Sức bền vật liệu - Chương 4 Trạng thái ứng xuất

Chia sẻ: Hi Car Car | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

0
68
lượt xem
9
download

Sức bền vật liệu - Chương 4 Trạng thái ứng xuất

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xét một điểm K trong một vật thể cân bằng và các mặt cắt qua K , trên các mặt cắt ấy có các ứng xuật pháp & và ứng xuất tiếp j . Các ứng xuất này thay đổi tùy vị trí mặt cắt

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Sức bền vật liệu - Chương 4 Trạng thái ứng xuất

  1. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ Chöông 4 TRAÏNG THAÙI ÖÙNG SUAÁT 4.1 NHÖÕNG KHAÙI NIEÄM VEÀ TRAÏNG THAÙI ÖÙNG SUAÁT. 4.1.1 TRAÏNG THAÙI ÖÙNG SUAÁT (TTÖS)TAÏI MOÄT ÑIEÅM. Xeùt moät ñieåm K trong moät vaät theå caân y baèng vaø caùc maët caét qua K, treân caùc maët P1 P2 caét aáy coù caùc öùng suaát phaùp σ vaø öùng suaát τ σ tieáp τ. Caùc öùng suaát naøy thay ñoåi tuøy vò trí K • P3 maët caét (H.4.1). P4 Ñònh nghóa TTÖÙS: TTÖS taïi moät ñieåm x laø taäp hôïp taát caûû nhöõng öùng suaát treân caùc z H.4.1. ÖÙng suaát taïi moät ñieåm maët ñi qua ñieåm aáyù. TTÖS taïi moät ñieåm ñaëc tröng cho möùc ñoä chòu löïc cuûa vaät theå taïi ñieåm ñoù. Nghieân cöùu TTÖS laø tìm ñaëc ñieåm vaø lieân heä giöõa caùc öùng suaát σ , τ, xaùc ñònh öùng suaát lôùn nhaát, nhoû nhaát ñeå tính toaùn ñoä beàn hay giaûi thích, ñoaùn bieát daïng phaù hoûng cuûa vaät theå chòu löïc. 4.1.2 Bieåu dieãn TTÖS taïi moät ñieåm y Töôûng töôïng taùch moät phaân toá hình σ y hoäp voâ cuøng beù bao quanh ñieåm K. Caùc τ τ yz yx maët phaân toá song song vôùi caùc truïc toaï τ τ xy zy ñoä (H 4.2). σ τ z τ σ zx xz x Treân caùc maët cuûa phaân toá seõ coù chín x thaønh phaàn öùng suaát: z H.4.2 +Ba öùng suaát phaùp: σx , σy , σz Caùc thaønh phaàn öùng suaát +Saùu öùng suaát tieáp. τxy , τyx , τxz , τzx , τyz , τzy , ÖÙng suaát phaùp σ coù 1 chæ soá chæ phöông phaùp tuyeán maët coù σ . ÖÙng suaát tieáp τ coù hai chæ soá: Chæ soá thöù nhaát chæ phöông phaùp tuyeán cuûa maët caét coù τ, chæ soá thöù hai chæ phöông cuûa τ. ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 1 http://www.ebook.edu.vn
  2. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ 4.1.3 Ñònh luaät ñoái öùng cuûa öùng suaát tieáp Treân hai maët vuoâng goùc, neáu maët naày coù öùng suaát tieáp höôùng vaøo caïnh ( höôùng ra khoûi caïnh ) thì maët kia cuõng coù öùng suaát tieáp höôùng vaøo caïnh ( höôùng ra khoûi caïnh ), trò soá hai öùng suaát baèng nhau ( H.4.3) ⎮τxy ⎮ = ⎮τyx ⎮; ⎮τxz⎮=⎮τzx⎮ ; ⎮τyz ⎮ =⎮τzy ⎮ (4.1) TTÖÙS taïi moät ñieåm coøn 6 thaønh phaàn öùng suaát τ τ 4.1.4 Maët chính, phöông chính vaø öùng suaát chính. Phaân loaïi TTÖS Lyù thuyeát ñaøn hoài ñaõ chöùng minh raèng taïi moät ñieåm baát kyø cuûa vaät theå chòu löïc luoân tìm ñöôïc moät phaân toá hình hoäp vuoâng goùc maø treân caùc maët cuûa phaân toá ñoù chæ coù öùng suaát phaùp, maø khoâng coù öùng suaát tieáp (H4.4a). Nhöõng maët ñoù goïi laø maët chính. Phaùp tuyeán cuûa maët chính goïi laø phöông chính. ÖÙng suaát phaùp treân maët chính goïi laø öùng suaát chính vaø kyù hieäu laø: σ1 , σ2 vaø σ3. Quy öôùc: σ1 > σ2 > σ3. Thí duï : σ1 = 200 N/cm2; σ2 = −400 N/cm2; σ3 = −500 N/cm2 a) Phaân loaïi TTÖS : b) c) - TTÖS khoái : Ba öùng H. 4.4 Caùc loaïi traïng thaùi öùng suaát suaát chính khaùc khoâng (H.4.4a). - TTÖS phaúng: Hai öùng suaát chính khaùc khoâng (H.4.4b). - TTÖS ñôn: Moät öùng suaát chính khaùc khoâng (H.4.4c). ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 2 http://www.ebook.edu.vn
  3. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ TTÖS khoái vaø TTÖS phaúng goïi laø TTÖS phöùc taïp. 4.2 TTÖÙS TRONG BAØI TOAÙN PHAÚNG- PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TÍCH. 4.2.1 Caùch bieåu dieãn – Quy öoùc daáu Caùch bieåu dieån: y y σy σy σy σy u τyx τyx τyx τyx τxy σx σx σx σu α σxy τ σx σx x K σ x x τuv τxy τxy z σy v a) z a) b) b) H. 4.5 TTÖÙS trong baøi toaùn phaúng Xeùt moät phaân toá (H.4.5a). ÖÙng suaát treân maët vuoâng goùc vôùi truïc z baèng khoâng vaø maët naøy laø moät maët chính vì coù öùng suaát tieáp baèng khoâng. Ñeå deã hình dung, ta bieåu dieãn phaân toá ñang xeùt baèng hình chieáu cuûa toaøn phaân toá leân maët phaúng Kxy (H.4.5b). Quy öôùc daáu: + σ > 0 khi gaây keùo ( höôùng ra ngoaøi maët caét) + τ > 0 khi laøm cho phaân toá quay thuaän kim ñoàng hoà Hình 4.5b bieåu dieån caùc öùng suaát > 0 (qui öôùc naày phuø hôïp vôùi baøi toaùn thanh) 4.2.2 ÖÙng suaát treân maët caét nghieâng baát kyø Vaán ñeà: Xaùc ñònh öùng suaát treân maët caét nghieâng song song vôùi truïc z vaø coù phaùp tuyeán u taïo vôùi truïc x moät goùc α (α > 0 khi quay ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà keå töø truïc x ) (H.4.6a). Giaû thieát ñaõ bieát öùng suaát σx, σy vaø τxy. ♦ Tính σu vaø τuv : Töôûng töôïng caét phaân toá baèng maët caét nghieâng ñaõ neâu, maët caét chia phaân toá ra laøm hai phaàn, xeùt caân baèng cuûa moät phaàn phaân toá (H.4.6b) ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 3 http://www.ebook.edu.vn
  4. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ y u y u σu ds σu σx α σx α α x x τxy τ uv τuv dy τyx v τxy dz v τyx dx σy σy z a) b) H.4.6 ÖÙng suaát treân maët nghieâng Treân maët nghieâng coù öùng suaát σu vaø τuv , chuùng ñöôïc xaùc ñònh töø phöông trình caân baèng tónh hoïc. * ∑U=0 ⇒ σ u dsdz − σ x dzdy cosα + τ xy dzdy sin α − σ y dzdx sin α + τ xy dzdx cosα = 0 * ∑V=0 ⇒ τ uv dsdz − σ x dzdy sin α − τ xy dzdy cosα + σ y dzdx cosα + τ xy dzdx sin α = 0 Keå ñeán: ⎮τxy ⎮ = ⎮τyx ⎮; dx = ds sinα ; dy = ds cosα, 1 1 cos 2 α = (1 + cos 2α ); sin 2α = (1 − cos 2α ) 2 2 1 sin α cosα = sin 2α 2 σx +σy σx −σ y ⇒ σu = + cos 2α − τ xy sin 2α (4.2a) 2 2 σx −σ y τ uv = + sin 2α + τ xy cos 2α (4.2b) 2 ♦ Tính σv : Xeùt maët nghieâng coù phaùp v tuyeán v, vuoâng goùc maët coù phaùp tuyeán u o α + 90 u (H.4.7). Thay theá α baèng (α + 90°) vaøo (4.2a) σv τvu τuv σu , α x ⇒ öùng suaát phaùp taùc duïng treân maët coù phaùp tuyeán v: σx +σy σx −σ y H. 4.7 ng suaát treân ÖÙ σv = − cos 2α + τ xy sin 2α (4.3) 2 maët vuoâng goùc nhau 2 2 Toång (4.2a) vaø (4.3), ⇒ ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 4 http://www.ebook.edu.vn
  5. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ σu +σv = σ x +σ y (4.4) Bieåu thöùc treân cho thaáy, toång öùng suaát phaùp taùc duïng treân hai maët vuoâng goùc cuûa phaân toá öùng suaát phaúng taïi moät ñieåm laø haèng soá vaø khoâng phuï thuoäc vaøo goùc α. Ñoù laø Baát Bieán Thöù Nhaát cuûa öùng suaát phaùp Thí duï 4.1 Thanh coù dieän tích 5 cm2, chòu keùo vôùi löïc P = 40 kN. Xaùc ñònh öùng suaát treân maët caét nghieâng moät goùc 30o vôùi maët caét ngang (H.4.8). Giaûi ÖÙng suaát phaùp treân maët caét ngang (Chöông 3) P 40 σx = = = 8 kN/cm 2 F 5 30o u σu Taùch phaân toá hình hoäp bao ñieåm K naèm treân maët caét ngang. K τuv P P = 40 kN Ta coùù: σ x = + 8 kN/cm 2 , σ y = 0 v u Maët caét nghieâng coù phaùp tuyeán σu 30 hôïp vôùi truïc vôùi truïc x (truïc thanh) moät τuv σx goùc( +30o ). v H.4.8 Töø (4.2) ⇒ σx σx σn = 2 + 2 cos 2α = 8 2 ( ) 1 + cos 2.30o = 6 kN/cm 2 σx 8 τ uv = + sin 2α = + sin 2.30o = + 3,46 kN/cm 2 2 2 4.2.3 ÖÙng suaát chính - Phöông chính - ÖÙng suaát phaùp cöïc trò 1- ÖÙng suaát chính - phöông chính ( 2) (1) o α =α +90 o o Ngoaøi maët chính laø maët ñaõ bieát vuoâng goùc σ2 σ1 (1) vôùi truïc z, hai maët chính coøn laïi laø nhöõng maët αo x song song vôùi truïc z (vì phaûi vuoâng goùc vôùi σ1 maët chính ñaõ coù). σ2 H. 4.9 ng suaát chính ÖÙ Maët chính laø maët coù öùng suaát tieáp = 0 ⇒ Tìm hai maët chính coøn laïi baèng caùch cho τ uv =0 ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 5 http://www.ebook.edu.vn
  6. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ Neáu goïi α o laø goùc cuûa truïc x hôïp vôùi phöông chính thì ñieàu kieän ñeå tìm σx −σ y phöông chính laø: τ uv =0 ⇔ + sin 2α + τ xy cos 2α = 0 2 2τ xy ⇒ Phöông trình xaùc ñònh α0 : tan 2α o = − = tan β (4.5) σ x −σy β π β β π αo = ±k ⇒ α 01 = vaø α 02 = ± 2 2 2 2 2 (4.5) cho thaáy coù hai giaù trò α0 sai bieät nhau 90°. Vì vaäy, coù hai maët chính vuoâng goùc vôùi nhau vaø song song vôùi truïc z. Treân moãi maët chính coù moät öùng suaát chính taùc duïng. Hai öùng suaát chính naøy cuõng laø öùng suaát phaùp cöïc trò (kyù hieäu laø σmax hay σmin ) bôûi vì dσ u 2τ xy = 0 ⇔ tan 2α = − gioáng vôùi (4.5) dz σ x −σ y Giaùù trò öùng suaát chính hay öùng suaát phaùp cöïc trò coù theå tính ñöôïc baèng caùch theá ngöôïc trò soá cuûa α trong (4.5) vaøo (4.2a). tan 2α o Ñeå yù raèng: sin 2α o = ± ; cos2α o = ± 1 1 + tan 2α o 2 1 + tan 2 2α o σx +σy ⎛σx −σ y ⎞ 2 ⇒ σ max = σ 1,3 = ⎜ 2 ⎟ + τ xy ± ⎜ ⎟ 2 (4.6) min 2 ⎝ ⎠ Ta laïi thaáy σ max + σ min = σ 1 + σ 3 = σ x + σ y Thí duï 4.2 Tìm öùng suaát 2 y σ2 chính vaø phöông chính cuûa 1 67o30’ TTÖS (H.4.10a). Ñôn vò cuûa 4 y öùng suaát laø kN/cm2. 22o30’ σ1 x Giaûi x a) H. 4.10 b) Theo quy öôùc daáu, ta coù: σ x = 4 kN/cm 2 ; σ y = 2 kN/cm 2 τ xy = +1 kN/cm 2 Phöông chính xaùc ñònh töø (4.5): 2τ xy −2 tan 2α o = − = = − 1 ⇒ 2α o = − 45o + k180 o σx −σ y 4−2 ⇒ α o1) = − 22 o 30' ; α o2 ) = 67 o 30' ( ( (i) ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 6 http://www.ebook.edu.vn
  7. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ Coù 2 phöông chính ( 2 maët chính) vuoâng goùc nhau Caùc öùng suaát chính ñöôïc xaùc ñònh töø (4.6): 4+2 ⎛4− 2⎞ 2 ⎧4,41 kN/cm 2 ⎪ σ max = ± ⎜ ⎟ +1 = 3 ± 2 = ⎨ (ii) min 2 ⎝ 2 ⎠ ⎪1,58 kN/cm 2 ⎩ Ñeå xaùc ñònh maët chính naøo töø (i) coù öùng suaát chính (ii) taùc duïng, ta duøng (4.2b), chaúng haïn vôùi α o(1) = − 22 o 30' , ta coù: 4+2 4−2 σu = 2 + 2 ( ) ( ) cos 2 − 22 o 30' − 1sin 2 − 22o 30' = 4,41 kN/cm2 Vaäy : σ1 = 4,41 kN/cm2 öùng vôùi goùc nghieâng α o1) = − 22 o 30' , ( σ2 = 1,58 kN/cm2 taùc duïng treân maët coù α o2) = − 67 o 30' . ( Caùc maët vaø öùng suaát chính bieåu dieãn treân phaân toá ôû H.4.10b. 2- ÖÙng suaát tieáp cöïc trò Tìm öùng suaát tieáp cöïc trò vaø maët nghieâng treân ñoù coù öùng suaát tieáp cöïc dτ uv trò baèng caùch cho = 0 (2 () o ) 2 dα α=o + 1 α 45 dτ uv = (σ x − σ y ) cos 2α − 2τ xy sin 2α = 0 (4.7) τ dα max σ x −σ y ⇔ tan 2α = = (4.7) 2τ xy σ So saùnh (4.7) vôùi (4.5) ⇒ tan 2α = − 1 H. ÖÙng suaát tieáp cöïc trò 4.11 tan 2α o (4.8) ⇒ 2α = 2α o ± k90o hay α = α o ± k45o ⇒ Maët coù öùng suaát tieáp cöïc trò hôïp vôùi nhöõng maët chính moät goùc 45°. Theá (4.8) vaøo (4.2b), ta ñöôïc : ⎛σx −σ y ⎞ σ 2 τ max ⎜ 2 ⎟ + τ xy =± ⎜ ⎟ 2 (4.9) min ⎝ ⎠ τ 4.2.4 Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät TTUSphaúng ñaëc bieät 1- TTÖS phaúng ñaëc bieät H.4.12 Phaân toá treân H.4.12 coù: σ x =σ ; σ y = 0; τ xy =τ Töø (4.6) ⇒ τ ______________________________________________________________ H. 4.13 TTUS Tröôït thuaàn tuyù Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 7 http://www.ebook.edu.vn
  8. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ σ 1 σ max = σ 1, 3 = ± σ 2 + 4τ 2 (4.10) min 2 2 Phaân toá coù 2 öùng suaát chính ( seõ gaëp ôû tröôøng hôïp thanh chòu uoán ). 2- TTÖS tröôït thuaàn tuùy (H.4.13) ÔÛ ñaây, σ x = σ y = 0 ; τ xy = τ ;Thay vaøo (4.6) σ3 ⇒ σ max = σ 1, 3 = ± τ hay σ 1 = − σ 3 =τ (4.11) min Hai phöông chính ñöôïc xaùc ñònh theo (4.5): π π σ1 tan 2α o = ∞ ⇔ αo = + k (4.12) 4 2 Nhöõng phöông chính xieân goùc 45o vôùi truïc x vaø y. 3- Tröôøng hôïp phaân toá chính (H.4.14) H. 4.14 Phaân toá chính chæ coù σ 1 , σ 3 ,τ = 0; σ1 −σ 3 Thay vaøo (4.9), ta ñöôïc: τ max,min = ± (4.13) 2 4.3 TTÖÙS TRONG BAØI TOAÙN PHAÚNG- PHÖÔNG PHAÙP ÑOÀ THÒ. 1- Voøng troøn Mohr öùng suaát. Coâng thöùc xaùc ñònh öùng suaát treân maët caét nghieâng (4.2) coù theå bieåu dieãn döôùi daïng hình hoïc baèng voøng troøn Mohr. Ñeå veõ voøng troøn Mohr, ta saép xeáp laïi (4.2) nhö sau: σx +σ y σx −σ y σu − = cos 2α − τ xy sin 2α (4.14) 2 2 σx −σ y τ uv = sin 2α + τ xy cos 2α (4.14)’ 2 Bình phöông caû hai veá cuûa hai ñaúng thöùc treân roài coäng laïi, ta ñöôïc: σ +σy ⎛σ −σ y 2 2 ⎛ ⎞ ⎞ ⎜σ u − x ⎜ ⎟ + τ uv = ⎜ x ⎟ 2 ⎜ ⎟ + τ xy ⎟ 2 (4.15) τ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ σx +σy ⎛σ x −σ y R 2 ⎞ Ñaët: c= ; R2 = ⎜ ⎜ ⎟ + τ xy ⎟ 2 (4.16) C σ 2 ⎝ 2 ⎠ O (4.15) thaønh: (σ u − c )2 + τ uv = R 2 2 (4.17) Trong heä truïc toïa ñoä, vôùi truïc hoaønh σ vaø C truïc tung τ, (4.17) laø phöông trình cuûa moät H. 4.15 Voøng ñöôøng troøn coù taâm naèm treân truïc hoaønh vôùi troøn öùng suaát hoaønh ñoä laø c vaø coù baùn kính R . Nhö vaäy, caùc giaù trò öùng suaát phaùp vaø öùng suaát tieáp treân taát caû caùc maët song song vôùi ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 8 http://www.ebook.edu.vn
  9. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ truïc z cuûa phaân toá ñeàu bieåu thò baèng toïa ñoä nhöõng ñieåm treân voøng troøn. Ta goïi voøng troøn bieåu thò TTÖS cuûa phaân toá laø voøng troøn öùng suaát hay voøng troøn Mohr öùng suaát cuûa phaân toá. Caùch veõ voøng troøn: (H.4.16) - Ñònh heä truïc toïa ñoä σOτ : truïc hoaønh σ // truïc x, truïc tung τ // truïc y cuûa phaân toá vaø höôùng leân treân. P -Treân truïc σ ñònh ñieåm τ τ xy σ O E F C E(σx, 0) vaø ñieåm F(σy, 0) Taâm C laø trung ñieåm σy σx cuûa EF Caùch veõ voøng troøn öùng suaát - Ñònh ñieåm cöïc P (σy, H.4.16 τxy ) . x - Voøng troøn taâm C, qua P laø voøng troøn Mohr caàn veõ OE + OF σ x + σ y Chöùng minh: + C laø trung ñieåm cuûa EF ⇒ OC = = =c 2 2 OE − OF σ x − σ y Trong tam giaùc vuoâng CPF: FC = = ; FP = τ xy 2 2 ⎛σ −σ y ⎞ 2 Do ñoù ⇒ CP = FC + FP = ⎜ x 2 2 ⎜ 2 ⎟ + τ xy = R 2 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2- ÖÙng suaát treân maët caét nghieâng ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 9 http://www.ebook.edu.vn
  10. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ max u max M uv P D α u xy uv 2α y yx u A u B F E C G x xy uv max min y minx x u max H. 4.17 Ñònh öùn g suaát treân maët nghieân g Duøng voøng troøn Mohr ñeå tìm öùng suaát treân maët caét nghieâng cuûa phaân toá coù phaùp tuyeán u hôïp vôùi truïc x moät goùc α. Caùch tìm σu ; τuv Veõ voøng troøn Mohr nhö H.4.17. Töø cöïc P veõ tia Pu // vôùi phöông u caét voøng troøn taïi ñieåm M. Hoaønh ñoä cuûa M = σu ; Tung ñoä cuûa M = τuv Chöùng minh: Kyù hieäu 2α1 laø goùc (CA,CD), 2α laø goùc (CD,CM). Hình 4.17 cho: σx +σy OG = OC + CG = + R cos(2α1 + 2α ) 2 σx +σy = + R cos 2α1 cos 2α − R sin 2α1 sin 2α 2 σx −σ y nhöng: R cos 2α1 = CE = ; Rsin 2α 1 = ED = τ xy 2 σx +σy σx −σ y neân: OG = + cos 2α − τ xy sin 2α = σ u 2 2 Töông töï, ta coù: GM = R sin (2α1 + 2α ) = R cos 2α1 sin 2α + R sin 2α1 cos 2α ⎛σ −σ y ⎞ ⎜ 2 ⎟ sin 2α + τ xy cos 2α = τ uv =⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ Ta nhaän laïi ñöôïc phöông trình (4.2) 3- Ñònh öùng suaát chính- phöông chính- ÖÙng suaát phaùp cöïc trò ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 10 http://www.ebook.edu.vn
  11. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ Treân voøng troøn öùng suaát ( H.4.17) Ñieåm A coù hoaønh ñoä lôùn nhaát, tung ñoä = 0⇒ σmax = OA ; τ =0 Tia PA bieåu dieãn moät phöông chính. Ñieåm B coù hoaønh ñoä nhoû nhaát, tung ñoä = 0⇒ σmin = OB ; τ =0 Tia PB bieåu dieãn phöông chính thöù hai. 4- Ñònh öùng suaát tieáp cöïc trò Treân voøng troøn (H.4.17): hai ñieåm I vaø J laø nhöõng ñieåm coù tung ñoä τ lôùn vaø nhoû nhaát. Do ñoù, tia PI vaø PJ xaùc ñònh phaùp tuyeán cuûa nhöõng maët treân ñoù coù öùng suaát tieáp cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu. Nhöõng maët naøy taïo vôùi nhöõng maët chính moät goùc 45o. ÖÙng suaát tieáp cöïc trò coù trò soá baèng baùn kính ñöôøng troøn. ÖÙùng suaát phaùp treân maët coù öùng suaát tieáp cöïc trò coù giaù trò baèng hoaønh ñoä ñieåm C, töùc laø giaù trò trung bình cuûa öùng suaát phaùp: σx +σy τ σ tb = 2 P 5- Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät σ B A σ σ O C E - TTÖS phaúng ñaëc bieät τ τ σmax b) Phaân toá coù hai öùng suaát a) σ min H. 4.18 TTÖÙS phaúng ñaëc bieät vaø voøng Morh chính σ 1 vaø σ 3 (H.4.18). - TTÖS tröôït thuaàn tuùy τ τ P Phaân toá coù 2 öùng suaát chính: τ A C σ σ1 = − σ 3 = | τ | B Caùc phöông chính xieân goùc τ σmin = - τ σmax = τ 45 vôùi truïc x vaø y (H.4.19) o H. 4.19TTÖÙS tröôït thuaàn tuùy vaø voøng Morh σ 2 τ - TTÖS chính ( H.4.20) τmax τmax B A σ P C σ1 − σ 2 σ1 τ max, min = ± σ2 2 σ1 τmin H. 4.20 TTÖÙS CHÍNH- Voøng Morh Thí duï 4.3 Phaân toá ôû TTÖS phaúng (H.4.21),caùc öùng suaát tính theo ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 11 http://www.ebook.edu.vn
  12. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ kN/cm2. Duøng voøng troøn Mohr, xaùc ñònh: a) ÖÙng suaát treân maët caét nghieâng α = 45o b) ÖÙng suaát chính vaø phöông chính c) ÖÙng suaát tieáp cöïc trò. τ 161 36' o τmax o I 71 36 u D 45 o σu o P o αo = 26 36’ (3) 5 45 τuv B A σ C F y 4 -7 -5 -2 O1 3 (1) o σ3 αo = - 67 24’ 1 3 x M 4 σ1 D’ σu 5 τuv J H. 4.21 τmin Giaûi. Theo quy öôùc ta coù: σ x = − 5 kN/cm 2 ; σ y = 1 kN/cm 2 ; τ xy = + 4 kN/cm 2 ♦Taâm voøng troøn ôû C ⎛ − 5 + 1 ,0 ⎞ . ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ♦ Cöïc P(1, + 4). Töø P veõ tia song song vôùi truïc u caét voøng troøn Mohr taïi M. Toïa ñoä ñieåm M bieåu thò öùng suaát treân maët caét nghieâng vôùi α = 45o : σ u = − 6 kN/cm 2 ; τ uv = − 3 kN/cm 2 ♦Hoaønh ñoä A vaø B bieåu thò öùng suaát chính coù giaù trò baèng: σ 1 = σ A = 3 kN/cm 2 ; σ 3 = σ B = − 7 kN/cm 2 Hai phöông chính xaùc ñònh bôûi goùc αo: α o1) = − 67 o 42' ; α o3) = 26 o 36' ( ( ♦Tung ñoä I vaø J coù giaù trò baèng öùng suaát tieáp cöïc trò: τ max = 5 kN/cm 2 ; τ min = − 5 kN/cm 2 Caùc öùng suaát naøy taùc duïng leân caùc maët, töông öùng vôùi caùc goùc nghieâng: α1(1) = 71o36' ; α1( 2) = 161o36' ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 12 http://www.ebook.edu.vn
  13. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ 4.3 BIEÅU DIEÃN HÌNH HOÏC TTÖS KHOÁI II σ2 σ2 σ2 σ2 y σ σ x σ1 τ σ1 σ1 σ1 τ τ I σ1 z σ3 σ3 σ3 σ σ σ2 III 2 H.4.22. TTÖS khoái vôùi maët H. 4.23TTÖÙS khoái vaø caùc maët // truïc chính caét nghieâng baát kyø ♦ Toång quaùt, TTÖS taïi moät ñieåm laø TTÖS khoái (H.4.22). ♦ Xeùt nhöõng maët // moät phöông chính ( thí duï phöông III) , öùng suaát chính σ3 khoâng aûnh höôûng ñeán σ, τ treân caùc maët naøy (H.4.23). ⇒ coù theå nghieân cöùu öùng suaát treân nhöõng maët naøy töông töï TTÖS phaúng. Veõ voøng troøn öùng suaát bieåu τ dieån caùc öùng suaát treân maët nghieâng τmax, τmax, naøy (voøng troøn soá 3 treân H.4.24) . τmax,3 Töø voøng troøn naøy, ta thaáy treân 3 σ nhöõng maët song song vôùi phöông Ο σ3O σ2 σ1 σ1 1 2 chính III coù maët coù öùng suaát tieáp cöïc 2 σ1 − σ 2 ñaïi (kyù hieäu τmax,3) , τ max,3 = 2 τ H.4.24 ♦ Töông töï, ñoái vôùi nhöõng maët Ba voøng troøn Mohr öùng suaát song song vôùi phöông chính thöù I vaø thöù II, ta cuõng veõ ñöôïc caùc voøng troøn öùng suaát (Voøng troøn soá 1 vaø voøng troøn soá 2) (H.4.24). ♦ Lyù thuyeát ñaøn hoài ñaõ chöùng minh raèng giaù trò cuûa σ vaø τ treân moät maët baát kyø cuûa moät phaân toá trong TTÖS khoái coù theå bieåu thò baèng toïa ñoä cuûa moät ñieåm naèm trong mieàn gaïch cheùo ( H.4.24 ). ♦ Qua hình veõ, öùng suaát tieáp lôùn nhaát cuûa phaân toá bieåu thò baèng baùn kính cuûa voøng troøn lôùn nhaát, (H.4.24). σ1 −σ 3 τ max, 2 = (18) 2 ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 13 http://www.ebook.edu.vn
  14. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ 4.4 LIEÂN HEÄ ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG y 4.4.1 Ñònh luaät Hooke toång quaùt x II σ2 1- Lieân heä öùng suaát phaùp vaø bieán daïng z σ1 daøi I ♦TTÖS ñôn: trong chöông 3, ñaõ coù: σ3 Ñònh luaät Hooke lieân heä giöõa öùng suaát phaùp III σ H.4.25. TTÖS khoái vaø bieán daïng daøi : ε= (4.19) E ε - bieán daïng daøi töông ñoái theo phöông σ. Theo phöông vuoâng goùc vôùi σ cuõng coù bieán daïng daøi töông ñoái ε’ σ ngöôïc daáu vôùi ε: ε ' = − με = − μ (4.20) E ♦ TTÖS khoái: vôùi caùc öùng suaát chính σ 1, σ2 , σ3 theo ba phöông chính I, II, III (H.4.25). Tìm bieán daïng daøi töông ñoái ε1 theo phöông I . σ1 Bieán daïng daøi theo phöông I do σ 1 gaây ra: ε1 (σ1 ) = E σ2 Bieán daïng daøi theo phöông I do σ 2 gaây ra: ε1 (σ 2 ) = − μ E σ3 Bieán daïng daøi theo phöông I do σ 3 gaây ra: ε1 (σ 3 ) = − μ E Bieán daïng daøi töông ñoái theo phöông I do caû ba öùng suaát σ 1, σ2 , σ3 sinh ra seõ laø toång cuûa ba bieán daïng treân: ε1 = ε1 (σ 1 ) + ε1 (σ 2 ) + ε1 (σ 3 ) = 1 [σ 1 − μ (σ 2 + σ 3 )] (4.21) E Töông töï, bieán daïng daøi töông ñoái theo hai phöông chính II , III coøn laïi: ε2 = 1 [σ 2 − μ (σ 3 − σ 1 )] (4.22) E ε 3 = [σ 3 − μ (σ 1 + σ 2 )] 1 (4.23) E ♦ TTÖS toång quaùt: Lyù thuyeát ñaøn hoài ñaõ chöùng minh ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài ñaúng höôùng, σ chæ sinh ra bieán daïng daøi maø khoâng sinh ra bieán daïng goùc , τ chæ sinh ra bieán daïng goùc maø khoâng sinh ra bieán daïng daøi. ⇒ Trong tröôøng hôïp phaân toá ôû TTÖS toång quaùt, vaãn coù ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 14 http://www.ebook.edu.vn
  15. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ εx = 1 E [ σ x − μ (σ y + σ z )](4.24) [ ε y = σ y − μ (σ z + σ x ) 1 E ] [ ε z = σ z − μ (σ x + σ y ) 1 E ] 2-Lieân heä giöõa öùng suaát tieáp vaø bieán daïng goùc γ ( Ñònh luaät Hooke veà tröôït) τ Phaân toá ôû TTÖS tröôït thuaàn tuyù (H.4.26). Bieán daïng goùc (goùc tröôït) γ bieåu thò ñoä thay ñoåi H. 4.26 TTÖÙ S tröôï t thuaàn tuyù- goùc vuoâng. Bieán daï ng goùc Ñònh luaät Hooke veà tröôït: τ γ= (4.25) G trong ñoù: G - laø moâñun ñaøn hoài tröôït. Thöù nguyeân cuûa G laø [löïc/(chieàu daøi)2] vaø ñôn vò thöôøng duøng laø N/m2 hay MN/m2. Lieân heä giöõa E, ν vaø G nhö sau: E G= 2(1 + μ ) (4.26) y 4.4.2 Ñònh luaät Hooke khoái x II Tính ñoä bieán ñoåi theå tích cuûa moät phaân toá hình σ2 z hoäp coù caùc caïnh baèng da1, da2 vaø da3 . σ1 Theå tích cuûa phaân toá tröôùc bieán daïng laø: I Vo = da1 da2 da3 σ3 Sau bieán daïng, phaân toá coù theå tích laø: III V1 = (da1 + Δda1 )(da 2 + Δda2 )(da 3 + Δda3 ) H.4.27. TTÖS khoái Goïi bieán daïng theå tích töông ñoái laø θ, ta coù: V −V θ = 1 o = ε1 + ε 2 + ε 3 (4.27) Vo ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 15 http://www.ebook.edu.vn
  16. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ Theá (4.21)(4.22),(4.23) vaøo (4.27) ⇒ 1 − 2μ θ = ε1 + ε 2 + ε 3 = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) (4.28) E ñaët toång öùng suaát phaùp laø: Σ = σ1 + σ 2 + σ 3 1 − 2μ (4.28) thaønh: θ = ∑ (4.29) E coâng thöùc (4.29) ñöôïc goïi laø ñònh luaät Hooke khoái bieåu thò quan heä tuyeán tính giöõa bieán daïng theå tích töông ñoái vaø toång öùng suaát phaùp. Nhaän xeùt : ♦Töø (4.29), neáu vaät lieäu coù heä soá Poisson μ = 0,5 ( cao su), thì θ luoân luoân baèng khoâng töùc laø theå tích khoâng ñoåi döôùi taùc duïng cuûa ngoaïi löïc. ♦ Coâng thöùc treân cho thaáy θ phuï thuoäc vaøo toång öùng suaát phaùp chöù khoâng phuï thuoäc vaøo rieâng töøng öùng suaát phaùp. Nhö vaäy, neáu cuõng vôùi phaân toá aáy ta thay caùc öùng suaát chính baèng moät öùng suaát trung bình σtb coù giaù trò baèng trung bình coäng cuûa ba öùng suaát chính noùi treân: Σ σ1 + σ 2 + σ 3 σ tb = = 3 3 thì bieán daïng theå tích töông ñoái cuûa phaân toá treân vaãn khoâng thay ñoåi. Thaät vaäy, vôùi nhöõng öùng suaát chính laø σtb , bieán daïng theå tích baèng: 1 − 2μ θ1 = (σ tb + σ tb + σ tb ) = 1 − 2μ Σ E E Keát quaû treân coù yù nghóa nhö sau: vôùi phaân toá ban ñaàu laø hình laäp phöông, trong hai tröôøng hôïp treân ta thaáy theå tích phaân toá ñeàu bieán ñoåi nhö nhau. - Tuy nhieân, trong tröôøng hôïp ñaàu khi caùc öùng suaát chính khaùc nhau, phaân toá vöøa bieán ñoåi theå tích vöøa bieán ñoåi hình daùng töùc laø trôû thaønh phaân toá hình hoäp chöõ nhaät sau khi bieán daïng. - Coøn trong tröôøng hôïp thöù hai, khi thay caùc öùng suaát chính baèng öùng suaát trung bình, phaân toá chæ bieán ñoåi veà theå tích maø khoâng bieán ñoåi hình daùng, nghóa laø sau khi bieán daïng phaân toá vaãn giöõ hình laäp phöông. - Veà maët lyù luaän, coù theå phaân phaân toá ôû TTUS khoái chòu caùc öùng suaát chính σ1 , σ2 , σ3 thaønh 2 phaân toá (H. 4.28). Phaân toá b) chæ bieán ñoåi theå tích, phaân toá c) chæ bieán ñoåi hình daùng. ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 16 http://www.ebook.edu.vn
  17. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ σ2 σtb σ2 - σtb σ1 σtb σ1 - σtb σ3 = + σtb σ3 - σtb a) b) c) H.4.28 Phân tích TTUS khoái thaønh 2 TTUS 4.5 THEÁ NAÊNG BIEÁN DAÏNG ÑAØN HOÀI ♦ ÔÛ chöông 3, phaân toá ôû TTÖS ñôn (thanh bò keùo hoaëc neùn): Theá naêng bieán daïng ñaøn hoài rieâng u = σε 2 (4.30) ♦ Trong TTÖS khoái, söû duïng nguyeân lyù ñoäc laäp taùc duïng, ta coù theá naêng bieán daïng ñaøn hoài rieâng baèng: σ 1ε 1 σ 2ε 2 σ 3ε 3 u= + + (4.31) 2 2 2 thay ε1, ε2, ε3 theo ñònh luaät Hooke trong (4.21) - (4.23) vaøo , ⇒ u= 1 {σ 1[σ 1 − μ (σ 2 + σ 3 )] + σ 2 [σ 2 − μ (σ 3 + σ 1 )] + σ 3 [σ 3 − μ (σ 2 + σ 1 )]} 2E hay u= 1 2 2E [ σ 1 + σ 2 + σ 32 − 2 μ (σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) 2 ] (4.32) Ta coù theå phaân tích theá naêng bieán daïng ñaøn hoài u thaønh hai thaønh phaàn: -Thaønh phaàn laøm ñoåi theå tích goïi laø theá naêng bieán ñoåi theå tích utt -Thaønh phaàn laøm ñoåi hình daùng goïi laø theá naêng bieán ñoåi hình daùng uhd Ta coù: u = utt + uhd Ñeå tính theá naêng bieán ñoåi hình daùng, ta thay caùc öùng suaát σ1, σ2 vaø σ3 baèng öùng suaát (σ1 -σtb ), (σ2 -σtb ), (σ3 -σtb ), taùc duïng leân caùc maët phaân toá. σ2 σtb σ2 - σtb σ1 σtb σ1 - σtb σ3 = + σtb σ3 - σtb H.4.29 Phaâ n tích TTÖÙS thaø nh hai TTÖÙS Theá vaøo (4.32) ta coù theá naêng bieán ñoåi hình daùng baèng: 1 − 2μ uhd = 1 2 2E [ σ 1 + σ 2 + σ 32 − 2ν (σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) − 2 6E ] (σ 1 + σ 2 + σ 3 )2 ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 17 http://www.ebook.edu.vn
  18. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ 1+ μ 2 hay : uhd = 3E ( σ 1 + σ 2 + σ 32 − σ 1σ 2 − σ 2σ 3 − σ 1σ 3 2 ) (4.33) ♦ TTÖS ñôn , thay σ1 = σ; σ2 = 0; σ3 = 0 vaøo (4.32) vaø (4.33), ta ñöôïc theá naêng rieâng vaø theá naêng bieán ñoåi hình daùng nhö sau: σ2 1+ μ 2 u= ; uhd = σ (4.34 2E 3E Thí duï 4.4: Cho phaân toá nhö hình veõ: ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng. Tính ε x , ε y , ε u (phöông utaïo vöùi truïc x moät goùc 30 0 . Cho E=104kN/cm2 , μ =0,34 , α =300 αu y Ta coù σ x = 6kN / cm 2 6kN/cm 2 σ y = 8kN / cm 2 x τ = −2kN / cm 2 2kN/cm 2 α = 60 0 8kN/cm 2 εx = 1 E [σ x − μσ y ] = 10 4 [6 − (0,34)8] = 3,28 ×10 −4 1 ε y = [σ y − μσ yõy ] = 4 [8 − (0,34)6] = 5,96 × 10 −4 1 1 E 10 σ +σ y σ x −σ y σ u = xõ + cos 2α − τ xy sin 2α = 9,232kN / cm 2 2 2 1 E 1 E [ ] ε u = [σ u − μσ v ] = σ u − μ (σ x + σ y − σ u = 7,611kN / cm 2 ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 18 http://www.ebook.edu.vn
  19. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ Thí duï 4.5: Moät khoái laäp phöông baèng beâ toâng ñaët vöøa khít vaøo raõnh cuûa vaät theå A (tuyeät ñoái cöùng) chòu aùp suaát phaân boá ñeàu ôû maët treân P= 1kN/cm2 (H.4.11). Xaùc ñònh aùp löïc neùn vaøo vaùch raõnh, lieân heä giöõa öùng suaát vaø bieán daïng daøi töông ñoái theo caùc phöông. Ñoä bieán daïng theå tích tuyeät ñoái. Cho caïnh a = 5 cm; E = 8.102 kN/cm2; μ= 0,36. Choïn heä truïc nhö hình veõ.Ta coù: khoái beâ toâng ôû TTÖÙSphaúng . σ x ≠ 0; σ y = − p kN/cm2 ; σz = 0 y a ε z ≠ 0; ε y ≠ 0 ; εx = 0 P x Ñònh luaät Hooke cho bieán daïng daøi: z A εx = 1 E [ ] σ x − μ (σ y + σ z ) = 0 H.4.11 ⇒ σ x = − μp = -(0,36 × 1) = −0,36 kN/cm 2 −p εy = 1 E [ ] σ y − μ (σ x + σ z ) = E (1 -η 2 ) μp εz = 1 E [ ] σ z − μ (σ x + σ y ) = [0 - μ (-μp - p)] = (1 + μ ) 1 E E Bieán daïng theå tích tuyeät ñoái: 1 − 2μ Δ v = θV = E σx +σy +σz) V[ ] 1 - (2 × 0,36) = [− 0,36 − 1](5 × 5 × 5) = - 0,0559cm3 800 ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 19 http://www.ebook.edu.vn
  20. GV: Leâ Ñöùc Thanh ____________________________________________________________________ Thíduï4.6 n Moät taám moûng coù kích thöôùc nhö treân H.4.5 τ chòu taùc duïng cuûa öùng suaát keùo σ = 30 kN/cm2 σ 15 mm theo phöông chieàu daøi cuûa taám m vaø öùng suaát tieáp τ = 15 kN/cm2. 25 mm a) Xaùc ñònh öùng suaát phaùp theo phöông H45 ñöôøng cheùo mn vaø phöông vuoâng goùc vôùi ñöôøng cheùo b) Tính bieán daïng daøi tuyeät ñoái cuûa ñöôøng cheùo mn. Cho E = 2.104 kN/cm2, μ= 0,3 Δlmm .Goïi σ u = σ mm , εu = ⇒ Δlmm = lmm × ε u lmm εu = 1 [σ u − ησ v ] E 30 + 0 30 − 0 σu = + cos 600 − (−15) sin 600 = 35,5kN / cm 2 2 2 εu = ε mm = 1 [σ u − η (σ u − σ u ) ] = 1,8575 . 10 − 3 E Δlu = Δlmm = 1,8575.10 −3 × 50 = 0,093mm ______________________________________________________________ Chöông 4: Traïng thaùi öùng suaát 20 http://www.ebook.edu.vn

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản