Slide bài giảng toán a2 đại học

Chia sẻ: ntgioi1204

Giáo trình Toán cao câp A2 – Nguyen Phú Vinh – ĐHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao câp – ĐHCN TP.HCM. 3. Toán cao câp A2 – ðo Công Khanh – NXBĐHQG TP. HCM. 4. Toán cao câp A2 – Nguyen ðình Trí – NXB Giáo dục. 5. Toán cao câp A2 – Nguyen Viêt ðông – NXB Giáo dục. 6. Toán cao câp đại số Tuyên tính – Lê Sĩ Đông – NXB Giáo dục.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Slide bài giảng toán a2 đại học

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH
TOÁN CAO C P A2 ð I H C
Tài li u tham kh o
1. Giáo trình Toán cao c p A2 – Nguy n Phú Vinh – ðHCN TP. HCM.
2. Ngân hàng câu h i Toán cao c p – ðHCN TP.HCM.
3. Toán cao c p A2 – ð Công Khanh – NXBðHQG TP. HCM.
4. Toán cao c p A2 – Nguy n ðình Trí – NXB Giáo d c.
5. Toán cao c p A2 – Nguy n Vi t ðông – NXB Giáo d c.
6. Toán cao c p ð i s Tuy n tính – Lê Sĩ ð ng – NXB Giáo d c.
7. Bài t p Toán cao c p ð i s Tuy n tính – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo d c.
8. ð i s tuy n tính – Bùi Xuân H i (ch biên) – ðHKHTN TP. HCM.

Chương 1. MA TR N – ð NH TH C – H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH
§1. MA TR N

1.1. ð nh nghĩa • Khi m = 1, A = (a11 a12 … a1n) là ma tr n dòng; n = 1,
a) Ma tr n A c p m × n trên ℝ là 1 h th ng g m m.n s  a11 
( ) A =  ...  là ma tr n c t; m = n = 1, A = (a11) (1 ph n t ).
aij ∈ ℝ i = 1, m; j = 1, n và ñư c s p x p thành b ng:
 
a 
 m1 
 a11 a12 ... a1n 
a  • T p h p các ma tr n A là M m ,n (ℝ ) , ñ cho g n ta vi t
 21 a22 ... a2 n  (g m m dòng và n c t).
A=
A = ( aij )m×n .
 ... ... ... ... 
 
 am1 am 2 ... amn 
b) Hai ma tr n A và B b ng nhau, ký hi u A = B khi và ch
• aij là các ph n t c a A dòng th i và c t th j.
khi chúng cùng kích thư c và aij = bij.
• C p s (m, n) là kích thư c c a A.


VD 1. Các ma tr n vuông ñ c bi t:
y   1 0 −1  • ðư ng chéo ch a a11, a22, …, ann là ñư ng chéo chính c a
1 x
=  ⇔ x = 0; y = −1; z = 2; u = 2; t = 3 .
z 2 A, ñư ng chéo còn l i là ñư ng chéo ph .
 t  2 u 3 
• Ma tr n vuông có t t c các ph n t n m ngoài ñư ng
chéo chính ñ u b ng 0 là ma tr n chéo.
c) Ma tr n Ο = (0ij )m×n g m t t c các ph n t ñ u b ng 0 là • Ma tr n chéo c p n g m t t c các ph n t trên ñư ng
chéo chính ñ u b ng 1 là ma tr n ñơn v c p n, ký hi u In.
ma tr n không.
 1 0 0
1 0  
d) Khi m = n: A là ma tr n vuông c p n, ký hi u A = ( aij ) n . VD 2. I 2 =   , I3 =  0 1 0  .
0 1 0 0 1
 


• Ma tr n tam giác trên (dư i) c p n là ma tr n có các ph n • Ma tr n ph n ñ i x ng c p n là ma tr n có các ph n t ñ i
t n m phía dư i (trên) ñư ng chéo chính ñ u b ng 0. x ng qua ñư ng chéo chính ñ i nhau (aij = –aji) và t t c các
 1 0 −2  ph n t trên ñư ng chéo chính ñ u b ng 0.
VD 3. A =  0 −1 1  là ma tr n tam giác trên;
  4 −1 
3
0 0 0 
 
VD 4. A =  4 1 0  là ma tr n ñ i x ng;
 
 3 0 0  −1 
0 2

B =  4 1 0  là ma tr n tam giác dư i.
  −4 1 
0
 −1 5 2 
 
B= 4 0 0  là ma tr n ph n ñ i x ng.
 
• Ma tr n ñ i x ng c p n là ma tr n có các ph n t ñ i x ng  −1 
0 0

qua ñư ng chéo chính b ng nhau (aij = aji).

b) Nhân vô hư ng
1.2. Các phép toán trên ma tr n
Cho A = ( aij )m×n , λ ∈ ℝ ta có:
a) Phép c ng và tr
Cho A = ( aij )m×n , B = (bij ) m×n ta có:
λ A = (λ aij ) m×n .
A ± B = ( aij ± bij )m×n .
 −1 1 0   3 −3 0 
VD 6. −3  = ;
 −1 2  2 0 2 1 4
0 0
 −2 0 −4   6 0 12 
+ =
VD 5.  ;
3 −4   5 −3 1   7 0 −3 
2  2 6 4  1 3 2
 −4 0 8  = 2  −2 0 4  .
 −1 0 2   2 0 2   −3 0
0
   
− = .
2 3 −4   5 −3 1   −3 6 −5 
 • Phép nhân vô hư ng có tính phân ph i ñ i v i phép c ng
ma tr n.
• Ma tr n –A là ma tr n ñ i c a A.
• Phép c ng ma tr n có tính giao hoán và k t h p.
Trang 1
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH



c) Nhân hai ma tr n • Phép nhân ma tr n có các tính ch t:
• Cho A = ( aij )m×n , B = (b jk )n× p ta có:
1) (AB)C = A(BC);
( )
n
AB = ( cik )m× p , cik = ∑ aij b jk i = 1, m; k = 1, p . 2) A(B + C) = AB + AC;
3) (A + B)C = AC + BC;
j =1
4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);
 −1 
5) AI n = A = I m A , v i A ∈ M m ,n (ℝ ) .
 1 0 0 0
VD 7. Tính a) (1 2 3)  2  ; b)  ;


 4 0   −3 2 
 −5 
 VD 8. Tính
 1 −1 2   0 1 3   2 −1 2   −1 
2 0 1
 1 1 −1    2 −3 0   −1 −2 1   1 0 −2   1  ;
 1 −1 2  .
c)  a) 
−2 0 3      
  −1 3 −2   −1 1 4   2 −1 −3   3 1 0   −2 
      


 1 −1
 1 0 −1   −1 −2 1 
VD 9. a) Cho A =  2009
 , tính A ;
b)  2 −2 0   0 −3 1  và  0 1
  
 3 0 −3   2 −1 0 
 2 0
  
b) Cho B =  2009
 , tính (I2 – B) .
 −1 −2 1   1 0 −1   1 2
 0 −3 1   2 −2 0  . VD 10. Cho A = (aij) là ma tr n vuông c p 100 có các ph n
   dòng th i là (–1)i. Tìm ph n t a36 c a A2.
 2 −1 0   3 0 −3  t
  
d) Phép chuy n v
• Phép nhân ma tr n không có tính giao hoán. • Cho A = ( aij )m×n , ma tr n chuy n v c a A là:
• ð c bi t, khi A = ( aij ) n và p ∈ ℕ* ta có:
AT = (a ji )n ×m (chuy n t t c dòng thành c t).
A0 = In; Ap = Ap–1A (lũy th a ma tr n).


