 1 VD 7. Tìm l i các ma tr n f trong VD 4 và VD 6. Trang 9
  10. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH §5. CHÉO HÓA MA TR N 5.1. Giá tr riêng, vector riêng c a PBðTT Cách tìm giá tr riêng và vector riêng: a) ð nh nghĩa • Bư c 1. Gi i phương trình ñ c trưng A − λ I = 0 ñ tìm Cho PBðTT f : ℝ n → ℝ n có ma tr n trong cơ s B = {u1, u2,…, un} là A. giá tr riêng λ. • S λ ∈ ℝ ñư c g i là giá tr riêng c a A (hay f) n u: • Bư c 2. Gi i h phương trình ( A − λ I ) x = θ , nghi m ∃x ∈ ℝ n , x ≠ θ : Ax = λ x . không t m thư ng là vector riêng.  0 0 1 VD 1. Cho A =  0 1 0  . • Vector x ñư c g i là vector riêng c a A (hay f) ng v i giá tr riêng λ .   1 0 0   • ða th c PA(λ) = det(A – λI) ñư c g i là ña th c ñ c trưng c a A (hay f) và λ là nghi m c a pt ñ c trưng PA(λ) = 0. Tìm giá tr riêng và vector riêng c a A. 5.2. Chéo hóa ma tr n 1 3 3 VD 2. Cho B =  −3 −5 −3  .   a) ð nh nghĩa 3 3 1   • Cho PBðTT f : ℝ n → ℝ n , n u có m t cơ s sao cho ma Tìm giá tr riêng và vector riêng c a B. tr n c a f là ma tr n ñư ng chéo thì ta nói f chéo hóa ñư c. b) Tính ch t • Các vector riêng ng v i giá tr riêng λ cùng v i vector • Ma tr n vuông A là chéo hóa ñư c n u nó ñ ng d ng v i không t o thành 1 không gian vector con riêng E(λ) c a ma tr n ñư ng chéo D, nghĩa là P–1AP = D. ℝn . Khi ñó, ta nói P làm chéo hóa A. • Các vector riêng ng v i giá tr riêng khác nhau thì ñ c l p tuy n tính. b) ði u ki n chéo hóa ñư c  0 0 0 VD 3. Cho A =  0 1 0  , xét ma tr n: ð nh lý   • N u A có n giá tr riêng ñôi phân bi t thì A chéo hóa ñư c. 1 0 1   • A chéo hóa ñư c khi và ch khi A có n giá tr riêng k c b i và s chi u c a t t c không gian con riêng b ng s b i  1 0 0 1 0 0  0 1 0  ⇒ P −1 =  0 1 0  . c a giá tr riêng tương ng. P=     −1 0 1    1 0 1   c) Thu t toán chéo hóa ma tr n • Bư c 1. Gi i phương trình ñ c trưng ñ tìm các giá tr  0 0 0  0 0 0 riêng c a A. Khi ñó: P −1 AP =  0 1 0  ⇒ A = P  0 1 0  P −1 .     1) N u A không có giá tr riêng nào thì A không chéo  0 0 1 0 0 1     hóa ñư c. • Bư c 3. L p ma tr n P có các c t là các vector cơ s c a E(λi). Khi ñó, P–1AP = D v i D là ma tr n ñư ng chéo có 2) Gi s A có k giá tr riêng phân bi t λ1, λ2,…, λk v i s b i tương ng n1, n2,…, nk. Khi ñó: các ph n t trên ñư ng chéo chính l n lư t là λi (xu t hi n a) n1 + n2 +…+ nk < n thì A không chéo hóa ñư c. liên ti p ni l n). b) n1 + n2 +…+ nk = n thì ta làm ti p bư c 2. VD 4. Chéo hóa các ma tr n: 3 0  1 0  A=  , B =  6 −1  . • Bư c 2. V i m i λi tính r(A – λiI) = ri. 8 −1     Khi ñó dimE(λi) = n – ri. VD 5. Chéo hóa các ma tr n : 1) N u có m t λi mà dimE(λi) < ni thì A không chéo hóa  0 0 0 1 3 3 ñư c.  0 1 0  , B =  −3 −5 −3  . A= 2) N u dimE(λi) = ni v i m i λi thì k t lu n A chéo hóa    1 0 1 3 3 1 ñư c. Ta làm ti p bư c 3.     Trang 10
  11. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH Chương 3. D NG TOÀN PHƯƠNG §1. KHÁI NI M D NG TOÀN PHƯƠNG 1.1. D ng toàn phương t ng quát VD 1. Tìm d ng toàn phương Q(x) hai bi n x1, x2.  1 −1  ð nh nghĩa Bi t ma tr n c a Q(x) là A =  . • Hàm s n bi n s x = (x1, x2,…, xn)  −1 2  Q : ℝ n → ℝ cho b i bi u th c n n Q ( x ) = [ x ] A [ x ] = ∑∑ aij xi x j (A là ma tr n ñ i x ng) T VD 2. Cho d ng toàn phương 3 bi n i =1 j =1 Q ( x ) = 2 x12 + 3x2 − x3 − x1 x2 + 6 x2 x3 . 2 2 n ñư c g i là d ng toàn phương trong ℝ . Tìm ma tr n A. • Ma tr n A và r(A) ñư c g i là ma tr n và h ng c a d ng toàn phương Q. 1.2. D ng chính t c c a d ng toàn phương 1.3. D ng toàn phương xác ñ nh d u ð nh nghĩa a) ð nh nghĩa • D ng chính t c là d ng toàn phương trong ℝ n ch ch a • D ng toàn phương Q(x) là xác ñ nh dương n u: n bình phương c a các bi n Q ( x ) = ∑ aii xi2 . Q ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ n ( x ≠ θ ) . i =1 • D ng toàn phương Q(x) là xác ñ nh âm n u: • Ma tr n A c a d ng chính t c là ma tr n ñư ng chéo. Q ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ n ( x ≠ θ ) . VD 3. Tìm d ng chính t c Q(x) hai bi n x1, x2. 1 0  • D ng toàn phương Q(x) là n a xác ñ nh dương (âm) n u: Bi t ma tr n c a Q(x) là A =  .  0 −2  Q ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ n (Q ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ n ) . VD 4. Cho d ng chính t c 3 bi n Q ( x ) = x12 − 5 x2 − 3x3 . 2 2 • D ng toàn phương Q(x) là không xác ñ nh n u nó nh n c giá tr dương l n âm. Tìm ma tr n A. b) các tiêu chu n xác ñ nh d u ð nh lý 2 (Sylvester) Cho ma tr n vuông c p n A = ( aij ) . ð nh th c: ð nh lý 1 n a11 ... a1k n • D ng toàn phương Q(x) c a ℝ xác ñ nh dương khi và Dk = ... ... ... (1 ≤ k ≤ n ) ñư c g i là ñ nh th c con ch khi t t c các h s d ng chính t c c a nó ñ u dương. ak 1 ... akk • D ng toàn phương Q(x) c a ℝ n xác ñ nh âm khi và ch chính c a A (A có n ñ nh th c con chính). khi t t c các h s d ng chính t c c a nó ñ u âm. • D ng toàn phương Q(x) c a ℝ n xác ñ nh dương khi và ch khi t t c các ñ nh th c con chính Dk > 0. • D ng toàn phương Q(x) c a ℝ n xác ñ nh âm khi và ch khi các ñ nh th c con chính c p ch n dương, c p l âm. §2. ðƯA D NG TOÀN PHƯƠNG V D NG CHÍNH T C a) Trư ng h p 1 (có 1 h s aii ≠ 0) Phương pháp chung • Bư c 1. Gi s a11 ≠ 0 , ta tách t t c các s h ng ch a x1 ð i bi n x ∈ ℝ n b ng bi n y ∈ ℝ n : [ x ] = P [ y ] ⇔ [ y ] = P −1 [ x ] trong Q(x) và thêm (b t) ñ có d ng: 1 ( a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ) + Q1 ( x2 , x3 ,..., xn ) , (P là ma tr n vuông không suy bi n, det P ≠ 0 ) sao cho Q( x) = 2 a11 D = PTAP có d ng chéo. Khi ñó: Q ( x ) = [ x ] A [ x ] = [ y ] D [ y ] (d ng chính t c theo bi n y). Q1 ( x2 , x3 ,..., xn ) có n – 1 bi n. T T ( ) ð i bi n y1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn , yi = xi i = 2, n . 2.1. Thu t toán Lagrange 1 ( y1 − a12 y2 − ... − a1n yn ) , ð i bi n ngư c x1 = Cho d ng toàn phương a11 n n n Q ( x ) = ∑∑ aij xi x j = ∑ aii xi2 + 2 ∑ ( ) aij xi x j (aij = aji). xi = yi i = 2, n . i =1 j =1 i =1 1≤ i < j ≤ n 12 V i bi n m i thì Q ( y ) = y1 + Q1 ( y2 ,..., yn ) . a11 Trang 11
  12. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH • Bư c 2. Ti p t c làm như bư c 1 cho Q1(y2,…, yn), sau 1 2.2. Thu t toán Jacobi Cho d ng toàn phương Q ( x ) có ma tr n A = ( aij ) th a s h u h n bư c thì Q(x) có d ng chính t c. b) Trư ng h p 2 (các h s aii = 0) n Dk ≠ 0, ∀k ∈1, n . V i j > i, ta ñ t Dj–1,i là ñ nh th c c a ma  x1 = y1 + y2  Gi s a12 ≠ 0 , ta ñ i bi n  x2 = y1 − y2 tr n có các ph n t n m trên giao c a các dòng 1, 2,…, j–1 . Khi ñó, và các c t 1, 2, …, i–1, i+1,…, j (b c t i) c a A.  x = y (i = 3,..., n ) i i Q = 2a12 y1 − 2a12 y2 + ... có h s c a y12 là a12 ≠ 0 . 2 2 • ð i bi n theo công th c:  x1 = y1 + b21 y2 + b31 y3 + b41 y4 + ... + bn1 yn Tr l i trư ng h p 1. x = y2 + b32 y3 + b42 y4 + ... + bn 2 yn VD 1. ðưa d ng toàn phương 2  Q = − x2 + 4 x3 + 2 x1 x2 + 4 x1 x3 v d ng chính t c. Tìm P. , 2 2 ............................................................ VD 2. ðưa d ng toàn phương Q = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3 v  xn = yn  d ng chính t c. Tìm P. 2.3. Thu t toán chéo hóa tr c giao D j −1,i v i b ji = ( −1)i + j . D j −1 a) ð nh nghĩa • Ma tr n vuông P ñư c g i là ma tr n tr c giao n u: PT = P–1 hay PTP = In. D2 2 D3 2 D • Khi ñó, Q = D1 y12 + y2 + y3 + ... + n yn . 2 • N u có ma tr n tr c giao P làm chéo hóa ma tr n A thì ta D1 D2 Dn −1 g i P chéo hóa tr c giao ma tr n A. VD 3. ðưa d ng toàn phương Chú ý Q = 2 x12 + x2 + x3 + 3x1 x2 + 4 x1 x3 v d ng chính t c. Tìm P. 2 2 – N u P = ( aij ) là ma tr n tr c giao thì : n n ∑a = 1 (t ng bình phương c t). 2 ij i =1 b) ð nh lý u3 v1 u3 v2 v3 = u3 − v1 − v2 ,… • M i d ng toàn phương Q(x) c a ℝ n ñ u ñưa ñư c v v1 v1 v2 v2 d ng chính t c Q = λ1 y12 + λ2 y2 + ... + λn yn b ng phép ñ i 2 2 (ký hi u u v là tích vô hư ng c a u và v). bi n [x] = P[y], v i P là ma tr n làm chéo hóa tr c giao A và các λi là các giá tr riêng c a A. vi 2) Chu n hóa wi = , v i vi là ñ dài vector vi. vi c) Thu t toán • Bư c 3. • Bư c 1. Ma tr n P = ([w1] [w2] … [wn]). Tìm các giá tr riêng λi và vector riêng ui (i = 1,…,n). • Bư c 2. Tr c chu n hóa ui như sau: VD 4. ðưa d ng toàn phương Q = 6 x12 + 6 x2 + 5 x3 − 4 x1 x2 − 2 x1 x3 − 2 x2 x3 v d ng chính 1) ð t 2 2 t c. Tìm P. Cho bi t A có λ1 = 3, u1 = (1;1;1); u2 v1 v1 = u1 , v2 = u2 − v1 , λ2 = 6, u2 = ( −1; −1; 2); λ3 = 8, u3 = ( −1;1;0) . v1 v1 §3. RÚT G N QUADRIC 2.4. Thu t toán bi n ñ i sơ c p ma tr n ñ i x ng 3.1. ðư ng b c hai trên m t ph ng t a ñ Oxy • Bư c 1. Bi n ñ i sơ c p dòng ( A I ) và ñ ng th i l p l i a) ð nh nghĩa • Trên mpOxy, ñư ng b c hai là t p h p t t c các ñi m các bi n ñ i cùng ki u trên các c t c a ( A I ) ñ ñưa A v M(x; y) có t a ñ th a phương trình: Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (1). d ng chéo. Khi ñó, I s tr thành PT và Trong ñó, A2 + B2 + C2 > 0.  λ1 0 ... 0  • Các d ng chính t c c a ñư ng b c hai:  0 λ ... 0  P AP =  . x2 y2 2 T 1) 2 + 2 = 1 (ñư ng elip);  ... ... ... ...  a b    0 0 0 λn  x2 y2 2) 2 − 2 = 1 (ñư ng hyperbol); • Bư c 2. ð i bi n [x] = P[y] ta có a b Q = λ1 y12 + λ2 y2 + ... + λn yn . 2 2 3) y 2 = 2 px (parabol); VD 5. ðưa d ng toàn phương Q = 2 x1 x2 − 4 x1 x3 + 6 x2 x3 v 4) x 2 − y 2 = 0 (c p ñư ng th ng c t nhau); d ng chính t c. Tìm P. Trang 12
  13. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH 5) y 2 = a , a > 0 (c p ñư ng th ng song song); • Cho (C) là ñư ng b c hai không suy bi n (Conic) có phương trình (1). 6) y = 0 (c p ñư ng th ng trùng nhau). 2  A B ð t Q= • Các ñư ng b c hai có phương trình d ng 1), 2) và 3) ñư c  , khi ñó: B C g i là không suy bi n. 1) (C) là ñư ng elip ⇔ det Q > 0 ; 2) (C) là ñư ng hyperbol ⇔ det Q < 0 ; b) Nh n bi t các ñư ng Conic • Cho (C) là ñư ng b c hai có phương trình (1). 3) (C) là ñư ng parabol ⇔ det Q = 0 ;  A B D 4) (C) là ñư ng tròn ⇔ A = C ≠ 0, B = 0 . ð t Q =  B C E  , khi ñó:   c) Phương pháp l p phương trình chính t c c a ñư ng D E F   b c hai () • Gi s ñư ng b c hai (C) có phương trình (1) trong Oxy. (C) không suy bi n ⇔ det Q ≠ 0 ⇔ r Q = 3 . Xét d ng toàn phương: Q(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 xác ñ nh b i ph n ñ ng c p trong (1). • Bư c 1. Chính t c hóa tr c giao Q(x, y) nh phép quay VD 2. L p phương trình chính t c c a (C): 5x2 + 4xy + 8y2 – 32x – 56y + 80 = 0 trong Oxy. thích h p trong h t a ñ ñang xét. Gi i. Xét d ng toàn phương Q(x, y) = 5x2 + 4xy + 8y2. • Bư c 2. T nh ti n h t a ñ m t cách thích h p ñ phương trình (C) có d ng chính t c. 5 2 Ta có Q =   VD 1. Xác ñ nh d ng c a ñư ng b c hai 2 8 (C): x2 – 4xy + 4y2 + 4x – 3y – 7 = 0.  2 −2 1 1 2 −  5 () Ta có Q =  −2 4 −3 / 2  ⇒ r Q = 3 5 ⇒P=  là ma tr n tr c giao chéo hóa Q.    1  −3 / 2 E  2 −7      5 5 ⇒ (C) không suy bi n.  cos ϕ sin ϕ   1 −2  Quay quanh O m t góc ϕ sao cho P =  , Q=  ⇒ det Q = 0 ⇒ (C) là ñư ng parabol.  − sin ϕ cos ϕ   −2 4   1 2  x = 5 x′ − y′ 2 2  8  1  5  x′ −   y′ +  nghĩa là ta ñ i t a ñ :  .  5  5  y = 2 x′ + 1 ⇔ + =1. y′  4 9  5 5  8 Khi ñó, (C) có phương trình:  X = x′ −  144 8 5 9 x ′2 + 4 y ′2 − x′ + y ′ + 80 = 0 Dùng phép t nh ti n h t a ñ :  thì 1 5 5 Y = y ′ +   2 2 5  8  1 ⇔ 9  x′ −  + 4  y′ +  = 36 2 2 X Y  5  5 + = 1 (elip). (C ) : 4 9 3.2. M t b c hai trong không gian t a ñ Oxyz x2 y 2 z2 + − = 0 (nón eliptic); 4) a) ð nh nghĩa a2 b2 c 2 • Trong không gian Oxyz, m t b c hai là t p h p t t c các x2 y2 + 2 = 2 z (parabolit eliptic); ñi m M(x; y; z) có t a ñ th a phương trình: 5) a2 Ax2 + 2Bxy + 2Cxz + Dy2 + 2Eyz + Fz2 + 2Gx + 2Hy + b x2 y2 2Kz + L = 0(2). − 2 = 2 z (parabolit hyperbolic – yên ng a); 6) Trong ñó A, B, C, D, E, F không ñ ng th i b ng 0. a2 b • Các d ng chính t c c a m t b c hai: x2 y2 + 2 = 1 (m t tr eliptic); x2 y2 z2 7) 1) 2 + 2 + 2 = 1 (m t elipxoit); a2 b a b c x2 y2 − 2 = 1 (m t tr hyperbolic); 8) 2 2 z2 x y 2) 2 + 2 − 2 = 1 (hyperboloit 1 t ng); a2 b a b c = 2 px (m t tr parabolic). y2 9) 2 2 z2 x y 3) 2 + 2 − 2 = −1 (hyperboloit 2 t ng); a b c Trang 13
  14. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH 22x2 + 8xy + 28y2 + 15z2 – 112x – 184y – 30z + 343 = 0. b) Nh n bi t các m t b c hai • Cho (S) là m t b c hai có phương trình (2). Gi i. Ta có A B C G  A B C B D E H 0 −56   22 4 ð t Q =  B D E  và Q =   , ta có:  22 4 0  4 0 −92    28 Q =  4 28 0  và Q =  C E F K  . C E F        15 −15  0 0  0 0 15  G H K L       −56 −92 −15 343  () (S) không suy bi n ⇔ det Q ≠ 0 ⇔ r Q = 4 . Khi ñó: () Do r Q = 4 nên (S) không suy bi n. 1) (S) là m t elipxoit ⇔ Q xác ñ nh dương ho c xác ñ nh âm. Theo ñ nh lý Sylvester, Q có 2) (S) là m t parabolic ⇔ det Q = 0 . D1 = 22 > 0; D2 = 600 > 0; D3 = 9000 > 0 nên Q xác ñ nh VD 3. Xác ñ nh d ng c a m t b c hai sau ñây r i l p dương. V y (S) là m t elipxoit. phương trình chính t c (S): 480 40   1 2 30 x ′2 + 20 y ′2 + 15z ′2 − x′ − y ′ − 30 z ′ + 343 = 0 − 0  5 5 5 5    22 4 0  2 2  4 28 0  ⇒ P =    8  1 2 1 Ta có: Q =   x′ −   y′ − 0  là ma   5  ( z ′ − 1)  2  5  5 5  0 0 15    ⇔ + + =1.    1 0 0 2 3 4      8  X = x′ − 5 tr n tr c giao chéo hóa Q.    1 2 1  x = 5 x′ − 5 y ′ Dùng phép t nh ti n h t a ñ : Y = y ′ − 5   Z = z′ − 1  2 1 x′ + y′ . ð i t a ñ : y =   5 5   z = z′ X 2 Y 2 Z2 + + = 1 (m t elipxoit).  thì ( S ) :  2 3 4 Khi ñó, (S) có phương trình: ……………………………H t……………………………. Trang 14
Đồng bộ tài khoản