– (e1): Hoán v hai dòng cho nhau A  A′ .
di ↔ d k

• Tính ch t:
1) (A + B)T = AT + BT; di → λ di
– (e2): Nhân 1 dòng v i s λ ≠ 0 , A → A′′ .
2) (λA)T = λAT;
– (e3): Thay 1 dòng b i t ng c a dòng ñó v i tích λ dòng
3) (AT)T = A;
di → di + λ d k
khác A → A′′′ .
4) (AB)T = BTAT;
5) AT = A ⇔ A ñ i x ng;
Chú ý
6) AT = − A ⇔ A ph n x ng. di → µ d i + λ d k
1) Trong th c hành ta thư ng làm A  B . →
2) Sau 1 s h u h n các PBðSC dòng ta ñư c ma tr n
1.3. Phép bi n ñ i sơ c p trên dòng c a ma tr n
B tương ñương v i A, ký hi u B ∼ A .
a) ð nh nghĩa
3) Tương t , ta cũng có các phép bi n ñ i sơ c p trên
• Cho A = ( aij )m×n (m ≥ 2) . Các phép bi n ñ i sơ c p dòng
c t c a ma tr n.
e trên A là:


 1 −2 3   1 −2 1.4. Ma tr n b c thang và ma tr n b c thang rút g n
3
 2 1 −1 và B =  0 1 −7 / 5  .
VD 11. Cho A =     a) Ma tr n b c thang
 3 −1 2  0 0 
0
   • Hàng có t t c các ph n t ñ u b ng 0 ñư c g i là hàng
b ng 0.
Ch ng t A ∼ B .

• Ph n t khác 0 ñ u tiên tính t trái sang c a 1 hàng ñư c
b) Ma tr n sơ c p
g i là ph n t cơ s c a hàng ñó.
• Ma tr n thu ñư c t In b i ñúng 1 phép bi n ñ i sơ c p
dòng (c t) là ma tr n sơ c p.
• Ma tr n b c thang là ma tr n khác 0 c p m × n (m, n ≥ 2)
0 0 1 1 0 0  1 0 0
 0 1 0  ,  0 −5 0  và  2 1 0  là các ma th a:
VD 12.      1) Các hàng b ng 0 dư i các hàng khác 0;
1 0 0 0 0 1 0 0 1
     2) Ph n t cơ s c a 1 hàng b t kỳ n m bên ph i
tr n sơ c p. ph n t cơ s c a hàng trên nó.




Trang 2
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH



VD 13. b) Ma tr n b c thang rút g n
1 0 2 0 1 2 3
+  0 0 3 ,  0 0 4 5  và In là các ma tr n b c thang;
• Ma tr n b c thang rút g n là ma tr n b c thang có ph n t
   cơ s c a m t dòng b t kỳ ñ u b ng 1 và là ph n t khác 0
0 0 0 0 0 
0 1
  duy nh t c a c t ch a nó.
0 2 7 2 3 5
 0 3 4  và  0 0 0  không là ma tr n b c thang.
VD 14.
+    1 3 0 0  0 1 0 3
0 0 5 0 
I n,  0 0  và  0 0 1 2  là các ma tr n b c
1 3
   1 0
  
0 0  0 0 0 0
0 1
  
ð nh lý
thang rút g n.
• M i ma tr n ñ u có th ñưa v b c thang b ng h u h n
phép bi n ñ i sơ c p trên dòng.


1.5. Ma tr n kh ngh ch VD 15.
 3 −5 
 2 5
A=  và B =  −1 2  là ngh ch ñ o c a nhau vì
a) ð nh nghĩa
 1 3  
AB = BA = I2.
• Ma tr n A ∈ M n (ℝ ) ñư c g i là kh ngh ch n u t n t i
B ∈ M n ( ℝ ) sao cho AB = BA = In. Nh n xét
Ma tr n B là duy nh t và ñư c g i là ma tr n ngh ch ñ o 1) N u ma tr n vuông A có 1 dòng (ho c 1 c t)
c a A, ký hi u A–1. Khi ñó: b ng 0 thì không kh ngh ch.
A–1A = AA–1 = In; (A–1)–1 = A. 2) M i ma tr n sơ c p ñ u kh ngh ch và ma tr n
ngh ch ñ o cũng là ma tr n sơ c p.
3) (AB)–1 = B–1A–1.
• N u B là ma tr n ngh ch ñ o c a A thì A cũng là ma tr n
ngh ch ñ o c a B.


1) N u A′ có 1 dòng (c t) b ng 0 ho c A′ ≠ I n thì A
b) Tìm ma tr n ngh ch ñ o b ng phép bi n ñ i sơ c p
dòng không kh ngh ch.

• Cho A ∈ M n (ℝ ) , ta tìm A–1 như sau: 2) N u A′ = I n thì A kh ngh ch và A–1 = B.
Bư c 1.
L p ma tr n ( A I n ) (ma tr n chia kh i) b ng cách ghép In VD 16. Tìm ma tr n ngh ch ñ o (n u có) c a:
 1 −1 0 1 
vào bên ph i A.
 1 1 −1 
 0 −1 1 0 
Bư c 2.
 và B =  1 0 1  .
A=
Dùng phép bi n ñ i sơ c p dòng ñ ñưa ( A I n ) v d ng  
0 0 1 1 2 1 0 
   
( A′ B ) ( A′ là ma tr n b c thang dòng rút g n). 0 0 0 1


§2. ð NH TH C


2.1. ð nh nghĩa b) ð nh th c

• ð nh th c c p n c a ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) ,
a) Ma tr n con c p k
n


• Cho ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) . Ma tr n vuông ký hi u detA hay A , là 1 s th c ñư c ñ nh nghĩa:
n

c p k ñư c l p t các ph n t n m trên giao k dòng và k c t
1) A c p 1: A = ( a11 ) ⇒ det A = a11 ;
c a A ñư c g i là ma tr n con c p k c a A.
a a12 
2) A c p 2: A =  11  ⇒ det A = a11a22 − a12 a21 ;
• Ma tr n Mij c p n–1 thu ñư c t A b ng cách b ñi dòng
 a21 a22 
th i và c t th j là ma tr n con c a A ng v i ph n t aij.
3) A c p n: det A = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n, trong
ñó Aij = (–1)i+jdet(Mij) là ph n bù ñ i s c a ph n t aij.




Trang 3
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH



2.2. Các tính ch t cơ b n c a ñ nh th c
Chú ý
• Cho ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) , ta có các tính
a11 a12 a13
n
a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13
• a21 a22 ch t cơ b n sau:
Tính ch t 1
a31 a32 a33
det ( AT ) = det A .
−a31a22 a13 − a12 a21a33 − a23a32 a11 (quy t c 6 ñư ng chéo).
−1
ð c bi t. 1 3 2 1 2
det In = 1, det 0n = 0.
−2 1 = 3 −2
VD 2. 2 1;
VD 1. Tính các ñ nh th c c a:
−1 1 1 2 1 1
1 0 2 0 
 1 2 −1   4 1 2 −1 
 3 −2  1 3 2 1 0 0
, B =  3 −2 1  và C =  .
A=    0 −2 1 = 3 −2 0 .
3 1 0 2 
1 4  2 1 1 
 
  0 0 1 2 1 1
2 3 3 5 


Tính ch t 2. Hoán v hai dòng (c t) cho nhau thì ñ nh th c Tính ch t 3. Nhân 1 dòng (c t) v i s th c λ thì ñ nh th c
ñ i d u. tăng lên λ l n.
3 0 −3 1 0 −1
VD 3.
−1 1 1 1 −1 1
132 VD 5. 2 1 −2 = 3 2 1 −2 ;
−2 1 = − 2 −2 1 = −2
2 2 1. 31 7 31 7
−1 1 1 1 3 2 3 1 2
x +1 x
3
x3
1x x
H qu
( x + 1) 1 y y3 = x +1 y y3 .
• ð nh th c có ít nh t 2 dòng (c t) gi ng nhau thì b ng 0.
x +1 z
z3 z3
1z
VD 4.
x x2 x3 1 y2 y5
331 H qu
1) ð nh th c có ít nh t 1 dòng (c t) b ng 0 thì b ng 0.
y =0; 1 y y =0.
2 2 1 =0; 1 2 5 2 5
y
2) ð nh th c có 2 dòng (c t) t l v i nhau thì ñ nh th c
y2 y5 1 y2 y5
117 1 b ng 0.


Tính ch t 4 Chú ý
1 5 d1 →d 2 − 2 d1 0 −7
• N u ñ nh th c có 1 dòng (c t) mà m i ph n t là t ng c a
=
• Phép bi n ñ i là sai do dòng 1 ñã
2 s h ng thì có th tách thành t ng 2 ñ nh th c.
23 13
x + 1 x x3 x x x3 1 x x3
nhân v i s –2.
VD 6. x + 1 y y3 = x y3 + 1 y3 .
y y
x −1 z −1 z 2.3. ð nh lý Laplace
z3 z3 z3
x z
• Cho ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) , ta có các khai
Tính ch t 5 n
• ð nh th c s không ñ i n u ta c ng vào 1 dòng (c t) v i λ tri n det A sau:
l n dòng (c t) khác. a) Khai tri n theo dòng th i
det A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain
123 x11
VD 7. Tính các ñ nh th c: −1 2 −1 ; 1 x 1. n
.
= ∑ aij Aij , Aij = ( −1)i + j det( M ij )
2 3 4 11 x j =1




VD 9. Áp d ng tính ch t và ñ nh lý Laplace, tính ñ nh th c:
b) Khai tri n theo c t th j
det A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj 1112
2 −1 1 3
.
n
= ∑ aij Aij , Aij = ( −1)i + j det( M ij ) .
1 2 −1 2
i =1

3 3 2 1
1002 Các k t qu ñ c bi t:
2112
VD 8. Tính ñ nh th c a11 a12 ... a1n a11 0 ... 0
1223
0 a22 ... a2 n a21 a22 ... 0
3021 = = a11a22 ...ann
1)
... ... ... ... ... ... ... ...
b ng cách khai tri n theo dòng 1; c t 2.
0 0 ... ann an1 an 2 ... ann
(d ng tam giác).


Trang 4
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH



2) det(AB) = detA.detB (ñ nh th c c a tích hai ma tr n).
 1 1 −1   2 1 4   −3 1 4 
T


c)  2 0 3   2 1 3   0 1 2  =
AB
= det A.det C , v i A, B, C ∈ M n ( ℝ)
3)    
0n C  1 2 −3   1 2 1   1 2 1 
   
(ñ nh th c chia kh i).
1 1 −1 2 1 4 −3 1 4
1234
=2 0 3 2 1 3 0 1 2.
0 −2 7 19 1 2 3 0
=
VD 10. a) ;
1 2 −3 1 2 1 1 2 1
0 −2 0 −1
0030
0 −1
0 0
2.4. ng d ng ñ nh th c tìm ma tr n ngh ch ñ o
 1 1 −1   2 1 4  1 1 −1 2 1 4 a) ð nh lý
b)  2 0 3   2 1 3  = 2 0 3 2 1 3 ; • Ma tr n vuông A kh ngh ch khi và ch khi det A khác 0.
  
 1 2 −3   1 2 1  1 2 −3 1 2 1
  


b) Thu t toán tìm A–1 VD 11. Tìm ma tr n ngh ch ñ o (n u có) c a:
1 2 1 1 2 1
 1 1 2  và B =  0 1 1 .
• Bư c 1
A=   
Tính det A. N u det A = 0 thì k t lu n A không kh ngh ch,
3 5 4 1 2 
3
  
ngư c l i làm ti p bư c 2.

• Bư c 2 Nh n xét
L p ma tr n ( Aij ) ⇒ A = ( Aij ) (ma tr n ph h p c a A).
T
T

• N u ac − bd ≠ 0 thì:
n n

−1
−b 
 a b c
1
d c =
• Bư c 3. Ma tr n ngh ch ñ o là:
 −d .
ac − bd
   a
1 T
A−1 = .A .
det A


c) Phương pháp tìm h ng c a ma tr n
2.5. H ng c a ma tr n
a) ð nh th c con c p k ð nh lý
• Cho ma tr n A = ( aij ) • H ng c a ma tr n b c thang (dòng) b ng s dòng khác 0
. ð nh th c c a ma tr n con c p
m×n
c a ma tr n ñó.
k c a A ñư c g i là ñ nh th c con c p k c a A. • Cho A là ma vuông c p n, r ( A) = n ⇔ det A ≠ 0 .
ð nh lý
Phương pháp
• N u trong ma tr n A t t c các ñ nh th c con c p k ñ u
• Bư c 1. Dùng PBðSC dòng ñưa ma tr n A v b c thang.
b ng 0 thì các ñ nh th c con c p k + 1 cũng b ng 0.
• Bư c 2. S dòng khác 0 c a A sau bi n ñ i là r(A).
 2 1 −1 3 
b) H ng c a ma tr n
 0 −1 0 0 
• H ng c a ma tr n A là c p cao nh t c a ñ nh th c con
VD 12. Tìm h ng c a ma tr n A =  .
0 1 2 0 
khác 0 c a A, ký hi u r(A). Ta có:
1 ≤ r ( A) ≤ min{m, n} .  
 0 −1 1 −4 
• N u A là ma tr n không thì ta quy ư c r(A) = 0.


VD 13. Tìm h ng c a ma tr n
−3 4 2 
1
A = 2 −5 1 4  .
 
3 
−8 5 6 


VD 14. Tùy theo giá tr m, tìm h ng c a ma tr n
 −1 2 1 −1 1 
 m −1 1 −1 −1
A= .
1 m 0 1 1
 
−1 1 
1 2 2




Trang 5
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH

§3. H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH

3.1. ð nh nghĩa  b1 
B =  ...  = ( b1 ... bm ) (ma tr n c t t do)
• H phương trình tuy n tính g m n n và m phương trình T

có d ng:
b 
 m
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a x + a x + ... + a x = b  x1 
 21 1 22 2
và X =  ...  = ( x1 ... xn ) là ma tr n c t n.
2n n 2
 (1). T

................................................. x 
am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm  n

Khi ñó, h (1) tr thành AX = B .
 a11 ... a1n 
ð t A =  ... ... ...  = ( aij ) (ma tr n h s ),
• B s α = (α1 ... α n ) ñư c g i là nghi m c a (1) n u
  T
m×n
a 
 m1 ... amn  Aα = B .


 x1 − x2 + 2 x3 + 4 x4 = 4 3.2. ð nh lý Crocneker – Capelli

VD 1. Cho h phương trình: 2 x1 + x2 + 4 x3 = −3
• Cho h phương trình tuy n tính AX = B. Xét ma tr n m
2 x − 7 x = 5
2  a11 a12 ... a1n b1 
3

 
r ng A = ( A B ) =  ...
ðưa h v d ng ma tr n:
... ... ... ...  .
 x1  a 
 1 −1 2 4     4   m1 am 2 ... amn bm 
 2 1 4 0   x2  =  − 3  .
()
H có nghi m khi và ch khi r A = r ( A) = r .
  
 0 2 −7 0   x3   5 
 x   

 4 Khi ñó:
1) r = n: H phương trình tuy n tính có nghi m duy nh t;
Khi ñó, (1; –1; –1; 1) là 1 nghi m c a h .
2) r < n: H phương trình tuy n tính có vô s nghi m ph
thu c vào n – r tham s .


3.3. Phương pháp gi i h phương trình tuy n tính a11 ... b j ... a1n
a) Phương pháp ma tr n ngh ch ñ o
∆ j = ... ... , j = 1, n (thay c t j trong A b i
... ... ...
• Cho h pttt AX = B, A là ma tr n vuông c p n kh ngh ch.
an1 ... b j ... ann
Ta có AX = B ⇔ X = A−1 B .
2 x + y − z = 1 c t t do).

VD 2. Gi i h phương trình  y + 3z = 3 .
Khi ñó, ta có các trư ng h p:

 2 x + y + z = −1 ∆j
1) N u ∆ ≠ 0 thì h có nghi m duy nh t x j = , ∀j = 1, n .
b) Phương pháp ñ nh th c (Cramer) ∆
• Cho h pttt AX = B, A là ma tr n vuông c p n.
2) N u ∆ = ∆ j = 0, ∀j = 1, n thì h có vô s nghi m (thay
a11 ... a1 j ... a1n
tham s vào h và tính tr c ti p).
ð t ∆ = det A = ... ... ... ... ... ,
3) N u ∆ = 0 và ∃∆ j ≠ 0, j = 1, n thì h vô nghi m.
an1 ... anj ... ann



c) Phương pháp Gauss
• Bư c 1. ðưa ma tr n m r ng ( A B ) v d ng b c thang
VD 3. Gi i h phương trình sau b ng ñ nh th c:
2 x + y − z = 1 b i PBðSC trên dòng.

 y + 3z = 3 . • Bư c 2. Gi i ngư c t dòng cu i cùng lên trên.
 2 x + y + z = −1

Chú ý
Trong quá trình th c hi n bư c 1, n u:
VD 4. Tùy theo tham s m, gi i và bi n lu n h phương
1) Có 2 dòng t l thì xóa ñi 1 dòng;
trình:
2) Có dòng nào b ng 0 thì xóa dòng ñó;
mx + y + z = 1
3) Có 1 dòng d ng ( 0 ... 0 b ) , b ≠ 0 thì k t lu n h vô

 x + my + z = m .
nghi m.
 x + y + mz = m 2
4) G p h gi i ngay ñư c thì không c n ph i ñưa ( A B ) v

b c thang.



Trang 6
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH



3.4. H phương trình tuy n tính thu n nh t
a) ð nh nghĩa
VD 5. Gi i h phương trình:
 x1 + 6 x2 + 2 x3 − 5 x4 − 2 x5 = −4 • H pttt thu n nh t là h pttt có d ng:
 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0
2 x1 + 12 x2 + 6 x3 − 18 x4 − 5 x5 = −5 .
a x + a x + ... + a x = 0
3x + 18 x + 8 x − 23x − 6 x = −2  21 1 22 2
1 ⇔ AX = θ (2).
2n n

2 3 4 5

.............................................
am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0
VD 6. Gi i h phương trình: 
5x1 − 2 x2 + 5 x3 − 3x4 = 3 Nh n xét

()
4 x1 + x2 + 3x3 − 2 x4 = 1 . • Do r A = r ( A) nên h pttt thu n nh t luôn có nghi m.
2 x + 7 x − x = −1
1 Nghi m (0; 0;…; 0) ñư c g i là nghi m t m thư ng.
2 3




b) ð nh lý
• H (2) ch có nghi m t m thư ng
⇔ r ( A) = n ⇔ det A ≠ 0 .

c) Liên h v i h pttt t ng quát
ð nh lý
• Xét h pttt t ng quát AX = B (1) và h pttt thu n nh t
AX = θ (2).
Khi ñó:
1) Hi u hai nghi m b t kỳ c a (1) là nghi m c a (2);
2) T ng 1 nghi m b t kỳ c a (1) và 1 nghi m b t kỳ c a (2)
là nghi m c a (1).

Chương 2. KHÔNG GIAN VECTOR
§1. KHÁI NI M KHÔNG GIAN VECTOR

VD 1. T p nghi m c a h phương trình tuy n tính thu n
1.1. ð nh nghĩa nh t là không gian vector.
T p V = { A ∈ M n (ℝ )} các ma tr n vuông c p n là kgvt.
• Không gian vector V trên ℝ là c p (V, ℝ ) trang b hai
phép toán
{ }
V = u = ( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ ℝ, ∀i ∈1, n là kgvt Euclide ℝ n .
V ×V → V ℝ ×V → V
th a 8 tính ch t sau:
(λ , y ) ֏ λ x
( x, y ) ֏ x + y 1.2. Không gian con c a kgvt
• Cho kgvt V, t p W ⊂ V là kgvt con c a V n u (W, ℝ )
1) x + y = y + x;
cũng là m t kgvt.
2) (x + y) + z = x + (y + z);
• Cho kgvt V, t p W ⊂ V là kgvt con c a V n u:
3) ∃!θ ∈V : x + θ = θ + x = x ;
( x + λ y ) ∈ W , ∀x , y ∈ W , ∀λ ∈ ℝ .
4) ∃( − x ) ∈V : ( − x ) + x = x + ( − x ) = θ ;
VD 2. T p W = {θ } là kgvt con c a m i kgvt V.
5) (λ1λ2 ) x = λ1 (λ2 x ) ; 6) λ ( x + y ) = λ x + λ y ;
7) (λ1 + λ2 ) x = λ1 x + λ2 x ; 8) 1.x = x. Trong ℝ n , t p W = {u = ( x1 ,0,...,0) x1 ∈ ℝ} là kgvt con.

ð C L P TUY N TÍNH VÀ PH THU C TUY N TÍNH
§2. S

2.1. ð nh nghĩa ð nh lý
• H n vector ph thu c tuy n tính ⇔ ∃ 1 vector là t h p
Trong kgvt V, cho n vector ui (i = 1, 2,…, n).
n
tuy n tính c a n – 1 vector còn l i.
∑λ u ,λ ∈ℝ ñư c g i là m t t h p tuy n tính c a
• T ng VD 2. N u x1 = 2x2 – 3x3 thì h {x1, x2, x3} là ph thu c
ii i
i =1
tuy n tính.
n vector ui.
H qu
• H n vector {u1, u2,…, un} ñư c g i là ñ c l p tuy n tính
• H có 1 vector không thì ph thu c tuy n tính.
n

∑λ u = θ thì λi = 0, ∀i = 1, n . • N u có 1 b ph n c a h ph thu c tuy n tính thì h ph
n u có ii
thu c tuy n tính.
i =1
• H n vector {u1, u2,…, un} không là ñ c l p tuy n tính thì
ñư c g i là ph thu c tuy n tính. 2.2. H vector trong ℝ n
VD 1. Trong ℝ 2 , h {u1 = (1;–1), u2 = (2; 3)} là ñltt. ð nh nghĩa
Trong ℝ n , h {ui = (0; 0;…; 1; 0;…; 0)} (v trí th i là 1) • Trong ℝ n cho m vector ui = ( ai1 , ai 2 ,..., ain ), i = 1, m .
Ta g i A = ( aij )
là ñltt.
là ma tr n dòng c a m vector ui.
Trong ℝ3 , h {u1=(–1;3;2), u2=(2;0;1), u3=(0;6;5)} là pttt. m×n




Trang 7
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH

§3. CƠ S – S CHI U – T A ð
ð nh lý 3.1. Cơ s c a kgvt
{u1 , u2 ,..., um }
• Trong ℝ n , h ñ c l p tuy n tính khi và ch
ð nh nghĩa
khi r(A) = m (b ng s ph n t c a h ).
• Trong kgvt V, h B = {u1, u2,…, un} ñư c g i là m t cơ s
• Trong ℝ n , h {u1 , u2 ,..., um } ph thu c tuy n tính khi và c a V n u h B ñltt và m i vector c a V ñ u bi u di n tuy n
ch khi r(A) < m. tính qua B.
VD 3. Xét s ñltt hay pttt c a các h :
B1 = {(–1;2;0), (1;5;3), (2;3;3)}, B2 = {(–1; 2; 0), (2; 1; 1)}. VD 1.
– Trong ℝ n , h
H qu E = {e1 = (1; 0;…; 0), e2 = (0; 1;…; 0), …, en = (0;…; 0; 1)}
• Trong ℝ n , h có nhi u hơn n vector thì ph thu c tuy n là cơ s chính t c.
tính. – Trong ℝ 2 , h B = {u1 = (1;–1), u2 = (2; 3)} là cơ s .
• Trong ℝ n , h n vector ñ c l p tuy n tính ⇔ det A ≠ 0 .


3.3. T a ñ
3.2. S chi u c a kgvt
a) ð nh nghĩa
ð nh nghĩa • Trong kgvt V cho cơ s B = {u1, u2,…, un}. Khi ñó, m i
x ∈V có bi u di n tuy n tính duy nh t x = x1u1+…+xnun.
• Kgvt V ñư c g i là có n chi u, ký hi u dimV = n, n u
trong V có ít nh t 1 h g m n vector ñltt và m i h g m n+1 Ta nói x có t a ñ ñ i v i B là (x1,…, xn).
vector ñ u pttt.  x1 
Ký hi u [ x ]B =  ...  .

ð nh lý
x 
 n
• dimV = n khi và ch khi trong V t n t i 1 cơ s g m n
vector. • ð c bi t, t a ñ c a vector x ñ i v i cơ s chính t c E là
[x]E = [x] (t a ñ c t thông thư ng c a x).
H qu VD 2. Trong ℝ 2 cho cơ s B = {u1 = (2;–1), u2 = (1; 1)} và
• Trong ℝ n , m i h g m n vector ñltt ñ u là cơ s . x = (3;–5). Tìm [x]B.


b) ð i cơ s VD 3. Trong ℝ 2 cho 2 cơ s B1 = {u1 = (1; 0), u2 = (0;–1)},
• Ma tr n chuy n cơ s 1
B2 = {v1 = (2;–1), v2 = (1; 1)} và [ x ]B =   .
– Trong kgvt V cho 2 cơ s
 2
2
B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vn}.
([ v ] [v2 ]B ... [vn ]B ) b) Tìm [ x ]B .
a) Tìm PB1 → B2 ;
ñư c g i là ma tr n chuy n
Ma tr n 1
1 B1 1 1
ð nh lý
cơ s t B1 sang B2. Ký hi u PB1 → B2 .
Trong kgvt ℝ n cho 3 cơ s B1, B2 và B3. Khi ñó:
– ð c bi t, n u E là cơ s chính t c thì: 1) PBi → Bi = I n (i = 1, 2, 3);
PE → B1 = ([u1 ] [u2 ] ... [un ]) .
2) PB1 → B3 = PB1 → B2 .PB2 → B3 ;

( )
−1
3) PB1 → B2 = PB2 → B1
• Công th c ñ i t a ñ .
[ x ]B1 = PB1 → B2 [ x ]B2 .


• Trong kgvt ℝ n , ta có:
H qu
u1 , u2 ,..., um = {x ∈ ℝ n : x = λ1u1 + λ2 u2 + ... + λm um , λi ∈ ℝ} .
( )
−1
PB1 → B2 = PB1 → E PE → B2 = PE → B1 PE → B2 .

Khi ñó:
VD 4. Gi i l i VD 3.
1) dim = r(S) (h ng ma tr n dòng m vector c a S);
2) N u dim = r thì m i h con g m r vector ñltt c a S
3.4. Không gian con sinh b i 1 h vector
ñ u là cơ s c a spanS.
• Trong kgvt V cho h m vector S = {u1,…, um}. T p t t c
VD 5.
các t h p tuy n tính c a S ñư c g i là không gian con sinh
Trong ℝ 4 cho h vector
b i S trên ℝ . Ký hi u spanS ho c .
S = {u1 =(–2; 4;–2;–4), u2 = (2;–5;–3; 1), u3 = (–1; 3; 4; 1)}.
Tìm 1 cơ s và dimspanS.




Trang 8
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH
§4. ÁNH X TUY N TÍNH

f(x1; x2) = (x1 – x2; 2 + 3x2) không là PBðTT t ℝ 2 → ℝ 2 .
4.1. ð nh nghĩa
• Ánh x f : ℝ n → ℝ m th a
Chú ý
 f ( x + y) = f ( x) + f ( y)
∀x , y ∈ ℝ n , ∀λ ∈ ℝ  f ( x + y) = f ( x) + f ( y)

 f (λ x ) = λ f ( x ) ði u ki n 
 f (λ x ) = λ f ( x )
ñư c g i là ánh x tuy n tính.
⇔ f ( x + λ y ) = f ( x ) + λ f ( y ) ∀x , y ∈ ℝ n , ∀λ ∈ ℝ .
• Ánh x f : ℝ n → ℝ n th a
VD 2. Các PBðTT thư ng g p trong m t ph ng:
 f ( x + y) = f ( x) + f ( y)
∀x , y ∈ ℝ n , ∀λ ∈ ℝ
 1) Phép chi u vuông góc xu ng tr c Ox, Oy:
 f (λ x ) = λ f ( x ) f(x; y) = (x; 0), f(x; y) = (0; y).
ñư c g i là phép bi n ñ i tuy n tính. 2) Phép ñ i x ng qua Ox, Oy:
VD 1. f(x; y) = (x;–y), f(x; y) = (–x; y).
f(x1; x2; x3) = (x1–x2 +x3; 2x1 +3x2) là AXTT t ℝ 3 → ℝ 2 . 3) Phép quay góc φ quanh g c t a ñ O:
f(x1; x2) = (x1 – x2; 2x1 + 3x2) là PBðTT t ℝ 2 → ℝ 2 . f(x; y) = (xcosφ – ysinφ; xsinφ + ycosφ).



 a11 an 1 
4.2. Ma tr n c a ánh x tuy n tính a12 ...
a a22 ... an 2 
a) ð nh nghĩa
[ f ]B12 =  21 .
• Cho AXTT f : ℝ n → ℝ m và hai cơ s l n lư t là
 ... ... ... ... 
B

 
B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vm}.
([ f (u ) ] ) ñư c  a m1 am 2 ... amn 
[ f (u2 )]B ... [ f (un )]B
Ma tr n c p m × n
• Cho PBðTT f : ℝ → ℝ n
1 B2 n
và cơ s B = {u1, u2,…, un}.
2 2

g i là ma tr n c a AXTT f trong c p cơ s B1, B2.
([ f (u )] [ f (u )] ... [ f (u )] ) ñư c
Ma tr n vuông c p n
Ký hi u [ f ]B12 ho c A. 1 2 n
B B B
B
g i là ma tr n c a PBðTT f trong cơ s B.
 f ( u1 ) = a11v1 + a21v2 + a31v3 + ... + am1vm
Ký hi u [ f ]B ho c [f] ho c A.

 f ( u2 ) = a12 v1 + a22 v2 + a32 v3 + ... + am 2 vm Chú ý
C th , n u  thì
• N u A là ma tr n c a AXTT f trong c p cơ s B1, B2 thì
....................................................................
 f ( u ) = a v + a v + a v + ... + a v f ( x1 , x2 ,..., xn ) = A( x1 x2 ... xn )T .
 n 1n 1 2n 2 3n 3 mn m




b) Ma tr n ñ ng d ng
VD 3. a) Cho AXTT
f(x, y, z, t) = (3x + y – z; x – 2y + t; y + 3z – 2t).
ð nh nghĩa
Tìm [ f ]E3 .
E4
• Hai ma tr n vuông A, B c p n ñư c g i là ñ ng d ng v i
E3
b) Cho AXTT f(x, y) = (3x; x – 2y; –5y). Tìm [ f ] . nhau n u t n t i ma tr n kh ngh ch P th a B = P–1AP.
E2

c) Cho PBðTT f(x, y, z) = (3x + y – z; x – 2y; y + 3z).
ð nh lý
Tìm [ f ]E3 .
• N u AXTT f : ℝ n → ℝ m có ma tr n trong các c p cơ s
VD 4. Cho AXTT f : ℝ 2 → ℝ 3 có ma tr n c a f trong hai
(B , B ) , (B , B ) tương ng là A1, A2 và P = PB1 → B2 ,
/ /
 1 −3  1 1 2 2


cơ s chính t c E2 và E3 là A =  0 2  . P′ = PB / → B / thì A2 = ( P ′) A1 P .
−1

  1 2
4 3 
• ð c bi t, n u PBðTT f : ℝ n → ℝ n có ma tr n trong hai
 
cơ s B1, B2 l n lư t là A, B và P = PB1 → B2 thì B = P–1AP.
Tìm ma tr n f trong hai cơ s B1 = {u1 = (1; 1), u2 = (1; 2)}
và B2 = {v1 = (1; 0; 1), v2 = (1; 1; 1), v3 = (1; 0; 0)}.


c) Thu t toán tìm ma tr n c a AXTT
• Cho AXTT f : ℝ n → ℝ m và hai cơ s l n lư t là
VD 5.
Cho PBðTT f(x, y) = (x + y; x – 2y). Tìm ma tr n c a f B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vm}.
trong cơ s chính t c E và trong B={u1=(2;1),u2=(1;–1)}.
– Ký hi u:
VD 6.
S = ([ v1 ] [ v2 ] ... [vm ]) (ma tr n c t các vector c a B2),
Cho AXTT f(x, y, z) = (x + y – z; x – y + z). Tìm ma tr n
Q = ([ f (u1 ) ] [ f (u2 ) ] ... [ f (un )]) .
c a f trong c p cơ s :
B = {u1 = (1;1;0), u2 = (0;1;1), u3 = (1;0;1)}
và B′ = {u1/ = (2;1), u2 = (1;1)} .
( )
/
– Dùng PBðSC dòng ñưa ma tr n ( S Q ) → I [ f ]B2 .
B
1

VD 7. Tìm l i các ma tr n f trong VD 4 và VD 6.



Trang 9
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH
§5. CHÉO HÓA MA TR N

5.1. Giá tr riêng, vector riêng c a PBðTT Cách tìm giá tr riêng và vector riêng:
a) ð nh nghĩa
• Bư c 1. Gi i phương trình ñ c trưng A − λ I = 0 ñ tìm
Cho PBðTT f : ℝ n → ℝ n có ma tr n trong cơ s
B = {u1, u2,…, un} là A. giá tr riêng λ.

• S λ ∈ ℝ ñư c g i là giá tr riêng c a A (hay f) n u: • Bư c 2. Gi i h phương trình ( A − λ I ) x = θ , nghi m
∃x ∈ ℝ n , x ≠ θ : Ax = λ x . không t m thư ng là vector riêng.
 0 0 1
VD 1. Cho A =  0 1 0  .
• Vector x ñư c g i là vector riêng c a A (hay f) ng v i
giá tr riêng λ .  
1 0 0
 
• ða th c PA(λ) = det(A – λI) ñư c g i là ña th c ñ c trưng
c a A (hay f) và λ là nghi m c a pt ñ c trưng PA(λ) = 0. Tìm giá tr riêng và vector riêng c a A.


5.2. Chéo hóa ma tr n
1 3 3
VD 2. Cho B =  −3 −5 −3  .
  a) ð nh nghĩa
3 3 1
 
• Cho PBðTT f : ℝ n → ℝ n , n u có m t cơ s sao cho ma
Tìm giá tr riêng và vector riêng c a B.
tr n c a f là ma tr n ñư ng chéo thì ta nói f chéo hóa ñư c.
b) Tính ch t
• Các vector riêng ng v i giá tr riêng λ cùng v i vector • Ma tr n vuông A là chéo hóa ñư c n u nó ñ ng d ng v i
không t o thành 1 không gian vector con riêng E(λ) c a ma tr n ñư ng chéo D, nghĩa là P–1AP = D.
ℝn . Khi ñó, ta nói P làm chéo hóa A.
• Các vector riêng ng v i giá tr riêng khác nhau thì ñ c
l p tuy n tính.


b) ði u ki n chéo hóa ñư c
 0 0 0
VD 3. Cho A =  0 1 0  , xét ma tr n:
ð nh lý
  • N u A có n giá tr riêng ñôi phân bi t thì A chéo hóa ñư c.
1 0 1
  • A chéo hóa ñư c khi và ch khi A có n giá tr riêng k c
b i và s chi u c a t t c không gian con riêng b ng s b i
 1 0 0 1 0 0
 0 1 0  ⇒ P −1 =  0 1 0  . c a giá tr riêng tương ng.
P=   
 −1 0 1   
1 0 1
  c) Thu t toán chéo hóa ma tr n
• Bư c 1. Gi i phương trình ñ c trưng ñ tìm các giá tr
 0 0 0  0 0 0
riêng c a A.
Khi ñó: P −1 AP =  0 1 0  ⇒ A = P  0 1 0  P −1 .
    1) N u A không có giá tr riêng nào thì A không chéo
 0 0 1 0 0 1
    hóa ñư c.


• Bư c 3. L p ma tr n P có các c t là các vector cơ s c a
E(λi). Khi ñó, P–1AP = D v i D là ma tr n ñư ng chéo có
2) Gi s A có k giá tr riêng phân bi t λ1, λ2,…, λk v i s
b i tương ng n1, n2,…, nk. Khi ñó: các ph n t trên ñư ng chéo chính l n lư t là λi (xu t hi n
a) n1 + n2 +…+ nk < n thì A không chéo hóa ñư c. liên ti p ni l n).
b) n1 + n2 +…+ nk = n thì ta làm ti p bư c 2. VD 4. Chéo hóa các ma tr n:
3 0  1 0 
A=  , B =  6 −1  .
• Bư c 2. V i m i λi tính r(A – λiI) = ri.
8 −1 
  
Khi ñó dimE(λi) = n – ri.
VD 5. Chéo hóa các ma tr n :
1) N u có m t λi mà dimE(λi) < ni thì A không chéo hóa
 0 0 0 1 3 3
ñư c.
 0 1 0  , B =  −3 −5 −3  .
A=
2) N u dimE(λi) = ni v i m i λi thì k t lu n A chéo hóa
  
1 0 1 3 3 1
ñư c. Ta làm ti p bư c 3.
   




Trang 10
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH
Chương 3. D NG TOÀN PHƯƠNG
§1. KHÁI NI M D NG TOÀN PHƯƠNG
1.1. D ng toàn phương t ng quát
VD 1. Tìm d ng toàn phương Q(x) hai bi n x1, x2.
 1 −1 
ð nh nghĩa
Bi t ma tr n c a Q(x) là A =  .
• Hàm s n bi n s x = (x1, x2,…, xn)
 −1 2 
Q : ℝ n → ℝ cho b i bi u th c
n n
Q ( x ) = [ x ] A [ x ] = ∑∑ aij xi x j (A là ma tr n ñ i x ng)
T

VD 2. Cho d ng toàn phương 3 bi n
i =1 j =1
Q ( x ) = 2 x12 + 3x2 − x3 − x1 x2 + 6 x2 x3 .
2 2
n
ñư c g i là d ng toàn phương trong ℝ .
Tìm ma tr n A.
• Ma tr n A và r(A) ñư c g i là ma tr n và h ng c a d ng
toàn phương Q.



1.2. D ng chính t c c a d ng toàn phương 1.3. D ng toàn phương xác ñ nh d u
ð nh nghĩa
a) ð nh nghĩa
• D ng chính t c là d ng toàn phương trong ℝ n ch ch a
• D ng toàn phương Q(x) là xác ñ nh dương n u:
n
bình phương c a các bi n Q ( x ) = ∑ aii xi2 . Q ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ n ( x ≠ θ ) .
i =1
• D ng toàn phương Q(x) là xác ñ nh âm n u:
• Ma tr n A c a d ng chính t c là ma tr n ñư ng chéo.
Q ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ n ( x ≠ θ ) .
VD 3. Tìm d ng chính t c Q(x) hai bi n x1, x2.
1 0  • D ng toàn phương Q(x) là n a xác ñ nh dương (âm) n u:
Bi t ma tr n c a Q(x) là A =  .
 0 −2  Q ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ n (Q ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ n ) .
VD 4. Cho d ng chính t c 3 bi n Q ( x ) = x12 − 5 x2 − 3x3 .
2 2
• D ng toàn phương Q(x) là không xác ñ nh n u nó nh n c
giá tr dương l n âm.
Tìm ma tr n A.


b) các tiêu chu n xác ñ nh d u ð nh lý 2 (Sylvester)

Cho ma tr n vuông c p n A = ( aij ) . ð nh th c:
ð nh lý 1
n

a11 ... a1k
n
• D ng toàn phương Q(x) c a ℝ xác ñ nh dương khi và
Dk = ... ... ... (1 ≤ k ≤ n ) ñư c g i là ñ nh th c con
ch khi t t c các h s d ng chính t c c a nó ñ u dương.
ak 1 ... akk
• D ng toàn phương Q(x) c a ℝ n xác ñ nh âm khi và ch
chính c a A (A có n ñ nh th c con chính).
khi t t c các h s d ng chính t c c a nó ñ u âm.
• D ng toàn phương Q(x) c a ℝ n xác ñ nh dương khi và
ch khi t t c các ñ nh th c con chính Dk > 0.
• D ng toàn phương Q(x) c a ℝ n xác ñ nh âm khi và ch
khi các ñ nh th c con chính c p ch n dương, c p l âm.


§2. ðƯA D NG TOÀN PHƯƠNG V D NG CHÍNH T C
a) Trư ng h p 1 (có 1 h s aii ≠ 0)
Phương pháp chung
• Bư c 1. Gi s a11 ≠ 0 , ta tách t t c các s h ng ch a x1
ð i bi n x ∈ ℝ n b ng bi n
y ∈ ℝ n : [ x ] = P [ y ] ⇔ [ y ] = P −1 [ x ] trong Q(x) và thêm (b t) ñ có d ng:
1
( a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ) + Q1 ( x2 , x3 ,..., xn ) ,
(P là ma tr n vuông không suy bi n, det P ≠ 0 ) sao cho Q( x) =
2

a11
D = PTAP có d ng chéo. Khi ñó:
Q ( x ) = [ x ] A [ x ] = [ y ] D [ y ] (d ng chính t c theo bi n y). Q1 ( x2 , x3 ,..., xn ) có n – 1 bi n.
T T


( )
ð i bi n y1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn , yi = xi i = 2, n .
2.1. Thu t toán Lagrange
1
( y1 − a12 y2 − ... − a1n yn ) ,
ð i bi n ngư c x1 =
Cho d ng toàn phương
a11
n n n
Q ( x ) = ∑∑ aij xi x j = ∑ aii xi2 + 2 ∑ ( )
aij xi x j (aij = aji).
xi = yi i = 2, n .
i =1 j =1 i =1 1≤ i < j ≤ n

12
V i bi n m i thì Q ( y ) = y1 + Q1 ( y2 ,..., yn ) .
a11



Trang 11
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH



• Bư c 2. Ti p t c làm như bư c 1 cho Q1(y2,…, yn), sau 1 2.2. Thu t toán Jacobi
Cho d ng toàn phương Q ( x ) có ma tr n A = ( aij ) th a
s h u h n bư c thì Q(x) có d ng chính t c.
b) Trư ng h p 2 (các h s aii = 0) n

Dk ≠ 0, ∀k ∈1, n . V i j > i, ta ñ t Dj–1,i là ñ nh th c c a ma
 x1 = y1 + y2

Gi s a12 ≠ 0 , ta ñ i bi n  x2 = y1 − y2 tr n có các ph n t n m trên giao c a các dòng 1, 2,…, j–1
. Khi ñó,
và các c t 1, 2, …, i–1, i+1,…, j (b c t i) c a A.
 x = y (i = 3,..., n )
i i

Q = 2a12 y1 − 2a12 y2 + ... có h s c a y12 là a12 ≠ 0 .
2 2
• ð i bi n theo công th c:
 x1 = y1 + b21 y2 + b31 y3 + b41 y4 + ... + bn1 yn
Tr l i trư ng h p 1.
x = y2 + b32 y3 + b42 y4 + ... + bn 2 yn
VD 1. ðưa d ng toàn phương 2

Q = − x2 + 4 x3 + 2 x1 x2 + 4 x1 x3 v d ng chính t c. Tìm P. ,
2 2

............................................................
VD 2. ðưa d ng toàn phương Q = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3 v  xn = yn

d ng chính t c. Tìm P.


2.3. Thu t toán chéo hóa tr c giao
D j −1,i
v i b ji = ( −1)i + j .
D j −1
a) ð nh nghĩa
• Ma tr n vuông P ñư c g i là ma tr n tr c giao n u:
PT = P–1 hay PTP = In.
D2 2 D3 2 D
• Khi ñó, Q = D1 y12 + y2 + y3 + ... + n yn .
2
• N u có ma tr n tr c giao P làm chéo hóa ma tr n A thì ta
D1 D2 Dn −1
g i P chéo hóa tr c giao ma tr n A.
VD 3. ðưa d ng toàn phương
Chú ý
Q = 2 x12 + x2 + x3 + 3x1 x2 + 4 x1 x3 v d ng chính t c. Tìm P.
2 2

– N u P = ( aij ) là ma tr n tr c giao thì :
n
n

∑a = 1 (t ng bình phương c t).
2
ij
i =1




b) ð nh lý u3 v1 u3 v2
v3 = u3 − v1 − v2 ,…
• M i d ng toàn phương Q(x) c a ℝ n ñ u ñưa ñư c v
v1 v1 v2 v2
d ng chính t c Q = λ1 y12 + λ2 y2 + ... + λn yn b ng phép ñ i
2 2

(ký hi u u v là tích vô hư ng c a u và v).
bi n [x] = P[y], v i P là ma tr n làm chéo hóa tr c giao A
và các λi là các giá tr riêng c a A. vi
2) Chu n hóa wi = , v i vi là ñ dài vector vi.
vi
c) Thu t toán
• Bư c 3.
• Bư c 1.
Ma tr n P = ([w1] [w2] … [wn]).
Tìm các giá tr riêng λi và vector riêng ui (i = 1,…,n).
• Bư c 2. Tr c chu n hóa ui như sau: VD 4. ðưa d ng toàn phương
Q = 6 x12 + 6 x2 + 5 x3 − 4 x1 x2 − 2 x1 x3 − 2 x2 x3 v d ng chính
1) ð t 2 2


t c. Tìm P. Cho bi t A có λ1 = 3, u1 = (1;1;1);
u2 v1
v1 = u1 , v2 = u2 − v1 ,
λ2 = 6, u2 = ( −1; −1; 2); λ3 = 8, u3 = ( −1;1;0) .
v1 v1

§3. RÚT G N QUADRIC
2.4. Thu t toán bi n ñ i sơ c p ma tr n ñ i x ng 3.1. ðư ng b c hai trên m t ph ng t a ñ Oxy
• Bư c 1. Bi n ñ i sơ c p dòng ( A I ) và ñ ng th i l p l i a) ð nh nghĩa
• Trên mpOxy, ñư ng b c hai là t p h p t t c các ñi m
các bi n ñ i cùng ki u trên các c t c a ( A I ) ñ ñưa A v M(x; y) có t a ñ th a phương trình:
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (1).
d ng chéo. Khi ñó, I s tr thành PT và
Trong ñó, A2 + B2 + C2 > 0.
 λ1 0 ... 0 
• Các d ng chính t c c a ñư ng b c hai:
 0 λ ... 0 
P AP =  . x2 y2
2
T
1) 2 + 2 = 1 (ñư ng elip);
 ... ... ... ... 
a b
 
 0 0 0 λn  x2 y2
2) 2 − 2 = 1 (ñư ng hyperbol);
• Bư c 2. ð i bi n [x] = P[y] ta có a b
Q = λ1 y12 + λ2 y2 + ... + λn yn .
2 2
3) y 2 = 2 px (parabol);
VD 5. ðưa d ng toàn phương Q = 2 x1 x2 − 4 x1 x3 + 6 x2 x3 v 4) x 2 − y 2 = 0 (c p ñư ng th ng c t nhau);
d ng chính t c. Tìm P.

Trang 12
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH



5) y 2 = a , a > 0 (c p ñư ng th ng song song); • Cho (C) là ñư ng b c hai không suy bi n (Conic) có
phương trình (1).
6) y = 0 (c p ñư ng th ng trùng nhau).
2

 A B
ð t Q=
• Các ñư ng b c hai có phương trình d ng 1), 2) và 3) ñư c  , khi ñó:
B C
g i là không suy bi n.
1) (C) là ñư ng elip ⇔ det Q > 0 ;
2) (C) là ñư ng hyperbol ⇔ det Q < 0 ;
b) Nh n bi t các ñư ng Conic
• Cho (C) là ñư ng b c hai có phương trình (1). 3) (C) là ñư ng parabol ⇔ det Q = 0 ;
 A B D 4) (C) là ñư ng tròn ⇔ A = C ≠ 0, B = 0 .
ð t Q =  B C E  , khi ñó:
  c) Phương pháp l p phương trình chính t c c a ñư ng
D E F
  b c hai
()
• Gi s ñư ng b c hai (C) có phương trình (1) trong Oxy.
(C) không suy bi n ⇔ det Q ≠ 0 ⇔ r Q = 3 . Xét d ng toàn phương: Q(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2
xác ñ nh b i ph n ñ ng c p trong (1).


• Bư c 1. Chính t c hóa tr c giao Q(x, y) nh phép quay VD 2. L p phương trình chính t c c a
(C): 5x2 + 4xy + 8y2 – 32x – 56y + 80 = 0 trong Oxy.
thích h p trong h t a ñ ñang xét.
Gi i. Xét d ng toàn phương Q(x, y) = 5x2 + 4xy + 8y2.
• Bư c 2. T nh ti n h t a ñ m t cách thích h p ñ phương
trình (C) có d ng chính t c. 5 2
Ta có Q =  
VD 1. Xác ñ nh d ng c a ñư ng b c hai
2 8
(C): x2 – 4xy + 4y2 + 4x – 3y – 7 = 0.
 2
−2 1
1 2 −
 5
()
Ta có Q =  −2 4 −3 / 2  ⇒ r Q = 3 5
⇒P=  là ma tr n tr c giao chéo hóa Q.
 
 1
 −3 / 2 E  2
−7 
  
 5 5
⇒ (C) không suy bi n.
 cos ϕ sin ϕ 
 1 −2  Quay quanh O m t góc ϕ sao cho P =  ,
Q=  ⇒ det Q = 0 ⇒ (C) là ñư ng parabol.  − sin ϕ cos ϕ 
 −2 4 


 1 2
 x = 5 x′ − y′ 2 2
 8  1
 5
 x′ −   y′ + 
nghĩa là ta ñ i t a ñ :  .
 5  5
 y = 2 x′ + 1 ⇔ + =1.
y′
 4 9
 5 5
 8
Khi ñó, (C) có phương trình:
 X = x′ −

144 8 5
9 x ′2 + 4 y ′2 − x′ + y ′ + 80 = 0 Dùng phép t nh ti n h t a ñ :  thì
1
5 5 Y = y ′ +


2 2
5
 8  1
⇔ 9  x′ −  + 4  y′ +  = 36 2 2
X Y
 5  5 + = 1 (elip).
(C ) :
4 9



3.2. M t b c hai trong không gian t a ñ Oxyz x2 y 2 z2
+ − = 0 (nón eliptic);
4)
a) ð nh nghĩa
a2 b2 c 2
• Trong không gian Oxyz, m t b c hai là t p h p t t c các
x2 y2
+ 2 = 2 z (parabolit eliptic);
ñi m M(x; y; z) có t a ñ th a phương trình: 5)
a2
Ax2 + 2Bxy + 2Cxz + Dy2 + 2Eyz + Fz2 + 2Gx + 2Hy + b
x2 y2
2Kz + L = 0(2).
− 2 = 2 z (parabolit hyperbolic – yên ng a);
6)
Trong ñó A, B, C, D, E, F không ñ ng th i b ng 0. a2 b
• Các d ng chính t c c a m t b c hai:
x2 y2
+ 2 = 1 (m t tr eliptic);
x2 y2 z2 7)
1) 2 + 2 + 2 = 1 (m t elipxoit); a2 b
a b c
x2 y2
− 2 = 1 (m t tr hyperbolic);
8)
2 2
z2
x y
2) 2 + 2 − 2 = 1 (hyperboloit 1 t ng); a2 b
a b c
= 2 px (m t tr parabolic).
y2
9)
2 2
z2
x y
3) 2 + 2 − 2 = −1 (hyperboloit 2 t ng);
a b c



Trang 13
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH




22x2 + 8xy + 28y2 + 15z2 – 112x – 184y – 30z + 343 = 0.
b) Nh n bi t các m t b c hai
• Cho (S) là m t b c hai có phương trình (2). Gi i.
Ta có
A B C G
 A B C B D E H 0 −56 
 22 4
ð t Q =  B D E  và Q =   , ta có:  22 4 0  4 0 −92 
  28
Q =  4 28 0  và Q = 
C E F K  .
C E F   
 
  15 −15 
0 0
 0 0 15 
G H K L   
 
 −56 −92 −15 343 
()
(S) không suy bi n ⇔ det Q ≠ 0 ⇔ r Q = 4 . Khi ñó:
()
Do r Q = 4 nên (S) không suy bi n.
1) (S) là m t elipxoit ⇔ Q xác ñ nh dương ho c xác ñ nh
âm.
Theo ñ nh lý Sylvester, Q có
2) (S) là m t parabolic ⇔ det Q = 0 .
D1 = 22 > 0; D2 = 600 > 0; D3 = 9000 > 0 nên Q xác ñ nh
VD 3. Xác ñ nh d ng c a m t b c hai sau ñây r i l p
dương. V y (S) là m t elipxoit.
phương trình chính t c (S):


480 40
 
1 2 30 x ′2 + 20 y ′2 + 15z ′2 − x′ − y ′ − 30 z ′ + 343 = 0
− 0
 5 5
5 5
 
 22 4 0  2 2
 4 28 0  ⇒ P =    8  1
2 1
Ta có: Q =   x′ −   y′ −
0  là ma 

5  ( z ′ − 1)
 2
 5 
5 5
 0 0 15    ⇔ + + =1.
 
 1
0 0 2 3 4
 

  8
 X = x′ − 5
tr n tr c giao chéo hóa Q.

 
1 2 1
 x = 5 x′ − 5 y ′ Dùng phép t nh ti n h t a ñ : Y = y ′ −
5


Z = z′ − 1
 2 1
x′ + y′ .
ð i t a ñ : y = 

5 5

 z = z′ X 2 Y 2 Z2
+ + = 1 (m t elipxoit).
 thì ( S ) :
 2 3 4
Khi ñó, (S) có phương trình:

……………………………H t…………………………….




Trang 14
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản